贵州省凯里市第一中学人教版高中数学必修五：3.4微型优质课：基本不等式教学设计
基本不等式(第1课时)教学设计
第二章一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式(第1课时）教学设计一、教材分析《基本不等式》在数学第一册第二章第2节，本节课的内容是基本不等式的形式以及推导和证明过程。
本章一直在研究不等式的相关问题，对于本节课的知识点有了很好的铺垫作用。
同时本节课的内容也是之后基本不等式应用的必要基础。
二、教学目标与核心素养课程目标1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。
2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。
3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。
数学学科素养1.数学抽象：基本不等式的形式以及推导过程；2.逻辑推理：基本不等式的证明；3.数学运算：利用基本不等式求最值4.数据分析：利用基本不等式解决实际问题;5.数学建模：利用函数的思想和基本不等式解决实际问题，提升学生的逻辑推理能力。
重点：基本不等式的形成以及推导过程和利用基本不等式求最值；难点：基本不等式的推导以及证明过程.三、教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
四、教学工具：多媒体，交互式电子白板。
五、教学过程（一）引言师：前面我们类比等式的性质研究了不等式的性质及其证明和应用，今天我们来学习一个具体的不等式—基本不等式。
（插入中小学智慧平台）师：我门知道，乘法公式在代数式的运算中有着重要的作用，是否也存在一些不等式，在解军决不等问题时，有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面我们就来共同研究这个问题。
其实在不等式里，数学家们也总结了一大堆常用的公式。
今天，我们就来学习最简单，也最常出现的一个不等式，叫作基本不等式。
（展示中小学智慧平台学习任务单）（二）新课探究1、引出基本不等式师：什么是基本不等式呢？大家先来看一个在小学时就学过的一条几何性质：在一组周长相等的矩形形中，正方形的面积最大。
比如，一个长方形的边长为分别为5和3，正方形的边长为4，它们的周长都是16，此时它们的面积呢？S长=15，S正=16。
人教版高中数学必修五第三章3.4基本不等式第一课时教学课件共14张PPT含视频
人教版高中数学必修五第三章3.4基本 不等式 第一课 时教学 课件共 14张PP T含视 频 (2份打包)
探究二：基本不等式的变形及应用
ab a b（a 0,b 0）
a b 2 a（b a 0,b 0）
2
例1、若
x 0 ,求 y
x
1
的最小值.
x
变1:若 x 0,求 y 3x 12 的最小值
人教版高中数学必修五第三章3.4基本 不等式 第一课 时教学 课件共 14张PP T含视 频 (2份打包)
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1. 两个不等式
（1） a,b R, 那么a2 b2 2ab (当且仅当a b时取""号)
温馨提示
准备好你的导学案，练习本， 笔记本，课本，双色笔，最重 要的是你的激情！
基本不等式
ab a b 2
学习目标
1、熟记重要不等式、基本不等式及使用条 件，并会推导基本不等式。 2 、会写出基本不等式的变形，并会利用 基本不等式求最值。 3、掌握基本不等式的综合应用．
3班导学案反馈
小组 一组
ab a b（a 0,b 0） 2
a b 2 a（b a 0,b 0）
（1）如果a，b＞0，且ab＝P（定值），那么
a+b有最___小_值__2___p_(当且仅当a____b_时取“=”）.
ab a b（a 0,b 0） 2
ab
a
2
b
（2 a
0,
b
0）
（2）如果a，b＞0，且a＋b＝S （定值），那么
2
2
为3_、__已__知_正_. 数x，y满足x+2y=1，则x
高中数学人教A版必修五教案：3.4基本不等式(二)
第二课时 基本不等式（二） 一、教学目标（1）知识与技能：能够运用基本不等式解决生活中的应用问题（2）过程与方法：本节课是基本不等式应用举例的延伸。
（3）情感与价值：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性二、教学重点、教学难点教学重点：正确运用基本不等式教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件三、教学流程（一）复习引入1．基本不等式：如果ab b a b a 2R,,22≥+∈那么)""(号时取当且仅当==b a 如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 前者只要求a,b 都是实数，而后者要求a,b 都是正数．我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数 ab ba ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：练习)0_______(___432)()1(>--=x xx x f 两两两)0_____(___sin 21sin )2(<<-+x xx π两两两.24)(22)3(b a x f b a b a 两两两两两两两两两两两+==+,4)(15.0222422222224)(222的最小值是所以时取等号，即且当且仅当解：x f b a b a b a x f b a b a b a ===+===≥+=+=+小结：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝M ，M 为定值，则ab ≤42M ，等号当且仅当a ＝b 时成立.2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a ，b ∈R ＋，且ab ＝P ，P 为定值，则a ＋b ≥2P ，等号当且仅当a ＝b 时成立.（二）举例分析例1、（1）用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。
人教A版高中数学必修5教案3.4.3基本不等式(三)
课型：新授课执行时间：年月日
教
学
目
标
1.知识与技能
1.熟练使用a2+b22ab和 .
2.会应用此定理求某些函数的最值；
3.能够解决一些简单的实际问题.
2.过程与方法：了解运用 的条件，熟练运用不等式中1的变换
3.情感、态度与价值观
通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力
课堂小结：
五、作业布置：
板书设计：
教学后记：
教学重点
在运用 中要注意“一正”、“二定”、“三相等”
教学难点
的运用
教学过程：
批注
（1）复习：基本不等式
（2）举例分析
变形3：a,b是正数且2a+3b=4,求ab的最值和此时a、b的值
例2．a,b都是正数且2a+b=2,求a(1+b)的最值和此时a、b的值
。
证法1：直接用公式
证法2：对1进行变换
练习
高中数学必修五教案-3.4 基本不等式(3)-人教A版
1.教学目标（要求小、少、精、准）
简单复习基本不等式公式及性质，给出不同题型，利用基本不等式求解简单最值问题，通过典例剖析，让学生理解并掌握利用基本不公式求最值的三个条件“一正二定三相等”以及一些技巧题目的处理。
2.教学策略与方法（可以用流程图表示，请说明设计的思路）
简单复习基本不等式概念及性质
微课名称
利用基本不等式求简单最值问题
所属学科
高中数学
一、选题分析（说明选题的理由）
本节知识点是使用基本不等式及性质来求解简单最值问题,授课群面向的是基础较薄弱的学生，学生对利用骤不规范，为此，在本节课中，给出不同题型，通过剖析讲解，让学生达到理解掌握的目的。
拟采用ppt展示的微课制作方式。
四、特色与创新点（该微课的特色是什么？创新之处何在？）
特色：简单明了地给出概念及性质，通过不同题型讲解，让学生掌握基本不等式求最值的题目。
创新：利用有限的十分钟，给学生讲解清楚，针对不同题型求最值问题，真正理解“一正二定三相等”这三个求最值的基本条件以及一些技巧题目的处理。
通过不同题型讲解，让学生理解用基本不等式求最值的三个条件，并渗透数学整体思想
给出例题，强化巩固数学整体性求最值题目，并给出求最值三个条件中的反例，深化学生对三个条件的理解，尤其是最后取等号的验证
给出技巧题目，提升学生的综合掌握能力
三、表现手法
（拟采用何种微课制作方式？会使用哪些媒体资源？如漫画、动画、手绘、视频、图片、实物、ppt、音乐等等。）
人教版高中数学必修五3.4基本不等式二 课件(共15张PPT)
解：当x 0时，y x 4 2 x 4 4
x
x
当且仅当x 2时等号成立
当x 0时
y
x
4 x
x
4 x
2
x 4 4
x
当且仅当x 2时等号成立
综上所述函数的值域为 ，44，
基本不等式成立的条件：二定（积定和最小）
例2 已知x 1,求x 4 的最小值 x 1
解： x 1 x 1 0 4 0
2
2x 1
解： x 1 2x 1 0 8 0
2
2x 1
y x 8 1 2x 1 8 1
2x 1 2
2x 1 2
y x 8 2 1 2x 1 8 1 2 2 1 9
2x 1 2
2x 1 2
22
当且仅当1 2x 1 8 时，即x 5 时等号成立
2
2x 1
2
基本不等式成立的条件：二定（和定积最大）
2
当且仅当a b时等号成立
基本不等式成立的条件：二定（和定积最大）
变式4
若0
x
1 3
,
则x1
3x取最大值时x的值是B
A. 1
B. 1
C. 1 D. 1
4
6
8
10
基本不等式成立的条件：三相等
例4 求函数y x2 2 1 的最小值 x2 2
解： x2 2 0
1 0
x2 2
二定
y x2 2 1 2 x2 2 1 2
适用条件
复习回顾
已知x 0,求y x 4的最小值；
x
二定
解 x 0, y x 4 2 x 4 4
x
x
当且仅当x 4 ,即x 2时原式有最小值4 x
《基本不等式(第1课时)》教学设计
课题：基本不等式（第1课时）一、指导思想与理论依据布鲁姆将教育目标划分为认知领域、情感领域和操作领域三个领域，共同构成教育目标体系.认知目标又分类为：记忆、理解、应用、分析、评价、创造，每个层次的要求各不相同，因此教学目标的确定应结合课程内容和学生的实际情况，符合学生的认知规律．学生是课堂中的主体，教学设计一定要从学生的认知水平出发，充分考虑学生的已有经验、学习基础、思维特点，立足于学生的“最近发展区”；用学生的眼光看数学，学生在理解的基础上，由浅入深，由感性到理性地设计问题，才能真正引导和帮助学生思考问题、分析问题和解决问题．同时《高中数学学科德育指导纲要》指出，在高中数学教学中加强德育，对于全面推进素质教育，培养社会主义的建设者和接班人具有重要意义.因此在教学中要关注学生的情感、态度和价值观，渗透德育内容．教学活动是师生积极参与、交流互动、共同发展的过程．有效的数学教学活动是学生学与教师教的统一．《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式……”、“还应注重提高学生的数学思维能力”．本节课从学生的最近发展区出发，通过典型具体例子的分析和学生自主地观察、探索活动，亲身经历、体验发现规律的过程，学会如何去研究问题的方法，体会蕴含在其中的数学思想方法，把数学的学术形态通过适当的方式转化为学生易于接受的教育形态，培养学生交流合作的意识．二、教学背景分析（一）教学内容分析本节课的内容是人教A 版《数学（必修5）》第三章 3.4基本不等式：2a b +≤的第1课时． “基本不等式”在教学中安排3课时，第1课时的内容是基本不等式的形成、证明及其几何解释，正确把握基本不等式的结构和等号成立的条件；第2课时的内容是能用基本不等式求简单的最值问题，并理解其应用条件“正、定、等”；第3课时的内容是从实际问题中抽象出具体的基本不等式问题，并应用基本不等式处理最值问题，也就是将基本不等式作为处理优化问题的一种模型．基本不等式反映了实数的两种基本运算（即加法和乘法）所引出的大小变化．这一简单朴实、平易近人的本质，恰是这一不等式变化多端、妙用无穷的源头，体现了运算带给数的巨大力量．这一本质不仅可以从不等式的代数结构上得到表现，而且也有几何意义，由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用。
高中数学必修五：3.4基本不等式 课件
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18，
x y 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ 2
因此 xy ≤ 9 将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立， 此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，
它的面积最大，最大值是81m2。
ab ab 2
∴a b 2 ab
ab ab 即： 2
ab ab 当且仅当a=b时 2
ab 为a，b 的算术平均数， 称 2 称 ab 为a，b 的几何平均数。
注意：1．适用的范围：a, b 为非负数. 2．语言表述：两个非负数的算术平
均数不小于它们的几何平均数。
ab 3.我们把不等式 ab (a≥0,b≥0) 2
的最大
值，及此时x的值。
3 解： f ( x) 1 (2 x ) ，因为x>0， x
3 3 所以 2 x ≥ 2 2 x 2 6 x x 3 得 (2 x )≤ -2 6 x
因此f(x)≤ 1 2 6
当且仅当 号成立。
3 2x x
3 ，即 x 2
2
时，式中等
当a b时， ( a b) 0 2 当a b时， ( a b) 0
2
a b 2ab
2 2
1．指出定理适用范围： 2．强调取“=”的条件：
a, b R
ab
基本不等式2： 如果a,
b∈R+，那么
（当且仅当a=b 时，式中等号立）
2 2 证明： ( a ) ( b ) 2 a b ∵
由于x>0，所以
《基本不等式》教学设计
《基本不等式》教学设计一、教材解读《基本不等式》在人教A 版高中数学必修第一册第二章第2节，本节课的内容是基本不等式的形式以及推导和证明过程。
本章一直在研究不等式的相关问题，对于本节课的知识点有了很好的铺垫作用。
同时本节课的内容也是之后基本不等式应用的必要基础。
是理论数学与应用数学结合的良好典范。
下面我们来分析一下本节教材。
（一）内容结构（1） 通过课题揭示重点。
从课题可以很清楚的知道我们将要学习的内容以及重点，所有内容都是围绕这个基本不等式展开。
（2） 实践出真知。
以一个实际问题来探究其中所蕴涵的相等或不等关系，充分体现了新课标所要求的培养学生创新精神及数学应用的意识。
通过探究，学生很容易得到结论：一般地，对于任意实数a ，b ，我们有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立。
（3） 代换与证明。
通过代换思想，得到基本不等式0,0)2a b a b +≥>>，接着用分析法及数形结合法来证明基本不等式，体现了一题多解及证明不等式的基本方法。
这部分内容简单，学生基本可独立完成，对于培养学生的自学能力有积极作用。
（4） 课本提示概念。
在正文旁边有一个框图，说明了算术平均数与几何平均数的概念，由此可以总结出一条定理：一列正数的算术平均数不小于它的几何平均数。
这部分虽非重点，但对于拓展对基本不等式的认识是非常重要的，在教学中有必要提示一下。
（5） 实例揭示应用价值。
通过两个实例，体现了基本不等式在求最值时的价值，更进一步体现了“当且仅当时，等号成立”这一条件的重要性。
学生可以从中体会到“积定和最小”及“和定积最大”这两条基本的解题思路。
这两个例题使数学与生活不再那么遥远。
对于培养学生的数学应用意识功不可没。
（6） 习题进一步巩固所学。
共有四道习题，第一道强调了“当且仅当a b =时，等号成立”这一重要条件，是基本不等式的直接应用，难度较小；后面三道是基本不等式在实际生活中的应用，强调了数学与生活有着密切联系这一基本数学观。
高中数学必修五3.4.1 基本不等式的证明教学课件共18张PPT
C
S=ab
c=2(a+b)
积
和
物品放天平左边称砝码显示重量为a
物品放天平右边称砝码显示重量为b
2．主动引导 激发需求
物品放天平左边称砝码显示重量为a，放右边
称砝码显示重量为b，那么这个物品的实际重量是 多少？ M | l1 | l2 |
M
| l1 | l2 |
3．合作活动 提炼建模
活动 1 如图 5，请同学们先将一个正方形纸片沿它 们的对角线对折，然后用剪刀沿纸片对角线剪开，分成 两个全等的等腰直角三角形纸片． （课前请同学们预先 准备）
3．合作活动 提炼建模
活动 2 完成活动 1 后， 请同桌两位同学各取一个等
a b 腰直角三角形纸片（纸片的面积分别为 ， ） ，按如图 2 2 a +b 6 所示拼接成面积为 的多边形纸片． 2
3．合作活动 提炼建模
活动 3 完成活动 2 后，再请同桌两位同学合作，将
a +b 拼接成面积为 的多边形纸片按图 7 中虚线裁剪，去 2
普通高中课程标准实验教科书 数学（必修 5）
3.4 基本不等式的证明
1．自主阅读 提出问题
【阅读材料】五世纪，欧洲大地上贵族发起大规模 的圈地运动，其中有一种观点认为 “所圈矩形形状的地 的周长越长，则所圈地面积越大”． 你认同此观点吗？能从此观点中抽象出什么数学 问题吗？
A
a
D
b
b
B
a
ab ≥ ab ． a b ≥ 2 ab ， 2 ab 所以， 如果 a， b 是正数， 那么 ab ≤ （当 2
且仅当 a＝b 时取“＝”）． 当 a ≥ 0 ，b ≥ 0 时，这个不等式仍然成立．
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3.4 2
a b +（第一课时） 2016年9月3日
一、教学目标
1.知识与技能目标：
（1）了解基本不等式的来源；
（2）会利用基本不等式求简单的最值问题；
（3）在使用基本不等式求最值时，注意：基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等），这三个条件缺一不可.
2.过程与方法目标：
（1）探索并了解基本不等式的形成过程；
（2）体会基本不等式的简单应用.
3.情感态度价值观目标：
通过层层设问，让学生带着问题去发现、去学习，充分挖掘学生的学习兴趣.
二、重点难点
重点：会使用基本不等式求最值，尤其注意基本不等式成立的前提条件和等号成立的条件；
难点：不知何时使用基本不等式，在使用基本不等式求最值时，容易忽略基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）.
三、教法分析
（一）学情分析
在使用基本不等式求最值问题中，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件.
（二）教法
根据本节课的内容和学生的实际水平，采用问题驱动学习法与计算机辅助教学法.
（三）学法
以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，着眼于学生的学习体验.设置问题，由浅入深，循序渐近，给不同层次的学生提供思考，创造和成功的机会.
（四）教学手段
课件展示
四、教学过程设计
（一）自我介绍
尊敬的各位评委老师，上午好！我是来自凯里一中数学组的龙朝芬，我今天要讲的课题是：基本不等式，选自新人教A 版必修5第三章第四节。
接下来讲解本节课的教学过程。
（二）本节课主要通过问题引入
问题1、已知(0,)2x π
∈，求函数1tan tan y x x
=+的最小值； 问题2、已知(0,)x π∈，求函数2
21sin sin y x x =+
的最小值。
学生会这样解题：
1tan tan y x x
=+ sin cos cos sin x x x x
=+ 22sin cos sin cos x x x x
+= 2sin 2x
= (0,)2
x Q π∈ 2(0,)x π∴∈
sin 2(0,1]x ∴∈
当sin 21x =时，2sin 2x
有最小值2。
这是高一上学期的解题方法，有没有更简单的方法呢？当然有，这就是今天要学习的基本不
2
a b +≤，这个不等式又是怎么来的？我们一起来探讨一下： （三）新知探究 大家都知道20a ≥，自然2()0a b -≥，展开会有：
22+20a b ab -≥
222a b ab ⇒+≥（什么时候取“=”，当且仅当a b =时，取“=”）
这一不等式就可以解决问题2了，但不能解决问题1呀，那如何办呢？观察可以发现这两问题，一个是二次方，一个是一次方，如何把二次方降为一次方呢？
在不等式：222a b ab +≥中，若是用代替a ，代替b ，我们会得到，
22≥
a b ⇒+≥（当且仅当a b =时，取“=”），这样可以把二次降为一次了。
通常我们把上式写作：(0,0)2a b a b +≤>>，这里2
a b +是什么？（是算术平均数）
，因此这个不等式可以描述为：两个正数的算数平均数不小于几何平均数。
基本不等式可以解决哪些问题呢？我们一起来看例题：
（四）初步应用，归纳提升
例1、（1）已知(0,)2x π
∈，求函数1tan tan y x x
=+的最小值； （2）已知0x >，求函数1y x x
=+
的最小值； （3）已知0a >，0b >，1a b +=，求11a b +的最小值.
通过例1，可以让学生知道，表达式为倒数或具有倒数关系的两数之和时，可以用基本不等式来求最小值。
那可以用基本不等式来求最大值吗？接下来一起学习例2。
例2、（1）已知,x y R +∈，且18x y +=，求xy 的最大值.
（2）设02x <<的最大值.
通过例2的学习，让学生知道可以用基本不等式来求两正数的积的最大值，但要把和凑成一个常数。
通过学习例1、例2，我们可以用基本不等式解决求函数最值及式子的最值问题，但是还达不到高考要求，再来看例3：
例3、（1）若42log (34)log a b +=a b +的最小值为 ；
（2）已知0a >，0b >，8ab =，则当a 的值为 时，22log log (2a b ）⋅取得最大值。
通过例3的学习，让学生了解到基本不等式在高考中如何考的。
（五）反思总结，培养能力
1、基本不等式的前提条件：0a >，0b >，等号成立的条件：a b =；
2、使用基本不等式求最值的三个限制条件（一正二定三相等），这三个条件缺一不可；
3、和为定值积最大，积为定值和最小.
（六）课后作业
1、课本：必修5第100页A 组第一题
2、补充作业：
（1）求函数1()2(0)f x x x x
=+>的最小值； （2）已知0a >，0b >，114a b
+=，求a b +的最小值；
（3）已知0a >且2
2
12b a +=，求. 思考：求函数2
y =的最小值.（今天我们用基本不等式求最值问题，是不是所有的
最值问题都可以用它来解决呢？请回去思考这道题，看能否用基本不等式来解决，若不能我们下节课再一起来探讨）
谢谢各位评委老师！。