人教A版高中数学必修一《2.2 基本不等式》优质课公开课课件、教案
2.2基本不等式(第一课时)课件(人教版)
必须要满足条件：(1)
；
(2)
；
(3)
.
练一练
4.试判断x(2-x)(0<x<2)与 1 的大小关系.
解答：
+(2−) 2
x(2-x)≤(
) =1
2
, 只有x=1时才取等号
2.2.1 基本不等式
思维篇
知识篇
素养篇
问
核
心
素
养
之
题
逻
辑
推
理
分
(１)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值２
二次式
a2+b2≥2ab
(a、b ∈R，当a=b时取等号)
a×a+b×b
≥
a×b+b×a
自乘的和
不小于
互乘的和
①
如果把两个数相乘看成一
次合作“圈地”(如图)，那
b
a
b
a
么公式 ①折射诞生活的哲理：
自立自强比互相合作更
重要！
1 重要不等式
a2+b2≥2ab
(a、b ∈R，当a=b时取等号)
①
特别地：
；
1 2
(２)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 S ．
4
提示：因为x，y都是正数，所以x＋y ≥2 ．
无论是“和”定还是“积”定，不等号的另一侧部分将会取得最
+
数
学
建
模
1.已知x，y都是正数，求证：
析
方
法
总
结
值，且都在x＝y时取得等号.
基本不等式从一侧到另一侧，本质上是一种放大或缩小；当
人教版高中数学新教材必修第一册2.2基本不等式1公开课教案(优秀教案,表格式)
数学公开课教案科目授课班级授课时间授课地点讲课人数学课题§2.2基本不等式（第一课时）教学目标1.知识目标：掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值2.知识与技能：体会基本不等式应用的条件：一正，二定，三相等；体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程。
3.情感态度价值观：通过解题后的反思逐步培养学生养成解题反思的习惯教学重点基本不等式在解决最值问题中的应用教学难点基本不等式在解决最值问题中的变形应用及等号成立的条件教法启发式、探究式学法合作探究课前准备多媒体教学过程主要内容及教师活动设计意图一.复习引入回顾重要不等式：如果Rba∈,，则abba222≥+（当且仅当ba=时，取“=”号）如果0,0a b>>,我们用,a b分别代替,a b,可得什么不等关系?巩固知识，导入新课二.新课讲解1.用分析法证明abba≥+2,0,0a b>>2.如果a,b都是正数，那么2baab+≤，当且仅当a=b时，等号成立。
我们称此不等式为均值不等式。
其中2ba+称为a,b的算术平均数，ab称为a,b的几何平均数。
文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数3.探究：如图所示,AB是圆的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b,过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.你能根据图形对基本不等式作出几何解释吗?几何解释：圆的弦长的一半小于或等于圆的半径长，当且仅当弦过圆心时，二者相等学习新的知识点。
2.2 基本不等式 (人教A版2019必修一)-【优秀公开课获奖课件】高一数学
4800
3
+ 120 2 × 3 + 2 × 3 = 24000 + 720( + ).
由容积为48003 得:3 = 4800,因此: = 1600.
所以: ≥ 24000 + 720 × 2 = 297600
例题精讲
例4 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,
因此,当这个矩形为பைடு நூலகம்长为9 的正方形时,菜园面积最大,且最
大面积为812 .
例题精讲
例4 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,
其容积为48003 ,深为3.如果池底每平方米的造价
为150元,池壁每平方米的造价为120元,那么怎样设
计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?
解 设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为 , ,水池总造价为元.
因此,当 = 时,和 + 有最小值2 .
例题精讲
例2 已知, 都是正数.
(2)如果和 + 等于定值,那么当 =
解 因为, > 0,所以
+
2
≥ .
(2)如果和 + 等于定值, ≤
所以, ≤
1 2
, 当且仅当
4
因此,当 =
1 2
时,积有最大值 ;
基本不等式的几何解释
半径不小于半弦.
例题精讲
例1 已知 > 0,求 +
1
的最小值.
解 因为 > 0,
所以
1
+
因此, +
1
≥ 2 ∙ = 2, 当且仅当 =
1
的最小值为2.
2.2基本不等式(第1课时) 高中数学人教版必修一 课件(共14张PPT).ppt
方法证明基本不等式吗？ 作差法
a b ab 1 (a b 2 ab)
2
ab 2
1 ( a b)2 0 2
ab
，即
ab a b 2
【师生共探，证明新知】
问题3. 我们从赵爽弦图得到了重要不等式，又通过代换得到了基本不等式。数学讲究严谨性，请
同学们想一想，可以用什么方法证明基本不等式？
追问2：除了以上的方法，你还能用其它的方法证明吗？
要证 只要证 要证①，只要证 要证②，只要证
2 ab a b
①
2 ab a b 0 ②
( a b)2 0 ③
要证③，只要证
( a b)2 0
④
显然，④成立，当且仅当a=b时，等号成立。
分析法（执果索因法）
a2 b2 2ab(a,b R) ，当且仅当 a b 时，等号成立。那么， 当 a 0,b 0 时，我们用 a , b 分别代替上式中的 a, b ，上述
不等关系变为什么？
a2 b2 2ab(a, b R) a b 2 ab
基本不等式 （均值不等式）
【合作交流，生成新知】
基本不等式的结构特征：
2.2 基本不等式
【创设情境，发现新知】
【地主分地的故事】 地主家有两个儿子，为了分家产，他分给大儿子一块长方形的地，分
给小儿子一块正方形的地，这两块地的周长相同。问：这样分家公平吗？
你分这块长 方形的地
你分这块正 方形的地
【合作交流，生成新知】
问题1. 上一节我们通过赵爽的弦图得出了一个重要不等式：
【师生共探，证明新知】 问题4. 以上的方法都是从代数的角度证明的，你能从几何的角度解释基本不等式吗？
人教A版高中数学必修第一册第二章基本不等式课件
/人A数学/ 必修 第一册
返回导航 上页 下页
4．若 a≥b＞0，试比较 a，
a2＋2 b2，a＋2 b， ab，1a＋2 1b，b 的大小．
解：a≥b>0，∴
a2＋b2 2≤
a2＋a2 2 ＝a，
∵a2＋b2≥2ab，
a2＋b2 a＋b ∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2，∴ 2 ≥( 2 )2.
∴a≥
a2＋b2 a＋b 2 ≥2≥
ab≥a1＋2 1b≥b.
返回导航 上页 下页
/人A数学/ 必修 第一册
返回导航 上页 下页
1．知识清单：(1)基本不等式． (2)利用基本不等式求最值的两类模型． (3)利用基本不等式判断不等关系及比较大小． 2．方法归纳：配凑法． 3．常见误区：忽略利用基本不等式求最值的条件：“一正、二定、三 相等”，尤其是“当且仅当，等号成立”这八个字．
(2)已知 x＞－2，求 x＋x＋162的最小值． 解：(2)因为 x＞－2， 所以 x＋x＋162＝(x＋2)＋x＋162－2≥2 (x＋2)·x＋162－2＝6. 当且仅当 x＋2＝x＋162，即(x＋2)2＝16，x＝2 时等号成立， 因此所求的最小值为 6.
/人A数学/ 必修 第一册
返回导航 上页 下页
/人A数学/ 必修 第一册
返回导航 上页 下页
利用基本不等式判断不等关系及比较大小 已知 a＞0，b＞0，则 a＋b_≥___2 ab， ab_≤___a＋2 b.
/人A数学/ 必修 第一册
返回导航 上页 下页
[例 3] (1)(多选)下列条件中能使ba＋ab≥2 成立的是(ACD)
A．ab＞0
利用基本不等式求最值的两类模型 已知x，y都为正数，则(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时， 和x＋y有最小值_2__P__；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，
人教A版必修第一册高中数学2.2基本不等式精品课件
知识梳理
a＋b
思考 1：不等式 a ＋b ≥2ab 与 ab≤ 2 成立的条件相同吗？
2
2
如果不同各是什么？
a＋b
不同，a ＋b ≥2ab 成立的条件是 a，b∈R； ab≤
成立的条件
2
2
2
是 a，b 均为正实数。
1
思考 2： a＋ ≥2(a≠0)是否恒成立？
a
1
1
只有 a>0 时，a＋ ≥2，当 a<0 时，a＋ ≤－2。
四周墙壁建造单价为每米 500 元，中间一条隔壁(为圆的直径)建造单价为每米 100 元，池底建造单价为每平
方米 60 元(池壁厚忽略不计)．(注：π≈3.14)
(1)如采用方案一，游泳池的长设计为多少米时，可使总造价最低？
(2)若方案一以最低总造价计算，试比较两种方案哪种方案的总造价更低？
例题解析
＝ 2，∴a≥ 2.
max
x＋y
例题解析
例 15 某校拟建一座游泳池，池的深度一定，现有两个方案，方案一：游泳池底面为矩形且面积为 200 平方
米，池的四周墙壁建造单价为每米 400 元，中间一条隔壁(与矩形的一边所在直线平行)建造单价为每米 100
元，池底建造单价每平方米 60 元(池壁厚忽略不计)；方案二：游泳池底面为圆且面积为 64π平方米，池的
40
900x·
＝36 000，当且仅当 900x＝
，即 x＝ 时取等号；
x
x
3
200
200
或者总造价为 200×60＋x＋
×2×400＋ x ×100，
x
200
200
2.2 基本不等式 (人教A版2019必修一)-【优秀公开课获奖课件】高一数学
基本不等式的应用
课程标准
+
（
掌握基本不等式 ≤
> , > ）。
结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或
者最小值问题
复习回顾
问题1 什么是基本不等式?
如果 > , > ，则 ≤
+
，当且仅当
= 时，等号成立。
追问：如何利用基本不等式求最值？
=
= ，
三相等
可得 ≤ ，当且仅当 = = 时，上式等号成立。
因此当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81 m2 。
注意公式的变形
方法小结
(1)先读懂题意，设出变量，列出函数关系式；
(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在题目要求的范围内，求出函数的最大值或最小值；
所以，将贮水池的池底设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总
造价为297600元。
新知探究
探究二:利用基本不等式解决几何题中简单的最值问题
新知探究
例3如图所示，设矩形ABCD(AB>BC)的周长为24，把它沿AC翻折，
翻折后AB′交DC于点P，设AB＝x.
(1)用x表示DP，并求出x的取值范围；
(2)求△ADP面积的最大值及此时x的值.
建模
习题讲解
【解】矩形ABCD(AB>BC)的周长为24，
在△APC中，∠PAC＝∠PCA，
24
∵AB＝x，∴AD＝ 2 －x＝12－x，
所以AP＝PC，从而得DP＝PB′，
∴AP＝AB/－PB/＝AB－DP＝x－DP，
2.2 基本不等式 (人教A版2019必修一)-【优秀公开课获奖课件】高一数学
是
（-∞，-2］∪［2，+∞） .
<2>含两个未知数的最值问题
例3 若正数x，y满足x+4y-xy＝0，则x+y的最小值为 （
A.9
B.8
C.5
D.4
【解析】 根据题意，x+4y-xy＝0 x+4y＝xy
则x+y＝（x+y） 1 4 ＝5+ y + 4 y ≥5+2
x
y
x
x
x 4y
变形．
2．利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲
求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的
条件．具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，
应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性．
4
当且仅当5-4x＝
1
5 4x
，即x＝1时，上式等号成立，故当x＝1时，ymax＝1.
（2）∵ 0<x< 1 ，∴ 1-2x>0，∴ y＝ 1 ×2x（1-2x）≤ 1 × 2 x 1 2 x ＝ 1 ，当且仅
2
2
4
4
2
16
当2x＝1- 2 x 0 x 12 ，即x＝ 1 时，上式等号成立，
值是（ B ）
A.4
B. 2 2
C.2
D. 4 2
利用基本不等式求最值的思路及方法
1.思路
（1）已知x，y都是正数.
①如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x+y有最小值2 ；
1
②如果和x+y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值4S2.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.2基本不等式
教材分析：
“基本不等式”是必修1的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.
教学目标
【知识与技能】
1.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2.掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题
【过程与方法】
通过实例探究抽象基本不等式；
【情感、态度与价值观】
通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣.
教学重难点
【教学重点】
应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；【教学难点】
1.基本不等式等号成立条件；
2.利用基本不等式求最大值、最小值.
教学过程
1.课题导入
前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：
一般地，，有
a2+b2≥2ab，
当且仅当a=b时，等号成立
特别地，如果a>0，b>0，我们用,分别代替上式中的a，b，可得
①
当且仅当a=b时，等号成立.
通常称不等式（1）为基本不等式（basic inequality）.其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
思考:上面通过考察a2+b2=2ab的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下.
2.讲授新课
1）类比弦图几何图形的面积关系认识基本不等式
特别的，如果a＞0,b＞0,我们用分别代替a、b，可得，
通常我们把上式写作：
2）从不等式的性质推导基本不等式
用分析法证明：
要
证
（1）
只要证a+b ≥（2）
要证（2），只要证a+b- ≥0 （3）
要证（3），只要证（- ）2≥0 （4）
显然，（4）是成立的.当且仅当a=b时，（4）中的等号成立.
探究1：在右图中，A B是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？
易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB
即ＣD＝.
这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.
因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”
评述：1.如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
2. 在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.【设计意图】老师引导，学生自主探究得到结论并证明，锻炼了学生的自主研究能力和研究问题的逻辑分析能力.
例1已知x>0，求x＋的最小值.
分析：求x＋的最小值，就是要求一个y0（=x0＋），使x>0，都有x＋≥y.观察x+
，发现x=1.联系基本不等式，可以利用正数x和的算术平均数与几何平均数的关系得到y0=2.
解：因为x>0，所以
x＋=2
当且仅当x=，即x2=1，x=1时，等号成立，因此所求的最小值为2.
在本题的解答中，我们不仅明确了x>0，有x＋≥2，而且给出了“当且仅当x=，即=1，x=1时，等号成立”，这是为了说明2是x＋（x>0）的一个取值，想一想，当y0<2时，x＋=y0成立吗？这时能说y.是x＋（x>0）的最小值吗？
例3（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.
（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.
例4某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m2，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
分析：贮水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确定.如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低.
解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的总造价为2元.根据题意，有
z=150×+120（2×3x+2×3y）
=240000+720（x+y）.
由容积为4800m3，可得
3xy=4800，
因此
xy=1600.
所以
z≥240000+720×2，
当x=y=40时，上式等号成立，此时z=297600.
所以，将贮水池的池底设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.
【设计意图】例题讲解，学以致用.
3.随堂练习
4.
【设计意图】讲练结合，熟悉新知.
4.课时小结
本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（）.它们成立的条件不同，前者只要求
a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价
变形来解决问题：ab≤，ab≤（）2.
我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题.在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，
含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.。