高考数学专题--基本不等式求最值的常用方法(解析版)
高考数学复习专题 基本不等式 (文 精讲)
专题7.3 基本不等式【核心素养分析】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． 【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】 高频考点一 利用基本不等式求最值【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ．【举一反三】（2020·江苏省南京模拟）函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________【方法技巧】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)【变式探究】(2019·天津卷)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为 ．【变式探究】（2020·辽宁省葫芦岛模拟）已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 6B ．8 2C ．5D ．9高频考点二 利用基本不等式解决实际问题【例2】【2019·北京卷】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．，，，，，，，，【方法技巧】利用基本不等式解决实际问题的三个注意点 (1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．【变式探究】（2020·山西省大同模拟）经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km /h )(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎨⎧175（x 2－130x ＋4 900），x ∈[50，80），12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？专题7.3 基本不等式【核心素养分析】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． 【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】高频考点一 利用基本不等式求最值【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ． 【答案】45【解析】∵22451x y y +=∴0y ≠且42215y x y -=∴422222222114144+2555555y y y x y y y y y-+=+=≥⋅=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴22xy +的最小值为45. 【举一反三】（2020·江苏省南京模拟）函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________【答案】23＋2【解析】∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立．【方法技巧】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)【变式探究】(2019·天津卷)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为 ．【答案】92【解析】(x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋5xy ＝2＋5xy ，∵x ＞0，y ＞0且x ＋2y ＝4， ∴4＝x ＋2y ≥22xy ，∴xy ≤2，∴1xy ≥12，∴2＋5xy ≥2＋52＝92.【变式探究】（2020·辽宁省葫芦岛模拟）已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 6 B ．8 2 C ．5 D ．9【答案】A【答案】∵a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1， ∴a ＝b ＋1b －2＞0，∴b ＞2，∴a ＋2b ＝b ＋1b －2＋2b ＝2(b －2)＋3b －2＋5≥5＋22（b －2）·3b －2＝5＋2 6.当且仅当2(b －2)＝3b －2，即b ＝2＋62时取等号．∴a ＋2b 的最小值为5＋26，故选A 。
高考数学二轮复习不等式
(2)(2022·新高考全国Ⅱ改编)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则下列结论正确 的是__②__③____.(填序号) ①x＋y≤1；②x＋y≥－2；③x2＋y2≤2；④x2＋y2≥1.
由x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤3x＋2 y2， 解得－2≤x＋y≤2， 当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2， 当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以①错误，②正确； 由x2＋y2－xy＝1可变形为x2＋y2－1＝xy≤x2＋2 y2， 解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以③正确； x2＋y2－xy＝1 可变形为x－2y2＋34y2＝1，
考点二
线性规划
核心提炼
1.截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转
化为y＝－abx＋bz
(b≠0)，通过求直线的截距
z b
的最值间接求出z的最值.
2.距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z
＝|PM|2. 3.斜率型：形如z＝yx－ －ba (x≠a)，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM.
作出不等式组2x－3y－6≤0， x＋2y＋2≥0
表示的平面区域如图
中阴影部分(包括边界)所示，
函数z＝(x＋1)2＋(y＋2)2表示可行域内
的点与点(－1，－2)的距离的平方. 由图知， z＝ x＋12＋y＋22的最小值为点(－1，－2)到直线 x＋2y
＋2＝0 的距离，
即|－1－4＋2|＝3 5
C.[－1，3]
D.[－3，1]
作出约束条件的可行域，如图阴影部分(含边界)所示，
其中 A(1，0)，B(0，1)，C(2，3)，z＝22yx＋－11＝yx＋－1212， 表示定点 M12，－12与可行域内点(x，y)连线的斜率，
高考数学一轮复习第6章不等式6.3基本不等式课件理
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2．(2018·广西三市调研)已知 m，n 为正实数，向量 a ＝(m,1)，b＝(1－n,1)，若 a∥b，则m1 ＋2n的最小值为_3_＋__2__2__．
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解析 ∵a∥b，∴m－(1－n)＝0，即 m＋n＝1，又 m，
n
为
正
实
数
，
∴
1 m
＋
2 n
＝
＝fa＋2 b，Q＝f(
ab)，R＝f
a2＋2 b2，则(
)
A．P＜Q＜R B．P＜R＜Q
C．R＜Q＜P D．R＜P＜Q
用导数法．
第三十页，共61页。
解析 f′(x)＝x＋1 1－1＝x－＋x1(x＞－1)，由 f′(x)>0 解 得－1<x<0，由 f′(x)<0 解得 x>0，所以 f(x)在(－1,0)上单调 递增，在(0，＋∞)上单调递减．
∴存在 m＝± 3使得△ABF1 的面积最大．
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方法技巧 基本不等式的综合运用常见题型及求解策略
1．应用基本不等式判断不等式的成立性或比较大小， 有时也与其他知识进行综合命题，如角度 1 典例，结合函数 的单调性进行大小的比较．
根据题意得出三角形面积表达式，求最 值时，用基本不等式法．
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解 (1)易知直线 l：x＝my＋2 与 x 轴的交点坐标为 (2,0)，∴椭圆 C：ax22＋y2＝1(a>0)的一个焦点坐标为(2,0)，
∴c＝2，∴a2＝c2＋1＝4＋1＝5. 故椭圆 C 的方程为x52＋y2＝1. (2)存在． 将 x＝my＋2 代入x52＋y2＝1 并整理得(m2＋5)y2＋4my－ 1＝0， Δ＝(4m)2－4(m2＋5)×(－1)＝20m2＋20>0，
(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
基本不等式及其应用（优秀经典专题及答案详解）
(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .知识点二几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)；(5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．知识点三算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一利用基本不等式求最值【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为_______ 【答案】1【解析】因为x ＜54，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【方法技巧】【方法技巧】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值．【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【答案】6【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．，最后利用基本不等式求最值．考点二 利用基本不等式解决实际问题【典例2】【2019年高考北京卷理数】年高考北京卷理数】李明自主创业，李明自主创业，李明自主创业，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130 ；②15.【解析】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求.120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8yy x y x -≥≤，即min 158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元，所以x 的最大值为15。
均值不等式及其应用--高考数学【解析版】
专题05 均值不等式及其应用高考命题对基本不等式的考查比较灵活，重点考查应用基本不等式确定最值（范围）问题、证明不等式、解答函数不等式恒成立等问题.独立考查以选择、填空为主，有时以应用题的形式出现．有时与三角函数、数列、解析几何、平面向量函数等相结合，考查考生应用数学知识的灵活性.【重点知识回眸】1． 基本不等式 ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式（1）)2,0a b ab a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,,a b R ∈：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（3）222a b ab +≥，,a b R ∈（4）222()22a b a b ++≤，,a b R ∈ （5）2,,b aa b a b+≥同号且不为零 （6）重要不等式链 若a ≥b ＞0，则a ≥a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b≥b . 上述不等式，当且仅当a ＝b 时等号成立 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)x ＋y ≥2xy ，若xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记：积定和最小)． (2)xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，若x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值q 24(简记：和定积最大)．提醒：在应用基本不等式求最值时，一定要检验求解的前提条件：“一正、二定、三相等”，其中等号能否取到易被忽视．特别是：① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.5、常见求最值的题目类型 （1）构造乘积与和为定值的情况 （2）已知1ax by +=（a 为常数），求m nx y+的最值， 此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解.（3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解： 例如：已知0,0,24x y x y xy >>++=，求2x y +的最小值解：()22211222228x y x y xy x y ++⎛⎫=⋅⋅≤= ⎪⎝⎭所以()()2224248x y x y xy x y +++=⇒++≥即()()2282320x y x y +++-≥，可解得234x y +≥，即()min 2434x y += 注：此类问题还可以通过消元求解：42241xx y xy y x -++=⇒=+，在代入到所求表达式求出最值即可，但要注意0y >的范围由x 承担，所以()0,2x ∈【典型考题解析】热点一 直接法求最值【典例1】（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．222x x y -=+ D ．4ln ln y x x=+【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意． 【详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当1x =-时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意； 对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 44sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，242222442x x xx y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意； 对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意． 故选：C ．【典例2】（2021·全国·高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C 【解析】 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案． 【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）若0a >、0b >，且411a b+=，则ab 的最小值为（ ）．A ．16B ．4C ．116 D ．14【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式计算求解. 【详解】因为0a >、0b >，所以414112+≥⨯=a b a b ab114≥ab 4ab ≥，即16ab ≥，当仅当41a b =，即82a b ==，时，等号成立. 故选：A.【典例4】（2022·全国·高考真题（文））已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ） A ．0a b >> B ．0a b >> C ．0b a >> D ．0b a >>【答案】A 【解析】 【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=．又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >， 所以8log 989890m b =-<-=．综上，0a b >>． 故选：A.热点二 配凑法求最值【典例5】（2023·全国·高三专题练习）已知102x <<，则函数(12)y x x =- 的最大值是（ ） A ．12B ．14C ．18D ．19【答案】C 【解析】 【分析】将(12)y x x =-化为12(12)2x x ⨯-，利用基本不等式即可求得答案.【详解】 ∵102x <<，120x ∴-> , ∴1(12)2(12)2x x x x -=⨯-22(12)112[]28x x +-=≤⨯， 当且仅当212x x =- 时，即14x =时等号成立， 因此，函数(12)y x x =-,1(0)2x <<的最大值为18,故选：C ．【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知a ＞b ，关于x 的不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又存在实数0x ，使得2020ax x b ++=成立，则22a b a b+-最小值为_________．【答案】22【解析】 【分析】由220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，可得0a >，且0∆≤；再由0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，可得0∆≥，进而可得ab 的值为1，将22a b a b+-可化为()222a b a b a b a b +=-+--，利用基本不等式可得结果. 【详解】因为220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立， 所以0a >，且440ab ∆=-≤，所以1≥ab ；再由0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，可得440ab ∆=-≥，所以1ab ≤， 所以1ab =，因为a b >，即0a b ->，所以()()2222222a b ab a b a b a b a b a b-++==-+≥--- 当且仅当2a b a b-=-，即2a b -=所以22a b a b+-的最小值为22故答案为：22【典例7】（2023·全国·高三专题练习）已知 5<4x ，求函数14145y x x =-+- 的最大值． 【答案】2 【解析】 【分析】 将14145y x x =-+-变形为[()1]54454y x x=--++-，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】根据题意，函数()114545444554y x x x x ⎡⎤=-++=--++⎢⎥--⎣⎦ ， 又由54x <，则540x -> ，则()(115425425454)x x x x-+≥---⋅， 当且仅当15454x x-=-时，即1x =时取等号， 则1[(54)]424254y x x=--++≤-+=-, 故函数14145y x x =-+-的最大值为2. 【总结提升】形如()2ax bx c f x dx e +++＝的函数，可化为()11[()]f x x k m x k+++＝的形式，再利用基本不等式求解热点三 常数代换法求最值【典例8】（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是（ ） A ．23B ．423+ C ．6 D ．12【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共线定理可得31m n +=，再根据3131(3)()m n m n m n+=++结合基本不等式即可得出答案． 【详解】解：3AC AE =，∴3AP mAB nAC mAB nAE =+=+，,,P B E 三点共线，31m n ∴+=， ∴313199(3)()336212n m n m m n m n m n m n m n+=++=+++≥+⋅， 当且仅当9n m m n=，132m n ==时取等号，所以31m n+的最小值是12. 故选：D ．【典例9】（2020·天津·高考真题）已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据已知条件，将所求的式子化为82a b a b+++，利用基本不等式即可求解. 【详解】0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++ 882422a b a b a b a b++=+≥⨯=++，当且仅当a b +=4时取等号， 结合1ab =,解得23,23a b ==23,23a b =+=. 故答案为：4【典例10】（2017·山东·高考真题（文））若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】 由直线1(00)x y a b a b +=＞，＞过点(1,2)，可得121a b +=，从而有()1222a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式可求得其最小值 【详解】解：因为直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点(1,2)，所以121a b +=，因为00a b ＞，＞所以()12442222428a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=+++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当4a bb a =，即2,4a b ==时取等号， 所以2a b +的最小值为8 故答案为：8 【总结提升】常数代换法主要解决形如“已知x ＋y ＝t (t 为常数)，求a b x y+的最值”的问题，先将a x ＋b y 转化为()a b x y x y t ++⋅，再用基本不等式求最值． 热点四 基本不等式的实际应用【典例11】（2023·全国·高三专题练习）迷你KTV 是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV 的横截面示意图，其中32AB AE ==，90A B E ∠=∠=∠=︒，曲线段CD 是圆心角为90︒的圆弧，设该迷你KTV 横截面的面积为S ，周长为L ，则SL的最大值为（ ）．（本题中取π=3进行计算）A ．6B ．12315-C ．3D ．9【答案】B 【解析】 【分析】根据面积和周长的计算,可得SL,根据基本不等式即可求解最大值. 【详解】圆弧的半径为3(0)2r r <<，则32BC ED r ==-，π322CD rl r ==．所以周长162CD L AB BC l DE EA r =++++=-，面积2223139[()]22244r r S r r =-+⨯⨯=-．所以22191(12)24(12)135********12[(12)]122(12)12315212212212212S r r r r r L r r r r---+--=⋅=⋅=-⋅-+-⋅-⋅-----． 当且仅当1351212r r-=-，12315r =- 故选：B【典例12】（2017·江苏·高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 【答案】30 【解析】 【详解】 总费用为600900464()42900240x x x x +⨯=+≥⨯，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．故答案为30. 【总结提升】利用基本不等式解决实际问题的三个注意点(1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用()a f x x x＝＋(a＞0)的单调性．热点五 利用均值不等式连续放缩求最值【典例13】（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知0a b >>，且1,ab =则不正确的是（ ） A ．20a b +> B ．22log log 1a b +> C ．2222a b +>D ．22log log 0a b ⋅<【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断. 【详解】对A ，根据指数函数的性质20a b +>，故A 正确；对B ，2222log log log log 10a b ab +===，故B 错误；对C ，因为2a b ab +≥=，当且仅当a b =取等号，所以222222422a b a b +≥=>+C 正确； 对D ，因为1ab =，且0a b >>，故10>>>a b ，22log 0,log 0a b ><，所以22log log 0a b ⋅<；故D 正确. 故选：B【典例14】（2021·天津·高考真题）若0 , 0a b >>，则21a b ab ++的最小值为____________． 【答案】22【解析】 【分析】两次利用基本不等式即可求出. 【详解】0 , 0a b >>，2211222222a a b b a b a b b b b b∴++≥⋅=+≥⋅ 当且仅当21a a b =且2b b=，即2a b ==所以21ab ab ++的最小值为2 故答案为：22 【总结提升】第一次使用基本不等式是对原不等式的一次放缩，并为第二次使用基本不等式创造了条件，因此要使结果为原不等式的最值，两次使用基本不等式等号成立的条件应该是一致的．【精选精练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知02x <<，则24y x x =- ） A ．2 B ．4 C ．5 D ．6【答案】A 【解析】 【分析】由基本不等式求解即可 【详解】 因为02x <<，所以可得240x ->， 则()()2222244422x x y x x x x+-=-⋅-=，当且仅当224x x =-，即2x24y x x =-2．故选：A ．2．（2023·全国·高三专题练习）已知a ＞0，b ＞0，且a +2b ＝ab ，则ab 的最小值是（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】∵已知a ＞0，b ＞0，且a +2b ＝ab ，∴ab 2a b ⋅ 化简可得ab ≥2∴ab ≥8，当且仅当a ＝2b 时等号成立， 故ab 的最小值是8， 故选：B ．3．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知双曲线22:1(0,0)4n C mx y m n -=>>的一个焦点坐标为(1,0)-，当m n +取最小值时，C 的离心率为（ ）A 5B 3C ．2D 2【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程可得22214,,1a b c m n===，根据,,a b c 的关系可得141m n +=，由基本不等式的求解即可得26n m ==，进而2311a m ==，即可求离心率. 【详解】由22:1(0,0)4n C mx y m n -=>>可得22114x y m n-=，所以22214,,1a b c m n===， 故可得141m n +=，所以(4144)5529n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫+=++=+++⋅ ⎪⎝⎭， 当且仅当4n m m n =，即26n m ==时等号成立，所以2311a m ==，3a =1c =， 所以3==ce a， 故选：B ．4．（2021·浙江·高考真题）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式或排序不等式得3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤，从而可判断三个代数式不可能均大于12，再结合特例可得三式中大于12的个数的最大值. 【详解】法1：由基本不等式有22sin cos sin cos 2αβαβ+≤，同理22sin cos sin cos 2βγβγ+≤，22sin cos sin cos 2γαγα+≤，故3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤， 故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12. 取6πα=，3πβ=，4πγ=，则116161sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<=>=>， 故三式中大于12的个数的最大值为2， 故选：C.法2：不妨设αβγ<<，则cos cos cos ,sin sin sin αβγαβγ>><<， 由排列不等式可得：sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos αββγγααγββγα++≤++，而()13sin cos sin cos sin cos sin sin 222αγββγαγαβ++=++≤，故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12. 取6πα=，3πβ=，4πγ=，则116161sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<=>=>， 故三式中大于12的个数的最大值为2， 故选：C.5．（2020·全国·高考真题（理））设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B 【解析】 【分析】 因为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a=±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab 值，根据2222c a b =+得答案. 【详解】2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限 联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b - ∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△ 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为2222222168c a b ab =+≥==当且仅当22a b == ∴C 的焦距的最小值：8故选：B.6．（2023·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，且2ab a b =+，若228a b m m +-恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．426426m -+B ．426m +或426m - C ．19m - D ．9m 或1m -【答案】C 【解析】 【分析】由题意化2ab a b =+为211b a=+，利用基本不等式求出2+a b 的最小值，再解关于m 的一元二次不等式即可． 【详解】解：0a >，0b >，且2ab a b =+，211b a∴=+， 1222222(2)()14529b a b aa b a b a b a b a b∴+=++=++++=，当且仅当3a b ==时取“=”； 若228a b m m +-恒成立， 则298m m -， 即2890m m --， 解得19m -，∴实数m 的取值范围是[1-，9]．故选：C ．7．（2023·全国·高三专题练习）已知ln ln 222+≥+-aa b b ，则a b +=（ ） A ．52B ．4C ．92D ．6【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式可得22222+-≥ab ab ，当且仅当4a b =时取等号，从而可到ln()2≥ab ab ，再构造函数分析可得ln()20-≤ab ab ，从而得到ln()20-=ab ab ，再根据基本不等式取得最值时的关系求解即可 【详解】 由题意得ln()222≥+-a ab b ，因为0a >，0b >，所以22222+-≥ab ab ，当且仅当4a b =时取等号，所以ln()2≥ab ab ，令()ln 22=-f x x x ，则11()-='=xf x x x，当(0,1)x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '<单调递减，所以()(1)0f x f ≤=，当且仅当1ab =时取等号，即ln()220-≤ab ab ，所以ln()220-=ab ab ，所以1ab =，所以12,2a b ==，所以52a b +=． 故选：A8.（2017·天津·高考真题（理））已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a R ∈，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．47[,2]16-B ．4739[,]1616-C ．[3,2]-D ．39[23,]16- 【答案】A 【解析】 【详解】 不等式()2x f x a ≥+为()()2xf x a f x -≤+≤(*)， 当1x ≤时，(*)式即为22332xx x a x x -+-≤+≤-+，2233322x x a x x -+-≤≤-+，又22147473()241616x x x -+-=---≤-（14x =时取等号），223339393()241616x x x -+=-+≥（34x =时取等号），所以47391616a -≤≤， 当1x >时，(*)式为222x x a x x x --≤+≤+，32222x x a x x--≤≤+， 又3232()2322x x x x --=-+≤-23x =，222222x x x x+≥⨯=（当2x =时取等号）， 所以232a -≤， 综上47216a -≤≤．故选A ． 【考点】不等式、恒成立问题 【名师点睛】首先满足()2x f x a ≥+转化为()()22x xf x a f x --≤≤-去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对x 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x 的范围，利用极端原理，求出对应的a 的范围. 二、多选题9．（2022·全国·高考真题）（多选）若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（ ） A ．1x y +≤ B ．2x y +≥- C ．222x y +≤ D ．221x y +≥【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【详解】因为22222a b a bab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭（,a b R ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=≤，解得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设3cos sin 2y x y θθ-==，所以cos ,33x y θθθ==，因此2222511cos sin cos 12cos 233333x y θθθθ=θ-θ+=++42π2sin 2,23363θ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当33x y ==时满足等式，但是221x y +≥不成立，所以D 错误． 故选：BC ．10．（2020·海南·高考真题）（多选）已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A ．2212a b +≥B ．122a b -> C ．22log log 2a b +≥- D 2a b【答案】ABD 【解析】 【分析】根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确； 对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确； 对于D ，因为21212a bab a b =+++=，2a b ，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD11．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知a ＜b ＜0，则下列不等式正确的是（ ） A ．a 2＞ab B ．ln （1﹣a ）＞ln （1﹣b ） C ．2a b ab+＞D ．a +cos b ＞b +cos a【答案】ABC 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断A ，利用对数函数的单调性判断B ，利用基本不等式判断C ，利用构造函数判断D. 【详解】A:∵a ＜b ＜0，∴a 2＞ab ，∴A 正确，B:∵a ＜b ＜0，1﹣a ＞1﹣b ，∴ln （1﹣a ）＞ln （1﹣b ），∴B 正确， C:∵a ＜b ＜0，∴2a bab --＞2a b ab +＞C 正确， D:设f （x ）＝x ﹣cos x ，则()f x '＝1+sin x ≥0，∴f （x ）在R 上为增函数，∵a ＜b ＜0，∴a ﹣cos a ＜b ﹣cos b ，a +cos b ＜b +cos a ，∴D 错误． 故选：ABC ．12．（2022·江苏省如皋中学高三开学考试）（多选）若实数x ，y 满足1221x y ++=，m x y =+，111()()22-=+x y n ，则（ ） A ．0x <且1y <- B ．m 的最大值为3- C ．n 的最小值为7 D ．22m n ⋅<【答案】ABD 【解析】 【分析】根据指数函数的性质判断A ，利用基本不等式判断B 、C ，根据指数幂的运算判断D ； 【详解】解：因为1221x y ++=，若0x ≥，则21x ≥，又120y +>，显然不成立，即0x <， 同理可得10y +<，所以1y <-，即0x <且1y <-，故A 正确； 又111122222x y x y x y ++++=+≥⋅=1222x y ++-≤，所以3x y +≤-，当且仅当11222x y +==，即1x =-，2y =-时取等号，即m 的最大值为3-，故B 正确； 又()111111112222222244x y x y x y x y n +-++⎛⎫=+=+=+⋅+ ⎪⎝⎭ 111144552922222222y x y xx y x y ++++⋅⋅=⋅+≥+=+，当且仅当1142222y xx y ++⋅=，即2log 3x =-，22log 13y =-时取等号，故C 错误；对于D ：()111112()()22222222m x y x y x y x y y x n -+--+++⎡⎤⋅=+⋅=+⋅=+⎢⎥⎣⎦，因为1221x y ++=，所以()12222x y ++=，即12222x y +++=，即12422x y ++⨯=，即122322x y y ++⨯=+，因为302y ⨯>，所以1222x y +<+，即22m n ⋅<，故D 正确； 故选：ABD 三、填空题13．（2020·江苏·高考真题）已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．【答案】45【解析】 【分析】根据题设条件可得42215y x y -=，可得4222222114+555y y x y y y y -+=+=，利用基本不等式即可求解.【详解】 ∵22451x y y +=∴0y ≠且42215y x y-=∴422222222114144+2555555y y y x y y y y y -+=+=≥⋅，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴22xy +的最小值为45.故答案为：45.14．（2019·天津·高考真题（文）） 设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.【答案】92.【解析】 【分析】 把分子展开化为(1)(21)2212552x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+，再利用基本不等式求最值．【详解】由24x y +=，得2422x y xy +=≥2xy ≤(1)(21)221255592222x y xy x y xy xy xy xy xy ++++++===+≥+=，等号当且仅当2x y =，即2,1x y ==时成立． 故所求的最小值为92．15．（2018·江苏·高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 【答案】9 【解析】 【详解】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c =++=，因此11444(4)()5529,c a c aa c a c a c a c a c+=++=++≥+⋅当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.16．（2018·天津·高考真题（理））已知,R a b ∈，且360a b -+=，则128ab+的最小值为_____________. 【答案】14【解析】 【分析】由题意首先求得3a b -的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件. 【详解】由360a b -+=可知36a b -=-，且：312228a ab b -+=+，因为对于任意x ，20x >恒成立， 结合均值不等式的结论可得：336122222224a b a b ---+≥⨯==.当且仅当32236a b a b -⎧=⎨-=-⎩，即31a b =-⎧⎨=⎩时等号成立.综上可得128ab +的最小值为14. 17．（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD =________． 31##1+3-【解析】【分析】设220CD BD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解. 【详解】设220CD BD m ==>，则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++， 在ACD △中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-， 所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m m m m ++-++-===-+++++++ ()4433211m m ≥=-+⋅+ 当且仅当311m m +=+即31m =时，等号成立， 所以当AC AB取最小值时，31m =. 31.四、解答题18．（2023·全国·高三专题练习）设函数2()(2)3(0)f x ax b x a =+-+≠．(1)若不等式()0f x >的解集(1,1)-，求a ，b 的值；(2)若(1)3f =，0a >，0b >，求11a b +的最小值，并指出取最小值时a ，b 的值． 【答案】(1)3,2a b =-=(2)1a =，1b =时，11a b+的最小值是2 【解析】【分析】 （1）由根与系数的关系可得答案；（2）由(1)3f =得2a b +=，再利用基本不等式可得答案.(1)由()0f x >的解集是(1,1)-知1,1-是方程()0f x =的两根， 由根与系数的关系可得311211a b a ⎧-⨯=⎪⎪⎨-⎪-+=-⎪⎩解得32=-⎧⎨=⎩a b ， 即32a b =-=，.(2)由(1)3f =得2a b +=，0a >，0b >，11111()2a b a b a b ⎛⎫∴+=++ ⎪⎝⎭1222b a a b ⎛⎫≥⋅= ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当b a a b =，即1a =，1b =时取等号，11a b∴+的最小值是2．。
第7讲 基本不等式(知识点串讲)(解析版)
解得x＝1或3.又∵x>2，∴x＝3，即a等于3时，函数f(x)在x＝3处取得最小值．]
练习、(2019·山东济宁月考)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()
A． B．
C． D．
【答案】B[∵0<x<1，∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3 ＝ .当且仅当x＝1－x，即x＝ 时，“＝”成立．]
练习、(2019·广东梅州月考)设a，b，c均为正数，满足a－2b＋3c＝0，则 的最小值是________.
【答案】3[∵a－2b＋3c＝0，∴b＝ ，∴ ＝ ≥ ＝3，当且仅当a＝3c时取“＝”．]
【知识梳理】
6、用基本不等式求实际应用题的三个注意点
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(1)求S关于x的函数关系式；
(2)求S的最大值．
解(1)由题设，得S＝(x－8) ＝－2x－ ＋916，x∈(8，450)．
(2)因为8<x<450，
所以2x＋ ≥2 ＝240，
当且仅当x＝60时等号成立，从而S≤676.
故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m2.
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
【考点精炼】
考点四、基本不等式的实际应用
例4、(2019·山东聊城月考)某化工企业2018年年底将投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．
人教A版高中数学必修一 等式性质与不等式性质、基本不等式(知识精讲)(解析版)
等式性质与不等式性质、基本不等式知识精讲一知识结构图二.学法指导1.作差法比较两个实数大小的基本步骤：作差、变形、定号、结论。
2. 运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.3．利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.4.求含字母的数（或式子）的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除.5.运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2ab成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.三.知识点贯通知识点1 比较两数（式）的大小a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.例1.已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．【解析】 3x 3－(3x 2－x ＋1)＝(3x 3－3x 2)＋(x －1)＝3x 2(x －1)＋(x －1)＝(3x 2＋1)(x －1)．∵x ≤1得x －1≤0，而3x 2＋1＞0，∴(3x 2＋1)(x －1)≤0，∴3x 3≤3x 2－x ＋1.知识点二 利用不等式性质判断命题真假及不等式性质的应用1.不等式的基本性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a .(2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c .(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c .(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc .(5)加法法则：a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d .(6)乘法法则：a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd .(7)乘方法则：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n ＞0(n ∈N ，n ≥2)．例题2：对于实数a ，b ，c 下列命题中的真命题是( )A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若a ＞b ＞0，则1a ＞1bC ．若a ＜b ＜0，则b a ＞a bD ．若a ＞b ，1a ＞1b，则a ＞0，b ＜0 【答案】D【解析】 法一：∵c 2≥0，∴c ＝0时，有ac 2＝bc 2，故A 为假命题；由a ＞b ＞0，有ab ＞0⇒a ab ＞b ab ⇒1b ＞1a，故B 为假命题；⎭⎪⎬⎪⎫a ＜b ＜0⇒－a ＞－b ＞0⇒－1b ＞－1a ＞0a ＜b ＜0⇒－a ＞－b ＞0⇒a b ＞b a ，故C 为假命题； ⎭⎪⎬⎪⎫a ＞b ⇒b －a ＜01a ＞1b ⇒1a －1b ＞0⇒b －a ab ＞0ab ＜0.∵a ＞b ，∴a ＞0且b ＜0，故D 为真命题． 法二：特殊值排除法．取c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 错．取a ＝2，b ＝1，则1a ＝12，1b ＝1.有1a ＜1b，故B 错． 取a ＝－2，b ＝－1，则b a ＝12，a b ＝2，有b a ＜a b，故C 错． 例题3.已知1＜a ＜4,2＜b ＜8，试求a －b 与a b的取值范围． 【解析】 因为1＜a ＜4,2＜b ＜8，所以－8＜－b ＜－2.所以1－8＜a －b ＜4－2，即－7＜a －b ＜2.又因为18＜1b ＜12，所以18＜a b ＜42＝2，即18＜a b＜2. 知识点三 利用基本不等式比较大小1.重要不等式∀a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．2.基本不等式当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．例题4 . (1)已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是( )A ．a ＋b ≥2abB.b a ＋a b ≥2C.a 2＋b 2ab ≥2ab D.2ab a ＋b≥ab(2)已知a ，b ，c 是两两不等的实数，则p ＝a 2＋b 2＋c 2与q ＝ab ＋bc ＋ca 的大小关系是________．【答案】(1)D (2)a 2＋b 2＋c 2＞ab ＋bc ＋ac【解析】 (1)由a ＋b 2≥ab 得a ＋b ＝2ab ，∴A 成立； ∵b a ＋a b ≥2b a ·a b＝2，∴B 成立； ∵a 2＋b 2ab ≥2ab ab＝2ab ，∴C 成立； ∵2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，∴D 不一定成立． (2)∵a 、b 、c 互不相等，∴a 2＋b 2＞2ab ，b 2＋c 2>2ac ，a 2＋c 2>2ac .∴2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ac )．即a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac .]知识点四 利用基本不等式证明不等式1.当a ，b 是任意正实数时，ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 例题5．已知a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c>9. 【证明】∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2b a ·a b ＋2c a ·a c ＋2c b ·b c ＝3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴1a ＋1b ＋1c>9. 知识点五 利用基本不等式求最值1.已知x 、y 都是正数，(1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 24. (2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p .上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．例题6.(1)已知x >0，求函数y ＝x 2＋5x ＋4x的最小值； (2)已知0<x <12，求y ＝12x (1－2x )的最大值． 【解析】(1)∵y ＝x 2＋5x ＋4x ＝x ＋4x＋5≥24＋5＝9， 当且仅当x ＝4x即x ＝2时等号成立． 故y ＝x 2＋5x ＋4x(x >0)的最小值为9. (2)∵0<x <12， ∴1－2x >0， ∴y ＝14×2x (1－2x )≤14×⎝⎛⎭⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116.∴当且仅当2x ＝1－2x ⎝⎛⎭⎫0<x <12，即x ＝14时，y max ＝116. 五 易错点分析易错一 不等式的性质的应用例题7.判断对错。
浙江2020版高考数学第二章不等式专题突破一高考中的不等式问题讲义(含解析)
高考专题突破一 高考中的不等式问题题型一 含参数不等式的解法例1解关于x 的不等式x 2＋ax ＋1>0(a∈R )． 解 对于方程x 2＋ax ＋1＝0，Δ＝a 2－4.(1)当Δ>0，即a >2或a <－2时，方程x 2＋ax ＋1＝0有两个不等实根x 1＝－a －a 2－42，x 2＝－a ＋a 2－42，且x 1<x 2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－a －a 2－42或x >－a ＋a 2－42； (2)当Δ＝0，即a ＝±2时，①若a ＝2，则原不等式的解集为{x |x ≠－1}； ②若a ＝－2，则原不等式的解集为{x |x ≠1}；(3)当Δ<0，即－2<a <2时，方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根，结合二次函数y ＝x 2＋ax ＋1的图象，知此时原不等式的解集为R .思维升华解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项含有参数应讨论是否等于0，小于0，和大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)当方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．跟踪训练1 (1)若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是________． 答案 3解析 由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根． ∴－7×(－1)＝21a，故a ＝3.(2)若关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋m |>3的解集为R ，则实数m 的取值范围是__________． 答案 (－∞，－4)∪(2，＋∞)解析 依题意得，|x －1|＋|x ＋m |≥|(x －1)－(x ＋m )|＝|m ＋1|，即函数y ＝|x －1|＋|x ＋m |的最小值是|m ＋1|，于是有|m ＋1|>3，m ＋1<－3或m ＋1>3，由此解得m <－4或m >2.因此实数m 的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．题型二 线性规划问题例2(2018·浙江五校联考)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，x －y ≥－1，2x －y ≤4，且z ＝ax ＋y 的最大值为16，则实数a ＝________，z 的最小值为________． 答案 2 1解析 如图，作出不等式组所表示的可行域(△ABC 及其内部区域)．目标函数z ＝ax ＋y 对应直线ax ＋y －z ＝0的斜率k ＝－a .(1)当k ∈(－∞，1]，即－a ≤1，a ≥－1时，目标函数在点A 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝4，x －y ＝－1，解得A (5,6)，故z 的最大值为5a ＋6，即5a ＋6＝16，解得a ＝2.(2)当k ∈(1，＋∞)，即－a >1，a <－1时，目标函数在点C 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，x －y ＝－1，解得C (0,1)，故z 的最大值为0×a ＋1＝1，不符合题意． 综上，a ＝2.数形结合知，当直线z ＝2x ＋y 经过点C 时，z 取得最小值，z min ＝2×0＋1＝1. 思维升华1．利用线性规划求目标函数的基本步骤为一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义． 2．常见的目标函数有(1)截距型：如z ＝－2x ＋y ，z ＝2y4x ，z ＝OP →·OM →(其中M (x ，y )为区域内动点，P (－2,1))，等等．(2)距离型：如z ＝(x －2)2＋y 2，z ＝|2x －y |，等等．(3)斜率型：如z ＝y ＋1x ，z ＝x ＋y ＋1x ，z ＝x y ＋1，z ＝y ＋1x ＋x y ＋1＝x 2＋(y ＋1)2xy ＋x ，等等．(4)二次曲线型：如z ＝xy ，z ＝y 2x ，z ＝x 22＋y 2，等等．3．解题时要注意可行解是区域的所有点还是区域内的整点．跟踪训练2 (1)(2018·湖州五校模拟)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1>0，x ＋y －3<0，y >0，则z ＝2x－y 的取值范围为( ) A ．(－6，－1) B ．(－8，－2) C ．(－1,8) D ．(－2,6)答案 D解析 方法一 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示．作出直线y ＝2x ，平移直线，直线z ＝2x －y 在点B (－1,0)处的取最小值为－2，在点C (3,0)处的取最大值为6，所以z ＝2x －y 的取值范围为(－2,6)．方法二 三条直线两两联立求出的交点坐标分别是(1,2)，(－1,0)，(3,0)，分别代入z ＝2x －y 求值，得0，－2,6，所以z ＝2x －y 的取值范围为(－2,6)． (2)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ≥0，2x －y ≥0，x ≤5，则不等式组表示的平面区域的面积为________，z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2的最小值为________． 答案 30 95解析 作出⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ≥0，2x －y ≥0，x ≤5表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，则不等式组表示的平面区域的面积为12×5×2＋12×10×5＝30.z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2表示可行域内的点(x ，y )与点M (－1,1)之间的距离的平方，数形结合易知，z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2的最小值为点M (－1,1)到直线2x －y ＝0的距离的平方，即z min ＝|2×(－1)－1|2[22＋(－1)2]2＝95. 题型三 基本不等式的应用例3 (1)已知x 2＋4xy －3＝0，其中x >0，y ∈R ，则x ＋y 的最小值是( ) A.32B ．3C ．1D ．2 答案 A解析 由x 2＋4xy －3＝0，得y ＝3－x24x，即有x ＋y ＝x ＋3－x 24x ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x .∵x >0，∴x ＋1x ≥2，即x ＋y ≥32，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1，y ＝12时，x ＋y 取得最小值32.(2)已知a >0，b >0，c >1，且a ＋b ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1ab －2·c ＋2c －1的最小值为______．答案 4＋2 2解析 ∵a 2＋1ab ＝a 2＋(a ＋b )2ab ＝2a 2＋2ab ＋b 2ab＝2a b ＋ba＋2≥22a b ·ba＋2＝22＋2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a b ＝b a，a ＋b ＝1，即⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝2－2时等号成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1ab －2·c ＋2c －1≥22c ＋2c －1＝22(c －1)＋2c －1＋2 2≥222(c －1)·2c －1＋22＝4＋22， 当且仅当22(c －1)＝2c －1，即c ＝1＋22时，等号成立． 综上，所求最小值为4＋2 2. 思维升华利用基本不等式求最值的方法(1)利用基本不等式求最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要思路有两种：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．(2)有些题目虽然不具备直接应用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法．跟踪训练3 (1)已知xy ＝1，且0<y <22，则x 2＋4y2x －2y 的最小值为( )A ．4B.92C ．22D ．4 2答案 A解析 由xy ＝1且0<y <22，可知x >2， 所以x －2y >0.x 2＋4y 2x －2y ＝(x －2y )2＋4xy x －2y ＝x －2y ＋4x －2y≥4， 当且仅当x ＝3＋1，y ＝3－12时等号成立． (2)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 答案233解析 由x 2＋y 2＋xy ＝1，得1＝(x ＋y )2－xy ， ∴(x ＋y )2＝1＋xy ≤1＋(x ＋y )24，解得－233≤x ＋y ≤233(当且仅当x ＝y ＝33时取得最大值)，∴x ＋y 的最大值为233.题型四 绝对值不等式的应用例4 (1)(2018·浙江五校联考)已知a ∈R ，则“a ≤9”是“2|x －2|＋|5＋2x |<a 无解”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 2|x －2|＋|5＋2x |＝|2x －4|＋|5＋2x | ≥|2x －4－5－2x |＝9，若2|x －2|＋|5＋2x |<a 无解，则a ≤9，同样若a ≤9，则2|x －2|＋|5＋2x |<a 无解， 所以“a ≤9”是“2|x －2|＋|5＋2x |<a 无解”的充要条件．(2)(2019·温州模拟)已知a ，b ，c ∈R ，若|a cos 2x ＋b sin x ＋c |≤1对x ∈R 恒成立，则|a sin x ＋b |的最大值为________． 答案 2解析 |a cos 2x ＋b sin x ＋c |≤1， 即|a sin 2x －b sin x －(a ＋c )|≤1，分别取sin x ＝1，－1,0，可知⎩⎪⎨⎪⎧|b ＋c |≤1，|b －c |≤1，|a ＋c |≤1，所以|a ＋b |＝|(a ＋c )＋(b －c )|≤|a ＋c |＋|b －c |≤2， 且|a －b |＝|(a ＋c )－(b ＋c )|≤|a ＋c |＋|b ＋c |≤2.所以max{|a sin x ＋b |}＝max{|a ＋b |，|a －b |}≤2，当a ＝2，b ＝0，c ＝－1时，取等号． 思维升华(1)解绝对值不等式可以利用绝对值的几何意义，零点分段法、平方法、构造函数法等．(2)利用绝对值三角不等式可以证明不等式或求最值．跟踪训练4 (1)已知函数f (x )＝|x －5|＋|x ＋3|＋|x －3|＋|x ＋5|－c ，若存在正实数m ，使f (m )＝0，则不等式f (x )<f (m )的解集是________．答案 (－m ，m )解析 由|－x －5|＋|－x ＋3|＋|－x －3|＋|－x ＋5|＝|x －5|＋|x ＋3|＋|x －3|＋|x ＋5|可知，函数f (x )为偶函数，当－3≤x ≤3时，f (x )取最小值16－c .结合题意可得c ≥16.由f (m )＝0得f (x )<0，即|x －5|＋|x ＋3|＋|x －3|＋|x ＋5|－c <0，结合图象(图略)可知，解集为(－m ，m )．(2)不等式|x －2|＋|x ＋1|≥a 对于任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为__________． 答案 (－∞，3]解析 当x ∈(－∞，－1]时，|x －2|＋|x ＋1|＝2－x －x －1＝1－2x ≥3；当x ∈(－1,2)时，|x －2|＋|x ＋1|＝2－x ＋x ＋1＝3； 当x ∈[2，＋∞)时，|x －2|＋|x ＋1|＝x －2＋x ＋1＝2x －1≥3，综上可得|x －2|＋|x ＋1|≥3，∴a ≤3.1．(2018·宁波期末)若a ，b ∈R ，且a <b <0，则下列不等式成立的是( ) A ．2a －b>1B.1a －1>1b －1C ．a 3>b 3D ．a ＋|b |>0答案 B解析 由a <b <0得a －1<b －1<0，则(a －1)(b －1)>0，所以(a －1)·1(a －1)(b －1)<(b －1)·1(a －1)(b －1)，即1a －1>1b －1，故选B.2．(2018·浙江绍兴一中期末)若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －a |<5有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－7,7) B ．(－3,3) C ．(－7,3) D ．∅答案 C解析 不等式|x ＋2|＋|x －a |<5有解，等价于(|x ＋2|＋|x －a |)min <5，又因为|x ＋2|＋|x －a |≥|(x ＋2)－(x －a )|＝|2＋a |，所以|2＋a |<5，－5<2＋a <5，解得－7<a <3，即实数a 的取值范围为(－7,3)，故选C.3．设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1≤0，3x －y ＋1≥0，3x ＋y －1≤0，x ，y ∈R，则M 表示的平面区域的面积是( )A.2B.32C.322D ．2答案 B解析 由题意，M 表示的平面区域是以A (0,1)，B (－1，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12为顶点的三角形及其内部，如图中阴影部分所示(含边界)，所以其面积为12×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1＝32.4．(2018·杭州质检)若正数x ，y 满足2x ＋y －3＝0，则2x ＋1y的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 B解析 由2x ＋y －3＝0，得2x ＋y ＝3， 所以2x ＋1y ＝13(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2x y ＋2y x≥13⎝⎛⎭⎪⎫5＋2 2x y·2y x ＝3，当且仅当2x y ＝2y x，即x ＝y ＝1时等号成立，故选B.5．(2018·金华十校调研)设x ，y ∈R ，下列不等式成立的是( ) A ．1＋|x ＋y |＋|xy |≥|x |＋|y | B ．1＋2|x ＋y |≥|x |＋|y | C ．1＋2|xy |≥|x |＋|y | D ．|x ＋y |＋2|xy |≥|x |＋|y |答案 A解析 对于选项B ，令x ＝100，y ＝－100，不成立；对于选项C ，令x ＝100，y ＝1100，不成立；对于选项D ，令x ＝13，y ＝－12，不成立，故选A.6．(2018·杭州学军中学模拟)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋m ≤0，y －m ≥0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0>3，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(－1，＋∞) D ．(－∞，－1)答案 D解析 作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示(包含边界)，当目标函数z ＝x －2y 经过直线x ＋m ＝0与y －m ＝0的交点时取得最大值，即z max ＝－m －2m ＝－3m ，则根据题意有－3m >3，即m <－1，故选D.7．(2018·浙江舟山中学月考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( ) A ．5B ．4C.5D ．2 答案 B解析 画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分(包含边界)所示，可知当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点A (2,1)时取得最小值，所以有2a ＋b ＝2 5.因为a 2＋b 2表示原点(0,0)到点(a ，b )的距离的平方，所以a 2＋b 2的最小值为原点到直线2a ＋b －25＝0的距离，即(a 2＋b 2)min ＝|－25|22＋12＝2，所以a 2＋b 2的最小值是4，故选B.8．(2018·嘉兴教学测试)若直线ax ＋by ＝1与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，2x －y －1≤0，2x ＋y ＋1≥0表示的平面区域无公共点，则2a ＋3b 的取值范围是( ) A ．(－7,1) B ．(－3,5) C ．(－7,3) D ．R答案 C解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，2x －y －1≤0，2x ＋y ＋1≥0表示的平面区域是以A (1,1)，B (－1,1)，C (0，－1)为顶点的三角形区域(包含边界)；因为直线ax ＋by ＝1与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，2x －y －1≤0，2x ＋y ＋1≥0表示的平面区域无公共点，所以a ，b满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －1>0，－a ＋b －1>0，－b －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －1<0，－a ＋b －1<0，－b －1<0，故点(a ，b )在如图所示的三角形区域(除边界且除原点)内，所以2a＋3b 的取值范围为(－7,3)，故选C.9．(2019·诸暨期末)不等式－x 2＋2x ＋3<0的解集为________；不等式|3－2x |<1的解集为________．答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞) (1,2)解析 依题意，不等式－x 2＋2x ＋3<0，即x 2－2x －3>0，解得x <－1或x >3，因此不等式－x 2＋2x ＋3<0的解集是(－∞，－1)∪(3，＋∞)；由|3－2x |<1得－1<3－2x <1,1<x <2，所以不等式|3－2x |<1的解集是(1,2)．10．(2018·宁波期末)关于实数x 的不等式x 2－4x >1a＋3在[0,5]上有解，则实数a 的取值范围为______________．答案 (－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 由x 2－4x >1a ＋3得x 2－4x －3>1a ，则问题等价于1a小于x 2－4x －3在[0,5]上的最大值，又因为x 2－4x －3＝(x －2)2－7，所以当x ＝5时，x 2－4x －3取得最大值2，所以1a<2，解得a <0或a >12，所以a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.11．(2018·嘉兴测试)已知f (x )＝x －2，g (x )＝2x －5，则不等式|f (x )|＋|g (x )|≤2的解集为______________；|f (2x )|＋|g (x )|的最小值为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3 3 解析 由题意得|f (x )|＋|g (x )|＝|x －2|＋|2x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧7－3x ，x <2，－x ＋3，2≤x ≤52，3x －7，x >52，所以|f (x )|＋|g (x )|≤2等价于⎩⎪⎨⎪⎧7－3x ≤2，x <2或⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3≤2，2≤x ≤52或⎩⎪⎨⎪⎧3x －7≤2，x >52，解得53≤x ≤3，|f (2x )|＋|g (x )|＝|2x －2|＋|2x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧7－4x ，x <1，3，1≤x ≤52，4x －7，x >52，|f (2x )|＋|g (x )|的图象如图，则由图象易得|f (2x )|＋|g (x )|的最小值为3.12．(2018·浙江镇海中学模拟)已知正数x ，y 满足1x ＋2y ＝1，则1x ＋1＋2y ＋1的最大值是________． 答案 34解析 设u ＝1x ，v ＝1y ，则问题转化为“已知正数u ，v 满足u ＋2v ＝1，求u u ＋1＋2vv ＋1的最大值”．uu ＋1＋2v v ＋1＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1u ＋1＋2v ＋1＝3－⎝⎛⎭⎪⎫1u ＋1＋2v ＋1·14[(u ＋1)＋2(v ＋1)]＝3－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋2(v ＋1)u ＋1＋2(u ＋1)v ＋1≤3－14(5＋4)＝34. 当且仅当2(v ＋1)u ＋1＝2(u ＋1)v ＋1，即u ＝v ＝13时，取等号．13．(2018·浙江金华十校联考)已知实数x ，y ，z 满足⎩⎪⎨⎪⎧xy ＋2z ＝1，x 2＋y 2＋z 2＝5，则xyz 的最小值为________． 答案 911－32 解析 将⎩⎪⎨⎪⎧xy ＋2z ＝1，x 2＋y 2＋z 2＝5变形为⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1－2z ，x 2＋y 2＝5－z 2，由|xy |≤x 2＋y 22知，|1－2z |≤5－z22，即－5－z 22≤1－2z ≤5－z 22，解得2－7≤z ≤11－2.所以xyz ＝(1－2z )z ＝－2z 2＋z 在[2－7，11－2]上的最小值为911－32.14．(2018·宁波模拟)若6x 2＋4y 2＋6xy ＝1，x ，y ∈R ，则x 2－y 2的最大值为________． 答案 15解析 方法一 设m ＝x ＋y ，n ＝x －y ，则问题转化为“已知4m 2＋mn ＋n 2＝1，求mn 的最大值”．由基本不等式，知1＝mn ＋4m 2＋n 2≥mn ＋4|mn |，所以－13≤mn ≤15，当且仅当n ＝2m ，即x ＝－3y 时，取得最大值15.方法二 (齐次化处理)显然要使得目标函数取到最大值，x ≠0.令z ＝x 2－y 2＝x 2－y 26x 2＋4y 2＋6xy＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫y x26＋4·⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＋6·y x ，设t ＝y x ，则z ＝1－t 26＋4t 2＋6t，则(4z ＋1)t 2＋6zt ＋6z －1＝0对t ∈R 有解．当z＝－14时，t ＝－53.当z ≠－14时，Δ＝36z 2－4(4z ＋1)(6z －1)≥0，解得－13≤z ≤15.当t ＝－3z 4z ＋1＝－13时取最大值．方法三 1＝6x 2＋4y 2＋6×x3×3y ≥6x 2＋4y 2－6×x 23＋3y 22＝5x 2－5y 2，所以x 2－y 2≤15，当且仅当x ＝－3y 时取等号．15．(2019·浙江嘉兴一中模拟)已知点P 是平面区域M ：⎩⎨⎧x≥0，y ≥0，3x ＋y －3≤0内的任意一点，则P 到平面区域M 的边界的距离之和的取值范围为________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 解析 设平面区域M ：⎩⎨⎧x ≥0，y≥0，3x ＋y －3≤0为△ABO 区域(包含边界)，由题意，|AO |＝1，|BO |＝3，|AB |＝2，P 到平面区域M 的边界的距离之和d 就是P 到△ABO 三边的距离之和，设P 到边界AO ，BO ，AB 的距离分别为a ，b ，c ，则P (b ，a )，由题意0≤a ≤3，0≤b ≤1,0≤c ＝12(3－a －3b )≤32，所以d ＝a ＋b ＋c ＝12[a ＋(2－3)b ＋3]，从而d ≥32，当a ＝b ＝0时取等号．如图，P 为可行域内任意一点，过P 作PE ⊥x 轴，PF ⊥y 轴，PP ′⊥AB ，过P ′作P ′E ′⊥x 轴，P ′F ′⊥y 轴，则有PE ＋PF ＋PP ′≤P ′F ′＋P ′E ′，由P (b ，a )， 可得P ′⎝⎛⎭⎪⎫3＋b －3a4，3＋3a －3b 4，所以d ＝a ＋b ＋c ≤3＋b －3a 4＋3＋3a －3b 4＝3＋3＋(3－1)(3a －b )4，又0≤a ≤3，0≤b ≤1，则d ≤3，当a ＝3，b ＝0时取等号，因此d 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3. 16．(2018·浙江“七彩阳光”新高考研究联盟联考)若正数a ，b ，c 满足b ＋c a ＋a ＋c b ＝a ＋bc＋1，则a ＋bc的最小值是________． 答案1＋172解析 由a ，b ，c 为正数，且b ＋c a ＋a ＋c b ＝a ＋b c ＋1得b c ＋1a c ＋a c ＋1b c ＝a c ＋b c ＋1，设m ＝a c ，n ＝bc，则有m >0，n >0，上式转化为n ＋1m ＋m ＋1n ＝m ＋n ＋1，即m 2＋n 2＋m ＋nmn＝m ＋n ＋1，又由基本不等式得m 2＋n 2≥(m ＋n )22，mn ≤(m ＋n )24，所以m ＋n ＋1＝m 2＋n 2＋m ＋n mn ≥(m ＋n )22＋m ＋n (m ＋n )24，令t ＝m ＋n ，则t >0，上式转化为t ＋1≥t 22＋tt 24，即t 2－t －4≥0，解得t ≥1＋172，所以t ＝m ＋n ＝a c ＋bc ＝a ＋b c 的最小值为1＋172.。
3.2基本不等式与最大(小)值 (2)
3. 消元与整体代换的应用
4.在连续使用不等式时要注意等号条件的一致性
练习：
-8-
(1).已知向量AB (1, x 2),CD (2, 6 y),其中x 0, y 0，且AB / /CD,
则 3 1 的最小值等于(
)
xy
A、4B、6C、8D、12(2).已知x, y都是非负实数，且x y 2,则
即(t y6)(t1x1y8) 0,又y t x0,t 6
2
探究：3x当xx34y的y3,最y1小(1值时2 为，46x9)3y的5，最其小最值小为值6 为5. 5
如何应用基本不等式求含有等式条件的最值?
课堂小结
-7-
1. 不含等式条件的最值的常见方法.
2. 含等式条件的最值的常见方法.
当3x9且x3仅(4yx当y3x91y15)33(yyy1yx时y3等3xy)13号(3x1x成132立y4y.y)133((1x152(y33)yyx)62,429 11122xyy)3(1 y) 6 6
当又设且t 仅3xx当 1312y2y0,2则3(1t32xy11)，22ty即1y0182,1当, x0且, 仅3时当等x号 1成, y立 1 时等号成立
考向2 求含有等式条件的最值
例2、(1).若正数x, y满足x 3y 5xy,则3x 4 y的最小值是
(2).(2017江西南昌模拟)已知x 0, y 0,且x 3y xy 9, 则x 3y的最小值为
解析：(12))..(方x法 0二一, y)由已0x，知且0得,xyx30y9，x35yx3yy, x1y09,3,y50，0 y 3, 1 y y x
2 会用基本不等式解决简单的最大 小 值问题.
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基本不等式求最值的常用方法一、常数代换法1、直接“1”代换例1. 已知正数x 、y 满足12=+y x ，求yx 11+的最小值. 解析：223221)11)(2(+≥+++=++yxx y y x y x当且仅当yxx y =2 即12-=x ，222-=y 时取“=” 变式. 已知正数x 、y 满足32=+y x ，求yx 11+的最小值. 解析：3221)223(31)221(31)11)(2(31+=+≥+++=++y x x y y x y x当且仅当y x x y =2 即)12(3-=x ，2)22(3-=y 时取“=”2、间接“1”代换例1. 若x 、y 为正实数且082=-+xy y x ，求y x +的最小值.解析：082=-+xy xy y x 即182=+x y ，188********)82)((=⨯+≥+++=++xyy x x y y x当且仅当xyy x 82= 即12=x ，6=y 时取“=”例2.若正数x 、y 满足xy y x 53=+，求y x 43+的最小值.解析：553==+xy xy xy y x 即531=+xy5)123213(51)12349(51)31)(43(51=⨯+≥+++=++x y y x x y y x当且仅当x y y x 123=即1=x ，21=y 时取“=” 例3.已知x 、y 均为正数，且111=+y x ，求1914-+-y yx x 的最小值. 解析：25362139413)11)(94(1914119114=+≥++=++=+=-+-y x x y y x x y xy yx当且仅当y x x y 94= 即35=x ，25=y 时取“=”例4. 已知函数x a y -=1的图像恒过定点A ,若点A 在直线1=+ny mx （0,0>>n m ）上，求nm 11+的最小值. 解析：由题意可得A 的坐标为（1,1） 则有1=+n m41222))(11(11=+≥++=++=+nmm n n m n m n m当且仅当n m m n = 即21==n m 时取“=”例5. 已知函数xm y log 1+= （0>m 且1≠m ）的图像恒过点M ，若直线1=+bya x （0,0>>b a ）经过点M ，则b a +的最小值是多少？解析：由题意得M （1,1） 则111=+ba 41222))(11(=+≥++=++=+b aa b b a b a b a当且仅当baa b = 即2==b a 时取“=”3.部分“1”代换例. 若正数x 、y 满足1=+y x ，求yx y 4+的最小值.解析：844244)(44=+≥++=++=+yx x y y x y x y y x y 当且仅当y x x y 4= 即31=x ，32=y 时取“=”二、双换元法1.有两项分母较长例1. 已知正数x 、y 满足1=+y x ，求1124+++y x 的最小值. 解析：令2+=x m ，1+=y n 则412=+=+++n m y x49)425(41)414(41)14)((411124=+≥+++=++=+++n m m n n m n m y x 当且仅当n m m n =4 即31=y ，32=x 时取“=”变式1. 若0,0>>b a ，且11121=+++b b a ，则b a 2+的最小值为多少？ 解析：令b a m +=2， 1+=b n 可得21+-=n m a ，1-=n b ，111=+nm23)232)(11(2323222212-++=-+=-++-=+n m n m n m n n m b a321232122123221+=⨯+≥++=m n n m 当且仅当nmm n 223=即n m 3=，213+-=b b a 时取“=”变式2. 已知0>>y x ，且2≤+y x ，求yx y x -++132的最小值. 解析：令⎩⎨⎧=-=+n y x m y x 3 可得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=443n m y m n x 由0>>y x 得443n m m n ->+ 即0>>n m ∴22422443≤+=+=-++=+n m n m n m n m y x得4≤+n m )0(>>n m ∴nm y x y x 12132+=-++ ∴223212))(12(+≥+++=++nmm n n m n m ∴n m n m ++≥+223124≤+n m ∴422322312+≥++≥+n m n m 当且仅当nmm n =2 即n m 2= 即248-=m ，424-=n 时取“=”2.有一项分母较长例. 已知y x 、为正实数，求yx xx y ++216的最小值. 解析：令⎩⎨⎧=+=n y x m x 2 可得⎩⎨⎧-==m n y mx 2∴62162216162216=-≥-+=+-=++nm m n n m m m n y x x x y 当且仅当nmm n 16=即m n 4= 即x y 2=时取“=”三、主元思想法：当要求的元素在条件里出现的时候例1. 已知0>x ，0>y ，y x xy 2+=，若2-≥m xy 恒成立，求实数m 的最大值.解析：xy y x y x xy 22222=⋅≥+= 两边平方得xy xy 8)(2≥，8≥xy2-≥m xy 恒成立 即82≤-m ∴10≤m （本题将xy 作为主元） 当且仅当y x 2=即4=x ，2=y 时取“=”例2. 若正实数y x 、满足xy y x =++62，则xy 的最小值是多少？解析： 62262262+⋅=+⋅≥++=xy y x y x xy 令0>=xy t可得6222+≥t t 解得2-≤t （舍去） 23≥t 18≥∴xy 得xy 的最小值是18 当且仅当x y 2=即3=x ，6=y 时取“=”例3. 已知0>x ，0>y ，822=++xy y x ，求y x 2+的最小值.解析：822=++xy y x 4)2(222y x y x xy +≤⋅=由上面两式得4)2()2(822y x y x xy +≤+-= 令02>=+t y x得482t t ≤- 解得4≥t 即y x 2+的最小值为4当且仅当x y 2=即3=x ，6=y 时取“=”例4.已知y x 、均为正数，且1)(=+-y x xy ，求y x +的范围解析：4)(1)(2y x y x xy +≤++=，令0>=+t y x ，可得412t t ≤+解得222222+≤≤-t 0>t ∴2220+≤+<y x 当且仅当x y =即21+==y x ，时取“=”例5.已知0>x ，0>y ，且12)1)(3(=++y x ，求y x 3+的最小值.解析：1233)1)(3(=+++=++x y xy y x ，即93=++y x xy4)3(31)3(93312y x y x y x xy +⋅≤+-=⋅⋅= ，令03>=+t y x得1292t t ≤- 解得6≥t 即y x 3+的最小值为6当且仅当x y =3即3=x ，1=y 时取“=”四、拼凑法1.项数拼凑例1.求函数222163x x y ++=的最小值. 解析：63816326216)2(322-=⨯≥-+++=x x y当且仅当216)2(322+=+x x 即3634-=x ，时取“=”变式1. 求函数2162++=x x y 在),2(+∞-∈x 上的最小值. 解析：428416224216)2(2-=-⨯≥-+++=x x y当且仅当216)2(2+=+x x 即222-=x ，时取“=”变式2. 已知关于x 的不等式722≥-+ax x 在),(+∞∈a x 上恒成立，求a 的最小值.解析：a a a a x a x 2424222)(2+=+≥+-+-，∴只需724≥+a 即可，23≥a例2. 求函数1216++=x x y （),21(+∞-∈x ）的最小值.解析：21242182211216212-=-≥-+++=x x y当且仅当1216212+=+x x 即2124-=x ，时取“=”变式. 已知0>x ，a 为大于x 2的常数，求x xa y --=21的最小值.解析：22221222221aa a x a x a y -=-≥--+-=当且仅当xa x a 2122-=-即22-=a x ，时取“=”2.系数拼凑例1. 当210<<x 时，求)21(21x x y -=的最大值. 解析：1614)212(41)21(241)21(212=-+⋅≤-⋅⋅=-=x x x x x x y当且仅当x x 212-=即41=x ，时取“=”例2. 已知0>a ，0>b ，且3222=+b a ，求212b a +的最大值.解析：224)12(2)1(22)1(41222222222=++⋅≤+⋅=+=+b a b a b a b a 当且仅当2212b a +=即1=a ，1=b 时取“=”五、分子分母不齐次1.低次换元法例1. 求313)(2-+-=x x x x f )3(>x 的最小值.解析：令3-=x t ，则3+=t x则 531231131)3(3)3()(22=+≥++=++=++-+=t t t t t t t t t f当且仅当tt 1=即1=t ，4=x 时取“=”例2.求2122+++=x x x y )2(->x 的值域.解析：令2+=x t ，则2-=t x 0211)2(2)2(2≥-+=+-+-=∴tt t t t y当且仅当tt 1=即1=t ，1-=x 时取“=”2.分子常数法例1. 求函数4342+=x x y 的最大值.解析：4342343432242=≤+=+=x x x x y （将分子化成常数）当且仅当224xx =即22=x 时取“=”例2.若对任意0>x ，a x x x≤++132恒成立，则a 的取值范围是多少？解析：513121311132=+≤++=++x x x x x 51≥∴a当且仅当xx 1=即1=x 时取“=”六、两元消参法例1. 若x ，),0(+∞∈y ，302=++xy y x ，求y x +的最小值. 解析：30)2(2=++=++y x x xy y x 2321232)2(230++-=+-+-=+-=∴x x x x x y 则328323221232-≥-+++=-++=+x x x x y x 当且仅当2322+=+x x 即224-=x 时取“=”例2. 已知41=ab ，a ，)1,0(∈b ，则b a -+-1211的最小值是多少？ 解析：41=ab )1,0(∈a )1,0(41∈=∴a b ，),1(4+∞∈a ，则 ),41(+∞∈a)1,41(∈∴a 142281114811411211-+-+-=-+-=-+-a a a a a a a a 214211142)14(211+-+-=-+-+-=a a a a a令)43,0(1∈-=a m )3,0(14∈-=a n 则34=+n m 原式可化为：2)824(312)4)(21(31221++++=+++=++nmm n n m n m n m324482314)8(314+=⨯+≥++=n m m n 当且仅当nmm n 8=即m n 22=，4)22(3-=m ，323-=n 时取“=”例3. 已知正实数b a 、满足042≤+-b a ，则ba ba u ++=32的最小值为多少？解析：由042≤+-b a 得42+≥a b141343333322++-=++-≥+-=+-+=++=aa a a ab a a b a a b a b a b a u 51414213=+-≥ 当且仅当2=a 即时取“=”例4. 若正数x ，y 满足0162=-+xy x ，则y x 2+的最小值是多少？解析：由0162=-+xy x 得 661612xx x x y -=-=32292231323312=≥+=-+=+x x x x x y x 当且仅当xx 3132=即22=x ，122=y 时取“=”例5. 已知0>>b a ，求)(12b a b a -+的最小值.解析：44)()(22a b a b b a b =-+≤- 442441)(122222=≥+=+≥-+∴aa a ab a b a 当且仅当224a a = 即2=a 时取“=”七、三元消参法（“相等”、“不相等”）1.“相等”关系例1. 正数a ，b ，c 满足)(4b a abc +=，求c b a ++的最值.解析：由)(4b a abc +=⇒ab ab b ac 44)(4+=+=842424444=+≥+++=+++=++b b a a a b b a c b a当且仅当a a 4= ，bb 4=即2=a ，2=b ，4=c 时取“=”例2. 设正实数x ，y ，z 满足04322=-+-z y xy x ，求zxy的最大值.解析：由04322=-+-z y xy x ⇒ 2243y xy x z +-=134213414322=-≤-+=+-=xy y x y xy x xy z xy 当且仅当xy y x 4=，即y x 2=时取“=”例3.设正实数x ，y ，z 满足 032=+-z y x ，求xzy 2的最小值.解析：由032=+-z y x ⇒ 23223zx z x y +=+=3234941223494)232(22=+⨯≥++=+=x z z x xz z x xz y 当且仅当 xzz x 494=，即z x 3=时取“=”例4.设正实数x ，y ，z 满足12=++z y x ，求zy y x y x ++++)(91的最小值. 解析：由 12=++z y x ⇒ y x z 21--=1191)(1)(91)(91-+++=+-+++=++++∴yx y x y x y x y x z y y x y x1119)11(+-++-+=yx yx 令t yx =-+11上式可写成 719219=+≥++t t 当且仅当 t t 1=，即21=+y x 时取“=”2.“不相等”关系例1.正数a 、b 、c 满足a c b ≥+，求ba cc b ++的最小值. 解析：由a c b ≥+ ⇒ c b a +≤ cb cc b b a c c b ++≥++∴2 令⎩⎨⎧=+=y c b x c 2 ⇒ ⎪⎩⎪⎨⎧-==2x y b x c 2122121221222-=-≥-+=+-≥++≥++∴y x x y y x x x y c b c c b b a c c b 当且仅当 y x x y =2，即c b 2)12(-=时取“=”例2.正数x ，y ，z 满足1222=++z y x ，求xyzz S 21+=的最小值. 解析：由题意，xy z y x 21222≥-=+ 即212z xy -≤ 44)1(1)1(1)1(12122=+-≥⋅-=⋅-+≥⋅+=z z z z z z z z xy z S 当且仅当 z z =-1，即21=z 时取“=” 例3.二次函数0)(2≥++=c bx ax x f （b a <）对任意x 恒成立，求ab c b a -++4的最小值. 解析：由题意得：0>a ，042≤-=∆ac b ⇒ a b c 42≥ 11444222-++=-⋅++≥-++ab a b a b a b a b b a a bc b a 令1-=a b t 则1+=t a b 上式33233331)1()1(22+≥++=++=++++=tt t t t t t t 当且仅当 t t 3=，即13+=ab 时取“=”八、不能直接用均值不等式（一负二定三不等）1.为负值时（负）例1.已知10<<x ，求xx y lg 4lg +=的最大值. 解析：10<<x ，0lg <∴x 4)42()lg (4)lg (-=-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=∴x x y 当且仅当 x x lg 4lg -=-，即1001=x 时取“=”例2.当23<x 时，求函数328-+=x x y 的最大值.解析：23<x ⇒ 032<-x 2523821223))32(8(2)32(328-=+⨯-≤+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+---=-+=x x x x y 当且仅当328232-=-x x ，即21-=x 时取“=”例3.已知45<x ，求函数54124-+-=x x y 的最大值. 解析：45<x ⇒054<-x 354154+-+-=x x y 3)54(1)54(+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+---=x x 1312=+-≤ 当且仅当 54154-=-x x ，即1=x 时取“=”2.取不到等号（不等）例. 求函数4522++=x x y （R x ∈）的最小值.解析：令242≥=+t x ⇒ 422-=t x则tt t t t t y 115422+=+=+-=，2≥t 取不到1 2=∴t 时y 最小 即25212=+≥y九、调几算平2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+例1.设a ，0>b ，5=+b a ，求31+++b a 的最大值.解析：223292)31(231==+++≤+++b a b a 即2331≤+++b a 当且仅当 31+=+b a ，即27=a ，23=b 时取“=”例2.已知x 、y 均为正数，且y x a y x +≤+恒成立，求a 的最小值.解析：由y x a y x +≤+ ⇒ y x yx a ++≥ y x y x y x +=+≤+2222 ⇒ y x y x +⋅≤+2可得2≤++y x yx 2≥∴a例3.设实数a ，x ，y 满足⎩⎨⎧-+=+-=+3212222a a y x a y x ，求a 的取值范围. 解析：2222y x y x +≤+ 当且仅当y x =时“=”成立 2322122-+≤-∴a a a 即232414422-+≤+-a a a a 得07822≤+-a a ⇒ 222222+≤≤-a 例4.设实数a ，b ，c 满足122≤≤+c b a ，求c b a ++的最大值.解析：2222b a b a +≤+ 2122222=⋅≤+≤+∴b a b a 1≤c 12+≤++∴c b a 当且仅当b a =时“=”成立十、柯西不等式：①222122212211y y x x y x y x +⋅+≤+②232221232221332211y y y x x x y x y x y x ++⋅++≤++ 例1.设a ，b ，m ，R n ∈，且522=+b a ，5=+nb ma ，求22n m +的最小值. 解析：22225b a n m nb ma +⋅+≤+= 522≥+∴n m例2.设a ，b ，),0(+∞∈c ，且1=++c b a ，求c b a ++的最大值.解析：3111111222=++⋅++≤⋅+⋅+⋅=++c b a c b a c b a例3.已知a ，b ，c 均为正数，若632=++c b a ，求222c b a ++的最小值. 解析：222222321326c b a c b a ++⋅++≤++= 718222≥++∴c b a十一、拆分法求最值例1.已知x ，y ，+∈R z ,求222z y x yz xy U +++=的最大值. 解析：22)(2212212212122222222=++=++≤++++=yz xy yz xy z y y x yz xy z y y x yz xy U 当且仅当y z x 22==时“=”成立变式 .已知x ，y ，+∈R z ,（1）求222zy x zx yz xy U ++++=的最大值 （2）求2222z y x yz xy U +++=的最大值解析：（1）)(21)222(21222222222z z y y x x zx yz xy z y x zxyz xy U +++++++=++++= 1)222(21=++++≤xz yz xy zxyz xy 当且仅当z y x ==时“=”成立（2）2554522545122222=++≤++++=yz xy yz xy z y y x yz xy U 当且仅当z y x ==5522时“=”成立例2.已知0>x ，求221xx +的最小值. 解析：23212232122213222=⋅⋅⋅≥++=+xx x x x x x x ，当且仅当1=x 时“=”成立十二、元素整体代换法：一般先分解因式，研究条件与问题关系，整体代换例1.若a ，b ，0>c ，且324)(-=+++bc c b a a ，求c b a ++2的最小值.解析:324))(()()()(-=++=+++=+++c a b a c b a b a a bc c b a a令⎩⎨⎧+=+=c a y b a x ⇒ 324-=xy 232324222-=-=≥+=++xy y x c b a当且仅当c b =时“=”成立例2.若a ，b ，0>c ，且124222=+++bc ac ab a ，求c b a ++的最小值.解析：12)2)(2()2(2)2(4222=++=+++=+++c a b a b a c b a a bc ac ab a令⎩⎨⎧+=+=c a y b a x 22 ⇒ 12=xy ， 3212222==≥+=++xy y x c b a 当且仅当c b =时“=”成立例3.已知c b a >>，N n ∈，且ca n cb b a -≥-+-11恒成立，求n 的最大值. 解析：令⎩⎨⎧-=-=c b y b a x ⇒y x c a +=-，由c a n c b b a -≥-+-11 得y x n y x +≥+11，即42))(11(≥++=++≤yx x y y x y x n 当且仅当b c a 2=+时“=”成立十三、不等式证明例1.已知c b a >>，求证ca cb b a ->-+-111. 证明：令m b a =-，nc b =- ⇒c a n m -=+ 12))(11(>++=++n m m n n m n m ，1))(11(>--+-∴c a cb b a ca cb b a ->-+-∴111得证例2.设a ，b ，+∈R c ，求证4)11)((≥++++cb ac b a . 证明：令m a =，n c b =+，)11)(()11)((nm n m c b a c b a ++=++++ 42≥++=n m m n 4)11)((≥++++∴cb ac b a 当且仅当c b a +=时“=”成立例3.已知a ，b ，+∈R c ，求证c b a ac c b b a ++≥++222. 证明：c b a c b a a ac c c b b b a 222222222222++=++≥+++++ 当且仅当c b a ==时“=”成立c b a ac c b b a ++≥++∴222 得证。