浙江师范大学《微分几何》(期末考试)试卷

浙江师范大学《微分几何》（期末考试）试卷

（2004-2005学年第一学期）

考试类别：考试使用学生：初阳学院数学专业02、03级

考试时间：150分钟出卷时间2004年12月21日

说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理.

一（10%）是非题（正确打√，错误打×）

1、等距变换一定是保角变换.

2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.

3、二阶微分方程总表示曲面上两族曲线.

4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.

5、坐标曲线网是正交网的充要条件是，这里是第一基本量.

二（33%）填空题

1、已知，，则①，②，

③，④，⑤.

2、已知曲面，，，则它的第一基本形式为⑥，第二基本形式

为⑦，高斯曲率⑧，平均曲率⑨，点处沿方向的法曲率⑩，点处的两个主曲率分别为 .

三（24%）计算题

1、求曲面的渐近曲线.

2、已知曲面的第一基本形式为，，求坐标曲线的测地曲率.

四（33%）综合题

1、设空间两条曲线和的曲率处处不为零，若曲线和可以建立一一

对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线和在对应点的切线夹固定角.

2、给出曲面上一条曲率线，设上每一点处的副法向量和曲面在该

点的法向量成定角. 求证是一条平面曲线.

3、问曲面上曲线的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲面

上的曲线是测地线吗？为什么？