广州大学近世代数2018(A卷)试卷及参考答案
广州大学2017-2018学年第一学期考试卷
近世代数 参考答案
警示：《广州大学授予学士学位工作细则》第五条：“考试作弊而被给予记过、留校察看或开除学籍处分并且被取消相应课程本次考试成绩的，不授予学士学位。”
一、简答题（每小题5分，共25分）
1．集合A 上的关系是怎么定义的？
答：设R 为直积A A ?的子集，则称R 为集合A 上的一个关系。对于任意的元素A b a ∈,，如果R b a ∈),(，则称a 与b 具有关系R ，否则称a 与b 不具有关系R 。 评分标准：考试要点有两个，一个是：关系是直积的子集，另一个是：两个元素有没有关系的含义。完整答出这两方面的含义给5分，其余情况酌情给分。
2．试问n 阶循环群有多少个生成元？
答：n 阶循环群有)(n ?个生成元，其中)(n ?为欧拉函数，定义为集合{1,2,…,n}中与n 互素的整数的个数。理由是：假定生成元为α，则α的阶为n ，群中每个元素都可写为i α，其中n i <≤0，元素i α为生成元当且仅当i α的阶为n ，而i α的阶等于),/(i n n ，因此i α为生成元当且仅当(n,i)=1，即i 与n 互素，故生成元的个数为)(n ?。
评分标准：考试要点有三个，(1) 生成元的阶为n ；(2) a k 的阶的计算方法；
(3) 欧拉函数。完整答出这三方面的含义给5分，其余情况酌情给分。
3．试说明什么是剩余类环？
答：假定R 为环，I 为R 的理想。考虑加法群，I 是R 的正规子群，R/I={a+I|a R ∈}。在集合R/I 中定义加法(a+I)+(b+I)=(a+b)+I, 定义乘法(a+I)(b+I)=ab+I ，则R/I 关于新定义的加法和乘法构成一个环，称为剩余类环。
评分标准：考试要点有三个，(1) 由理想构造剩余类环；(2) R/I 中元素的形式；(3) 如何定义运算。完整答出这三方面的含义给5分，其余情况酌情给分。
4．试解释什么是域的有限扩张。
答：假定E/F 为域扩张，则E 可以看做域F 上的向量空间，如果这个向量空间是有限维的，即存在一组基，基中的向量个数是有限的，则称域扩张E/F 为有限扩张。
评分标准：考试要点有两个，一个是：把域扩张看做向量空间，另一个是：向量空间的维数。完整答出这两方面的含义给5分，其余情况酌情给分。
5. 试说明什么是分裂域。
答：假定F 是域，f(x)是F[x]中的多项式，称域E 为多项式f(x)在域F 上的分裂域是指以下两个条件成立：(1) 在E[x]中，f(x)可以分解为一次因子之积
)())(()(21n x x x x f ααα---=
即f(x)的所有根都在E 中。(2) ),,,(21n F E ααα =。
评分标准：考试要点有两个，一个是：多项式可分解为一次因子之积，另一个是：由多项式的全部根生成。完整答出这两方面的含义给5分，其余情况酌情给分。
二、判断题（每小题2分，共10分）
1. 集合A 到B 上的任何两个映射都能合成 ( ? )
2. 任何两个群都可以构造群的直积 ( √ )
3. 两个子群的交集可能不是子群 ( ? )
4. 两个理想的并一定不是理想 ( ? )
5. E/K 是代数扩张，K/F 是代数扩张，则E/F 也是代数扩张 ( √ )
三、计算题（每题10分，共50分）
1. 令集合A={1,2,3,4,5}，试构造A 的上等价关系R ，使得商集A/R={{1,3,4}, {2,5}}。
解：定义关系R={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (1,3), (3,1), (1,4), (4,1), (3,4), (4,3), (2,5), (5,2)}。容易验证：(1) 自反性成立；(2) 对称性成立；(3) 传递性成立。因此R 是等价关系。计算等价类可知[1]={1,3,4}, [2]={2,5}，因此A/R={[1],[2]}={{1, 3, 4}, {2,5}}，满足要求。
评分标准：(1) 能正确写出R 中的元素可得7分。(2) 验证符合题目中的要求得3分。(3) 其余情况酌情给分。
2. 验证集合H={[0],[4],[8],[12],[16]}是加法群(Z 20,+)的正规子群，并计算
商群Z 20/H ，该商群中有几个元素？
解：(1) Z 20={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19}，关于加
法是交换群。交换群的任意子群都是正规子群，因此只需要验证H 是Z 20的子群
即可。注意到H 中的元素都是4的倍数，因此H 中的元素做模20的减法结果仍然为4的倍数，即结果仍然在H 中，因此H 为子群。
(2) Z 20关于H 的左陪集为:
[0]+H = {[0],[4],[8],[12],[16]}
[1]+H = {[1],[5],[9],[13],[17]}
[2]+H = {[2],[6],[10],[14],[18]}
[3]+H = {[3],[7],[11],[15],[19]}
因此商群为Z 20/H={[0]+H,[1]+H,[2]+H,[3]+H}，该商群中共有4个元素。
评分标准：(1) 写出Z 20中的元素得2分。(2) 证明H 是正规子群得4分。(3) 正确写出商群得4分，如果不完整则按上面的方式累加得分。(5) 其余情况酌情给分。
3. 试构造一个12阶非交换群。
解：令S 4为四元对称群，则S 4中有24个元素。其中所有的偶置换构成一个12阶群，称为交错群：A 4={(1), (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234),(243),
(12)(34), (13)(24), (14)(23)}。
由于(123)(124)=(13)(24), (124)(123)=(14)(23)，因此(123)(124)不等于(124)(123)，因此A 4是一个12阶非交换群。
评分标准：(1) 写出12个元素得3分，证明是群得3分。(2) 验证非交换性得3分。(3) 如果以上三条全部做出来，则得10分，如果不完整则按上面的方式累加得分。(4) 其余情况酌情给分。
4. 在高斯整数环Z[i]={a+bi|a,b ∈Z}中，试将11+13i 分解为不可约元之积。 解：对任意的][i Z bi a ∈+=α, 定义22)(b a +=α?，容易验证对任意的][,i Z ∈βα有)()()(β?α?αβ?=。
计算29522901311)1311(22??==+=+i ?。由于
i i i i i i i i -=-=-+-+=++122
224)1)(1()1)(1311(11311 因此11+13i=(1+i)(12-i)。又因为
i i i i i i i i 255
1025)2)(2()2)(12(212+=+=+-+-=-- 因此11+13i=(1+i)(2-1)(5+2i)。而2)1(=+i ?是素数，5)2(=-i ?是素数，29)25(=+i ?是素数，因此1+i, 2-i, 5+2i 均为不可约元。
评分标准：(1) 正确计算)1311(i +?得2分。(2) 每正确分解出一个不可约因子得2分。(3) 如果能说明它们是不可约的，得2分。(4) 其余情况酌情给分。
5. 试计算元素32+=α在有理数域Q 上的极小多项式。
解：令
()()()()()()
()()
()]
[1108112212232323
2323232)(2422
22222x Q x x x x x x x x x x x x x x x f ∈+-=--=-+--=??? ??-+??? ??--=++-++---= 可知0)(=αf 。由于多项式的唯一分解性，可知f(x)在Q[x]中没有一次或二次因子，因此f(x)是不可约多项式，从而为32+=α的极小多项式。
评分标准：(1) 如果能正确f(x)，并且说明不可约，得9分。(2) 如果只正确写出f(x)，可得8分。(3) 其余情况酌情给分。
四、证明题（每题5分，共15分）
1. 设B A f →:是映射。证明f 为单射当且仅当存在映射A B g →:，使得A j f g = ，其中A j 为集合A 上的恒等映射。
证明：一方面，如果f 是单射，先构造映射A B g →:，对任意的B y ∈，如果存在A x ∈使得)(x f y =，由于f 是单射，这样的x 是唯一的，定义x y g =)(。如果这样的x 不存在，任意固定一个A x ∈0，定义0)(x y g =。由上述的构造可知g 是从B 到A 的映射。对任意的A x ∈，令y=f(x)，由上面的构造可知g(y)=x ，从而
),()())(()(x j x y g x f g x f g A ==== 因此A j f g = 。
另一方面，为了证明f 是单射，对任意的A x x ∈21,，如果)()(21x f x f =，则有222111)())(())(()(x x j x f g x f g x j x A A =====，因此f 是单射，证毕。
评分标准：(1) 充分必要条件，需要证明两部分。如果证明这两部分，可得5分。(2) 如果只证明一部分得2分。(3) 如果能正确写出题目涉及的基本的定义可得2分。(4) 其余情况酌情给分。
2. 设G 是群，元素a 的阶为n ，e 为G 中的单位元，证明a k 的阶为)
,(k n n 。 证明：令),(k n d =, 1dn n =, 1dk k =，则1),(11=k n 。因此1)
,(n k n n =。为了方便，令a k 的阶为m 。一方面，e a a a n k dn k n k ===1111)(，因此1|n m 。另一方面，由dm k m k a a e 1)(==以及a 的阶为n 可知n|km ，可得m k n 11|。由1),(11=k n 可得m n |1，
从而1n m =，结论得证。
评分标准：(1) 这个题目的证明方法基本上是唯一的，能正确证明给5分。
(2) 如果只证明一部分得2分。(3) 如果能正确写出元素阶的的定义，可得2分。
(4) 其余情况酌情给分。
3. 如果{},...2,1|=i I i 是环R 的理想簇，并且 ????n I I I 21，令 ∞==1i i I
I ，
证明I 为环R 的理想。
证明：一方面，对任意的I b a ∈,，则存在整数m,n 使得m I a ∈, n I b ∈。不妨设n m ≤，由题设可知n m I I ?。因此有n m I I a ?∈，即n I b a ∈,。再由n I 是理想可知I I b a n ?∈-。
另一方面，对任意的R a ∈以及任意的I b ∈，则存在正整数m 使得m I b ∈。由m I 为理想可知I I ba ab m ?∈,。这就证明了I 是环R 的理想。
评分标准：(1) 根据理想的定义，要证明两部分。如果证明这两部分，可得5分。(2) 如果只证明一部分得2分。(3) 如果能正确写出理想的定义，可得2分。(4) 其余情况酌情给分。