高二数学上学期知识点

高二数学上学期知识点第一部分：三角恒等变换 1.

两角和与差正弦、余弦、正切公式：

±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ±

=±)cos(βαβαβαsin sin cos cos =±)(βαtg βαβ

αtg tg tg tg ?± 1 注意正用、逆用、变形用。例如：tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

2.二倍角公式：sin2α=ααcos sin 2?，cos2α=αα2

sin cos -=1cos 22

-α=α2

sin 21-

tan 2α=αα2tan 1tan 2-。3.升幂公式是：2cos 2cos 12αα=+ 2sin

2cos 12αα=-。

4．降幂公式是：

22cos 1sin 2αα-=

22c o s 1c o s 2α

α+=

。

5.万能公式：sin α=

2tan 12

tan

+ cos α=

2tan 12

tan 12

α+- tan α=

2tan 12

tan

6.三角函数恒等变形的基本策略：（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ

（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=

α+－

α-等。（3）降次与升次。

2s in

2cos 12α

α=-，2

2cos 2sin sin 1??? ??+=+αα

α，sin α ，cos α可凑倍角公式；2

2cos 2sin sin 1?

?? ??-=-αα

α等．（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。注意函数关

系，尽量异名化同名、异角化同角。（5）引入辅助角。asin θ+bcos θ=2

2b a +sin(θ+?)，?所在象限由a 、b 的符号

确定，?角的值由tan ?=a b

确定。

7．注意点：三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值．

第二部分：解三角形

1.边角关系的转化：（ⅰ）正弦定理：A a sin =B b sin =C c

sin =2R(R 为外接圆的半径);

注：（1）a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC;（2）a:b:c=sinA:sinB:sinC;(3) 三角形面积公式S=12absinC=12bcsinA=12acsinB;

（ⅱ）余弦定理：a 2=b 2+c 2

-2bc A cos ,bc a c b A 2cos 2

22-+=

2.应用：（1）判断三角形解的个数;（2）判断三角形的形状;(3)求三角形中的边或角；（4）求三角形面积S ；

注：三角形中 ①a>b ?A>B ?sinA>sinB ；②内角和为180?

；③两边之和大于第三边；④在△ABC 中有

-t an C B)+tan(A -cosC B)+cos(A sinC

=B)+sin(A ==，

2cos 2sin

C B A =+， 2s i n 2c o s C

B A =+ 在解三

角形中的应用。3.解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A 、B 、c ），由A+B+C = π求C ，由正弦定理

求a 、b ．（2）已知两边和夹角（如a 、b 、C ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角．（3）已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由A+B+C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况．（4）已知三边a 、b 、c ，应用余弦定理求A 、B ，再由A+B+C = π，求角C ．（5）术语:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基准方向为起点（一般为北方），依顺时针方式旋转至指示方向所在位置，其间所夹的角度称之。方位角α的取值范围是：0°≤α＜360。

第三部分：数列证明数列

{}n a 是等差（比）数列

（1）等差数列：①定义法：对于数列{}n a ，若d

a a n

n =-+1(常数)，则数列

{}n a 是等差数列。 ②等差中项法：对于数

列

{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。注：后两种方法仅适用于选择、填空：③n a pn q =+（形如

一次函数）④

2n S An Bn

=+（常数项为0的二次）

（2）等比数列：①定义法：对于数列{}n a ，若)

0(1

≠=+q q a a n n ，则数列{}n a 是等比数列。②等比中项法：对于数列{}n a ，

若

12++=n n n a a a )

0(≠n a ，则数列

{}n a 是等比数列

2.求数列通项公式

a 方法 (1)公式法：等差数列中an=a1+(n-1)d 等比数列中an= a1 qn-1; (0)q ≠

(2)

?≥-==→-)2(,)1(,11n S S n a a S n n n n （注意：验证a1是否包含在an 的公式中）（3）递推式为

n a ＋＝n a ＋f(n) (采用累加法)；

n a ＋＝n a ×f(n) (采用累积法)；例已知数列{}n a 满足11a =，

n n a a n n ++=--111

(2)n ≥，则n a =________

（答：1n a =）（4）构造法；形如

n n a pa q

=+，

n n a ka b -=+（,k b p,q 为常数且p ≠q ）的递推数列，可构造等比数列

{}n a x +，例 ①已知

111,32n n a a a -==+，求

a （答：

1231

n n a -=-）；（5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决：

an ＝（an －an-1）+(an-1－an-2)+……＋（a2－a1）＋a1 ； an ＝

2n 1n 1n n a a a a a a a －－－?

（6）倒数法形如

11n n n a a ka b --=

+的递推数列如①已知1111,31n n n a a a a --==+，求n a （答：132n a n =-）

；3.求数列前n 项

和n S . 常见方法：公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构.（1）公式法：等差数列中

Sn=d

n n na 2)1(1-+=2)

(1n a a n + ；等比数列中当q=1,Sn=na1 当q≠1,Sn=q q a n --1)1(1=q q a a n --11（注：讨论q 是否等于1）。（2）

分组法求数列的和：如an=2n+3n ；（3）错位相减法：

n n c b a ?=,

{}{}成等比数列成等差数列，n n c b ，如an=(2n-1)2n ；

（注1q ≠）

（4）倒序相加法求和：如①在等差数列

{}n a 中，前4项的和为40，最后4项的和为80，所有各项的和为720，则这个

数列的项数n=______；(答：48);②已知

()1x f x x =+，则111

(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++＝___（答：7

2）

（

）

裂

项

法

求

和

：

)

1(1))((1C

An B An B C C An B An a n +-+-=++=

，如求和：

1111122334

(1)n n ++++

???+=_________（答： 1n n +）

（6）在求含绝对值的数列前n 项和n

S 问题时,注意分类讨论及转化思想的应用，总结时写成分段数列。

S 的最值问题方法（1）在等差数列

{}n a 中,有关Sn 的最值问题——从项的角度求解：

①当01>a ,d<0时，满足

?≤≥+0

01m m a a 的项数m 使得

取最大值.

②当01>a ,d>0时，满足

?≥≤+0

01m m a a 的项数m 使得取最小值。

（2）转化成二次函数配方求最值（注：n 是正整数，若n 不是正整数，可观察其两侧的两个整数是否满足要求）。如①等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；②若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，200320040a a ?<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是___ （答：4006）

5.求数列{an}的最大、最小项的方法（函数思想）：

①an+1-an=……

???<=>000

如an= -2n2+29n-3 ②

???

??<=>=+1

1 n

n a a (an>0) ，如an=n n

n 10)1(9+ ③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性如an=1562

+n n

6.常用性质：（1）等差数列的性质：对于等差数列

{}n a ①．d