2018~2019学年常州市高三上学期期末考试数学

2019届高三模拟考试试卷(八)

数 学(满分160分，考试时间120分钟)

2019.1

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.

1. 已知集合A ＝{0，1}，B ＝{－1，1}，则A ∩B ＝ Ｗ.

2. 已知复数z 满足z (1＋i)＝1－i(i 是虚数单位)，则复数z ＝ Ｗ.

3. 已知5位裁判给某运动员打出的分数为9.1，9.3，x ，9.2，9.4，且这5个分数的平均数为9.3，则实数x ＝ Ｗ.

4. 一个算法的伪代码如右图所示，执行此算法，若输出y 的值为1，则输入的实数x 的值为 Ｗ.

Read x

If x ≥1 Then y ←x 2－2x －2 Else

y ←x ＋1x －1

End If Print y

(第4题)

5. 函数y ＝1－ln x 的定义域为 Ｗ.

6. 某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中选修2门课程，则该同学恰好选中1文1理的概率为 Ｗ.

7. 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，直线x ＋y ＋2＝0经过双曲线C 的

焦点，则双曲线C 的渐近线方程为 Ｗ.

(第8题)

8. 已知圆锥SO ，过SO 的中点P 作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO ，

圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱PO 的体积与圆锥SO 的体积的比值为 Ｗ.

9. 已知正数x ，y 满足x ＋y x ＝1，则1x ＋x

y

的最小值为 Ｗ.

10. 若直线kx －y －k ＝0与曲线y ＝e x (e 是自然对数的底数)相切，则实数k ＝

Ｗ.

11. 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ∈R )是偶函数，点(1，0)是函数y ＝f (x )图象的对称中心，则ω最小值为 Ｗ.

12. 已知平面内不共线的三点O ，A ，B ，满足|OA →|＝1，|OB →

|＝2，点C 为线段AB 的中点，∠AOB 的平分线交线段AB 于点D .若|OC →|＝32

，则|OD →

|＝ Ｗ.

13. 过原点的直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于P ，Q 两点，点A 是该圆与x 轴负半轴的交点，以AQ 为直径的圆与直线l 有异于Q 的交点N ，且直线AN 与直线AP 的斜率之积等于1，那么直线l 的方程为 Ｗ.

14. 若数列{a n }，{b n }满足b n ＝a n ＋1＋(－1)n a n (n ∈N *)，且数列{}b n 的前n 项和为n 2.已知数列{a n －n }的前2 018项和为1，则数列{a n }的首项a 1＝ Ｗ.

二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15. (本小题满分14分)

如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，点M ，N 分别是棱AB ，CC 1的中点.求证： (1) CM ∥平面AB 1N ；

(2) 平面A 1BN ⊥平面AA 1B 1B .

16. (本小题满分14分)

在△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，且b 2－23

3bc sin A ＋c 2＝a 2.

(1) 求角A 的大小；

(2) 若tan B tan C ＝3，且a ＝2，求△ABC 的周长.

在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在椭圆C 2：y 2a 2＋x 2

b 2＝1上，其中

a >

b >0，且点(

63，6

3

)是椭圆C 1，C 2位于第一象限的交点. (1) 求椭圆C 1，C 2的标准方程；

(2) 过y 轴上一点P 的直线l 与椭圆C 2相切，与椭圆C 1交于点A ，B ，已知P A →＝35PB →

，

求直线l 的斜率.

某公园要设计如图①所示的景观窗格(其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得，如图②所示的多边形ABCDEFGH )，整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横轴AF ＝BE ＝1.6 m ，两根竖轴CH ＝DG ＝1.2 m ，记景观窗格的外框(图②实线部分，轴和边框的粗细忽略不计)总长度为l m.

(1) 若∠ABC ＝2π

3，且两根横轴之间的距离为0.6 m ，求景观窗格的外框总长度；

(2) 由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过5 m ，当景观窗格的面积(多边形ABCDEFGH 的面积)最大时，给出此景观窗格的设计方案中∠ABC 的大小与BC 的长度.

已知数列{a n}中，a1＝1，且a n＋1＋3a n＋4＝0，n∈N*.

(1) 求证：{a n＋1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；

(2) 数列{a n}中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求满足条件的项；若不存在，请说明理由.

已知函数m(x)＝x2，函数n(x)＝a ln x＋1(a∈R).

(1) 若a＝2，求曲线y＝n(x)在点(1，n(1))处的切线方程；

(2) 若函数f(x)＝m(x)－n(x)有且只有一个零点，求实数a的取值范围；

(3) 若函数g(x)＝n(x)－1＋e x－e x≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围.(e是

自然对数的底数，e≈2.718 28…)

2019届高三模拟考试试卷(八)

数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分.若多做，则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

A. (选修42：矩阵与变换)

已知点(1，2)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦

⎥

⎤1x 2y 对应的变换作用下得到点(7，6).求：

(1) 矩阵A ；

(2) 矩阵A 的特征值及对应的特征向量.

B. (选修44：坐标系与参数方程)

在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.直线

l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋22t ，

y ＝12t

(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2

2sin(θ＋π

4

)，求直线

l 被曲线C 所截的弦长.

C. (选修45：不等式选讲)

已知a >0，b >0，求证：a ＋b ＋1≥ab ＋a ＋b .