三角形中的最值问题

三角形中的最值问题

题型一。求和的范围型

1.△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.已知a=2√3，A=π

3

．

(Ⅰ)当b=2时，求c；

(Ⅱ)求b+c的取值范围．

2.△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知(2a+b)sinA+(2b+a)sinB=2csinC．(Ⅰ)求C的大小；

(Ⅱ)若c=√3，求△ABC周长的最大值．

3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别似乎a，b，c，且a=2，2cos2B+C

2+sinA=4

5

．

(1)若b=5√3

3

，求角B；(2)求△ABC周长l的最大值．

题型二。求积的范围型

1.△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2bcosC =2a −√3c ．

(1)求∠B 的大小；

(2)若CA

⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，求△ABC 面积的最大值．

2..在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且

ac b 2−a 2−c 2=sinAcosA cos(A+C)．

(1)求角A ；

(2)若a =√2，求bc 的取值范围．

3.已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其中c =2b −2acosC ．

(1)求A ；

(2)当a =2时，求△ABC 面积的最大值．

4.在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2−a 2=bc

(1)求角A 的大小；

(2)若a =√3，求BC 边上的中线AM 的最大值．

题型三。求边长的范围型

1.△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a2+c2=b2+ac，

(1)求角B的大小；

(2)若A=5π

12

，b=2，求边c的大小；

(3)若a+c=4，求b的最小值．

2.已知△ABC的周长为√3+1，且sinB+sinC=√3sinA．

(1)求边BC的长；

(2)若△ABC的面积为1

3

sinA，求角A的度数．

3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2√3absinC=a2+b2−c2．

(1)求C；

(2)若asinB=bcosA，且a=2，求△ABC的面积．

数列复习

1.设数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，2S n=(n+1)a n．

(Ⅰ)求{a n}的通项公式；

(Ⅱ)设T n=1

2a1+1

3a2

+⋯+1

(n+1)a n

，求T n．

2.已知数列{a n}满足a1=6，a n+1=4−4

a n

(n为正整数)．

(Ⅰ)求证：数列{a n+2

a n−2

}为等差数列；

(Ⅱ)若b n=a n

(2n+1)2

，求数列{b n}的前n项和S n．