偏微分方程理论学习总结

偏微分方程理论学习总结

任

荣

珍

院系：理学院

班级：19 班

学号：2014081034

偏微分方程理论学习总结

偏微分方程这一门学科在我脑海中的印象不是很深，本科时学的是常微分方程，在课堂上听到老师提起过偏微分方程，因此，在研究生阶段选课时就选了这门课，以前不了解偏微分，再选了这门课之后对偏微分也算有一定的了解，接下来我想就我这学期学习了这门课做一个简单的总结。

下面就来介绍有关偏微分方程的发展简介：

谈到偏微分方程，我们就会想到本科时学的常微分方程，而偏微分方程的发展没有常微分方程的发展早，所以要谈偏微分方程就先来谈一下常微分方程。

十七世纪微积分创立之后，常微分方程理论立刻就发展起来，当时应用常微分方程解决几何与理学中的新问题，结果是在天体理学中不仅能得到并解释早已知晓的那些事实，而且得到了新的发现(例如，海王星的发现就是在对微分方程分析的基础上作出的)。

而偏微分方程的研究要晚的多，对物理学中出现的偏微分方程研究在十八世纪中叶导致了分析学的一个新的分支——数学物理方程的建立。

J.达朗贝尔(D ’Alembert)(1717-1783)、L.欧拉(Euler)(1707-1783)、D.伯努利 (Bernoulli)(1700-1782)、J.拉格朗日(Lagrange)(1736-1813)、P.拉普拉斯(Laplace) (1749-1827)、S.泊松(Poisson)(1781-1840)、J.傅里叶(Fourier)(1768-1830)等人的工作为这一学科分支奠定了基础，它们在考察具体的数学物理问题中，所提出的思想与方法，竟适用于众多类型的微分方程，成为十九世纪末偏微分方程一般理论发展的基础。

十九世纪，偏微分方程发展的序幕是由法国数学家傅里叶拉开的，他于1822年发表的《热的解析理论》是数学史上的经典文献之一。而十九世纪偏微分方程的另一个重要发现是围绕着位势方程来进行的，这方面的代表人物格林(G .Green)是一位磨坊工出身、自学成才的英国数学家，位势方程也称为拉普拉斯方程：

2222220V V V

V x y z

????=++=???

偏微分方程是储存自然信息的载体，自然现象的深层次性质可以通过数学手段从方程中推导出来，而本学期学习的偏微分方程理论的第一篇就介绍了线性椭圆形方程，椭圆形方程它的方法是先验估计加泛函分析手段，在线性椭圆形这一

块以6章来详细介绍线性椭圆形方程，在这一篇中讲到了很多内容和知识点，下面我就来介绍一些关于线性椭圆形方程的一些定理及应用

在第一章预备知识这一块主要学习了若干技巧和一些重要的不等式，若干技巧分单位分解定理、齐次化边界条件、振动方法等

单位分解定理：(设12,,...,k ΩΩΩ是开集组，K 是紧集，满足1

k

j j K ?=?

，则

存在函数0

()j j C ?+∞

∈Ω，使得0j ?≥，1

1k

j j ?=≤∑，且在K 的领域内1

1k

j j ?==∑)、；

接下来介绍一些重要的不等式： 一、基本不等式 (1) Cauchy 不等式

对任意的,0a b ≥，有

22

22

a b ab ≤+

(2) 带ε的Cauchy 不等式

对任意的,0a b >和0ε>，有

2

2

22a b ab εε

≤+

(3) Jensen 不等式

设:R R ?→是下凸的，则

11(())(())b b

a a

f t dt f t dt b a b a ??≤--?? 对有限区间[,]a b 及可积函数:[,]f a b R →均成立 (4) Youn

g 不等式

对任意,0a b ≥,1,p q <<∞，

11

1p q

+=，有 p q

a b ab p q

≤+

(5) 带ε的Young 不等式

对任意,0a b ≥和0ε>，1,p q <<∞，

11

1p q

+=，有 p

q p q

a b ab p

q

εε-≤

+

(6) Holder 不等式

p

p L

L uvdx u

v Ω

≤?

， 1,p q ≤≤∞，111p

q

+=

(7)一般的Holder 不等式

1

2

121

2

......p p p k

k k

L L L u u u dx u u u Ω

≤?

，

111...1k

p p ++= (7’) Minkowski 不等式

设1,p q ≤≤∞，,()p f g L ∈Ω，则()p f g L +∈Ω，使

()

()

()

p p p L L L f g

f

g

ΩΩΩ+≤+

(8) 几何与算术平均不等式

对任意12,,...,0k a a a ≥，有

11212...(...)k k k a a a a a a k

++≤

(9) p L 空间的内插不等式

1r

s

t

a a L L L u

u

u

-≤， s r t ≤≤，

11a a r s t

-=+ 二、内插不等式 (1) (Green 恒等式)

2

u

u udx u dx u

ds n

Ω

Ω

?Ω

??=-?+??

?? 记号

()

()()()()i i x x u x u x n x u x n x n

?=?=?为u 在点x 的外法向导数。 (2) (内插不等式)

设2p ≤<∞，u 是光滑函数，在?Ω上，0u =，则

2121

,1

()()()i i j p

s

n

n

r

p s x x x i i j u dx C u dx u dx Ω

Ω

Ω

==≤∑∑???

其中C 是仅依赖于p 的常数，且211p r s

=+ 三、Sobolev 不等式

设0():p L

n n u W R R R ∈→，则对1P n ≤<，有

111

()

()n n i n

p

p p p x R

R

i u

dx C u dx *

*

=≤∑??

其中C 仅依赖于p 及n

这些重要的不等式在以后的文章写作中也会用到，而且这是偏微分方程中最基本的知识。

偏微分方程理论与其他数学分支如泛函分析、函数论、拓扑学、代数、复分析的紧密联系，偏微分方程理论广泛应用数学这些领域中的基本概念、基础思想和基本方法，并且它本身也给这些学科分支的研究问题的范围与方向以影响，极值原理及其应用就是这种相互影响的经典范例，下面就来介绍一下弱极值原理及解的上下界估计、强极值原理、弱解的极值原理、极值原理等等

弱极值原理: 假设:u R Ω→是20()()C C ΩΩ函数，满足微分不等式

0i j i ij x x i x Lu a u bu cu ≡-++≤

in Ω 其中ij a 满足椭圆性假设条件，i b 及c 有界，且()0c x ≥ in Ω，则

sup max(0,sup )u u Ω

?Ω

≤

特别地，若0c ≡，则有sup sup u u Ω

?Ω

=

解的上下界模的估计：假设u 是方程

()()i j i ij x x i x a u bu

cu f in u on ?-++=Ω???

=?Ω??

的解，其中ij a 满足椭圆形假设条件，i b 及c 有界，且在Ω内()0c x ≥，则存在仅依赖于Ω及系数ij a ，i b ，c 的常数C ，使得

sup sup sup u C f ?Ω

?Ω

Ω

≤+

弱极值原理断言，在一定条件下函数u 一定在Ω的边界取得它的最大值或最小值，但并不排除u 在Ω内也能取得最大(小)值，下面所讲的强极值原理说明，在一定条件下，若u 不恒为常数，则u 一定不能再内部达到最大值，下面就介绍强极值原理。

强极值原理：若函数20()()u C C ∈ΩΩ在Ω内满足0Lu ≤，且在一个内点处达到非负的最大值，()0c x ≥，则u 为常数。

接下来介绍弱解的极值原理，并由此获得问题

()()()()0i j i i ij x x i x i x a u b u cu f f in u on -++=+Ω???

=?Ω??

弱解的存在性，这里我们采用DeGiorgi 迭代法。

为了更精确地叙述弱极值原理，我们需要引进上、下解的概念

定义1：1()u H ∈Ω称为方程(,),a u v T v =的弱下解(弱上解、弱解)，如果对

任意0()C ?∞

∈Ω，0?≥，有

00(,)(,),(,)(,)i i a u T f f D ????≤≥==-

其中

(,)[()]i j i ij x x i x a u a u u b u cu v dx ?Ω

=++?

事实上式

00(,)(,),(,)(,)i i a u T f f D ????≤≥==-

对于任意10()H ?∈Ω，max(,0)???+==也成立

弱解的极值原理：设L 的系数满足式()ij a L ∞∈Ω与式n

n i

L L i

b c

+≤Θ∑，且

在Ω内几乎处处成立，如果1()u H ∈Ω是方程(,),a u v T v =的弱下解，则对于任意p n >，我们有

11()

()

sup sup ()np

p n p

n p

i

L

L ess u u C f

f +-+

ΩΩΩ

?Ω

≤++Ω

其中C 仅依赖于n ，p ，θ，Θ，Ω以及i b ，c ，但与Ω的下界无关。

上面介绍的是一些关于线性椭圆形的不等式极值原理及应用，下面我们来介绍有关线性椭圆形中有关解的估计、存在性及连续性 梯度的边界估计：

定理1.1假设u 满足

()

0()i j i ij x x i x a u b u cu f in u on -++=Ω???

=?Ω??

其中系数ij a ，i b ，c 有界，f 也有界，0c ≥，且ij a 满足椭圆性假设条件，Ω满足外球条件，则存在仅依赖于ij a ，i b ，c ，f 及Ω的常数C ，使得

sup u C ?Ω

?≤

解的梯度在Ω上的估计：

定理1.2假设u 是问题

()

0()i j i ij x x i x a u b u cu f in u on -++=Ω???

=?Ω??

的解，其中ij a 满足椭圆假设条件，ij a ，i b 与c 有有界的导数，且0c ≥，则存在仅依赖于θ (出现在椭圆假设条件中)及ij a ，i b ，c 的1,W ∞模的常数C ，使得

sup sup (sup sup sup )u u C u f f Ω

?Ω

Ω

Ω

Ω

?≤?+++?

解的梯度在Ω上的估计有时是无用的，因为难以估计sup u ?Ω

?，在这种情况

下，我们考虑函数

2

'22()()()()W x x u x u x ξλ=?+

其中()x ξ是一光滑的截割函数，在?Ω附近它恒为0，我们可以选择ξ，使它在某严格内域'Ω?Ω上恒等于1，并且利用前述估计，得到借助sup u Ω

，sup f Ω

及

sup f Ω

?表示的sup u Ω

?的界。

一旦有了u ?的界，利用同样的方法可得到高阶导数的界。例如，我们可以利用极值原理于2

''

i j i j x x x x W u u u λ=+?， λ待定

以得到u 的二阶导数的界，利用

2

'''2i j i j x x x x W u u u ξλ=+?

以得到局部的二阶导数估计。

1,2W 估计：

记

()max((),0)c x c x +=

()min((),0)()()c x c x c x c x -+=-=- 定理2.1：设u 是问题

()+()()

0()i j i i ij x x i x i x a u b u cu f f in u on -++=Ω???

=?Ω??

的光滑解，ij a 满足椭圆性假设条件，且ij a ，i b ，c 有界，若2,()i f f L ∈Ω，则存在仅依赖于θ及系数的常数1C 与2C ，使得

2

2

222121

()()n

i i u c u dx C f f dx C u dx +

Ω

Ω

Ω

=?+≤++∑?

??

若min ()c x λ=充分大，则存在3C ，使得

1,22

223()1

()n

i W i u C f f dx ΩΩ

=≤+∑?

注意，这个估计不要求ij a 或i f 的任何光滑性。

2,2W 估计：

现在对系数及i f 增加一些光滑性的假设来推导u 的二阶导数的2L 估计。 关于?Ω的假设：

(1)对每点0x ∈?Ω,存在一个在0x 切于?Ω的平面T ,使得在0x 的某个小领域-内, ?Ω在局部坐标系1(,...,)n y y 下可表示为

11(,...,)n n y y y ω-=

我们假设n y 轴指向在0x 点的外法向量矢量。

(2) 1

:n R

R ω-→是2

C 函数,且20()

0k l

x y y ω?=??, l k ≠.

(3)存在不依赖于0x 的K ,使得对任意0x ∈?Ω,1,2,...,1l n =-,有

202

()

l x K y ω?≤? Poisson 方程的2,2W 估计：

因为下面的证明稍微复杂点，我们首先论述一个特殊情况 定理2.2：设u 是问题

()

0()

u f in u on ?=Ω??

=?Ω? 的光滑解，其中?Ω满足上述条件(1)~(3),则存在仅依赖于Ω的常数C ，使得

2,2()

u

C f ωΩ≤

我们接下来将用同样的方法去推导

()+()()

0()i j i i ij x x i x i x a u b u cu f f in u on -++=Ω???

=?Ω??

解的2,2W 估计

引理2.1：设()ij A a =及()ij B b =是两个实对称的n n ?矩阵，假定A 正定，且其

最小特征值不小于(0)θθ>，则

2ij ik kl jl i k ik ik ik ik a b a b b b b b λλθ=≥

定理2.3：设u 是式

()+()()

0()i j i i ij x x i x i x a u b u cu f f in u on -++=Ω???

=?Ω??

的光滑解，?Ω满足(1)~(3), ij a 满足椭圆性假设条件，且ij a 在Ω上有有界的梯度，

i b 及c 有界，2()()i i x f f f L +≡∈Ω，则存在仅依赖于系数及Ω的常数1C ，2C ，使得

2,22212()

()

()

L L u

C f

C u

ωΩΩΩ≤+

如果min ()c x λ≡充分大，则存在3C ，使得

2,223()

()

L u

C f

ωΩΩ≤

散度形式方程解的L ∞估计：

引理2.2 设:G R R →是一致Lipsctz 连续的(即存在0K >，使得对任意

,s t R ∈，有()()G s G t K s t -≤-)，且(0)0G =，假定1,20()u W ∈Ω，则

(1) 1,20()()G u W ∈Ω

(2)若'G 仅有有限多个间断点，则在Ω内几乎处处有

'[()]()i i x x G u G u u =， 1,...

,i n = 定理3.1(全局L ∞估计)设u 是问题

()()()0()i j i ij x x i x a u f in u on -=Ω???

=?Ω??

的解(弱解或光滑解)，若ij a 满足椭圆性假设条件，且对某p n >，()p i f L ∈Ω

(1,...,)i n =，则存在仅依赖于p ，n 与θ的常数C ，使得

11/()

1

()p

n

n p

i

L

L

i u

C f mes ∞

-Ω=≤Ω∑ 下解的局部L ∞估计：

定义2 v 称为方程()0i j ij x x a u -= in Ω的下解，若

()0i j ij x x a v -≤ in Ω

引理3.1 若u 是方程()0i j ij x x a u -= in Ω的解，?是凸的，则

()v u ?=

是方程

()0i j ij x x a u -= in Ω

的下解。

定理3.2 设v 是方程()0i j ij x x a u -= in Ω的非负下解(或弱下解)，系数ij a 满足椭圆性假设条件，任选0x ∈Ω及0R >，使得0(,)B x R ?Ω，则存在仅依赖于n ，

θ及Θ的C ，使得

2000212

((,))

(,)

(,/2)

11

max [

]n

n L B x R B x R B x R v C v dx C

v R R ≤=?

即v 在较小球内的L ∞模由它在较大球内的2L 模来估计

引理 3.2 设v 是方程()0i j ij x x a u -= in Ω的非负下解，则对任一0()C ξ∞

∈Ω，

01ξ≤≤，2p ≥有

2

2222(())p p v dx C v dx ξξ**

Ω

Ω

≤???

其中C 不依赖于ξ与p 。

引理3.3 设v 是方程()0i j ij x x a u -= in Ω的非负下解，则有

1

1

0101

112(,)

(,)

4()

()k k

k k k k k

k k p k p p p p p p B x R B x R C v

dx v dx R +++≤

?

?

推 论 设u 是方程()0i j ij x x a u -= in Ω的解，则

00212(,)

(,/2)

1max [

]n

B x R B x R u

C u dx R ≤?

解的p L 估计

(1)?算子的p

L 估计

定义3 (1)称

2

11

()(2)n n x n n x

ω--Γ=

- 0x ≠ 为Laplace 方程的基本解. 其中n ω是n R 内单位球的面积

(2)设f 是有界可积的，则

()()()n R

u x x y f y dy f =Γ-=Γ*?

称为f 的Newton 位势

定理4.1 设0()n u C R ∞

∈，则对任意1p <<∞，存在常数()C p ，使得对任意

1,i j n ≤≤，有

()

()

()p n p n i j

x x L R L R u C p u

≤?

常数仅依赖于n 及p 。

换句话说，若0()n u C R ∞∈是

u f ?= n inR

的解，则

()

()

,1

()p n p n i j

n

x x L R L R i j u

C p f

=≤∑

(2)整体2,p W 估计

本节我们将研究

()

0()i j i ij x x i x a u b u cu f in u on -++=Ω???

=?Ω??

的解，对系数作如下的假设：

(1) ij a ，i b ，c 在Ω内有界(不妨设()

()

()

,ij

i

L L L i j

i

a b c

∞∞∞ΩΩΩ++≤Θ∑∑)；

(2) ij a 满足椭圆性假设条件； (3)函数ij a 在Ω上连续。

引理 4.1假设系数ij a ，i b 及c 满足假设(1)~(3)(以中心在原点的某个球代替

Ω)，选1p <<∞，则存在仅依赖于系数的界，ij a 的连续模，n ，θ，Θ及p 的常

数00R >，12,0C C >,使得若00R R <<，且2,0(())p u W B R ∈是方程

()

0()i j i ij x x i x a u b u cu f in u on -++=Ω???

=?Ω??

在()B R Ω=内的解，在()B R ?附近0u ≡，则

1,12(())

(())(())

,1

p p p i j

n

x x L B R W B R L B R i j u

C f

C u =≤+∑

引理4.2 在引理4.1的假设下，存在常数00R >，12,0C C ≥，使得如果

00R R <≤，2,0

(())p

u W B R +

∈是()

0()i j i ij x x i x a u b u cu f in u on -++=Ω???

=?Ω??

在()B R +Ω=内的解，在{}()0n B R x +

?>附近0u ≡，在{}0n x =上0u =，则

1,12(())

(())(())

,1

p p p i j

n

x x L B R W B R L B R i j u

C f

C u +++=≤+∑

引理 4.3 设1p <<∞，对每个0ε>，存在()C ε (仅依赖于ε，p ，Ω)，使得对任意2,()p u W ∈Ω，有

1,2,()

()

()

()p p p W W L u

u

C u

εεΩΩΩ≤+

定理4.2 设u 是()

0()i j i ij x x i x a u b u cu f in u on -++=Ω???=?Ω??

在具光滑边界的有界域Ω内的

光滑解，系数满足条件(1),(2),(3)，令1p <<∞,则存在仅依赖于系数的界，ij a 的连续模，Ω,n ，θ，Θ及p 的常数1C ,2C ，使得

2,12()

()

()

p p p W L L u

C f

C u

ΩΩΩ≤+

若min ()c x λΩ

≥,λ充分大，我们可取20C =

(3)局部2,p W 估计

引理4.4 存在仅依赖于n 及p 的常数C 使得

(())

(())

(())

1

,1

p p p i

i j

n

n

x x x L B R L B R L B R i i j C

u u u

εε

==≤+

∑

∑

对所有0ε>及2,(())p u W B R ∈成立，其中C 不依赖于ε及R .

引理4.5 设()r ?是定义在00r R <≤上的非负有界函数，若对任意00r R <<,有

2

1

()()82r C r r ??≤+

则

2

2()C r r ?≤

定理4.3 设u 是方程()i j i ij x x i x a u bu cu f in -++=Ω的光滑解(或强解)，L 的系数

满足上面的条件(1),(2),(3),则对每个域'Ω??Ω, 存在仅依赖于系数的界, ij a 的连续模，n ，θ，Θ，p 与'(,)dist Ω?Ω的常数1C ，2C ，使得

2,'12()

()

()

p p p W L L u

C f

C u

ΩΩΩ≤+

Schauder 估计：

(1) Newton 位势的2,C α估计

命题1:(1) 若f 是Ω内有界可积函数，则1()()n x C R ω∈，且

()()()i

i

x x x x y f y dy ωΩ

=Γ-? 1,...

,i n =；x ∈Ω (2) 若()f x 在Ω内有界且是局部Holder 连续的(指数为α，01α<≤), 则2()()x C ω∈Ω，且

()()[()()]()()()i j

i j

i x x x x x j x x y f y f x dy f x x y n y ds ωΩ?Ω=

Γ

---Γ-?? ，x ∈Ω

其中0Ω是任一包含Ω的光滑区域，在0\ΩΩ内作零延拓，1(,...,)n n n n =是0?Ω上的单位外法向量。

(3) 在(2)的条件下，()x ω满足()()x f x ω?=，x ∈Ω

引理5.1 设10(,)B B x R =，20(,2)B B x R =是两个同心球，假设对某01α<<，

2()f C B α∈，且ω是f 在2B 内的Newton 位势，则2,1()C B αω∈，且

121

2

,,sup [](sup [])i j i j x x x x B B B B R C f R f ααααωω+≤+

引理5.2 对某{}00n x x ∈≥，设

{}10(,)

0n B B x R x +=≥，{}20(,2)0n B B x R x +=≥，

假设对某01α<<，2()f C B α+∈，

且ω是f 在2B +

内的Newton 位势，则2,1()C B αω+∈且

1

2

1

2

,,sup [](sup [])i j i j x x x x B B B B R C f R f ααααωω+++

++≤+

(2)整体2,C α估计

引理5.3 设20()n f C R ∈，且2

0()n u C R ∈是

u f ?= n

i n R

的解，若0(,)B B x R =是任一包含u 的支集的球，则2,0()n u C R α

∈，且

2()()()()()()sup sup sup sup sup [](sup [])

n n n n i j i j n n

R B R B R B R B x x x x R B R B u CR f u CR f u R u C f R f αααα?

≤?

?

?

?≤??

?+≤+??

现在考虑一般的椭圆型方程Dirichlet 问题

()

0()i j i ij x x i x a u b u cu f in u on -++=Ω???

=?Ω??

对系数作如下假设：

(1) ij a ，i b ，()c C α∈Ω，对某01α<<； (2) ij a 满足椭圆性假设条件 (3) ()f C α∈Ω

定理5.1(整体Schauder 估计) 设2,()u C α∈Ω是边值问题

()

0()i j i ij x x i x a u b u cu f in u on -++=Ω???

=?Ω??

的解，其中系数满足(1)与(2)，()f C α∈Ω，?Ω是光滑的(例如?Ω属于2,C α)，则存在仅依赖于系数的C α模，Ω，n ，α及θ的常数1C ，2C ，使得

2,12()

()

sup C C u

C f

C u ααΩΩΩ

≤+

如果在Ω内0c ≥，则我们可取20C =。 (3)内部的2,C α估计

设,x y ∈Ω，记

(,)x d dist x =?Ω (,)y d d i s t y =?Ω m i n (,)

x y x y d d d = 对01α≤≤，定义 (1) ()

,()()sup sup x y

xy

C x y u x u y u

u d x y

ααα

≠*ΩΩ

∈Ω

-=+-

(2) 1,1+()

(),1()()sup ()sup i i i x y n x x x x xy

C C x x y i u x u y u

u d u x d x y ααα

α

≠**

ΩΩ∈Ω

∈Ω=??

- ?=++ ?-?

?

∑ (3) 2,1,22()

(),,1()()

sup ()sup i j i j i j x y n x x x x x x x xy

C C x x y i j u x u y u

u d u x d x y ααα

α

≠**

+ΩΩ∈Ω

∈Ω=??

- ?=++ ?-?

?

∑ 定理5.2 (内部Schauder 估计) 设2()u C α∈Ω是方程

()i j i ij x x i x a u bu cu f in -++=Ω

在Ω内的解，且椭圆型算子的系数满足(1)，(2)，f C α∈，则存在仅依赖于系数的C α模，n ，α及θ的常数1C ，2C ，使得

2,12()

()

sup C C u

C f

C u αα*ΩΩΩ

≤+

以上是第一篇所讲到的内容。

第二篇也讲到了一些极值原理及应用，但是讲的是有关线性抛物型方程的极值原理及应用，在这里不仅提到了极值原理，还提到了初边值问题解的惟一性和比较定理，在线性抛物型这一块还了解到第一初边值解的存在性、收敛性以及第二初边值解的存在性、渐近性等等一系列的问题在常微分中没有接触到的在偏微分方程理论中接触到了，偏微分方程理论也是一门值得广大学者研究的学科，在今后的学习中也应该好好学习偏微分方程。

最后，谢谢老师给我们讲解这门学科，让我们对偏微分方程有了很深的了解，也对此产生了一些兴趣。