高中数学函数压轴题.doc
高考数学函数压轴题：
1. 已知函数 f (x)
1 x 3 ax b(a, b R) 在 x
2 处取得的极小值是
4 . 3
3
(1) 求 f (x) 的单调递增区间；
(2) 若 x
[ 4,3] 时，有 f ( x) m 2 m
10
恒成立，求实数
m 的取值范围 .
3
2. 某造船公司年最高造船量是
20 艘 .
已知造船
x 艘的产值函数 R (x)=3700x + 45x
2
– 10x 3( 单位：万元
),
成本函数
为
C (x) = 460x + 5000 (
单位：万元
).
又在经济学中，函数
f(x)
的边际函数
Mf (x)
定义为 : Mf (x) = f (x+1)
– f
(x).
求 : （提示：利润
= 产值 – 成本）
(1) 利润函数 P(x) 及边际利润函数 MP(x); (2) 年造船量安排多少艘时 , 可使公司造船的年利润最大 ?
(3)
边际利润函数 MP(x) 的单调递减区间 , 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？
3. 已知函数 (x)
5x 2
5x 1 ( x
R) ，函数 y
f ( x) 的图象与 ( x) 的图象关于点 (0, 1
) 中心对称。
2
（ 1）求函数 y f ( x) 的解析式；
（ 2）如果 g 1 ( x) f ( x) ， g n (x)
f [
g n 1 ( x)]( n N , n 2) ，试求出使 g 2 (x)
0 成
立的 x 取值范围；
（ 3）是否存在区间
E ，使 E x f (x) 0
对于区间内的任意实数
x ，只要 n N ，且 n 2 时，都有
g n ( x)0 恒成立？
4．已知函数： f ( x) x 1 a
(a R且 x a)
a x
（Ⅰ）证明： f(x)+2+f(2a － x)=0 对定义域内的所有x 都成立 .
（Ⅱ）当 f(x) 的定义域为 [a+ 1
,a+1] 时，求证： f(x) 的值域为 [ － 3，－ 2] ；2
（Ⅲ）设函数 g(x)=x 2+|(x － a)f(x)| , 求 g(x) 的最小值 .
5. 设f (x)是定义在[0,1]上的函数，若存在x* (0,1) ，使得 f ( x) 在 [0, x* ] 上单调递增，在 [ x* ,1] 上单调递减，则称 f ( x) 为 [0,1] 上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间.对任意的[0,1]上的单峰函数 f ( x) ，下面研究缩短其含峰区间长度的方法 .
（ 1）证明：对任意的x1 , x2 (0,1) ， x1 x2，若 f (x1 ) f ( x2 ) ，则 (0, x2 ) 为含峰区间；若 f ( x1 ) f ( x2 ) ，则 ( x1 ,1) 为含峰区间；
（ 2）对给定的r ( 0 r 0.5) ，证明：存在x1 , x2(0,1) ，满足 x2x12r ，使得由（1）所确定的含峰区间的长度不
大于 0.5 r ；
6. 设关于x的方程2x2 ax 2 0 的两根分别为、，函数 f ( x) 4x a
x 2 1
（ 1）证明f ( x)在区间, 上是增函数；
（ 2）当a为何值时， f (x) 在区间, 上的最大值与最小值之差最小
7.甲乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数 f x x 8 ， g x x 12 ，及任意的x 0，当甲公司投入 x 万元作宣传时，乙公司投入的宣传费若小于 f x 万元，则乙公司有失败的危险，否则无失败的危险；当乙公司投
入 x 万元作宣传时，甲公司投入的宣传费若小于g x 万元，则甲公司有失败的危险，否则无失败的危险.设甲公司投入宣传费 x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，建立如图直角坐标系，试回答以下问题：
(1) 请解释 f 0 , g 0 ；甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问此时各应投入多少宣传费？(3)若甲、乙分别在上述策略下，为确保无失败的危险，根据对方所投入的宣传费，按最少投入费用原则，投入自己的
宣传费：若甲先投入a1 12 万元，乙在上述策略下，投入最少费用b1；而甲根据乙的情况，调整宣传费为a2；同样，乙再根据甲的情况，调整宣传费为b2 , , 如此得当甲调整宣传费为a n时，乙调整宣传费为b n；试问是否存在
lim a n，lim b n的值，若存在写出此极限值（不必证明）
，若不存在，说明理由.
n n
8. 设 f ( x) 是定义域在[ 1, 1] 上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零.
（ l ）求证 f (x) 在[ 1, 1] 上是减函数；
（ ll ）如果 f ( x c) ， f ( x c2 ) 的定义域的交集为空集，求实数 c 的取值范围；
（ lll ）证明若 1 c 2 ，则 f ( x c) ， f ( x c2 ) 存在公共的定义域，并求这个公共的空义域.
9. 已知函数
2 *
，b∈ N， c∈Z。
f （ x）＝ ax ＋bx＋ c，其中 a∈ N
（1）若 b>2a，且 f （ sinx ）（ x∈R）的最大值为 2，最小值为－ 4，试求函数 f （ x）的最小值；
（2）若对任意实数 x，不等式 4x≤ f （ x）≤ 2（ x2＋ 1）恒成立，且存在 x0，使得 f （ x0）<2（ x02＋ 1）成立，求 c 的值。
10.已知函数 f (x) x44x 3ax 21在区间[0，1]上单调递增，在区间[1 ， 2] 上单调递减；
（1）求 a 的值；
（2）求证： x=1 是该函数的一条对称轴；
（ 3）是否存在实数b，使函数g (x) bx 2 1的图象与函数f(x) 的图象恰好有两个交点？若存在，求出 b 的值；若不存在，请说明理由 .
11.定义在区间（0，）上的函f(x) 满足：（1） f(x) 不恒为零；（ 2）对任何实数x、 q, 都有f ( x q)qf ( x) .
（ 1）求证：方程 f(x)=0 有且只有一个实根；
（ 2）若 a>b>c>1, 且 a、 b、 c 成等差数列，求证：
f ( )
? f
( )
f
2 ( )
；
a c b
（ 3）（本小题只理科做）若f(x) 单调递增，且m>n>0时，有 f (m) f (n) 2 f ( m n
) ，求证： 3 m 22
2
12. 已知三次函数 f ( x)
x 3 ax 2 bx c 在 y 轴上的截距是 2，且在 (
, 1), ( 2, ) 上单调递增，在（－ 1，2）上
单调递减 .
( Ⅰ ) 求函数 f (x) 的解析式；
( Ⅱ ) 若函数 h(x)
f (x) 1) ln( x m) ，求 h(x) 的单调区间 .
3( x
(m
2)
13. 已知函数 f ( x)
3x
3( a
1)
（
a 0 且 a 1）．
a
x
(1) 试就实数 a 的不同取值，写出该函数的单调递增区间；
(2) 已知当 x 0 时，函数在 (0, 6) 上单调递减，在 ( 6,
) 上单调递增，求 a 的值并写出函数的解析式；
(3) （理）记 (2) 中的函数的图像为曲线 C ，试问是否存在经过原点的直线 l
，使得 l 为曲线 C 的对称轴？若存在，
求出 l 的方程；若不存在，请说明理由．
( 文 ) 记(2) 中的函数的图像为曲线
C ，试问曲线 C 是否为中心对称图形？若是，请求出对称中心的坐标并加
以证明；若不是，请说明理由．