全等三角形模型：二次全等、截长补短、倍长中线、一线三等角、半角模型

全等三角形模型+例题

【考纲要求】

1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；

2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；

3．会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明.

【考点梳理】

【全等三角形】

知识点一、全等三角形的概念及表示

1.两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形

全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关.

2.全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.

3.全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”.

在记两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上，如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF.

4.确定全等三角形对应关系的方法：

（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；

（3）有公共边的，公共边是对应边；

（4）有公共角的，公共角是对应角；

（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；

（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角）一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）.知识点二、全等三角形的性质

1.最主要的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.

2.其它性质：

（1）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等；

（2）全等三角形的周长相等，面积相等，但是，周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形.

知识点三、全等变换

在不改变图形的形状和大小的前提下，只改变图形的位置叫做全等变换.

常见的全等变换有平移变换、翻折变换、旋转变换，如下图所示：

【探索三角形全等的条件】

边角边

两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写

为“边角边”或“SAS ”.

在△ABC

与△A’B’C’中，已知

角边角

两角及其夹边分别相等

的两个三角形全等，简写“角边角”或“ASA ”.

在△ABC

与△A’B’C’中，已知

角角边

两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两

个三角形全等，简称为“角角边”或“AAS ”. 在△ABC 与△A’B’C’中，已知

边边边

三边分别相等的两个三

角形全等，简称为“边边边”或“SSS ”.

在△ABC 与△A’B’C’中，已知

.

斜边、直角边

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形

全等，简称为“斜边、直角边”或“HL ”

在Rt △ABC 与Rt △A’B’C’中，

，已知

.

1. 只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，“边边角”不能判定三角形全等；

2. 在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上.

探究SSA

全等篇

异侧

半角模型

1.

如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45º，则BE ＋DF

＝EF .

简证：如图，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90º得到△ABG ，使得AD 与AB 重合， 通过证明△AEF ≌△AEG 即可得到BE ＋DF ＝EF .

2.

如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45º，则AE 平分

∠BEF ，AF 平分∠DFE .

简证：如图，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90º得到△ABG ，使得AD 与AB 重合；将△ABE 绕点A 逆时针旋转90º得到△ADH ，使得AB 与AD 重合.

3. 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45º，则

.

简证：通过上述的全等直接可以得到，不再证明.

4.

如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45º，过点A 作

AH ⊥EF 交EF 于点H ，则AH ＝AB .

简证：由上述结论可知AE 平分∠BEF ，又∵AB ⊥BC ，∴AH ＝AB . 5.

如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45º，则

.简证：由结论1可得EF ＝BE ＋DF ，则

＝CE ＋CF ＋EF ＝CE ＋CF ＋BE ＋DF ＝2AB .

6. 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45º，AE 、AF 分别与BD 相交于点M 、N ，则

.

简证：如图，将△AND 绕点A 顺时针旋90º得到△AGB ，连接GM .

通过证明△AMG ≌△AMN 得MN ＝MG ，DN ＝BG ，∠GBE ＝90º，即可证

.

补充：等腰直角三角形与“半角模型”

D

C

P

B

A

C

D

P

B A

D

P

C

A

B