构造全等三角形之截长补短法
专题14 倍长中线法与截长补短法构造全等三角形(原卷版)
专题14倍长中线法与截长补短法构造全等三形模型一：倍长中线法构造全等三角形模型二：截长补短法构造全等三角形【典例分析】【模型一：倍长中线法构造全等三角形】△ABC 中,AD 是BC 边中线方式1到E ，使DE=AD ，连接BE方式2：间接倍长（1）作CF ⊥AD 于F，作BE⊥AD 的延长线于E（2）延长MD 到N，使DN=MD，连接CN【典例1】（2021春•吉安县期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC 中，若AB ＝8，AC ＝6，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小N延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。
此法常用于构造全等三角形，利用中线的性质、辅助线、对顶角一般用“SAS ”证明对应边之间的关系。
（在一定范围中）明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．【变式1-1】（2021秋•肥西县期末）一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（）A．x＞5B．x＜7C．4＜x＜14D．2＜x＜7【变式1-2】如图，AE是△ABD的中线AB＝CD＝BD．求证：AB+AD＞2AE；【变式1-3】（2021秋•齐河县期末）（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E 是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．【模型二：截长补短法构造全等三角形】∙截长：1.过某一点作长边的垂线；2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
三角形全等例题+练习(常用方法)
B
DE C
7
典型例题 5．翻折法 若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形．
例 5．如图（8）已知：在△ABC 中，∠A=45º, AD⊥BC，若 BD=3，DC=2， 求：△ABC 的面积．
A
E
F
B DC
G
针对练习 1：如图２所示，已知 ABC 中， AC BC ， ACB 90 ， BD 平分 ABC ， 求证： AB BC CD 。
0
60
，
C
400
，P，Q
分别在
BC，CA
上，并且
AP
、BQ 分别是 BAC ， ABC 的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP
A
B Q
P
C
截长补短 4、如图，在四边形 ABCD 中，BC＞BA,AD＝CD，BD 平分 ABC ， 求证： A C 1800
A D
B
C
截长补短 5、如图在△ABC 中，AB＞AC，∠1＝∠2，P 为 AD 上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC
∠MBN 60 ，∠MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD，DC （或它们的延长线）于
E，F ． 当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时（如图 1），易证 AE CF EF ． 当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？ 若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE，CF ， EF 又有怎样的数量关系？请写出你的 猜想，不需证明．
A
B
EM
A
B
EM
A B
CF
全等三角形~截长补短
1 2截长补短截长补短”是几何证明题中十分重要的方法， 通常用来证明几条线段的数量关系， 即若 题目条件或结论中含有 a b c ”的条件，需要添加辅助线时可以考虑截长补短”的方法。
另外的较短线段。
补短法: ①延长较短线段中的一条，使延长出来的线段等于另外的较短线段，然后证明两线段之和等 于较长线段。
即延长a ，得到b ，证：a b①延长较短线段中的一条， 使延长后的线段等于较长线段, 一条较短线段。
即延长a ，得到c ,证：b c-a 。
例1.已知：如图，在 △ ABC 中，△仁△Z, △ B=2AC .求证:1.补短法:证明：如图，延长 AB 到E ,使BE=BD ，连接DE .△ △ABD 是 △BDE 的一个外角△ △ABDME + △BDEABE=BD △ △EMBDE△ △ABD=2 △E△ △ABD=2 △C△ △EMC在 AADE 和 AADC 中△ △ADE △△ADC (AAS )截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段,再设法证明较长线段的剩余线段等于 然后证明延长出来的部分等于另AC=AB+BD.ADAD1 2证明：如图，在 CD 上截取CF=CB .△CE 平分△CBD在△CFE 和 △CBE 中△AE=AC△AC=AB + BE=AB + BD2.截长法:证明：如图，在 AC 上截取AF=AB ，连接DF .在△ABD 和△AFD 中AB AFAD AD△ △ABD △△AFD ( SAS )△ ABMAFD , BD=FD△ △B=2 △C△ △AFD =2 △C△ △AFD 是^DFC 的一个外角△ △AFD me + 舉DC△ AFDCmCADF=FCABD=FC△AC=AF+FC=AB+BD例2.如图，在四边形 ABCD 中，△ A=AB=90，点E 为AB 边上一点，且 DE 平分△ ADC ，CE 平分△ BCD .求证：CD=AD+BC.CF CBCE CE△ △CFE △△CBE (SAS)△ △CFEMB△ △B=90△ △CFEMDFE =90△ △A=90 °△ △DFE=AA△DE 平分△ADC在△DEF和△DEA中DFE ADE DE△ △DEF △△DEA (AAS )ADF=AD△CD = DF + CF =AD + BC例3.已知：如图，在正方形ABCD中，AD =AB ,/ B= / D= / BAD =90° E, F 分别为CD , BC 边上的点，且/ EAF=45°,连接EF.求证：EF=BF+DE .证明：如图，延长FB到G,使BG=DE，连接AG . △ △D=^ABC=90△ △ABG = ^D=90在AABG和AADE中AB=ADABG= DBG=DE△ △ABG△△ADE ( SAS)△AG=AE, △ 1 = △△ △BAD=90 △EAF =45△ △ 2+ △ 3=45△ △ 1 = △+△2△ △ 1 = △+△2DB DE△ △ABD △△AED ( SAS )△ △B=2 △C△ △ 1=20△ △1是AAEC 的一个外角△AE=CE△CD=CE+ED=AE+BD=AB+BD△ △ 1 + △ 3=45即△GAF =45°△ △GAFMEAF在△AGF 和 AAEF 中AG AEGAF EAFAF AF△ △AGF △△AEF (SAS )△GF=EF△GF=BF+BGAEF=BF+DE例4.在△ABC 中，AD △BC 于 D , △B=2AC .求证：CD=AB+BD.证明：如图，在线段 DC 上截取DE=BD ，连接AE .△AD △BC△ △ADB = AADE=90在 AABD 和 AAED 中 AD ADADB ADE例5.如图，在△ABC 中，AB>AC , △ 1=A2, P 为AD 上任意一点，连接 BP , CP .求证：AB-AC > PB-PC .1.截长法：证明：如图，在 CF 上截取CM=BA ，连接DM .证明：如图，在线段 AB 上截取AE=AC ，连接PE .贝U AB-AC=AB-AE=EB在MEP 和MCP 中AE ACAP AP△ △\EP^mCP (SAS)APE=PC在APEB 中, PB PE<EBAPB-P C<EB△AB-AC > PB-PC例6.如图，在梯形ABCD 中，ADABC , CEAAB 于E , ABDC 为等腰直角三角形, ABDC=90° BD=CD ，CE 与 BD 交于 F ，连接 AF .求证：CF=AB+AF.△ △BDC 为等腰直角三角形，BD=CD△ △仁△CB=45°△CEAAB, ABDC=90°△ △CEB=^BDC=90°△ △ 2=A3△ △ 4=^5在△ABD 和△MCD 中△ △ABD ^^MCD (SAS )ADA=DM ，△ 6=^7 △AD^BC△ △ ?=△ 1=45°△ △ 6=45°△ △ 8=45°△ △ 7=^8在△ADF 和△MDF 中△ △ADF △△MDF ( SAS )△AF=MF△CF=CM+MF =AB+AF补短法：证明：如图，延长BA 交CD 的延长线于点G . △ △BDC 为等腰直角三角形△ △GDBMBDCrgO 。
(6)作等边构造全等三角形
6.如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交 于F，AF=EF，求证：AC=BE．（等腰三角形）
【截长补短法】
1.如图所示，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O。求证：AE+CD=AC。
2.如图所示，已知AB//CD， 的平分线恰好交于AD上一点E，求证：BC=AB+CD.
3.如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC.
第四讲：作等边构造全等三角形
【思维突破】
1、题目条件特点：已知一组等边和等角；
2、作辅助线构造全等的依据：SAS；
3、构造辅助线方法：
辅助线方法
应用特点
辅助线作法
截长补短法
题目含多边等量关系或角度互补关系
截长法：在长线段上截取一段线段与其中一条短线段相等，构造全等三角形；
补短法：延长一条短线段使之与长线段相等，构造全等三角形。
4.五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE.
5.如图，AB∥CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
6.如图，已知在△ABC内，∠BAC＝60°平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP.（等腰三角形）
【倍长中线法】
1.已知： 中， 是中线．求证： ．
2.如图，已知在 中， 是 边上的中线， 是 上一点，且 ，延长 交 于 ，求证：
3.已知 为 的中线， ， 的平分线分别交 于 、交 于 ．求证： ．
利用截长补短法构造全等三角形
班级：________姓名：________微专题利用截长补短法构造全等三角形1.如图，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连接AF，在AF上取点G，使得AG＝AD，连接DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E.求证：AF－AE＝BF.第1题图2.如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、BC上的点，且DE＝10，∠EAF＝45°，△EFC的周长为80，求EF的长．第2题图3.如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝A B.连接AG，若AG＝3，DG＝1，求EG的长．第3题图4.如图，在四边形ABDE中，C是BD边的中点．(1)如图①，若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，求证：AE＝AB＋DE；第4题图①(2)如图②，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，AB＝1，DE＝3，BD＝4，求AE的长．第4题图②5.在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图①，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝2cm，求四边形ABCD的面积．解：延长线段CB到E，使得BE＝CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE＝AC＝2，∠EAB＝∠CAD，则∠EAC＝∠EAB＋∠BAC＝∠DAC＋∠BAC＝∠BAD＝90°，得S四边形ABCD ＋S△ADC＝S△ABC＋S△ABE＝S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC的面积．＝S△ABC(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为________cm2；(2)如图②，已知FG＝FN＝HM＝GH＋MN＝2cm，∠G＝∠N＝90°，求五边形FGHMN的面积．第5题图微专题与角平分线有关的辅助线作法1.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，求△DEF的面积．第1题图2.如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，求tan∠OBD的值．第2题图3.如图，在△ABC中，已知AB＝8，BC＝5，点D、E分别为BC、AC的中点，BF平分∠ABC交DE于点F，求EF的长．第3题图4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF∥AB，求证：EF＝A C.第4题图微专题遇到中点如何添加辅助线1.如图，在△ABC中，点D为AC的中点，连接BD，点E为BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，BC＝7，则BF的长为________．第1题图第2题图2.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，MN＝3，则AC的长是________．5.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于点H、G，求证：∠AHF＝∠BGF.第5题图6.如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分∠DEB，F为CE的中点，连接AF，BF.(1)求证：DE＝DC；(2)求证：AF⊥BF.第6题图7.(2020南昌模拟改编)如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD ＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．观察猜想(1)如图①，线段PM与PN的数量关系是__________________________________________________________；探究证明(2)把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，判断(1)中的结论是否成立，并说明理由；拓展延伸(3)把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请求出PM·PN的最大值．图①图②第7题图班级：________姓名：________微专题全等、相似三角形的常见模型1.如图，A、B、C三点在同一条直线上，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，添加下列条件，不能判定△EAB≌△BCD 的是() A.∠E＋∠D＝90° B.AC＝AE＋CD C.EB＝BD D.∠EBD＝60°第1题图第2题图第3题图2.如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，DF⊥AE，垂足为G，交BC于点F，CD＝45，则△AFG 的面积为________.3.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AC的中点，点E、F分别在AB、BC上，且∠EDF ＝90°，EF ＝32，则△DEF 的周长为_______________________________________________________．4.如图，点B 、C 分别在∠MAN 的边AM 、AN 上，点E 、F 在∠MAN 内部的射线AD 上，∠1、∠2分别是△ABE 、△CAF 的外角．已知AB ＝AC ，∠1＝∠2＝∠BA C.求证：△ABE ≌△CAF .第4题图7.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 是BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为E ，BF ∥AC ，交CE 的延长线于点F .求证：AC ＝2BF .第7题图9.如图，一副三角板如图放置，等腰直角三角形固定不动，且AB ＝CB ＝4cm ，另一块的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点D 处，且可以绕点D 旋转，在旋转过程中，两直角边与AB 、CB 的交点为G 、H .当三角板DEF 旋转至图中位置时，探究线段BG 和CH 数量关系，并证明．第9题图10.如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∠DAE 的两边交线段BC 于点D 、E ，且∠DAE ＝12∠BA C.(1)若AD ＝AE ，则BD 与CE 的数量关系为______________________________________________________；(2)求证：BD 2＋CE 2＝DE 2.第10题图11.如图①，正方形ABCD对角线的交点为E，以点E为顶点作正方形EFGH，且EF、EH分别经过点A，B，连接AH、DF，保持正方形EFGH固定不动，将正方形ABCD绕点E顺时针旋转至图②.(1)判断图①中AH与DF之间的数量关系，并证明；(2)判断图②中AH与DF之间的位置关系，并证明．第11题图12.如图，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN.(1)探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由；(2)若△ABC的边长为2，求△AMN的周长．第12题图。
全等三角形-截长补短法
“截长补短”的思想在几何证明中的运用【学习目标】（30秒）用“截长补短法”解决线段的和、差问题。
【重、难点】（30秒）用“截长补短法”解决线段的和、差问题。
【操作思考】（2 分钟）1、画一画：线段AB=CD+EF线段CD=AB-EF线段 AB线段 CD线段 EF（通过让学生在纸上画出线段的和和差的图形来说明线段的截长补短）导学设计教学重难点用“截长补短法”解决线段的和、差问题。
教具准备三角尺、翻折全等三角形的纸张模型、多媒体课件．导学流程一、导入新课 , 揭示目标 (1 分钟 )线段 AB=10cm线段 CD=6cm线段 EF=4cm语言；画三条线段思考两条线段和与差能否等于第三条线段。
师生对照课件解读学习目标用“截长补短法”解决线段的和、差问题。
【归纳小结】（ 2 分钟）截长补短法”：“截长”就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和；“补短”就是将题中某条线段延长（或补上某线段），然后，证明它与题中某条线段相等。
典题解析（ 3+4+6 分钟）例 1、如图，在ABC 中， AD 是∠ BAC 的平分线，∠C=2 ∠B. 求证： AB=AC+CD思路点拨：延长AC 到 E,使 CE=CD, 连接 DE.二、归纳小结截长补短法：“ 截长” 就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和；“ 补短”就是将题中某条线段延长（或补上某线段），然后，证明它与题中某条线段相等。
三．典题解析例 1、思路点拨：延长AC 到 E,使ACE=CD, 连接 DE. 或者在 AB 上截取 AG ，使 AG =AC ，连接 DG。
追问 ; 这个图形的基本图形是怎样的图形？请把它画出来。
CDB证明：在AB上取一点E，使AE=AC，连接DE,∵AD 平分∠ BAC∴ ∠ EAD=∠ CADAE=AC ，∠EAD= ∠ CAD AD=AD ；∴△ AED ≌△ ACD （ SAS）∴∠ AED= ∠ C=2∠ BED=CD例 2、已知，如图 1-1 ，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ ABC.展示分配：一、三小组展示，其他小组质疑，提问。
三角形全等之截长补短(整理)
三角形全等之截长补短(整理)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（三角形全等之截长补短(整理)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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12三角形全等之截长补短（讲义）一、知识点睛截长补短:题目中出现__________________________时，考虑截长补短；截长补短的作用是____________________________________ ___________________________________________________．二、精讲精练1. 已知：如图,在△ABC 中,∠1=∠2，∠B =2∠C ．求证：AC =AB +BD ．2. 如图,在四边形ABCD 中，∠A =∠B =90°,点E 为AB 边上一点，且DE 平分21D CB A 21D CB A 21D B A3∠ADC ,CE 平分∠BCD ． 求证:CD =AD +BC ．3. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD =AB ，∠B =∠D =∠BAD =90°，E ，F 分别为CD ，BC 边上的点，且∠EAF =45°,连接EF ．E DCA F EDCB A4求证:EF =BF +DE ．4. 已知：如图，在△ABC 中,∠ABC =60°，△ABC 的角平分线AD ，CE 交于点O ．求证：AC =AE +CD ．OED CBA F EDCB A55. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ．求证:CE =BD ．21OED BEDCB A。
专题 全等三角形模型——截长补短与倍长中线(解析版)
全等三角形模型——截长补短与倍长中线截长补短截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段在线段AB 上截取AD AC=补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等延长AC ，使得AD AB =1.ABC D 中，AD 是BAC Ð的平分线，且AB AC CD =+．若60BCA Ð=°，则ABC Ð的大小为( )A ．30°B ．60°C ．80°D ．100°【分析】可在AB 上取AC AC ¢=，则由题中条件可得BC C D ¢=¢，即2C AC D B Ð=Т=Ð，再由三角形的外角性质即可求得B Ð的大小．【解答】解：如图，在AB 上取AC AC ¢=，AD Q 是角平分线，DAC DAC ¢\Ð=Ð，ACD \D @△()AC D SAS ¢，CD C D ¢\=，又AB AC CD =+Q ，AB AC C B ¢¢=+，BC C D \¢=¢，DCBAAB CD260C AC D B ¢\Ð=Ð=Ð=°，30B \Ð=°．故选：A ．2.阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．（1）请完成下题的证明过程：如图1，在ABC D 中，2B C Ð=Ð，AD 平分BAC Ð．求证：AB BD AC +=．证明：在AC 上截取AE AB =，连接DE（2）如图2，//AD BC ，EA ，EB 分别平分DAB Ð，CBA Ð，CD 过点E ，求证：AB AD BC =+．【分析】（1）在AC 上截取AE AB =，连接DE ，证明ABD AED D @D ，得到B AED Ð=Ð，再证明ED EC =即可；（2）由等腰三角形的性质知AE FE =，再证明ADE FCE D @D 即可解决本题．【解答】证明：在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图1:AD Q 平分BAC Ð，BAD DAC \Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中，AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS \D @D ，B AED \Ð=Ð，BD DE =，又2BC Ð=Ð，2AED C \Ð=Ð，而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，C EDC \Ð=Ð，DE CE \=，AB BD AE CE AC \+=+=；（2）延长AE 、BC 交于F ，AB BF =Q ，BE 平分ABF Ð，AE EF \=，在ADE D 和FCE D 中，DAE F AE EFAED CEF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ADE FCE ASA \D @D ，AD CF \=，AB BF BC CF BC AD \==+=+．3.如图，在ABC D 中，AD 平分BAC Ð交BC 于D ，在AB 上截取AE AC =．（1）求证：ADE ADC D @D ；（2）若6AB =，5BC =，4AC =，求BDE D的周长．【分析】（1）根据SAS 证明ADE ADC D @D 即可；（2）根据全等三角形的性质和线段之间的关系进行解答即可．【解答】证明：（1）AD Q 平分BAC Ð，EAD CDA \Ð=Ð，在ADE D 与ADC D 中，AE AC EAD CDA AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADE ADC SAS \D @D ，（2）ADE ADC D @D Q ，ED DC \=，BDE \D 的周长6457BE BD DE AB AE BC DC DC AB AC BC DC DC AB AC BC =++=-+-+=-+-+=-+=-+=4.（2020秋•武昌区期中）如图，ABC D 中，60ABC Ð=°，AD 、CE 分别平分BAC Ð、ACB Ð，AD 、CE 相交于点P（1）求CPD Ð的度数；（2）若3AE =，7CD =，求线段AC 的长．【分析】（1）利用60ABC Ð=°，AD 、CE 分别平分BAC Ð，ACB Ð，即可得出答案；（2）由题中条件可得APE APF D @D ，进而得出APE APF Ð=Ð，通过角之间的转化可得出CPF CPD D @D ，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．【解答】解：（1）60ABC Ð=°Q ，AD 、CE 分别平分BAC Ð，ACB Ð，120BAC BCA \Ð+Ð=°，1()602PAC PCA BAC BCA Ð+Ð=Ð+Ð=°，120APC \Ð=°，60CPD \Ð=°．（2）如图，在AC 上截取AF AE =，连接PF ．AD Q 平分BAC Ð，BAD CAD \Ð=Ð，在APE D 和APF D 中AE AF EAP FAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î，()APE APF SAS \D @D ，APE APF \Ð=Ð，120APC Ð=°Q ，60APE \Ð=°，60APF CPD CPF \Ð=Ð=°=Ð，在CPF D 和CPD D 中，FPC DPC CP CPFCP DCP Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()CPF CPD ASA \D @D CF CD \=，3710AC AF CF AE CD \=+=+=+=．5.如图，在ABC D 中，60BAC Ð=°，AD 是BAC Ð的平分线，且AC AB BD =+，求ABC Ð的度数．【分析】在AC上截取AE AB=，根据角平分线的定义可得BAD CADÐ=Ð，然后利用“边角边”证明ABDD和AEDD全等，根据全等三角形对应边相等可得BD DE=，全等三角形对应角相等可得B AEDÐ=Ð，再求出CE BD=，从而得到CE DE=，根据等边对等角可得C CDEÐ=Ð，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得2AED CÐ=Ð，然后根据三角形的内角和定理列方程求出CÐ，即可得解．【解答】解：如图，在AC上截取AE AB=，ADQ平分BACÐ，BAD CAD\Ð=Ð，在ABDD和AEDD中，AE ABBAD CAD AD AD=ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS\D@D，BD DE\=，B AEDÐ=Ð，AC AE CE=+Q，AC AB BD=+，CE BD\=，CE DE\=，C CDE\Ð=Ð，即2B CÐ=Ð，在ABCD中，180BAC B CÐ+Ð+Ð=°，602180C C\°+Ð+Ð=°，解得40CÐ=°，24080ABC\Ð=´°=°．6.如图，五边形ABCDE 中，AB AE =，BC DE CD +=，120BAE BCD Ð=Ð=°，180ABC AED Ð+Ð=°，连接AD ．求证：AD 平分CDE Ð．【分析】连接AC ，将ABC D 绕A 点旋转120°到AEF D ，由AB AE =，120BAE Ð=°，得到AB 与AE 重合，并且AC AF =，又由180ABC AED Ð+Ð=°，得到180AEF AED Ð+Ð=°，即D ，E ，F 在一条直线上，而BC DE CD +=，得CD DF =，则易证ACD AFD D @D ，于是ADC ADF Ð=Ð．【解答】证明：如图，连接AC ，将ABC D 绕A 点旋转120°到AEF D ，AB AE =Q ，120BAE Ð=°，AB \与AE 重合，并且AC AF =，又180ABC AED Ð+Ð=°Q ，而ABC AEF Ð=Ð，180AEF AED Ð+Ð=°Q ，D \，E ，F 在一条直线上，而BC EF =，BC DE CD +=，CD DF \=，又AC AF =Q ，ACD AFD \D @D ，ADC ADF \Ð=Ð，即AD 平分CDE Ð．7.已知：如图，在ABC D 中，D 是BA 延长线上一点，AE 是DAC Ð的平分线，P 是AE 上的一点（点P 不与点A 重合），连接PB ，PC ．通过观察，测量，猜想PB PC +与AB AC +之间的大小关系，并加以证明．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得FP CP =，根据三角形的两边之和大于第三边，可得答案．【解答】解：PB PC AB AC +>+，理由如下：在BA 的延长线上截取AF AC =，连接PF ，在FAP D 和CAP D 中，AF AC FAP CAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î，()FAP CAP SAS \D @D ，FP CP \=．在FPB D 中，FP BP FA AB +>+，即PB PC AB AC +>+．8.已知ABC D 中，AB AC =，BE 平分ABC Ð交边AC 于E ．（1）如图（1），当108BAC Ð=°时，证明：BC AB CE =+；（2）如图（2），当100BAC Ð=°时，（1）中的结论还成立吗？若不成立，是否有其他两条线段之和等于BC，若有请写出结论并完成证明．【分析】（1）如图1中，在BC 上截取BD BA =．只要证明BEA BED D @D ，CE CD =即可解决问题；（2）结论：BC BE AE =+．如图2中，在BA 、BC 上分别截取BF BE =，BH BE =．则EBH EBF D @D ，再证明EA EH EF CF ===即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，在BC 上截取BD BA =．BA BD =Q ，EBA EBD Ð=Ð，BE BE =，BEA BED \D @D ，BA BD \=，108A BDE Ð=Ð=°，AB AC =Q ，36C ABC \Ð=Ð=°，72EDC Ð=°，72CED \Ð=°，CE CD \=，BC BD CD AB CE \=+=+．（2）结论：BC BE AE =+．理由：如图2中，在BA 、BC 上分别截取BF BE =，BH BE =．则EBH EBF D @D ，EF EH \=，100BAC Ð=°Q ，AB AC =，40ABC C \Ð=Ð=°，20EBA EBC \Ð=Ð=°，80BFE H EAH \Ð=Ð=Ð=°，AE EH \=，BFE C FEC Ð=Ð+ÐQ ，40CEF C \Ð=Ð=°，EF CF \=，BC BF CF BE AE \=+=+．9.（2020秋•建华区期末）阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在ABC D 中，AD 平分BAC Ð，2B C Ð=Ð．求证：AB BD AC +=．”李老师给出了如下简要分析：要证AB BD AC +=，就是要证线段的和差问题，所以有两个方法：方法一：“截长法”．如图2，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，只要证BD = EC 即可，这就将证明线段和差问题 为证明线段相等问题，只要证出△ @△ ，得出B AED Ð=Ð及BD = ，再证出Ð = ，进而得出ED EC =，则结论成立．此种证法的基础是“已知AD 平分BAC Ð，将ABD D 沿直线AD 对折，使点B 落在AC 边上的点E 处”成为可能．方法二：“补短法”．如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =．只要证AF AC =即可，此时先证Ð C =Ð，再证出△ @△ ，则结论成立．“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．【分析】方法一、如图2，在AC 上截取AE AB =，由“SAS ”可证ABD AED D @D ，可得B AED Ð=Ð，BD DE =，由角的数量关系可求DE CE =，即可求解；方法二、如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，由“AAS ”可证AFD ACD D @D ，可得AC AF =，可得结论．【解答】解：方法一、在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图2:AD Q 平分BAC Ð，BAD DAC \Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中，AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS \D @D ，B AED \Ð=Ð，BD DE =，又2B C Ð=ÐQ ，2AED C \Ð=Ð，而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，C EDC \Ð=Ð，DE CE \=，AB BD AE CE AC \+=+=，故答案为：EC ，转化，ABD ，AED ，DE ，EDC ，C Ð；方法二、如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，F BDF \Ð=Ð，2ABD F BDF F \Ð=Ð+Ð=Ð，2ABD C Ð=ÐQ ，F C \Ð=Ð，在AFD D 和ACD D 中，FAD CAD F CAD AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AFD ACD AAS \D @D ，AC AF \=，AC AB BF AB BD \=+=+，故答案为F ，AFD ，ACD ．倍长中线倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角．其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．10.三角形ABC 中，AD 是中线，且4AB =，6AC =，求AD 的取值范围是 ．【分析】延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，证ADC EDB D @D ，推出8AC BE ==，在ABE D 中，根据三角形三边关系定理得出AB BE AE AB BE -<<+，代入求出即可．【解答】解：延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，AD Q 是BC 边上的中线，BD CD \=，在ADC D 和EDB D 中，Q AD DE ADC EDB DC BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，4AC BE \==，在ABE D 中，AB BE AE AB BE -<<+，64264AD \-<<+，15AD \<<，故答案为：15AD <<．11.（2021春•碑林区校级期中）问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABCD 中，若4AB =，3AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下ED ABC的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，则得到ADC EDB D @D ，小明证明BED CAD D @D 用到的判定定理是： （用字母表示）；问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；拓展应用：以ABC D 的边AB ，AC 为边向外作ABE D 和ACD D ，AB AE =，AC AD =，90BAE CAD Ð=Ð=°，M 是BC 中点，连接AM ，DE ．当3AM =时，求DE 的长．【分析】问题背景：先判断出BD CD =，由对顶角相等BDE CDA Ð=Ð，进而得出()ADC EDB SAS D @D ；问题解决：先证明()ADC EDB SAS D @D ，得出3BE AC ==，最后用三角形三边关系即可得出结论；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN AM =，连接BN ，同（1）的方法得出()BMN CMA SAS D @D ，则BN AC =，进而判断出ABN EAD Ð=Ð，进而判断出ABN EAD D @D ，得出AN ED =，即可求解．【解答】解：问题背景：如图1，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ，AD Q 是ABC D 的中线，BD CD \=，在ADC D 和EDB D 中，AD ED CDA BDE CD BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，故答案为：SAS；问题解决：如图1，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ，AD Q 是ABC D 的中线，BD CD \=，在ADC EDB D @D 中，AD ED CDA BDE CD BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，BE AC \=，在ABE D 中，AB BE AE AB BE -<<+，4AB =Q ，3AC =，4343AE \-<<+，即17AE <<，DE AD =Q ，12AD AE \=，\1722AD <<；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN AM =，连接BN ，由问题背景知，()BMN CMA SAS D @D ，BN AC \=，CAM BNM Ð=Ð，AC AD =Q ，//AC BN ，BN AD \=，//AC BN Q ，180BAC ABN \Ð+Ð=°，90BAE CAD Ð=Ð=°Q ，180BAC EAD \Ð+Ð=°，ABN EAD \Ð=Ð，在ABN D 和EAD D 中，AB EA ABN EAD BN AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABN EAD SAS \D @D ，AN DE \=，MN AM =Q ，2DE AN AM \==，3AM =Q ，6DE \=．12.如图，ABC D 中，D 为BC 的中点．（1）求证：2AB AC AD +>；（2）若5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．【分析】（1）再延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB D @D ，再根据三角形的三边关系可得2AB AC AD +>；（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得53253AD -<<+，再计算即可．【解答】（1）证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D Q 为BC 的中点，DB CD \=，在ADC D 和EDB D 中AD DE ADC BDE DB CD =ìïÐ=Ðíï=î，BE AC \=，在ABE D 中，AB BE AE +>Q ，2AB AC AD \+>；（2）5AB =Q ，3AC =，53253AD \-<<+，14AD \<<．13.如图，平面直角坐标系中，A 为y 轴正半轴上一点，B 、C 分别为x 轴负半轴，x 轴正半轴上的点，AB AD =，AC AE =，90BAD CAE Ð=Ð=°，连DE ．如图，F 为BC 的中点，求证：2DE AF =．【分析】延长AF 至点N ，使FN AF =，连接BN ，证明BFN CFA D @D ，根据全等三角形的性质得到BN AC =，FBN FCA Ð=Ð，证明ABN DAE D @D ，根据全等三角形的性质证明；【解答】证明：延长AF 至点N ，使FN AF =，连接BN ，在BFN D 和CFA D 中，FB FC BFN CFA FN AF =ìïÐ=Ðíï=î，BN AC \=，FBN FCA Ð=Ð，BN AE \=，ABN DAE Ð=Ð，在ABN D 和DAE D 中，AB AD ABN DAE BN AE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABN DAE SAS \D @D ，AN DE \=，2DE AF \=．14.如图，AD 是ABC D 的边BC 上的中线，CD AB =，AE 是ABD D 的边BD 上的中线．求证：2AC AE =．【分析】延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF ，由SAS 证得ABE FDE D @D ，得出DF AB CD ==，EDF B Ð=Ð，易证AB BD =，得出ADB BAD Ð=Ð，证明ADC ADF Ð=Ð，由SAS 证得ADF ADC D @D ，即可得出结论．【解答】证明：延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF ，如图所示：AE Q 是ABD D 的边BD 上的中线，BE DE \=，在ABE D 与FDE D 中，AE EF AEB FED BE DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABE FDE SAS \D @D ，DF AB CD \==，EDF B Ð=Ð，AD Q 是ABC D 的边BC 上的中线，CD AB =，AB BD \=，ADB BAD \Ð=Ð，ADC B BAD BDA EDF ADF \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，在ADF D 与ADC D 中，AD AD ADF ADC DF DC =ìïÐ=Ðíï=î，()ADF ADC SAS \D @D ，2AC AF AE \==．15.如图，在ABC D 中，D ，E 是AB 边上的两点，AD EB =，CF 是AB 边上的中线，则求证AC BC CD CE +>+．【分析】如图，延长CF 至H ，使FH CF =，连接AH ，DH ，延长CD 交AH 于点G ，通过证明AFH BFC D @D ，BCE AHD D @D ，可得BC AH =，CE DH =，利用三角形的三边关系可求解．【解答】证明：如图，延长CF 至H ，使FH CF =，连接AH ，DH ，延长CD 交AH 于点G，Q是AB边上的中线，CF\=，且CFB AFHAF BF=，Ð=Ð，CF FH()\D@DAFH BFC SAS=，Ð=Ð，且AD BE\=，CBE HADBC AH\D@D()BCE AHD SAS\=，CE DH在AGC+>+，D中，AC AG DC DG在GDH+>，D中，DG GH DHAC AG DG GH DC DG DH\+++>++，\+>+，AC AH DC DH\+>+．AC BC CD CE16.如图1，ABCÐ=Ð．D中，CD为ABCD的中线，点E在CD上，且AED BCD（1）求证：AE BC=．（2）如图2，连接BE，若2CBEÐ的度数为 （直接写出结果），Ð=°，则ACDAB AC DE==，14【分析】（1）如图1，延长CD到F，使DF CDD@D，可得=，连接AF，由“SAS”可证ADF BDCAF BC=，F BCDÐ=Ð，由等腰三角形的性质可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得DEB DBEÐ=Ð，可得14DCB DEBÐ=Ð-°，14ACB ABC DEBÐ=Ð=Ð+°，即可求解．【解答】证明：（1）如图1，延长CD到F，使DF CD=，连接AF，CDQ为ABCD的中线，AD BD\=，且ADF BDCÐ=Ð，且CD DF=，()ADF BDC SAS\D@D，AF BC\=，F BCDÐ=Ð，AED BCDÐ=ÐQ，AED F\Ð=Ð，AE AF\=，AE BC\=；（2）12DE AB=Q，CD为ABCD的中线，DE AD DB\==，DEB DBE\Ð=Ð，14 ABC DBE CBE DEB\Ð=Ð+Ð=Ð+°，DEB DCB CBEÐ=Ð+ÐQ，14DCB DEB\Ð=Ð-°，AC AB=Q，14ACB ABC DEB\Ð=Ð=Ð+°28ACD ACB DCB\=Ð-Ð=°，故答案为：28°．17.如图，ABC D 中，点D 是BC 中点，连接AD 并延长到点E ，连接BE ．（1）若要使ACD EBD D @D ，应添上条件： ；（2）证明上题：（3）在ABC D 中，若5AB =．3AC =，可以求得BC 边上的中线AD 的取值范围4AD <．请看解题过程：由ACD EBD D @D 得：AD ED =，3BE AC ==，因此AE AB BE <+，即8AE <，而12AD AE =，则4AD <请参考上述解题方法，可求得AD m >，则m 的值为 ．（4）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（提示：画出图形，写出已知，求证，并加以证明）【分析】（1）根据“边角边”求证三角形全等的方法可以添加条件AD DE =；（2）易证BD CD =，根据“边角边”求证三角形全等的方法即可解题；（3）根据三角形三边关系即可解题；（4）已知RT ABC D 中90BAC Ð=°，AD 是斜边中线，求证12AD BC =；证明：延长AD 到点E 使得DE AD =，连接BE ，易证ACD EBD D @D ，可得C DBE Ð=Ð，AC BE =，即可证明BAC ABE D @D ，可得BC AE =，即可解题．【解答】解：（1）应添上条件：AD DE =，故答案为AD DE =；（2）Q 点D 是BC 中点，BD CD \=，Q 在ACD D 和EBD D 中，BD CD ADC BDE AD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ACD EBD SAS \D @D ；（3）Q 三角形两边之差小于第三边，AE AB BE \>-，即2AE >，12AD AE =Q ，1AD \>，故答案为 1；（4）已知RT ABC D 中90BAC Ð=°，AD 是斜边中线，求证12AD BC =，证明：延长AD 到点E 使得DE AD =，连接BE ，Q 点D 是BC 中点，BD CD \=，Q 在ACD D 和EBD D 中，BD CD ADC BDE AD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ACD EBD SAS \D @D ；C DBE \Ð=Ð，AC BE =，90ABC C Ð+Ð=°Q ，90ABC DBE \Ð+Ð=°，即90ABE Ð=°，Q 在BAC D 和ABE D 中，90AB BA ABE BAC AC BE =ìïÐ=Ð=°íï=î，()BAC ABE SAS \D @D ；BC AE \=，12AD BC \=．。