空间点到直线的距离公式

平面点到直线距离

点(x0, y0)，直线：A*x+B*y+C=0，距离d。

d=|A*x0+B*y0+C|/√(A*A+B*B)

空间点到平面距离

点(x0, y0, z0)，平面：A*x+B*y+C*z+D=0，距离d。

d=|A*x0+B*y0+C*z0+D|/√(A*A+B*B+C*C)

空间点到直线距离

点(x0, y0, z0)，直线L（点向式参数方程）：

(x-x l)/m=(y-y l)/n=(z-z l)/p=t。(1) 式(1)的注释：点(x l, y l, z l)是直线上已知的一点，向量(m, n, p)为直线的方向向量，t为参数方程的参数。

空间直线的一般式方程（两个平面方程联立）转换为点向式方程的方法，请参考《高等数学》空间几何部分。

设点(x0, y0, z0)到直线L的垂点坐标为(x c, y c, z c)。因为垂点在直线上，所以有：

(x c-x l)/m=(y c-y l)/n=(z c-z l)/p=t (2) 式(2)可变形为：

x c=m*t+x l, y c=n*t+y l, z c=p*t+z l. (3) 且有垂线方向向量(x0-x c, y0-y c, z0-z c)和直线方向向量(m, n, p)的数量积等于0，即：

m*(x0-x c)+n*(y0-y c)+p*(z0-z c)=0 (4) 把式(3)代入式(4)，可消去未知数“x c, y c, z c”，得到t的表达式：t=[m*(x0-x l)+n*(y0-y l)+p*(z0-z l)]/(m*m+n*n+p*p) (5) 点(x0, y0, z0)到直线的距离d就是该点和垂点(x c, y c, z c)的距离：

d=√[(x0-x c)^2+(y0-y c)^2+(z0-z c)^2] (6) 其中x c, y c, z c可以用式(3)和式(5)代入消去。