空间点到直线距离的多种解法

空间点到直线距离的多种解法
摘 要 在空间解析几何中，空间点、直线、平面之间的关系是学习的重点，点和直线的位置关系包括两种：点在直线上，点在直线外.当点在直线外时，点到直线距离的计算随之出现.关于解决点到直线距离的问题，涵盖了空间解析几何中两点间距离、向量运算、直线方程、平面方程等诸多知识点.本文将对一具体例题，介绍点到直线距离的多种解法. 关键词 点、直线、距离、向量、平面、解法
例：求点A （2，4，1）到直线L ：3
2
221--=
=+z y x 的距离 1运用向量积的计算及向量积的几何意义
已知直线方程111
x x y y z z X Y Z ---==
，直线外一点A ()000,,x y z ，直线上
一点M ()111,
,x y z ，以v 和A M 构成平行四边形，这里v 为直线的方向向量.显
然直线外一点A 到直线的距离d 就是这平行四边形的对应于以v 为底的高.即
d=
v v A ⨯M =
2
2
2
1
01
0101
0101
0Z
Y X Y
X
y y x x X Z
x x z z Z Y z z y y ++--+--+--
解：如图（1），过点A 作直线L 的垂线，垂足为B. 设M （-1，0，2）为L 上任一点， v ={2，2，-3} 为L 的方向向量. 以v 和A M 为两边构成平行四边形 S=v A ⨯M ， 显然点A 到直线L 的距离AB 就是 这平行四边形的对应于以v 为底的高
即AB =
v
S =
v
v A ⨯M =
()
2
2
2
2
2
2
3222
2432
3313
21
4
-+++
--+
--=3
2 运用平面方程、参数方程及线面交点的方法
由点法式得到过线外一点A 且与直线垂直的平面方程.将直线方程
111x x y y z z X Y Z ---==
转化成参数方程 1
11x Xt x y Yt y z Zt z
=+⎧⎪
=+⎨⎪=+⎩
由此设出垂足B 坐标，又因为垂足B 在平面方程上，即可得出B 点坐标.再由两点间距离公式得出点到直线的距离.
解： 先求过点A 与直线L 垂直的平面方程.用点法式，得
2（x-2）+2(y-4)-3(z-1)=0 即2x+2y-3z-9=0
将直线L 方程用参数方程表示为⎪⎩
⎪
⎨⎧+-==-=2321
2t z t y t x
由此设垂足B 的坐标为（2t-1，2t,-3t+2） 因B 在垂面上得4t-2+4t+9t-6-9=0
即t=1
所以点B 坐标为（1，2，-1）
所以AB =222)11()24()12(++-+-=3
3 运用两点间距离公式及参数方程的方法
将直线方程
111
x x y y z z X Y Z
---==
转化成参数方程，可设出直线上任一点M '坐标.由两点间距离公式得出M 'A 的表达式，用取M 'A 最小值的方法即得出点到直线的距离.
解： 由直线L 的参数方程⎪⎩
⎪
⎨⎧+-==-=2321
2t z t y t x 可设L 上任一点
M '的坐标为（2t-1,2t,-3t+2）
由两点距离公式得M 'A =222)13()42()32(+-+-+-t t t =2634172+-t t =()91172
+-t
可得当t=1时，M 'A 最小值为3 所以点到直线距离为3 4 运用两向量垂直，数量积为零的结论
由直线方程
111
x x y y z z X Y Z
---==
可设出垂足B 的坐标，显然v AB ⊥,由v AB ⋅=0得到点B 的坐标，由两点距离公式得到点到直线的距离.
解：由直线L 的参数方程，可设垂足B 的坐标为（2t-1,2t,-3t+2）
直线L 的方向向量v ={2，2，-3}
AB ={2t-3,2t-4,-3t+1}
显然AB ⊥v ，得⋅AB v
=0 即 2(2t-3)+2(2t-4)-3(-3t+1)=0 得t=1
所以点B 坐标为（1，2，-1） 即 AB =222)11()24()12(++-+-=3 5 运用向量及三角函数的方法
连接直线上的点M 与线外点A 得到与直线的夹角α，则cos α
，
sin α
，
sin α即得点到直线的距离
解： 如图（1）， A M ={3，4，-1}， v
={2，2，-3}
cos α
=
26
17
sin α
=
26
3
=222)1(43-++=26
sin α=3
6 利用点到平面距离公式的方法
确定线外点A 和直线所确定的平面并作出一个过直线且垂直于点和直线所确定平面的另一平面，所求d 即为点到作出平面的距离. 解：如图(2),设点A 和直线L 所确定的平面为π'， 过直线L 且垂直于π'的平面为π.于是所求距离 d 即为点A 到平面π的距离.
设平面π的法向量为n ，则n ⊥v
另一方面，n ⊥n ' （n '
为平面π'的法向量） 因此 n = n ' ⨯v 而 n '
=v A ⨯M 所以 n =（v A ⨯M ）⨯v
=()()
A v v v v A M ⋅⋅-⋅⋅M
=}{(}){{}3,2,23,2,21,4,3-⋅-⋅--}{(}){{}1,4,33,2,23,2,2-⋅-⋅- =17{}2,2,1---
不妨取n
={}2,2,1---.得平面π的方程为
-(x+1)-2y-2(z-2)=0
即 x+2y+2z-3=0
d=
2
2
2
2
21312422++-⨯+⨯+=3
7 运用点与点关与直线对称的方法.
找出直线外一点A 的对称点A '，可知v A A ⋅'=0得到一个式子（1），又因A A '中点在直线上可得到另一个式子（2），解出由（1）（2）两式所组成的方程组，即得A '的坐标，由d=
2
A A '得出点到直线的距离.
解：设点A 关于直线L 的对称点为)(z y x A '''',,，则 v A A ⋅'=0
即 ()()()z y x '--'-+'-134222=0 ⑴
又A A '的中点 ⎝⎛⎪⎭⎫
'+'+'+21,24,22z y x a 在直线L 上
即3
2
2
12242122--'
+='+=+'+z y x ⑵ 解⑴ ⑵式组成的方程组， 得
A '的坐标为)(3,0,0-.
∴ A A '=)(4,4,2
d=
222
4422
12
++=
'A A =3 8 运用求极限的方法 .
对于直线上任一点M ，由直线方程
111
x x y y z z X Y Z
---==
得出M 的坐标，得到AM 的表达式，利用取极小值的方法，即得点到直线的距离. 解： 设M 为直线L 上一点
由
32221--==+z y x 知M 点坐标为⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+--243,,1y y y .
AM =222)12
4
3(
)4()21(-+-+-+--y y y =
26174
172
+-y y 对于26174
172+-=
y y x 因417
＞0故x 有极小值.
极小值为抛物线26174172
+-=y y x 顶点的纵坐标.
∴ x=9
∴ AM 有极小值3 ∴ d=3.
9运用球面和直线相切的方法
以直线外一点为中心作一球面并与直线相切，中心到切点的距离即半径也就是点到直线的距离.
解：设球面方程为()()()22
2
2
142d z y x =-+-+-
v ⊥MA ,
∴()()()0134222111=---+-z y x ()1
又 M 为球面上一点
∴()()()22
12
12
1142d z y x =-+-+- ()2
又
3
2
221111--=
=+z y x ()3 ∴由()1()2()3消去111z y x 得d=3
所以点到直线距离为3.
参考文献：
[1]吕林根.许子道.解析几何.高等教育出版社.2006.5 [2]焦曙光.点到直线的距离.高等数学研究
[3]傅文德.求点到直线距离的几种方法.高等数学研究.
[4]刘桂香.田素芳.空间点到直线距离的几种求法.周口师专学报.3期。