沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结以二次函数为背景的综合题 教案
沪教版(上海)九年级第一学期 教案 26.2特殊二次函数(1)
§26.2特殊二次函数图像（1）普陀区课题组教学目标 :1．观察二次函数2x y =的图像的生成过程，初步归纳二次函数2x y =的图像形状和位置特征．2．会用描点法画出二次函数2ax y = 的图像，再次感受二次函数2ax y =的图像特征． 3. 在运用图像研究二次函数直观性质的过程中，领会数形结合的思想方法，提高观察、分析、归纳和概括的能力．教学重点：二次函数2ax y =的图像特征的归纳． 教学难点：二次函数的2ax y =图像特征的运用． 教学过程：教师活动学生活动设计意图 一、 复习引入问1：前一节课我们学习了二次函数的概念，请回顾一下二次函数的定义？ 问2：定义中a ≠0，那么b 、c 可以为0吗？如果c =0，则解析式可简化为怎样的？ 问3：如果c =0，b 也等于0时，则解析式简化为怎样？师：就像一次函数一样，有了函数概念，我们还要研究函数图像．我们先从)0(2≠=a ax y 的图像开始研究．二、学习新知 问1： 一次函数的图像的描画过程是怎样的？ 师：我们研究二次函数y =x 2的图像： 问2：先列表，首先要考虑自变量的取值范围，自变量x 的取值范围是什么？ 师：考虑自变量x 可以取任意实数，因此以0为中心选取x 的值，列出函数对应值表.师：然后在几何画板的坐标平面中描点，在描点过程中分别取x 的值和相应的函数值y 作为点的坐标.答1：一般的，形如y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 为常数，a ≠0)的函数，叫二次函数.答2：可以的． y =ax 2+bx (a ≠0) 答3：y =ax 2 (a ≠0)y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 为常数，a ≠0)的函数，叫二次函数。
答1： 列表，描点，连线． 答2：x 可以取一切实数．师示范，生模仿，同步画图，下同．从二次函数的概念的复习入手，由a,b,c 这三个常数的取值变化来引入)0(2≠=a ax y 这种二次函数的解析式，并由此开始二次函数图像的研究．从回顾一次函数图像的描画过程来引入二次函数图像的描画过程．这里可以告诉学生；既然x 可以取一切实数（正数，负数和零），我们不妨选取零和一些互为相反的正负数． 数值表的取值中，x 值由老师提出，可由学生算出y 值．师：最后用平滑的曲线顺次联结各点，得到函数2xy=的图像.师：二次函数y=x2的图像是一条曲线，它属于一类特殊的曲线．这类曲线称为抛物线．二次函数y=x2的图像就称为抛物线y=x2．师：抛物线y=x2有何特征？师：抛物线的顶点：抛物线与它的对称轴．．．．．的交点叫抛物线的顶点．抛物线y=x2的顶点是原点O（0，0）. 【适时小结】抛物线y=x2的图形特征：1．开口方向向上；2．是轴对称图形，对称轴是y轴，即直线x=0；3．抛物线的顶点是原点O（0，0）．试一试：用上述方法取相同的x的值画出二次函数y=-x2的图像，与y=x2的图像进行比较再归纳它的特征.问：y=x2和y=-x2在图像上有何异同？学生观察交流，老师引导归纳，讲解顶点的概念．相同点：1）都是抛物线，且抛物线的顶点是同一个点，都是坐标原点．2）都关于y轴（直线x=0）对称．不同点：1）抛物线y=x2开口方向向上，图教师在几何画板中输入坐标数对，几何画板自动生成平面上的点．这样比黑板画图更为漂亮、精确和高效，也便于下一步连线成抛物线．在几何画板中用函数绘制工具画出2xy=的图像，曲线经过已取的各点．表明这些点的几何即为此抛物线．此时引出抛物线的概念，便于后面反复提及和强调此概念．通过开放性问题，我们引出了图像的一系列的特征：轴对称；开口方向向上；无限延伸特性；抛物线顶点概念以及图像的最低点特征．【适时小结】抛物线y =-x 2的图像特征：1.开口方向向下；图像在y 轴左侧部分上升，y 轴右侧部分下降．2.它是轴对称图形，对称轴是y 轴，即直线x =0.3.顶点是坐标原点，而且它是抛物线的最高点．y =x 2的图像与y =-x 2的图像关于x 轴对称． 例题 在同一个平面直角坐标系xOy 中，分别画出二次函数222121x y x y -==和的图像． 解： 问1:抛物线222121x y x y -==和有何共同特征？有何不同？ 问2:通过以上研究，抛物线y =ax 2(a ≠0)开口方向的变化规律？ 【适时小结】 1.一般，二次函数y =ax 2(a ≠0)图像是抛物线，称为抛物线y =ax 2(a ≠0)； 2.抛物线y =ax 2(a ≠0)是轴对称图形，对称轴是y 轴,即直线x =0； 3.顶点坐标是原点，抛物线的开口方向由a 所取值的符号决定，当a >0时，它开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a <0时，它开口向下，顶点是抛物线的最高点． 师：把2x y =的图像与2x y -=；222121x y x y -==和显示在同一个几何画板，进行比较：问：从上图的y =ax 2(a ≠0)的图像中，我们猜测一下，a 的大小与抛物线开口大小有没有关系？像在y 轴左侧部分下降，y 轴右侧部分上升．抛物线y =-x 2开口方向向下，图像在y 轴左侧部分是上升的，右侧部分是下降的．2）y =x 2顶点是图像最低点，y =-x 2顶点是图像最高点．答1：抛物线221x y =开口向上，向左上方和右上方无限延伸，在y 轴左侧部分下降，在y 轴右侧部分上升．顶点是抛物线最低点． 抛物线221x y -=开口向下，向左下方右下方无限延伸，在y 轴左侧部分上升，在y 轴右侧部分下降．顶点是抛物线最高点． 答2：当a >0时，开口方向向上；a <0时，开口方向向下． 答：有，a 越大，抛物线开口就越小；反之，a 越小，抛物线开口就越大；a 相同，抛物线形状相同，开口大小相等．2x y -=图像的出现一方面是强化刚才适时小结中抛物线的一些特征；另一方面为了与2xy =的图像进行类比；从而获得异同点，以及两个图像之间的关于x 轴对称的特性． 为了便于对比把取值列表合并在一起．并把两个图像也放在一起研究，便于比较． 通过比较图像的异同点，强化此类二次函数图像的特征． 学生取值，直接把两个函数放在．便于比较数据与图像之间关于这两个函数的比较． 通过再次画出222121x y x y -==和的图形在进一步理解抛物线)0(2≠=a ax y 图像的特征．问5把四个函数放在一个坐三、课堂练习： 1.抛物线231x y =与抛物线231x y -=的图像有何共同点和不同点？两条抛物线有怎样的对称性？2.已知关于x 的二次函数y =(1+2k )x 2 ，当k 为何值时，它的图像开口向上？当k 为何值时，它的图像开口向下？ 3.已知①23x y -=、②223x y =、③2325x y -=，把这三个二次函数图像开口大小由小到大按序号排列．四、课堂小结：学生完成五、作业布置：练习册§26.2（1）答1：列表呈现．答2：开口向上；,21->k ,21-<k 开口向下．答3:②、①、③ 标系内比较，便于学生得理解并归纳出a 的大小与抛物线开口大小之间的关系．课堂练习中增加了a 的大小与抛物线开口大小之间的关系的习题．课堂小结用列表的形式，把本节课所归纳的结论在表格中类比展现，便于学生记忆！。
沪教版(上海)初中数学九年级上“二次函数的综合运用—满足特殊条件的点的坐标求法 教案
“二次函数的综合运用——满足特殊条件的点的坐标求法”一、教材分析在中学代数中有一块很重要的内容，那就是二次函数。
二次函数既简单又具有丰富的内涵和外延。
可以作为函数来研究，也可以结合图形来研究，同时它又可以融合很多的数学思想。
作为最基本的初等函数，二次函数也是历年中考的热点和难点。
特别是与二次函数有关的综合运用是学生遇到的困难比较大的内容。
为了提高学生解决有关二次函数的综合问题的能力，也为了让学生更好的内化数形结合、分类讨论等数学思想。
在初三总复习阶段对与二次函数有关的综合题的探究是十分有必要的。
二、学情分析本节课主要是针对农村普通中学的初三学生。
时间段是指学生已经完成初中数学所有知识的学习，并完成第一轮基础复习的基础上进行的。
这种情况下，学生已对二次函数、相似三角形、直角坐标平面等重要知识有了一定程度的掌握，他们已具备一定的抽象概括能力，具有初步的建模经验和一定的探究经验和能力。
尽管如此，很多学生对于解决综合性较强的问题仍有困难，他们不知从哪下手解决。
对于复杂情景中的数量关系的准确把握的能力尚有欠缺。
对几种常见的数学思想如数形结合、分类讨论、化归等理解尚浅，需进一步的领会研究。
三、教学目标1、通过典型例题的探究进一步掌握与二次函数有关基本性质，体会二次函数综合题中符合一定条件的点的坐标的求法。
2、通过层层递进式的探究，激发学生探索的欲望，提高学生解决综合问题的能力。
让学生感受数形结合的奥妙。
提高用分类讨论等思想方法来解决问题的能力。
培养学生严谨的思维习惯教学重点、难点教学重点：二次函数综合题中符合一定条件的点的坐标求法的分析，注重学生思维能力的培养。
教学难点：数形结合，分类讨论的理解和应用。
、五、教学过程：1、填表函数开口方向顶点坐标对称轴y=2x2y=3-x2y=-2(x+3)2y=-(x-1)2+32、把二次函数y=-2(x-1)2+3 图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的函数解析式为（）A. y=-2(x-3)2+4B. y=-2(x-3)2+2C. y=-2(x+1)2+4D. y=-2(x+1)2+23、若二次函数的图象经过下列坐标平面内的点，求解析式（1）A(-1，0） B（0，-3） C（1，-4）（2）A(1，0)和顶点 B（2，-1）（备注：课前练习主要是针对与二次函数有关的基础知识进行复习巩固，也为完成本节课奠定良好的基础。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 26.1 二次函数的概念 教案
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯26.1 二次函数的概念教学目标:1. 类比正比例函数、反比例函数及一次函数的学习过程，并通过解决实际问题经历二次函数概念的形成；2.正确理解二次函数概念；会求一些简单的实际问题中二次函数的解析式和它的定义域. 教学重点:理解二次函数概念.教学难点:由实际问题确定函数解析式及自变量的取值范围.教学过程：一、 温故知新1. 回顾正比例函数、反比例函数、一次函数的学习过程并归纳：学习内容：概念→图像→性质→简单应用学习过程：特殊到一般，简单→复杂学习方法：数形结合2. 回顾正比例函数、反比例函数、一次函数的概念3. 由实际问题引入（1） 正方形的边长是x (cm)，面积y (cm 2)与边长x 之间的函数关系如何表示？（2） 正方形的长为4厘米，如果将它的边长增加x 厘米，则面积随之增加y 平方厘米，写出y 关于x 的函数解析式.（3） 某厂七月份的产值是100万元，设第三季度每个月产值的增长率相同，都为x （x >0）,九月份的产值为y 万元，写出y 关于x 的函数解析式.二、 学习新知1、 归纳类比，形成定义：一般的，解析式形如2y ax bx c =++(a ≠0，a 、b 、c 为常数)的函数叫做二次函数． 二次函数2y ax bx c =++的定义域是一切实数2、 概念辨析下列函数中哪些是二次函数？ x y 43)1(= 15.0)2(2+-=x y )12()3(-=x x y xx y 12)4(2-=3)2()5(2-+=x y 22)4()6(x x y -+=归纳二次函数解析式的特征：①自变量x 的最高次数为二次②二次项系数不等于０③函数解析式的一边是一个二次整式三、例题分析例1 圆柱的体积V 的计算公式是2V r h π=，其中r 是圆柱底面的半径，h 是圆柱的高.（1）当r 是常量时，V 是h 的什么函数？（2）当h 是常量时，V 是r 的什么函数？例2 用长为20米的篱笆，一面靠墙(墙长超过20米)，围成一个长方形花圃，如图所示.设AB 的长为x 米，花圃的面积为y 平方米，求y 关于x 的函数解析式及函数定义域.四、课堂小结1. 二次函数的概念;2．体会数学知识的内在联系;3.在接下来的二次函数学习中，我们将会学习的内容、过程、方法是什么？五、布置作业1.练习册 习题26.12.（选做题）已知函数m x m xm y m m +-++=--)3()1(122，当m 为何值时，函数是二次函数？。
沪科版九年级数学上册《二次函数》教案及教学反思
沪科版九年级数学上册《二次函数》教案及教学反思引言二次函数是初中数学中相对复杂的一个概念，它相对于一次函数来说有更多的特征与应用，如顶点、对称轴、零点、最值等。
本文将介绍一份针对沪科版九年级数学上册《二次函数》这一章节的教案，并对教学反思进行探讨。
教学背景这份教案是我在上海某初中进行的一次实验性课堂教学。
此教案适用于九年级的初中生，要求学生已经掌握了二元一次方程的求解、一次函数的性质和图像以及代数式的变形等基础知识。
教学目标1.掌握二次函数的定义及其一般式、顶点式和根式的相互转化；2.掌握二次函数的图像特征，如顶点坐标、对称轴、零点、最值等；3.了解二次函数的应用，如求解实际问题中的最值问题等。
教学过程第一步：引入老师问学生：你们对什么样的函数比较熟悉？学生回答可能会有：一次函数、常函数等等。
老师接着问：那么你们知道二次函数是什么吗？学生回答可能为不知道或者知道一点点。
老师引入二次函数，介绍二次函数的定义及一般式、顶点式、根式的相互转化。
第二步：解析图像老师通过投影仪将二次函数的图像投影到黑板上，让学生观察二次函数的图像特征，比如顶点的坐标、对称轴、零点、最值等等。
学生需要根据图像，计算出相关特征。
老师会鼓励学生以互动的方式来回答，更好地激励学生的思考和学习兴趣。
第三步：应用案例在此步骤，老师会带领学生运用所学知识，解决实际问题。
老师会给出一些二次函数的实际应用，如最值问题等，并引导学生通过图像及代数式求解。
第四步：交流与总结本节课主要以小组合作、分组讨论的方式展开，通过搜集资料、解决问题等等不同形式的活动，使学生从交流中学习彼此的思路与想法。
在教学结束时，本课将通过展示学生成果、集体现场讨论等方式，促进学生的学习体会及信息互换，进一步进行问题的探讨与总结。
教学反思相对于其他部分的数学教学，二次函数因为有着图像特征与复杂的应用，因此需要更多的实践性教学。
对于学生来说，记忆数学知识并不是最方便的方法，因此更好的方式是通过亲身体验与实践，理解数学应用的本质。
沪教版(上海)九年级第一学期 教案设计 26.1二次函数的概念
教学目标：
1、理解二次函数的概念；
2、会求一些简单的实际问题中二次函数的解析式和它的定义域；
3、在从问题出发到列二次函数解析式的过程中，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义.
教学重点：二次函数概念.
教学难点：实际问题中函数解析式及定义域的确定.
教学设计过程：
教师活动
例题1正方形的边长是x(cm)，面积y( )与边长x之间的函数关系如何表示？
例题2农机厂第一个月水泵的产量为50(台)第三个月的产量y(台)与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？
师:观察这两个函数，找出他们的相同点。
三、学习新知
1、二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)的函数叫做二次函数．
分析：
问1：怎么用代数式表示BC？
问2：矩形面积怎么求？
例题5三角形的两条边长的和为9cm，它们的夹角为 ，设其中一条边长为x(cm)，三角形的面积为y(cm2)，试写出y与x之间的函数解析式及定义域.
.分析：
问1：画出图形,并标图
问2：高在哪里?怎么用代数式表示
四、巩固练习
1、已知二次函数
（1）当 时，求函数Y的值；
当 是常量时，V是 的什么函数？
3、例题分析
例题3设圆柱的高h(cm)是常量，写出圆柱的体积V(cm3)与底面周长c(cm)之间的函数关系式．
分析:
问1：周长和半径什么关系？
问2：体积和半径什么关系？
例题4用长为20米的篱笆,一面靠墙(墙长超过20米),围成一个长方形花圃,如图所示.设AB的长为x米,花圃的面积为y平方米,求y关于x的函数解析式及函数定义域.
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 26.2二次函数的图象与性质 教案
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯26.2.2二次函数c ax y +=2、()2m x a y +=的图象与性质学习内容学习水平 AB C D会画二次函数c ax y +=2、()2m x a y +=的图象 √掌握二次函数c ax y +=2、()2m x a y +=的性质，并会应用√ 知道二次函数2ax y =与c ax y +=2、()2m x a y +=的联系 √1、研究特殊形式的二次函数c ax y +=2、()2m x a y +=的图像，并归纳出图像的特征2、知道c ax y +=2、()2m x a y +=如何由二次函数2ax y =平移得到.【教学过程】 一、回顾旧知：二、探索新知：探究1 在同一直角坐标系中，画出二次函数y ＝221x ，y ＝2212+x 的图象．解：列表描点、连线观察图象得：开口方向对称轴 顶点坐标 2ax y =x … －2 23- －1 0 1 23 2 … y ＝221x … … y ＝2212+x ……1、把抛物线221x y =向______平移______个单位，就得到抛物线2212+=x y ； 2、抛物线221x y =与2212+=x y 的形状___________．抛物线2212+=x y 开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，顶点是抛物线的最 点. 思考：函数2212-=x y 的图像与函数221x y =的图像之间有怎样的关系？函数2212-=x y 的图像有哪些特征？ 归纳1：二次函数c ax y +=2的图像是抛物线，可以通过将抛物线2ax y =向上（0>c 时）或向下（0<c 时）平移c 个单位得到.抛物线c ax y +=2（其中a 、c 是常数，且0≠a ）的对称轴是y 轴，即直线0=x ;顶点坐标是（0，c ）.抛物线的开口方向由a 所取值的符号决定，当0>a 时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a <0时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点. 探究2在同一直角坐标系中，画出二次函数y ＝221x ，y ＝2121）（+x 的图象． 列表描点、连线观察图象得：1、把抛物线221x y =向______平移______个单位，就得到抛物线()2121+=x y ； 2、抛物线221x y =与()2121+=x y 的形状_________．抛物线()2121+=x y 开口 ，对x … -4-3 -2 －1 0 1 2 3 … y ＝221x …… y ＝2121）（+x ……称轴是 ，顶点坐标是 ，顶点是抛物线的最 点. 思考：函数()2121-=x y 的图像与函数221x y =的图像之间有怎样的关系？函数()2121-=x y 的图像有哪些特征？ 归纳2：二次函数()2m x a y +=（其中a 、m 是常数，且0≠a ）可以通过将抛物线2ax y =向左（0>m 时）或向右（0<m 时）平移m 个单位得到.抛物线()2m x a y +=（其中a 、m 是常数，且0≠a ）的对称轴是过点()0,m -且平行（或重合）于y 轴的直线，即直线m x -=;顶点坐标是()0,m -.抛物线的开口方向由a 所取值的符号决定，当0>a 时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a <0时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 26.3 在二次函数背景下的面积问题 教案
课题：在二次函数背景下的面积问题一、教学目标：1、通过对常见的二次函数背景下的面积问题的分析，让学生在中考二模后的复习中对这类问题更加系统的巩固和掌握2、学生能够熟练的掌握二次函数、一次函数解析式的求法，两点间距离公式的掌握，这些作为本节课内容必备的基础知识储备，学生要能熟练掌握3、通过6个问题的设置，从一条边在坐标轴上的三角形面积的求法到二次函数图像上的点构成的三角形、四边形面积的求法，在这类问题中利用“割”或“补”的方法，把这些图形的面积求法转化成边在坐标轴上一类的面积来进行处理。
4、对于求面积问题中常见的模式：同底等高、同底不等高一类面积问题的处理要想到对应的处理的方法，例如：几个三角形同底，而第三点所在的直线平行于同底的边，这类问题的出现让学生能有作平行线的意识。
5、通过问题的层层铺垫，注重学生能力的提升，例题中第6问以二次函数为背景的一道函数解析式的探究，培养学生的分析问题的能力和综合应用能力。
二、教学重点、难点：重点：学生在遇到二次函数背景下的面积问题的处理时，对于一边不在坐标轴上的三角形面积以及一些不规则多边形面积的求解过程中要有“割”、“补”的意识。
难点：1、利用作平行线的方法构造出同底等高的基本图形后再解决求点坐标2、例题中第6问中在学生充分思考的基础上，如何引导学生采用合适的方法进行面积的分割从而使问题得以解决。
三、设计意图：第1问：要求学生熟练求出二次函数解析式第2问：要求学生能快速利用面积公式对一边在坐标轴上的面积问题进行解答第3问：对于一边不在坐标轴上的三角形面积以及不规则四边形面积的求法，在这类问题中利用“割”或“补”的方法，把这些图形的面积求法转化成能直接利用面积公式进行计算问题进行处理，求三角形面积中也要让学生有利用勾股定理的意识，能够直接利用面积公式计算。
第4、5问：这2个问题的设置，其中第4问是为第5问作铺垫，让学生能够能利用作平行线的方法构造出同底等高的问题进行处理，交轨法求交点坐标，锻炼学生的计算能力。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 26.3 二次函数解析式的确定 教案
九年级上学期26.3 二次函数解析式的确定（1）课型：代数新知（概念理解）课教材分析一、教材的地位和作用《二次函数解析式的确定》是九年级第一学期数学课本中的内容。
本节内容是在学习了二次函数一般式和顶点式的基础上，确定二次函数解析式第一课时。
能明确所需独立条件的个数与二次函数两种表达式的关系。
会用数形结合的方法，实现新旧条件之间的转化。
并进一步掌握待定系数法的基本运用。
二、对教学目标的定位和认识重视对教学目标的正确定位和引领作用。
我把教学目标定位为：1．通过基础知识整理、基础知识运用，完善学生已有的知识结构，进一步掌握二次函数解析式的两种表达式2．能根据不同的条件，选择比较合理的方法，确定二次函数解析式。
实现新旧知识的转化，领悟化归的思想。
3．巩固待定系数法，领悟数形结合等数学思想.4．精选学生必需的数学知识，遵循学生认知心理发展的规律，提供学生亲身感受、体验的机会；5．把学知与学做紧密结合起来，使学生的认知获得、过程经历、情感态度与价值观发展在数学学习中得到和谐统一。
学情分析1.学生已有的知识经验：二次函数的图像和性质，二次函数解析式的两种基本形式（一般式、顶点式），用配方法把一般式化成顶点式。
2.学生独立学习学得会的：已知图像上的三点，用待定系数法求函数解析式。
3.学生需要合作学习后才能达到的：（1）选择合理的基本形式，正确地求出二次函数的解析式。
（2）数形结合，分析出图像上的特殊点，再比较出所选解题方法的优劣。
教学目标1.进一步掌握二次函数解析式的两种表达式.2.能根据不同的条件，选择比较合理的方法，确定二次函数解析式.3.巩固待定系数法，领悟数形结合等数学思想.教学重点1. 二次函数解析式的确定.一般式c bx ax y ++=2 顶点式k m x a y ++=2)(2. 待定系数法，数形结合的数学思想.教学过程一.读 5分钟1.回忆并小结：到目前为止，学过的二次函数解析式的基本类型。
一般式c bx ax y ++=2顶点式k m x a y ++=2)(2.阅读教材例9，看懂解题思路和过程，并小结待定系数法的步骤。
{word试卷}沪教版(上海)初中数学九年级第一学期二次函数中的数形结合教案
20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：二次函数中的数形结合[教学目标]通过二次函数知识的梳理和相关问题的解决，进一步巩固二次函数的相关知识，加深数形对应的认识，体会数形转换的方法，感受数形结合的思想.[教学重点]体会数形转换的方法，感受数形结合的思想在二次函数中的应用[教学难点]根据问题的条件和所求结论灵活进行数形转换、数形结合[教学过程]一、回顾研究函数的过程定义→图像→性质二、梳理函数在数、形两个角度的特征及其对应关系函数的代数特征函数图像的几何特征二次函数解析式图像是抛物线（1）a>0 (2) a<0 (1)抛物线开口向上(2)抛物线开口向下对称轴：直线(同左、异右)抛物线是轴对称图形(左同) (右异)常数项c 抛物线的截距为c，图像一定经过点判别式(1)抛物线与x轴有两个公共点(2)抛物线与x轴有一个公共点(3)抛物线与x轴无公共点(1) (2) (3)三、问题解决问题1、二次函数的图像如图所示，则下列结论不成立的是（）A、 B、C、 D、问题2、二次函数的图像如图所示，根据图像解答下列问题：（1）写出y随着x的增大而减小的自变量x的取值范围；（2）写出方程的两个根；（3）写出不等式的解集；问题3、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴分别交于A、B两点，与y 轴负半轴交于点C。
若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求抛物线解析式。
问题4、在平面直角坐标系中，已知二次函数（）的图像与x轴相交于点A、B，顶点为C，点D在这个二次函数图像的对称轴上。
若四边形ACBD是一个边长为2且有一个内角为的菱形，求此二次函数的解析式.[课堂小结]1、本节课我们有哪些体会和收获呢？2、借用伟大数学家华罗庚的诗一首，表达我们此时此刻的感悟数形本是相倚依，焉能分作两边飞?数缺形时少直觉，形少数时难入微,数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期26.2(1)特殊二次函数的图像(二次函数 的图像) 教案
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯§26.2（1）特殊二次函数的图像（二次函数2y ax =的图像）【教学目的】(1)了解二次函数2y ax =的图像是抛物线，会用描点法画二次函数2y ax =的图像． (2)借助二次函数2y ax =的图像归纳二次函数2y ax =的基本性质并加以直观描述．（主要讨论顶点坐标、开口方向、对称性）．(3) 在运用图像研究二次函数性质的过程中，领会和运用数形结合的思想方法． (4) 培养学生通过独立思考，归纳、概括、提炼数学知识的方法.【教学重点】会用描点法画出二次函数2ax y =的图像，概括出图象的特点及函数的性质． 【教学难点】会用描点法画二次函数2ax y =的图像.【教学过程】一、复习导入问题 1.二次函数的一般式及定义域；2.一次函数的特殊函数是什么函数？它的解析式及图像分别是什么？ 二、探究新课 用描点法画出函数2x y =的图像（1）描点法画函数2x y =的图像前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？（由解析式可以看出x 可以取任意实数，不妨以0为中心，均匀选取一些便于计算的x 的值，看看画出来的图形的大致形状，如有问题再加以修正或补充．） 步骤：1）列表：x… -223- -1 21- 0 21 1 232 …2x y = …449 141 041 149 2 …2） 描点：3） 连接成光滑曲线： 说明：画图时曲线不能画到端点为止，必须超过端点，表示可以向上（或向下）无限延伸．顶点处要画得光滑，不能画成尖端．（2）观察函数2x y =的图象，它的形状、位置有哪些特征？（引导学生观察列表中的数据）函数2x y =的图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把这种图像叫做抛物线。
通过观察可以发现，抛物线2x y =经过原点O ，且位于y 轴的左右两侧，向上无限延伸；当自变量x 取互为相反数的两个数时，它们所对应的函数值相同；从图像中也可以看出，横坐标互为相反数的任意两个点总有相同的纵坐标，这样的两点是关于y 轴对称的点，所以抛物线2y x =关于y 轴对称．同时，通过图像，我们还能观察到抛物线与对称轴y 轴有交点，将它定义为顶点．顶点是抛物线2y x =的最低点． 试一试 用上述方法画出函数2x y -=的图像，再归纳它的图像特征. 例题 在同一直角坐标系xOy 中，分别画出二次函数221x y =和221x y -=的图像. 并指出它们有何共同点？有何不同点？（解：略.） 共同点：都以y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点．不同点：221x y =的图像开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．221x y -=的图像开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．二次函数2ax y =的图像是抛物线。
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以二次函数为背景的综合题
复习目标：
1、熟练掌握用待定系数法求二次函数；
2、结合二次函数的性质与多个知识点的沟通解决有关数学的综合题
3、体会数学思想方法，如：数形结合思想、方程思想、分类讨论思想；复习重点：掌握函数中典型几何问题的解题方法
复习难点：数学思想的渗透
教学
环节
设计过程设计说明
一、
知
识
点
回
顾
1、二次函数y＝－（x－1）2+3图像的顶点坐标是______
开口方向________对称轴_________
2、将抛物线向上平移3个单位，向左平移
2个单位后可得到抛物线的解析式_________________
3、如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2＋bx＋c
的大致图像为（）
通过这三个题目主要是回顾
二次函数中的性质且灵活的
运用性质
二、
知
识
探
究
已知：抛物线c
bx
ax
y+
+
=2经过点A（1，0），B（4，
0），C（0，2）。
求：
问题1：抛物线的解析式；
变式1：将点C的坐标（0，2）这一条件改为：cot OBC
∠
=2,求点C的坐标。
变式2：将点C的坐标（0，2）这一条件改为：抛物线
于y轴正半轴交C点，且OBC
OCA∠
=
∠,求抛物线的
解析式
问题2：点D（-1，5）在所求的抛物线上吗？为什么?并
求BCD
∆的面积。
在直角坐标平面内，根据确定
的三点用待定系数法求抛物
线的解析式是每一个学生要
掌握的。
变式1对锐角三角比这一知
识点的复习，明确线段转化到
点的坐标要注意象限性。
变式2对相似三角形的性质
和判定的复习，注意规范解题
格式。
问题2点是否在图像上主要
是通过计算的方法去解决。
求
BCD的面积有多种方法，
一方面考虑通性、通法，另一
方面考虑择优
问题3：将所求的抛物线如何平移使顶点坐标恰好是坐标原点？
变式1：沿y轴方向向上（下）平移几个单位后经过原点？
变式2：将所求的抛物线沿y轴方向向上（下）平移几个单位后经过点（-1，0）？
变式3：将所求抛物线沿x轴方向向左（右）平移几个单位后，使平移后的抛物线的对称轴为y 轴？
问题4：在直角坐标平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标.
问题5：如果⊙P过点A、B、C三点，求圆心P的坐标。
复习求顶点坐标的方法，上下平移的知识点，在第一轮复习中仅停留在两条抛物线之间是如何平移得到，此题中再加以适当的难度，旨在让学生掌握上下平移与左右平移的区别和联系
问题4的设置是对平行四边形性质的复习及分类讨论、数形结合的思想
问题5如何确定三角形的外心，利用两点间距离公式确定点需要满足的数量关系
三、
小
结
师生共同回顾本节课的内容和学习这节课的收获。
四、作业如图，在平面直角坐标系xOy中，O为原点，点A、C的
坐标分别为（2，0）、（1，3
3）.将△AOC绕AC
的中点旋转180°，点O落到点B的位置，抛物线
x
ax
y3
2
2-
=经过
点A，点D是该抛物线的顶点.
（1）求证：四边形ABCO是平行四边形；
（2）求a的值并说明点B在抛物线上；
（3）若点P是线段OA上一点，且∠APD=∠OAB，求
点P的坐标；
(4) 若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行
四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上，写出点P
的坐标.
B
C
D
A x
y
O。