矩量法 第二章[word 版]
第10章矩量法介绍
第十章 矩量法解析方法仅适用于结构简单的散射体。
如果散射目标结构复杂，必须选用数值方法。
数值方法是对所求解的微分方程或积分方程实施离散，采用一组基函数表示电场、磁场或感应电流等未知量，然后将电磁场微分方程或积分方程转换为一组线性代数方程，即可按照标准的数值程序求解这些线性方程组。
数值方法的优点在于容易处理结构复杂的散射体，而且通常可以获得高精度解。
随着高性能计算机的飞速发展，数值方法已经成为解决实际问题的日益重要的工具。
现今已有多种数值方法，各具特色，分别适用于求解不同的电磁问题。
典型的数值方法是矩量法（MoM ）、时域有限差分法（FDTD ）和有限元法（FEM ）等。
本章讨论矩量法，后两章将分别介绍时域有限差分法和有限元法。
矩量法是求解算子方程的有效方法，这些算子通常是微分算子、积分算子或者是两者的组合。
20世纪60年代， R. F. Harrington 首先将矩量法用于电磁问题的求解[1]。
目前已经广泛地用于天线分析、微波器件的设计以及复杂目标的雷达散射截面（RCS ）的计算。
通常认为矩量法是精度最高的数值方法，因此引起更多的关注。
如今很多商用软件的开发都基于矩量法。
但是，矩量法需要求解稠密的矩阵方程。
对于电大尺寸的散射体，它将十分消耗大量机时及内存。
为了解决这个问题，人们作了很多努力，研发快速计算和有效的存储方法。
因此发展了很多有关积分方程的快速求解算法，大力推动了矩量法的应用。
10-1一般步骤典型的算子方程可以表示为下列形式h Lf = （10-1-1）式中L 为线性算子，可以是微分、积分或两者组合，h 为一个已知函数，f 为待求的未知函数。
这些函数可以是矢量或标量，且定义域可为一维、二维或三维空间。
因此，在电磁学中它们可以是空间及时间函数。
矩量法的一般步骤是，首先将未知函数表示为一组基函数的线性组合，然后匹配算子方程，最后由离散的线性方程组求出展开系数。
下面详述矩量法的具体步骤。
首先令N f f f ,,,21 为一组基函数，那么，未知函数)(x f 可以近似表示为∑==+++≈Nn n n N N x f a x f a x f a x f a x f 12211)()()()()(（10-1-2）式中),,3,2,1(N n a n =为展开系数，它们是未知的。
02第二章第4节 测量结果的数据处理实例
两种方法标准差之比
0.0031 1.069 1 u 0.0029
u 0.069 u 0.069 2 2 0.707 n 1 8
6
无系统误差· 存在
一、等精度直接测量列测量结果的数据处理实例
6、判断粗大误差 1）3σ 判别准则——测量次数较少，不适用 2）格罗布斯判别准则——排序
10
一、等精度直接测量列测量结果的数据处理实例
4、判断有无粗大误差 1）按罗曼诺夫斯基准则，首先怀疑第9个测得值含有粗大误差，将其 剔除，根据剩下的9个测得值计算算数平均值及标准差，得 x9 10.0005mm
9 0.12m
选取显著度 0.05 ，已知n=10查表得
k(10,0.05)=2.43
0(10,0.05) 0.477
11 0.5 0(10,0.05) 0.477
，
故表中第9个测得值含有粗大误差，应予剔除
14
一、等精度直接测量列测量结果的数据处理实例
4、判断有无粗大误差 3）按狄克松准则 再判别最小值x(1) 计算统计量 11
11
则
x (1) x (2) 10.0003 10.0004 0.25 x (1) x ( n 1) 10.0003 10.0007
2
一、等精度直接测量列测量结果的数据处理实例
例2-22 对某一轴径等精度测量9次得到下表数据，求测量结果
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
li / mm
24.774 24.778 24.771 24.780 24.272 24.777 24.773 24.775 24.774
i / mm
基于矩量法二维金属体散射(内含matlab程序)
基于矩量法的二维金属体散射计算1 问题的描述本题是用矩量法计算二维金属圆柱体的散射场，如图所示为一圆柱体和一个椭圆柱的截面，为了计算简单，选入射波为垂直z 轴入射的TM 或TE 平面波i z E i z E x22 矩量法求解过程电场积分方程问题的分析由麦克斯韦方程组H j E ωμ-=⨯∇ (1) J E j H +=⨯∇ωε (2)可得电场积分方程为''20')()(4)(ds K H J KZ E x z ρρρρ--=⎰⎰(3) 表示在圆柱表面的面电流在远处产生的总场。
设入射场为E i z ，散射场为E s z ，由金属表面的边界条件s z i z z E E E +==0 (4)得 ''20')()(4)(dl K H J KZE Cz iz ρρρρ-=⎰ (5) 离散化设入射波为)sin cos (φφy x jk iz eE +-=,将散射体截面C 分为N 份△C n ，用点匹配法对上述积分式子进行离散化， 即基函数可取{上在其它C n f ∆=10)(ρ (6)可得下列离散方程：[P]{J}={b} (7) 其中：dt y y x x K H KZ P m m C mn n))()((42220-+-=⎰∆ (8) )sin cos (i m i m y x ik m eb φφ+-= (9)当m ≠n 时，()))((42220m n m n n mn y y x x K H C KZ P -+-∆=(10) 当m=n 时 解析积分为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆=e C K j C ZK P n n nn 4lg 214γπ (11) 其中γ=,e=方程组的求解可用LU 分解求解方程组，即P=LU ，其中P 为可逆矩阵，L 为上三角矩阵，U 为下三角矩阵，则可利用这两个基本的三角矩阵进行求解J ，求出J 之后，就可求散射场dl e y x J KZF F y x jk z Cs ))sin()cos((),()(ϕϕφ+⎰= (12))4/3(81)(πρπρρ+-=K j e KF (13)与二维场中的散射截面2))sin()cos((2),(4)(dle y x J KZ y x jK Cz φφφσ+⎰=(14)输出结果的验证此散射问题也可用模式展开法进行求解，可用此结果对本问题进行验证。
第10章 矩量法剖析
第十章 矩量法解析方法仅适用于结构简单的散射体。
如果散射目标结构复杂，必须选用数值方法。
数值方法是对所求解的微分方程或积分方程实施离散，采用一组基函数表示电场、磁场或感应电流等未知量，然后将电磁场微分方程或积分方程转换为一组线性代数方程，即可按照标准的数值程序求解这些线性方程组。
数值方法的优点在于容易处理结构复杂的散射体，而且通常可以获得高精度解。
随着高性能计算机的飞速发展，数值方法已经成为解决实际问题的日益重要的工具。
现今已有多种数值方法，各具特色，分别适用于求解不同的电磁问题。
典型的数值方法是矩量法（MoM ）、时域有限差分法（FDTD ）和有限元法（FEM ）等。
本章讨论矩量法，后两章将分别介绍时域有限差分法和有限元法。
矩量法是求解算子方程的有效方法，这些算子通常是微分算子、积分算子或者是两者的组合。
20世纪60年代， R. F. Harrington 首先将矩量法用于电磁问题的求解[1]。
目前已经广泛地用于天线分析、微波器件的设计以及复杂目标的雷达散射截面（RCS ）的计算。
通常认为矩量法是精度最高的数值方法，因此引起更多的关注。
如今很多商用软件的开发都基于矩量法。
但是，矩量法需要求解稠密的矩阵方程。
对于电大尺寸的散射体，它将十分消耗大量机时及内存。
为了解决这个问题，人们作了很多努力，研发快速计算和有效的存储方法。
因此发展了很多有关积分方程的快速求解算法，大力推动了矩量法的应用。
10-1一般步骤典型的算子方程可以表示为下列形式 h Lf =（10-1-1） 式中L 为线性算子，可以是微分、积分或两者组合，h 为一个已知函数，f 为待求的未知函数。
这些函数可以是矢量或标量，且定义域可为一维、二维或三维空间。
因此，在电磁学中它们可以是空间及时间函数。
矩量法的一般步骤是，首先将未知函数表示为一组基函数的线性组合，然后匹配算子方程，最后由离散的线性方程组求出展开系数。
下面详述矩量法的具体步骤。
矩阵论-第二章 -程云鹏版
2015/10/12
Sun Songlin, Beijing University of Posts and Telecommunications
2
1、向量范数的概念及l 范数
p
定义：如果V是数域K上的线性空间，且对于V的任 一向量x，对应一个实数值 x ，满足以下三个条件 1) 非负性： 当x 0 时，x 0; 当 x =0 时，x =0 2) 齐次性：ax a x , (a K , x V ) 3) 三角不等式：x y x y （x, y V ) 则称 x 为V上向量x的范数，简称向量范数。
F
l
2015/10/12
Sun Songlin, Beijing University of Posts and Telecommunications
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定理 mn mn nn A C , 且 P C 与 Q C 设 都是酉矩阵，则
PA
F
A
F
AQ
F
推论：和A酉（或正交）相似的矩阵的F-范数是相 H B Q AQ 则 A F B F ，其中Q是酉矩 同的，即若 阵。
2015/10/12
Sun Songlin, Beijing University of Posts and Telecommunications
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2、几种常用的矩阵范数
定理：已知 C 和 C 上的同类向量范数 ，设 Ax 是 C mn 上的矩阵范 A C mn ，则函数 A max X =1 数，且与已知的向量范数相容。称此矩阵范数为 “由向量导出的矩阵范数”简称为从属范数。
2015/10/12
Sun Songlin, Beijing University of Posts and Telecommunications
第二章点估计
Eξ = ∫
+∞
0
x
+∞ b p p −1 −bx 1 (bx ) p +1−1 e −bx d (bx) = Γ( p + 1) = p x e dx = ∫ 0 b Γ( p)b bΓ( p) Γ( p )
Eξ 2 . = ∫
+∞
0
x2
1 b p p −1 −bx x e dx = Γ( p ) Γ( p )b 2
1 n j ∑ ξ i 我们设 n i =1
（2.1）
v j (θ1 ,θ 2 ,Lθ n ) = ξ j ， j = 1,2,L , k
得到含 k 个未知数的个方程式。解这个 k 联列方程组就可以得到 θ1 ,θ 2 ,Lθ n 的一组解：
ˆ =θ ˆ (ξ , ξ ,L, ξ ), θ i i 1 2 n
L(θ ) = L(θ ; x1 , x 2 , L, x n ) = f ( x1 ;θ ) f ( x 2 ;θ ) L f ( x n ;θ ) L(θ ; x1 , x2 ,L , xn ) 给出观测到 ( x1 , x 2 ,L , x n ) 的概率。因此，可以把 L(θ ; x1 , x2 , L , xn ) 看成
θ 的极大似然估计量。
如 果 ξ 是 连 续 型 ， f ( x;θ ) : θ ∈ Θ 表 示 密 度 函 数。 于 是 子 样 (ξ 1 , ξ 2 , L , ξ n ) 落 入 点
( x1 , x 2 ,L , x n ) 的领域内的概率为 ∏ f ( xi ;θ )∆xi ， 同样是 θ 的函数。 既然 ( x1 , x 2 , L , x n ) 在
θn
达到
极大，就要使 θ 达到最小。但 θ 不能小于 x ( n ) ，否则子样观测值 ( x1 , x 2 , L , x n ) 就不是来自
矩阵分析第二章
0 1 0 c c c c c c 0 ( 1) 0 0 ( 1)
例 3：
A( )
( 1) ( 1) c c c 2 2 ( 1 ) ( 1 ) 公因子1 ( 1) r ( 2) r r ( 2) 1
1 1 3
42 3 7 3 3 2 3 4 2 r r r 2 4 3 5 3 2 3 4 2 4 2 1 2 1 0 2 2 4 3 5 3 2 3 4 2 4 2 1
1 ( 1) , 2 ( 1 )
例 4：
公因子1
32 2 3 2 1 2 2 3 2 2 A( ) 4 3 5 3 2 3 4 2 4 2 1
证明思路：构造性。把A()变换为a11()能整除所有其它元 素（a11()为A()所有元素的公因子）且首项系数等于1的形 式，并令d1() a11()，则
d 1 ( ) A( )
, 其中d1 ( )能整除 A1 ( )所有元素 A1 ( )
然后再对A1()进行上述类似操作，如此反复，即可把A() 化成所需形式
1 2 2 2 1 2 2 1
1 2 1 ( a ) c c a 0 1 a 1 r r ( a ) r 1 c c ( a ) c ( a ) 3 1 公因子1 a 1 1 c c 1 ( a ) 3 a 0
矩阵第二章 内积空间
第二章 内积空间目的：在线性空间中引入向量的长度、向量之间夹角等度量概念，深化对线性空间、线性变换等的研究。
§1 内积空间的概念定义2－1 设V 是实数域R 上的线性空间。
如果对于V 中任意两个向量βα,，都有一个实数（记为()βα,）与它们对应，并且满足下列条件(1)-(4)，则实数()βα,称为向量βα,的内积。
(1) ()()αββα,,=； （2）),(),(βαβαk k =，（R k ∈） （3）),(),(),(γβγαγβα+=+，（V ∈γ） （4）()0,≥αα，当且仅当θα=时，等号成立。
此时线性空间V 称为实内积空间，简称为内积空间。
例2－1 对于nR 中的任二向量()n x x x X ,,,21 =，()n y y y Y ,,,21 =，定义内积()∑==ni i i y x Y X 1,，n R 成为一个内积空间。
内积空间n R 称为欧几里得（Euclid ）空间，简称为欧氏空间。
由于n 维实内积空间都与nR 同构，所以也称有限维的实内积空间为欧氏空间。
例2－2 如果对于nn RB A ⨯∈∀,，定义内积为()∑==nj i ij ij b a B A 1,,，则n n R ⨯成为一个内积空间。
例2－3 ],[b a R 定义dx x g x f x g x f ba⎰=)()())(),((，则可以验证))(),((x g x f 满足内积的条件，从而],[b a R 构成内积空间。
内积()βα,具有下列基本性质(1) ()()βαβα,,k k =，（R k ∈）；(2) ()()()γαβαγβα,,,+=+；(3) ()()0,,==βθθα。
定理2－1（Cauchy-Schwarz 不等式）设V 是内积空间，则V ∈∀βα,，有()()()ββααβα,,,2≤，并且当且仅当βα,线性相关时等号成立。
定义2－2 设α是内积空间V 的任一向量，则非负实数()αα,称为向量α的长度，记为α。
第二章 矩阵
在n阶矩阵A (aij )中，若当i j时都有aij 0,
称A为上三角矩阵。
同样，若在n阶矩阵A中，当i j时都有aij 0，
称A为下三角矩阵。
5 1 2 4
0 2 4 3
0 0
0 0
3 0
5 7
1 0 0 0
2 3 0 0
0 6
5 8
4 9
10
2. 矩阵的运算
定义1.4 矩阵的和（矩阵的加法）
b22
b23
b21
b22
b23
0
1
0
0 1 1 b31 b32 b33 b31 b32 b33 0 1 1
b11
b12
b13 b11 b12 b13 b13
b21
b22
b23
b21
b22 b23
b23
b21 b31 b22 b32 b23 b33 b31 b22 b33 b33
AB
(aij
bij ) mn
am1 bm1
a1n b1n
amn bmn
A-B=A+(-B)
A+(-A)= 0
定义1.5 矩阵的数乘
数k与m n矩阵A (aij )的数量乘积仍是m n矩阵，
ka11 ka12 L ka1n
记为kA，定义为kA
(kaij )mn
ka21 M
b11 b12 0
得到 b13 b23 b21 0, b22 b33
B
0
b22
0
b31 b32 b22
例题1.3 下面的对角矩阵A满足aii a jj (i j;
a11 0 L 0
A
0
a22 L
第二章 矩阵2
几何与代数主讲: 关秀翠东南大学数学系第二章矩阵教学内容和学时分配教学内容学时数§2.1 矩阵的代数运算2§2.2 可逆矩阵2§2.3 分块矩阵1§2.4 矩阵的秩1§2.5 初等矩阵2§2.6 用Matlab解题1思考题：行列式与矩阵的区别m×n矩阵n阶行列式定义加法数乘乘法符号m ×n 矩阵n 阶行列式定义加法数乘乘法符号行列式与矩阵的区别m nA R ×∈()ij ij A B a b ±=±()12122i i n A A A A =+L L ()()1211ininA A A A A A −L L L L ()1200iiA A =−L L 1211in inA A A A A A ±L L L L ()ij A a =λλnA Aλλ=()()1211ininA A A A A A +L L L L n nA RR×→:A B A B±±121i inA A A A =±L L ≠| |,初等变换时用=[ ]或( ),初等变换时用→第二章矩阵§2.1 矩阵的代数运算一. 矩阵的线性运算二. 矩阵的乘法三. 矩阵的转置kA ±lB = (ka ij ±lb ij )m ×nAB = (A i* B *j )=1sik kj k a b =⎛⎞⎜⎟⎝⎠∑AB BA ≠•矩阵乘法是否有意义，乘积矩阵的行数列数•交换率一般不成立•ΛΤ=ΤΛ•(a E m ) A m ×n =a A m ×n = A m ×n (a E n ) •E m A m ×n =A m ×n = A m ×n E n注6: 方阵的正整数幂：A 2=AA ,A k +1=A k A =AA k ,AA k A l = A k +l =A l A k ,(A k )l = A kl ,(AB )k A k B k≠(A+B )2A 2+ B 2+2AB ,≠只有AB=BA 时等式成立(AB )k = AB AB …AB((A+B A+B ))2= (A+B )(A+B )= A 2+ B 2+AB+BA(A+B )(A −B ) = A2−B2−AB+BA ≠A 2−B2A k Bk ≠注意!AB BA≠设1111,1111A B −⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥−−−⎣⎦⎣⎦则00,00A B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦注意:(1)AB 与BA 是同阶方阵，但AB不等于BA .(2) 虽然A, B 都是非零矩阵, 但是AB = 0.例42222B A ⎡⎤=⎢⎥−−⎣⎦设121371,,,242112A B C −−⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦求AB 及AC .解12132421AB −⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦12712412AC −⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦注意:虽然A 不是零矩阵, 而且AB =AC ,但是B 不等于C . 这说明消去律不成立!55,1010−⎡⎤⎢⎥−⎣⎦55.1010−⎡⎤⎢⎥−⎣⎦例5注7: 消去率一般不成立.AB O A O or B O=⇒==100000001100AB ⎛⎞⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠AB AC A O ,=≠B C⇒=比如: 注意!AB BA≠•注6：交换率一般不成立(AB )k A k Bk ≠(A+B )2A 2+ B 2+2AB≠(A+B )(A −B ) ≠A2−B2注8：方阵的多项式设A 为一个方阵, f (x )为一个多项式称之为方阵A 的一个多项式.f (x ) = a s x s + a s −1x s −1+ …+ a 1x + a 0f (A ) = a s A s + a s −1A s −1+ …+ a 1A + a 0E1212A ⎛⎞=⎜⎟−−⎝⎠()23f x x x =++()23f A A A E=++例6：1212123121212E ⎛⎞⎛⎞⎛⎞=++⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−−−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠3E =注意!第二章矩阵§2.1 矩阵的代数运算三. 矩阵的转置1. 设矩阵A = (a ij )m ×n ,则矩阵A 的转置为()TTijA a =()ji n ma ×=11121n a a a M 21222n a a a M L L ML 12m m mn a a a M 2. 性质：(1) ((1) (A A T )T = A , n ×m(4) 证明：()()()1sTTTTijikkjk BABA ==∑()()()Tji ijAB AB =1s jk kik a b ==∑1ski jkk b a ==∑(2) (A +B )T = AT + B T ,(4) (AB )T = B T A T .(3) (kA )T = kA T , =第二章矩阵§2.1 矩阵的代数运算穿脱原理3. 对称矩阵满足A AT = A . A = (a ij )m ×n 为对称矩阵⇔m = n 且a ij = a ji (i , j = 1, 2, …, n ). 反对称矩阵A ：满足AT = −A .A = (a ij )m ×n 为反对称矩阵⇔A 为方阵且a ij = −a ji (i , j = 1, 2, …, n ). 比如：123240305A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠为对称矩阵；0110B ⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠为反对称矩阵.•反对称矩阵对角线元素全为0第二章矩阵§2.1 矩阵的代数运算§2.1 矩阵及其运算二. 矩阵的线性运算三. 矩阵的乘法五. 矩阵的转置kA ±lB = (ka ij ±lb ij )m ×nAB = ( A i* B *j )=1sik kj k a b =⎛⎞⎜⎟⎝⎠∑AB BA ≠AB O A O or B O=⇒==()TTijA a =()ji n ma ×=对称矩阵→对角矩阵(λi δij )→数量矩阵λE n→单位阵E n(AB )T = B T A TA m ×n = (a ij )m ×n 行阶梯矩阵→行最简形矩阵一. 几种特殊矩阵方阵三角矩阵一般矩阵：§2.2 可逆矩阵及其性质D=a11 (1)a m1 …a mm……b11 (1)b n1 …b nn......a11 ...a1m0 0……………………=a m1...a mm 0 0c11 ...c1m b11 (1)c n1 …c nm b n1 …b nnA 0 C B0 AB C= |A| |B|= (−1)mn|A| |B|A,B为m,n阶矩阵≠|A| |B| −|C| |D|A D C BA C0B==C AB 0问题：能否利用这些结果证明|AB|=|A||B|？(其中A,B为n阶矩阵)第二章矩阵§2.2 可逆矩阵证.设D= a11 a120 0 a21a220 0−10b11b12 0−1b21 b22证明：|AB|=|A| |B| (以A,B为2阶方阵为例证明)A 0−E B== |A| |B|D0000−10b11b120−1b21 b22 11131242213224r a r a rr a r a r++++a11b11+a12b21a11b12+a12b22a21b11+a22b21a21b12+a22b220AB−E B==(−1)4+2|AB|=|AB|AB0B−E=(−1)4=(−1)n(n+1)|AB| =|AB|第二章矩阵§2.2 可逆矩阵定理2.1(乘法定理) A,B 为n 阶方阵,|AB |=|A | |B |A 0 −EB = |A | |B |0AB −E B=AB 0B −E =(−1)n n =(−1)n (n+1)|AB |=|AB |第二章矩阵§2.2 可逆矩阵证明：AB BA ≠•注6：矩阵乘积的交换率一般不成立A,B 为n 阶方阵,|AB |=|BA | ?|AB |= |A | |B | = |B | |A | = |BA |√注7: 矩阵乘法的消去率一般不成立.AB O A O or B O=⇒==n nA B RAB O A O or B O ,,×∈===⇒？√m ×n 矩阵n 阶行列式定义加法数乘乘法符号行列式与矩阵的区别m nA R ×∈()ij ij A B a b ±=±()12122i i n A A A A =+L L ()()1211ininA A A A A A −L L L L ()1200iiA A =−L L 1211in inA A A A A A ±L L L L ()ij A a =λλnA Aλλ=1nik kj k AB a b =⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∑AB BA≠000AB A or B =⇒==AB A B BA==000AB A or B =⇔==()()1211ininA A A A A A +L L L L n nA RR×→:A B A B±±121i inA A A A =±L L ≠| |,初等变换时用=[ ]或( ),初等变换时用→在解方程ax=b 的时候,如果a ≠0,等式两边同乘以a -1,得x=a -1b .线性方程组Ax=b ,能否在一定条件下引进A -1的概念,使得解为x = A -1b ?由a -1a=1想到A -1A= E.但矩阵乘法不满足交换律，但矩阵乘法不满足交换律，AAAA -1= E ？问题的提出:A 应是什么矩阵?如何定义如何定义A -1 ??A -1A =EA 应是方阵.A -1A = AA -1= E.第二章矩阵§2.2 可逆矩阵§2.2 可逆矩阵一. 可逆矩阵1. 定义:设A为方阵, 若存在方阵B, 使得AB = BA = E. 则称A可逆, 并称B为A的逆矩阵.注1. 可逆矩阵只是定义在n阶方阵上的.注2.定义中矩阵A 与B的地位是相同的,如果A可逆,且B是A的逆,则B也可逆,且A 也是B的逆,即A与B互逆.问题:你学过的方阵中,哪些是可逆阵?问题:你学过的方阵中,哪些是可逆阵?1.E -1=E2.当k 1k 2…k n ≠0时,有:112n k k k −⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠O 12111n k k k ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠O1. 定义:设A 为方阵, 若存在方阵B , 使得AB = BA = E . 则称A 可逆, 并称B 为A 的逆矩阵. 问题:逆矩阵是唯一的吗?一. 可逆矩阵1. 定义:设A 为方阵, 若存在方阵B , 使得AB = BA = E . 则称A 可逆, 并称B 为A 的逆矩阵. 注1. 逆矩阵只是定义在n 阶方阵上的.第二章矩阵§2.2 可逆矩阵注2. A 与B 互逆.事实上, 若A B =B A =E , A C =C A =E ,则B = B E = B (A C ) = (B A )C = E C = C .今后我们把可逆矩阵A 的逆矩阵记为A −1.注3.若方阵A 可逆，则其逆矩阵是唯一的.☺结合律妙用之二问题:你学过的方阵中,哪些是可逆阵?1.E -1=E2.当k 1k 2…k n≠0时,有:112n k k k −⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠O 12111nk k k ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠O 1. 定义:设A 为方阵, 若存在方阵B , 使得AB = BA = E . 则称A 可逆, 并称B 为A 的逆矩阵. 问题:可逆阵是什么样的方阵呢?A ≠0？|A ||B |= |E ||A ||B |= 1|A|≠0⇐若A 可逆,则|A|≠0.反之，若|A|≠0，则A 一定可逆吗？只需验证|A|≠0时，是否存在方阵B 满足AB = BA = E.2. 方阵A 的伴随矩阵引理2.1. 设A 为方阵,则AA * = A *A = |A |E .()()()*T ij ji ij A A a===()δn ik kj ij k AB a b E 1=⎛⎞===⎜⎟⎝⎠∑,,10i j i j =⎧=⎨≠⎩δn ik kj ij k a b 1=∴=∑n ik jk k a A 1=∑Q 1kj jk b A A =()jk B A A 1=()T kj A A 1=*1A A =n n ik kj ik jk k k AA a a a A **11==⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑()ij A A E δ==A A A E*=同理，验证|A|≠0时是否存在方阵B 满足AB = BA = E.,,A i j i j0=⎧=⎨≠⎩A * =A 11A 21…A n 1A 12A 22…A n 2…………A 1n A 2n …A nn ⎛⎜⎜⎜⎝⎞⎠由A 可逆知，存在A −1使得AA −1 = A −1A = E,|A A −1| = |A ||A −1| = |E | = 1 . 所以|A | ≠0.定理2.2. 方阵A 可逆的充分必要条件是|A | ≠0.当n ≥2, |A | ≠0时, 有A −1=|A |1A *.证明：⇒充分性：()**A A AA A E E A A A 111⎛⎞===⎜⎟⎝⎠()**A A A A A E E A A A111⎛⎞===⎜⎟⎝⎠引理2.1. 设A 为方阵, 则AA * = A *A = |A |E .()()()*T ij ji ij A A A a ∗===2. 方阵A 的伴随矩阵定理2.2. 方阵A 可逆的充分必要条件是|A | ≠0.当n ≥2, |A | ≠0时, 有A −1=|A |1A *.引理2.1. 设A 为方阵, 则AA * = A *A = |A |E .()()()*T ij ji ij A A A a ∗===2. 方阵A 的伴随矩阵推论. 设A ,B 为方阵, 若AB = E (或BA = E ), 则B =A −1.事实上, AB = E ⇒|A | ≠0⇒A 可逆⇒B = EB = (A −1A )B = A −1(AB ) = A −1E = A −1.推论的作用. 若A ,B 为方阵, 只需检查AB = E 或BA = E , 即可判别A 的可逆性.定理2.2. 方阵A可逆的充分必要条件是|A| ≠0.1A*.当n≥2, |A| ≠0时, 有A−1=|A|推论. 设A,B为方阵, 若AB= E(或BA= E), 则B=A−1.例7. 设方阵A满足A2−2A−3E= 0.证明: (1) A及A−4E可逆, 并求它们的逆矩阵.√证明: (2) A+E及A−3E不同时可逆.证(1)：A2−2A=3E ⇒A (A−2E) = 3E⇒A−1 = (A−2E)/3(A−4E)(A+2E)+5E=0⇒(A−4E)−1 = −(A+2E) /5证(2)：(A−3E)(A+E)=0∴|A−3E||A+E|=0二. 逆矩阵的运算性质设A , B 为同阶可逆方阵, 数k ≠0. 则(1) (A −1)−1 = A , |A −1| = |A |−1.(2) (A T )−1 = (A −1)T . (3) (k A )−1 = k −1A −1.(4) (4) ((A A B B ))−1 = B −1AA −1.例8. 设A 与E −A 都可逆, G = (E −A )−1−E , 求证G 也可逆, 并求G −1.证明: G = (E −A )−1−(E −A )−1(E −A )= (E −A )−1(E −(E −A )) = (E −A )−1AG −1 = A −1(E −A ) = A −1−E . (5) (A B …G )−1 = G −1…B −1A −1. 穿脱原理例9. 求下列方阵的逆矩阵.(1) A =123 4,1232 2 13 4 3(2) B =.解: (1)A −1=|A |1A *= −21.(2) |B | = 2 ≠0, B −1=|B |1B *B 11= (−1)1+12 14 3= 2,B 21=6, B 22= −6, B 23= 2,B 31= −4, B 32= 5, B 33= −2.2−32=21. B 12= −3,B 13= 2,4−2−31−45−26−62A −1=|A |1A *.当n ≥2, |A | ≠0时, 有()T ij A A ∗=主换位,副变号第二章矩阵二. 逆矩阵的运算性质一. 可逆矩阵1. 定义§2.2 逆矩阵定义在n 阶方阵上A 可逆，若∃方阵B 使得AB =BA =E .()()*T ij ji A A A ==**AA A A A E==A 可逆⇔|A | ≠0*A A A −=11|A −1| = |A |−1.(A T )−1 = (A −1)T .(A B )−1 = B −1A −1. 2. 伴随矩阵推论. 设A ,B 为方阵, 若AB = E (或BA = E ), 则B =A −1.穿脱原理(A)填空题选择题：作为课下练习(B)留作业每周三交作业(C)课下提高题：有时间的话尽量做一.(A) 1(1,2),2(1)(B)3(1-6,10),4(1),9二. (A) 1(3,4,5,6,7,),2(2,3,4)(B)5,6(3),7,8,10(1,3,4),11,12*,13*,14(1,2),15,16三. (A) 二. 1,2, 3 (B)17,18,19,21四. (A) 一. 4-7 二. 4-7 (B)22(1),23,25,27,30,31*思考题：（学会归纳总结）矩阵上的哪些运算是只定义在方阵上的？矩阵乘积的交换律一般情况下不成立，但有一些特殊情况是成立的，此时称A,B是可交换的。
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第二章 静 电 场 § 2-1 算 子 计 算 式 的 建 立 静电场的电场强度E可由下式求得 E
(2-1)
式中是静电位， 是梯度算子。 在恒定介电常数和体电荷密度的区域内，静电位满足泊松(Poisson)方程
2
/ε (2-2)
式中2是拉普拉斯算子。为得到唯一解，必须加上的边界条件。换言之，必须规定算子的定义域。 现在我们来研究电菏在无界空间中的场。 常数r 当r （2-3） 式中r是在有限区域内每个与坐标原点的距离。微分算子的算式为 L （2-4）
式中 2L （2-5）
定义域是使拉普拉斯算子存在的函数Φ，而且按照式（2-3），在无限远处，r有界。此问题的已知解是 zdydxdRzyxzyx4),,(),,(φ （2-6）
式中R=222)()()(zzyyxx是源点),,(zyx到场点zyx,,的距离。 因此，L的逆算子是
RzdydxdL
4
11 （2-7）
应记住，只有在式（2-3）的边界条件下，式（2-7）才是式（2-5）的逆算子。如果边界条件改变，1L也改变。此外，将式（2-5）选定为L,式(2-7)选定为1L是任意的，如果需要的话，也可以将符号倒换。 静电问题（是常数）的适当内积 dxdydzzyxzyx),,(),,(,
（2-8）
式中积分在全空间范围内进行。容易证明，式（2-8）满足式(1-2) 、(1-3)和(1-4)的假设（即为内积）。现在要证明对于此内积，L是自伴的。为此，列出式（1-5）的左方 dL)(,2
（2-9）
式中d=dxdydz。已知格林恒等式为 dsnndsv
22 （2-10）
式中S是包围体积V的封闭曲面，n是垂直于S的外向法线。假定S是半径为r的球面,当r时，体积V便包含全空间 。 对满足边界条件式（2-3）的和来说，当r
时，221,rCnrC，因此，当r时，3rCn，并且对于n也与此类似。由于ddrdssin2只随2r增加，所以当r时，式（2-10）的右边为零。于是式（2-10）化为 dd
22
（2-11）
由此，伴随算子aL显然是 2LLa （2-12）
因为aL的定义域就是L 的定义域，所以算子L是自伴的。在此情况中，自伴性的数学概念与互易性的物理概念有关。 由式（2-5）及式（2-7）可知，L和1L显然是实算子，下面来证明它们也是正定算子，即满足式（1-6）。如§1-2所讨论的那样，只须证明L或1L即可。对于 L，可列出 dL2**,
（2-13）
并应用矢量恒等式2和散度定理，则得 dsdLsv**, （2-14）第一项为
模 式中的S包围V。然后取半径为r的球面为S，对于满足式（2-3）的，如同在式（2-10）中用过的理由一样，当r时，式（2-14）的后一项为零。因此， dL2,
（2-15）
对于实数，且当0时，L是正定的，在此情况中L的正定性与静电能量的概念有关系。
§2-2 带 电 导 体 板
现讨论一块正方形导体板，边长为2a米，位于z=0的平面上，中心在坐标原点，如图2-1所示。设yx,表示导体板上的面电荷密度，板的厚度为零。则空间任意一点的静电位是 aaaaRyxydxdzyx4
,,, （2-16）
式中222)()()(zzyyxxR。 板上的边界条件是V（常数），此时积分方程是 aaaayyxxyxydxdV224
,
（2-17）
式中ax,ay，待求的未知函数是电荷密度yx,。一个有意义的参数是导体板的电容：
aaaayxdydxVVqC,
1 （2-18）
它是的一个连续性泛函 。 让我们首先求一个简单的分段和点选配解，然后用更普遍的概念解释它，假设将导体板划分为N个正方形小块，如图2-1所示。 Z Y 2b 2b 2a X 导体板
2a 定义函数 )192(01上在所有其它上在nnnssf
而假设电荷密度表示为
Nnnnfayx1,
（2-20）
将式（2-20）代入式（2-17）中，并且在每个ns的中点nnyx,满足所得的方程，则有 NmalVNnnmn,2,11 （2-21）
式中
nnxymnyyxxydxdl224
1
（2-22）
注意，mnl是ns上单位振幅的均匀电荷密度在ns的中心处产生的电位。由求解式（2-21）得到na，据此，电荷密度由式（2-20）逼近对于式（2-18）的平板电容相应的近似为 mnnmnnNnnslsaVC1
1
1
（2-23）
此结果可以解释为：物体的电容是其各小块电容的总和加上每一小块间的互电容。 为了将上述结果翻译成线形空间和矩量法的语言，令 yxyxf,, （2-24）
ayaxVyxg,, （2-25）
aaaayyxxyxfydxdfL224
, （2-26）f
于是gfL与式（2-17）等效，使L成为自伴算子又满足式（1-2）至式（1-4）的一个合适的内积为 yxgyxdyfdxgfaaaa,,,
（2-27）
为了应用矩量法，我们以函数式（2-19）为分域基并规定检验函数为 mmmyyxx （2-28）
这是一个二维的狄拉克函数。式（1-25）的距阵l的元素现在就是式（2-22），式（1-26）的矩阵[g]的元素是
VVVgm
（2-29）v
自然，矩阵方程式（1-24）与方程组式（2-21）相等。由于在板上V，用式（2-27）的内积表示，则式（2-18）的电容可写为
2,VC （2-30）
它是计算导体电容的常用稳定公式。 为了得到数据结果，必须计算式（2-22）的mnl。令Nab22表示每个ns的边长，由ns本身面上的单位电荷密度在其中心处产生的电位是 bbbbmnyxdydxl224
1
=8814.0221ln2bb （2-31） 计算使用了得怀特（Dwight）数学表中的式200.01和731.2。ns上单位电荷在ns中心处，产生的电位可用同样方法计算，但算式复杂。若将ns上的电荷视为点电荷，并应用
nmyyxxbRslmnnmn22
2
4
（2-32）
则，对大多数用途来说，已经足够精确。此种近似对相邻分块的误差是3.8%，对非相邻分块，误差更小。表2-1是对不同的分块数用式（2-21）求得的各个，再用式（2-23）算出的电容。表中第二列是用近似式（2-32）计算的，第三列是以mnl的精确解计算的，对于真实电容的一个良好估值是40微微法。图2-2表示当N=100个分块小面积时，沿最靠近导体板中心线的小块面积上的近似电荷密度曲线。可见，在导体板的边缘呈现出众所周知的平方根奇点。
表2-1 单位正方形板的电容（微微法/米） 分块数 C/2a 近似mnl C/2a 精确mnl
1 31．5 31．5
9 37．3 36．6
16 38．2 37．7
36 39．2 38．7
100 39．5