高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.2平行线分线段成比例定理课件新人教A版选修4-1
高中数学相似三角形的判定及有关性质优秀PPT
，那么这两个直角三角
2．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．
2．有关两线段的比值的问题，除了应用平行线分线段成比例定理外，也可利用相似三角形的判定和性质求解．
AE 4 (2)△EFP∽△BCP.
所以DG＝1. 判定定理3 对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应
简述为：两角对应相等，两三角形相似．
似．
②如果两个直角三角形的两条直角边对应 成比例 ，那么它们相 似．
③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的 斜边和一条直角边对应 成比例 ，那么这两个直角三角形相似．
(3)相似三角形的性质
性质定理 ①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分 线的比都等于 相似比 ；
解析： 过点 D 作 DG∥AC 且交 BE 于点 G，
因为点 D 为 BC 的中点，
判定定理1 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的
简述为：两角对所应相以等，E两C三＝角2形D相似G．.
(2)△EFP∽△BCP.
对应相等，那么这两个三角形相似．
③形如相果 似一．个直角因三角为形的A斜E边＝和一2条C直E角，边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应
高中数学相似三角 形的判定及有关性
质
【思考探究】 使用平行截割定理时要注意什么？ 提示： 要注意对应线段、对应边对应成比例，不要乱对应顺序． 3．相似三角形的判定及性质 (1)相似三角形的判定 定义 对应角相等 ，对 应边成比例 的两个三角 形叫做相似 三角 形．相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)． 预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线) 相交，所构成的三角形与原三角形相似． 判定定理1 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另 一个三角形的 两个角 对应相等，那么这两个三角形相似．简述为： 两角对应相等，两三角形相似．
27.2.1 相似三角形的判定(第一课时 平行线分线段成比例)(课件)(人教版)
A
你还记得两个三角形相似的条件吗？
D
E
B
C
练一练
如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，△ADE与△ABC
有什么关系？
A
D
E
B
F
C
判定三角形相似定理
平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 【注意】平行第三边的直线与其它两边相交有以下两种情况：
B2
A3
m
a
b
B3 c n
探索与思考
在平面上任意作三条平行线(a∥b∥c)，用它们截两条直线(m，n)， 截得的对应线段成比例吗？
A1
B1
a
A2 A3 m
B2 b B3 c n
小结
一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
A1 A2
A3
B1 a
课堂测试
课堂测试
课后回顾
课后回顾
01
02
03
谢谢~
知识点巩固
1．下列说法中正确的是（ ） A．两个直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似 C．两个等边三角形相似 D．两个锐角三角形相似
【详解】 A、30°、60°、90°的直角三角形和45°、45°、90°的直角三角形不相似； B、两个顶角不同的等腰三角形不相似； C、正确，因为可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； D、两个锐角不相等的两个三角形不相似． 故选C．
探索与思考
已知△ABC和△A’B’C’相似，请指出他们对应边、对应角的关系？
1.3 第一课时 相似三角形的判定及性质 课件(人教A选修4-1)
证明：在正方形 ABCD 中， AD ∵Q 是 CD 的中点，∴QD＝2. BP BC ∵PC＝3，∴PC ＝4. CQ 又 BC＝2CQ，∴ CP ＝2. 在△ADQ 和△QCP 中， AD QC ， QD＝ PC ，∠C＝∠D＝90° ∴△ADQ∽△QCP.
[例 2]
如图，D 为△ABC 的边 AB 上一点，
判定两三角形相似，可按下面顺序进行：(1)有平
行截线，用预备定理；(2)有一对等角时，①找另一对
等角，②找夹这个角的两边对应成比例；(3)有两对应 边成比例时，①找夹角相等，②找第三边对应成比例， ③找一对直角．
1. 如图，在▱ABCD中，E、F分别在AD 与CB的延长线 上，请写出图中所有 的相似三角形．
证明：如图，连接 BD. AE AF ∵EB＝FD， ∴EF∥BD. BG DH 又∵GC＝HC，∴GH∥BD. ∴EF∥GH. ∴∠EFO＝∠HGO，∠OHG＝∠OEF. ∴△OEF∽△OHG.
3．已知，如图，在正方形ABCD中，P是 BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点． 求证：△ADQ∽△QCP.
解：∵AB∥CD， ∴△EDH∽△EAG，
△CHM∽△AGM，
△FBG∽△FCH. ∵AD∥BC， ∴△AEM∽△CFM， △AEG∽△BFG，
△EDH∽△FCH.
∴图中相似的三角形有： △AEM∽△CFM，△CHM∽△AGM， △EDH∽△EAG∽△FBG∽△FCH.
2．如图，在四边形 ABCD 中， AE AF BG DH EB＝FD，GC＝HC. 求证：△OEF∽△OHG.
解析：∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝F. AB BC AC 1 DE＝EF＝DF＝2.
答案：∠D ∠E ∠F DE BC DF 1 2
高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 第一节 平行线等分线段定理课前导引素材 新人教A版选修4-1
第一节平行线等分线段定理
课前导引
情景导入
假若你手中有一把无刻度直尺和一副圆规,你能把一条线段三等分、五等分、七等分吗?你当然熟悉三角形、梯形的中位线定理,但它们的逆命题是否仍旧成立呢?这些都离不开本节定理――平行线等分线段定理.
知识预览
1.平行线等分线段定理.
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
2.两个推论:
推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.
推论2:经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线平分另一腰.
说明:(1)本节重点为平行线等分线段定理及其两个推论.两个推论是“定理”的特殊情况.
(2)猜想和证明是探究问题的两个必不可少的方法,只有猜想,得到的结论是不可靠的,必须通过严格的数学证明才能得到正确的、具有一般意义的结论.
(3)证明应从语言、图形、符号三个方面有机结合进行.
(4)猜想往往是对特例的观察和概括.。
高中数学 1.3.1 第一讲 相似三角形的判定及有关性质课件 新人教A版选修41
第一页，共46页。
三 相似三角形的判定及性质
第二页，共46页。
1 相似三角形的判定
课前预习目标
课堂互动探究
第三页，共46页。
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
第四页，共46页。
学习目标 1.理解相似三角形的定义． 2．探索预备定理的证明，理解预备定理的本质． 3．掌握相似三角形的判定定理，能应用相似三角形的判 定定理证明相关几何问题． 4．掌握直角三角形相似的判定定理，理解定理内容，能 应用定理证明相关几何问题.
第二十三页，共46页。
(3)旋转型
第二十四页，共46页。
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
第二十五页，共46页。
典例剖析
【例1】 已知：如图，AB∥A′B′，BC∥B′C′. 求证：△ABC∽△A′B′C′
第二十六页，共46页。
【分析】 利用一组平行线分线段成比例，证得两三角形 对应边成比例即可．
第二十页，共46页。
(4)在Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC，如上图，则有△ ABC∽△DBA，△ABC∽△DAC，△ABD∽△CAD.
在写出相似三角形时，注意相应角的顺序应该一致．
第二十一页，共46页。
3．判定三角形相似的三种基本类型 (1)平行线型
第二十二页，共46页。
(2)相交线型
第二十七页，共46页。
【证明】 ∵AB∥A′B′， ∴OOBB′＝OOAA′＝A′ABB′. ∵B′C′∥BC， ∴OOBB′＝OOCC′＝B′BCC′. ∴OOAA′＝OOCC′.
第二十八页，共46页。
∴A′C′∥AC，∴OOAA′＝A′ACC′. ∴A′ACC′＝A′ABB′＝B′BCC′. ∴△A′B′C′∽△ABC.
1.3 第一课时 相似三角形的判定及性质 课件(人教A选修4-1)
解析：∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝F. AB BC AC 1 DE＝EF＝DF＝2.
答案：∠D ∠E ∠F DE BC DF 1 2
5. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，
连接CF交AD于点E.
(1)求证：△CDE∽△FAE；
(2)当E是AD的中点，且BC
＝2CD时，求证：∠F＝∠BCF.
的
．
(3)判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的
三边 三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角 形相似，简述为： [说明] 对应成比例，两三角形相似．
在这些判定方法中，应用最多的是判定定理1，
即两角对应相等，两三角形相似．因为它的条件最容易寻 求．在实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角．判定
1．相似三角形
(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫
做 相似三角形 ，相似三角形对应边的比值叫做 相似比 或 (相似系数)． (2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或 两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似 ．
2．相似三角形的判定定理 (1)判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形 的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个
解：∵AB∥CD， ∴△EDH∽△EAG，
△CHM∽△AGM，
△FBG∽△FCH. ∵AD∥BC， ∴△AEM∽△CFM， △AEG∽△BFG，
△EDH∽△FCH.
∴图中相似的三角形有： △AEM∽△CFM，△CHM∽△AGM， △EDH∽△EAG∽△FBG∽△FCH.
2．如图，在四边形 ABCD 中， AE AF BG DH EB＝FD，GC＝HC. 求证：△OEF∽△OHG.
2019_2020学年高中数学第1讲相似三角形的判定及有关性质第3课时相似三角形的判定课件新人教A版选修
轉眉前探索归纳新知尝试解答1.如图，已知直线a\\b\\c,直线加，卅与a ，b, c 分别交于 点A, C, E, B, D, F, 值是（）A. 4【解析】•••直线a//b//c. AC=4, CE=69BD=39 :.C ・5【答案】aAC_BDCE=DF J解得DF=4.5.2 •如图所示，ADWEFWBC, GHWAB,则图中与ABOC相似的三角形有（）A. 1个C. 3个【答案】C△HGC都与ABOCfg似【解析】MOD z'EOF ,3・如图，已知4B, CD, EF都与3D垂直，垂足分别是B, D, F,且AB=1, CD=3,那么EF的长是（）【解析】VAB, CD, EF都与BD垂直，:.AB//CD//EF.:. ADEF^ADAB, ABEF^ABCD.3EF=^.故选C・.EF_DF EF ^AB=DB? CDBF . EF BD^AB EF DF BF BDCD=DB±BD=BD =1 •又AB=1, CD=3,解得3【答案】2gg师讲堂h题型g相似三角形的定义【例1】~~如图所示，正方形ABCD的边长I 为1, P是CD 边的中点，点0在线段BC上，当AADP与厶PCQ相似时，求B0的长.【解题探究】由两个三角形相似,可以占建立边的比例式,通过比例式，求80的长.0 c【解析】因为ZD=ZC=90°,所以ZkADP与APC。
均为直角三角形.(1)当厶ADP^APCQ时,AD PC DP=CO J所以卜咅3CQ=2所以BQ=\-CQ=\-\ 34"4 n r)p⑵当△ ADP^AQCP时，Qc=cp^11 2 所以乍°c= i.2所以BQ = 1 —CQ= 1 — 1 =0.综上可知，当△ADP与△PC0相似时，或|.h 题型❷相似三角形的判定【例2】 如图所示，在△4BC 中，点D 在AB±,且DEIIBC 交AC 于点E,点尸在AD 上，^AD 2=AF AB.求证：AAEF-AACD ・【解题探究】 要证ZVlEFs AACD, 4 F AP只需证元=而，且ZA=Z4・B.AE_AF•淀=而・XZA=ZA, A AAEF^AACD.【证明】9：DE//BC,.AD AE 又 9：AD 2=AFAB 9• AD_AF变式训练2.如图，在ZVIBC中，AB=AC, ZA = 36° , BD为角平分线.求证：AABC-ABCD.【证明】・・・4B=AC, ZA = 36°,・•・ ZABC=ZC=12°.•••BD为角平分线，・•・ ZDBC=^ZABC=36°= ZA.又zc=zc,・•・ AABCsABCD.h题型❸直角三角形相似的判定【例3】如图所示，Z.ABC =ACDB=90° , AC=a, BC=b,当BQ与a, b之间满足怎样的关系式时，图中两个直角三角形相似？【解题探究】题目与边长有关,要使两个直角三角形相似，可以考虑使两个三角形的斜边和一条直角边对应成比例•由于条件没有给出相似三角形的对应关系,所以要分类讨论,即分'ABCsgDB和A ABC S、BD C.【解析】ZABC=ZCDB = 9Q°.当时，'ABC S^C DB,即;b2•••当BD=—时，AABC^ACDB・a・•・当BD」" &时,△ABC S^BDC.a戾byla^—b1综上所述，当BD=^~或一时，图中两个直角三角C T C/T形相似.变式训练求证：HACDs 厶CBD ・【证明】TCD 是边的上的高,••• ZADC=ZCDB = 90°...AD CD ••• 'ACDs HCBD ・3・如图，AABC 中，CD 是边AB 上的高且AD CD 而反思总结会员升级服务第一拨•清北季□ 扫 cj£J-iW 方法论课； & 衡水名校卞 旨為华学羯向所有射2◎矛述自己方学之跆: 営俏悄釣上线了； 窿^鉉很乡人邂制他M 会司字谆/等你洱矽…… /。
1.3 第一课时 相似三角形的判定及性质 课件(人教A选修4-1)
过 D 点作 DE∥BC，DF∥AC，AF 交 DE 于 G，BE 交 DF 于 H，连接 GH. 求证：GH∥AB. [思路点拨] GE EH 根据此图形的特点可先证比例式DE＝ EB 成
立，再证△EGH∽△EDB，由相似三角形的定义得∠EHG＝ ∠EBD 即可．
[证明] ∵DE∥BC， GE AG DG GE CF ∴FC ＝ AF＝ FB ，即DG＝FB. EH CF 又∵DF∥AC，∴HB＝FB. GE EH GE EH ∴DG＝HB.∴ED＝ EB . 又∠GEH＝∠DEB， ∴△EGH∽△EDB. ∴∠EHG＝∠EBD. ∴GH∥AB.
两角 三角形相似，简述为：
对应相等，两三角形相似．
(2)判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形
的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等， 那么这两个三角形相似，简述为： 两边 对应成比例且 夹角 相等，两三角形相似．
引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所 得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形 第三边
证明：如图，连接 BD. AE AF ∵EB＝FD， ∴EF∥BD. BG DH 又∵GC＝HC，∴GH∥BD. ∴EF∥GH. ∴∠EFO＝∠HGO，∠OHG＝∠OEF. ∴△OEF∽△OHG.
3．已知，如图，在正方形ABCD中，P是 BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点． 求证：△ADQ∽△QCP.
证明：在正方形 ABCD 中， AD ∵Q 是 CD 的中点，∴QD＝2. BP BC ∵PC＝3，∴PC ＝4. CQ 又 BC＝2CQ，∴ CP ＝2. 在△ADQ 和△QCP 中， AD QC ， QD＝ PC ，∠C＝∠D＝90° ∴△ADQ∽△QCP.
[例 2]
1.3 第一课时 相似三角形的判定及性质 课件(人教A选修4-1)
解：∵AB∥CD， ∴△EDH∽△EAG，
△CHM∽△AGM，
△FBG∽△FCH. ∵AD∥BC， ∴△AEM∽△CFM， △AEG∽△BFG，
△EDH∽△FCH.
∴图中相似的三角形有： △AEM∽△CFM，△CHM∽△AGM， △EDH∽△EAG∽△FBG∽△FCH.
2．如图，在四边形 ABCD 中， AE AF BG DH EB＝FD，GC＝HC. 求证：△OEF∽△OHG.
证明：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD. 又∵点 F 在 BA 的延长线上， ∴∠DCF＝∠F，∠D＝∠FAE. ∴△CDE∽△FAE. (2)∵E 是 AD 的中点，∴AE＝DE. CD DE 由△CDE∽△FAE，得 FA ＝AE. ∴CD＝FA. ∴AB＝CD＝AF.∴BF＝2CD. 又∵BC＝2CD，∴BC＝BF.∴∠F＝∠BCF.
解析：∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝F. AB BC AC 1 DE＝EF＝DF＝2.
答案：∠D ∠E ∠F DE BC DF 1 2
5. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，
连接CF交AD于点E.
(1)求证：△CDE∽△FAE；
(2)当E是AD的中点，且BC
＝2CD时，求证：∠F＝∠BCF.
证明：如图，连接 BD. AE AF ∵EB＝FD， ∴EF∥BD. BG DH 又∵GC＝HC，∴GH∥BD. ∴EF∥GH. ∴∠EFO＝∠HGO，∠OHG＝∠OEF. ∴△OEF∽△OHG.
3．已知，如图，在正方形ABCD中，P是 BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点． 求证：△ADQ∽△QCP.
6.
如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90° ， AD⊥BC 于 D，点 E 是 AC 的中点，ED 的延长线交 AB 的延长线于 F. AB DF 求证：AC＝AF.
高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 二 平行线分线段成比例定理目标导引素材 新人教A版选修4-11
二 平行线分线段成比例定理
一览众山小
学习目标
1.理解平行线分线段成比例定理，会利用特殊情况对定理进行证明；
2.能利用平行线分线段成比例定理证明比例式或做求值计算；
3.在证明和求值当中，感悟数学中的特殊到一般的归纳思想和转化思想.
学法指导
学习本节内容之前，可先复习比例式的性质，如d
d c b b a +=+可以推得d
b d
c b a 、c
d a b =++=等，回顾上节所学的平行线等分线段定理、三角形的中位线定理；学习平行线分线段成比例定理时，只需将原先成比例的两条线段等分为长度相等的线段，即可将问题转化为上节的平行线等分线段定理；学习时注意理解证明的思想，是用特殊性的问题的证明说明结论成立，再推广到一般情况，这就降低了证明问题的难度；使用定理时要注意考察问题的条件.
诱学导入
材料：一组等距离的平行线截直线a 所得的线段相等，那么在直线b 上所截的线段有什么关系呢？这是我们前面所学的平行线等分线段定理，它讨论的是平行线截直线相等的情况，那么如果截的线段不相等呢？
问题：一组平行直线l 1∥l 2∥l 3BC 的长度之间（除不相等外）还存在着什么关系呢？同样截直线b
导入：由l 1∥l 2∥l 3,可得2=AB 3
2==EF DE .
,53=所以53==EF DE BC AB .。