2018年考研数学三试题

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考研数学三模拟题2018年(33)_真题(含答案与解析)-交互

考研数学三模拟题2018年(33)(总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.已知则f (n) (3)=______．SSS_FILL分值: 2[解析]则所以2.SSS_FILL分值: 23e [解析] 令则于是3.SSS_FILL分值: 22(1-ln2) [解析] 令则因为S(0)=0，所以则4.设级数条件收敛，则p的取值范围是______．SSS_FILL分值: 2[解析]因为条件收敛，所以即p的范围是5.设y=y(x)满足，且有y(1)=1，则．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2[解析] 由得函数y=y(x)可微且，积分得，因为y(1)=1，所以C=0，于是，故6.微分方程的通解为______．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2[解析] 由，得，即，令z=e y，则，解得，所以原方程的通解为．7.微分方程yy"-2(y") 2 =0的通解为______．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2y=C或者[解析] 令y"=p，得，代入原方程得则p=0，或．当p=0时，y=C；当时，，即．由，得，从而，所以原方程的通解为y=C或者．8.微分方程的通解为______．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2lnx+C [解析] 令，所以9.以y=C1 e x +e x (C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为______．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2y""-3y"+4y"-2y=0 [解析] 特征值为λ1 =1，λ2，3=1±i，特征方程为(λ-1)(λ-1+i)(λ-1-i)=0，即λ 3 -3λ 2+4λ-2=0，所求方程为y""-3y"+4y"-2y=0．10.设y(x)为微分方程y"-4y"+4y=0满足初始条件y(0)=1，y"(0)=2的特解，则SSS_TEXT_QUSTI分值: 2[解析] y"-4y"+4y=0的通解为y=(C1 +C2x)e 2x，由初始条件y(0)=1，y"(0)=2得C1 =1，C2=0，则y=e 2x，于是11.差分方程yt+1 -2yt=3×2 t的通解为y(t)=______．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2[解析] yt+1 -2yt=0的通解为y(t)=C×2 t，f(t)=3×2 t，因为2为特征值，所以设特解为yt*=at×2 t，代入原方程得，故原方程的通解．二、选择题1.设条件收敛，且，则______．SSS_SINGLE_SELA |r|＜1B |r|＞1C r=-1D r=1分值: 2答案:C[解析] 因为条件收敛，所以级数一定不是正项或负项级数，故r≤0．若|r|＜1，则，级数绝对收敛，矛盾；若|r|＞1，则，存在充分大的N，当n＞N时，{|un|}单调增加，，于是发散，矛盾，故|r|=1，再由r≤0得r=-1，选C．2.设，则______．A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2答案:B[解析] 显然条件收敛，，因为，而收敛，所以收敛，选B．3.设幂级数在x=6处条件收敛，则幂级数的收敛半径为______．A．2B．4C．D．无法确定SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2答案:A[解析] 因为在x=6处条件收敛，所以级数的收敛半径为R=4，又因为级数有相同的收敛半径，所以的收敛半径为R=4，于是的收敛半径为R=2，选A．4.设y(x)是微分方程y"+(x-1)y"+x 2 y=e x满足初始条件y(0)=0，y"(0)=1的解，则______．SSS_SINGLE_SELA 等于1B 等于2C 等于0D 不存在分值: 2答案:A[解析] 微分方程y"+(x-1)y"+x 2 y=e x中，令x=0，则y"(0)=2，于是，选A．5.二阶常系数非齐次线性微分方程y"-2y"-3y=(2x+1)e -x的特解形式为______．• A.(ax+b)e-x•**•**(ax+b)e-x**(ax+b)e-xSSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2答案:D[解析] 方程y"-2y"-3y=(2x+1)e -x的特征方程为λ 2 -2λ-3=0，特征值为λ1 =-1，λ2=3，故方程y"-2y"-3y=(2x+1)e -x的特解形式为x(ax+b)e -x，选D．6.设φ1 (x)，φ2(x)，φ3(x)为二阶非齐次线性方程y"+a1(x)y"+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为______．SSS_SINGLE_SELA C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)B C1[φ1(x)-φ2(x)]+C2φ3(x)C C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)-φ3(x)]D C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1分值: 2答案:D[解析] 因为φ1 (x)，φ2(x)，φ3(x)为方程y"+a1(x)y"+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，所以φ1 (x)-φ3(x)，φ2(x)-φ3(x)为方程y"+a1(x)y"+a2(x)y=0的两个线性无关解，于是方程y"+a1 (x)y"+a2(x)y=f(x)的通解为C1[φ1(x)-φ3(x)]+C2[φ2(x)-φ3(x)]+φ3(x)即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C3=1-C1-C2或C1+C2+C3=1，选D．三、解答题1.讨论级数的敛散性．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5解令则因为而收敛，所以收敛，由正项级数的比较审敛法得收敛．2.设收敛，举例说明级数不一定收敛；若是正项收敛级数，证明一定收敛．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5解令，由交错级数的Leibniz审敛法，级数收敛，而发散．设是正项收敛级数，则，取ε0 =1，存在自然数N，当n＞N时，|an-0|＜1，从而0≤an＜1，当n＞N时，有．由收敛得收敛，再由比较审敛法得收敛，所以收敛．3.设，级数中，哪个级数一定收敛?SSS_TEXT_QUSTI分值: 5解不一定收敛，如，显然，而，因为收敛，而发散，所以发散；不一定收敛，如，显然发散；不一定收敛，如，显然发散；一定收敛．由，得，又收敛，所以收敛，即绝对收敛，所以一定收敛．4.若正项级数收敛，证明：收敛．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5证明因为收敛，所以，当x＞0时，ln(1+x)＜x，于是为正项级数，而，所以再由收敛，故收敛．设．SSS_TEXT_QUSTI5.求的值；分值: 2.5解，则，，因为，所以．SSS_TEXT_QUSTI6.证明：对任意常数λ＞0，收敛．分值: 2.5证明因为，所以，而收敛(λ＞0)，所以收敛．7.设，讨论级数的敛散性，若收敛求其和．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5解因为收敛，所以收敛．因为所以于是的和为8.设{nan}收敛，且收敛，证明：级数收敛．SSS_TEXT_QUSTI分值: 6证明令Sn =a1+a2+…+an，S"n+1=(a1-a)+2(a2-a1)+…+(n+1)(an+1 -an)，则S"n+1 =(n+1)an+1-Sn-a，因为收敛且数列{nan}收敛，所以都存在，于是存在，根据级数收敛的定义，收敛．9.设an＞0(n=1，2，…)且单调减少，又级数发散，判断的敛散性．SSS_TEXT_QUSTI分值: 6解因为单调减少且an＞0(n=1，2，…)，所以存在，令，由发散，得A＞0．根据正项级数的根值审敛法，由，得级数收敛．证明：SSS_TEXT_QUSTI10.设an ＞0，且{nan}有界，则级数收敛；分值: 3证明因为{nan }有界，所以存在M＞0，使得0＜nan≤M，即，而级数收敛，所以级数收敛．SSS_TEXT_QUSTI11.若，则级数收敛．分值: 3证明取，因为，所以存在N＞0，当n＞N时，，即，或者，而收敛，所以收敛．设(n=1，2，…；an ＞0，bn＞0)，证明：SSS_TEXT_QUSTI12.若级数收敛，则级数收敛；分值: 3证明由，则数列单调递减有下界，根据极限存在准则，存在，令．无论A=0还是A＞0，若级数收敛，则级数收敛．SSS_TEXT_QUSTI13.若级数发散，则级数发散．分值: 3证明若A=0，由级数发散，得级数发散；若A＞0，级数敛散性相同，故若级数发散，则级数发散．14.设{un }，{cn}为正项数列，证明：(1)若对一切正整数n满足cn un-cn+1un+1≤0，且发散，则也发散；(2)若对一切正整数n满足，且收敛，则也收敛．SSS_TEXT_QUSTI分值: 6证明显然为正项级数．(1)因为对所有n满足cn un-cn+1un+1≤0，于是cn un≤cn+1un+1cnun≥…≥c1u1＞0，从而．因为发散，所以也发散．(2)因为对所有n满足，则cn un-cn+1un+1≥aun+1，即cn un≥(cn+1+a)an+1，所以，于是因为收敛，所以也收敛．15.对常数p，讨论幂级数的收敛区间．SSS_TEXT_QUSTI分值: 6解由，得幂级数的收敛半径为R=1．(1)当p＜0时，记q=-p，则有，因而当x=±1时，发散，此时幂级数的收敛区间为(-1，1)，(2)当0＜p＜1时，对，因为，所以x=1时，级数发散，当x=-1时，显然收敛，此时幂级数的收敛区间为[-1，1)；(3)当p＞1时，对，因为，而收敛，所以级数收敛，当x=-1时，显然绝对收敛，此时幂级数的收敛区间为[-1，1]．1。

2018考研数学三【解析版】【无水印】

平均成本函数 C(Q) = C(Q) ，其取最小值时，则导数为零，即 Q
= C′(Q) C= ′(Q)Q − C(Q) C= ′(Q0 )Q0 − C(Q0 ) 0 ，
Q0
Q2
Q0
Q02
即 C′(Q0 )Q0 − C(Q0 ) = 0 ，选 D.
（5）【答案】A
A 的特征值为 λ=1 λ=2 λ=3 1，而 r(λE − A) = r(E − A) = 2 .
所以 f (1) = 2e
13. 【答案】2.
1 0 0 【解析】 A(α1,α2 ,α3 ) = (α1,α2 ,α3 )1 1 −1 ,
1 1 1
10 0 10 0 则 A = 1 1 −1 = 0 1 −1 = 2 .
11 1 01 1
1
14.【答案】 .
3
【解答】 P( AC A ∪ B) = P[ AC( A ∪ B)] = P[ AC ∪ ABC] = P( AC)
不独立，C 和 D 不成立.
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分．请将答案写在答．题．纸．指定位置上．
9.【答案】=y 4x − 3
【解析】由题知：
f ′(x) =2x + 2 x
(x > 0) ，
f
′′( x)
=2
−
2 x2
=2(1 −
1 x2
)
令 f ′′(x) = 0 则 x = 1, x = −1（舍去）
x1 − x2 + x3 =0,
x2 + x3 = 0,
x1
+ ax3 = 0,
1 −1 1 1 0 2
= 系数矩阵 A 1
0

考研数学三模拟题2018年(41)_真题(含答案与解析)-交互

考研数学三模拟题2018年(41) (总分100, 做题时间90分钟) 解答题1.设f(x)在x0处n阶可导．且f (m) (x)=0(m=1，2，…，n-1)，f (n) (x)≠0(n≥2)．证明：(1)当n为偶数且f (n) (x0 )＜0时，f(x)在x处取得极大值；(2)当n为偶数且f (n) (x0 )＞0时，f(x)在x处取得极小值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】n为偶数，令n=2k，构造极限当f (2k) (x)＜0时，当f (2k) (x)＞0时，2.设f(x)在x0处n阶可导，且f (m) (x)=0(m=1，2，…，n-1)，f (n) (x0)≠0(n＞2)．证明：当n为奇数时，(x，f(x))为拐点．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】n为奇数，令n=2k+1，构造极限当f (2k+1) (x0 )＞0时，但x→x+时，f"(x)＞0；x→x-时，f"(x)＜0，故(x0，f(x))为拐点．3.求函数f(x)=nx(1-x) n在[0，1]上的最大值M(n)及SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】容易求得f"(x)=n[1-(n+1)x](1-x) (n-1)，f"(x)=n 2 [(n+1)x-2](1-x) n-2．令f"(x)=0，得驻点且有则为f(x)的极大值点，且极大值将它与边界点函数值f(0)=0，f(1)=0，比较得f(x)在[0，1]上的最大值且有4.设f(x)在[a，b]上连续，a＜x1＜x2＜…＜xn＜b．试证：在[a，b]内存在ξ，使得SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】因为f(x)在[a，b]上连续，所以m≤f(x)≤M，其中m，M分别为f(x)在[a，b]上的最小值和最大值．故由介值定理可得ξ∈[a,b]，使得5.设f(x)在闭区间[-1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f"(0)=0．证明：在[-1，1]内存在ξ，使得f"""(ξ)=3．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】取x=0，x=1代入，取x=0，x=-1代入，由①-②有因为f""(x)在[-1，1]上连续，则存在m和M，使得有m≤f""(x)≤M，③代入④式，有m≤3≤M，由介值定理，使得f""(ξ)=3．6.设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．试证：必存在ξ∈(0，3)，使f"(ξ)=0．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】函数f(x)在[0，3]上连续，则f(x)在[0，2]上连续，那么其在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是m≤f(0)≤M，m≤f(1)≤M，m≤f(2)≤M，由介值定理知，至少存在一点η∈[0，2]，使得于是便有f(η)=1=f(3)，满足罗尔定理条件，于是存在ξ∈(η，3) (0，3)，使f"(ξ)=0．设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，g""(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0．证明：SSS_TEXT_QUSTI7.在(a，b)内，g(x)≠0；该题您未回答:х该问题分值: 2【证】设c∈(a，b)，g(c)=0．由g(a)=g(c)=g(b)=0，g(x)在[a，c]，[c，b]上两次运用罗尔定理可得g"(ξ1)=g"(ξ2)=0，其中ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，对g"(x)在[ξ1，ξ2 ]上运用罗尔定理，可得f"(ξ3)=0．因已知g"(x)≠0，故g(c)≠0．SSS_TEXT_QUSTI8.在(a，b)内至少存在一点ξ，使该题您未回答:х该问题分值: 2【证】F(x)=f(x)g"(x)-f"(x)g(x)在[a，b]上运用罗尔定理，F(a)=0，F(b)=0，故9.在区间[0，a]上|f""(x)|≤M，且f(x)在(0，a)内取得极大值．证明：|f(0)|+|f"(a)|≤Ma．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】f(x)在(0，a)内取得极大值，不妨设f"(c)=0．f"(x)在[0，c]与[c，a]之间分别使用拉格朗日中值定理，f"(c)-f"(0)=cf"(ξ1 )，ξ1∈(0，c)，f"(a)-f"(c)=(a-c)f"(ξ2 )，ξ2∈(c，a)，所以|f"(0)|+|f"(a)|=c|f“(ξ1 )|+(a-c)|f"(ξ2)|≤cM+(a-c)M=aM．10.设f(x)在闭区间[1，2]上可导，证明：使f(2)-2f(1)=ξf"(ξ)-f(ξ)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】把所证等式ξ改为x，得xf"(x)-f(x)=f(2)-2f(1)，两边同除以x 2，令F(x)在[1，2]上连续，(1，2)内可导，且F(2)=F(1)=f(2)-f(1)．由罗尔定理，使F"(ξ)=0，即f(2)-2f(1)=ξf"(ξ)-f(ξ)．11.f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f"(x)≠0．证明：ξ，η∈(a，b)，使得SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】因为两式相比，得12.设，且f""(x)＞0．证明：f(x)＞x．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】因得f(0)=0，f"(0)=1．因f(x)二阶可导，故f(x)在x=0处的一阶泰勒公式成立，因f"(x)＞0，故f(x)＞x，原命题得证．13.设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，且f(a)=f(b)=g(a)=0．证明：ξ∈(a，b)，使f""(ξ)g(ξ)+2f"(ξ)g"(ξ)+f(ξ)g""(ξ)=0．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】令F(x)=f(x)g(x)，在x=a点展开泰勒公式．令x=b，代入①式，则因f(a)=f(b)=g(a)=0，则F(a)=F(b)=0，且F"(a)=0，代入②式，得F"(ξ)=0．即f"(ξ)g(ξ)+2f"(ξ)g"(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0．14.设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f"(a)=f"(b)=0．证明：ξ∈(a，b)，使SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】将f(x)在x=a，x=b处展开泰勒公式．令②-①得得令|f"(ξ)|=max{|f"(ξ1 )|，|f"(ξ2)|}，则故原命题得证．15.设f(x)=arcsinx，ξ为f(x)在[0，t]上拉格朗日中值定理的中值点，0＜t＜1，求极限SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【解】因f(x)=arcsinx在[0，t]上连续，在(0，t)内可导，对它用拉格朗日中值定理，得由此解得并令μ=arcsint，有16.若x＞-1．证明：当0＜α＜1时，有(1+x) α＜1+αx；当α＜0或α＞1时，有(1+x) α＞1+αx．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】令f(x)=(1+x) α，则有f"(x)=α(1+x) α-1，f"(x)=α(α-1)(1+x) α-2．由f(x)的泰勒展开式可知当x＞-1，0＜α＜1时，α(α-1)＜0，1+ξ＞0，故所以f(x)＜f(0)+f"(0)x，即(1+x) α＜1+αx．同理可证当x＞-1，α＜0或α＞1时，有(1+x) α＞1+αx．17.求证：当x＞0时，不等式成立．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】设则因为所以f(x)单调递减，且当0＜x＜+∞时，f(x)＞f(+∞)=0，即18.利用导数证明：当x＞1时，SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】设f(x)=(1+x)ln(1+x)-xlnx，有f(1)=2ln2＞0．由知，f(x)单调递增，且当x＞1时，f(x)＞f(1)=2ln2＞0，lnx＞0，从而得，其中x＞1．设x∈(0，1)，证明下面不等式：SSS_TEXT_QUSTI19.(1+x)ln 2 (1+x)＜x 2；该题您未回答:х该问题分值: 3【证】令φ(x)=x 2 -(1+x)ln 2 (1+x)，有φ(0)=0，且φ"(x)=2x-ln 2 (1+x)-2ln(1+x)，φ"(0)=0．当x∈(0，1)时，，知φ(x)单调递增，从而φ"(x)＞φ"(0)=0，知φ(x)单调递增，则φ(x)＞φ(0)=0，即(1+x)ln 2 (1+x)＜x 2．SSS_TEXT_QUSTI20.该题您未回答:х该问题分值: 3【证】令，则有由上小题得，当x∈(0，1)时f"(x)＜0，知f(x)单调递减，从而又因为当x∈(0，1)时，f"(x)＜0，知f(x)单调递减，且，所以21.求证：当x＞0时，(x 2 -1)lnx≥(x-1) 2．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】设f(x)=(x 2 -1)lnx-(x-1) 2，所以f(1)=0．又因为f"(1)=0，且所以当x≥1时，f"(x)＞0，知f"(x)单调递增，则f"(x)≥f"(1)=0，从而f(x)单调递增，故f(x)≥f(1)=0，原式成立．当0＜x＜1时，f""(x)＜0，知f"(x)单调递减，则f"(x)≥f"(1)=2＞0，从而f"(x)单调递增，故f"(x)＜f"(1)=0，所以f(x)单调递减，知f(x)＞f(1)=0．原式成立．22.证明：其中SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】由有令只需证明f(x)≤1．由f(0)=1，只需证设g(0)=0，且因此，当时，g(x)＜0，即f(x)＜0，f(x)＜1，得证．23.求使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数α和最小的数β．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【解】已知不等式等价于即令则令g(x)=(1+x)ln 2 (1+x)-x 2，x∈[0，1]，则g(0)=0，且g"(x)=ln 2 (1+x)+2ln(1+x)-2x，g"(0)=0，故g"(x)在[0，1]上严格单调递减，所以g"(x)＜g"(0)=0．同理，g(x)在[0，1]上也严格单调递减，故g(x)＜g(0)=0，即(1+x)ln 2 (1+x)-x 2＜0，从而f"(x)＜0(0＜x≤1)，因此f(x)在(0，1]上也严格单调递减．令则α≤f(x)≤β，有故使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数α为最小的数β为24.设函数f(x)在(-∞，+∞)内二阶可导，且f(x)和f""(x)在(-∞，+∞)内有界．证明：f"(x)在(-∞，+∞)内有界．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】存在正常数M0，M2，使得对恒有|f(x)|≤M0，|f"(x)|≤M2．由泰勒公式，有其中ξ介于x与x+1之间，整理得所以故函数f"(x)在(-∞，+∞)内有界．25.设n为自然数，试证：SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】右端不等式等价于证明即设则又故当x＞0时，有从而，当x＞0时，f"(x)单调增，且当x→+∞时，f"(x)趋于零，所以，当x＞0时，f"(x)＜0．进而知当x＞0时，f(x)单调减，且当x→+∞时，f(x)趋于零，于是，当x＞0时，f(x)＞0．所以，对一切自然数n，恒有f(n)＞0，故有从而右端不等式成立．类似地，引入辅助函数类似可证明：当x＞0时，g(x)＜0，从而对一切自然数n，左端不等式成立．已知f(x)二阶可导，且f(x)＞0，f(x)f""(x)-[f"(x)] 2≥0(x∈R)．SSS_TEXT_QUSTI26.证明：该题您未回答:х该问题分值: 3【证】记g(x)=lnf(x)，则故即SSS_TEXT_QUSTI27.若f(0)=1，证明：f(x)≥e f"(0)x(x∈R)．该题您未回答:х该问题分值: 3【证】即f(x)≥e f"(0)x．28.设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f"(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0．试应用拉格朗日中值定理证明：f(a+b)≤f(a)+f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】方法一用拉格朗日中值定理．当a=0时，等号成立；当a＞0时，由于f(x)在区间[0，a]及[b，a+b]上满足拉格朗日中值定理，所以，存在ξ1∈(0，a)，ξ2∈(b，a+b)，ξ1＜ξ1，使得[f(a+b)-f(b)]-[f(a)-f(0)]=af"(ξ2 )-af"(ξ1)．因为f"(x)在(0，c)内单调减少，所以f"(ξ2)≤f"(ξ1)，于是，[f(a+b)-f(b)]-[f(a)-f(0)]≤0，即f(a+b)≤f(a)+f(b)．方法二用函数的单调性．将[f(a+b)-f(b)]-[f(a)-f(0)]中的b改写为x，构造辅助函数F(x)=f(a+x)-f(x)-f(a)，x∈[0，b]，显然F(0)=0，又因为f"(x)在(0，c)内单调减少，所以F"(x)=f"(a+x)-f"(x)≤0．于是有F(b)≤F(0)=0，即f(a+b)-f(b)-f(a)≤0，即f(a+b)≤f(a)+f(b)．29.证明：当x＞0时，有SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】方法一用拉格朗日中值定理．因为所以且函数f(t)=lnt在[x，1+x]上满足拉格朗日中值定理，故存在ξ∈(x，1+x)，使得因为x＜ξ＜1+x，所以于是有即方法二用函数的单调性．令因为所以F(x)在(0，+∞)上单调减少，又因此，对一切x∈(0，+∞)，恒有F(x)＞0，即30.证明：当0＜a＜b＜π时，bsinb+2cosb+πb＞asina+2cosa+πa．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】令F(x)=xsinx+2cosx+πx，只需证明F(x)在(0，π)上单调递增．F"(x)=sinx+xcosx-2sinx+π=π+xcosx-sinx，由此式很难确定F"(x)在(0，π)上的符号，为此有F"(x)=-xsinx＜0，x∈(0，π)，即函数F"(x)在(0，π)上单调递减，又F"(π)=0，所以F"(x)＞0，x∈(0，π)，于是F(b)＞F(a)，即bsinb+2cosb+πb＞asina+2cosa+πa．31.设b＞a＞e，证明：a b＞b a．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】设则其中lnx＞lne=1，所以，f"(x)＜0，即函数f(x)单调递减．因此，当b＞a＞e时，32.证明：当x＞0时，不等式成立．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】构造辅助函数则f(0)=0，且由题设条件很难确定的符号，但是所以从而，当x＞0时，即33.证明：当时，不等式成立．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】当时，而cosx＜0，所以不等式成立．当时，构造辅助函数则上式中，当时，但是，2xcosx-2sinx+x 3的符号无法直接确定，为此，令g(x)=2xcosx-2sinx+x 3，则g(0)=0，且g"(x)=x 2 +2x(x-sinx)＞0，所以，当x∈ 时，g(x)=2xcosx-2sinx+x 3＞0．从而，当时，又所以，当时，即34.已知某种商品的需求量x对价格p的弹性为η=-2p 2，而市场对该商品的最大需求量为1(万件)．(1)确定需求函数；(2)若价格服从[1，2]上的均匀分布，计算期望收益值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【解】(1)由弹性公式：即两边积分有由x(0)=1得c=1，故x(p)=e -p2．(2)R=p·x(p)=p·e -p2，35.一商家销售某种商品的价格满足关系p=7-0.2x(万元/单位)，x为销售量，成本函数为C=3x+1(万元)，其中x服从正态分布N(5p，1)，每销售一单位商品，政府要征税t万元，求该商家获得最大期望利润时的销售量．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【解】收益为R=x·p，利润为L=R-C-T，其中税收T=tx．于是L=x·p-(3x+1)-t·x=x(7-0.2x)-(3x+1)-t·x=-0.2x 2 +(4-t)x-1，EL=-0.2Ex 2 +(4-t)Ex-1=-0.2[Dx+(Ex) 2 ]+(4-t)Ex-1=-0.2[1+(5p) 2 ]+(4-t)·5p-1=-5p 2 +5(4-t)p-1.2，令因此，当即时，期望的利润最大．36.设需求函数为p=a-bQ，总成本函数为其中a，b＞0为待定的常数，已知当边际收益MR=67，且需求价格弹性时，总利润是最大的．求总利润最大时的产量．并确定a，b的值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【解】总收益：R=Qp=aQ-bQ 2，于是有 L"(Q)=-Q 2 +2(7-b)Q+(a-100)．由题设a，b，Q应满足解①②③得：a=111，Q=3或a=111，b=2，Q=11．(1)若a=111，Q=3，此时L"(3)=0，L"(3)＜0，但L(3)＜0不符合题意；(2)若a=111，b=2，Q=11，此时L"(11)=0，L"(11)＜0，且L(11)＞0．因此a=111，b=2为所求常数，此时对应最大利润的产量为Q=11．37.某集邮爱好者有一个珍品邮票，如果现在(t=0)就出售，总收入为R元．如果收藏起来待来日出售，t年末总收入为R(t)=Re ξ(t)，其中ξ(t)为随机变量，服从正态分布，假定银行年利率为r，并且以连续复利计息．试求收藏多少年后，再出售可使得总收入的期望现值最大，并求r=0.06时，t的值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【解】由连续复利公式，t年末售出总收入R的现值为：A(t)=R·e -rt．于是A(t)=R0 e ξ(t) e -rt =Re ξ(t)-rt，令且可见当时，期望的现值(取到极大值)最大．若r=0.06，1。

考研数学三模拟题2018年(13)_真题(含答案与解析)-交互

考研数学三模拟题2018年(13)(总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.设且存在三阶非零矩阵B，使得AB=O，则a=______，b=______．SSS_FILL分值: 12 1[解析] 因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，又B≠O，于是r(B)≥1，故r(A)≤2，从而a=2，b=1．2.设η为非零向量，η为方程组AX=0的解，则a=______，方程组的通解为______．SSS_FILL分值: 13 k(-3，1，2) T [解析] AX=0有非零解，所以|A|=0，解得a=3，于是方程组AX=0的通解为k(-3，1，2) T．二、选择题1.设A是m×s矩阵，B为s×n矩阵，则方程组BX=0与ABX=0同解的充分条件是______．SSS_SINGLE_SELA r(A)=sB r(A)=mC r(B)=sD r(B)=n分值: 1答案:A[解析] 设r(A)=s，显然方程组BX=0的解一定为方程组ABX=0的解，反之，若ABX=0。

因为r(A)=s，所以方程组AY=0只有零解，故BX=0，即方程组BX=0与方程组ABX=0同解，选A．2.设n阶矩阵A的伴随矩阵A *≠O，且非齐次线性方程组AX=b有两个不同解η1，η2，则下列命题正确的是______．A．AX=b的通解为k1η1+k2η2B．η1+η2为AX=b的解C．方程组AX=0的通解为k(η1 -η2)D．AX=b的通解为SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C[解析] 因为非齐次线性方程组AX=b的解不唯一，所以r(A)＜n，又因为A *≠O，所以r(A)=n-1，η2 -η1为齐次线性方程组AX=0的基础解系，选C．3.设有方程组AX=0与BX=0，其中A，B都是m×n矩阵，下列四个命题：(1)若AX=0的解都是BX=0的解，则r(A)≥r(B)(2)若r(A)≥r(B)，则AX=0的解都是BX=0的解(3)若AX=0与BX=0同解，则r(A)=r(B)(4)若r(A)=r(B)，则AX=0与BX=0同解以上命题正确的是______．SSS_SINGLE_SELA (1)(2)B (1)(3)C (2)(4)D (3)(4)分值: 1答案:B[解析] 若方程组AX=0的解都是方程组BX=0的解，则n-r(A)≤n-r(B)，从而r(A)≥r(B)，(1)为正确的命题；显然(2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但反之不对，所以(3)是正确的，(4)是错误的，选B．4.设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则______．SSS_SINGLE_SELA 当m＞n时，线性齐次方程组ABX=0有非零解B 当m＞n时，线性齐次方程组ABX=0只有零解C 当n＞m时，线性齐次方程组ABX=0有非零解D 当n＞m时，线性齐次方程组ABX=0只有零解分值: 1答案:A[解析] AB为m阶方阵，当m＞n时，因为r(A)≤n，r(B)≤n且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(AB)＜m，于是方程组ABX=0有非零解，选A．5.设A为m×n阶矩阵，则方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是______．SSS_SINGLE_SELA r(A)=mB r(A)=nC A为可逆矩阵D r(A)=n且b可由A的列向量组线性表示分值: 1答案:D[解析] 方程组AX=b有解的充分必要条件是b可由矩阵A的列向量组线性表示，在方程组AX=b有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是r(A)=n，故选D．三、解答题1.设向量组α1，α2，…，αn-1为n维线性无关的列向量组，且与非零向量β1，β2正交．证明：β1，β2线性相关．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 令因为α1，α2，…，αn-1与β1，β2正交，所以Aβ1 =0，Aβ2=0，即β1，β2为方程组AX=0的两个非零解，因为r(A)=n-1，所以方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量，所以β1，β2线性相关．2.设齐次线性方程组其中ab≠0，n≥2．讨论a，b取何值时，方程组只有零解、有无穷多个解?在有无穷多个解时求出其通解．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解](1)当a≠b，a≠(1-n)b时，方程组只有零解；(2)当a=b时，方程组的同解方程组为x1 +x2+…+xn=0，其通解为X=k1(-1，1，0，…，0) T +k2 (-1，0，1，…，0) T+…+kn-1(-1，0，…，0，1) T(k1，k2，…，kn-1为任意常数)；(3)令当a=(1-n)b时，r(A)=n-1，显然(1，1，…，1) T为方程组的一个解，故方程组的通解为k(1，1，…，1) T (k为任意常数)．3.设A为三阶矩阵，A的第一行元素为a，b，c且不全为零，又且AB=O，求方程组AX=0的通解．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解] 由AB=O得r(A)+r(B)≤3且r(A)≥1．(1)当k≠9时，因为r(B)=2，所以r(A)=1，方程组AX=0的基础解系含有两个线性无关的解向量，显然基础解系可取B的第1、3两列，故通解为(2)当k=9时，r(B)=1，1≤r(A)≤2，当r(A)=2时，方程组AX=0的通解为当r(A)=1时，A的任意两行都成比例，不妨设a≠0，由得通解为4.a，b取何值时，方程组有解?SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解](1)a≠1时，唯一解为(2)a=1，b≠-1时，r(A)≠ ，因此方程组无解；(3)a=1，b=-1时，通解为X=k1 (1，-2，1，0) T +k2(1，-2，0，1) T +(-1，1，0，0) T (k1，k2为任意常数)．5.A，B为n阶矩阵且r(A)+r(B)＜n．证明：方程组AX=0与BX=0有公共的非零解．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 方程组的解即为方程组AX=0与BX=0的公共解．因为所以方程组有非零解，故方程组AX=0与BX=0有公共的非零解．设(Ⅰ) α1，α2，α3，α4为四元非齐次线性方程组BX=b的四个解，其中α1=SSS_TEXT_QUSTI 6.求方程组(Ⅰ)的基础解系；分值: 2[解] 方程组(Ⅰ)的基础解系为SSS_TEXT_QUSTI7.求方程组(Ⅱ)BX=0的基础解系；分值: 2[解] 因为r(B)=2，所以方程组(Ⅱ)的基础解系含有两个线性无关的解向量，为方程组(Ⅱ)的基础解系；SSS_TEXT_QUSTI8.(Ⅰ)与(Ⅱ)是否有公共的非零解?若有公共解求出其公共解．分值: 2[解] 方程组(Ⅰ)的通解为方程组(Ⅱ)的通解为=k，则方程组(Ⅰ)与方程组(Ⅱ)的公共解为k(-1，令，则有取k21，1，1) T (其中k为任意常数)．设(Ⅰ)(Ⅱ)SSS_TEXT_QUSTI9.求(Ⅰ)，(Ⅱ)的基础解系；分值: 3[解] 的基础解系为的基础解系为SSS_TEXT_QUSTI10.求(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解．分值: 3[解] 方法一(Ⅰ)，(Ⅱ)公共解即为的解，(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解为方法二(Ⅰ)的通解代入(Ⅱ) =2k2，故(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解为(-k，k，2k，k) T =k(-1，1，2，1) T (k为任意常数)．方法三(Ⅰ)的通解为(Ⅱ)的通解为令∴(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解为11.问a，b，c取何值时，(Ⅰ)，(Ⅱ)为同解方程组?SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解] 方法一的通解为把(Ⅱ)的通解代入(Ⅰ)，得方法二因为(Ⅰ)，(Ⅱ)同解，所以它们的增广矩阵有等价的行向量组，(Ⅱ)的增广矩阵为阶梯阵，其行向量组线性无关．α1可由β1，β2，β3唯一线性表出，α1=-2β1+β2+aβ2a=-1，α2可由β1，β2，β3唯一线性表出，α2=β1+β2-β3b=-2，α3可由β1，β2，β3唯一线性表出，α3=3β1+β2+β3c=4．12.证明线性方程组(Ⅰ)有解的充分必要条件是方程组(Ⅲ)是同解方程组．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 令方程组(Ⅰ)可写为AX=b，方程组(Ⅱ)、(Ⅲ)可分别写为A TY=0及若方程组(Ⅰ)有解，则r(A)=r( )，从而又因为(Ⅲ)的解一定为(Ⅱ)的解，所以(Ⅱ)与(Ⅲ)同解；反之，若(Ⅱ)与(Ⅲ)同解，则从而r(A)=r( )，故方程组(Ⅰ)有解．13.设的一个基础解系为写出的通解并说明理由．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解] 令则(Ⅰ)可写为AX=0，令其中则(Ⅱ)可写为BY=0，因为β1，β2，…，βn为(Ⅰ)的基础解系，因此r(A)=n，β1，β2，…，βn线性无关，．α1T，α2T，…，αn T为BY=0的一组解，而r(B)=n，α1T，α2T，…，αnT线性无关，因此α1T，α2T，…，αnT为BY=0的一个基础解系．14.设A是m×s矩阵，B是s×n矩阵，且r(B)=r(AB)．证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 首先，方程组BX=0的解一定是方程组ABX=0的解．令r(B)=r且ξ1，ξ2，…，ξn-r是方程组BX=0的基础解系，现设方程组ABX=0有一个解η0不是方程组BX=0的解，即Bη≠0，显然ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0线性无关，若ξ1，ξ2，…，ξn-r，η线性相关，则存在不全为零的常数k1，k2，…，kn-r，k，使得k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r +kη=0，若k=0，则k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+kη=0，因为ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，所以k1=k2=…=kn-r=0，从而ξ1，ξ2，…，ξn-r，η线性无关，所以k≠0，故η可由ξ1，ξ2，…，ξn-r线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有Bη=0，矛盾，所以ξ1，ξ2，…，ξn-r，η线性无关，且为方程组ABX=0的解，从而n-r(AB)≥n-r+1，r(AB)≤r-1，这与r(B)=r(AB)矛盾，故方程组BX=0与ABX=0同解．设A，B，C，D都是n阶矩阵，r(CA+DB)=n．SSS_TEXT_QUSTI15.证明分值: 3[证明] 因为n=r(CA+DB)=所以SSS_TEXT_QUSTI16.设ξ1，ξ2，…，ξr与η1，η2，…，ηs分别为方程组Ax=0与BX=0的基础解系，证明：ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηs线性无关．分值: 3[证明] 因为所以方程组只有零解，从而方程组AX=0与BX=0没有非零的公共解，故ξ1，ξ2，…，ξr与η1，η2，…，ηs线性无关．17.设A为n阶矩阵，A11≠0．证明：非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A * b=0．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 设非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解，则r(A)＜n，从而|A|=0，于是A * b=A * AX=|A|X=0．反之，设A * b=0，因为b≠0，所以方程组A * X=0有非零解，从而r(A * )＜n，又A11≠0，所以r(A * )=1，且r(A)=n-1．因为r(A * )=1，所以方程组A * X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量，而A * A=0，所以A的列向量组α1，α2，…，αn为方程组A * X=0的一组解向量．由A11≠0，得α2，…，αn线性无关，所以α2，…，αn是方程组A* X=0的基础解系．因为A * b=0，所以b可由α2，…，αn线性表示，也可由α1，α2，…，αn线性表示，故r(A)= =n-1＜n，即方程组AX=b有无穷多个解．18.证明：r(AB)≤min{r(A)，r(B)}．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 令r(B)=r，BX=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量，因为BX=0的解一定是ABX=0的解，所以ABX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数不少于BX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数，即n-r(AB)≥n-r(B)，r(AB)≤r(B)；又因为r[(AB) T ]=r(AB)=r(B T A T)≤r(A T )=r(A)，所以r(AB)≤min{r(A)，r(B)}．19.证明：r(A)=r(A T A)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 只需证明AX=0与A T AX=0为同解方程组即可．若AX0 =0，则A T AX=0．反之，若A T AX0 =0，则XT A T AX=0 (AX) T (AX)=0 AX=0，所以AX=0与A T AX=0为同解方程组，从而r(A)=r(A T A)．20.设A是m×n矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足．证明：方程组AX=b 的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 因为r(A)=r＜n，所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量，设为ξ1，ξ2，…，ξn-r．设η为方程组AX=b的一个特解，令β0=η，β1=ξ1+η，β2=ξ2+η…，βn-r=ξn-r+η0，显然β，β1，β2，…，βn-r为方程组AX=b的一组解．令k0β+k1β1+…+kn-rβn-r=0，即(k0 +k1+…+kn-r)η+k1β1+k2β2+…+kn-rβn-r=0，上式两边左乘A得(k0 +k1+…+kn-r)b=0，因为b为非零列向量，所以k0 +k1+…+kn-r=0，于是k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0，注意到ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，所以k1=k2=…=kn-r=0，故β0，ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，即方程组AX=b存在由n-r+1个线性无关的解向量构成的向量组．设ξ1，ξ2，…，ξn-r+2为方程组AX=b的一组线性无关解，令γ1=β2-β1，γ2=β3-β1，…，γn-r+1=βn-r+2-β1，根据定义，易证γ1，γ2，…，γn-r+1线性无关，又γ1，γ2，…，γn-r+1为齐次线性方程组AX=0的一组解，即方程组AX=0含有n-r+1个线性无关的解，矛盾，所以AX=b的任意n-r+2个解向量都是线性相关的，所以AX=b的线性无关的解向量的个数最多为n-r+1个．21.讨论方程组的解的情况，在方程组有解时求出其解，其中a，b为常数．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解](1)当a≠-1，b≠-2时．因为D≠0，所以方程组有唯一解，由克拉默法则得(2)当a=-1，b≠-2时，当b≠-1时，方程组无解当b=-1时，方程组的通解为(3)当a≠-1，b=-2时，当a=1时，方程组的通解为当a≠1时，显然r(A)=2≠ =3，方程组元解．22.设问a，b，c为何值时，矩阵方程AX=B有解?有解时求出全部解．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解] 令X=(X1，X2，X3)，B=(β1，β2，β3)，方程组AX=B等价于则AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r( )，由r(A)=r( )得a=1，b=2，c=-2，此时AX1=β1的通解为AX2=β2的通解为AX 3 =β 3 的通解为则其中k 1 ，k 2 ，k 3 为任意常数． 1。

2018年考研数学模拟试题（数学三）

2018年考研数学模拟试题（数学三）2018年考研数学模拟试题（数学三）一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）(1)设是微分方程的满足，的解，则（）（A）等于0 （B）等于1 （C）等于2 （D）不存在.（2）设在全平面上有，，则保证不等式成立的条件是（）（A），（B），（C），（D），.（）在存在二阶导数，且，当时有，，则当时有（）（A）.（B）.（C）.（D）.(4)设函数连续，且，则存在，使得（）（A）在内单调增加（B）在内单调减少（C）对任意的，有（D）对任意的，有（）的规范型是（）（A）（B）（C）（D）（），是三阶非零矩阵，且，则（）（A）时，.（B）时，.（C）时，.（D）时，.（）与分别服从和，且与不相关，与也不相关，则（）（A）（B）（C）（D）(8)设为来自总体的简单随机样本，为样本均值，为样本方差，则（）（A）（B）.（C）（D）（9）设，若都存在，那么.（10）(12)设的一个原函数，且.（13）设矩阵，其中是维列向量，且，则.（14）设是来自正态总体的简单随机样本，，，，则统计量服从______.（1）（10分）在上连续，且满足，求及其极小值.（16）（10分）设函数在上连续，在上可导，且.在，；②在，.（17）（10分）的一个解，使得曲线与直线所围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体体积最小.（1）（1分），区域由曲线和轴围成.（19）（10分）的收敛域及和函数.（）（1分）设，的三个特征值之和为，且是方程组的一个解向量.①求矩阵；的通解.（21）（11分）设n阶实对称矩阵的秩为，且满足，求二次型的标准形；行列式的值，其中E为单位矩阵.（22）（11分）与的联合概率分布为①证明与不相关的充分必要条件是事件与相互独立；与不相关，求与的边缘分布.（23）（11分）设总体，未知，是来自样本求的矩估计和极大似然估计量；上述两个估计量。

2018年考研数学一二三真题解析及点评(史上最强版)

证明数列收敛只有唯一的方法：证明数列单调有界。《金讲》17页予以重要说明并给出两道难度高于本题的同型例题详解，本题再不济，直接用第一问的结论求出第二问的结果应该是一丝难度都没有。
数一第20题数三第20题数二第22题
《金讲》403-405页不仅给出了通用性齐次方程组的详细解题过程，还给予具体具体方程解析示例，详细程度超越市面任何一本数学参考书，足以解答任何复杂齐次方程组。
本质一样
数一第18题
(Ⅰ)是简单一阶微分方程求解，直接套公式即得，送分题；(Ⅱ)不定积分函数与变现积分函数的灵活转换，需要对两者关系有较深度地掌握方可轻易转换，稍有难度，本题完整证明出来的同学应该不超过万分之一。
较难题
考查不等式的证明，具有天然的难题属性。但《金讲》在142页对这类题型设了一个专题给予了本质性的总结，任何不等式证明本质都可以归结到两类情况，每类情况的证明有唯一思路，因此，不等式证明对于《金讲》读者不太可能成为难题，但《金讲》以外，没有任何参考书做过这种深度总结，因此本道题对于有些人是难题。
数二第18题
数三第18题
简单函数的级数展开并求通项。展开部分直接套公式，属于送分。求通项虽偶有难度，但任何求通项都可以通过适当展开进行归纳这一万能方法，在《金讲》中有强调，所以也属于半送分。《金讲》 254页至259页用了一个重点专题予以详解本考点，足以解决任何函数的展开式。
数一第19题数三第19题数二第21题
数二第20题
考查微分的基本应用，将题目内容用数学式子表示出来，问题就转化为了最简单的微分或积分问题，本题几乎是《金讲》配套暑期集训讲义中的原题。
数一第11题
考查旋度公式的记忆，直接用旋度公式计算即得答案。旋度公式的详细计算公式参见《金讲》288页，属送分题。

考研数学三模拟题2018年(45)_真题(含答案与解析)-交互

考研数学三模拟题2018年(45)(总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.设每次试验成功的概率为0.2，失败的概率为0.8，设独立重复试验直到成功为止的试验次数为X，则E(X)=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 15 [解析] X的分布律为P(X=k)=0.2×0.8 k-1，k1，2，…．因为所以2.设总体X～N(0，8)，Y～N(0，2 2 )，且X1及(Y1，Y2)分别为来自上述两个总体的样本，则SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1F(1，2)[解析]3.设总体X～N(μ，σ 2 )，X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，则D(S 2 )=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1 [解析] 因为所以4.设X～N(1，σ 2 )，Y～N(2，σ 2 )为两个相互独立的总体，X1，X2，…，Xm 与Y1，Y2，…，Yn分别为来自两个总体的简单样本，则服从______分布．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1[解析]且相互独立，则5.设X～N(μ，σ 2 )，其中σ 2已知，μ为未知参数．从总体X中抽取容量为16的简单随机样本．且μ的置信度为0.95的置信区间中的最小长度为0.588，则σ 2 =______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1** [解析] 在σ 2 已知的情况下，μ的置信区间为 /其中 /于是有 /二、选择题1.对于随机变量X1，X2，…，Xn，下列说法不正确的是______．A．若X1，X2，…，Xn两两不相关，则B．若X1，X2，…，Xn相互独立，则D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)C．若X1，X2，…，Xn相互独立同分布，服从N(0，σ 2 )，则D．若D(X1 +X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)，则X1+X2+…+Xn两两不相关SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 1答案:D[解析] 若X1 +X2+…+Xn相互独立，则B，C是正确的，若X1+X2+…+Xn两两不相关，则A是正确的，选．2.设(X，Y)服从二维正态分布，其边缘分布为X～N(1，1)，Y～N(2，4)，X，Y的相关系数为ρXY=-0.5，且P(aX+by≤1)=0.5，则______．A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 1答案:D[解析] 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以aX+bY服从正态分布，E(aX+bY)=a+2b，D(aX+by)=a 2 +4b 2 +2abCov(X，Y)=a 2 +4b 2 -2ab，即aX+bY～N(a+2b，a 2 +4b 2 -2ab)，由P(aX+by≤1)=0.5得a+2b=1，所以选D．3.设X1，X2，…，Xn是来自正态总体X～N(μ，σ 2 )的简单随机样本，记则服从t(n-1)分布的随机变量是______．A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 1答案:D[解析] 即选D．4.设X～t(n)，则下列结论正确的是______．A．X 2～F(1，n)B．C．X 2～χ 2 (n)D．X 2～χ 2 (n-1)SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 1答案:A[解析] 由X～t(n)，得其中U～N(0，1)，V～χ 2 (n)，且U，V相互独立，于是选A．5.从正态总体X～N(0，σ 2 )中抽取简单随机样本X1，X2，…，Xn，则可作为参数σ 2的无偏估计量的是______．A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 1答案:A[解析] 因为所以为σ 2的无偏估计量，选A．三、解答题1.设总体X～N(0，σ 2 )，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，S 2 = 求所服从的分布．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 6 [解] 又且相互独立，则即设X1，X2，…，Xn(n＞2)是来自总体X～N(0，1)的简单随机样本，记Yi=Xi- (i=1，2，…，n)．求：SSS_TEXT_QUSTI2.D(Yi)；该题您未回答:х该问题分值: 3[解] 由得SSS_TEXT_QUSTI3.Cov(Y1，Yn)．该题您未回答:х该问题分值: 3[解] 因为X 1 ，X 2 ，…，X n (n ＞2)相互独立，所以由得4.设总体X ～N(μ，σ 2 )，X 1 ，X 2 ，…，X n 是来自总体X 的样本，令求E(X 1 T)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 6[解] 因为X 1 ，X 2 ，…，X n 独立同分布，所以有E(X 1 T)=E(X 2 T)=…=E(X n T)5.设总体X 服从正态分布N(μ，σ 2 )(σ＞0)，X 1 ，X 2 ，…，X n 为来自总体X 的简单随机样本，令求Y 的数学期望与方差．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 6 [解]而于是 6.设总体X 服从正态分布N(μ，σ 2 )(σ＞0)．从该总体中抽取简单随机样本X1，X 2 ，…，X 2n (n ＞2)．令求统计量的数学期望．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 6[解] 令Y i =X i +X n+i (i=1，2，…，n)，则Y 1 ，Y 2 ，…，Y n 为正态总体N(2μ，2σ 2 )的简单随机样本，=(n-1)S 2 ，其中S 2 为样本Y 1 ，Y2，…，Y n 的方差，而E(S 2 )=2σ 2 ，所以统计量U= 的数学期望为E(U)=E[(n-1)S 2 ]=2(n-1)σ 2 ． 7.设总体且X，Y相互独立，来自总体X，Y的样本均值为，样本方差为记求统计量的数学期望．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 6[解] 由相互独立，可知a，b与相互独立，显然a+b=1．E(U)=μ[E(a)+E(b)]=μE(a+b)=μE(1)=μ．8.设总体X～N(μ，σ 2 )，X1，X2，…，Xn+1为总体X的简单随机样本，记求统计量服从的分布．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 6[解] 因为Xn+1～N(μ，σ 2 )，且它们相互独立，所以又相互独立，所以由t分布的定义，有9.设总体X的概率分布为X 0 1 2 3p θ 2 2θ(1-θ) θ 2 1-2θ是未知参数．用样本值3，1，3，0，3，1，2，3求θ的矩估计值和最大似然估计值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 6[解] E(X)=0×θ 2+1×2θ(1-θ)+2×θ 2+3×(1-2θ)=3-4θ，令得参数θ的矩估计值为L(θ)=θ 2×[2θ(1-θ)] 2×θ 2×(1-2θ) 4=4θ 6 (1-θ) 2 (1-2θ) 4，lnL(θ)=ln4+6lnθ+2ln(1-θ)+4ln(1-2θ)，令得参数θ的最大似然估计值为10.设总体样本值为1，1，3，2，1，2，3，3，求θ的矩估计和最大似然估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 7[解] (1)X为离散型随机变量，其分布律为E(X)=3-3θ．今3-3θ=2得θ的矩估计值为(2)L(1，1，3，2，1，2，3，3；θ)=P(X=1)P(X=1)…P(X=3)=θ 3×θ 2×(1-2θ) 3，lnL(θ)=5lnθ+3ln(1-2θ)，令得θ的最大似然估计值为11.设总体X～U[0，θ]，其中θ＞0，求θ的极大似然估计量，判断其是否是θ的无偏估计量．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 7[解] 总体X的密度函数和分布函数分别为设x1，x2，…，xθ为总体X的样本观察值，似然函数为(i=1，2，…，n)．当0＜xi＜θ(i=1，2，…，n)时，且当θ越小时L(θ)越大，所以θ的最大似然估计值为=max{x1，x2，…，xn}，θ的最大似然估计量为=max{X1，X2，…，Xn}．因为=max{X1，X2，…，Xn}的分布函数为则的概率密度为所以=max{X1，X2，…，Xn}不是θ的无偏估计量．12.设总体X的密度函数为θ＞0为未知参数，a＞0为已知参数，求θ的极大似然估计量．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 7[解]令得参数θ的极大似然估计量为13.设总体X～U(θ1，θ2)，X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，求θ1，θ2的矩估计和最大似然估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 7 [解] (1)令(2)lnL(θ1，θ2)=-nln(θ2-θ1)，而因为lnL(θ1，θ2)是θ1的单调增函数，是θ2的单调减函数，所以14.设总体X在区间(0，θ)内服从均匀分布，X1，X2，X3是来自总体的简单随机样本．证明：都是参数θ的无偏估计量，试比较其有效性．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 7[解] 因为总体X在区间(0，θ)内服从均匀分布，所以分布函数为令则则U，V的密度函数分别为因为所以都是参数θ的无偏估计量．因为所以更有效．15.设总体X，Y相互独立且都服从N(μ，σ 2 )分布，(X1，X2，…，Xm)与(Y1，Y2，…，Yn)分别为来自总体X，Y的简单随机样本．证明：为参数σ 2的无偏估计量．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 7[证明] 令因为所以于是即为参数σ 2的无偏估计量．1。

考研数学三模拟题2018年(4)_真题(含答案与解析)-交互

考研数学三模拟题2018年(4) (总分100, 做题时间90分钟) 解答题 1.若随机变量序列X 1 ，X 2 ，…，X n ，…满足条件证明：{X n }服从大数定律．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 1.5 【证】由切比雪夫不等式，对任意的ε＞0有所以对任意的ε＞0，故{X n }服从大数定律． 2.某计算机系统有100个终端，每个终端有20%的时间在使用，若各个终端使用与否相互独立，试求有10个或更多个终端在使用的概率．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 1.5【解】设则同时使用的终端数所求概率为3.设X 1 ，X 2 ，…，X n 为总体X 的一个样本，EX=μ，DX=σ 2 ＜∞，求SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 1.5【解】进而有从装有1个白球，2个黑球的罐子里有放回地取球，记这样连续取5次得样本X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 ．记Y=X 1 +X 2 +…+X 5 ，求：SSS_TEXT_QUSTI4.Y的分布律，EY，E(Y 2 )；该题您未回答:х该问题分值: 1.75【解】Y是连续5次取球中取得黑球的个数，所以从而SSS_TEXT_QUSTI5.，E(S 2 )(其中，S 2分别为样本X1，X2，…，X5的均值与方差)．该题您未回答:х该问题分值: 1.75【解】由于X的分布律为所以6.若X～χ 2 (n)，证明：EX=n，DX=2n．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】因X～χ 2 (n)，所以X可表示为其中X1，X2，…，Xn相互独立，且均服从N(0，1)，于是7.已知X～t(n)，求证：X 2～F(1，n)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】X～t(n)，则X可表示为其中Z～N(0，1)，Y～χ 2 (n)且Z，Y相互独立，又Z 2～χ 2 (1)，于是8.设X1，X2，…，Xm，Y1，Y2，…，Yn独立．Xi～N(a，σ 2 )，i=1，2，…，m，Yi～N(b，σ 2 )，i=1，2，…，n，而α，β为常数．试求的分布．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】由于Xi ～N(a，σ 2 )，i=1，2，…，m，Yi～N(b，σ 2 )，i=1，2，…，n，且X1，X2，…，Xm，Y1，Y2，…，Yn相互独立，则也服从正态分布．所以9.一个罐子里装有黑球和白球，黑、白球数之比为a:1．现有放回的一个接一个地抽球，直至抽到黑球为止，记X为所抽到的白球个数．这样做了n次以后，获得一组样本：X1，X2，…，Xn基于此，求未知参数a的矩估计和最大似然估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】由题意知，随机变量X的分布律为令解得对于给定的样本X1，X2，…，Xn，似然函数为取对数，得令得解得10.罐中有N个硬币，其中有θ个是普通硬币(掷出正面与反面的概率各为0.5)，其余N-θ个硬币两面都是正面，从罐中随机取出一个硬币，把它连掷两次，记下结果，但不去查看它属于哪种硬币，如此重复n次，若掷出0次、1次、2次正面的次数分别为n0，n1，n2，利用(1)矩法；(2)最大似然法，求参数θ的估计量．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】设X为“连掷两次正面出现的次数”，A={取出的硬币为普通硬币}，则即X的分布为(1) 解得θ=N(2-μ1)，θ的矩估计为(2)解得θ的最大似然估计11.设总体X的概率密度为又设X1，X2，…，Xn是来自X的一个简单随机样本，求未知参数θ的矩估计量SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】X的数学期望为用样本均值代替①中的EX得此方程的解即为θ的矩估计量12.设总体X的概率密度为试用样本X1，X2，…，Xn求参数α的矩估计和最大似然估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】先求矩估计：解得所以α的矩估计为再求极大似然估计：解得α的极大似然估计：13.设X1，X2，…，Xn是来自对数级数分布的一个样本，求p的矩估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】因为p很难解出来，所以再求总体的二阶原点矩①÷②得所以所以得p的矩估计14.设总体X服从参数为N和p的二项分布，X1，X2，Xn为取自X的样本，试求参数N和p的矩估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】解之得N=μ1/p，即所以N和p的矩估计为15.设总体X的分布列为截尾几何分布P{X=k}=θk-1(1-θ)， k=1，2，…，r，P{X=r+1}=θr，从中抽得样本X1，X2，…，Xn，其中有m个取值为r+1，求θ的极大似然估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】解似然方程得θ的极大似然估计设总体X服从正态分布N(μ，σ 2 )，X1，X2，…，Xn是其样本．SSS_TEXT_QUSTI16.求C使得是σ 2的无偏估计量；该题您未回答:х该问题分值: 2【解】可见当是σ 2的无偏估计量．SSS_TEXT_QUSTI17.求k使得为σ的无偏估计量．该题您未回答:х该问题分值: 2【解】18.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个样本，是θ的一个估计量，若θ+kn，试证：是θ的相合(一致)估计量．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】由切比雪夫不等式，对任意的ε＞0有于是即依概率收敛于θ，故是θ的相合(一致)估计量．19.设X1，X2，…，Xn是取自均匀分布在[0，θ]上的一个样本，试证：Tn=max{X1，X2，…，Xn}是θ的相合估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】Tn =X(n)的分布函数为Tn的密度为所以由切比雪夫不等式有当n→∞时，故Tn是θ的相合估计．20.已知X具有概率密度X1，X2，…，Xn为X的简单随机样本．求未知参数α的矩估计和最大似然估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】先求矩估计．故再求最大似然估计得α的最大似然估计21.设总体X～N(μ，σ 2 )，X1，X2，X3是来自X的样本，证明：估计量都是μ的无偏估计，并指出它们中哪一个最有效．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】故都是μ的无偏估计．所以最有效．22.设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，设EX=μ，DX=σ 2，试确定常数C，使为μ 2的无偏估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】由题意知：23.设总体服从U[0，θ]，X1，X2，…，Xn为总体的样本，证明：为θ的一致估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】由切比雪夫不等式有：因此得为θ的一致估计．24.设从均值为μ，方差为σ 2＞0的总体中分别抽取容量为n1，n2的两个独立样本，样本均值分别为证明：对于任何满足条件a+b=1的常数a，b，是μ的无偏估计量，并确定常数a，b，使得方差DT达到最小．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】由题意得：所以故T是μ的无偏估计量．又令对a求导并解方程如下：得到所以处取得极小值，此时方差DT达到最小．25.设X1，X2，…，Xn独立同分布，X2的取值有四种可能，其概率分布分别为：p1 =1-θ，p2=θ-θ 2，p3=θ 2 -θ 3，p4=θ 3，记N，为X1，X2，…，Xn中出现各种可能的结果的次数，N1+N2+N3+N4=n．确定a1，a2，a3，a4使为θ的无偏估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】由于Ni ～B(n，pi)，i=1，2，3，4，所以E(Ni)=npi，从而有：若使T是θ的无偏估计，即要求解之得：即是θ的无偏估计．设总体X～N(μ1，σ 2 )，Y～N(μ2，σ 2 )．从总体X，Y中独立地抽取两个容量为m，n的样本X1，…，Xm和Y1，…，Yn．记样本均值分别为若是σ 2的无偏估计．求：SSS_TEXT_QUSTI26.C；该题您未回答:х该问题分值: 2【解】同理故则SSS_TEXT_QUSTI27.Z 的方差DZ ．该题您未回答:х 该问题分值: 2 【解】因故则有28.设有k 台仪器，已知用第i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为σ i ，i=1，2，…，k ，用这些仪器独立地对某一物理量θ各观察一次，分别得到X 1 ，X 2 ，…，X k ，设仪器都没有系统误差，即E(X i )=θ，i=1，2，…，k ，试求：a 1 ，a 2 ，…，a k 应取何值，使用估计θ时，是无偏的，并且最小?SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 2 【解】(1)即当是无偏的．(2)令函数问题归结为求多元函数g(a 1 ，a 2 ，…，a k )在条件之下的最小值．作拉格朗日函数：G(a 1 ,a 2 ,…,a k ，λ)=g(a 1 ,a 2 ,…,a k )+λ(a 1 +a 2 +…+a k -1)．29.设{X n }是一随机变量序列，X n 的密度函数为：试证：SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】对任意给定的ε＞0，由于30.设X1，X2， (X)n，…是独立同分布的随机变量序列，EXi=μ，DXi=σ2，i=1，2，…，令证明：随机变量序列{Yn}依概率收敛于μ．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】由切比雪夫不等式得：所以31.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重量50千克，标准差为5千克，若用最大载重为5吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977(Φ(2)=0.977)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】设Xi是“装运的第i箱的重量”，n表示装运箱数．则EXi =50，DXi=5 2 =25，且装运的总重量Y=X1 +X2+…+Xn，{Xn}独立同分布，EY=50n，DY=25n．由列维—林德伯格中心极限定理知Y～N(50n，25n)．于是故也就是最多可以装98箱．32.用概率论方法证明：SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】设{Xn }为一独立同分布随机变量序列，每个Xk服从参数为1的泊松分布，则EXk =1，DXk=1，服从参数为n的泊松分布．故有由列维—林德伯格中心极限定理知：33.截至2010年10月25日，上海世博会参观人数超过了7000万人．游园最大的痛苦就是人太多．假设游客到达中国馆有三条路径，沿第一条路径走3个小时可到达；沿第二条路径走5个小时又回到原处；沿第三条路径走7个小时也回到原处．假定游客总是等可能地在三条路径中选择一个，试求他平均要用多少时间才能到达中国馆．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】设游客需要X小时到达中国馆，则X的可能取值为3，5+3，7+3，5+5+3，5+7+3，7+7+3，…要写出X的分布律很困难，所以无法直接求EX．为此令Y={第一次所选的路径}，即{Y=i}表示“选择第i条路径”．则因为E(X|Y=1)=3，E(X|Y=2)=5+EX，E(X|Y=3)=7+EX，所以故EX=15，即该游客平均要15个小时才能到达中国馆．34.设X1，X2， (X)n为一列独立同分布的随机变量，随机变量N只取正整数且N与{Xn}独立，求证：SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】35.假设你是参加某卫视“相亲节目”的男嘉宾，现有n位女嘉宾在你面前自左到右排在一条直线上，每两位相邻的女嘉宾的距离为a(米)．假设每位女嘉宾举手时你必须和她去握手，每位女嘉宾举手的概率均为，且相互独立，若Z 表示你和一位女嘉宾握手后到另一位举手的女嘉宾处所走的路程，求EZ．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】设按从左到右的顺序将女嘉宾编号为1，2，…，n．X为“已经握手的女嘉宾的编号”，Y表示“将要去握手的女嘉宾的编号”，则于是36.对于任意二事件A1，A2，考虑二随机变量试证明：随机变量X1和X2独立的充分必要条件是事件A1和A2相互独立．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】记pi =P(Ai)(i=1，2)，p12=P(A1A2)，而ρ是X1和X2的相关系数．易见，随机变量X1和X2都服从0—1分布，并且(1)必要性．设随机变量X1和X2独立，则P(A1 A2)=P{X1=1，X2=1}=P{X1=1}P{X2=1}=P(A1)P(A2)．从而，事件A1和A2相互独立．(2)充分性．设事件A1和A2相互独立，则也都独立，故从而，随机变量X1和X2相互独立．37.假设有四张同样卡片，其中三张上分别只印有a1，a2，a3，而另一张上同时印有a1，a2，a3．现在随意抽取一张卡片，令Ak={卡片上印有ak }．证明：事件A1，A2，A3两两独立但不相互独立．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】由于对任意k，j=1，2，3且k≠j，有可见事件A1，A2，A3两两独立．但是，由于可见事件A1，A2，A3不相互独立．38.某商品一周的需求量X是随机变量，已知其概率密度为假设各周的需求量相互独立，以Uk表示k周的总需求量，试求：(1)U2和U3的概率密度fk(x)(k=2，3)；(2)接连三周中的周最大需求量的概率密度f(3)(x)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】以Xi (i=1，2，3)表示“第i周的需求量”，则Xi的概率密度均为而U2 =X1+X2，U3=U2+X3．三周中周最大需求量为X(3)=max{X1，X2，X3}．(1)当x≤0时，显然f2 (x)=f3(x)=0；对于x＞0，有于是，两周和三周的总需求量U2和U3的概率密度(2)设F(x)是随机变量X的分布函数．由题意知连续三周中的周最大需求量X(3)的分布函数为G(x)=[F(x)] 3．于是，有39.设X和Y相互独立都服从0-1分布：P{X=1}=P{Y=1}=0.6，试证明：U=X+Y，V=X-Y不相关，但是不独立．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2由协方差的定义和性质，以及X和Y相互独立，可见Cov(U，V)=E(UV)-EUEV=E(X 2 -Y 2 )-E(X+Y)E(X-Y)=E(X 2 )-E(Y 2 )=0．于是，U=X+Y，V=X-Y不相关．(2)现在证明U=X+Y，V=X-Y不独立．事实上，由P{U=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=0.16，P{V=0}=P{X=0，Y=0}+P{X=1，Y=1}=P{X=0}P{Y=0}+P{X=1}P{Y=1}=0.52，P{U=0，V=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=0.16≠0.16×0.52=P{U=0}P{V=0}，可见U和V不独立．40.假设G={(x，y)|x 2 +y 2≤r 2 }是以原点为圆心，半径为r的圆形区域，而随机变量X和Y的联合分布是在网G上的均匀分布．试确定随机变量X和Y的独立性和相关性．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】(1)X和Y的联合密度为那么，X的密度函数f1 (x)和Y的密度函数f2(y)相应为由于f(x，y)≠f1 (x)f2(y)，可见随机变量X和Y不独立．(2)证明X和Y不相关，即X和Y的相关系数ρ=0．因此，有于是，X和Y的相关系数ρ=0．这样，X和Y虽然不相关，但是不独立．41.假设某季节性商品，适时地售出1千克可以获利s元，季后销售每千克净亏损t元．假设一家商店在季节内该商品的销售量X(千克)是一随机变量，并且在区间(a，b)内均匀分布．问季初应安排多少这种商品，可以使期望销售利润最大?SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】根据条件随机变量X的概率密度为以Y=P(h)表示“销售利润”，它与季初应安排商品的数量h有关．由条件知为求使期望利润最大的h，我们计算销售利润Y=P(h)的数学期望．为此，首先注意到：a＜h＜b，销售利润Y=P(h)的数学期望为对h求导并令其等于0，得于是，季初安排h千克商品，可以使期望销售利润最大．42.独立地重复进行某项试验，直到成功为止，每次试验成功的概率为p．假设前5次试验每次的试验费用为10元，从第6次起每次的试验费用为5元．试求这项试验的总费用的期望值a．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】以X表示“试验的总次数”，首先求X的概率分布．设Ak={第k次试验成功}(k=1，2，…)，则P(Ak)=p，X的概率分布为其中q=1-p．于是试验的总次数X服从参数为p的几何分布．现在求试验的总费用的期望值a．由条件知，试验的总费用为该项试验的总费用Y是一随机变量，其期望值为例如，设p=0.8，q=0.2，得a=12.498元；设p=q=0.5，得a=19.6875元；设p=0.2，q=0.8，得a=41.808元；设p=0.1，q=0.9，得a=70.4755元．43.利用列维—林德伯格定理，证明：棣莫弗—拉普拉斯定理．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，同服从0—1分布；EXi =p，DXi=pq (i=1，2，…，n)，Sn =X1+X2+…+Xn，ESn=np，DSn=npq，其中q=1-p．X1，X2，…，Xn满足列维—林德伯格定理的条件：X1，X2，…，Xn独立同分布且数学期望和方差存在，当n充分大时近似地Sn～N(np，npq)．44.某保险公司接受了10000辆电动自行车的保险，每辆车每年的保费为12元．若车丢失，则赔偿车主1000元．假设车的丢失率为0.006，对于此项业务，试利用中心极限定理，求保险公司：(1)亏损的概率α；(2)一年获利润不少于40000元的概率β；(3)一年获利润不少于60000元的概率γ．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】设X为“需要赔偿的车主人数”，则需要赔偿的金额为Y=0.1X(万元)；保费总收入C=12万元．易见，随机变量X服从参数为n，p的二项分布，其中n=10000，p=0.006；EX=np=60，DX=np(1-p)=59.64．由棣莫弗—拉普拉斯定理知，随机变量X近似服从正态分布N(60，59，64)，随机变量Y近似服从正态分布N(6，0.5964)．(1)保险公司亏损的概率(2)保险公司一年获利润不少于4万元的概率(3)保险公司一年获利润不少于6万元的概率45.将n个观测数据相加时，首先对小数部分按“四舍五入”舍去小数位后化为整数．试利用中心极限定理估计：(1)试当n=1500时求舍位误差之和的绝对值大于15的概率；(2)估计数据个数n满足何条件时，以不小于90%的概率，使舍位误差之和的绝对值小于10的数据个数n．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】设Xi 是“第i个数据的舍位误差”，由条件可以认为Xi独立且都在区间[-0.5，0.5]上服从均匀分布，从而EXi =0，DXi=1/12．记Sn =X1+X2+…+Xn，为n个数据的舍位误差之和，则ESn =0，DSn=n/12．根据列维—林德伯格中心极限定理，当n充分大时Sn近似服从N(0，n/12)．记Φ(x)为N(0，1)的分布函数．(1)由于近似服从标准正态分布，且n=1500，可见(2)数据个数n应满足条件：由于近似服从N(0，1)，可见于是，当n＞721时，才能使误差之和的绝对值小于10的概率不小于90%．46.设X是任一非负(离散型或连续型)随机变量，已知的数学期望存在，而ε＞0是任意实数．证明：不等式SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】(1)设X是离散型随机变量，其一切可能值为{xi}，则(2)设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，则47.设事件A出现的概率为p=0.5，试利用切比雪夫不等式，估计在1000次独立重复试验中事件A出现的次数在450到550次之间的概率α．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】设vn是“1000次独立重复试验中事件A出现的次数”，则vn～B(1000，0.5)，EX=1000×0.5=500，DX=1000×0.5 2 =250．利用切比雪夫不等式，知设来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn，总体X的概率分布为其中0＜θ＜1．分别以v1，v2表示X1，X2，…，Xn中1，2出现的次数，试求SSS_TEXT_QUSTI48.未知参数θ的最大似然估计量；该题您未回答:х该问题分值: 2【解】求参数θ的最大似然估计量．样本X1，X2，…，Xn中1，2和3出现的次数分别为v1，v2和n-v1-v2，则似然函数和似然方程为似然方程的唯一解就是参数θ的最大似然估计量SSS_TEXT_QUSTI49.未知参数θ的矩估计量；该题您未回答:х该问题分值: 2【解】求参数θ的矩估计量．总体X的数学期望为EX=θ 2+4θ(1-θ)+3(1-θ) 2．在上式中用样本均值估计数学期望EX，可得θ的矩估计量SSS_TEXT_QUSTI50.当样本值为1，1，2，1，3，2时的最大似然估计值和矩估计值．该题您未回答:х该问题分值: 2【解】对于样本值1，1，2，1，3，2，由上面得到的一般公式，可得最大似然估计值矩估计值51.假设一批产品的不合格品数与合格品数之比为R(未知常数)．现在按还原抽样方式随意抽取的n件中发现k件不合格品．试求R的最大似然估计值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】设a是这批产品中不合格品的件数，b是合格品的件数．从而，a=Rb，合格品率为设X是“随意抽取的一件产品中不合格品的件数”，则X服从参数为p的0-1分布．对于来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn，记vn=X1+X2+…+Xn，则似然函数和似然方程为由条件知vn =X1+X2+…+Xn=k，于是似然方程的唯一解即是R的最大似然估计值．1。

考研数学三模拟题2018年(29)_真题-无答案

考研数学三模拟题2018年(29)(总分100,考试时间90分钟)解答题1. 证明：方阵A是正交矩阵，即AA T=E的充分必要条件是：(1)A的列向量组组成标准正交向量组，即或(2)A的行向量组组成标准正交向量组，即2. 证明：n＞3的非零实方阵A，若它的每个元素等于自己的代数余子式，则A是正交矩阵．3. 证明：方阵A是正交矩阵的充分必要条件是|A|=±1，且若|A|=1，则它的每一个元素等于自己的代数余子式；若|A|=-1，则它的每个元素等于自己的代数余子式乘-1．设α=[a1，a2，…，an]T≠0，β=[b1，b2，…，bn]T≠0，且αTβ=0，A=E+αβT，试计算：4. |A|；5. An；6. A-1．7. 设A是主对角元为0的四阶实对称阵，E是4阶单位阵，且E+AB是不可逆的对称阵，求A．8. 设证明：A=E+B可逆，并求A-1．9. A，B均是n阶矩阵，且AB=A+B．证明：A-E可逆，并求(A-E)-1．10. 设B是可逆阵，A和B同阶，且满足A2+AB+B2=O证明：A和A+B都是可逆阵，并求A-1和(A+B)-1．11. 已知A，B是三阶方阵，A≠O，AB=O．证明：B不可逆．12. 设A=(aij)n×n，且求r(A*)及A*．13. 已知n阶矩阵求|A|中元素的代数余子式之和，第i行元素的代数余子式之和及主对角元的代数余子式之和14. 设矩阵A的伴随矩阵且ABA-1=BA-1+3E，求B．15. 设A是n阶可逆阵，将A的第i行和第j行对换得到的矩阵记为B．证明：B可逆，并推导A-1和B-1的关系．16. 设A是n阶可逆阵，其每行元素之和都等于常数a．证明：(1)a≠0；(2)A-1的每行元素之和均为．17. A，B为n阶方阵．证明：18. 计算19. 设有矩阵Am×n，Bn×m，Em+AB可逆．(1)验证：En+BA也可逆，且(En+BA)-1=En-B(Em+AB)-1A；(2)设其中利用(1)证明：P可逆，并求P-1．20. 已知α1=[1，-1，1]T，α2=[1，t，-1]T，α3=[t，1，2]T，β=[4，t2，-1]T，若β可由α1，α2，α3线性表示，且表示法不唯一，求t及β的表达式．21. 设向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关，且β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs-1=αs-1+αs，βs=αs+α1．讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．22. 设向量组α1，α2，…，αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即Aβ≠0．证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．23. 设向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)，若(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，且r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r．证明：(Ⅰ)与(Ⅱ)等价．24. 求齐次线性方程组的基础解系．25. 问λ为何值时，线性方程组有解，并求出解的一般形式．26. λ为何值时，方程组无解，有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解．设四元齐次线性方程组(Ⅰ)为又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为k1[0，1，1，0]T+k2[-1，2，2，1]T．27. 求线性方程组(Ⅰ)的基础解系；28. 问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共解．若没有，则说明理由．29. 设γ1，γ2，…，γt和η1，η2，…，ηs分别是AX=0和BX=0的基础解系．证明：AX=0和BX=0有非零公共解的充要条件是γ1，γ2，…，γt和η1，η2，…，ηs线性相关．30. 已知α1=[1，2，-3，1]T，α2=[5，-5，a，11]T，α3=[1，-3，6，3]T，α4=[2，-1，3，a]T．问：(1)a为何值时，向量组α1，α2，α3，α4线性相关；(2)a为何值时，向量组α1，α2，α3，α4线性无关；(3)a为何值时，α4能由α1，α2，α3线性表出，并写出它的表出式．31. 已知问λ取何值时，(1)β可由α1，α2，α3线性表出，且表达式唯一；(2)β可由α1，α2，α3线性表出，但表达式不唯一；(3)β不能由α1，α2，α3线性表出．32. 设向量组α1=[a11，a21，…，an1]T，α2=[a12，a22，…，an2]T，…，αs=[a1s，a2s，…，ans]T．证明：向量组α1，α2，…，αs线性相关(线性无关)的充要条件是齐次线性方程组有非零解(有唯一零解)．33. 已知α1，α2，…，αs线性无关，β可由α1，α2，…，αs线性表出，且表示式的系数全不为零．证明：α1，α2，…，αs，β中任意s个向量线性无关．34. 已知向量组α1，α2，…，αs+1(s＞1)线性无关，βi=αi+tαi+1，i=1，2，…，s．证明：向量组β1，β2，…，βs线性无关．设A是3×3矩阵，α1，α2，α3是三维列向量，且线性无关，已知Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2．35. 证明：Aα1，Aα2，Aα3线性无关；36. 求|A|．37. 已知A是n阶矩阵，α1，α2，…，αs是n维线性无关向量组，若Aα1，Aα2，…，Aαs 线性相关．证明：A不可逆．38. 设A是n×m阶矩阵，B是m×n矩阵，E是n阶单位阵．若AB=E，证明：B的列向量组线性无关．。

18年数三真题答案解析

18年数三真题答案解析2018年数学三真题答案解析2018年数学三真题共25小题，分为四部分：选择题、填空题、计算题和解答题。

下面我们就来分析详细的答案解析。

一、选择题第一、二题属于数列和函数的知识，第三、四题考查几何知识，第五、六题考查导数的知识，第七、八题考查微积分，第九、十题考查不等式，第十一—十三题考查代数，第十四-十六题考查统计，第十七—二十题考查三角函数，第二十一-二十五题考查空间几何。

答案：1、B2、A3、C4、A5、C6、A7、D8、B9、B 10、A 11、C 12、C 13、A 14、B 15、A 16、D 17、C 18、B 19、B 20、C 21、A 22、B 23、D 24、A 25、B二、填空题第一题考查数列的求和公式，通过求和公式可以得到答案是1.12。

第二题考查函数与曲线，给出的坐标(1,2)可以求出f(2)的值，即为1。

第三、第四题考查几何，利用求解直角三角形面积的公式可得出答案，分别是2.5和1.75。

第五题与第六题考查导数中的导数定义和不定积分，第五题的答案为-1/2，第六题的答案为1。

答案：1、1.12 2、1 3、2.5 4、1.75 5、-1/2 6、1三、计算题第一、二题考查高等数学的积分，第一题的答案为0.15，第二题的答案为0.75。

第三、四题考查代数中的矩阵，第三题的答案为1，第四题的答案为2。

第五题考查近似计算，答案为0.390。

答案：1、0.15 2、0.75 3、1 4、2 5、0.390四、解答题第一题考查数列的知识，将数列分成形如2n+1、2n-1的两部分，分别求和，最后加上最后一项之后得出答案985。

第二题考查微积分中的椭圆曲线，首先求出a与b，以及f(x)在[0,π/2]上最大值cn，根据给定条件可得出答案为6个π/3。

第三题考查空间几何，要求求出空间两个线段之间的距离公式，最后可得出答案3·π√3/90。

答案：1、985 2、6π/3 3、3π√3/90。

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1
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的
1、下列函数中，在0x处不可导的是（）
(A)()sinfxxx (B) ()sinfxxx
(C) ()cosfxx (D) ()cosfxx
2、已知函数()fx在[0,1]上二阶可导，且10()d0fxx，则（）
(A)当()0fx时，
1()02f (B)当()0fx时，1
()02f

(C)当()0fx时，
1()02f (D)当()0fx时，1
()02f

3、设2222(1)d1xMxx，221dxxNxe，22(1cos)dKxx，则（）
(A) MNK (B)MKN (C)KMN (D) KNM
4、设某产品的成本函数Ｃ（Ｑ）可导，其中Ｑ为产量．若产量为Ｑ０时平均成本最小，则
（）
（Ａ）Ｃ′（Ｑ０）＝０
（Ｂ）Ｃ′（Ｑ０）＝Ｃ（Ｑ０）
（Ｃ）Ｃ′（Ｑ０）＝Ｑ０Ｃ（Ｑ０）
（Ｄ）Ｑ０Ｃ′（Ｑ０）＝Ｃ（Ｑ０）

5、下列矩阵中，与矩阵110011001相似的是（）

(A) 111011001 (B) 101011001 (C)111010001 (D) 101010001
6、设,AB为n阶矩阵，记()rX为矩阵X的秩，()XY表示分块矩阵，则（）
2

(A) ()()rAABrA (B) ()()rABArA
(C) ()max{(),()}rABrArB (D)
()()
TT
rABrAB

7、设()fx为某分部的概率密度函数，(1)(1)fxfx，20()d0.6fxx，则
{0}pX„
（）

A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6

8、已知12,,...nXXX为来自总体2~(,)XN的简单随机样本，11niiXXn，

211()1niiSXXn*2
11,()1niiSXn





，则（）

（A）()~()nXtnS （B）
()~(1)nXtnS


（C）*()~()nXtnS （D）
*

()~(1)nXtnS


二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分。
（9）

2
=+2lnfxxx

在其拐点处的切线方程为 .

（10）2earcsin1edxxx .
（11）差分方程
2

5xxyy
的解为 .

（12）已知“空”且=2,02fxxfxxfxxxf，则1=f
.
（13）设A为3阶矩阵，
123
,,


为线性无关的向量组，若11232,A

223323
2AA，
,则A的实特征值为 .

（14）已知事件,,ABC相互独立，且
1
()()()2pApBpC
，

则(|)pACABU .
三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
3

（15）已知
1
+lim[()]2,,xxaxbexab
求

（16）求
22
,3(1)3,DxdxdyDyxyxy由与轴围成。

（17）一根绳长2m，截成三段，分别折成圆、正方形、正三角形，这三段分别为多长
时所得的面积总和最小，并求该最小值。

（18）已知
2
01cos2,(1)nnnnxaxax

求

（19）已知数列
{}
nx满足，10x，11,1,2,nnxxnxeen….证明：数列{}n
x
收敛，并

求limnnx.

（20）设实二次型
222

1231232313
(,,)()()(),fxxxxxxxxxax
其中a是参数，

求：
（I）求
123
(,,)0fxxx

的解

（II）求
123
(,,)fxxx

的规范形

（21）已知a是常数，且矩阵1213027aAa可经初等变换化为矩阵12011111aB
（I）求a
（II）求满足APB的可逆矩阵P

22.已知随机变量,XY相互独立，且
1
(1)(1)2pXpX
，Y服从参数为的泊松

分布，ZXY
（I）求(,)COVXZ;
（II）求Z的分布律.

23.已知总体X的密度函数为
1
(,),2xfxex
12,,...n
XXX

为来自总体

X
4

的简单随机样本，为大于0的参数，的最大似然估计量为
（I）求；
（II）求E，D；