精品获奖教案 1.2.3直线与平面的位置关系(3)教案 苏教版必修2
精致获奖教案 1.2.3直线与平面的位置关系(1)课件 苏教版必修2
A1
直线与平面的位置关系：
公共点个数 没有公共点 有且只有一个 有无数个 位置关系 直线AB与平面平行 直线l与平面交于P点 直线AB在平面内 图形语言 图2 图1 图3 符号语言 AB∥ l∩＝P AB
P
A a
B
A
B
思考：我们利用公理1可以判定直线在平面内或与平面相交， 如何判定直线与平面平行呢？
在如图所示的长方体中，棱A1B1(或A1D1)所在的直线与平面AC没有 公共点，对角线A1C(或棱AA1)所在的直线与平面AC有且只有一个公共点， 棱AD所在的直线与平面AC有无数个公共点． D1 C1 B1 如果一条直线a和一个平面没有公共点， 我们就说直线a与平面平行，记a∥． 如果直线a与平面有且只有一个公共点， 我们就说直线a与平面相交，记a∩． D A B C 如果直线a与平面有无数个公共点，我 们就说直线a在平面内，记a ．
注意：平面不可缺失！
数学应用：
例2．如图是一四面体ABCD，用平行于一组对棱AC、BD的平面截此四 面体得截面PQMN，求证：四边形PQMN是平行四边形． A
M
Q D
B N
P C
数学应用：
练习： (1)如果直线a∥b，且a∥平面，则b与的位置关系是 ． (2)过平面外一点，与这个平面平行的直线有 条． (3)P是异面直线a，b外一点，过点P可作 个平面与a，b都平行． (4)如图，P是ABCD所在平面外一点，E，F分别在PA，BD上，且PE∶EA＝ BF∶FD.求证：EF∥平面PBC．
P
E D F C
A
B
数学应用：
练习．如图，P为平行四边形ABCD所在的 平面外一点．
M，N O 分别是PD，PC AC的中点．试判断 的中点．判断MO MN 与平面 与四棱锥 PAB的关系． P－ABCD各面的位置关系．
高中数学第1章立体几何初步1.2-1.2.3直线与平面的位置关系课件苏教版必修2
题型 1 直线与平面的位置关系
[典例 1] 下列命题中正确的命题的个数为_______． ①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平 面内的任意一条直线平行； ②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平 面内的无数条直线垂直；
③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行； ④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这 条直线平行于这个平面． 解析：对于①，直线与平面平行，只是
第1章 立体几何初步
1．直线与平面的位置关系： (1)直线 a 在平面 α 内：直线 a 和平面 α 有无数个公 共点，记作 a⊂α；
(2)直线 a 与平面 α 相交：直线 a 和平面 α 有且只有 一个公共点，记作 a∩α＝A；
(3)直线 a 与平面 α 平行：直线 a 和平面 α 有 0 个公 共点，记作 a∥α．
题型 6 直线与平面所成角 [典例 6] 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角． 分析：本题只需要找出(或作出)A1B 在平面 A1B1CD 上的射影即可，但图形中没有现成的，所以可以连接 BC1 与 B1C 即可作出．
解：如图所示，连接 BC1 与 B1C，相交于点 M， 连接 A1M，则 BC1⊥B1C. 因为 A1B1⊥平面 BCC1B1， BC1⊂平面 BCC1B1， 所以 A1B1⊥BC1. 因为 A1B1∩B1C＝B1，
线进行过渡．
证明：连接 AN 交 α 于点 Q，连接 OQ，PQ，如图所 示．
因为 b∥α，平面 ABN∩α＝OQ， 所以 b∥OQ.同理 PQ∥a. 在△ABN 中，O 是 AB 的中点， OQ∥BN，
[变式训练] 3.如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 是 平面 ABCD 外一点，M 是 PC 的中点， 在 DM 上取一点 G，过点 G 和 AP 作平面 交平面 BDM 于 GH.求证：AP∥GH. 证明：如图所示，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 MO，
高中数学必修2苏教版配套课件：1.2.3 直线与平面的位置关系
l⊄α，m⊂α ，______ l m ， (2)符号语言：若___________ ∥________ 则 l ∥ α.
线面平行．用该 3．线面平行的判定定理的作用：证明 ________ 定理判断直线 l 和平面 α 平行时 ，必须具备三个条件： ① 直线m在平面α内，即m⊂ α ________________________ ； 直线l不在平面α内，即l⊄α ；② ______________________
l α l⊂β ， (2)符号语言：若________ ∥_________ ，_________
α∩ β＝m ，则l∥m. ________ (3) 直线和平面平行的性质定理中有三个条件： ① 平面 α 和平面 β 相交于直 ________________________ 直线 l和平面α平行，即l∥α ；②______________________
l在平面β内，即l⊂β 线m，即α∩β＝m __________________________ ；③直线 ______________________. 这三个条件是缺一不可的条件． 5 ．直线与平面垂直的定义：如果一条直线 a 与一个 任意一条直线都垂直 ，我们就说直线 a 与平 平面 α 内的 _______________________ 面α互相垂直．
栏 目 链 接
直线与平面垂直 和 10 ． 直 线 和 平 面 相 交 包 括 __________________ 直线与平面不垂直 ________________两种，后者叫做这个平面的斜线，其交点 叫斜足，斜线上任意一点与斜足间的线段，叫做这个点到平
面的斜线段．
11 ．直线和平面所成角：平面的一条斜线与它在这个
栏 目 链 接
平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的
1.2《点线面之间的位置关系--平面的基本性质3》教案(苏教版必修2)
第7课时平面的基本性质（三）教学目标：使学生能够进行性质与推论的简单应用、正确运用平面的基本性质及三个推论进行共面、共线、共点问题的证明；要通过知识的应用，使学生掌握方法、规律，学会正确推理，以理服人。
教学重点、难点：共面、共线、共点问题的证明。
教学过程：一、复习回顾：三个公理及推论；各个公理及推论的作用。
二、新课讨论：例1：直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，证明这三条直线共面.［师］空间的几个点和几条直线，如果都在同一个平面内，那么可以简单地说它们“共面”.分析：两两相交，是说每两条直线都相交.此题是让我们证明三条直线共面，我们学过的公理和推论中都没有关于三条直线的，怎么办呢？［生丙］先由两条直线确定一个平面，再证第三条直线也在这个平面内（学生已作了预习，回答出这样的思路应该是没有问题的）.［师］生丙同学的回答正确吗？若正确，怎样证明第三条直线也在这个平面内呢？［生丁］生丙的回答正确.先由两条直线确定一个平面是容易的，要证第三条直线也在这个平面内，只要证第三条直线上有两点在这个平面内就行了，如图，先由AB、AC 确定一个平面，由于B点、C点在确定的平面内，根据公理1可知，直线BC也在这个平面内.［师］生丁所述有道理吗？［生］有道理，完全正确.［师］下面我们根据生丙、生丁两位同学的思路，写出此题的证明过程.证明：∵AB、AC相交，∴AB、AC确定一个平面，设为α∵B∈AB,C∈AC∴B∈α，C∈α∴BC α因此AB、AC、BC都在平面α内.即AB、AC、BC共面.注意：确定的平面叫成什么是无所谓的.不一定非要叫α不可，叫成其他如β、γ都行.［师］谁还有其他不同于生丙同学的意见？［生戊］每两条相交直线都能确定一个平面，若能证明这些平面重合，则也能说明这三条直线共面.［师］同学们想一想，生戊同学的思路可行吗？（同学们积极思考，但无人回答，留出几分钟时间，让同学们继续思考是非常必要的）［生戊］AB、AC可确定一个平面，AB、BC也可确定一个平面，由于点A、B、C 既在第一个平面内，又在第二个平面内.根据公理3，经过A、B、C三点有且只有一个平面，所以这两个平面重合，即AB、AC、BC共面.［师］很好！下面我们根据生戊同学的思路，写出此题的另一种证明.证明：∵AB、AC相交∴AB、AC确定一个平面α∴点A、B、C∈α，且不共线∵AB、BC相交∴AB、BC确定一个平面β∴点A、B、C∈β，且不共线根据公理3，经过不共线的三点A、B、C有且只有一个平面，∴面α与面β重合∴AB、AC、BC共面.［师］从刚才我们的分析讨论中，可以知道，证明共面问题的方法至少有两种：①先由某些条件确定一个平面，然后证明其余已知的都在这个平面内.②所有已知条件确定若干个平面，然后证明这些平面重合.两种证明方法的关键都在“然后”，要注意练习掌握.这两种证明方法比较，第一种更为常用，因为证明若干个平面重合，实在不是一件容易的事情.希望大家都能像生戊同学那样.遇到问题善于思考，多动脑子去想，办法总会是有的.下面再来看一个例子.例2：如图，已知△ABC的各顶点在平面α外，直线AB、BC、AC分别交平面α于P、Q、R，求证：P、Q、R三点共线.分析：平面几何中证明三点共线是怎样证明的？［生］先由两点确定一条直线，然后证明第三点也在这条直线上.［师］这里的三点共线能用这种办法证明吗？比如说，连结点P、点Q，得直线PQ，大家能够证明点R也在直线PQ上吗？［生己］能！由已知条件可知，直线PQ实质上是面ABC与面α的交线，只要证明点R是面ABC与面α的交点，那么R必在直线PQ上.［生庚］既然这样，只要证明点P、Q、R都是面ABC与面α的交点，那么点P、Q、R就共线，它们都在面ABC与面α的交线上.［师］两位同学分析得都很好！在立体几何中，要证明三点共线，只要证明三点都是某两个平面的公共点即可.证明若干点共线的问题，思路同样也是这样的.下面大家一起来写出此题的证明：证明：∵AB∩α＝P ∴P∈AB，P∈平面α又AB 平面ABC ∴P∈平面ABC∴由公理2可知，点P在平面ABC与平面α的交线上∴P、Q、R三点共线例3：三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点. 已知：平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行.求证：l1、l2、l3相交于一点证明：如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3，∵l1⊂β，l2⊂β，且l1、l2不平行∴l1与l2必相交，设l1∩l2=P，①则P∈l1⊂α,P∈l2⊂γ∴P∈α∩γ= l3 ②∴l1、l2、l3相交于一点P.例4：已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.已知：直线a∥b∥c，直线l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：l与a、b、c共面.证明：∵a∥b∴a、b确定一个平面，设为α又l∩a＝A，l∩b＝B ∴A∈α，B∈α又A∈l，B∈l ∴AB⊂α，即l⊂α同理b、c确定一个平面β，l⊂β.∴平面α与β都过两相交直线b与l.由推论2，两条相交直线确定一个平面.∴α与β重合.故l与a、b、c共面.例5：画出四面体ABCD中过E、F、G三点的截面。
高中数学1.2.3直线与平面的位置关系(1)教案苏教版必修2
123 直线与平面的位置关系（1）教学目标：1.了解空间中直线与平面的位置关系及分类标准；2.掌握直线与平面平行的判定定理及性质定理，会应用它证明有关的问题；3.在引导学生观察、分析、抽象、类比得出空间直线与平面位置关系的过程中，努力渗透数学思想及辨证唯物主义观念.教材分析及教材内容的定位：直线与平面的位置关系是高考重点考查内容之一，解决问题的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与平面.通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的思想，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力.本节课的主要内容是直线与平面平行的判定定理和性质定理的探究与发现、概括与证明、练习与应用•欲证线面平行，需转化为线线平行，故线面平行判定是线线平行判定的上位知识，需要认真复习初中平几中线线平行的有关内容；而已知线面平行时需要构造辅助平面与已知平面相交，则得出线线平行.线面平行判定是三大平行判定（线线平行、线面平行、面面平行）的核心，也是高考的高频考点之一，学好线面平行对后续学习面面平行及三大垂直的判定与性质等内容，具有良好的示范作用. 学习这些内容是培养学生的数学表述与交流能力（用集合符号语言进行数学表达与交流），直感思维与逻辑思维，推理论证能力及空间想象能力等的重要载体.线面平行的判定蕴含的数学思想方法主要有数形结合、化归与转化思想.教学重点：直线和平面的位置关系，直线和平面平行的判定定理以及性质定理.教学难点：直线和平面平行的判定定理以及性质定理的正确运用.教学方法：探究发现式、合作讨论式.教学过程:、问题情境1 •复习异面直线的定义;2. 思考并回答问题：异面直线是说两条直线不同在任一平面内, 若a ，则b •从这句话可知，直线与平面有哪几种位置关系?二、 学生活动1. 观察教室，概括空间直线和平面的三种位置关系；2. 观察长方体 ABCD-A 1CD ,说出棱AB 所在的直线与长 方体六个面所在平面的位置关系，并说明理由；3. 总结、概括空间直线和平面的三种位置关系的定义.三、 建构数学1.直线与平面的位置关系.2. 直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.注意：要证明线面平行关键在于在平面内找到一条线与已知直线平行;3. 直线和平面平行的性质定理.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交， 那么这条直线就 和交线平行. 即a 与b 是异面直线, a符号语言：ba// 图形语言: b 〃 a简记为：线线平行线面平行C i C直线a 与平面a 相交和平行的情况统称为直线在平面外，记作a符号语言：Il 〃m I m简记为：线面平行 线线平行 注意：线面平行性质定理的运用关键在于过平面外的直线构造辅助平面与已知平面相交，则有已知直线与交线平行；四、数学运用1.例题.例1 如图，已知E 、F 分别是三棱锥 ABCD 勺侧棱 AB AD 的中点，求证：EF//平面BCD 解后反思：通过本题的解答，你可以总结出什么解题思想和方法?反思1:要证明直线与平面平行可以运用判定定理；线线平行反思2:能够运用定理的条件是要满足六个字：“面外、面内、平行”；反思3:运用定理的关键是找平行线；找平行线又经常会用到三角形中位线定理.例2如图是一四面体ABCD 用平行于一组对棱 AC BD 的平面截此四面体得截面 PQM ,求证：四边形 PQM 是平行四边形. 2•练习.(1)如果两直线a / b 且a //平面a ,贝U b 与a 的位置关(2)过平面外一点，与这个平面平行的直线有 条.(3) P 是两条异面直线 a b 外一点，过点P 可作 个平面与a 、b 都平行.(4) 如图所示，P 是ABCC 所在平面外一点，E , F 分别在PA BD 上,且PE ： EA=BF FD.求图形语言线面平行;证：EF//平面PBC五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1•线面平行的判定定理：线线平行线面平行；2•线面平行的性质定理：线面平行线线平行；3•线面平行判定定理在使用时通常要在平面内找到一条线与已知直线平行；而线面平行的性质定理在使用时则需要构造辅助面找到交线，从而得到线线平行.。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.3 直线与平面的位置关系(2)教案 苏教版必修2(2021
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1.2.3 直线与平面的位置关系(2)【教学目标】1．理解直线和平面垂直的定义及相关概念；2．理解并掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理，并初步运用； 3．解点到面、线到面的距离。
【教学重点】直线和平面垂直的判定和性质. 【教学难点】性质定理的证明:线线垂直⇔线面垂直。
【过程方法】1．通过直观感知并通过操作确认直线和平面垂直的判定定理，培养学生的理性思维能力、观察能力和空间想象能力;2．通过对直线和平面垂直的判定定理和性质定理的初步应用，向学生渗透转化思想的应用。
【教学过程】 一、引入新课观察圆锥SO:(1）轴SO 与底面内哪些直线垂直？为什么？ （2）为什么轴SO ⊥底面内的所有直线?二、讲授新课1． 如果一条直线a 与一个平面α内的任意一条直线都垂直,则称直线a 垂直于平面α，记作a ⊥α.直线a 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a 的垂面，垂线和平面的交点称为垂足.O SCBA〖思考〗在平面中，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
那么,在空间:（1） 过一点有且只有几条直线与已知平面垂直？ (2) 过一点有且只有几个平面与已知直线垂直？ 〖结论〗过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直. 2．点到直线的距离过平面外一点A 向平面α引垂线，则点A 和垂足B 之间的距离叫做点A 到平面α的距离. 例1．求证：如果两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一条也垂直与这个平面。
新教材苏教版必修第二册1323直线与平面的位置关系课件3
如何探究直线与平面所成的角
求直线与平面所成角的大小的步骤
(1)作角:
①作垂线:过斜线上一点(不是斜足)作平面的垂线;
②作射影:连接垂足和斜足;
③确定平面角:斜线与它在平面上的射影所成的角即为所求,即将空间角(斜线
与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的角).
(2)证明:证明某平面角就是斜线与平面所成的角,关键是证垂直.
进行证明.
解析 存在.
当点E是DC的中点时,有D1E∥平面A1BD.
连接BE,∵E是DC的中点,∴DE= CD.
又∵DC=2AB,AB∥DC,∴DE AB,
∴四边形ABED为平行四边形,
1
2
∴BE AD.
又∵A1D1 AD,∴A1D1 BE,
∴四边形A1BED1为平行四边形,
∴D1E∥A1B.
13.2.3 直线与平面的位置关系
1.了解直线与平面的三种位置关系,会判断直线与平面的位置关系.
2.掌握空间中直线与平面平行的判定定理和性质定理,并能简单应用.
3.了解直线和平面垂直的相关概念,了解点到平面的距离、直线和平面的距离、
直线和平面所成的角的概念.
4.掌握空间中直线与平面垂直的判定定理和性质定理,并能简单应用.
② a∥α
一条直线与一个
平面平行,如果过
性质定理
该直线的平面与
此平面相交,那么
该直线与交线平
行
l
l
③ αβ m
⇒l∥m
直线与平面垂直
a与平面α内的任意一条直线都垂直,那么称直线a与平面α垂直,记
作a⊥α.直线a叫作平面α的垂线,平面α叫作直线a的垂面,垂线和平面的交点称为
苏教版高中数学必修2课件 1.2.3 直线与平面的位置关系——2.直线与平面垂直课件3
直线与平面平行
线线平行线面平行
性质定理
判定定理
a∥
a∥l
a
a∥l
a
∩＝l
l
证明线线平行的方法：
①平行公理； ②平面内两直线无公共点； ③线面平行性质定理．
a∥
情境问题：
在如图所示的长方体中，除了认识的线面平行、线在平面内，是否存 在线与垂直呢？如何判定一条直线与平面垂直呢？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D1
C1
3．如图，已知PA⊥，PB⊥，垂足分别为A、B，且∩＝l，
求证：l⊥平面PAB．
A l
P
B
4．在三棱锥A—BCD中，AB＝AD，CB＝CD，求证：AC⊥BD．
A
B C
E D
数学应用：
5．能否构造出一个三棱锥A-BCD，使它的四个面均为直角三角形？ A
作Rt△BCD，使∠C＝90，
过顶点B(D)作BA⊥面BCD，
A1
B1
D A
C B
数学建构：
直线与平面垂直的定义：
如果一条直线a与一个平面内的任意一条直线都垂直，则称 直线a与平面互相垂直．
记作：a⊥．
a
a —— 平面的垂线；
—— 直线a的垂面；
P —— 垂足．
P
l
a⊥，l⊂ a⊥l．
求证： 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于
这个平面．
个平面垂直.
②过一点有且只有一条直线和已知直线垂直.
③若A，B两点到平面的距离相等，则直线AB∥.
④已知直线a在平面内，若l⊥ ，则l⊥.
⑤已知直线l和平面 ，若l⊥ ，则l和相交.
2．若AB的中点到平面的距离为4cm，点A到平面的距离为6cm，则点 B到平面的距离为_______cm．
精品获奖教案 1.2.4平面与平面的位置关系(3)教案 苏教版必修2
1.2.4 平面与平面的位置关系（3） 教学目标： 1．进一步理解和掌握两平面垂直的定义与判定； 2．理解掌握两平面垂直的性质，并能运用性质定理与判定定理解题．
教材分析及教材内容的定位： 两平面垂直是生产、生活中常见问题，应要求学生能熟练地证明有关问题．
教学重点： 面面垂直的性质定理． 教学难点： 面面垂直的性质定理与判定定理的综合应用．
教学方法： 类比，猜想，验证．
教学过程： 一、问题情境 1．复习二面角的定义； 2．复习两平面垂直的定义、判定定理． 3．情境问题：如果两平面垂直，那么其中一个平面内的任一点在另一个平面内的射影的位置有什么特殊性吗？ 二、学生活动 画图探究，类比思考． 三、建构数学 1． 两平面垂直的性质定理： 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
符号语言： 图形语言： 简记为：面面垂直线面垂直
a
laal
l
a A 四、数学运用 1．例题． 例1 求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内． 已知：⊥，A，AB⊥． 求证：AB． 例2 四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E是PC的中点， 求证：平面EDB⊥平面PBC．
2．练习． （1）如图，在三棱锥A-BCD中，∠BCD＝90，AB⊥面BCD，
求证：平面ABC⊥平面ACD．
变式：如图，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，请写出图中与平面PAB垂直的所有平面．
（2）S为三角形ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC． 求证：AB⊥BC．
A B C D
P E C D
A B
P A B
C D
S C （3）如图，P为Rt△ABC所在平面外一点，∠ABC＝90，且PA＝PB＝PC．求证：平面PAC⊥平面ABC．
《1.2.3 直线与平面的位置关系——2.直线与平面垂直》课件1-优质公开课-苏教必修2精品
问题引出
问题：直线和平面的位置关系分类 直线在平面内
l
有无数个公共点
直线和平面平行
直线和平面相交
l
l
无公共点
l1
只有一个公共点 直线和平面垂直，是直线 和平面相交中的一种特殊 情况。
旗 杆 和 直线在平面内 地 面 的 位 直线和平面平行 置 关 系 是 直垂 面 平 和 线 直 什 么 呢 ？
PO=12,PA=13,AO=5,
P
α
A
O
B
PA2=PO2+OA2,根据勾股定理的逆定理可知： △POA为直角三角形，即PO ⊥AO 同理PO ⊥BO.
又因为O、A、B不在一直线上，且都在平 面内，OA、OB为平面的两条相交直线。 所以PO ⊥ .
a
α
a
α
总结
1.直线和平面垂直的定义
2.直线和平面垂直的画法和记作
α
A
O
B
已知 如图所示， PO=12m,PA=PB=13m ,OA=OB=5m,且点O、A、 B不在一条直线上，却都在平面 内。 求证：PO⊥
已知 如图所示，PO=12m,PA=PB=13m ,OA=OB=5m, 且点O、A、B不在一条直线上，却都在平面 内。 求证：PO⊥ 证明： 在△POA中,
3.过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；
过一点有且只有一个平面和已知直线垂直
4.直线和平面垂直的判断定理（两条、相交直线）
注意：要判断一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这个 平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条 相交直线与已知直线是否有公共点，无关紧要。
直线和平面垂直
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1.2.3 直线与平面的位置关系（3）
教学目标：
1. 掌握平面的斜线及其在平面上的射影、直线和平面所成角等有关概念；
2. 掌握求直线和平面所成角的方法；
3. 培养学生的几何直观能力，提高学生的归纳概括能力.
教材分析及教材内容的定位：
直线和平面所成的角是继学习异面直线所成角后的又一个空间角，及后面将学习的二面
角都是立体几何的重要概念，它们均需化归为相交直线来求.复习异面直线所成的角有利于
学生进行对比和联系，掌握线面所成的角同时也为后继学习作好铺垫.平面外的直线和其在
平面内的射影的夹角是直线与平面内任意直线夹角中的最小值、平面外的直线和其在平面内
的射影的夹角的大小仅取决于直线和平面的位置说明了直线和平面夹角概念的合理性，教学
中需让学生理解，才能真正认同和掌握概念.
应用概念求解直线和平面夹角中关键是找出直线在平面中的射影，在教学中需量化，方
法上需强调解题步骤,在思想上要注意平面化思想，以及转化与化归思想的渗透.
教学重点：
线面夹角的概念及求法．
教学难点：
找到直线和平面所成的角.
教学方法：
合作交流，启发式.
教学过程：
一、问题情境
1．问题：观察如图（1）所示的长方体ABCD－A1B1C1D1
（1）直线AA1和平面ABCD是什么关系?
（2）直线A1B，A1C，A1D和平面ABCD是否垂直?
A
B
C
D
A
1
C
1
B
1
D
1
A
B
C
D
（3）直线A1B，A1C，A1D与点B，C，D它们又如何命名呢？
二、学生活动
1．举出生活中直线和平面不垂直的例子；
2．回忆：我们是如何求异面直线所成的角的呢？
3．思考：怎样来刻画直线和平面的不同的倾斜程度呢？
三、建构数学
1．斜线：一条直线与平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，
斜线与平面的交点叫斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段.
2．斜线在平面内的射影：过平面外一点向平面引斜线和垂线，过斜足和垂足的直线就
是斜线在平面内的正投影，简称射影.
3．平面的斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做直线
和平面所成的角.
说明:
（1）若直线垂直平面,则直线和平面所成的角为90；
（2）若直线和平面平行或直线在平面内,则直线和平面所成的角为0；
（3） 斜线和平面所成角的取值范围为（0，90）；
直线和平面所成角θ的取值范围为[0，90]；
（4）直线PQ与平面α所成的角∠PQP1是PQ与平面α内经过点Q的直线所成的所有
角中最小的角.
四、数学运用
1．例题.
例1 在正方体ABCD- A1B1C1D1中,求:
（1）直线A1B和平面ABCD所成的角；
（2）直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
例2 如图，已知AC、AB分别是平面α的垂线和斜线，C、B分别是垂足和斜足，a⊂α，
a⊥BC，求证：a⊥AB
．
P
Q
P
P
1
α
A
1
C1 B1 D
1
A
B
C
D
a
C
B
A
α
变式：
求证：如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和这条斜线
在这个平面内的射影垂直．
例3 已知∠BAC在平面α内，点P在α外，∠PAB ＝∠PAC．求证:点P在平面α内
的射影在∠BAC的角平分线上．
2．练习.
（1）两条平行直线在平面内的射影可能是：①两条平行线；②两条相交直线；③一条
直线；④两个点. 上述四个结论中，可能成立的个数是 ．
（2）设斜线与平面所成角为θ，斜线长为l，则它在平面内的射影长是 ．
（3）一条与平面相交的线段，其长度为10cm，两端点到平面的距离分别是2cm，3cm，
这条线段与平面所成的角是 .
（4）如图所示，已知正△ABC的边长为6cm，点O到△ABC的各顶点的距离都是4cm．
①求点O到这个三角形所在平面的距离；
②求AO与底面ABC所成的角的大小．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
（1）直线和平面所成的角；
（2）直线和平面所成角θ的取值范围为0≤θ≤90；
（3）求斜线和平面所成角的步骤：①作出（或找到）斜线与平面所成的角；②证明且
指出所作出的角符合定义；③放在直角三角形中计算．简称为：一作、二证、三计算．
2.2.1
圆的方程（2）
教学目标：
α
A
B
C
P
O
E
F
O
A C B
1．掌握圆的一般方程，能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆
心和半径；
2．利用待定系数法求出圆的一般方程，并能分析条件，选择恰当的方程形
式解决圆的方程求解；
3．通过对例题的分析讲解，提高学生分析问题的能力．
教材分析及教材内容的定位：
培养学生主动探究知识，合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣，
从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质．本节和圆的标准方程一起构成了圆的方程这个知
识点，高考要求很高，需要很好的思维能力和计算能力，需要重点分析圆的方程求法，并且
通过对比来寻找两种方程的适用性．
教学重点：
根据已知条件求出圆的一般方程．
教学难点：
如何选择两种方程，要学会分析问题．
教学方法：
讨论学习法．
教学过程：
一、问题情境
情境：（1）(x－1)2＋(y－2)2＝9的圆心坐标和半径分别是多少？
（2）x2＋y2－2x－4y－4＝0所表示的曲线是什么？
问题：x2＋y2－2x－4y－4＝0可以看作是关于x，y的二元二次方程，那
么满足什么条件，一个二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的是圆？
二、学生活动
1．思考情境问题：对于标准方程，可以直接看出其圆心坐标和半径，对于
一般方程，需要先配方化为标准方程，再找出圆心坐标和半径
2．研究一般情况下220xyDxEyF表示的曲线如果是圆，则,,DEF
应满足的条件，方法仍然是配方．
（1）当0422FED时，表示以（-2D，-2E）为圆心,FED42122为
半径的圆；
（2）当0422FED时，方程只有实数解2Dx，2Ey，即只表示
一个点（-2D，-2E）；
（3）当0422FED时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
3．在例题中体会两种方程的互相转化，标准方程倾向于研究圆的几何性质，
一般方程倾向于用计算解决圆的方程,最后可以由学生总结归纳．
三、建构数学
1．提出一般性问题：二元二次方程220xyDxEyF满足什么条件表
示的是圆（让学生配方，共同讨论）；
2．在例题中，引导学生，根据题意，设出圆的一般方程并建立关于,,DEF
的方程组，归纳求圆的一般方程的方法-----待定系数法，并强调三元一次
方程组的求解方法；
3．运用圆的一般方程解决例题，可以启发学生再思考其他的方法：圆心在
两点连线的中垂线上，利用的是几何法，跟待定系数法对比研究，如何选好
两种方程解决问题，是本节课的重点．
四、数学运用
1．例题．
例1 判断下列方程是否表示圆？如果是，请求出圆的圆心及半径．
（1）x2＋y2＋4x－6y－12＝0；（2）x2＋y2－2x＋y－5＝0．
例2 已知△ABC顶点的坐标分别为A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，求外接
圆的方程．
例3 某圆拱梁的示意图如图所示．该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是
6m，在建造时，每隔3m需要一个支柱支撑，求支柱A2P2的长(精确到0.01m)．
2．练习．
（1）已知圆M经过抛物线122xxy与两坐标轴的所有交点，求圆M的
标准方程．
（2）已知方程22242(3)2(14)1690(R)xytxtytt表示的图形是圆．
（Ⅰ）求t的取值范围；（Ⅱ）求其中面积最大的圆的方程；（Ⅲ）若点2(3,4)Pt
恒在所给圆内，求t的取值范围．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．本节课主要学习了圆的一般方程，要求学生掌握待定系数法求轨迹方
程的方法；
2．如何选择两种方程，要学会具体问题具体分析．