平行线的性质和判定练习
平行线的判定和性质证明题基础+提高(含答案)
∴∠APC=∠APE+∠CPE=50°+60°=110°
（1） ；过点P作 ，
又因为 ，所以 ，
则 ， ，
所以 ；
（2）情况1：如图所示，当点P在B、O两点之间时，
∵AB∥CD
∴PM∥CD
∴∠2+∠PFD＝180°
∵∠PFD＝130°
∴∠2＝180°﹣130°＝50°
∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°
即∠EPF＝90°
[探究]如图②AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数．
[应用]如图③所示，在[探究]的条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，则∠G的度数是°
（3）如图3，若MR平分∠BMN，则MR与NP有怎样的位置关系？请说明理由．
参考答案（基础）
1. ∠ABC；角平分线的定义； ∠BCD；∠ABC+∠BCD；180°；两直线平行，同旁内角互补．
2. ，同旁内角互补，两直线平行，∠1，两直线平行，内错角相等，∠CBG，同位角相等，两直线平行。
3.证明：∵∠E=∠F∴AE∥CF∴∠A=∠ABF∵∠A=∠C∴∠ABF=∠C∴AB∥CD．
∴∠EPF＝∠MPF﹣∠MPE＝120°﹣50°＝70°
如图③所示，
∵EG是∠PEA的平分线，FG是∠PFC的平分线
∴∠AEG＝ AEP＝25°，∠GFC＝ PFC＝60°
过点G作GM∥AB∴∠MGE＝∠AEG＝25°∵AB∥CD（已知）∴GM∥CD∴∠GFC＝∠MGF＝60°∴∠G＝∠MGF﹣∠MGE＝60°﹣25°＝35°
平行线的性质和判定练习
平行线的性质和判定练习平行线的性质和判定练习一．选择题（共20小题）1．（2012•北京）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=76°，则∠BOM等于（）2．（2012•柳州）如图，直线a与直线c相交于点O，∠1的度数是（）3．（2013•德宏州）如图，三条直线相交于点O．若CO⊥AB，∠1=56°，则∠2等于（）4．（2007•襄阳）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠COE=55°，则∠BOD的度数是（）5．（2010•台州）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是（）6．（2013•钦州）定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，7．（2014•上海）如图，已知直线a、b被直线c所截，那么∠1的同位角是（）8．（2014•海南）如图，已知AB∥CD，与∠1是同位角的角是（）9．（2009•桂林）如图，在所标识的角中，同位角是（）12．（2014•汕尾）如图，能判定EB∥AC的条件是（）13．（2013•抚顺）如图，直线l1、l2被直线l3、l4所截，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（）14．（2013•铜仁地区）如图，在下列条件中，能判断AD∥BC的是（）15．（2012•张家界）如图，直线a、b被直线c所截，下列说法正确的是（）16．（2014•安顺）如图，∠A0B的两边0A，0B均为平面反光镜，∠A0B=40°．在射线0B上有一点P，从P点射出一束光线经0A上的Q点反射后，反射光线QR恰好与0B平行，则∠QPB的度数是（）17．（2014•白银）将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图中与∠α互余的角共有（）18．（2014•遵义）如图，直线l1∥l2，∠A=125°，∠B=85°，则∠1+∠2=（）19．（2013•随州）如图，直线a，b与直线c，d相交，若∠1=∠2，∠3=70°，则∠4的度数是（）20．（2013•孝感）如图，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4等于（）二．填空题（共10小题）21．（2011•江西）一块直角三角板放在两平行直线上，如图所示，∠1+∠2=_________度．22．（2002•山西）如图，直线AB、CD相交于点O，作∠DOE=∠BOD，OF平分∠AOE，若∠AOC=28°，则∠EOF=_________度．23．（2003•肇庆）如图，已知FE⊥AB于E，CD是过E的直线，且∠AEC=120°，则∠DEF=_________度．24．（2013•南通）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠BOD=20°，则∠COE等于_________度．25．（2014•汕尾）已知a，b，c为平面内三条不同直线，若a⊥b，c⊥b，则a与c的位置关系是_________．26．（2012•南宁）如图所示，用直尺和三角尺作直线AB，CD，从图中可知，直线AB与直线CD的位置关系为_________．27．（2010•铜仁地区）如图，请填写一个你认为恰当的条件_________，使AB∥CD．28．（2014•长沙）如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交，若∠1=70°，则∠2=_________度．29．（2014•温州）如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1=45°，∠2=35°，则∠3=_________度．30．（2014•杭州）已知直线a∥b，若∠1=40°50′，则∠2=_________．平行线的性质和判定练习参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2012•北京）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=76°，则∠BOM等于（）∠×2．（2012•柳州）如图，直线a与直线c相交于点O，∠1的度数是（）3．（2013•德宏州）如图，三条直线相交于点O．若CO⊥AB，∠1=56°，则∠2等于（）4．（2007•襄阳）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠COE=55°，则∠BOD的度数是（）5．（2010•台州）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是（）6．（2013•钦州）定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（）7．（2014•上海）如图，已知直线a、b被直线c所截，那么∠1的同位角是（）8．（2014•海南）如图，已知AB∥CD，与∠1是同位角的角是（）9．（2009•桂林）如图，在所标识的角中，同位角是（）12．（2014•汕尾）如图，能判定EB∥AC的条件是（）13．（2013•抚顺）如图，直线l1、l2被直线l3、l4所截，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（）14．（2013•铜仁地区）如图，在下列条件中，能判断AD∥BC的是（）15．（2012•张家界）如图，直线a、b被直线c所截，下列说法正确的是（）16．（2014•安顺）如图，∠A0B的两边0A，0B均为平面反光镜，∠A0B=40°．在射线0B上有一点P，从P点射出一束光线经0A上的Q点反射后，反射光线QR恰好与0B平行，则∠QPB的度数是（）17．（2014•白银）将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图中与∠α互余的角共有（）18．（2014•遵义）如图，直线l1∥l2，∠A=125°，∠B=85°，则∠1+∠2=（）19．（2013•随州）如图，直线a，b与直线c，d相交，若∠1=∠2，∠3=70°，则∠4的度数是（）20．（2013•孝感）如图，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4等于（）二．填空题（共10小题）21．（2011•江西）一块直角三角板放在两平行直线上，如图所示，∠1+∠2=90度．22．（2002•山西）如图，直线AB、CD相交于点O，作∠DOE=∠BOD，OF平分∠AOE，若∠AOC=28°，则∠EOF=62度．23．（2003•肇庆）如图，已知FE⊥AB于E，CD是过E的直线，且∠AEC=120°，则∠DEF=30度．24．（2013•南通）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠BOD=20°，则∠COE等于70度．25．（2014•汕尾）已知a，b，c为平面内三条不同直线，若a⊥b，c⊥b，则a与c的位置关系是平行．26．（2012•南宁）如图所示，用直尺和三角尺作直线AB，CD，从图中可知，直线AB与直线CD的位置关系为平行．27．（2010•铜仁地区）如图，请填写一个你认为恰当的条件∠CDA=∠DAB或∠FCD=∠FAB或∠BAC+∠ACD=180°，使AB∥CD．28．（2014•长沙）如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交，若∠1=70°，则∠2=110度．29．（2014•温州）如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1=45°，∠2=35°，则∠3=80度．30．（2014•杭州）已知直线a∥b，若∠1=40°50′，则∠2=139°10′．。
平行线的判定和性质基础练习题.doc
平行线的判定和性质基础练习题平行线的判定定理和性质定理[ 一] 、平行线的判定一、填空1．如图１，若 2= E ，则若+D1 2E 3 ABC图１A= 3，则∥ ；若 ∥；= 180 °，则∥ ．5acd A1 22a4 31 4521 b3 bB3 C 图２图３图４2．若 a ⊥c ，b ⊥c ，则 ab．3 ． 如 图 ２ ， 写 出 一 个 能 判 定 直 线l 1∥l 2 的条件：．4．在四边形 ABCD 中，∠ A +∠B = 180°，则∥（）．5．如图３，若∠ 1 + ∠2 = 180 °，则∥。
6．如图４，∠ 1、∠ 2、∠ 3、∠ 4、∠5中，同位角有；内错角有；同旁内角有．27．如图５，填空并在括号中填理由：（ 1 ） 由 ∠ABD =∠CDB 得∥（）；（ 2 ） 由 ∠CAD =∠ACB 得∥（）；（ 3 ） 由 ∠CBA +∠BAD = 180° 得∥（）A D5 lADO41212B3 l B 34 5CC图５图６图７8 ． 如 图 ６ ， 尽 可 能 多 地 写 出 直 线 l ∥l 的 条1 2件：．9．如图７，尽可能地写出能判定 AB ∥CD 的条件来：．10．如图８，推理填空：（1）∵∠ A =∠（已知），A∴AC ∥ED （ EF 2 ）；（2）∵∠ 2 = ∠ 1 3（已知），BD C∴AC ∥ED （ 图８ ）；（3）∵∠ A +∠= 180 °（已知），3∴AB ∥FD （ ）；（4）∵∠ 2 + ∠= 180 °（已知），∴AC ∥ED （）；DE二、解答下列各题CFAB11．如图９，∠ D =∠A ，∠ B =∠FCB ，求证： ED ∥CF ．图９12．如图 10，∠1∶∠ 2∶∠ 3 = 2∶3∶4，∠AFE= 60 °，A∠BDE=120°，写出图中平行的直线，并说明理由．F12 3EBDC图 1013．如图 11，直线 AB 、CD 被 EF 所截，∠ 1 =∠2，∠CNF =∠BME 。
中考数学复习之线与角、平行线的性质及判定,考点过关与基础练习题
第二部分图形与几何19.线段、角、相交线与平行线知识过关1.直线、射线、线段(1)直线上一点和它____的部分叫做射线；直线上两点和它们____的部分叫做线段，这两点叫做线段的_______.(2)两点_____一条直线，两点之间线段最短，两点之间_____的长度，叫做两点间的距离.(3)线段的中点把线段_______等分.2.角(1)角：有_____端点的两条射线组成的图形叫做角，角也可以看作由一条_____绕着它的端点旋转而形成的图形.(2)余角：如果两个角的和等于_____，那么就说这两个角互为余角._____或等角的余角相等.(3)补角：如果两个角的和等于_____，那么就说这两个角互为补角._____或等角的补角相等.(4)一条射线把一个角分成两个______的角，这条射线叫做这个角的平分线.3.相交线(1)对顶角：如果一个角的两边分别是另一个角的两边的_____延长线，则称这两个角是对顶角，对顶角______.(2)垂直：在同一平面内，两条直线相交成90，叫做两条直线相互垂直，其中一条叫做另一条的垂线.(3)垂直的性质：同一平面内，过一点_____一条直线与已知直线垂直，直线外一点和直线上所有点的连接中，_______最短.(4)点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的_____的长度，叫做点到直线的距离.4.平行线(1)平行线：平面内，_______的两条直线叫做平行线.(2)平面内两条直线的位置关系:_________和_________.(3)平行公理：过直线外一点，有且______一条直线与已知直线平行.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相______.(4)平行线的性质：如果两条直线平行，那么同位角相等，_____相等，同旁内角_______.(5)平行线的判定：如果同位角相等，或______或______互补，那么两直线平行.5.命题的概念(1)命题：______的语句叫做命题.(2)命题的组成：命题由______和______两部分组成.(3)命题的形成：命题可以写成“如果.......,那么.......”的形式，以如果开头的部分是_____,以那么开头的部分是________.(4)命题的真假：_______的命题叫做真命题,______的命题叫做假命题.6.尺规作图(1)在几何里，把用没有刻度的____和____这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图.(2)常见的五种基本作图：①作一条线段等于已知线段；①作一个角等于已知角；①作一个角的平分线；①过一个点作已知直线的垂线；①作线段的垂直平分线.➢考点过关考点1 线段长度的有关计算例1已知线段AB＝10cm，点D是线段AB的中点，直线AB上有一点C，并且BC＝2cm，则线段DC＝．考点2对顶角、邻补角的相关计算如图，点O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠BOD＝3∠BOE，若∠AOC＝α，则∠COE 的度数为（）A．3αB．120°−43αC．90°D．120°−13α考点3平行线的性质例3如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E，若∠1＝54°，则∠2等于（）A．108°B．117°C．126°D．54°考点4平行线的判定与性质综合例4如图1，直线HD∥GE，点A是直线HD上一点，点C是直线GE上一点，点B是直线HD、GE之间的一点．（1）过点B作BF∥GE，试说明：∠ABC＝∠HAB+∠BCG；（2）如图2，RC平分∠BCG，BM∥CR，BN平分∠ABC，当∠HAB＝40°时，点C在直线AB右侧运动的过程中，∠NBM的度数是否不变，若是，求出该度数；若不是，请说明理由．考点5命题的真假例5下列结论中，正确的有①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③面积相等的两个三角形全等；④有两边和一个角分别对应相等的两个三角形全等；⑤钝角三角形三条高所在的直线交于一点，且这点在钝角三角形外部．（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点6尺规作图例6如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，观察图中尺规作图的痕迹，则AD的长是．➢真题演练1.如图，OC在∠AOB外部，OM，ON分别是∠AOC，∠BOC的平分线．∠AOB＝110°，∠BOC＝60°，则∠MON的度数为（）A．50°B．75°C．60°D．55°2．如图，OC、OD为∠AOB内的两条射线，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠COD，若∠COD ＝10°，则∠AOB的度数是（）A．30°B．40°C．60°D．80°3．如图，已知ON，OM分别平分∠AOC和∠BON．若∠MON＝20°，∠AOM＝35°，则∠AOB的度数为（）A．15°B．35°C．40°D．55°4．如图，已知∠AOB．按照以下步骤作图：①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD．②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC 的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE．③连接OE交CD于点M．下列结论中不正确的是（）A．∠CEO＝∠DEO B．CM＝MDC．∠OCD＝∠ECD D．S四边形OCED=12CD•OE5．下列说法正确的是（）A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角B．内错角相等C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行D．一个角的补角一定是钝角6．下列说法错误的是（）A．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行C．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行D．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线7.如图所示，C为线段AB的中点，D在线段CB上，DA＝6cm，DB＝4cm，则CD的长度为______cm．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，观察图中尺规作图的痕迹，则AD的长是．9．如图，C是线段AB上一点，D，E分别是线段AC，BC的中点，若AB＝10，则DE＝．10．如图，C，D为线段AB上两点，AB＝7cm，AD＝1.5cm，D为线段AC的中点，则线段CB＝cm．11．（1）已知：如图1，AB∥CD，求证：∠B+∠D＝∠BED；（2）已知：如图2，AB∥CD，试探求∠B、∠D与∠E之间的数量关系，并说明理由．拓展提升：如图3，已知AB∥DE，BF，EF分别平分∠ABC与∠CED，若∠BCE＝140°，求∠BFE的度数．12．如图，AB∥CD，点P为平面内一点．（1）如图①，当点P在AB与CD之间时，若∠A＝20°，∠C＝45°，则∠P＝°；（2）如图②，当点P在点B右上方时，∠ABP、∠CDP、∠BPD之间存在怎样的数量关系？请给出证明；（不需要写出推理依据）（3）如图③，EB平分∠PEG，FP平分∠GFD，若∠PFD＝40°，则∠G+∠P＝°．➢课后练习1．如图，已知AB∥DF，DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA＝46°，∠ACD＝56°，则∠CDF的度数为（）A．22°B．33°C．44°D．55°2．如图，直线CE∥DF，∠CAB＝135°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2＝（）A．30°B．35°C．36°D．40°3．如图，已知a∥b，则∠ACD的度数是（）A．45°B．60°C．73°D．90°4．如图所示，直线a∥b，∠2＝31°，∠A＝28°，则∠1＝（）A．61°B．60°C．59°D．58°5．下列说法正确的是（）A．延长射线AB到CB．若AM＝BM，则M是线段AB的中点C ．两点确定一条直线D ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行6．下列说法正确的是（ ）A ．垂直于同一条直线的两直线互相垂直B ．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行C ．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等D ．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离7．下列说法中错误的是（ ）A ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C ．两条直线相交，有且只有一个交点D ．若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直8．下列说法正确的是（ ）A ．过直线上一点有且只有一条直线与已知直线平行B ．不相交的两条直线叫做平行线C ．直线外一点到该直线的所有线段中垂线最短D ．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行9．如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长（大于12AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ．若△CDB 的面积为12，△ADE 的面积为9，则四边形EDBC 的面积为（ ）A ．15B ．16C ．18D ．2010．如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD ＝∠DAB 的依据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS11．如图，点A 、B 、C 在同一条直线上，点D 为BC 的中点，点P 为AC 延长线上一动点（AD ≠DP ），点E 为AP 的中点，则AC−BP DE 的值是 ．12．如图，点D是线段AB上一点，点C是线段BD的中点，AB＝8，CD＝3，则线段AD长为．13.如图1，已知∠BOC＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）若AO⊥BO，则∠EOF是多少度？（2）如图2，若角平分线OE的位置在射线OB和射线OF之间（包括重合），请说明∠AOC的度数应控制在什么范围．14．如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D．（1）求证：AC∥DF；（2）如果∠DEC＝105°，求∠C的度数．15．如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2+∠3＝180°．（1）请你判断CF与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）若∠1＝70°，BC平分∠ABD，试求∠ACF的度数．➢冲击A+在半径为5的⊙O中，AB是直径，点C是直径AB上方半圆上一动点，连接AC、BC．（1）如图1，则△ABC面积的最大值是；（2）如图2，如果AC＝8，①则BC＝；②作∠ACB的平分线CP交⊙O于点P，求长CP的长．（3）如图3，连接AP并保持CP平分∠ACB，D为线段BC的中点，过点D作DH⊥AP，在C点运动过程中，请直接写出DH长的最大值．。
平行线的判定与性质专项训练(20题)(学生版)
平行线的判定与性质专项训练（20题）一、解答题1．已知：如图，∠1=∠C，∠2+∠3=180°.求证：AD∥EF.3．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，AF⊥AD，垂足为A.求证：∠1＝∠24．已知AB∥DE，∠1=∠2，若∠C=54°，求∠AEC的度数．5．如图，C为∠AOB平分线上一点，CD//OB交OA于点D．求证：OD＝CD．6．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，点O为BD上任意一点，过点O的直线分别交AD，BC于M，N两点.求证：∠1＝∠2.7．如图，AB∥CD，∠ABE＝∠DCF.求证：∠E＝∠F.8．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠DEF＝∠A，∠BED＝60°，求∠ACB的度数.9．如图，BE平分∠ABC，EB∥CD，∠ABC＝2∠1.判断直线AD与BC的位置关系，并说明理由.10．已知：∠DEC+∠C=180°，DE平分∠ADF，∠F=∠1．求证：∠B=∠C．11．如图，已知∠1＝∠2，AB∥EF，∠3＝130°，求∠4的度数.12．如图，AB//CD，点C为直线BC，CD的交点，∠B+∠CDE=180°.求证：BC//DE.13．如图，已知AD∥BE，∠1=∠C，请判断∠A与∠E是否相等？并说明理由.14．如图，已知∠ABC=∠1，∠P=∠Q.试说明∠2=∠3.15．如图，已知∠A＝∠F＝40°，∠C＝∠D＝70°，求∠ABD，∠CED的度数．16．如图，A，C，F，D在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，求证：BC∥EF.17．如图，∠1=60°，∠2=60°，∠3=100°。
要使AB∥EF,∠4应为多少度？说明理由。
18．如图，已知：AB∥CD，∠BAE=∠DCF，AC，EF相交于点M，有AM=CM．（1）求证：AE∥CF；（2）若AM平分∠FAE，求证：FE垂直平分AC．19．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，∠AED＝∠C，EF//AB．求证：∠B＝∠DEF．20．如图，∠1+∠2＝180°，∠C＝∠D．求证：AD∥BC．。
专题2.5 平行线的判定与性质专项训练(30道)(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题2.5 平行线的判定与性质专项训练（30道）【北师大版】1．（2021秋•砚山县期末）如图，AD⊥BC，EF⊥BC，DG∥BA，求证：∠BEF＝∠ADG．【分析】由垂直的定义可得∠EFB＝∠ADB＝90°，从而可得AD∥EF，则有∠BEF＝∠BAD，再由平行线的性质可得∠ADG＝∠BAD，即可求得∠BEF＝∠ADG．【解答】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠EFB＝∠ADB＝90°，∴AD∥EF，∴∠BEF＝∠BAD，∵AB∥DG，∴∠ADG＝∠BAD，∴∠BEF＝∠ADG．2．（2021秋•博兴县期末）如图，BC与AF相交于点E，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AD∥BE．【分析】根据平行线的性质推出∠1＝∠ACD，求出∠2＝∠ACD，根据∠2+∠CAF＝∠ACD+∠CAF推出∠DAC＝∠4，求出∠DAC＝∠3，根据平行线的判定得出即可．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠1＝∠ACD，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠ACD，∴∠2+∠CAE＝∠ACD+∠CAE，∴∠DAC＝∠4，∵∠3＝∠4，∴∠DAC＝∠3，∴AD∥BE．3．（2021秋•昆明期末）如图，已知CF⊥AB于点F，ED⊥AB于点D，∠1＝∠2，求证：∠BCA+∠FGC＝180°．【分析】根据平行线的判定定理得到CF∥ED，根据平行线的性质得到∠1＝∠BCF，等量代换得到∠BCF ＝∠2，由平行线的性质即可得到结论．【解答】证明：∵CF⊥AB，ED⊥AB，∴CF∥ED，∴∠1＝∠BCF，∵∠1＝∠2，∴∠BCF＝∠2，∴FG∥BC，∴∠BCA+∠FGC＝180°．4．（2021秋•内江期末）如图，已知AB∥CD，AF平分∠BAD交CD于点E，交BC的延长线于点F，∠3＝∠F．试说明：AD∥BC．【分析】先依据角平分线的定义以及行线的性质即可得到∠1＝∠3，再由等量代换即可得出∠F＝∠1，进而得出AD∥BC．【解答】证明：∵AF平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∵AB∥CD，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠3＝∠F，∴∠1＝∠F，∴AD∥BC．5．（2021秋•聊城期末）如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠3．求证：AD平分∠BAC．【分析】由AD⊥BC，EG⊥BC可得AD∥EG，从而得∠3＝∠1，∠2＝∠E，结合∠E＝∠3，则有∠1＝∠2，即可证明AD平分∠BAC．【解答】证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC，∴AD∥EG，∴∠3＝∠1，∠2＝∠E，∵∠E＝∠3，∴∠1＝∠2，6．（2021春•潍坊期末）如图，AC⊥BD，EF⊥BD，∠A＝∠1．判断EF是否平分∠BED，并说明理由．【分析】可假设EF平分∠BED，欲证EF平分∠BED，需证∠2＝∠3．由AC⊥BD，EF⊥BD，得EF∥AC，故∠2＝∠A，∠1＝∠3．又因为∠A＝∠1，所以∠2＝∠3．【解答】解：EF平分∠BED，理由如下：∵AC⊥BD，EF⊥BD，∴∠EFB＝90°，∠ACB＝90°．∴∠EFB＝∠ACB．∴EF∥AC．∴∠2＝∠A，∠1＝∠3．又∵∠A＝∠1，∴∠2＝∠3．∴EF平分∠BED．7．（2021春•扶沟县期末）如图，AD∥BC，点F是AD上一点，CF与BA的延长线相交于点E，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：CD∥BE．【分析】依据AD∥BC，可得∠4＝∠BCE，依据∠3＝∠4，可得∠3＝∠BCE，进而得到∠BCE＝∠ACD，∠3＝∠ACD，进而得出CD∥BE．【解答】证明：∵AD∥BC，∵∠3＝∠4，∴∠3＝∠BCE，∵∠1＝∠2，∴∠1+∠ACE＝∠2+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，∴∠3＝∠ACD，∴CD∥BE．8．（2021春•汉阳区期中）如图，∠1＝∠2，∠E＝∠F，判断AB与CD的位置关系，并说明理由．【分析】延长BE交DC的延长线于点M，根据∠E＝∠F即可判定BM∥FC，根据平行线的性质等量代换得到∠M＝∠1，即可判定AB∥CD．【解答】解：AB∥CD，理由如下：延长BE交DC的延长线于点M，∵∠E＝∠F，∴BM∥FC，∴∠M＝∠2，∵∠1＝∠2，∴∠M＝∠1，∴AB∥CD．9．（2021春•绥中县期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠EDO与∠1互余．（1）求证：ED∥AB；（2）OF平分∠COD交DE于点F，若∠OFD＝65°，求∠1的度数．【分析】（1）根据垂线的性质及角之间的互余关系推出∠1+∠DOB＝90°，∠EDO+∠1＝90°，从而得到∠DOB＝∠EOD，再结合图形利用平行线的判定定理进行证明即可；（2）根据角平分线的性质得到∠COF=12∠COD，再根据平行线的性质得到∠OFD＝∠FAO，从而结合图形根据角之间的和差关系进行求解即可．【解答】（1）证明：∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∴∠1+∠DOB＝90°，∵∠EDO与∠1互余，即∠EDO+∠1＝90°，∴∠DOB＝∠EDO，∴ED∥AB；（2）∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∵OF平分∠COD，∴∠COF=12∠COD＝45°，由（1）得ED∥AB，∴∠OFD＝∠FOA，又∠OFD＝65°，∴∠FOA＝65°，∴∠1＝∠FOA﹣∠COF＝65°﹣45°＝20°．10．（2021春•沂水县期末）如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，CF⊥CE，∠1＝34°．（1）求∠ACE的度数；（2）若∠2＝56°，求证：CF∥AG．【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线定义即可得到结论；（2）根据垂直的定义得到∠FCE＝90°，由平行线的判定定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠1＝∠DCE＝34°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE＝34°；（2）∵CF⊥CE，∴∠FCE＝90°，∴∠FCH＝90°﹣34°＝56°，∵∠2＝56°，∴∠FCH＝∠2，∴CF∥AG．11．（2021春•大连期末）如图，∠EFC＝∠ABC，∠BEF+∠A＝180°．（1）求证：AD∥BE；（2）若BE平分∠ABC，AD⊥CD于点D，∠EFC＝50°，求∠FEC的度数．【分析】（1）已知∠EFC＝∠ABC，由平行线的判定可得EF∥AB，有平行线的性质可得∠BEF＝∠ABE，由已知∠BEF十∠A＝180°，等量代换可得∠ABE+∠A＝180°，由平行线的判定即可得出答案；（2）由平行线的性质可得∠EFC＝∠ABC，由角平分线的性质可得∠ABE＝∠CBE=12∠ABC，因为∠ADC＝90°，AD∥BE，可得∠BEC＝∠ADC＝90°．即∠FEC＝∠BEC﹣∠BEF代入计算即可得出答案．【解答】（1）证明：∵∠EFC＝∠ABC，∴EF∥AB．∴∠BEF＝∠ABE，∵∠BEF十∠A＝180°，∴∠ABE+∠A＝180°，∴AD∥BE；（2）解：∵∠EFC＝∠ABC＝50°．又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE=12∠ABC＝25°，∵AB∥EF，∴∠BEF＝∠ABE＝25°，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°．∵AD∥BE，∴∠BEC＝∠ADC＝90°．∵∠FEC＝∠BEC﹣∠BEF．∴∠FEC＝90°﹣25°＝65°．12．（2021春•青秀区校级期末）如图，已知AB∥CD，∠B＝∠D，AE交BC的延长线于点E．（1）求证：AD∥BE；（2）若∠1＝∠2＝60°，∠BAC＝2∠EAC，求∠B的度数．【分析】（1）根据平行线的性质定理和判定定理即可得到结论；（2）根据AB∥CD，∠2＝60°，得到∠BAE＝∠2＝60°，∠BAC＝∠ACD，进而得出∠CAE+∠BAC＝60°，又根据∠BAC＝2∠EAC，得到∠BAC＝∠ACD＝40°，最后根据平角的定义可求出∠DCE的度数，从而可求得∠B的度数．【解答】解：（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠DCE，∵∠B＝∠D，∴∠DCE＝∠D，∴AD∥BE；（2）∵AB∥CD，∠2＝60°，∴∠BAE＝∠2＝60°，∠BAC＝∠ACD，∠B＝∠DCE，∴∠EAC+∠BAC＝60°，∵∠BAC＝2∠EAC，∴∠EAC＝20°，∴∠BAC＝∠ACD＝40°，∵∠1+∠ACD+∠DCE＝180°，∴∠DCE＝180°﹣∠1﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∴∠B＝∠DCE＝80°．13．（2021春•东昌府区期末）如图，CD∥AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°．（1）直线EF与AB有怎样的位置关系？说明理由；（2）若∠CEF＝68°，则∠ACB的度数是多少？【分析】（1）由题意推出∠DCB＝∠ABC＝70°，结合∠CBF＝20°，推出∠CBF＝50°，即可推出EF ∥AB；（2）根据（1）推出的结论，推出EF∥CD，既而推出∠ECD＝112°，根据∠DCB＝70°，即可推出∠ACB的度数．【解答】解：（1）EF和AB的位置关系为平行关系．理由如下：∵CD∥AB，∠DCB＝70°，∴∠DCB＝∠ABC＝70°，∵∠CBF＝20°，∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBF＝50°，∵∠EFB＝130°，∴∠ABF+∠EFB＝50°+130°＝180°，∴EF∥AB；（2）∵EF∥AB，CD∥AB，∴EF∥CD，∵∠CEF＝68°，∴∠ECD＝112°，∵∠DCB＝70°，∴∠ACB＝∠ECD﹣∠DCB，∴∠ACB＝42°．14．（2021春•漳平市月考）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B．证明：（1）AB∥EF；（2）∠4＝∠ACB；（3）∠1＝∠B+∠5．【分析】（1）根据平行线的判定定理即可得到结论；（2）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论；（3）根据平行线的性质定理及角的和差即可得到结论．【解答】证明：（1）∵∠1+∠2＝180°，∠ADC+∠2＝180°，∴∠1＝∠ADC，∴AB∥EF；（2）由（1）得，AB∥EF，∴∠ADE＝∠3，∵∠3＝∠B，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，∴∠4＝∠ACB；（3）由（2）得，DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，∠5＝∠EDC，∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠B+∠5，由（1）得，AB∥EF，∴∠1＝∠ADC，∴∠1＝∠B+∠5．15．（2021秋•沙坪坝区期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．（1）试说明AB∥CD；（2）若∠BAD＝∠BDA，且∠EBF＝110°，求∠ADC的度数．【分析】（1）根据平行线的判定定理得出BM∥CN，根据平行线的性质定理得出∠MBC＝∠NCB，求出∠ABC＝∠DCB，根据平行线的判定定理得出即可；（2））根据对顶角相等得出∠EBF＝∠ABD＝110°，根据三角形内角和定理得出∠BAD+∠BDA+∠ABD ＝180°，求出∠BAD＝∠BDA＝35°，根据平行线的性质定理得出∠ADC＝∠BAD即可．【解答】解：（1）∵∠1＝∠2，∴BM∥CN，∴∠MBC＝∠NCB，∵∠3＝∠4，∴∠MBC+∠3＝∠NCB+∠4，即∠ABC＝∠DCB，∴AB∥CD；（2）∵∠EBF＝∠ABD，∠EBF＝110°，∴∠ABD＝110°，∵∠BAD+∠BDA+∠ABD＝180°，∠BAD＝∠BDA，∴∠BAD＝∠BDA=12×（180°﹣110°）＝35°，∵AB∥CD，∴∠ADC＝∠BAD＝35°．16．（2021秋•建宁县期末）如图，一条直线分别与直线BE、直线CE、直线BF、直线CF相交于A，G，H，D，且∠1＝∠2，∠B＝∠C．求证：（1）BF∥EC；（2）∠A＝∠D．【分析】（1）由∠1＝∠2直接可得结论；（2）根据BF∥EC，∠B＝∠C，可得∠B＝∠BFD，从而AB∥CD，即得∠A＝∠D．【解答】证明：（1）∵∠1＝∠2（已知），∴BF∥EC（同位角相等，两直线平行）；（2）∵BF∥EC（已证），∴∠C＝∠BFD（两直线平行，同位角相等），∵∠B＝∠C（已知），∴∠B＝∠BFD（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），∴∠A＝∠D（两直线平行，内错角相等）．17．（2021秋•南海区期末）如图，已知CD∥EF，MD平分∠ADC，∠2＝∠3．（1）求证：MD∥BC．（2）若EF⊥AB，BD＝2，求BC的长．【分析】（1）由平行线的性质可得∠DCB＝∠3，从而可得∠2＝∠DCB，即可判定MD∥BC；（2）由EF⊥AB，CD∥EF得∠BDC＝90°，再由MD∥BC得∠2＝∠BCD，从而可得∠BCD＝∠B，故CD＝BD＝2，利用勾股定理可求BC的长度．【解答】（1）证明：∵CD∥EF，∴∠DCB＝∠3，∵∠2＝∠3，∴∠2＝∠DCB，∴MD∥BC；（2）解：∵EF⊥AB，CD∥EF，∴∠BDC＝∠AFE＝90°，∵MD∥BC，∴∠2＝∠BCD，∠1＝∠B，∵MD平分∠ADC，∴∠1＝∠2，∴∠BCD＝∠B，∴CD＝BD＝2，在Rt△BCD中，BC==18．（2021秋•福田区期末）已知：如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，EF交DC于点F，∠3+∠2＝180°，∠1＝∠B．（1）求证：DE∥BC；（2）若DE平分∠ADC，∠3＝3∠B，求∠2的度数．【分析】（1）由题意可得∠DFE+∠2＝180°，从而得∠DFE＝∠3，由平行线的判定条件可得BD∥EF，则有∠1＝∠ADE，从而得∠ADE＝∠B，即可判断DE∥BC；（2）由（1）可知∠ADE＝∠B，再由角平分线的定义得∠ADC＝2∠ADE＝2∠B，再由∠3+∠ADC＝180°，即可求∠ADC的度数，即可得∠2的度数．【解答】（1）证明：∵∠DFE+∠2＝180°，∠3+∠2＝180°，∴∠DFE＝∠3，∴BD∥EF，∴∠1＝∠ADE，∵∠1＝∠B，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC；（2）解：由（1）知，∠ADE＝∠B，BD∥EF，∴∠2＝∠ADC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADC＝2∠ADE＝2∠B，∵∠3+∠ADC＝180°，∠3＝3∠B，∴3∠B+2∠B＝180°，解得：∠B＝36°，∴∠ADC＝72°，∴∠2＝72°．19．（2021秋•济南期末）如图，已知∠DEB＝100°，∠BAC＝80°．（1）判断DF与AC的位置关系，并说明理由；（2）若∠ADF＝∠C，∠DAC＝120°，求∠B的度数．【分析】（1）利用对顶角的性质可得∠AEF＝∠DEB＝100°，由∠BAC＝80°，可得∠AEF+∠BAC＝180°，利用“同旁内角互补，两直线平行”可得DF∥AC；（2）由∠ADF＝∠C，易得∠BFD＝∠ADF，由平行线的判定定理和性质定理易得结果．【解答】解：（1）DF∥AC．理由：∵∠DEB＝100°，∴∠AEF＝∠DEB＝100°，∵∠BAC＝80°，∴∠AEF+∠BAC＝180°，∴DF∥AC；（2）∵DF∥AC，∴∠BFD＝∠C，∵∠ADF＝∠C，∴∠BFD＝∠ADF，∴AD∥BC，∴∠B＝∠BAD，∵∠DAC＝120°，∠BAC＝80°，∴∠BAD＝∠DAC﹣∠BAC＝120°﹣80°＝40°，∴∠B＝40°．20．（2021秋•东营期末）如图，已知BC平分∠ABD交AD于点E，∠1＝∠3．（1）证明：AB∥CD；（2）若AD⊥BD于点D，∠CDA＝34°，求∠3的度数．【分析】（1）由角平分线的定义得到∠1＝∠2，即得∠2＝∠3，即可判定AB∥CD；（2）由垂直的定义得出∠ADB＝90°，可得∠CDB＝∠CDA+∠ADB＝124°，由平行线的性质得出∠ABD＝56°，根据角平分线的定义即可得解．【解答】（1）证明：∵BC平分∠ABD，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AB∥CD．（2）解：∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∵∠CDA＝34°，∴∠CDB＝∠CDA+∠ADB＝34°+90°＝124°，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB＝180°，∴∠ABD＝180°﹣124°＝56°，∵BC平分∠ABD，∠1＝∠3．∴∠3=∠1=∠2=12∠ABD=28°．21．（2021秋•淇县期末）如图，已知：AB∥CD，∠1+∠2＝180°．（1）请你判断AD与EC的位置关系，并说明理由．（2）若CE⊥AE于点E，∠2＝140°，试求∠FAB的度数．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠1＝∠ADC，求出∠2+∠ADC＝180°，根据平行线的判定得出即可；（2）根据平行线的性质得出AD⊥AE，求出∠FAD＝90°，求出∠1，再求出答案即可．【解答】解：（1）AD∥EC，理由是：∵AB∥CD，∴∠1＝∠ADC，∵∠1+∠2＝180°，∴∠2+∠ADC＝180°，∴AD∥EC；（2）∵AD∥EC，CE⊥AE，∴AD⊥AE，∴∠FAD＝90°，∵∠1+∠2＝180°，∠2＝140°，∴∠1＝40°，∴∠FAB＝∠FAD﹣∠1＝90°﹣40°＝50°．22．（2021秋•沈丘县期末）如图，∠1＝∠BCE，∠2+∠3＝180°．（1）判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AB于F，∠1＝72°，求∠BAD的度数．【分析】（1）由∠1＝∠BCE，可得到直线AD与EC平行，可得到∠2与∠4间关系，再由∠2+∠3＝180°判断AC与EF的位置关系；（2）由（1）的结论及垂直可得到∠BAC的度数，再由平行线及角平分线的性质得到∠2的度数，利用角的和差关系可得结论．【解答】解：（1）AC∥EF．理由：∵∠1＝∠BCE，∴AD∥CE．∴∠2＝∠4．∵∠2+∠3＝180°，∴∠4+∠3＝180°．∴EF∥AC．（2）∵AD∥EC，CA平分∠BCE，∴∠ACD＝∠4＝∠2．∵∠1＝72°，∴∠2＝36°．∵EF∥AC，EF⊥AB于F，∴∠BAC＝∠F＝90°．∴∠BAD＝∠BAC﹣∠2＝54°．23．（2021秋•舞钢市期末）如图，四边形BCED中，点A在CB的延长线上，点F在DE的延长线上，连接AF交BD于G，交CE于H，且∠1＝45°，∠2＝135°．（1）求证：BD∥CE；（2）若∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．【分析】（1）由∠CHG+∠2＝180°，∠2＝135°可得出∠CHG＝45°＝∠1，利用“同位角相等，两直线平行”可证出BD∥CE；（2）由BD∥CE得出∠C＝∠ABD，由∠C＝∠D得出∠ABD＝∠D，利用“内错角相等，两直线平行”得出AC∥DF，利用“两直线平行，内错角相等”得出∠A＝∠F．【解答】证明：（1）∵∠CHG+∠2＝180°，∠2＝135°，∴∠CHG＝45°，∵∠1＝45°，∴∠CHG＝∠1，∴BD∥CE．（2）∵BD∥CE，∴∠C＝∠ABD，∵∠C＝∠D，∴∠ABD＝∠D．∴AC∥DF，∴∠A＝∠F．24．（2021秋•阳山县期末）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）试说明：AD∥EF；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数．【分析】（1）由平行线的性质可得∠BAD＝∠1，从而可求得∠BAD+∠2＝180°，即可判断；（2）由题意可求得∠1＝38°，再由角平分线的定义可得∠CDG＝∠1＝38°，再利用平行线的性质即可求解．【解答】解：（1）∵AB∥DG，∴∠BAD＝∠1，∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD+∠2＝180°，∵AD∥EF；（2）∵∠1+∠2＝180°，∠2＝142°，∴∠1＝38°，∵DG是∠ADC的平分线，∴∠CDG＝∠1＝38°，∵AB∥DG，∴∠B＝∠CDG＝38°．25．（2021秋•紫金县期末）如图，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，已知AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）求证：AD∥EF；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝145°，求∠B的度数．【分析】（1）由平行线的性质可得∠1＝∠BAD，从而可求得∠2+∠BAD＝180°，即可判定AD∥EF；（2）由题意可求得∠1＝35°，再由角平分线的定义可得∠GDC＝∠1＝35°，利用平行线的性质即可得∠B的度数．【解答】（1）证明：∵AB∥DG，∴∠1＝∠BAD，∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD+∠2＝180°，∴AD∥EF；（2）解：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝145°，∴∠1＝180°﹣∠2＝35°，∵DG是∠ADC的平分线，∴∠GDC＝∠1＝35°，∵AB∥DG，∴∠B＝∠GDC＝35°．26．（2021春•浏阳市期末）如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接EF，求证：∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°．【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠BAE＝∠CAE，求出∠CEA＝∠BAE，根据平行线的判定得出即可；（2）过F作FM∥AB，求出AB∥FM∥CD，根据平行线的性质得出∠BAF+∠AFM＝180°，∠DEF+∠EFM＝180°，即可求出答案．【解答】证明：（1）∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠CAE＝∠CEA，∴∠CEA＝∠BAE，∴AB∥CD；（2）过F作FM∥AB，如图，∵AB∥CD，∴AB∥FM∥CD，∴∠BAF+∠AFM＝180°，∠DEF+∠EFM＝180°，∴∠BAF+∠AFM+∠DEF+∠EFM＝360°，即∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°．27．（2021秋•和平县期末）如图，MN∥BC，BD⊥DC，∠1＝∠2＝60°，DC是∠NDE的平分线．（1）AB与DE平行吗？请说明理由；（2）试说明∠ABC＝∠C；（3）求∠ABD的度数．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠ABC＝∠1＝60°，求出∠ABC＝∠2，根据平行线的判定得出即可；（2）根据平行线的性质得出∠NDE+∠2＝180°，求出∠NDE＝120°，根据角平分线的定义得出∠EDC＝∠NDC=12∠NDE＝60°，根据平行线的性质得出∠C＝∠NDC＝60°即可；（3）求出∠ADC＝180°﹣∠NDC＝120°，求出∠BDC＝90°，求出∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝30°，根据平行线的性质得出∠DBC＝∠ADB＝30°，再得出答案即可．【解答】解：（1）AB∥DE，理由如下：∵MN∥BC，∠1＝60°，∴∠ABC＝∠1＝60°，又∵∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠2，∴AB∥DE；（2）∵MN∥BC，∴∠NDE+∠2＝180°，∴∠NDE＝180°﹣∠2＝180°﹣60°＝120°，∵DC是∠NDE的角平分线，∴∠EDC＝∠NDC=12∠NDE＝60°，∵MN∥BC，∴∠C＝∠NDC＝60°，∴∠ABC＝∠C；（3）∵∠ADC+∠NDC＝180°，∠NDC＝60°，∴∠ADC＝180°﹣∠NDC＝180°﹣60°＝120°，∵BD⊥DC，∴∠BDC＝90°，∴∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝120°﹣90°＝30°，∵MN∥BC，∴∠DBC＝∠ADB＝30°，∵∠ABC＝∠C＝60°，∴∠ABD＝30°．28．（2021秋•安居区期末）如图，∠ADE+∠BCF＝180°，AF平分∠BAD，∠BAD＝2∠F．（1）AD与BC平行吗？请说明理由．（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？（3）若BE平分∠ABC．试说明：①∠ABC＝2∠E；②∠E+∠F＝90°．【分析】（1）由∠ADE+∠BCF＝180°结合邻补角互补，可得出∠BCF＝∠ADC，再利用“同位角相等，两直线平行”可得出AD∥BC；（2）根据角平分线的定义及∠BAD＝2∠F，可得出∠BAF＝∠F，再利用“内错角相等，两直线平行”可得出AB∥EF；（3）①由AB∥EF，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠ABE＝∠E，结合角平分线的定义可得出∠ABC＝2∠E；②由AD∥BC，利用“两直线平行，同旁内角互补”可得出∠BAD+∠ABC＝180°，再结合∠BAD＝2∠F，∠ABC＝2∠E可得出∠E+∠F＝90°．【解答】解：（1）AD∥BC，理由如下：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°，∴∠BCF＝∠ADC，∴AD∥BC．（2）AB∥EF，理由如下：∵AF平分∠BAD，∠BAD＝2∠F，∴∠BAF=12∠BAD＝∠F，∴AB∥EF．（3）①∠ABC＝2∠E，理由如下：∵AB∥EF，∴∠ABE＝∠E．∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABE＝2∠E．②∠E+∠F＝90°，理由如下：∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°．∵∠BAD＝2∠F，∠ABC＝2∠E，∴2∠E+2∠F＝180°，∴∠E+∠F＝90°．29．（2021秋•禅城区期末）已知：如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别是线段AB、CD上的点，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠AGE+∠AHF＝180°，求证：∠B＝∠C；（3）在（2）的条件下，若∠BFC＝4∠C，求∠D的度数．【分析】（1）由对顶角相等可得∠AGE＝∠DGC，从而可得∠AEG＝∠C，则可判定AB∥CD；（2）由平角的定义可得∠AGE+∠EGH＝180°，从而可求得∠EGH＝∠AHF，则可判定EC∥BF，则有∠B＝∠AEG，从而可求证；（3）由（2）得BF∥EC，则有∠C+∠BFC＝180°，从而可求∠C的度数，利用三角形的内角和即可求∠D的度数．【解答】（1）证明：∵∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC，∠AGE＝∠DGC，∴∠AEG＝∠C，∴AB∥CD；（2）证明：∵∠AGE+∠EGH＝180°，∠AGE+∠AHF＝180°，∴∠EGH＝∠AHF，∴EC∥BF，∴∠B＝∠AEG，∵AB∥CD，∴∠C＝∠AEG，∴∠B＝∠C；（3）解：∵BF∥EC，∴∠C+∠BFC＝180°，∵∠BFC＝4∠C，∴∠C+4∠C＝180°，解得∠C＝36°，∵∠C＝∠DGC，∴∠DGC＝36°，∴∠D＝180°﹣∠C﹣∠DGC＝108°．30．（2021秋•九龙县期末）如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．（1）求证：EF∥BC；（2）若FP⊥AC，∠2+∠C＝90°，求证：∠1＝∠B；（3）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数．【分析】（1）根据，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，结合对顶角相等可得∠E＝∠BQM，利用内错角相等两直线平行可证明结论；（2）根据垂直的定义可得∠PGC＝90°，由两直线平行同旁内角互补可得∠EAC+∠C＝180°，结合∠2+∠C＝90°，可求得∠BAC＝90°，利用同位角相等两直线平行可得AB∥FP，进而可证明结论；（3）根据同旁内角互补可判定AB∥FP，结合∠BAF＝3∠F﹣20°可求解∠F的度数，根据平行线的性质可得∠B＝∠F，即可求解．【解答】（1）证明：∵∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，∠EMA＝∠BMQ，∴∠E＝∠BQM，∴EF∥BC；（2）证明：∵FP⊥AC，∴∠PGC＝90°，∵EF∥BC，∴∠EAC+∠C＝180°，∵∠2+∠C＝90°，∴∠BAC＝∠PGC＝90°，∴AB∥FP，∴∠1＝∠B；（3）解：∵∠3+∠4＝180°，∠4＝∠MNF，∴∠3+∠MNF＝180°，∴AB∥FP，∴∠F+∠BAF＝180°，∵∠BAF＝3∠F﹣20°，∴∠F+3∠F﹣20°＝180°，解得∠F＝50°，∵AB∥FP，EF∥BC，∴∠B＝∠1，∠1＝∠F，∴∠B＝∠F＝50°．。
平行线的判定与性质(重点题专项讲练)(人教版)(解析版)
专题5.4 平行线的判定与性质【典例1】如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．（1）求证：EF∠BC；（2）若FP∠AC，∠2+∠C＝90°，求证：∠1＝∠B；（3）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数．【思路点拨】E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，结合对顶角相等可得∠E＝∠BQM，利用内错角相等两直线平行可证明结论；（2）根据垂直的定义可得∠PGC＝90°，由两直线平行同旁内角互补可得∠EAC+∠C＝180°，结合∠2+∠C＝90°，可求得∠BAC＝90°，利用同位角相等两直线平行可得AB∠FP，进而可证明结论；（3）根据同旁内角互补可判定AB∠FP，结合∠BAF＝3∠F﹣20°可求解∠F的度数，根据平行线的性质可得∠B＝∠F，即可求解．【解题过程】E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，∠EMA＝∠BMQ，∠∠E＝∠BQM，∠EF∠BC；（2）证明：∠FP∠AC，∠∠PGC＝90°，∠EF∠BC，∠∠EAC+∠C＝180°，∠∠2+∠C＝90°，∠∠BAC＝∠PGC＝90°，∠AB∠FP，∠∠1＝∠B；（3）解：∠∠3+∠4＝180°，∠4＝∠MNF，∠∠3+∠MNF＝180°，∠AB∠FP，∠∠F+∠BAF＝180°，∠∠BAF＝3∠F﹣20°，∠∠F+3∠F﹣20°＝180°，解得∠F＝50°，∠AB∠FP，EF∠BC，∠∠B＝∠1，∠1＝∠F，∠∠B＝∠F＝50°．1．（2021•鞍山一模）如图，∠1＝∠2＝∠3＝56°，则∠4的度数是（）A．56°B．114°C．124°D．146°【思路点拨】根据对顶角相等得到∠2＝∠5，结合∠1＝∠2，得到∠1＝∠5，即可判定l1∠l2，根据平行线的性质得出∠6＝56°，再根据邻补角的定义求解即可．【解题过程】解：如图，∠∠1＝∠2，∠2＝∠5，∠∠1＝∠5，∠l1∠l2，∠∠3＝∠6，∠∠3＝56°，∠∠6＝56°，∠∠4+∠6＝180°，∠∠4＝180°﹣56°＝124°，故选：C．2．（2021•雁塔区校级模拟）如图，在三角形ABC中，CD平分∠ACB，∠1＝∠2＝36°，则∠3＝（）A．36°B．52°C．72°D．80°【思路点拨】由平行线的判定定理可得AC∠DE，由平行线的性质可得∠ACB＝∠3，由平分线的定义可得∠ACB＝2∠1＝72°，即得∠3的度数．【解题过程】解：∠∠1＝∠2＝36°，∠AC∠DE，∠∠ACB＝∠3，∠CD平分∠ACB，∠∠ACB＝2∠1＝72°，∠∠3＝72°．故选：C．3．（2021春•单县期末）如图，AB∠BC于点B，DC∠BC于点C，DE平分∠ADC交BC于点E，点F为线段CD延长线上一点，∠BAF＝∠EDF，则下列结论正确的有（）∠∠BAD+∠ADC＝180°；∠AF∠DE；∠∠DAF＝∠F．A．3个B．2个C．1个D．0个【思路点拨】∠证明AB∠CD，可做判断；∠根据平行线的判定和性质可做判断；∠根据AF∠ED得内错角相等和同位角相等，再由角平分线的定义得∠ADE＝∠CDE，从而可做判断．【解题过程】解：∠∠AB∠BC，DC∠BC，∠AB∠CD，∠∠BAD+∠ADC＝180°，故∠正确；∠∠AB∠CD，∠∠AFD+∠BAF＝180°，∠∠BAF＝∠EDF，∠∠AFD+∠EDF＝180°，∠AF∠DE，故∠正确；∠∠AF∠ED，∠∠DAF＝∠ADE，∠F＝∠CDE，∠DE平分∠ADC，∠∠ADE＝∠CDE，∠∠DAF＝∠F，故∠正确；故选：A．4．（2021春•德宏州期末）如图所示，AC∠BC，DC∠EC，则下列结论：∠∠1＝∠3；∠∠ACE+∠2＝180°；∠若∠A＝∠2，则有AB∠CE；∠若∠2＝∠E，则有∠4＝∠A．其中正确的有（）A．∠∠∠B．∠∠∠C．∠∠D．∠∠∠∠【思路点拨】由已知可得∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，等量代换即可得出∠结论；延长EC，如图1，由已知条件可得∠1+∠5＝90°，∠1+∠2＝90°，可得∠2＝∠5，根据平角的性质可得∠ACE+∠5＝180°，等量代换即可得出∠结论；由已知条件可得∠A＝∠2，∠ACE+∠2＝180°，等量代换可得∠A+∠ACE＝180°，根据平行线的判定即可得出∠结论；由平行线的性质可得∠E＝∠4，由已知条件∠2＝∠E，∠2＝∠A，等量代换可得∠4＝∠A．即可得出∠结论．【解题过程】证明：∠AC∠BC，DC∠EC，∠∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，∠∠1＝∠3．故结论∠正确；延长EC，如图1，∠DC∠CE，AC∠BC，∠∠1+∠5＝90°，∠1+∠2＝90°，∠∠2＝∠5，∠∠ACE+∠5＝180°，∠∠ACE+∠2＝180°．故结论∠正确；∠∠A＝∠2，∠ACE+∠2＝180°，∠∠A+∠ACE＝180°，∠AB∠CE．故结论∠正确；∠AB∠CE，∠∠E＝∠4，∠∠2＝∠E，∠2＝∠A，∠∠4＝∠A．故结论∠正确．所以结论正确的有∠∠∠∠．故选：D．5．（2021春•汉川市期末）如图，AD∠BC，∠B＝∠D，延长BA至点E，连接CE，∠EAD∠EAD+∠ECD；∠若和∠ECD的角平分线交于点P．下列三个结论：∠AB∠CD；∠∠AOC=12∠E＝60°，∠APC＝70°，则∠D＝80°．其中结论正确的个数有（）A．0B．1C．2D．3【思路点拨】∠EAD，∠E＝∠根据平行线的性质与判定即可判断；∠∠AOC＝∠EAP+∠E，而∠EAP==12∠ECD，即可判断；∠利用平行线的性质和角平分线定义即可判断．【解题过程】解：∠AD∠BC，∠∠BAD+∠B＝180o，∠∠B＝∠D，∠∠BAD+∠D＝180o，∠AB∠CD，故∠正确；∠AB∠CD，∠∠ECD＝∠E，∠AP平分∠EAD，∠EAD∠∠EAP=12∠∠AOC＝∠EAP+∠E，∠∠AOC=1∠EAD+∠ECD，故∠正确；2∠∠ECD＝∠E＝60o，∠CP平分∠ECD，∠ECD＝30°，∠∠ECP=12∠∠APC＝70°，∠AOE＝∠COP，∠∠EAP＝40°，∠AP平分∠EAD，∠∠EAD＝2∠EAP＝80°，∠AB∠CD，∠∠D＝∠EAD＝80°，故∠正确；故选：D．6．（2021春•夏津县期末）如图，CB平分∠ACD，∠2＝∠3，若∠4＝60°，则∠5的度数是．【思路点拨】由∠2与∠3间关系，可得到AB与CD的位置关系，利用角平分线的性质和平行线的性质可求得∠5度数．【解题过程】解：∠CB平分∠ACD，∠ACD．．∠∠1＝∠2=12∠∠2＝∠3，∠AB∠CD．∠∠5＝∠2，∠4＝∠ACD＝60°．∠∠5＝∠2＝30°．故答案为：30°．7．（2021秋•嵩县期末）如图，AE∠CF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD∠BC，下列结论：∠BC平分∠ABG；∠AC∠BG；∠与∠DBE互余的角有2个；∠若∠A＝α，则∠BDF＝180°−α．其中正确的是．（请把正确结论的序号都填上）8【思路点拨】根据平行线的性质得出∠A和∠ACB的关系，再根据角平分线的性质找出图中相等的角，由等角的余角相等即可得出结论．【解题过程】解：∠CBD＝90°，∠∠ABC+∠EBD＝90°，又∠∠DBG＝∠EBD，∠∠ABC＝∠CBG，∠BC平分∠ABG，∠∠正确，∠∠GBC＝∠ABC＝∠ACB，∠AC∠BG，∠∠正确，∠∠DBE＝∠DBG，∠与∠DBE互余的角有∠ABC，∠GBC，∠ACB，∠GCB，有4个，∠∠错误，∠∠BDF＝180°﹣∠BDG，∠BDG＝90°﹣∠CBG＝90°﹣∠ACB，又∠∠ACB=12×（180°﹣α）＝90°−α2，∠∠BDF＝180°﹣[90°﹣（90°−α2）]＝180°−α2，∠∠错误，故答案为：∠∠．8．（2021春•凤山县期末）如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠F．请指出∠A与∠D的数量关系，并说明理由．【思路点拨】根据∠1＝∠2，∠3＝∠2，可得∠1＝∠3，得BF∠CE，根据平行线的性质得∠ABF＝∠C，由∠C ＝∠F，得∠ABF＝∠F，即可得出AC∠DF，得∠A和∠D的数量关系是相等．【解题过程】解：∠A和∠D的数量关系是相等．理由是：如图，∠∠1＝∠2，∠3＝∠2，∠∠1＝∠3，∠BF∠CE，∠∠ABF＝∠C，∠∠C＝∠F，∠∠ABF＝∠F，∠AC∠DF，∠∠A＝∠D．9．（2021春•陇县期末）如图，∠AEM+∠CDN＝180°，EC平分∠AEF．若∠EFC＝62°，求∠C的度数．【思路点拨】根据同角的补角相等可得出∠AEM＝∠CDM，利用“同位角相等，两直线平行”可得出AB∠CD，由“两直线平行，同旁内角互补”及∠EFC＝62°可求出∠AEF＝118°，结合角平分线的定义可求出∠AEC的度数，再利用“两直线平行，内错角相等”即可求出∠C的度数．【解题过程】解：∠∠CDM+∠CDN＝180°，又∠∠AEM+∠CDN＝180°，∠∠AEM＝∠CDM，∠AB∠CD，∠∠AEF+∠EFC＝180°，∠∠EFC＝62°，∠∠AEF＝118°，∠EC平分∠AEF，∠∠AEC＝59°，∠AB∠CD，∠∠C＝∠AEC＝59°．10．（2021春•江都区校级期中）已知：如图，CD∠AB，FG∠AB，垂足分别为D、G，点E 在AC上，且∠1＝∠2．（1）那么DE与BC平行吗？为什么？（2）如果∠B＝40°，且∠A比∠ACB小10°，求∠DEC的度数．【思路点拨】（1）根据CD∠AB，FG∠AB，可判定CD∠FG，利用平行线的性质可知∠2＝∠BCD，已知∠1＝∠2，等量代换得∠1＝∠BCD，故可证DE与BC平行；（2）根据三角形内角和求出∠ACB＝75°，再根据平行线的性质即可求解．【解题过程】解：（1）DE∠BC，理由如下：∠CD∠AB，FG∠AB，∠CD∠FG．∠∠2＝∠BCD，又∠∠1＝∠2，∠∠1＝∠BCD，∠DE∠BC；（2）∠∠B＝40°，∠ACB﹣10°＝∠A，∠∠ACB+（∠ACB﹣10°）+40°＝180°，∠∠ACB＝75°，由（1）知，DE∠BC，∠∠DEC+∠ACB＝180°，∠∠DEC＝105°．11．（2021春•老河口市期末）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．（1）求证：AD∠CE；（2）若DA平分∠BDC，CE∠AE于E，∠F AB＝55°，求∠1的度数．【思路点拨】（1）根据同位角相等，两直线平行可判定AB∠CD，得到∠2＝∠ADC，等量代换得出∠ADC+∠3＝180°，即可根据同旁内角互补，两直线平行得解；（2）由CE∠AE，AD∠CE得出∠DAF＝∠CEF＝90°，再根据平行线的性质即可求出∠ADC ＝∠2＝35°，再根据角平分线的定义即可得解．【解题过程】（1）证明：∠∠1＝∠BDC，∠AB∠CD，∠∠2＝∠ADC，∠∠2+∠3＝180°，∠∠ADC+∠3＝180°，∠AD∠CE；（2）解：∠CE∠AE于E，∠∠CEF＝90°，由（1）知AD∠CE，∠∠DAF＝∠CEF＝90°，∠∠ADC＝∠2＝∠DAF﹣∠F AB，∠∠F AB＝55°，∠∠ADC＝35°，∠DA平分∠BDC，∠1＝∠BDC，∠∠1＝∠BDC＝2∠ADC＝70°．12．（2021春•镇江期中）已知：如图所示，∠BAC和∠ACD的平分线交于E，AE交CD于点F，∠1+∠2＝90°．（1）求证：AB∠CD；（2）试探究∠2与∠3的数量关系，并说明理由．【思路点拨】（1）根据角平分线定义得出∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2，根据∠1+∠2＝90°得出∠BAC+∠ACD ＝180°，根据平行线的判定得出即可；（2）根据平行线的性质和角平分线定义得出∠1＝∠3，即可求出答案．【解题过程】（1）证明：∠∠BAC和∠ACD的平分线交于E，∠∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2，∠∠1+∠2＝90°，∠∠BAC+∠ACD＝180°，∠AB∠CD；（2）解：∠2+∠3＝90°，理由如下：∠AF平分∠BAC，∠∠BAF＝∠1，∠AB∠CD，∠∠BAF＝∠3，∠∠1＝∠3，∠∠1+∠2＝90°，∠∠2+∠3＝90°．13．（2021秋•禅城区期末）已知：如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别是线段AB、CD上的点，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．（1）求证：AB∠CD；（2）若∠AGE+∠AHF＝180°，求证：∠B＝∠C；（3）在（2）的条件下，若∠BFC＝4∠C，求∠D的度数．【思路点拨】（1）由对顶角相等可得∠AGE＝∠DGC，从而可得∠AEG＝∠C，则可判定AB∠CD；（2）由平角的定义可得∠AGE+∠EGH＝180°，从而可求得∠EGH＝∠AHF，则可判定EC∠BF，则有∠B＝∠AEG，从而可求证；（3）由（2）得BF∠EC，则有∠C+∠BFC＝180°，从而可求∠C的度数，利用三角形的内角和即可求∠D的度数．【解题过程】（1）证明：∠∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC，∠AGE＝∠DGC，∠∠AEG＝∠C，∠AB∠CD；（2）证明：∠∠AGE+∠EGH＝180°，∠AGE+∠AHF＝180°，∠∠EGH＝∠AHF，∠EC∠BF，∠∠B＝∠AEG，∠AB∠CD，∠∠C＝∠AEG，∠∠B＝∠C；（3）解：∠BF∠EC，∠∠C+∠BFC＝180°，∠∠BFC＝4∠C，∠∠C+4∠C＝180°，解得∠C＝36°，∠∠C＝∠DGC，∠∠DGC＝36°，∠∠D＝180°﹣∠C﹣∠DGC＝108°．14．（2021秋•南岗区期末）已知：在四边形ABCD中，∠B＝∠D，点E在边BC的延长线上，连接AE交CD于点F，若∠BAF+∠AFC＝180°．（1）如图1，求证：AD∠BC；（2）如图2，过点D作DG∠AE交BE的延长线于点C，若∠G＝∠B，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中除∠B以外的四个与∠G相等的角．【思路点拨】（1）由已知条件可得AB∠CD，从而有∠B＝∠ECD，则可求得∠D＝∠ECD，即可得AD∠BC；（2）利用平行线的性质进行求解即可．【解题过程】（1）证明：∠∠BAF+∠AFC＝180°，∠AB∠CD，∠∠B＝∠ECD，∠∠D＝∠ECD，∠AD∠BC；（2）∠DG∠AE，∠∠G＝∠AEB，由（1）得AD∠BC，∠∠AEB＝∠DAE，∠ADC＝∠DCG，∠∠G＝∠DAE，∠∠B＝∠ADC，∠G＝∠B，∠∠G＝∠ADC＝∠DCG，综上所述，所∠G相等的角有：∠AEB，∠DAE，∠ADC，∠DCG．15．（2021秋•安居区期末）如图，∠ADE+∠BCF＝180°，AF平分∠BAD，∠BAD＝2∠F．（1）AD与BC平行吗？请说明理由．（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？（3）若BE平分∠ABC．试说明：∠∠ABC＝2∠E；∠∠E+∠F＝90°．【思路点拨】（1）由∠ADE+∠BCF＝180°结合邻补角互补，可得出∠BCF＝∠ADC，再利用“同位角相等，两直线平行”可得出AD∠BC；（2）根据角平分线的定义及∠BAD＝2∠F，可得出∠BAF＝∠F，再利用“内错角相等，两直线平行”可得出AB∠EF；（3）∠由AB∠EF，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠ABE＝∠E，结合角平分线的定义可得出∠ABC＝2∠E；∠由AD∠BC，利用“两直线平行，同旁内角互补”可得出∠BAD+∠ABC＝180°，再结合∠BAD ＝2∠F，∠ABC＝2∠E可得出∠E+∠F＝90°．【解题过程】解：（1）AD∠BC，理由如下：∠∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°，∠∠BCF＝∠ADC，（2）AB∠EF，理由如下：∠AF平分∠BAD，∠BAD＝2∠F，∠BAD＝∠F，∠∠BAF=12∠AB∠EF．（3）∠∠ABC＝2∠E，理由如下：∠AB∠EF，∠∠ABE＝∠E．∠BE平分∠ABC，∠∠ABC＝2∠ABE＝2∠E．∠∠E+∠F＝90°，理由如下：∠AD∠BC，∠∠BAD+∠ABC＝180°．∠∠BAD＝2∠F，∠ABC＝2∠E，∠2∠E+2∠F＝180°，∠∠E+∠F＝90°．16．（2021春•铁西区期末）如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF 的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．（1）请直接写出直线AC与DG的位置关系；（2）求证：BE∠CF；（3）若∠C＝35°，求∠BED的度数．【思路点拨】（1）由对顶角相等可得∠ABF＝∠1，从而有∠ABF＝∠2，即可得AC∠DG；（2）求出∠1＝∠BFG，根据平行线的判定得出AC∠DG，求出∠EBF＝∠BFC，根据平行线的判定得出即可；（3）根据平行线的性质得出∠C＝∠CFG＝∠BEF＝35°，再求出答案即可．【解题过程】解：（1）AC∠DG，理由如下：∠∠ABF＝∠1，∠1＝∠2，∠∠ABF＝∠2，∠AC∠DG；（2）由（1）知AC∠DG，∠∠ABF＝∠BFG，∠∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C，∠∠EBF=12∠ABF，∠CFB=12∠BFG，∠∠EBF＝∠CFB，∠BE∠CF．（3）∠AC∠DG，∠C＝35°，∠∠C＝∠CFG＝35°，∠BE∠CF，∠∠CFG＝∠BEG＝35°，∠∠BED＝180°﹣∠BEG＝145°．17．（2021春•广陵区校级期中）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠AEF与∠EFC的角平分线交于点P，EP延长线与CD交于点G，点H是MN 上一点，且PF∠GH，试判断直GH与EG的位置关系，并说明理由．【思路点拨】（1）利用邻补角的定义及已知得出∠1＝∠CFE，即可判定AB∠CD；（2）利用（1）中平行线的性质推知∠AEF+∠EFC＝180°，然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF＝90°，即EG∠PF，故结合已知条件PF∠GH，易证GH∠EG；【解题过程】解：（1）AB∠CD，理由如下：∠∠1与∠2互补，∠∠1+∠2＝180°，又∠∠2+∠CFE＝180°，∠∠1＝∠CFE，∠AB∠CD；（2）GH∠EG，理由如下：由（1）知，AB∠CD，∠∠AEF+∠EFC＝180°．又∠∠AEF与∠EFC的角平分线交于点P，∠∠FEP+∠EFP=1（∠BEF+∠EFD）＝90°，2∠∠EPF＝90°，即EG∠PF，∠PF∠GH，∠GH∠EG．18．（2021秋•嵩县期末）图1展示了光线反射定律：EF是镜面AB的垂线，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与垂线EF所夹的锐角θ1＝θ2．（1）在图1中，证明：∠1＝∠2．（2）图2中，AB，BC是平面镜，入射光线m经过两次反射后得到反射光线n，已知∠1＝30°，∠4＝60°，判断直线m与直线n的位置关系，并说明理由．（3）图3是潜望镜工作原理示意图，AB，CD是平行放置的两面平面镜．请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？【思路点拨】（1）根据角的关系解答即可；（2）求出∠5+∠6＝180°，根据平行线的判定得出即可；（3）根据平行线的性质和平均的定义得到∠5＝∠6，根据平行线的判定得出即可．【解题过程】（1）证明：∠∠AFE＝∠BFE＝90°，∠θ1＝θ2．（2）解：直线m∠直线n，理由：如图2，∠∠1＝∠2＝30°，∠3＝∠4＝60°，∠∠5＝180°﹣∠1﹣∠2＝120°，∠6＝180°﹣∠3﹣∠4＝60°，∠∠5+∠6＝180°，∠直线m∠直线n；（3）解：∠AB∠CD，∠∠2＝∠3，∠∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∠180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4，即：∠5＝∠6，∠m∠n．19．（2021秋•上蔡县期末）已知：如图，AB∠CD∠GH，GH过点P．（1）如图1，若∠BAP＝40°，∠DCP＝30°，则∠APC＝（直接写出结果）；（2）如图2，直线MN分别交AB于点E，交CD于点F，点P在线段EF上，点Q在射线FC上．若∠MEB＝110°，∠PQF＝50°，求∠EPQ的度数；（3）如图3，点P在射线FN上，点Q在射线FD上，∠AEF的平分线交CD于点O．若∠PQF= 1∠MEB，试判断OE与PQ是否平行？并说明理由．2（1）依据平行线的性质，即可得到∠APG ＝∠BAP ＝40°，∠CPG ＝∠DCP ＝30，再根据∠APC ＝∠APG +∠CPG 进行计算即可；（2）利用邻补角的定义可得∠BEP ＝180°﹣110°＝70°，利用（1）的结论即可得∠EPQ 的度数； （3）根据对顶角相等以及角平分线的定义可得∠PQF =12∠MEB =12∠AEF ＝∠AEO ，再根据平行线的性质∠AEO ＝∠EOF ，可得∠PQF ＝∠EOF ，根据内错角相等两直线平行即可得OE ∠PQ ．【解题过程】解：（1）∠AB ∠CD ∠GH ，∠∠APG ＝∠BAP ＝40°，∠CPG ＝∠DCP ＝30，∠∠APC ＝∠APG +∠CPG ＝40°+30°＝70°，故答案为：70°；（2）∠∠MEB ＝110°，∠∠BEP ＝180°﹣110°＝70°，由（1）可得：∠EPQ ＝∠EPG +∠QPG ＝∠BEP +∠PQF ＝70°+50°＝120°；（3）OE ∠PQ ．理由：∠∠PQF =12∠MEB ，∠MEB ＝∠AEF ，∠∠PQF =12∠MEB =12∠AEF ，∠EO 平分∠AEF ．∠∠PQF =12∠AEF ＝∠AEO ， ∠AB ∠CD ，∠∠AEO ＝∠EOF ，∠∠PQF ＝∠EOF ，∠OE ∠PQ ．20．（2021春•汉阳区期中）如图1，已知两条直线AB ，CD 被直线EF 所截，分别交于点E ，F ，EM 平分∠AEF 交CD 于点M ，且∠FEM ＝∠FME ．（1）直线AB 与直线CD 的位置关系是 ；（2）如图2，点G 是射线FD 上一动点（不与点F 重合），EH 平分∠FEG 交CD 于点H ，过点H 作HN ∠EM 于点N ，设∠EHN ＝α，∠EGF ＝β．∠当点G 在运动过程中，若β＝56°，求α的度数；∠当点G 在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．【思路点拨】（1）根据角平分线的性质可得∠AEM＝∠FEM，由已知条件∠FEM＝∠FME，等量代换可得∠AEM＝∠FME，由平行线的判定即可得出答案；（2）由平行线的性质可得β＝∠GEB，由平角的性质可得∠AED＝180°﹣∠GEB，根据角平分线的性质可得∠CEF=12∠AEF，∠FEH=12∠FEG，由∠CEH＝∠CEF+∠FEH可计算出度数，根据垂线的性质可得α+∠CEH＝90°，代入计算即可得出答案；（3）证明方法同（2）．【解题过程】证明：（1）∠EM平分∠AEF，∠∠AEM＝∠FEM，∠∠FEM＝∠FME，∠∠AEM＝∠FME，∠AB∠CD．故答案为：AB∠CD；（2）∠∠AB∠CD，∠β＝∠GEB＝56°，∠∠AEG＝180°﹣∠GEB＝180°﹣56°＝124°，∠EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∠∠CEF=12∠AEF，∠FEH=12∠FEG，∠∠CEH＝∠CEF+∠FEH=12∠AEF+12∠FEG=12(∠AEF+∠FEG)=12∠AED=12×124°=62°，∠HN∠EM，∠α+∠CEH＝90°，∠α＝90°﹣∠CEH＝90°﹣62°＝28°；∠a=12β．理由如下：∠AB∠CD，∠β＝∠GEB，∠∠AED＝180°﹣∠GEB＝180°﹣β，∠EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∠∠CEF=12∠AEF，∠FEH=12∠FEG，∠∠CEH＝∠CEF+∠FEH=12∠AEF+12∠FEG=12(∠AEF+∠FEG)=12∠AEG=12(180°−β)，∠HN∠EM，∠α+∠CEH＝90°，∠α+12(180°−β)=90°，即a=12β．21．（2021秋•南岗区校级期中）已知，直线EF分别与直线AB、CD相交于点G、H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．（1）如图1，求证：AB∠CD．（2）如图2，点M在直线AB、CD之间，连接MG、HM，当∠AGM＝32°，∠MHC＝68°时，求∠GMH的度数．（3）只保持（2）中所求∠GMH的度数不变，如图3，GP是∠AGM的平分线，HQ是∠MHD 的平分线，作HN∠PG，则∠QHN的度数是否改变？若不发生改变，请求出它的度数．若发生改变，请说明理由．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）【思路点拨】（1）先由邻补角得到∠AGE+∠BGE＝180°，然后结合∠AGE+∠DHE＝180°得到∠BGE＝∠DHE，最后得证AB∠CD；（2）先由AB∠CD得到∠AGH+∠CHG＝180°，即∠AGM+∠MGH+∠MHG+∠MHC＝180°，再结合∠MGH+∠MHG+∠GMH＝180°得到∠GMH＝∠AGM+∠MHC，最后结合已知条件得到∠GMH的大小；（3）先由（2）得到∠AGM+∠MHC＝∠GMH＝100°，∠MGH+∠MHG＝80°，然后结合角平分线的定义得到∠MGP和∠MHQ，再结合HN∠PG得到∠GHN＝∠PGH，最后由∠QHN＝∠GHN﹣∠GHQ求得∠QHN的大小．【解题过程】（1）证明：∠∠AGE +∠BGE ＝180°，∠AGE +∠DHE ＝180°，∠∠BGE ＝∠DHE ，∠AB ∠CD ．（2）解：∠AB ∠CD ，∠∠AGH +∠CHG ＝180°，即∠AGM +∠MGH +∠MHG +∠MHC ＝180°，∠∠MGH +∠MHG +∠GMH ＝180°，∠∠GMH ＝∠AGM +∠MHC ，∠∠AGM ＝32°，∠MHC ＝68°，∠∠GMH ＝100°．（3）解：∠QHN 的度数不发生改变，理由如下，由（2）得，∠AGM +∠MHC ＝∠GMH ＝100°，∠∠MGH +∠MHG ＝80°，∠GP 、HQ 分别平分∠MGA 和∠MHD ，∠∠MGP =12∠MGA ，∠MHQ =12∠MHD =12（180°﹣∠MHC ）＝90°−12∠MHC ， ∠∠PGH ＝∠MGP +∠MGH =12∠MGA +∠MGH ， ∠HN ∠PG ， ∠∠GHN ＝∠PGH =12∠MGA +∠MGH ，∠∠QHN ＝∠GHN ﹣∠GHQ ＝（12∠MGA +∠MGH ）﹣（∠MHQ ﹣∠MHG ）=12∠MGA +∠MGH ﹣∠MHQ +∠MHG =12∠MGA +80°﹣∠MHQ ，∠∠QHN =12∠MGA +80°﹣（90°−12∠MHC ）＝﹣10°+12（∠MGA +∠MHC ）＝﹣10°+12×100°＝40°．22．（2021秋•香坊区校级期中）点E 在射线DA 上，点F 、G 为射线BC 上两个动点，满足∠DBF ＝∠DEF ，∠BDG ＝∠BGD ，DG 平分∠BDE ．（1）如图1，当点G 在F 右侧时，求证：BD ∠EF ；（2）如图2，当点G 在BF 左侧时，求证：∠DGE ＝∠BDG +∠FEG ；（3）如图3，在（2）的条件下，P 为BD 延长线上一点，DM 平分∠BDG ，交BC 于点M ，DN 平分∠PDM ，交EF 于点N ，连接NG ，若DG ∠NG ，∠B ﹣∠DNG ＝∠EDN ，求∠B 的度数．【思路点拨】（1）通过证明∠DBF＝∠EFG，利用同位角相等，两直线平行即可得出结论；（2）过点E作GH∠BD，交AD于点H，利用（1）的结论和平行线的性质即可得出结论；（3）设∠BDM＝∠MDG＝α，则∠BDG＝∠EDG＝∠DGB＝2α，∠PDE＝180°﹣4α，∠PDM ＝180°﹣α；利用已知条件用含α的式子表示∠PDN，∠EDN，∠GDN，∠DNG，再利用∠B ﹣∠DNG＝∠EDN，得到关于α的方程，解方程求得α的值，则∠B＝180°﹣4α，结论可求．【解题过程】证明：（1）∠DG平分∠BDE，∠∠BDG＝∠ADG．又∠∠BDG＝∠BGD，∠∠ADG＝∠DGB．∠AD∠BC．∠∠DEF＝∠EFG．∠∠DBF＝∠DEF，∠∠DBF＝∠EFG．∠BD∠EF．（2）过点G作GH∠BD，交AD于点H，如图，∠BD∠EF，∠GH∠EF．∠∠BDG＝∠DGH，∠GEF＝∠HGE，∠∠DGE＝∠DGH+∠HGE，∠∠DGE＝∠BDG+∠FEG．（3）设∠BDM＝∠MDG＝α，则∠BDG＝∠EDG＝∠DGB＝2α，∠PDE＝180°﹣4α．∠∠PDM＝180°﹣α．∠DN平分∠PDM∠∠PDN=∠MDN=90°−α2．∠∠EDN=∠PDN−∠PDE=90°−α2−(180°−4α)=72α−90°．∠∠GDN＝∠MDN﹣∠MDG＝90°−α2−α＝90°−32α．∠DG∠ON，∠∠DNG＝90°．∠∠DNG=90°−(90°−32α)=32α．∠DE∠BF，∠∠B＝∠PDE＝180°﹣4α．∠∠B﹣∠DNG＝∠EDN，∠180°−4α−32α=72α−90°，解得：α＝30°．∠∠B＝180°﹣4α＝60°．。
《5.3.1 平行线的性质》教案、导学案、同步练习
《5．3.1 平行线的性质》教案第1课时平行线的性质【教学目标】1．理解平行线的性质；(重点)2．能运用平行线的性质进行推理证明．(重点、难点)【教学过程】一、情境导入窗户内窗的两条竖直的边是平行的，在推动过程中，两条竖直的边与窗户外框形成的两个角∠1、∠2有什么数量关系？二、合作探究探究点一：平行线的性质如图，AB∥CD，BE∥DF，∠B＝65°，求∠D的度数．解析：利用“两直线平行，内错角相等，同旁内角互补”的性质可求出结论．解：∵AB∥CD，∴∠BED＝∠B＝65°.∵BE∥FD，∴∠BED＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－∠BED＝180°－65°＝115°.方法总结：已知平行线求角度，应根据平行线的性质得出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．再结合已知条件进行转化．探究点二：平行线与角平分线的综合运用如图，DB∥FG∥EC，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC，∠PAG＝12°，求∠ABD 的度数．解析：先利用GF ∥CE ，易求∠CAG ，而∠PAG ＝12°，可求得∠PAC ＝48°.由AP 是∠BAC 的角平分线，可求得∠BAP ＝48°，从而可求得∠BAG ＝∠BAP ＋∠PAG ＝48°＋12°＝60°，即可求得∠ABD 的度数．解：∵FG ∥EC ，∴∠CAG ＝∠ACE ＝36°.∴∠PAC ＝∠CAG ＋∠PAG ＝36°＋12°＝48°.∵AP 平分∠BAC ，∴∠BAP ＝∠PAC ＝48°.∵DB ∥FG ，∴∠ABD ＝∠BAG ＝∠BAP ＋∠PAG ＝48°＋12°＝60°.方法总结：(1)利用平行线的性质可以得出角之间的相等或互补关系，利用角平分线的定义，可以得出角之间的倍分关系；(2)求角的度数，可把一个角转化为一个与它相等的角或转化为已知角的和差．探究点三：平行线性质的探究应用如图，已知∠ABC .请你再画一个∠DEF ，使DE ∥AB ，EF ∥BC ，且DE 交BC 边与点P .探究：∠ABC 与∠DEF 有怎样的数量关系？并说明理由．解析：先根据题意画出图形，再根据平行线的性质进行解答即可．解：∠ABC 与∠DEF 的数量关系是相等或互补．理由如下：如图①，因为DE ∥AB ，所以∠ABC ＝∠DPC .又因为EF ∥BC ，所以∠DEF ＝∠DPC ，所以∠ABC ＝∠DEF .如图②，因为DE ∥AB ，所以∠ABC ＋∠DPB ＝180°.又因为EF ∥BC ，所以∠DEF ＝∠DPB ，所以∠ABC ＋∠DEF ＝180°.故∠ABC 与∠DEF 的数量关系是相等或互补．方法总结：画出满足条件的图形时，必须注意分情况讨论，即把所有满足条件的图形都要作出来．三、板书设计平行线的性质⎩⎨⎧⎭⎬⎫两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补求角的大小或说明角之间的数量关系【教学反思】平行线的性质是几何证明的基础，教学中注意基本的推理格式的书写，培养学生的逻辑思维能力，鼓励学生勇于尝试．在课堂上，力求体现学生的主体地位，把课堂交给学生，让学生在动口、动手、动脑中学数学第2课时平行线的性质和判定及其综合运用【教学目标】1．掌握平行线的性质与判定的综合运用；(重点、难点)2．体会平行线的性质与判定的区别与联系．【教学过程】一、复习引入问题：平行线的判定与平行线的性质的区别是什么？判定是已知角的关系得平行关系，性质是已知平行关系得角的关系．两者的条件和结论刚好相反，也就是说平行线的判定与性质是互逆的．二、合作探究探究点一：先用判定再用性质如图，C，D是直线AB上两点，∠1＋∠2＝180°，DE平分∠CDF，EF ∥AB.(1)CE与DF平行吗？为什么？(2)若∠DCE＝130°，求∠DEF的度数．解析：(1)由∠1＋∠DCE＝180°，∠1＋∠2＝180°，可得∠2＝∠DCE，即可证明CE∥DF；(2)由平行线的性质，可得∠CDF＝50°.由DE平分∠CDF，可得∠CDE＝1 2∠CDF＝25°.最后根据“两直线平行，内错角相等”，可得到∠DEF的度数．解：(1)CE∥DF.理由如下：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠DCE＝180°，∴∠2＝∠DCE，∴CE∥DF；(2)∵CE∥DF，∠DCE＝130°，∴∠CDF＝180°－∠DCE＝180°－130°＝50°.∵DE平分∠CDF，∴∠CDE＝12∠CDF＝25°.∵EF∥AB，∴∠DEF＝∠CDE＝25°.方法总结：根据题目中的数量找出各量之间的关系是解这类问题的关键．从角的关系得到直线平行用平行线的判定，从平行线得到角相等或互补的关系用平行线的性质，二者不要混淆．探究点二：先用性质再用判定如图，已知DF∥AC，∠C＝∠D，CE与BD有怎样的位置关系？说明理由．解析：由图可知∠ABD和∠ACE是同位角，只要证得同位角相等，则CE∥BD.由平行线的性质结合已知条件，稍作转化即可得到∠ABD＝∠C.解：CE∥BD.理由如下：∵DF∥AC，∴∠D＝∠ABD.∵∠C＝∠D，∴∠ABD＝∠C，∴CE∥BD.方法总结：解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．探究点三：平行线性质与判定中的探究型问题如图，AB∥CD，E，F分别是AB，CD之间的两点，且∠BAF＝2∠EAF，∠CDF＝2∠EDF.(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并说明理由；(2)∠AFD与∠AED之间有怎样的数量关系？解析：平行线中的拐点问题，通常需过拐点作平行线．解：(1)∠AED＝∠BAE＋∠CDE.理由如下：如图，过点E作EG∥AB.∵AB∥CD，∴AB∥EG∥CD，∴∠AEG＝∠BAE，∠DEG＝∠CDE.∵∠AED＝∠AEG＋∠DEG，∴∠AED＝∠BAE＋∠CDE；(2)同(1)可得∠AFD ＝∠BAF ＋∠CDF .∵∠BAF ＝2∠EAF ，∠CDF ＝2∠EDF ，∴∠BAE ＋∠CDE ＝32∠BAF ＋32∠CDF ＝32(∠BAF ＋∠CDF )＝32∠AFD ，∴∠AED ＝32∠AFD .方法总结：无论平行线中的何种问题，都可转化到基本模型中去解决，把复杂的问题分解到简单模型中，问题便迎刃而解．三、板书设计⎭⎬⎫同位角相等内错角相等同旁内角互补判定性质两直线平行【教学反思】本节内容的重点是平行线的性质及判定的综合，直接运用了“∵”“∴”的推理形式，为学生创设了一个学习推理的环境，逐步培养学生的逻辑推理能力．因此，这一节课有着承上启下的作用，比较重要．本节内容的难点是理解平行线的性质和判定的区别，并在推理中正确地应用．由于学生还没有学习命题的概念和命题的组成，不知道判定和性质的本质区别和联系是什么，所以在教学中，应让学生通过应用和讨论，体会到如果已知角的关系，推出两直线平行，就是平行线的判定；反之，如果两直线平行，得出角的关系，就是平行线的性质《5.3.1 平行线的性质》导学案第1课时 平行线的性质【学习目标】：1.掌握两直线平行，同位角、内错角相等，同旁内角互补，并能熟练运用.2.通过独立思考，小组合作，运用猜想、推理的方法，提升自己利用图形分析问题的能力.3.激情投入，全力以赴，培养严谨细致的学习习惯.【重点】：平行线的性质.【难点】：根据平行线的性质进行推理.【自主学习】一、知识链接平行线的判定方法有哪几种？二、新知预习如图，直线a与直线b平行，直线c与它们相交.（1）量一量：用量角器量图中8个角的度数.（2）说一说：由测量的结果，你发现∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8、∠3与∠6、∠4与∠5、∠3与∠5、∠4与∠6的大小有什么关系？（3）想一想：（2）中的各对角分别是什么角？（4）议一议：两条平行直线被第三条直线所截，所得的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？三、自学自测1.如图，直线a∥b，∠1=70°，那么∠2的度数是（）A.50°B.60°C.70°D.80°2.下列说法中，（1）同位角相等，两直线平行；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）内错角相等，两直线平行；（4）同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.其中是平行线的性质的是（）A.（1）和（3）B.（2）C.（4）D.（2）和（4）【课堂探究】要点探究探究点：平行线的性质问题1：画两条平行线a//b，然后画一条截线c与a、b相交，标出如图所示的角. 度量所形成的8个角的度数，把结果填入下表：角∠1 ∠2 ∠3 ∠4度数角∠5 ∠6 ∠7 ∠8度数观察：∠1~ ∠8中，哪些是同位角？它们的度数之间有什么关系？说出你的猜想.猜想：两条平行线被第三条直线所截，同位角 .思考：再任意画一条截线d，同样度量各个角的度数，你的猜想还成立吗？问题2：如图，已知a//b,那么∠2与∠3相等吗？为什么?问题3：如图,已知a//b,那么∠2与∠4有什么关系呢？为什么?例1.如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角的度数分别是多少？例2：小明在纸上画了一个∠A，准备用量角器测量它的度数时，因不小心将纸片撕破，只剩下如图的一部分，如果不能延长DC、FE的话，你能帮他设计出多少种方法测出∠A的度数？【当堂检测】1.如图，已知平行线AB、CD被直线AE所截(1)从∠1=110°可以知道∠2 是多少度吗,为什么？(2)从∠1=110°可以知道∠3是多少度吗,为什么？(3)从∠1=110°可以知道∠4 是多少度吗,为什么？2.如图，一条公路两次拐弯的前后两条路互相平行.第一次拐弯时∠B是142°，第二次拐弯时∠C是多少度？为什么？3.如图，直线 a ∥ b,直线b垂直于直线c，那么直线a垂直于直线c吗?4.如果有两条直线被第三条直线所截，那么必定有（）A.内错角相等B.同位角相等C.同旁内角互补D.以上都不对5.(1)如图1,若AB∥DE , AC∥DF，试说明∠A=∠D.请补全下面的解答过程,括号内填写依据.解: ∵ AB∥DE( )∴∠A=_______ ( )∵AC∥DF( )∴∠D=______ ( )∴∠A=∠D ( )(2)如图2,若AB∥DE , AC∥DF，试说明∠A+∠D=180o.请补全下面的解答过程,括号内填写依据.解: ∵ AB∥DE( )∴∠A= ______ ( )∵AC∥DF( )∴∠D+ _______=180° ( )∴∠A+∠D=180°（）6.【拓展题】如图，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3=∠4，∠2和∠3有什么关系？为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的？5.3.1 平行线的性质第2课时平行线的性质和判定及其综合运用【学习目标】：1.进一步熟悉平行线的判定方法和性质.2.运用平行线的性质和判定进行简单的推理和计算.【重点】：平行线的判定方法和性质.【难点】：平行线的性质和判定的综合运用.【自主学习】一、知识链接1.平行线的判定方法有哪些？2.平行线的性质有哪些？二、新知预习1.两条直线被第三条直线所截，同位角、内错角相等，或者说同旁内角互补，这句话对吗？2.自主归纳：（1）两直线平行，同位角，内错角，同旁内角 .（2）不难发现，平行线的判定，反过来就是，注意它们之间的联系和区别.（3）运用平行线的性质时，不要忽略前提条件“”，不要一提同位角或内错角，就认为是相等的.【课堂探究】一、要点探究探究点：平行线的性质和判定及其综合应用例1.如图，三角形ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，∠ADE=60°，∠B = 60°，∠AED=40°.（1）DE和BC平行吗？为什么？（2）∠C是多少度？为什么？做一做：已知AB∥CD，∠1 = ∠2.试说明:BE∥CF.例2.如图，AB∥CD，猜想∠A、∠P 、∠PCD的数量关系，并说明理由.例3.如图，若AB//CD ，你能确定∠B 、∠D 与∠BED 的大小关系吗？说说你的看法．【变式题1】如图，AB//CD ，探索∠B 、∠D 与∠DEB 的大小关系 .【变式题2】如图,AB ∥CD,则∠A ，∠C 与∠E 1，∠E 2，…，∠E n 有什么关系？【变式题3】如图,若AB ∥CD, 则∠A ，∠C 与各拐角之间有什么关系？EDC BA【当堂检测】1.填空：如图,(1)∠1= 时，AB∥CD.(2)∠3= 时，AD∥BC.2.直线a,b与直线c相交，给出下列条件：①∠1= ∠2;②∠3= ∠6;③∠4+∠7=180°;④∠3+ ∠5=180°，其中能判断a//b的是( )A. ①②③④ B .①③④ C. ①③ D. ④3. 有这样一道题：如图，AB//CD,∠A=100°, ∠C=110°,求∠AEC的度数. 请补全下列解答过程.解：过点E作EF//AB.∵AB//CD（已知）,∴ // (平行于同一直线的两直线平行）.∴∠A+∠ =180°，∠C+∠ =180°(两直线平行，同旁内角互补）.又∵∠A=100°，∠C=110°（已知）,∴∠ = °, ∠ = °.∴∠AEC=∠1+∠2= °+ ° = °.4.已知AB⊥BF，CD⊥BF，∠1= ∠2，试说明∠3=∠E.5.如图,EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70 °，求∠AGD的度数.第五章相交线与平行线5.3.1《平行线的性质》同步练习一、单选题（共15题；共30分）1、如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1=20o，那么∠2的度数是（ )A、30°B、25°C、20°D、15°2、如图所示BC//DE，∠1=108°，∠AED=75°，则∠A的大小是（）A、60°B、33°C、30°D、23°3、两条平行直线被第三条直线所截，下列命题中正确的是（）A、同位角相等，但内错角不相等B、同位角不相等，但同旁内角互补C、内错角相等，且同旁内角不互补D、同位角相等，且同旁内角互补4、一架飞机向北飞行，两次改变方向后，前进的方向与原来的航行方向平行，已知第一次向左拐50°，那么第二次向右拐（）A、40°B、50°C、130°D、150°5、如图，下列说法正确的是（）A、若AB//CD，则∠1=∠2B、若AD//BC，则∠B+∠BCD=180ºC、若∠1=∠2，则AD//BCD、若∠3=∠4，则AD//BC6、下列图形中，由AB//CD能得到∠1=∠2的是（）A、 B、C、 D、7、下列语句：①两条不相交的直线叫做平行线；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③若AB=BC，则点B是AC的中点；④若两角的两边互相平行，则这两个角一定相等；其中说法正确的个数是（）A、1B、2C、3D、48、同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是（）A、平行或垂直B、平行或相交C、平行、相交或垂直D、相交9、下列生活实例中；①交通道口的斑马线；②天上的彩虹；③体操的纵队；④百米跑道线；⑤火车的平直铁轨线．其中属于平行线的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个10、如图，AB∥CD，∠A=46°，∠C=27°，则∠AEC的大小应为（）A、19°B、29°C、63°D、73°11、如图，直线l1∥l2，且分别与△ABC的两边AB、AC相交，若∠A=50°，∠1=35°，∠2的度数为（）A、95°B、65°C、85°D、35°12、如图，已知：AB∥CD，CE分别交AB、CD于点F、C，若∠E=20°，∠C=45°，则∠A的度数为（）A、5°B、15°C、25°D、35°13、如图，l∥m，矩形ABCD的顶点B在直线m上，则∠α=（）A、20°B、25°C、30°D、35°14、如图，若a∥b，则下列选项中，能直接利用“两直线平行，内错角相等”判定∠1=∠2的是（）A、 B、C、 D、15、如图，如果AB∥CD，那么图中相等的内错角是（）A、∠1与∠5，∠2与∠6B、∠3与∠7，∠4与∠8C、∠5与∠1，∠4与∠8D、∠2与∠6，∠7与∠3二、填空题（共5题；共10分）16、如图，已知：∠A=∠F，∠C=∠D，求证：BD∥EC，下面是不完整的说明过程，请将过程及其依据补充完整．证明：∵∠A=∠F（已知）∴AC∥________，________∴∠D=∠1________又∵∠C=∠D（已知）∴∠1=________________∴BD∥CE ________17、如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD．若∠ECA为α度，则∠GFB为________ 度（用关于α的代数式表示）．18、如图所示,一条公路两次拐弯后和原来的方向相同,即拐弯前、•后的两条路平行,若第一次拐角是150°,则第二次拐角为________ .19、如图，把含有60 º角的三角尺ABC的直角顶点C放在直线DE上，当AB∥DE。
专题5.8平行线的性质与判定大题专项提升训练基础篇,重难点培优30题解析版人教版
【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题5.8平行线的性质与判定大题专项提升训练（基础篇，重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________一、解答题（本大题共30小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．（2022·广西·柳州市柳江区穿山中学七年级阶段练习）如图，点E为直线AB上一点，∠B=∠ACB，BC平分∠ACD，求证：AB∥CD．【答案】证明见解析【分析】根据平行线的判定定理求解即可．【详解】证明：∵BC平分∠ACD，∴∠ACB=∠BCD，∵∠B=∠ACB，∴∠B=∠BCD，∴AB∥CD．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．2．（2022·贵州贵阳·七年级期中）如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．．求证：AB∥CD．【答案】答案见解析【分析】AE平分∠BAC，则∠BAE＝∠CAE，根据∠CAE＝∠CEA可证得∠BAE＝∠CEA，根据内错角相等，两直线平行即可证得结论．【详解】证明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠CAE＝∠CEA，∴∠BAE＝∠CEA，∴AB∥CD．【点睛】本题考查了平行线的判定和角平分线的性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键．3．（2022·山东济南·七年级期中）如图，直线a，b，c被直线d，e所截，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，试说明a∥c．【答案】见解析【分析】由已知得∠1 =∠2，证出a//b，由∠3=∠4，证出b//c，由平行线的性质可得出结论．【详解】证明：∵∠1=∠2，∴a//b，∵∠3=∠4，∴b//c，∴a//c(平行于同一直线的两条直线互相平行)【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．4．（2022·广东广州·七年级期末）如图，CD是∠BCE的平分线，∠B=∠DCE，请你说出AB∥CD的理由．【答案】见解析【分析】由角平分线的性质可得∠BCD=∠ECD，根据等量关系可得∠B=∠BCD，再根据平行线的判定即可得证．【详解】证明：∵CD是∠BCE的平分线，∴∠BCD=∠ECD，∵∠B=∠DCE，∴∠B=∠BCD，∴AB∥CD．【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定：内错角相等，两直线平行．5．（2022·广东·佛山市南海区大沥谢边南桥学校七年级期中）已知：如图，∠1=120°，∠2=60°，∠4=70°，求∠3的度数．（写出具体的说理过程，写出必要步骤的根据）【答案】∠3=70°，过程和根据见解析【分析】先根据邻补角互补求出∠5的度数，进而证明a∥b，则∠3=∠4=70°．【详解】解：∵∠1=120°（已知），∴∠5=180°-∠1=60°（邻补角互补），又∵∠2=60°（已知），∴∠5=∠2∴a∥b（同位角相等，两直线平行），∴∠3=∠4=70°（两直线平行，同位角相等）．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，邻补角互补，证明a∥b是解题的关键．6．（2022·四川·自贡市田家炳中学七年级期中）如图所示，已知∠B=∠C=∠DAC，求证：AD平分∠CAE．【答案】见解析【分析】根据平行线的判定和性质，角平分线的定义解答即可．【详解】证明：∵∠C=∠DAC，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠B，又∠C=∠B，∴∠DAE=∠DAC，∴AD平分∠CAE．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质以及角平分线的定义．熟练掌握平行线的判定：内错角相等，两直线平行；平行线的性质：两直线平行，同位角相等是解题的关键．7．（2022·四川·大竹县石河中学七年级期中）如图，已知AB∥CD，若∠C=40°，∠E=20°，求∠A的度数．【答案】∠A=20°．【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠C，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】解：如图，∵AB∥CD，∴∠1=∠C=40°，∴∠A=∠1-∠E=40°-20°=20°．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．8．（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校七年级期中）如图，已知EC，FD与直线AB交于C，D两点，∠1＝∠2．求证：CE∥DF．【答案】证明见解析【分析】先延长FD，构造∠1的同位角，也就是∠2的对顶角，利用等量代换得到同位角相等，再推出直线CE与DF平行．【详解】证明：延长FD到G，∵∠1＝∠2，∠2＝∠ADG，∴∠1＝∠ADG，∴CE∥DF．【点睛】本题考查平行的判定定理，对顶角的性质，运用相关知识画出辅助线时解题的关键．9．（2022·北京师范大学亚太实验学校七年级期中）已知：如图，AB∥CD，BC⊥CD，∠ABE=∠DCF．求证：BE∥CF．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质，以及等角的转化证明∠EBC=∠FCB，即可证明BE∥CF．【详解】证明：∵BC⊥CD（已知），∴∠BCD=90°（垂直的定义），∵AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD=90°，即∠ABE+∠EBC=90°，∠DCF+∠FCB=90°，又∵∠ABE=∠DCF（已知），∴∠EBC=∠FCB（等角的余角相等），∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质以及垂直的定义；熟练掌握平行线的性质和判定方法是解题的关键．10．（2022·上海理工大学附属中学七年级期末）如图，已知在三角形ABC中，AC=AB，过点C作AB的平行线DE，证明：BC平分∠ACE．【答案】见解析【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论．【详解】证明：∵AC=AB，∴∠B=∠ACB，∵AB∥DE，∴∠B=∠BCE，∴∠ACB=∠BCE，∴BC平分∠ACE．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．11．（2022·甘肃·永昌县第六中学七年级期中）已知△ABC中，∠B=70°，CD平分∠ACB，∠2=∠3，求∠1的度数．【答案】70°【分析】利用角平分线的性质可得∠3=∠DCB，等量代换得∠2=∠DCB，利用内错角相等，两直线平行判定DE∥BC，利用两直线平行，同位角相等即可求解．【详解】∵CD平分∠ACB（已知），∴∠3=∠DCB（角平分线定义）．又∵∠2=∠3（已知），∴∠2=∠DCB（等量代换）．∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行），∴∠1=∠B=70°（两直线平行，同位角相等）．【点睛】考查了平行线的判定与性质和角平分线的性质，解题关键是运用了平行线的判定与性质．12．（2022·新疆·沙雅县第五中学七年级期中）如图所示，AD∥BC，∠1=98°，∠2=40°，求∠ADC的度数．【答案】138°【分析】先根据平行线的性质可得∠ADB=∠2=40°，再根据∠ADC=∠ADB+∠1即可得．【详解】解：∵AD∥BC，∠2=40°，∴∠ADB=∠2=40°，∵∠1=98°，∴∠ADC=∠ADB+∠1=138°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．13．（2022·湖南永州·七年级期末）如图，已知∠1=∠2，∠B=∠3，试说明DE∥BC．【答案】见解析【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．【详解】解：∵∠1=∠2（已知），∴BD∥EF（内错角相等，两直线平行），∴∠B=∠EFC（两直线平行，同位角相等），∵∠B=∠3（已知），∴∠3=∠EFC（等量代换），∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．14．（2022·山东烟台·七年级期中）如图，AB∥CD，∠CAD=∠D．求证：AD平分∠BAC．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得到∠D=∠BAD，又由已知∠CAD=∠D，得∠CAD=∠BAD，得到结论．【详解】证明：∵AB∥CD，∴∠D=∠BAD，∵∠CAD=∠D，∴∠CAD=∠BAD，∴AD平分∠BAC．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．15．（2022·山东枣庄·七年级期中）如图①是我省同金电力科技有限公司生产的美利达自行车的实物图，图②是它的部分示意图，AF∥CD，点B在AF上，∠CAE=120°，∠FAE=65°，∠CBF=100°．(1)请分别写出图中以点A为顶点的角有______．(2)试求∠DCB和∠ACB的度数．【答案】(1)∠EAB，∠EAC，∠FAC(2)∠DCB=100°，∠ACB=45°【分析】（1）根据角的定义写出以点A为顶点的角即可；（2）利用平行线的性质进行角度的计算即可．（1）解：图中以点A为顶点的角有∠EAB，∠EAC，∠FAC．故答案为：∠EAB，∠EAC，∠FAC．（2）∵∠CAE=120°，∠FAE=65°，∴∠FAC=∠CAE―∠FAE=120°―65°=55°．∵AF∥CD，∴∠DCB=∠CBF=100°，∠DCA=∠FAC=55°，∴∠ACB=∠DCB―∠DCA=100°―55°=45°．∴∠DCB的度数为100°，∠ACB的度数为45°．【点睛】本题考查平行线的性质．解题关键是结合图形，利用平行线的性质进行角的转化和角的计算．16．（2022·江苏无锡·七年级期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，EF⊥CD于点G，∠ADE=∠EFC．(1)请说明DE∥BC；(2)若∠A=60°，∠ACB=72°，求∠CDE的度数．【答案】(1)说明见解析；(2)∠CDE=42°【分析】（1）由题意易证AB//EF，则有∠ADE= ∠DEF，从而得∠EFC= ∠DEF，从而得证；（2）结合已知条件与（1）的结论，可得DE∥BC，由三角形的内角和定理可求得∠B的度数，再结合CD⊥AB，从而可得∠BCD的度数，利用DE∥BC求解即可．（1）解：∵CD⊥AB，EF⊥CD，∴∠BDC=∠FGC=90° ，∴AB∥EF，∴∠ADE=∠DEF，又∵∠ADE=∠EFC，∴∠DEF=∠EFC，∴DE∥BC；（2）∵∠A+∠ACB+∠B=180°且∠A=60°，∠ACB=72°，∴∠B=48°，∵∠BDC=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠BCD=42°，∵DE∥BC，∴∠CDE=∠BCD=42°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．17．（2022·陕西·大荔县教学研究室七年级期末）如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=57°，求∠2的度数．【答案】33°【分析】利用平行线的性质及垂直的意义求解．【详解】解：∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∵∠1=57°，∴∠ABD=180°―∠ABC―∠1=33°，∵a∥b，∴∠2=∠ABD=33°．∴∠2的度数为33°．【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的意义，平角的意义．理解和掌握平行线的性质和垂直的意义是解题的关键．18．（2022·河南商丘·七年级阶段练习）如图，∠1=∠2，∠A=75°，求∠ADC的度数．【答案】∠ADC=105°【分析】根据内错角相等，两直线平行由∠1=∠2得到AB∥CD，然后根据两直线平行，同旁内角互补得到∠ADC+∠A=180°，再把∠A=75°代入计算即可．【详解】解：∵∠1=∠2，∴AB∥CD，∴∠ADC+∠A=180°，∴∠ADC=180°-75°=105°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．19．（2022·湖北十堰·七年级期中）已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A；(1)求证：DE∥BA．(2)若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．【答案】(1)见解析(2)36°【分析】(1)根据平行线的性质与判定方法证明即可；(2)设∠EDC=x°，由∠BFD=∠BDF = 2∠EDC可得∠BFD=∠BDF = 2x°，根据平行线的性质可得∠DFB= ∠FDE= 2x°，再根据平角的定义列方程可得x的值，进而得出∠B的度数．（1）证明：∵DF∥CA，∴∠DFB=∠A，又∵∠FDE=∠A，∴∠DFB=∠FDE，∴DE∥AB；（2）解：设∠EDC=xº，∵∠BFD=∠BDF=2∠EDC，∴∠BFD=∠BDF=2xº，由（1）可知∠DFB=∠FDE=2xº，∴∠BDF+∠EDF+∠EDC=2xº+2xº+xº=180º，∴x=36，又∵DE∥AB，∴∠B=∠EDC=36 º．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．20．（2022·四川成都·七年级阶段练习）已知AB∥CD，直线MN分别交AB，CD于E、F，∠MFD=50°，EG 平分∠MEB，求证：∠MEG的度数为25°．21．（2022·四川成都·七年级阶段练习）已知AB∥CD，直线MN分别交AB，CD于E、F，∠MFD=50°，EG 平分∠MEB，求证：∠MEG的度数为25°．22．（2022·福建省福州第十四中学七年级期中）如图，AB∥CD,BC∥DE．求证：∠B+∠CDE=180°．【答案】证明见解析【分析】先根据平行线的性质可得∠B=∠C，∠C+∠CDE=180°，再根据等量代换即可得证．【详解】证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠C，∵BC∥DE，∴∠C+∠CDE=180°，∴∠B+∠CDE=180°．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．23．（2022·广东茂名·七年级期中）已知：如图，AB∥EF，AC∥DE．试说明：(1)∠B=∠F；(2)∠1=∠2；(3)∠A=∠E．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）由两直线平行，内错角相等，即可得出结论；（2）由两直线平行，内错角相等，即可得出结论；（3）延长AC交EF于点G．利用平行线性质得出∠A＝∠5，∠E＝∠5，即可得出结论（1）因为AB∥EF（已知），所以∠B＝∠F（两直线平行，内错角相等）．（2）因为AC∥DE（已知），所以∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等），所以∠1＝∠2（等角的补角相等）．（3）延长AC交EF于点G．因为AB∥EF（已知），所以∠A＝∠5（两直线平行，内错角相等）．因为AC∥DE（已知），所以∠5＝∠E（两直线平行，同位角相等）．所以∠A＝∠E （等量代换）．【点睛】此题考查了平行线的性质．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．24．（2022·山西太原·七年级期中）如图，已知∠ABE与∠FDG的边AB∥DF，BE∥DG，BE与DF相交于点C．若∠B＝50°，求∠D的度数．【答案】50°【分析】根据平行线的性质可得∠B=∠FCE=∠D，进而可求解．【详解】解：∵AB//DF，∴∠FCE=∠B，∵BE//DG，∴∠FCE=∠D，∴∠D=∠B=50°．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．25．（2022·云南昭通·七年级期中）已知，∠ABC和∠DEF中，AB∥DE，BC∥EF．试探究：(1)如图1，∠B与∠E的关系是______，并说明理由；(2)如图2，写出∠B与∠E的关系，并说明理由；(3)根据上述探究，请归纳得到一个真命题．【答案】(1)∠B=∠E，理由见解析(2)∠B+∠E=180°，理由见解析(3)如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补【分析】（1）根据平行线的性质得出∠B=∠1，∠1 =∠E，即可得出答案；（2）根据平行线的性质得出∠B+∠1 = 180°，∠1=∠E，即可得出答案；（3）根据(1) (2)可推出，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．（1）解：∠B=∠E，理由如下：如下图，∵AB∥DE，∴∠B=∠1，又∵BC∥EF，∴∠1=∠E，∴∠B=∠E；故答案为：∠B=∠E；（2）解：∠B+∠E=180°，理由如下：如下图，∵AB∥DE，∴∠B+∠1=180°，又∵BC∥EF，∴∠E=∠1，∴∠B+∠E=180°故答案为：∠B+∠E=180°；（3）解：由题意得：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．【点睛】本题主要考查平行线的性质、命题与证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．26．（2022·浙江湖州·七年级阶段练习）如图，△ABC沿直线l向右平移4 cm，得到△FDE，BC=6 cm，∠ 1=45°．(1)求BE的长；(2)求∠ 2的度数．【答案】(1)BE=10 cm(2)∠ 2=135°【分析】对于（1），先根据平移的性质求出CE，再根据BE=BC+CE得出答案；对于（2），根据平移的性质得AB∥DF，即可求出∠FDE，进而得出答案．（1）由平移知，BD=CE=4．∵BC=6，∴BE=BC+CE=6+4=10 (cm)；（2）由平移知，AB∥DF∴ ∠FDE=∠ 1=45°，∴∠2=180°―∠FDE=135°．【点睛】本题主要考查了平移的应用，掌握平移的性质是解题的关键．27．（2022·山东济南·七年级期中）如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1＝40°，∠2＝40°，∠3＝140°，找出图中的平行线，并说明理由．【答案】OB∥AC，OA∥BC，理由见解析【分析】根据同位角相等，两直线平行可得OB∥AC，根据同旁内角互补，两直线平行可得OA∥BC．【详解】解：OB∥AC，OA∥BC，理由：∵∠1＝40°，∠2＝40°，∴∠1＝∠2，∴OB∥AC，∵∠2＝40°，∠3＝140°，∴∠2＋∠3＝180°，∴OA∥BC．【点睛】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．28．（2022·上海市文来中学七年级期中）如图：已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试说明∠7=∠C的理由．【答案】过程见详解【分析】充分利用两直线平行内错角相等、两直线平行同位角相等，同位角相等两直线平行和内错相等两线直平行，即可得证．【详解】证明∵∠1+∠2=180°，∠1+∠4=180°，∴∠2=∠4，∴AB//EF，∴∠3=∠5，∵∠3=∠B，∴∠5=∠B，∴DE//BC，∴∠7=∠C．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．29．（2022·湖南·永州市剑桥学校七年级阶段练习）如图所示，∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B．(1)AD与EF平行吗？请说明理由；(2)试判断∠AED与∠C的大小关系，并说明理由．【答案】(1)平行，见解析(2)相等，见解析【分析】（1）由已知条件和三角形外角性质推出∠BDE+∠3＝180°，利用“同旁内角互补，两直线平行”即可证明；（2）利用（1）的结论，推出∠ADE＝∠B，DE∥BC，利用“两直线平行，同位角相等”可得∠AED＝∠C．（1）证明：（1）平行；∵∠1＝∠FDE+∠3，∠1+∠2＝180°，∴∠2+∠FDE+∠3＝180°，∵∠BDE＝∠2+∠FDE，∴∠BDE+∠3＝180°，∴AD∥EF；（2）解：∠AED＝∠C；理由如下：∵AB∥EF，∴∠ADE＝∠3，∵∠3＝∠B，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，∴∠AED＝∠C．【点睛】本题考查平行线的判定和性质、三角形外角的性质等知识点，难度较小，要熟记平行线的判定定理和性质．30．（2022·福建福州·七年级期末）如图，已知∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°．（1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；（2）若BF⊥AC，∠2=140°，求∠AFG的度数．【答案】（1）BF//DE，理由见解析；（2）50°【分析】（1）根据已知条件，先证明FG//BC ，继而得∠1=∠3 ，根据∠1+∠2=180° 等量代换得∠3+∠2=180° ，从而得证；（2）由（1）的结论，求得∠1 ，再根据BF⊥AC ，求得∠1 的余角即可．【详解】解：(1)BF//DE，理由如下：∵∠AGF=∠ABC，∴GF//BC，∴∠1=∠3，∵∠1+∠2=180°，∴∠3+∠2=180°，∴BF//DE；(2)∵BF//DE，BF⊥AC，∴DE⊥AC，∵∠1+∠2=180°，∠2=140°，∴∠1=40°，∴∠AFG=90°―40°=50°．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，求一个角的余角，熟练平行线的性质与判定是解题的关键．。
平行线的判定和性质 练习题
1 平行线的判定和性质专题训练 班级：_________ 姓名：________ 1.如图1 ：∠1=∠2，且BD平分∠ABC．求证：AB∥CD．
2．如图2，∠D =∠A，∠B =∠FCB，试问：ED∥CF吗？为什么？
3．如图3，直线AB、CD被EF所截，∠1 =∠2，∠CNF =∠BME。试问：AB∥CD，MP∥NQ吗？为什么？
4.如图4：AE是∠BAP的平分线，PE是∠APD的平分线，∠2+∠3=90°.填写AB∥CD的理由 34
21
CP
D
EBA
5.如图5，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．求证：AB∥DC．
E B A
F D C
图2
F 2 A B C D Q
E 1 P
M
N 图3
图1
图4 图5 2
6.如图6，直线AB、CD被直线EF所截，交点为O、P，PQ⊥EF，垂足为P.如果∠1=60°，∠2=30°，那么直线AB、CD平行吗？为什么？
Op2
1
CAFDQB
E
7.如图7，AB//CD，∠1=∠3，求证：AC//BD。 8.如图8，AB//CD，AD//BC，求证：∠A=∠C，∠B=∠D。 9．如图9，DE∥BC，∠D∶∠DBC = 2∶1，∠1 =∠2，求∠DEB的度数．
10．如图10，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1 +∠2 = 90°． 求证：（1）AB∥CD； （2）∠2 +∠3 = 90°．
图9
2 1 B C
E D
C 1 2 3 A B D F
图6 图7 图8 3
11.如图11，AB∥CD，∠1＝∠B，求证：CD是∠BCE的平分线． 12如图12，AE⊥BC于E，∠1＝∠2．求证：DC⊥BC． 13.如图13，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠3，求证：∠1=∠2。 14.如图14，CD⊥AB于D，DE∥BC，EF⊥AB于F，求证：∠FED＝∠BCD． 15如图15，已知EF⊥AB，∠3=∠B，∠1=∠2，求证：CD⊥AB。
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平行线的性质和判定
1．如图，已知：∠1=∠2，∠D=50°，求∠B的度数．
2.如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1=∠2，∠C=∠D．
试说明：AC∥DF．
3. 已知：如图，AD∥BE，∠1=∠2，求证：∠A=∠E．
4. 如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=80°．求∠AGD.
5.已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：CD⊥AB．
6. 已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，FH⊥AB于H．问CD与AB有什么关系？
7. 已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1=∠2，求证：AB∥CD． 8. 已知如图，DE⊥AC，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由． 9．已知，如图，CD⊥AB，GF⊥AB，∠B=∠ADE，试说明∠1=∠2．
10.如图，AB∥ED，α=∠A+∠E，β=∠B+∠C+∠D．证明：β=2α