2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题
参考公式：
圆锥的体积公式：V ＝1
3πr 2h ，侧面积公式：S ＝πrl ，其中r ，h 和l 分别为圆锥的底面半径，高和母线长．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．
上． 1．命题“若ab ＝0，则b ＝0”的逆否命题是 ▲ ．
2．已知复数z 满足 z (1＋i)＝i ，其中i 是虚数单位，则 |z | 为 ▲ ． 3．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是 ▲ ．
4．“x 2－3x ＋2＜0”是“－1＜x ＜2”成立的 ▲ 条件（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写）．
5．已知实数x ，y 满足条件 ?????x ≥0，y ≥1，2x ＋y －5≤0，
则z ＝3x ＋y 的最大值是 ▲ ．
6．函数 f (x )＝x e x
的单调减区间是 ▲ ． 7．如图，直线l 经过点(0，1)，且与曲线y ＝f (x ) 相切 于点(a ，3)．若f ′(a )＝2
3，则实数a 的值是 ▲ ．
8．在平面直角坐标系xOy 中，若圆 (x －a )2＋(y －a )2＝2 与圆 x 2＋(y －6)2＝8相外切，则实数a 的值为 ▲ ．
9．如图，在三棱锥P —A B C 中， M 是侧棱P C 的中点，且BM →＝x AB →＋y AC →＋z AP →
， 则x ＋y ＋z 的值为 ▲ ．
10．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 x 23－y 2
＝1的渐近线与 抛物线x 2＝43y 的准线相交于A ，B 两点，则三角形OAB
的面积为 ▲ ．
11．在平面直角坐标系xOy 中，若点A 到原点的距离为2，到直线
3x ＋y －2＝0的距离为1，则满
足条件的点A 的个数为 ▲ ．
12．若函数f (x )＝x 3－3x 2＋mx 在区间 (0，3) 内有极值，则实数m 的取值范围是 ▲ ．
x
y
O
a
3 1 y ＝f (x )
l
（第7题图）
（第9题图）
A
B
C
P
M
13．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0) 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线A F 2与椭圆的另一个交点为C ． 若AF 2→＝2F 2C →
，则该椭圆的离心率为 ▲ ．
14．已知函数f (x )＝x |x 2－3|．若存在实数m ，m ∈(0，5]，使得当x ∈[0，m ] 时，f (x )的取值范围
是[0，am ]，则实数a 的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．
作答，解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）
已知复数z ＝2＋4m i
1－i ，（m ∈R ，i 是虚数单位）．
（1）若z 是纯虚数，求m 的值；
（2）设—z 是z 的共轭复数，复数—
z ＋2z 在复平面上对应的点在第一象限，求m 的取值范围．
16．（本题满分14分）
如图，在正方体ABCD – A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G 分别是棱BC ，A 1B 1，B 1C 1的中点． （1）求异面直线EF 与DG 所成角的余弦值； （2）设二面角A —BD —G 的大小为θ，
求 |cos θ| 的值．
17．（本题满分14分）
如图，圆锥OO 1的体积为6π．设它的底面半径为x ，侧面积为S ． （1）试写出S 关于x 的函数关系式；
（2）当圆锥底面半径x 为多少时，圆锥的侧面积最小？
B
B 1
（第16题图）
A
D
C
A 1
C 1
D 1
E
F
G
O
18．（本题满分16分）
在平面直角坐标系x O y 中，已知圆C 经过点A (1，3) ，B (4，2)，且圆心在 直线l ：x －y －1＝0上．
（1）求圆C 的方程；
（2）设P 是圆D ：x 2＋y 2＋8x －2y ＋16＝0上任意一点，过点P 作圆C 的两条切线PM ，PN ，M ，N 为切点，试求四边形PMCN 面积S 的最小值及对应的点P 坐标．
19．（本题满分16分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一条准线方程为x ＝43
3，离心率
为32．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）如图，设A 为椭圆的上顶点，过点A 作两条直线AM ，AN ，分别与椭圆C 相交于M ，N 两点，且直线MN 垂直于x 轴．
① 设直线AM ，AN 的斜率分别是k 1， k 2，求k 1k 2的值；
② 过M 作直线l 1⊥AM ，过N 作直线l 2⊥AN ，l 1与l 2相交于点Q ．试问：点Q 是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由．
O N M
A l 1 x
l 2
y
Q
（第19题图）
20．（本题满分16分）
设函数f (x )＝1
2ax 2－1－ln x ，其中a ∈R ．
（1）若a ＝0，求过点(0，－1)且与曲线y ＝f (x )相切的直线方程； （2）若函数f (x )有两个零点x 1，x 2， ① 求a 的取值范围；
② 求证：f ′(x 1)＋f ′(x 2)＜0．
参考答案 2018．01
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分
标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，
可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．“若b ≠0，则ab ≠0” 2．
2
2
3．(1，0) 4．充分不必要 5．7 6．(－∞，－1)或(－∞，－1] 7．3 8．3 9．0 10．3 3 11．3 12．(－9，3) 13．
5
5
14．[1，3) 二、解答题（本大题共6小题，共90分）
15．（本题满分14分）
解（1）z ＝2＋4m i 1－i ＝(2＋4m i)(1＋i)(1－i)(1＋i)
＝1－2m ＋(2m ＋1)i ． …………………… 3分 因为z 是纯虚数，所以1－2m ＝0且2m ＋1≠0，
解得m ＝1
2． …………………… 6分
（2）因为—
z 是z 的共轭复数，所以—
z ＝1－2m －(2m ＋1)i ． ……………………8分
所以—z ＋2z ＝1－2m －(2m ＋1)i ＋2[1－2m ＋(2m ＋1)i]
＝3－6m ＋(2m ＋1)i ． …………………… 10分
因为复数—
z ＋2z 在复平面上对应的点在第一象限，
所以???3－6m ＞0，2m ＋1＞0，
…………………… 12分
解得－12＜m ＜12，即实数m 的取值范围为(－12，1
2)． …………………… 14分
16．（本题满分14分）
解 如图，以{DA →，DC →，DD 1→
}为正交基底建立坐标系D —xyz ．
设正方体的边长为2，则D (0，0，0)，A (2，0，0)， B (2，2，0)，E (1，2，0)，F (2，1，2)，G (1，2，2)．
B 1
D C
A 1
C 1
D 1
F
G
y
z
（1）因为EF →
＝(2，1，2)－(1，2，0)＝(1，－1，2)，
DG →
＝ (1，2，2)， …………………… 2分 所以EF →·DG →
＝1×1＋(－1)×2＋2×2＝3，
|EF →|＝1＋(－1)2＋22＝6，|DG →
|＝3．
…………………… 4分
从而cos ＜EF →，DG →
＞＝EF →·DG →|EF →||DG →|
＝36×3＝66，
即向量EF →与DG →
的夹角的余弦为66，
从而异面直线EF 与DG 所成角的余弦值为6
6
． …………………… 7分 （2）DB →＝(2，2，0)，DG →
＝ (1，2，2)．
设平面DBG 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )．
由题意，得 ?
????DB →·n 1＝2x ＋2y ＝0，
DG →·n 1＝x ＋2y ＋2z ＝0，
取x ＝2，可得y ＝－2，z ＝1．
所以n 1＝(2，－2，1)． …………………… 11分 又平面ABD 的一个法向量n 2＝DD 1→
＝(0，0，2)， 所以cos ＜n 1，n 2＞＝n 1·n 2
|n 1||n 2|＝23×2＝13
．
因此 |cos θ|＝1
3． …………………… 14分
17．（本题满分14分）
解（1）设圆锥OO 1的高为h ，母线长为l ．
因为圆锥的体积为6π，即 13πx 2h ＝6π，所以h ＝36
x
2．…………………… 2分
因此 l ＝x 2＋h 2
＝
x 2
＋(36
x
2)2，
从而S ＝πxl ＝πx
x 2
＋(36
x
2)2＝π
x 4＋54
x
2，(x ＞0)． …………………… 6分
（2）令f (x )＝x 4＋54x 2，则f ′(x )＝4x 3－108
x
3 ，(x ＞0)． …………………… 8分
由f ′(x )＝0，解得x ＝3． …………………… 10分
当0＜x ＜3时，f ′(x )＜0，即函数f (x )在区间(0，3)上单调递减；
当x ＞3时，f ′(x )＞0，即函数f (x )在区间(3，＋∞)上单调递增．
…………………… 12分
所以当x ＝3时，f (x )取得极小值也是最小值．
答：当圆锥底面半径为3时，圆锥的侧面积最小． ……………………… 14分
18．（本题满分16分）
解（1）设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其圆心为(－D 2，－E 2
)．
因为圆C 经过点A (1，3) ，B (4，2)，且圆心在直线l ：x －y －1＝0上，
所以 ?
??
1＋9＋D ＋3E ＋F ＝0，16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，
－D 2＋E
2－1＝0，
…………………… 4分
解得?????D ＝－4，E ＝－2，F ＝0．
所求圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －2y ＝0． …………………… 7分 （2）由（1）知，圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5．
依题意，S ＝2S △PMC ＝PM ×MC ＝ PC 2－5×
5．
所以当PC 最小时，S 最小． …………………… 10分 因为圆M ：x 2＋y 2＋8x －2y ＋16＝0，所以M (－4，1)，半径为1． 因为C (2，1)，所以两个圆的圆心距MC ＝6． 因为点P ∈M ，且圆M 的半径为1， 所以PC min ＝6－1＝5．
所以S min ＝52－5×
5＝10． …………………… 14分
此时直线MC ：y ＝1，从而P (－3，1)． …………………… 16分
19．（本题满分16分）
解（1）设椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1的半焦距为c ．
由题意，得?
??a 2c ＝433
，c a ＝32
， 解得???a ＝2，c ＝3，从而b ＝1．
所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
＝1． …………………… 4分
（2）①根据椭圆的性质，M ，N 两点关于x 轴对称，
故可设M (x 0，y 0)，N (x 0，－y 0)( x 0≠0，y 0≠0)，
从而 k 1k 2＝y 0－1x 0·－y 0－1x 0＝1－y 02
x 02
． …………………… 7分
因为点M 在椭圆C 上，所以x 024＋y 02＝1，所以1－y 02＝x 0
2
4
，
所以k 1k 2＝1－y 02x 02＝1
4． …………………… 10分
②设Q (x 1，y 1)，依题意A (0，1)． 因为l 1⊥AM ，所以
y 0－1x 0·y 1－y 0
x 1－x 0
＝－1，即(y 0－1)(y 1－y 0)＝－x 0 (x 1－x 0)； 因为l 2⊥AN ，所以－y 0－1x 0·y 1＋y 0
x 1－x 0＝－1，即(－y 0－1)(y 1＋y 0)＝－x 0 (x 1－x 0)，
故 (y 0－1)(y 1－y 0)－(－y 0－1)(y 1＋y 0)＝0，
化得(y 1＋1) y 0＝0． …………………… 14分 从而必有y 1＋1＝0，即y 1＝－1．
即点Q 在一条定直线y ＝－1上． …………………… 16分
20．（本题满分16分）
解（1）当a ＝0时，f (x )＝－1－ln x ，f ′(x )＝－1
x
．
设切点为T (x 0，－1－ln x 0)，
则切线方程为：y ＋1＋ln x 0＝－1
x 0( x －x 0)． …………………… 2分
因为切线过点(0，－1)，所以 －1＋1＋ln x 0＝－1
x 0
(0－x 0)，解得x 0＝e ．
所以所求切线方程为y ＝－1
e
x －1． …………………… 4分
（2）① f ′(x )＝ax －1x ＝ax 2
－1
x
，x ＞0．
(i) 若a ≤0，则f ′(x )＜0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，
从而函数f (x )在(0，＋∞)上至多有1个零点，不合题意． …………………… 5分
(ii)若a ＞0，由f ′(x )＝0，解得x ＝
1a
． 当0＜x ＜
1a 时， f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；当x ＞1
a
时， f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 所以f (x )min ＝f (
1a )＝12－ln 1a －1＝－12－ln 1
a
．
要使函数f (x )有两个零点，首先 －12－ln 1
a ＜0，解得0＜a ＜e ． …………… 7分
当0＜a ＜e 时，
1a ＞1e ＞1
e
． 因为f (1e )＝a 2e 2＞0，故f (1e )·f (1
a )＜0．
又函数f (x )在(0，
1a )上单调递减，且其图像在(0，1
a
)上不间断， 所以函数f (x )在区间(0，
1
a
)内恰有1个零点． …………………… 9分 考察函数g (x )＝x －1－ln x ，则g′(x )＝1－1x ＝x －1
x ．
当x ∈(0，1)时，g′(x )＜0，函数g (x )在(0，1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g′(x )＞0，函数g (x )在(1，＋∞)上单调递增， 所以g (x )≥g (1)＝0，故f (2a )＝2a －1－ln 2
a
≥0．
因为2a －1a ＝2－a a ＞0，故2a ＞1
a ．
因为f (1a )·f (2a )≤0，且f (x )在(1a ，＋∞)上单调递增，其图像在(1
a
，＋∞)上不间断，
所以函数f (x )在区间(
1a ，2a ] 上恰有1个零点，即在(1
a
，＋∞)上恰有1个零点． 综上所述，a 的取值范围是(0，e)． …………………… 11分
②由x 1
，x 2
是函数f (x )的两个零点(不妨设x 1
＜x 2
)，得 ?
?
?
12ax 1
2
－1－ln x 1＝0，12ax 2
2
－1－ln x 2＝0，
两式相减，得 12a (x 12－x 22)－ln x 1x 2＝0，即12a (x 1＋x 2) (x 1－x 2)－ln x 1
x 2
＝0，
所以a (x 1＋x 2)＝2ln x 1x 2
x 1－x 2． …………………… 13分
f ′(x 1)＋f ′(x 2)＜0等价于ax 1－1x 1＋ax 2－1x 2＜0，即a (x 1＋x 2)－1x 1－1
x 2＜0，
即2ln x 1
x 2 x 1－x 2－1x 1－1x 2
＜0，即2ln x 1x 2＋x 2x 1－x 1
x 2＞0．
设h (x )＝2ln x ＋1x －x ，x ∈(0，1)．则h′(x )＝2x －1
x 2－1＝2x －1－x 2x 2＝－(x －1)2x 2＜0，
所以函数h (x )在(0，1)单调递减，所以h (x )＞h (1)＝0． 因为x 1x 2∈(0，1)，所以2ln x 1x 2＋x 2x 1－x 1
x 2
＞0，
即f ′(x 1)＋f ′(x 2)＜0成立． …………………… 16分