不定积分100道例题及解答

合集下载

不定积分

一、不定积分的解题技巧引例：不定积分 /(1 -x)cos2xdx f (1 -x)cos2xdx=/cos2xdx - f xcos2xdx=(1/2) f cos2xd2x -(1/4) f 2xcos2xd2x=(1/2)sin2x- (1/4) f 2xdsin2x=(1/2)sin2x- (1/2)xsin2x (1/4) f sin2xd2x=(1/2)sin2x-(1/2)xsin2x-(1/4)cos2x Cf (1 -x)cos2xdx求导行：1-x -1 0积分行：cos2x 1/2*sin2x -1/4*cos2x所以：f (1 -x)cos2xdx =(1-x)*1/2*sin2x-(-1)*(-1/4*cos2x) C注：分步积分的时候，f a*bdx哪个放到d后面去(那个先反过来求导)？这里遵循一个原则：对，反，幂，三，指。

越后的先放到d里去如f x A2 cosxdx x A2 是幂函数，cosx是三角函数。

所以，要这样化f xA2dsinx而不是1/3 f cosxdxA3引例2: f 1/(1 xA4)dx原式=1/2((1 xA2 1-xA2)/1 xA4)=0.5(1 xA2/1 xA4) 0.5(1咲人2/1 xA4)=0.5(1 xA-2/xA-2 xA2)< 就是分子分母同除x的平方>如果是不定积分，两类换元法和拼凑法一般来说结合使用灵活系数比较大不过你要相信考试不定积分形式比较简单方法比较独到，绝对不是“暴力“积岀来的，一想到你的方法越做越陷入死路，我想因该要变通.第二,对于有独特的因子你要留意.定积分，比不定积分要难一些，因为很多函数是没有初等函数的，方法是拼凑法和化为二元再交换顺序，其中拼凑发很关键，我们要掌握.例题大家平时做题目就很容易发现方法与技巧一、换元法1. 凑微分使用凑微分法的难处在于如何“凑”岀一个函数的微分。

对于这个问题一方面要求熟悉一些常见函数的微分形式，另一方面，对于那些不易观察的，则不妨从被积函数中拿岀一个表达式，求其微分，从而决定如何凑微分。

不定积分习题

第一节不定积分的概念与性质例题：计算下列不定积分：1．dx x ⎰22．dx x⎰13．设曲线通过点()2,1，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程 4．dx x ⎰31 5．dx xx ⎰1 6．()dx xx 52-⎰ 7．dx x x ⎰28．()dx xx ⎰-231 9．()dx x e x⎰-cos 3 10．dx e xx ⎰2 11．dx x ⎰2tan12．dx x⎰2sin213．dx x x ⎰2cos 2sin 12214．dx x x x ⎰+++132224 15．dx x x x ⎰--12224 习题：1．利用求导运算验证下列等式：（1）C x x dx x +++=+⎰)1ln(1122（2）C xx dx x x+-=-⎰111222（3）C x x dx x x x +++=++⎰11arctan )1)(1(22 （4）C x x dx x ++=⎰sec tan ln sec （5）C x x x dx x x ++=⎰cos sin cos（6）C x x dx x e x+-=⎰)cos (sin 21sin 2．求下列不定积分（1）dx x⎰31（2）dx x x ⎰（3）⎰xdx （4）dx x x ⎰32（5）⎰xx dx2（6）dx x mn ⎰（7）dx x ⎰35 （8）dx x x ⎰+-)23(2（9）⎰ghdx 2（g 是常数）（10）()dx x⎰+221（11）()()d x x x ⎰-+113 （12）⎰xx dx 2（13）dx x e x⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+32 （14）dx x x ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+221213 （15）dx xe e xx⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1 （16）dx e xx ⎰3 （17）dx xxx ⎰⋅-⋅32532 （18）()dx x x x ⎰-tan sec sec （19）dx x ⎰2cos2（20）⎰+x dx 2cos 1 （21）dx x x x ⎰-sin cos 2cos （22）dx xx x⎰22sin cos 2cos （23）dx x ⎰2cot （24）()dx ⎰θ+θθsec tan cos（25）dx x x ⎰+122 （26）dx x x x ⎰++123234 3．一曲线通过点()3,2e ，且任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程．4．证明函数)12arcsin(-x 、)21arccos(x -和x x-1arctan 2都是21xx -的原函数．第二节换元积分法例题求下列不定积分1、dx x ⎰2cos 2 2、dx x ⎰+2313、dx x x ⎰+32)2( 4、dx xe x ⎰225、dx x x ⎰-21 6、dx x a ⎰+2217、dx x a ⎰-221 8、dx x a ⎰-2219、dx x x ⎰+)ln 21(1 10、dx xe x⎰311、dx x ⎰3sin 12、dx x x ⎰52cos sin13、dx x ⎰tan 14、dx x ⎰2cos15、dx x x ⎰42cos sin 16、dx x ⎰6sec17、dx x x ⎰35sec tan 18、dx x ⎰csc19、dx x ⎰sec 20、dx x x ⎰sin 3cos 21、dx x a ⎰-22 22、dx ax ⎰+22123、dx a x ⎰-221 24、dx x x a ⎰-422 25、⎰+942x dx 26、⎰-+21xx dx27、()dx x xx ⎰+-22322练习1、在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立：（1）=dx )(ax d ；（2）=dx )37(-x d ；（3）=xdx )(2x d ；（4）=xdx )5(2x d ；（5）=xdx )1(2x d -；（6）=dx x 3 )43(2-x d ；（7）=dx e x 2 )(2xe d （8）dx e x 2-= )1(2x e d -+（9）=dx 23sin )23(cos x d （10）=xdx )ln 5(x d （11）=xdx)ln 53(x d -（12）=+21x dx )3(arctan x d （13）=-21xdx)arcsin 1(x d -（14）=-21x xdx )1(2x d -2、求下列不定积分（1）dt e t⎰5 （2）dx x ⎰-3)23(（3）⎰-x dx 21 （4）⎰-332x dx（5）dx e ax bx⎰-)(sin （6）dt tt ⎰sin（7）dx xex ⎰-2（8）dx x x ⎰)cos(2（9）dx xx⎰-232 （10）dx x x ⎰-4313 （11）dxx x x ⎰+++5212 （12）dt t t ⎰ϕ+ωϕ+ω)sin()(cos 2 （13）dx x x ⎰3cos sin （14）dx x x xx ⎰-+3cos sin cos sin（15）dx x x ⎰⋅210sec tan （16）⎰x x x dxln ln ln（17）⎰-221)(arcsin xx dx（18）dx xx ⎰-2arccos 2110（19）⎰+⋅+2211tan x xdxx （20）dx x x x ⎰+)1(arctan （21）dx x x x⎰+2)ln (ln 1 （22）⎰x x dx cos sin （23）dx xx x ⎰sin cos tan ln （24）dx x ⎰3cos （25）dt t ⎰ϕ+ω)(cos 2（26）dx x x ⎰3cos 2sin（27）dx x x ⎰2cos cos （28）dx x x ⎰7sin 5sin（29）dx x x ⎰sec tan 3（30）⎰-+x x e e dx（31）dx xx⎰--2491 （32）dx x x ⎰+239 （33）⎰-122x dx （34）⎰-+)2)(1(x x dx（35）dx x x x ⎰--22 （36）⎰-222xa dx x（37）⎰-12x x dx （38）⎰+32)1(x dx（39）dx x x ⎰-92 （40）⎰+xdx 21 （41）⎰-+211xdx （42）⎰-+21xx dx（43）dx x x x ⎰++-3212 （44）dx x x ⎰++223)1(1第三节分部积分法例题求下列不定积分1、dx x x ⎰cos2、dx xe x⎰3、dx x x ⎰ln4、dx x ⎰arccos5、dx x x ⎰arctan6、dx x e x⎰sin7、dx x ⎰3sec 8、dx e x⎰练习求下列不定积分（1）⎰xdx x sin （2）dx x ⎰ln（3）dx x ⎰arcsin （4）dx xe x⎰-（5）dx x x ⎰ln 2（6）dx x e x ⎰-cos（7）dx x ex⎰-2sin 2 （8）dx x x ⎰2cos（9）dx x x ⎰arctan 2 （10）dx x x ⎰2tan（11）dx x x ⎰cos 2（12）dt te t ⎰-2（13）dx x ⎰2ln （14）dx x x x ⎰cos sin（15）dx x x ⎰2cos 22 （16）dx x x ⎰-)1ln( （17）dx x x ⎰-2sin )1(2（18）dx xx⎰23ln（19）dx e x ⎰3（20）dx x ⎰ln cos（21）dx x ⎰2)(arcsin （22）dx x e x ⎰2sin（23）dx x x ⎰2ln （24）dx ex ⎰+93其他有关有理函数与无理函数的不定积分计算问题：例题：1、dx x x x ⎰+-+6512 2、dx x x x x ⎰++++)1)(12(223、dx x x x ⎰---)1)(1(32 4、dx x x x ⎰++)cos 1(sin sin 1 5、dx x x ⎰-16、⎰++321x dx 7、dx x x x ⎰+11练习：（1）dx x x ⎰+33（2）dx x x x ⎰-+-103322 （3）dx x x x ⎰+-+5212 （4）⎰+)1(2x x dx（5）dx x ⎰+133 （6）dx x x x ⎰-++)1()1(122 （7）⎰+++)3)(2)(1(x x x xdx（8）dx xx x x ⎰--+3458 （9）⎰++))(1(22x x x dx（10）dx x ⎰-114（11）⎰+++)1)(1(22x x x dx （12）dx x x ⎰++)1()1(22（13）dx x x x ⎰++--222)1(2（14）⎰+x dx 2sin 3 （15）⎰+x dx cos 3 （16）⎰+x dxsin 2 （17）⎰++x x dx cos sin 1 （18）⎰+-5cos sin 2x x dx（19）⎰++311x dx（20）dx x x ⎰+-11)(3（21）dx x x ⎰++-+1111 （22）⎰+4x x dx （23）x dx x x ⎰+-11 （24）⎰-+342)1()1(x x dx本章复习题计算下列不定积分：1、⎰-x dx cos 452、⎰+942x x dx 3、dx x x ⎰+2)43(4、dx x ⎰4sin5、⎰-942x dx 6、dx x x ⎰++52127、dx x ⎰+9228、dx x ⎰-2329、dx x e x⎰cos 210、dx x x ⎰2arcsin11、⎰+22)9(x dx 12、⎰x dx 3sin 13、dx x e x ⎰-3sin 214、dx x x ⎰5sin 3sin 15、dx x ⎰3ln 16、dx xx ⎰-117、dx x ⎰+22)1(118、dx x x ⎰-11219、dx x x ⎰+2)32(20、dx x ⎰6cos 21、dx x x⎰-22222、dx x ⎰+cos 52123、⎰-122x x dx24、dx x x ⎰+-1125、dx x x x ⎰--+125226、⎰-+21x x xdx27、dx x x ⎰+2442528、⎰--x x e e dx 29、dx x x⎰-3)1(30、dx x a x ⎰-66231、dx x x x ⎰++sin cos 1 32、dx x x ⎰ln ln33、dx x x x ⎰+4sin 1cos sin 34、dx x ⎰4tan 35、⎰+)4(6x x dx 36、dx x a x a ⎰-+37、⎰+)1(x x dx 38、dx x x ⎰2cos 39、⎰+xedx 140、⎰-122x xdx41、⎰+)1(24x x dx 42、dx x x ⎰sin 43、dx x ⎰+)1ln(244、dx x x ⎰32cos sin 45、dx x ⎰arctan46、dx x x ⎰+sin cos 147、dx x x ⎰+283)1(48、dx x x x ⎰++234811 49、⎰-416x dx 50、dx x x ⎰+sin 1sin 51、dx x x x ⎰++cos 1sin 52、dx xx x x e x ⎰-23sin cos sin cos 53、dx x x x x⎰+)(3354、⎰+2)1(x e dx 55、dx e e e e x x x x ⎰+-+124356、dx e xe x x⎰+2)1( 57、dx x x ⎰++)1(ln 2258、⎰+32)1(ln x x 59、dx x x ⎰-arcsin 1260、dx xx x ⎰-231arccos61、dx x x ⎰+sin 1cot 62、⎰x x dx cos sin 363、⎰+x x dxsin )cos 2(64、dx x x x x ⎰+cos sin cos sin65、dx x x ⎰-)1(12。

不定积分,习题

联立并令 C1 = C ,
1 可得 C 2 = ＋C , C 3 = 1 + C . 2
1 2 − 2 x + C , x < −1 1 故 ∫ max{1, x }dx = x + + C , − 1 ≤ x ≤ 1. 2 1 2 2 x + 1 + C, x > 1
= x2 − 1 1 − arcsin + C . x x
例4
求 ∫ xarctan xln(1 + x2 )dx.
2
解 ∵ ∫ x ln(1 + x 2 )dx = 1 ∫ ln(1 + x 2 )d (1 + x 2 )
1 1 2 2 2 = (1 + x ) ln(1 + x ) − x + C . 2 2 1 1 2 2 2 原式 = ∫ arctan xd [ (`1 + x ) ln(1 + x ) − x ] 2 2 1 = [(`1 + x 2 ) ln(1 + x 2 ) − x 2 ] arctan x 2 1 x2 ]dx − ∫ [ln(1 + x 2 ) − 2 2 1+ x
5、函数 f ( x) = ( x + x )2 的一个原函数F (x) = ( ) 4 3 4 （A） x ; （B） x x 2 ; 3 3 2 2 2 2 2 （C) x( x + x ) ; （D） x ( x + x ) . 3 3 6 、已知一个函数的导数为 y′ = 2 x ，且 x = 1 时 y = 2,这个函数是（）这个函数是（ y = x2 + C ; （A） 2 （B） y = x + 1 ; x2 （C） y = + C ; 2 （D） y = x + 1 .

积分习题答案

积分习题答案积分习题答案积分作为微积分的重要概念之一，是解决各种数学问题的基础工具之一。

在学习积分的过程中，习题是不可或缺的一环。

通过积分习题的练习，可以帮助我们巩固知识，提高解题能力。

本文将为大家提供一些积分习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。

一、定积分定积分是积分的一种形式，用来计算曲线与坐标轴所围成的面积。

下面是一些常见的定积分习题及其答案：1. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。

答案：∫(0,1) x^2 dx = [x^3/3] (0,1) = 1/3。

2. 计算定积分∫(1,2) (2x-1) dx。

答案：∫(1,2) (2x-1) dx = [x^2-x] (1,2) = 3。

3. 计算定积分∫(0,π) sin(x) dx。

答案：∫(0,π) sin(x) dx = [-cos(x)] (0,π) = 2。

二、不定积分不定积分是积分的另一种形式，用来求函数的原函数。

下面是一些常见的不定积分习题及其答案：1. 计算不定积分∫x^2 dx。

答案：∫x^2 dx = x^3/3 + C，其中C为常数。

2. 计算不定积分∫(2x-1) dx。

答案：∫(2x-1) dx = x^2 - x + C，其中C为常数。

3. 计算不定积分∫sin(x) dx。

答案：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，其中C为常数。

三、应用题积分在实际问题中的应用非常广泛，下面是一些与应用题相关的习题及其答案：1. 已知物体的速度函数v(t) = 2t，求物体在时间区间[0,2]上的位移。

答案：位移是速度的积分，即∫(0,2) 2t dt = t^2 |(0,2) = 4。

2. 已知曲线的边界方程为y = x^2，求曲线与x轴所围成的面积。

答案：面积是曲线的定积分，即∫(0,1) x^2 dx = 1/3。

3. 已知物体的加速度函数a(t) = 2，初速度v(0) = 1，求物体在时间区间[0,3]上的位移。

有理函数的不定积分例题(由简单到复杂)

有理函数的积分1、单项式积分：(1)⎰dx 0=C.(2)⎰dx =x+C.(3)⎰dx 2=2x+C. (4)⎰dx 31=3x +C.(5)⎰adx =ax +C. (a 为常数)(6)⎰xdx =22x +C. (7)⎰xdx 2=x 2+C. (8)⎰xdx 32=⎰xdx 231=32x +C. (9)⎰dx x 2=331x +C.(10)⎰dx x 23=x 3+C.(11)⎰dx x 22=⎰2332x =323x +C. (12)⎰dx x n =11++n x n +C. (13)⎰+dx x n n )1(=x n+1+C.(14)⎰dx ax n =11++n ax n +C. (15)⎰-dx nx n 1=x n +C.2、多项式积分(16)⎰+dx x )1(=⎰xdx +⎰dx =22x +x+C.或⎰+dx x )1(=⎰++)1()1(x d x =2)1(2+x +C ’=22x +x+C. (17)⎰-dx x x )23(2=⎰dx x 23-⎰xdx 2=x 3-x 2+C.(18)⎰---dx x x x )23(23=⎰⎰⎰---xdx dx x dx x 2323=44x --x 3-x 2+C. (19)⎰-dx x )1(2020=20212021x -x+C. (20)dx x x x x x )]5()3[(3199931999++--+⎰=dx x x ⎰---)34(3=-x 4-22x -3x+C. 3、整式乘法积分(21)dx x x ⎰-)1(=dx x x ⎰-)(2=33x -22x +C. (22)dx x x ⎰-+)1)(1(=dx x ⎰-)1(2=33x -x+C. (23)⎰+dx x 2)1(=⎰++dx x x )12(2=33x +x 2+x+C. 或⎰+dx x 2)1(=⎰++)1()1(2x d x =3)1(3+x +C ’=33x +x 2+x+C. (24)dx x x ⎰+)3(22=dx x x ⎰+)62(3=24x +3x 2+C. 或dx x x ⎰+)3(22=)3()3(22++⎰x d x =2)3(22+x +C ’=24x +3x 2+C. (25)dx x x ⎰-+)12)(2(=dx x x ⎰-+)232(2=323x +232x -2x+C. 4、整式除法积分 (26)dx x⎰1=ln|x|+C. (27)dx x a ⎰=aln|x|+C.(28)dx ax ⎰1=ax ||ln +C. (29)dx x ⎰+11=)1(11++⎰x d x =ln|x+1|+C. (30)dx x x ⎰+12=)1(112122++⎰x d x =21ln(x 2+1)+C. (31)dx x x ⎰-122=)1(1122--⎰x d x = ln|x 2-1|+C. (32)dx x x ⎰-2212=)21(2112122x d x ---⎰= -ln|1-2x 2|+C. (33)dx x x x ⎰+++2312=dx x x x ⎰+++)2)(1(1=dx x ⎰+21=ln|x+2|+C. (34)dx x ⎰21=x 1-+C. (35)dx x ⎰31=221x-+C. (36)dx x ⎰43=31x-+C. (37)dx x n ⎰1=1)1(1---n x n +C. (n>1) (38)dx x ⎰20202019=20191x -+C. (39)dx x x ⎰++24212=)1()1(1212++⎰x d x =)1(21+-x +C. (40)dx x ⎰+211=arctanx+C. (41)dx x ⎰+3212=dx x ⎰+1321312=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰x d x 321321612=66arctan x 32+C. (42)dx x x ⎰+14=241121dx x ⎰+=21arctanx 2+C. (43)dx x x ⎰++2212=)1(1)1(12+++⎰x d x =arctan(x+1)+C. (44)dx x ⎰-112= ⎝⎛-⎰dx x 1121-⎪⎭⎫+⎰dx x 11=21[ln(x-1)-ln(x+1)]=21ln 11+-x x +C. (45)dx x⎰-211= ⎝⎛+⎰dx x 1121+⎪⎭⎫-⎰dx x 11=21[ln(1+x)-ln(1-x)]=21ln x x -+11+C.(46)dx x x ⎰-221=dx x x ⎰---2211+dx x ⎰-211=⎰-dx +dx x ⎰-211=-x+21ln x x -+11+C. (47)dx x x ⎰+231=dx x x x ⎰++231-dx xx ⎰+21=⎰xdx -221121dx x ⎰+=-22x +21ln(1+x 2)+C. (48)dx x x x ⎰++231=dx x x x x x ⎰++-+)1()1)(1(2=dx x x x ⎰+-12=dx x x ⎰+-)11( =22x -x+ln|x|+C. (49)dx x x ⎰+220201=dx x x x x x x ⎰+-+-⋯-+-+22201620182018202011)1()( =dx x x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⋯--220162018111=x x x x arctan 2017201920172019--⋯--+C =x k x x k k arctan 12201910091122019---∑=-+C. (50)dx x x ⎰--2313=dx x x ⎰-+)2()1(12=dx x C x B x A ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++++2)1(12. 则A(x+1)(x-2)+B(x-2)+C(x+1)2≡1, 当x=2时, C=91; 当x=-1时, B=31-; 又Ax 2+Cx 2≡0, ∴A=-91. 因此得dx x x ⎰--2313=dx x x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-)2(91)1(31)1(912 =91-ln|x+1|+)1(31+x +91ln|x-2|+C ’=)1(31+x +91ln 12+-x x +C ’. (题目可能千变万化，但是万变不离其宗，绝大多数都是用这些方法解决的)。

不定积分例的题目及问题详解

求如下不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的根本方法.思路分析：利用不定积分的运算性质和根本积分公式,直接求出不定积分！ ★<1>思路: 被积函数52x-,由积分表中的公式〔2〕可解.解：532223x dx x C--=-+⎰ ★<2>dx⎰思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分.解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★<3>22x x dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分.解：2232122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★<4>3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分.解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰ ★★<5>4223311x x dxx +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分. 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x Cx x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★<6>221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分.解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰注：容易看出<5><6>两题的解题思路是一致的.一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分.★<7>x dx x x x ⎰34134（-+-）2思路:分项积分.解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x xx--=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2★<8>23(1x +⎰思路:分项积分. 解：2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰★★<9>思路？11172488xx ++=,直接积分.解：715888.15x dx x C ==+⎰ ★★<10>221(1)dx x x +⎰思路:裂项分项积分.解：222222111111()arctan .(1)11dx dx dx dx x C xx x x x x x =-=-=--++++⎰⎰⎰⎰ ★<11>211x xe dxe--⎰解：21(1)(1)(1).11x x x x x xxe e e dx dx e dx e x C ee --+==+=++--⎰⎰⎰★★<12>3x x e dx ⎰思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变,底数相乘.显然33x x x e e =（）. 解：333.ln(3)xx x xe e dx e dx C e ==+⎰⎰（）（）★★<13>2cot xdx ⎰思路:应用三角恒等式"22cot csc 1x x =-〞.解：22cot (csc 1)cot xdx x dx x x C =-=--+⎰⎰★★<14>23523x xxdx⋅-⋅⎰思路:被积函数 235222533x xx x ⋅-⋅=-（）,积分没困难.解：2()2352232525.33ln 2ln 3xx xx xdx dx x C ⋅-⋅=-=-+-⎰⎰（（）） ★★<15>2cos 2x dx ⎰思路:假如被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分.解：21cos 11cossin .2222x x d dx x x C +==++⎰⎰ ★★<16>11cos 2dxx +⎰思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分.解：221111sec tan .1cos 2222cosdx dx xdx x C x x===++⎰⎰⎰ ★<17>cos 2cos sin xdxx x -⎰思路:不难,关键知道"22cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )x x x x x x x =-=+-〞.解：cos 2(cos sin )sin cos .cos sin xdx x x dx x x C x x =+=-+-⎰⎰★<18>22cos 2cossin xdx x x⋅⎰思路:同上题方法,应用"22cos2cos sin x x x =-〞,分项积分. 解：22222222cos 2cos sin 11cos sin cos sin sin cos x x x dx dx dx xx x x x x x -==-⋅⋅⎰⎰⎰⎰22csc sec cot tan .xdx xdx x x C =-=--+⎰⎰★★<19>dx ⎰思路:注意到被积函数 ,应用公式<5>即可.解：22arcsin .x C ==+⎰ ★★<20>21cos 1cos 2xdx x++⎰思路:注意到被积函数 22221cos 1cos 11sec 1cos 2222cos xx x xx++==++,如此积分易得.解：221cos 11tan sec.1cos 2222xx x dx xdx dx C x ++=+=++⎰⎰⎰★2、设()arccos xf x dx x C =+⎰,求()f x .知识点：考查不定积分〔原函数〕与被积函数的关系.思路分析：直接利用不定积分的性质1：[()]()df x dx f x dx=⎰即可.解：等式两边对x 求导数得：()()xf x f x ==★3、设()f x 的导函数为sin x ,求()f x 的原函数全体.知识点：仍为考查不定积分〔原函数〕与被积函数的关系.思路分析：连续两次求不定积分即可. 解：由题意可知,1()sin cos f x xdx x C ==-+⎰所以()f x 的原函数全体为：112cos sin x C dx x C x C -+=-++⎰（）.★4、证明函数21,2x xe e shx和x e chx 都是s xe chx hx-的原函数知识点：考查原函数〔不定积分〕与被积函数的关系.思路分析：只需验证即可. 解：2xxe e chx shx =-,而22[][][]x x x x d d d e e shx e chx e dx dx dx===1()2 ★5、一曲线通过点2(,3)e ,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程.知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数〔不定积分〕与被积函数的关系. 思路分析：求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可.解：设曲线方程为()y f x =,由题意可知：1[()]d f x dxx=,()ln ||f x x C ∴=+；又点2(,3)e 在曲线上,适合方程,有23ln(),1e C C =+∴=,所以曲线的方程为()ln || 1.f x x =+★★6、一物体由静止开始运动,经t 秒后的速度是23(/)t m s ,问：（1）在3秒后物体离开出发点的距离是多少？（2）物体走完360米需要多少时间？知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数〔不定积分〕与被积函数的关系. 思路分析：求得物体的位移方程的一般式,然后将条件带入方程即可. 解：设物体的位移方程为：()y f t =, 如此由速度和位移的关系可得：23[()]3()f t t f t t C=⇒=+ddt,又因为物体是由静止开始运动的,3(0)0,0,()f C f t t ∴=∴=∴=. <1>3秒后物体离开出发点的距离为:3(3)327f ==米；<2>令3360t t =⇒. 2、求如下不定积分.知识点：〔凑微分〕第一换元积分法的练习.思路分析：审题看看是否需要凑微分.直白的讲,凑微分其实就是看看积分表达式中,有没有成块的形式作为一个整体变量,这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分根本公式的熟练掌握.此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效,这在课外例题中专门介绍！ ★〔1〕3t e dt ⎰思路:凑微分.解：33311(3)33t t t e dt e d t e C ==+⎰⎰★<2>3(35)x dx -⎰思路:凑微分.解：33411(35)(35)(35)(35)520x dx x x x C -=---=--+⎰⎰d★<3>132dxx -⎰思路:凑微分.解：1111(32)ln |32|.322322dx d x x C x x =--=--+--⎰⎰★<4>思路:凑微分.解：1233111(53)(53)(53)(53).332x x d x x C -=--=---=--+⎰ ★<5>(sin )xb ax e dx -⎰思路:凑微分.解：11(sin )sin ()()cos xx xb b b x ax e dx axd ax b e d ax be C a b a-=-=--+⎰⎰⎰ ★★<6>思路:如果你能看到td ,凑出d 易解.解：2C==⎰★<7>102tan sec x xdx ⎰思路:凑微分.解：10210111tansec tan (tan )tan .11x xdx xd x x C ==+⎰⎰ ★★<8>ln ln ln dxx x x⎰思路:连续三次应用公式<3>凑微分即可.解：(ln ||)(ln |ln |)ln |ln ln |ln ln ln ln ln ln ln ln dxd x d x x Cx x x x x x===+⎰⎰⎰★★<9>⎰:此题关键是能够看到是,是呢？就是解：ln |C=-+⎰⎰★★<10>sin cos dxx x⎰思路:凑微分.解：方法一：倍角公式sin 22sin cos x x x =.方法二：将被积函数凑出tan x 的函数和tan x 的导数. 方法三：三角公式22sin cos 1x x +=,然后凑微分. ★★<11>x xdx e e -+⎰思路:凑微分：222111()x x x x x x x x dx e dx de de e e e e e -===++++.解：22arctan 11()x x xx x x x dx e dx de e Ce e e e -===++++⎰⎰⎰ ★<12>2cos()x x dx ⎰思路:凑微分. 解：222211cos()cos sin 22x xdx x dx x C ==+⎰⎰★★<13>:22.解：1222211(23)(23)66x d x C-----=⎰ ★★<14>2cos ()sin()t t dt ωω⎰思路:凑微分.解：22211cos()sin()cos ()sin()cos ()cos()t t dt t t d t t d t ωωωωωωωωω==-⎰⎰⎰31cos ().3t C ωω=-+ ★★<15>3431x dxx -⎰思路:凑微分. 解：33444444433431313(1)ln |1|.44441111x x dx dx dx d x x C x x x x ===--=--+----⎰⎰⎰⎰★<16>3sin cosx dx x⎰思路:凑微分. 解：332sin 111cos .2coscos cos xdx d x C xxx =-=+⎰⎰★★<17>9思路:经过两步凑微分即可.解：9101010111010C ==+★★<18>思路:分项后分别凑微分即可.解：=-2212142381219423812arcsin().23x x x x x C =-=+-=）★★<19>221dx x-⎰思路:裂项分项后分别凑微分即可. 解：21212dx dx x =-⎰⎰1)1).C -+★<20>2(45)xdx x -⎰思路:分项后分别凑微分即可.解：22214541114(45)(45)5(45)2545(45)xdxx dx d x x x x x --=-=------⎰⎰⎰（）（） ★<21>2100(1)x dx x -⎰思路:分项后分别凑微分即可.解：222100100100100100(11)(1)(1)1(2)(1)(1)(1)(1)(1)x dx x dx x x dx x x x x x -+--==++-----⎰⎰⎰9899100111(2)(1)(1)(1)(1)d x x x x =++----⎰ ★★<22>81xdx x-⎰思路:裂项分项后分别凑微分即可.解：28444444111111()()241(1)(1)1111xdx xdx xdx dx xx x x x x x ==-=---+-+-+⎰⎰⎰⎰ ★<23>3cos xdx ⎰思路:凑微分.cos sin xdx d x =.解：3222cos cos cos cos sin (1sin )sin xdx x xdx xd x x d x=⋅==-⎰⎰⎰⎰31sin sin 3x x C=-+ ★★<24>2cos ()t dt ωϕ+⎰思路:降幂后分项凑微分.解：21cos 2()11cos()cos 2()2()224t t dt dt dt t d t ωϕωϕωϕωϕω+++==+++⎰⎰⎰⎰11sin 2()24t t C ωϕω=+++ ★★★<25>sin 2cos3x xdx ⎰思路:积化和差后分项凑微分.解：111sin 2cos3(sin 5sin )sin 55sin 2102x xdx x x dx xd x xdx=-=-⎰⎰⎰⎰11cos5cos 102x x C =-++ ★★★<26>sin 5sin 7x xdx ⎰思路:积化和差后分项凑微分.解：111sin 5sin 7(cos 2cos12)cos 22cos12(12)2424x xdx x x dx xd x xd x =-=-⎰⎰⎰⎰11sin 2sin12.424x x C =-+ ★★★<27>3tan sec x xdx ⎰思路:凑微分tan sec sec x xdx d x =.解3222tan sec tan tan sec tan sec (sec 1)sec x xdx x x xdx xd x x d x =⋅==-⎰⎰⎰⎰231sec sec sec sec sec 3xd x d x x x C=-=-+⎰⎰★★<28>arccosx 思路:(arccos )d x =-.解：arccos arccos arccos1010arccos .ln10xxx d x C =-=-+⎰ ★★<29>思路:(arcsin )d x =.解：2arcsin 1arcsin (arcsin )d x Cx x =-+⎰★★★★<30>思路:.解：=⎰2C =+★★★★<31>ln tan cos sin x dx x x⎰思路:被积函数中间变量为tan x ,故须在微分中凑出tan x ,即被积函数中凑出2sec x ,解：2ln tan ln tan ln tan tan ln tan (ln tan )cos sin tan costan xx xdx dx d x xd x x x x x x===⎰⎰⎰⎰21(ln tan )2x C =+★★★★<32>21ln (ln )x dxx x +⎰思路:(ln )(1ln )d x x x dx =+ 解：221ln 11(ln )ln (ln )(ln )xdx d x x C x x x x x x +==-+⎰⎰★★★★<33>1xdx e-⎰解：方法一：思路:将被积函数的分子分母同时除以 x e ,如此凑微分易得.方法二：思路:分项后凑微分方法三：思路: 将被积函数的分子分母同时乘以 x e ,裂项后凑微分.★★★★<34>6(4)dx x x+⎰ 解：方法一: 思路：分项后凑积分. 方法二：思路:利用第二类换元法的倒代换. 令1x t =,如此21dx dt t =-.★★★★<35>82(1)dxxx -⎰ 解：方法一: 思路：分项后凑积分.方法二：思路: 利用第二类换元法的倒代换.令1x t =,如此21dx dtt=-. 3、求如下不定积分.知识点：〔真正的换元,主要是三角换元〕第二种换元积分法的练习.思路分析：题目特征是----被积函数中有二次根式,如何化无理式为有理式？三角函数中,如下二恒等式起到了重要的作用.2222sin cos 1;sec tan 1.x x x x +=-=为保证替换函数的单调性,通常将交的X 围加以限制,以确保函数单调.不妨将角的X 围统统限制在锐角X 围内,得出新变量的表达式,再形式化地换回原变量即可. ★★★<1>:令sin ,2x t t π=<,先进展三角换元,分项后,再用三角函数的升降幂公式. 解：令sin ,2x t t π=<,如此cos dx tdt =.tan arcsin .2t t C x C =-+=〔或arcsin x C =〕〔万能公式sin 1cos tan21cos sin t t t t t-==+,又sin t x =时,cos t★★★<2>思路:令3sec ,(0,)2x t t π=∈,三角换元. 解：令3sec ,(0,)2x t t π=∈,如此3sec tan dx t tdt =.〔3sec x x =时,3cos ,sin tan x x x x =★★★<3>思路:令tan ,2x t t π=<,三角换元. 解：令tan ,2x t t π=<,如此2sec dx tdt =.★★★<4>:令a tan ,2x t t π=<,三角换元. 解：令tan ,2x a t t π=<,如此2a sec dx tdt =.★★★★<5>2思路:先令2u x =,进展第一次换元；然后令tan ,2u t t π=<,进展第二次换元. 解：222412xx =+⎰,令2u x =得： 212=,令tan ,2u t t π=<,如此2sec du tdt =, ★★★<6>思路:三角换元,关键要正确.解：22549(2)x x x --=-+,令23sin ,2x t t π+=<,如此3cos dx tdt =. ★★4、求一个函数()f x ,满足'()f x ,且(0)1f =.思路:,由条件(0)1f =确定出常数C 的值即可.解：(1).1dx x C x=+=+⎰令()f x C =,又(0)1f =,可知1C =-,() 1.f x ∴=★★★5、设tan ,n n I xdx =⎰,求证：1-21tan 1n n n I x I n -=--,并求5tan xdx ⎰.思路:由目标式子可以看出应将被积函数tan n x 分开成22tan tan n x x -,进而写成：22222tan (sec 1)tan sec tan n n n x x x x x ----=-,分项积分即可. 证明：222222tan (tan sec tan )tan sec tan n n n n n nI xdx x x x dx x xdx xdx ----==-=-⎰⎰⎰⎰1、求如下不定积分：知识点：根本的分部积分法的练习.思路分析：严格按照"‘反、对、幂、三、指’顺序,越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分.〞的原如此进展分部积分的练习. ★〔1〕arcsin xdx ⎰思路:被积函数的形式看作0arcsin x x ,按照"反、对、幂、三、指〞顺序,幂函数0x 优先纳入到微分号下,凑微分后仍为dx . 解：21arcsin arcsin arcsin (1)2xdx x x x x x =-=+-⎰⎰ ★★〔2〕2ln(1)x dx +⎰思路：同上题.解：22222222ln(1)ln(1)ln(1)11x x x dx x x x dx x x dx x x+=+-=+-++⎰⎰⎰★〔3〕arctan xdx ⎰思路：同上题.解：222(1)arctan arctan arctan 121dx d x xdx x x x x x x x +=-=-++⎰⎰⎰121arctan ln(1)2x x x C=-++★★<4>2sin 2x x e dx -⎰思路：严格按照"反、对、幂、三、指〞顺序凑微分即可.解：22221111sin sin ()sin cos 22222222xx x x x x x x edx d e e e dx ----=-=-+⎰⎰⎰★★<5>2arctan x xdx ⎰思路：严格按照"反、对、幂、三、指〞顺序凑微分即可.解：32332111arctan arctan ()arctan 3331x x xdx xd x x x dx x==-+⎰⎰⎰ ★<6>cos 2x x dx⎰思路：严格按照"反、对、幂、三、指〞顺序凑微分即可.解：cos 2sin 2sin 2sin 2sin 4sin 2222222xx x x x x x x dx xd x dx x d ==-=-⎰⎰⎰⎰2sin 4cos .22x x x C =++★★<7>2tan x xdx ⎰思路：严格按照"反、对、幂、三、指〞顺序凑微分即可.解：2222tan (sec 1)(sec )sec x xdx x x dx x x x dx x xdx x x =-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰d★★<8>2ln xdx ⎰思路：严格按照"反、对、幂、三、指〞顺序凑微分即可. 解：222211ln ln2ln ln 2ln ln 2ln 2xdx x x x x dx x x xdx x x x x x dxx x=-⋅⋅=-=-+⋅⎰⎰⎰⎰★★<9>ln(1)x x dx -⎰思路：严格按照"反、对、幂、三、指〞顺序凑微分即可.解：22211ln(1)ln(1)ln(1)2221x x x x dx x dx x dx x -=-=---⎰⎰⎰ ★★<10>22ln x dx x ⎰思路：严格按照"反、对、幂、三、指〞顺序凑微分即可.解：222222ln 11111ln ln ()ln 2ln ln 2x x dx xd x x dx x dx x x x x x xx =-=-+⋅=-+⎰⎰⎰⎰★★<11>cosln xdx ⎰思路：严格按照"反、对、幂、三、指〞顺序凑微分即可.解：1cosln cosln sin ln cosln sin ln xdx x x x x dx x x xdxx =+⋅=+⎰⎰⎰★★<12>2ln x dx x ⎰思路：详见第<10> 小题解答中间,解答略. ★★<13>ln (1)n x xdxn ≠-⎰思路：严格按照"反、对、幂、三、指〞顺序凑微分即可.解：111111ln ln ln 111n n n n x x xdx xd x x x dx n n n x +++==-⋅+++⎰⎰⎰★★<14>2x x e dx -⎰思路：严格按照"反、对、幂、三、指〞顺序凑微分即可.解：222222x x x x x x x e dx x e e xdx x e xe e dx------=-+=--+⎰⎰⎰2222(22)x x x x x e xe e C e x x C ----=---+=-+++★★<15>32(ln )x x dx ⎰思路：严格按照"反、对、幂、三、指〞顺序凑微分即可.解：32244241111(ln )(ln )()(ln )2ln 444x x dx x d x x x x x dx x==-⋅⋅⎰⎰⎰ ★★<16>ln ln xdxx ⎰思路：将积分表达式ln ln x dx x写成ln ln (ln )xd x ,将ln x 看作一个整体变量积分即可.解：ln ln 111ln ln (ln )ln ln ln ln ln ln ln ln xdx xd x x x x dx x x dx xx x x==-⋅⋅=-⎰⎰⎰⎰ln ln ln ln ln (ln ln 1).x x x C x x C =-+=-+★★★ <17>sin cos x x xdx ⎰思路：严格按照"反、对、幂、三、指〞顺序凑微分即可. 解：11111sin cos sin 2(cos 2)cos 2cos 222244x x xdx x xdx xd x x x xdx==-=-+⎰⎰⎰⎰★★<18>22cos 2x x dx ⎰思路：先将2cos 2x 降幂得1cos 2x +,然后分项积分；第二个积分严格按照"反、对、幂、三、指〞顺序凑微分即可.解：2222221111cos (cos )cos 22222x xdx x x x dx x dx x xdx =+=+⎰⎰⎰⎰★★<19>2(1)sin 2x xdx -⎰思路：分项后对第一个积分分部积分. 解：22211(1)sin 2sin 2sin 2(cos 2)cos 222xxdx x xdx xdx x d x x-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★★★<20>3x e ⎰思路：首先换元,后分部积分.解：令t 如此32,3,x t dx t dt ==★★★<21>2(arcsin )x dx ⎰思路：严格按照"反、对、幂、三、指〞顺序凑微分即可.解：22(arcsin )(arcsin )x dx x x x =-⎰⎰★★★<22>2sin x e xdx ⎰思路：严格按照"反、对、幂、三、指〞顺序凑微分即可.解：方法一：222sin sin sin 2sin cos x x x x e xdx xde e x e x xdx ==-⎰⎰⎰方法二：21cos 21111sin cos 2cos 222222xxx x x x x exdx e dx e dx e xdx e e xdx -==-=-⎰⎰⎰⎰⎰★★★<23>思路：严格按照"反、对、幂、三、指〞顺序凑微分即可.解：ln(1))x d x =++-⎰令t 如此2,dxtdt=222144444arctan 11t dt dt dt t t C tC∴==-=--+=⎰⎰⎰所以原积分)x C =+-.★★★<24>ln(1)x xe dxe +⎰思路：严格按照"反、对、幂、三、指〞顺序凑微分即可.解：ln(1)ln(1)()ln(1)1x xx x x x x x xe e dx e d e e e e dx e e ---+=+-=-+++⎰⎰⎰注：该题中11xdxe+⎰的其他计算方法可参照习题4-2,2〔33〕.★★★<25>1ln 1x x dxx +-⎰思路：严格按照"反、对、幂、三、指〞顺序凑微分即可.解：2222111111111ln ln ()ln1122121(1)x x x x x x x dx d x xx dx x x x x x +++--++==-⋅---+-⎰⎰⎰注：该题也可以化为1ln [ln(1)ln(1)]1xx dx x x x dxx +=+---⎰⎰再利用分部积分法计算.★★★<26>sin 2cos dx x x ⎰思路：将被积表达式sin 2cos dxx x写成22sec tan 2sin 2sin 2sin cos dx xdx d x x x x x ==,然后分部积分即可. 解：22sec tan sin 2cos 2sin 2sin 2sin cos dx dx xdx d xx x x xx x ===⎰⎰⎰⎰tan 1tan 1tan (csc cot )csc 2sin 22sin 21(sec ln csc cot ).2x x x x x dx xdx x x x x x C =--=+=+-+⎰⎰ 2、用列表法求如下不定积分. 知识点：仍是分部积分法的练习.思路分析：审题看看是否需要分项,是否需要分部积分,是否需要凑微分.按照各种方法完成.我们仍然用一般方法解出,不用列表法.★<1>3x xe dx ⎰思路：严格按照"反、对、幂、三、指〞顺序凑微分即可.解：33333331111111()3().3333933x x x x x x x xe dx xd e xe e dx xe e d x x e C ==-=-=-+⎰⎰⎰⎰★<2>(1)xx e dx +⎰思路：严格按照"反、对、幂、三、指〞顺序凑微分即可.解：(1)(1)(1)x x x x x x e dx x de x e e dx xe C +=+=+-=+⎰⎰⎰. ★<3>2cos x xdx ⎰思路：严格按照"反、对、幂、三、指〞顺序凑微分即可. 解：2222cos sin sin 2sin sin 2cos x xdx x d x x x x xdx x x xd x ==-=+⎰⎰⎰⎰★<4>2(1)x x e dx -+⎰思路：分项后分部积分即可. 解：222(1)()x x x x x x e dx x e dx e dx x d e e dx -----+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰★<5>ln(1)x x dx +⎰思路：严格按照"反、对、幂、三、指〞顺序凑微分即可. 解：222111ln(1)ln(1)()ln(1)-2221x x x dx x d x x x dx x +=+=++⎰⎰⎰★<6>cos x e xdx -⎰思路：严格按照"反、对、幂、三、指〞顺序凑微分即可. 解：cos cos ()cos sin xx x x exdx xd e e x e xdx ----=-=--⎰⎰⎰★3、sin x x是()f x 的原函数,求()xf x dx '⎰.知识点：考察原函数的定义与分部积分法的练习.思路分析：积分()xf x dx '⎰中出现了()f x ',应马上知道积分应使用分部积分, 条件告诉你sin x x是()f x 的原函数,应该知道sin ().x f x dx C x=+⎰解：()()()()xf x dx x f x xf x f x dx '=-⎰⎰⎰d()=又2sin cos sin cos sin (),(),();x x x x x x x f x dx C f x xf x x x x--=+∴=∴=⎰★★4、()x e f x x=,求()xf x dx ''⎰.知识点：仍然是分部积分法的练习.思路分析：积分()xf x dx ''⎰中出现了(f x ''>,应马上知道积分应使用分部积分.解：()(())()()()().xf x dx xd f x xf x f x dx xf x f x C ''''''==-=-+⎰⎰⎰又22(1)(1)(,(),();x x x x x e xe e e x e x f x f x xf x x x x x ---''∴=∴)===★★★★5、设nI=sinndx x ⎰,(2)n ≥；证明：211cos 21sin 1n n n x n I I n x n ---=-⋅+--.知识点：仍然是分部积分法的练习.思路分析：要证明的目标表达式中出现了nI ,1cos sinn x x-和2n I-提示我们如何在被积函数的表达式1sin n x 中变出1cos sin n x x- 和21sin n x- 呢？这里涉与到三角函数中1的变形应用,初等数学中有过专门的介绍,这里1可变为22sin cos x x +.证明：22sin cos x x +1=★★★★6、设f x ()为单调连续函数,f x -1()为其反函数,且()()f x dx F x C =+⎰ ,求：1f x x -⎰()d .知识点：此题考察了一对互为反函数的函数间的关系,还有就是分部积分法的练习. 思路分析：要明白1(())x f f x -=这一恒等式,在分部积分过程中适时替换. 解：fx x x f x x f x ⎰⎰-1-1-1()d =()-d(())又1(())x f f x -=又()()f x dx F x C =+⎰111111()()(())(())()(()).fx dx f x f f x d f x f x F f x C ------∴=-=-+⎰⎰1、求如下不定积分知识点：有理函数积分法的练习.思路分析：被积函数为有理函数的形式时,要区分被积函数为有理真分式还是有理假分式,假如是假分式,通常将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式,然后再具体问题具体分析. ★<1>33x dxx +⎰思路：被积函数为假分式,先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式,然后分项积分.解：3327272739333x x x x x x x +-==-+-+++2 ★★★<2>5438x x dx x x+--⎰思路：被积函数为假分式,先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式,然后分项积分. 解：545342323338()()()881,x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x+--+-+-++-+-==+++---22而3(1)(1),x x x x x -=+- 令23811x x A B C x xx x x +-=++-+-,等式右边通分后比拟两边分子x 的同次项的系数得：118A B C C B A ++=⎧⎪-=⎨⎪=⎩解此方程组得：843A B C =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩★★★<3>331dx x+⎰思路：将被积函数裂项后分项积分. 解：321(1)(1)x x x x +=+-+,令323111A Bx C x x x x +=+++-+等式右边通分后比拟两边分子x 的同次项的系数得：⎧⎪⎨⎪⎩A+B=0B+C-A=0A+C=3解此方程组得：112A B C =⎧⎪=-⎨⎪=⎩★★★<4>31(1)x dxx +-⎰思路：将被积函数裂项后分项积分.解：令32311(1)(1)(1)x A B C x x x x +=++----,等式右边通分后比拟两边分子x 的同次项的系数得：0,21,1A B A A B C =-=-+=,解此方程组得：0,1,2A B C ===.★★★<5>332(1)x dxx x ++⎰思路：将被积函数裂项后分项积分.解：3333232(1)(1)(1)x x x x x x +=++++,令32321(1)(1)(1)A B C D x x x x x x =+++++++ 等式右边通分后比拟两边分子x 的同次项的系数得：0320302A B A B C A B C D A +=⎧⎪++=⎪⎨+++=⎪⎪=⎩解此方程组得：2222A B C D =⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=-⎩. ★★★<6>2(2)(3)xdx x x ++⎰思路：将被积函数裂项后分项积分.解：22222222(2)(3)(2)(3)(2)(3)(2)(3)x x x x x x x x x x x +-+==-++++++++2212(3)(2)(3)x x x =-+++；令22223(2)(3)(3)A B C x x x x x =+++++++,等式右边通分后比拟两边分子x 的同次项的系数得： 06509622A B A B C A B C +=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解此方程组得：2222222223(2)(3)(3)2A B x x x x x C =⎧⎪=-∴=--⎨+++++⎪=-⎩ ★★★<7>331xdx x-⎰思路：将被积函数裂项后分项积分. 解：332333(1)3331111x x x x x x x -+==+--++-令323111A Bx C x x x x +=+--++,等式右边通分后比拟两边分子x 的同次项的系数得：003A B A B C A C +=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩解此方程组得：112A B C =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩而222222131313(21)(21)(21)2222222111111x x x x x x x x x x x x x x x x +++++==+=+++++++++++++ ★★★<8>2221(1)x x dxx --+⎰思路：将被积函数裂项后分项积分.解：22222222112(1)1(1)(1)x xx x x x x --=--+++++又由分部积分法可知：222212(1)11dx x dx x x x =++++⎰⎰★★★<9>(1)(2)(3)xdx x x x +++⎰思路：将被积函数裂项后分项积分.解：3313(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(1)(2)(3)x x x x x x x x x x x x x +-==-+++++++++++令3(1)(2)(3)123A B C x x x x x x =++++++++, 等式右边通分后比拟两边分子x 的同次项的系数得：054306323A B C A B C A B C ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解之得：333233223(1)(2)(3)12332A B x x x x x x C ⎧=⎪⎪=-∴=-+⎨++++++⎪⎪=⎩而111(1)(2)12x x x x =-++++★★★<10>221(1)(1)x dxx x ++-⎰思路：将被积函数裂项后分项积分. 解：22222112121(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x +-+==+++-+-+- 令22211(1)(1)(1)A B C x x x x x =++-++-+,等式右边通分后比拟两边分子x 的同次项的系数得：0,20,2A B A C A B C +=+=--=；解之得：11,,122A B C ==-=-.★★★<11>21(1)dxx x+⎰思路：将被积函数裂项后分项积分.解：令221(1)1A Bx C x x x x +=+++,等式右边通分后比拟两边分子x 的同次项的系数得：001A B C A +=⎧⎪=⎨⎪=⎩解之得：221111(1)10A xB x x x xC =⎧⎪=-∴=-⎨++⎪=⎩222221111ln (1)2(1)111ln ln(1).2x dx dx dx x d x x x x x x x x C C ∴=-=-++++=-++=⎰⎰⎰⎰ ★★★<12>22()(1)dx xx x ++⎰思路：将被积函数裂项后分项积分.解：22211()(1)(1)(1)x x x x x x =++++ 令22211()(1)1A B Cx D x x x x x x +=++++++,等式右边通分后比拟两边分子x 的同次项的系数得：0,0,0,1A BC A CD A B D A ++=++=++==,解之得：★★★★★<13>41dx x+⎰思路：将被积函数裂项后分项积分. 解：4221(1)(1)x x x +=++令411x +等式右边通分后比拟两边分子x 的同次项的系数得：0001A C B D A C B D +=⎧++=+=⎪⎪+=⎩解之得：112A B C D ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪=⎪⎩注：由导数的性质可证1)1)++-=此题的另一种解法：.C +注：由导数的性质可证22π+ ★★★★★<14>2222(1)x dxx x --++⎰思路：将被积函数裂项后分项积分. 解：222222211(1)(1)x x x x x x x x --++-+=-++++22222112131221(1)(1)x x x x x x x +=-+-++++++又22223112122(1)11xdxdx x x x x xx +=+++++++⎰⎰ 222221212121.(1)1x Cx x x x dx C x x x x +=+++--+∴=-+++++⎰注：此题再推到过程中用到如下性质：〔本性质可由分部积分法导出.〕假如记22()n n dx I x a =+⎰,其中n 为正整数,0a ≠,如此必有：122211[(23)]2(1)()n n n xI n I a n x a --=+--+ 2、求如下不定积分知识点：三角有理函数积分和简单的无理函数积分法的练习.思路分析：求这两种积分的根本思路都是通过适当的变换化为有理函数积分去完成. ★★<1>23sin dx x+⎰思路：分子分母同除以x 2sin 变为2csc x 后凑微分. 解：2222)csc cot 3sin 3csc 13cot 4d x dx xdxd x x x x==-=+++⎰⎰⎰)).x C x C =++ ★★<2>3cos dx x+⎰思路：万能代换！解：令tan 2x t=,如此22212cos ,;11t dt x dxt t -==++22222113cos 231).3cos 2dt dx dt t C t x t tdx x C x +∴==-++++∴++⎰⎰⎰⎰ 注：另一种解法是：2222sec 1123cos 2232cos 11cos sec 1222x dx dx dx dx x x xx ===++-++⎰⎰⎰⎰ ★★<3>2sin dxx+⎰思路：万能代换！解：令tan2x t =,如此2222sin ,;11t dt x dx t t ==++★★<4>1tan dxx+⎰思路：利用变换tan t x =！〔万能代换也可,但较繁！〕解：令tan t x =,如此2arctan ,;1dt x t dx t ==+2211tan 1(1)(1)dtdx dtt x t t t +∴==++++⎰⎰⎰★★<5>1sin cos dx x x++⎰思路：万能代换！解：令tan2x t =,如此2222212sin ,cos ,;111t t dtx x dx t t t -===+++222221ln 1ln 1tan 2112111dtdt x t t C Ct t t t t+∴==++=++-+++++⎰⎰★★<6>52sin cos dx x x+-⎰思路：万能代换！解：令tan 2x t =,如此2222212sin ,cos ,;111t t dt x x dx t t t -===+++222222152sin cos 213225211dt dxdt t x x t t t t t t +∴==+--+++-++⎰⎰⎰而22133221dt Ct t =++++⎰3tan 1.52sin cos x dx C x x +∴++-⎰ ★★★★<7>(54sin )cos dxx x+⎰思路一：万能代换！解：令tan 2x t =,如此2222212sin ,cos ,;111t t dt x x dx t t t -===+++ 222222222222(1)1(54sin )cos 21(585)(1)(54)1124()585(585)(1)dt dxt dt t x xt t t t t t tdtt t t t t ++∴==+-++-+++=-+++++-而22244(585)(1)(585)(1)(1)t t t t t t t =++-++-+, 令22411(585)(1)(1)585At B C D t t t t t t t t +=++-+++-+++,等式右边通分后比拟两边分子t 的同次项的系数得：55013301330554A C DBCD A C D B C D ++=⎧⎪++=⎪⎨-+-=⎪⎪+-=⎩解之得：116,;916C D ⎧⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪=-⎪⎪⎩⎩5A=27B=8224120711918161161(585)(1)(1)585t t t t t t t t t +∴=⋅+⋅-⋅-+++-+++思路二：利用代换sin t x =！解：令sin t x x π=，<2,如此dx x222(54sin )cos (54)(1)(54)(1)11(54)(1)(54)(1)(1)dx dt dt x x t t t t t t t t t ==-++-+-=+-+-+⎰⎰⎰令21(54)(1)5411A B C t t t t t =+++-+-+,等式右边通分后比拟两边分子t 的同次项的系数得：44090551A B C B C A B C ++=⎧⎪+=⎨⎪-+-=⎩解之得:216911*********(54)(1)9541812112A B t t t t t C ⎧=⎪⎪⎪=∴=⋅+⋅-⋅⎨+-+-+⎪⎪=-⎪⎩注：比拟上述两解法可以看出应用万能代换对某些题目可能并不简单！ ★★★★<8>1sin (1cos )sin xdxx x ++⎰思路：将被积函数分项得,对两个不定积分分别利用代换cos t x =和万能代换！解：1sin 11(1cos )sin (1cos )sin 1cos x x x x x x+=++++1sin 11(1cos )sin (1cos )sin 1cos x dx dx dxx x x x x +∴=++++⎰⎰⎰对积分1(1cos )sin dxx x +⎰,令cos ,(0,)t x x π=∈,如此dx x =令22111(1)(1)(1)A B C t t t t t =++-++-+,等式右边通分后比拟两边分子t 的同次项的系数得：0201A B A C A B C +=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩解之得：221411111111441412(1)(1)(1)12A B t t t t t C ⎧=⎪⎪⎪=-∴=⋅-⋅-⋅⎨-++-+⎪⎪=-⎪⎩221111111141412(1)(1)(1)1111ln 1ln 14421dt dt dt dt t t t t t t t C t∴=---++-+=--++⋅++⎰⎰⎰⎰ 对积分11cos dx x +⎰,令22212tan ,os ,211x t dt t c x dx t t -===++222222223222111tan ;111cos 211111sin 1111ln 1cos ln 1cos tan (1cos )sin 4421cos 211ln tan tan tan .22422dt dt x t t dx dt t C C t t x t t x x dx x x C x x x x x x C ++∴====+=+--++++++∴=--++⋅++++=+++⎰⎰⎰⎰⎰ ★★<9>：变无理式为有理式,变量替换t解：令t 如此 321,3;x t dx t dt +==22231333(1)333ln 111121.t dt t dt t dt dt t t t C t t t C ∴==-+=-+++++++⎰⎰⎰⎰★★<10>思路：变无理式为有理式,变量替换t解：令2,2;t x t dx tdt ==32323432221()22(1)2()11212.2323t tdt t t tdt t t t dt tt t t C x x x C +∴==-+=-++=-++=-++⎰⎰⎰★★<11>思路：变无理式为有理式,变量替换t解：令21,2;t x t dx tdt +== ★★★<12>：变无理式为有理式,变量替换t解：令87,8;t x t dx t dt ==755333242224228888()111244ln(1)4ln(1t t t t t t t tdt dt dt t t dt t t t t t t t t C C+--+∴====-+++++=-+++=+⎰⎰⎰⎰ ★★★<13>3：变无理式为有理式,三角换元. 解：令2tan ,,sec .2x t t dx tdt π=<=则3323223tan sec tan sec tan sec (sec 1)sec sec 1sec sec .3ttdt t tdt td t t d t tt t C C ∴===-=-+⎰⎰⎰⎰ ★★★<14>思路,三角换元. 解：令sin ,;2x a t t π=<如此cos dx a tdt =；注：另一种解法,分项后凑微分. ★★★<15>思路：换元.解：令11x t x +=-,如此22.(1)dx dt x -=-2133113)222.dt t dt t CC -∴=-=-=-+=⎰ 总习题四★1、设()f x 的一个原函数是2x e -,如此()().f x =<A>2x e -<B>-22x e - <C>-42x e -<D>42x e - 知识点：原函数的定义考察. 思路分析：略.解：<B>.★2、设()arcsin xf x dx x C =+⎰,如此()dx f x =⎰.知识点：原函数的定义性质考察.思路分析：对条件两边求导数后解出()f x 后代入到要求的表达式中,积分即可. 解：对式子()arcsin xf x dx x C =+⎰两边求导数得：★★3、设222(1)ln2x f x x -=-,且(())ln f x x ϕ=,求()x dx ϕ⎰.知识点：函数的定义考察. 思路分析：求出()f x 后解得()x ϕ,积分即可.解：22222111()1(1)lnln ,()ln ,(())ln ,1()1211x x t x f x f t f x t x x x ϕϕϕ-+++-==∴=∴=-----又()11(())ln ,,()()11x x f x x x x x x ϕϕϕϕ++=∴∴=--=;12()(1)2ln 111x x dx dx dx x x C x x ϕ+∴==+=+-+--⎰⎰⎰ ★★★4、设F()x 为()f x 的原函数,当>0x 时,有2()F()sin 2f x x x =,且(0)1F =,()0F x ≥试求()f x . 知识点：原函数的定义性质考察.思路分析：注意到()()dF x f x dx =,先求出()F x ,再求()f x 即可. 解：22()()sin 2()()sin 2f x F x x f x F x dx xdx =∴=⎰⎰；即2221()()sin 2,(())sin 2,2F x dF x xdx F x xdx =∴=⎰⎰⎰221(())2sin 2(1cos 4)sin 4;4F x xdx x dx x x C ∴==-=-+⎰⎰又21(0)1,1;(())sin 41;(0.)4F C F x x x x =∴=∴=-+>又()0,()F x F x >∴又22()()sin 2,()f x F x x f x =∴.5、求如下不定积分.知识点：求不定积分的综合考察. 思路分析：具体问题具体分析.★★<1>⎰思路：变无理式为有理式,变量替换t解：令t 如此222,,55t t x dx dt -==-22435222221()(2)()55252535.t t t dt t t dt t t C C C -∴=⋅-=--=--+==⎰⎰⎰ ★<2>1)x >思路：变无理式为有理式,变量替换sec x t =.解：令sec ,02x t t π=<<,如此sec tan dx t tdt =.sec tan 1arccos sec tan t t dt dt t C Ct t x∴==+=+⎰⎰★★★<3>2394x xx xdx -⎰思路：将被积函数2394x x x x- 变为2222()33221[()]1()33x x xxx x --=后换元或凑微分. 解：令2()3x t =,如此22()ln 33x dt dx =.★★<4>266(0)x dx a a x >-⎰思路：凑微分.解：23336666632111133()x dx dx dx t x a x a x a x ===---⎰⎰⎰,令,★★<5>思路：将被积函数进展后换元或先凑微分再换元. 解：方法一：(1x +⎰令11sec ,0,222x tt π+=<<,如此1sec tan ;2dx t tdt= 方法二：22(1x =+⎰2t=再令tan,2t z z π=<,如此2sec ,dt zdz =2sec 22sec 2ln sec tan sec ln 21.zdz zdz z z C z C x C ∴==++==++⎰⎰★★★<6>10(2)dxx x+⎰思路：倒代换！解：令1x t =，,如此21,dx dt t =-9101010210101010101010111(21)()1(2)2110212021211ln(21)ln().20202dx t t dt d t dt dt x x t t t t t x t C C x +∴=-=-=-=-+++++=-++=++⎰⎰⎰⎰⎰ ★★★★<7>7cos 3sin 5cos 2sin x x dxx x -+⎰思路：大凡被积函数的分子分母皆为同一个角的正余弦函数的线性组合的形式的积分,一般思路是将被积函数的分子写成分母和分母的导数的线性组合的形式,然后分项分别积分即可. 解：7cos 3sin 5cos 2sin (5cos 2sin )x x x x x x '-=+++★★★★<8>(1sin )1cos xe x dx x++⎰思路：分项积分后对前一积分采用分部积分,后一积分不动.解：2(1sin )sin ()(tan )1cos 1cos 1cos 22cos 2x x x xx e x e e xe xdx dx e dx x x x x +=+=++++⎰⎰⎰ ★★★★6、求不定积分：23()()()[]()()f x f x f x dxf x f x ''-''⎰知识点：分部积分法考察兼顾凑微分的灵活性. 思路分析：分项后,第二个积分显然可凑现成的微分,分部积分第二个积分,第一个积分不动,合并同种积分,出现循环后解出加一个任意常数即可.解：2233()()()()()()[]()()()()f x f x f x f x f x f x dx dx dx f x f x f x f x ''''-=-''''⎰⎰⎰236632233333111111()ln 3()66x t a dx dt dt Ca x a t a t a t a a t a -∴==--=-+---++⎰⎰⎰22tan sec tan 22222cos 2tan tan tan tan tan 22222tan .2xx x x x x x x x x e x x x xdx e dx e d e dx x x x x x xe d e dx e e dx e dxxe C =+=+=+=-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰。

不定积分换元法例题

【不定积分的第一类换元法】已知()()f u du F u C =+⎰求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ 【凑微分】()()f u du F u C ==+⎰ 【做变换，令()u x ϕ=，再积分】(())F x C ϕ=+ 【变量还原，()u x ϕ=】【求不定积分()g x dx ⎰的第一换元法的具体步骤如下：】（1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ϕϕ=⎰⎰（2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰（3）作变量代换()u x ϕ=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()u f u d =⎰（4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+⎰求出原函数：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()d u u C f u F ==+⎰（5）将()u x ϕ=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()f u du F u C ==+⎰(())F x C ϕ=+【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ϕ=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。

__________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】1、9999(57)(57)(5711(57)(57)55)(57)dx d x d x dx x x x x +=+⋅=+⋅=+⋅++⎰⎰⎰⎰ 110091(57)(57)(57)10111(57)5550d C x x x x C =⋅=⋅+=+++++⎰ 【注】1(57)'5,(57)5,(57)5x d x dx dx d x +=+==+⇒⇒2、1ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =⋅=⋅⎰⎰⎰221(l 1ln ln (ln )2n )2x x x d C x C =⋅=+=+⎰【注】111(ln )',(ln ),(ln )x d x dx dx d x x x x===⇒⇒3（1）sin tan cos co si s cos cos n cos cos xdx d x xdx dx x d x x x xx --====⎰⎰⎰⎰⎰cos ln |cos |c ln |co s |o s xx d C x C x=-=-+=-+⎰【注】(cos )'sin ,(cos )sin ,sin (cos )x x d x xdx xdx d x =-=-=-⇒⇒ 3（2）cos cos cot sin sin sin sin xdx x xdx dx d xx x x ===⎰⎰⎰⎰sin ln |si ln |sin |n |sin xx d C x C x==+=+⎰【注】(sin )'cos ,(sin )cos ,cos (sin )x x d x xdx xdx d x ==⇒=⇒ 4（1）1()11d dx a x a x a d x x a x =⋅=⋅++++⎰⎰⎰ ln |1(|)ln ||d C a x a x a x a xC ++=⋅=+=+++⎰【注】()'1,(),()a x d a x dx dx d a x +=+==+⇒⇒ 4（2）1()11d dx x a x x x d a a x a =⋅=⋅----⎰⎰⎰ ln |1(|)ln ||d C x a x a x a x aC --=⋅=+=--+⎰【注】()'1,(),()x a d x a dx dx d x a -=-==-⇒⇒4（3）22221111111212x a a x a dx dx x a x a dx dx a a a x dx x ⎛⎫- ⎪--+⎝⎛⎫=-+⎭==- ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ ()11ln ||ln ||ln22x ax a x a C C a a x a-=--++=++5（1）2sec ()sec tan sec sec tan sec tan sec sec tan x x x x xdx x x x xdx dx x x+==⋅+++⎰⎰⎰ tan sec tan sec sec ()()ln |sec tan |se tan c tan d x x x x x xd x x C x x +===+++++⎰⎰5（2）2221cos sec cos c cos sin os cos 1sin x xdx dx dx x xx dx d xx x ====-⋅⎰⎰⎰⎰⎰ 2sin si 1111sin 111sin ln ln 1n sin 2112sin 121s sin sin in d x x x x x xd C C x xx --⎛⎫==-⋅=+=+ ⎪--+++⎝⎭⎰⎰ 6（1）2csc ()csc cot csc csc cot csc cot csc csc cot x x x x xdx x x x xdx dx x x+==⋅+++⎰⎰⎰ ()()ln |csc cot |csc c cot csc csc cot csc o ot t c d d x x x x x xx x C x x --+=-==+-+++⎰⎰6（2）2csc ()csc cot csc csc cot csc cot csc csc cot x x x x xdx x x x xdx dx x x==⋅----⎰⎰⎰()(cot csc csc co )ln |csc t csc co cot |c t sc cot d x x x x d x x xx x C x -+-=---==+⎰⎰7（1）arcsin x C ==+7（2）arcsind xC ax d x =====+⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎰⎰8（1）221arctan 11dx dx x C x x ==+++⎰⎰8（2）222222221111arctan 111d dx x dx C a x a x a a a x x x d dx x a x a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪=====+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⎝⎭⎛⎫⎪+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰，（0a >）9（1）352525s sin cos sin cos sin i c s o c n o s xd x xdx x x x x x d x =⋅-⋅=⎰⎰⎰862575cos cos (1cos )cos cos (cos cos )cos 86x xx x d x x x d x C =--⋅⋅=-⋅=-+⎰⎰9（2）353434c sin cos sin cos sin cos os sin x x xdx x x x dx d x x =⋅=⋅⎰⎰⎰468322357sin sin sin sin (1sin )sin (sin 2sin sin )sin 438x x xx x d x x x x d x C =-⋅=-+⋅=-++⎰⎰10（1）1ln 111l l n ln ln l ln n n ln dx d x C x x x x dx d x x x x =⋅=⋅=⋅=+⋅⎰⎰⎰⎰ 10（2）222211111ln ln ln ln ln n ln l dx d C x x x x d x xx x d x x ⋅=⋅=⋅=⋅=-+⎰⎰⎰⎰11（1）242424222222()arctan(21)222)121122(xdx d x C x x x x x x x x dx x dx ====+++++++++++⎰⎰⎰⎰ 11（2）2242422422121()2521112252524()xdx d x xdx d x x x x x x x x +===++++++++⎰⎰⎰⎰ 2222222121(1)111arctan()8442111122x d d x x C x x ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭===+⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰12、s 22dx dx dx =⋅=⋅=⎰⎰⎰2s i 2s C C =⋅=-+=-+⎰13、222211222122xx xx e dx e d x d e x C e ===+⎰⎰⎰14、 43333co sin sin cos sin sin s sin i 4sin s n xx xdx x x d C dx x x x d x =⋅=⋅=⋅=+⎰⎰⎰⎰15、100(25)x dx +⎰10010010011(25)(25)2(25)(25)(25)2dx d x x x x d x =+⋅=+++⋅+⋅=⎰⎰⎰ 1001100111(25)(25)(25)101111(25)22202x x x d C x C =⋅=⋅+=+++++⎰16、2222222111sin sin s 2in sin cos 22x x x x x dx x xdx dx x d C =⋅=⋅=⋅=-+⎰⎰⎰⎰ 17、ln 1ln dx d d x x x ===⎰3122ln ln (1ln )(1ln )2(1ln )2(1ln )3d x d xd x d x x x C =-=+-+=+-++⎰⎰18、arctan arctan arctan arc arct 2tan 2an arcta 11arct 1n an x x x xx e dx e e e d e C x dx d x xx +=⋅=⋅=⋅=++⎰⎰⎰⎰ 19、22(1)x d xd dx x ===--2(1)d x C -=-=20、si n cos x dx d x =-=3221coscos 2cosx C x d x --=-=+⎰21、111()ln(22222)2x x x x x xx x x e dx d e e dx d e C e e e ee =⋅=⋅==+++++++⎰⎰⎰⎰22、23222ln ln ln l 1ln ln ln n 3x x dx x x x x d C x dx d x x =⋅=⋅=⋅=+⎰⎰⎰⎰ 23、C ====+24、2221()177(112()()()2224224d x dx x x x x d x dx -===-+-+-+-⎰⎰⎰1()1d x C C x -==-+=+⎰ 25、计算⎰，22a b ≠【分析】因为：22222222(sin cos )'2sin cos 2cos (sin )2()sin cos a x b x a x x b x x a b x x +=+-=- 所以：222222(sin cos )2()sin cos d a x b x a b x xdx +=- 2222221sin cos (sin cos )2()x xdx d a x b x a b =⋅+-【解答】2222221a b ==-2222221C a b =+-【不定积分的第二类换元法】已知()()f t dt F t C =+⎰求()(())()(())'()g x dx g t d t g t t dt ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰【做变换，令()x t ϕ=，再求微分】 ()()f t dt F t C ==+⎰ 【求积分】1(())F x C ϕ-=+ 【变量还原，1()t x ϕ-=】__________________________________________________________________________________________ 【第二换元法例题】1、22sin sin sin 2si 2n t x t t t tdt t t dt tdt =⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰2cos t t C C =-+-+变量还原2（1）2211122111211t x t dt td t dt dt t t t t t =⎛⎫⋅=⋅==- ⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ ())2l n |1|l |t t t C C =-++-++变量还原2（2）22(1)(1)2(1)1111221t x t d t dt dt t t t t dt t t =--⎛⎫⋅=⋅==- ⎪⎝⎭--⎰⎰⎰⎰⎰令()()12ln ||21ln |1t t t C C ==-++-++变量还原3、343324332(1)1(1)(1)4(1)3tx t dx t t t d t t t dt =-⋅=--⋅⋅⋅-⎰ 746312()1274t t t t dt C ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭⎰12t C -+⎝=⎭变量还原4、222221112(1)(1)12t x t dt td dt t t t t t t =⋅====⋅=+++⎰⎰⎰2arctan t t C C =+变量还原5、ln 111111111(1)11ln xx e t x t dx dt dt e t t t t t t t t t d d =========⎛⎫⋅=⋅==- ⎪+++++⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰令 l n ||l n |1|l n l n 11xxx t e te t t C C C te========-++=+++=+变量还原6、6223236522111661(1)(61)11t x t t dt dt t t t t t dt t t d t =⎛⎫⋅=⋅==- ⎪++++==⎝⎭⎰⎰⎰⎰6(arctan )t t t C C +=-+变量还原【注】被积函数中出现了两个根式时，可令t =，其中k 为,m n 的最小公倍数。

不定积分分部积分法例题及解析

不定积分分部积分法例题及解析说到不定积分，真是个让人又爱又恨的话题。

就像我们每天都要喝水，但有时候喝多了也会觉得腻。

今天咱们就来聊聊分部积分法，这可是解决不定积分的一把好手。

别担心，不会把你淹没在公式里，我会让它变得简单又有趣。

分部积分法就像一个老朋友，帮你把复杂的事情变得简单。

想象一下，你在吃一个超大汉堡。

最开始，汉堡看起来巨无霸，一口咬下去可能觉得咽不下去。

但是，如果把它分成两半，慢慢享用，突然就变得简单了。

这就是分部积分法的魅力。

公式长得像个数学怪兽，但其实它的样子是这样的：(int u , dv = uv int v , du)。

听起来是不是有点晦涩？别担心，咱们一起来拆解它。

选取 (u) 和 (dv) 是关键。

就像选汉堡的配料，你得挑你最喜欢的。

选择 (u) 的时候，通常选那些容易微分的，比如多项式；而 (dv) 通常是剩下的部分，容易积分的。

这个选择就像是搭配衣服，有些组合看起来很美，有些就像灾难现场。

对了，选择好之后，要记得微分 (u)，积分 (dv)。

没错，这就是我们要的材料。

举个简单的例子。

想象一下我们要计算 (int x e^x , dx)。

这里的 (u) 可以选 (x)，而(dv) 自然就是 (e^x , dx)。

所以，微分 (u) 得到 (du = dx)，积分 (dv) 得到 (v = e^x)。

把这些放回公式里，咱们就能得出结论。

这样一来，整个积分问题瞬间变得可口多了。

把 (u) 和 (v) 带回公式，得到的就是 (x e^x int e^x , dx)。

看到没，原本复杂的事情，现在变得一目了然。

简单积分就行了，结果是 (x e^x e^x + C)。

听起来简单吗？其实也就是那么回事儿。

分部积分法不是万能钥匙，有时候也会碰到难题。

这就像考试时遇到让人抓狂的题目，你可能要多花些时间去琢磨。

这时候，不妨再试一次，或者换个角度思考。

数学的魅力就在于它的灵活性，你总能找到出路。

不定积分例题及标准答案

第4章不定积分
习题4-1
1.求下列不定积分：
知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分!
★(１）
思路: 被积函数5
2
x -=,由积分表中的公式（2)可解。

解:53
22
23x dx x C --==-+⎰
★（2）dx
⎰
思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项，分别积分。

解:1
14111
3332223()2
4dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★（3)22x x dx +⎰（）
思路：根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。

解:22
32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）
★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项,分别积分。

解：3153
222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰⎰ ★★（5)4223311x x dx x +++⎰
思路:观察到422223311311
x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。

解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x
++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6）2
21x dx x +⎰
思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。

不定积分例题及答案

不定积分例题及答案求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)2xx思路: 被积函数522xx x-，由积分表中的公式（2）可解。

解：5322223x dx x Cxx--=-+⎰ ★(2)3(x dxx⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1141113332223()()24dx x x dx x dx x dx x x C x--=-=-=-+⎰⎰⎰⎰3x ★(3)22x x dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：2232122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)(3)x x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：315322222(3)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰x ★★(5)4223311x x dxx +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x Cx x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。

一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2思路:分项积分。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

不定积分100道例题及解答
摘要：
1.进项税额抵扣概述

2.进项税额抵扣的计算方法
3.进项税额抵扣的实例分析
4.总结
正文：

一、进项税额抵扣概述
进项税额抵扣是指企业在购进货物、劳务、服务等过程中支付的增值税，
可以在销售货物、劳务、服务等过程中产生的销项税额中抵扣。这种抵扣机制
有助于减轻企业税收负担，促进社会公平竞争，提高资源配置效率。

二、进项税额抵扣的计算方法
进项税额抵扣的计算方法分为以下两步：
1.计算可抵扣进项税额：企业购进货物、劳务、服务等过程中支付的增值
税税额，称为进项税额。在一般情况下，企业可以全部抵扣这些进项税额。但
需要注意的是，有些项目，如用于非生产性支出、免税项目、简易计税方法项
目等，其进项税额不能全部抵扣。

2.计算应抵扣进项税额：企业在销售货物、劳务、服务等过程中产生的销
项税额，与可抵扣进项税额相抵消，得到应抵扣进项税额。应抵扣进项税额=
销项税额 - 进项税额。

三、进项税额抵扣的实例分析
假设一家企业 A，在某季度购进货物、劳务、服务等过程中支付的增值税
税额为 100 万元。该企业在销售货物、劳务、服务等过程中产生的销项税额
为 120 万元。则该企业的应抵扣进项税额为 20 万元（120-100）。这意味着
该企业需要向税务部门缴纳的增值税为 20 万元。

四、总结
进项税额抵扣是我国税收制度的重要组成部分，有助于减轻企业税收负
担，促进社会公平竞争，提高资源配置效率。企业应准确计算进项税额抵扣，
确保税收合规。