勾股定理分类题型(全)

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北师大版八年级数学上册-第一章勾股定理题型分类归纳(无答案)

勾股定理题型分类一：借助勾股定理求边长或面积例1：如图，在ΔABC中，AB=15cm, AC=13cm, BC=14cm, 求ΔABC的面积例2: 在RtΔABC中，∠ACB=90º, AB=10cm, AB边上的高CD=4.8cm, 则RtΔABC的周长为______cm. 变式练习1：如图在RtΔABC中，∠C=90º, 点D是BC上一点，AD=BD,若AB=8, BD=5,求CD的长变式练习2：如果直角三角形的三边长分别为10，6，x, 则最短边上的高为________例3: 如图，以RtΔABC的三边为斜边向外做等腰三角形，若斜边AB=3, 则图中ΔABE的面积是_____，阴影部分面积为____，ΔAHC, ΔBCF, ΔABE的面积间的关系为______变式练习3：如图，RtΔABC的周长为12，以AB, AC为边向外作正方形ABPQ和正方形ACMN,若这两个正方形的面积之和为25，则ΔABC的面积是___二：勾股定理解决一些实际问题例4：如图，校园内有两根电线杆，相距8米，一根电线杆高13米，另一根电线杆高7米，若一只小鸟从一根电线杆的顶端飞到另一根电线杆的顶端，则小鸟至少飞多少米？例5：如图，一辆小汽车在一条限速为70km/h的公路上直线行驰，某一时刻刚好行驰到路对面车速检测仪A正前方30m的B处，过了2s后，测得小汽车（位于C处）与车速检测仪A的距离为50m, 这辆小汽车超速了吗？变式练习4：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE=1m, 将它往高推送6m(水平距离BC=6m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF=4m, 秋千的绳索始终拉的很直，则绳索AD的长度为____m变式练习5：如图，有一只喜鹊在一颗3m 高的小树顶觅食，它的巢筑在距离该树24m 远的一颗大树上，大树高14m, 且巢距离树顶部1m, 当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s, 那么它至少需要多长时间才能赶回巢中?三：勾股定理的逆定理及应用例6：若a, b, c 是ΔABC 的三边长，且a, b, c 满足（a −5）2+(b −12)2+|c-13|=0, 则ΔABC 是直角三角形吗？说明理由例7：如图，MN 为我国领海线，其方向为南北方向，MN 以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私艇A 发现正东方有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B 密切注意，反走私艇B 和走私艇C 的距离是13海里，A, B 两艇的距离是5海里，反走私艇B 和走私艇C 的距离是12海里，若走私艇C 的速度不变，则最早会在什么时候进入我国领海？变式练习6：如图，在ΔABC 中，BC=6, AC=8, 在ΔABE 中，DE 是AB 边上的高，DE=7, ΔABE 的面积为35求：（1）AB 的长（2）四边形ACBE 的面积变式练习7：在B 港口有甲，乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60º方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿什么方向航行的吗？四：:勾股定理求解折叠问题例8：如图，将长方形纸片ABCD 的一边AD 向下折叠，使D 和F 点重合，已知AB=CD=8, BC=AD=10,求EC 的长变式练习8：如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm, BC=8cm, 现将ΔABC折叠，使点B 与点A重合，折痕为DE,则BE的长为___变式练习9：如图，在长方形ABCD中，AB=8, BC=6, P为AD上一点，将ΔABP沿BP翻折至ΔEBP, PE与CD相交于点O,且OE=OD, 则AP的长为___五：勾股定理求解距离最短距离例9：已知某植物绕着树干向上生长（1）如果树干的周长（即图中圆柱的底面周长）为30cm, 绕行一圈升高（即圆柱的高）40cm, 则它绕行一圈的长度是多少？（2）如果树干的周长为80cm, 绕行一圈的长度是100cm, 绕10圈到达数顶，则数干高多少？变式练习10. 如图，一只蚂蚁在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对顶角G 处，若AB=3cm, BC=5cm, BF=6cm, 问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇？这时蜘蛛走过的路程是多少厘米？变式练习11. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=18, BC=12, BF=10, 点M在棱AB 上，且AM=6, 点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N, 它需要爬行的最短路程的平方为______六: 勾股定理在动点问题中的应用例10：如图，在ΔABC中，∠ACB=90º, AB=5cm, BC=3cm, 点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A-C-B-A运动，当点P回到点A时，停止运动，设运动时间为t(t>0)s(1) 若点P在AC上，且满足PA=PB, 求t的值（2）若点P恰好在∠BAC平分线上，求t的值变式练习12. 如图，已知ΔABC中，∠B=90º, AB=8cm, BC=6cm, P, Q是ΔABC边上的两个动点，点P 从点A开始沿A-B方向运动，且速度为1cm/s, 点Q从点B开始沿B-C-A方向运动，且速度为2cm/s, 它们同时出发，设运动时间为t(1) 求运动几秒时，ΔAPC是等腰三角形（2）当点Q在边CA上运动时，求能使ΔBCQ成为等腰三角形的运动时间七：利用勾股定理探究规律例11：如图，已知ΔABC是腰长为1的等腰直角三角形，以RtΔABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰直角三角形ACD, 再以RtΔACD的斜边AD为直角边画第三个等腰直角三角形ADE... 依次类推，第2013个等腰直角三角形的斜边的平方为______变式练习13：如图，OP=1, 过点P作P P1⊥OP, 且P P1=1, 得O P12=2, 再过点P1作P1P2⊥O P1,且P1P2=1，得O P22=3, 又过点P2作P2P3⊥O P2,且P2P3=1，得O P32=4…依次作下去，得2=_______O P2012。

3.1勾股定理(七大题型)(解析版)

（苏科版）八年级上册数学《第3章勾股定理》3.1 勾股定理●勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2.◆1、勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形；◆2、勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边.◆3、勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角形三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，则a 2 + b 2 = c 2、 a 2 = c 2 - b 2、b 2 = c 2 - a 2；22b a c +=、22b c a -=、22a c b -=.【拓展】◎1、锐角三角形的三边关系是：在锐角三角形中，若三边长分别为a ，b ，c ，其中c 为最大边，则a 2+b 2＞c 2.◎2、钝角三角形的三边关系是：在钝角三角形中，若三边长分别为a ，b ，c ，其中c 为最大边，则a 2+b 2＜c 2.●通过拼图证明勾股定理的思路：（1）图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变.（2）根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式.（3）利用等式性质变化验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论.●下面列举几种证明方法：◆1、“赵爽弦图”证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即c2=12ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2．◆2、我国数学家邹元治的证明方法证明：在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即（a+b）2＝c2+12ab×4，化简得：a2+b2＝c2．◆3、美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即12（a+b）（a+b）=12ab×2+12c2，化简得：a2+b2＝c2．【例题1】在直角三角形中，两条直角边的长分别为9和12，则斜边的长为．【分析】根据勾股定理直接求出斜边的长即可．【解答】解：∵在直角三角形中，两条直角边的长分别为9和12，=15．故答案为：15．【点评】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．【变式1-1】已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b．（1）如果a＝7，b＝24，求c；（2）如果a＝12，c＝13，求b．【分析】（1）利用勾股定理计算c=（2）利用勾股定理计算b=【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得：c==＝25；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：b==＝5．【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即：如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2．注意勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．【变式1-2】（2022秋•东方期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，AD 平分∠BAC ，则AD 等于（）A ．6B ．7C ．8D ．9【分析】根据等腰三角形的三线合一得到AD ⊥BC ，BD ＝DC =12BC ＝6，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴AD ⊥BC ，BD ＝DC =12BC ＝6，在Rt △ABD 中，AD 8，故选：C ．【点评】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2．【变式1-3】（2022秋•新泰市期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则点C 到直线AB 的距离是（）A ．185B ．3C ．125D ．2【分析】作CD⊥AB于点D，根据勾股定理可以求得AB的长，然后根据面积法，可以求得CD的长．【解答】解：作CD⊥AB于点D，如右图所示，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB=5，∵AC⋅BC2=AB⋅CD2，∴3×42=5CD2，解得CD＝2.4，故选：C．【点评】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积法解答．【变式1-4】（2021春•连州市期中）如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE＝4，则AD等于（）A．10B．12C．24D．48【分析】本题主要考查勾股定理运用，解答时要灵活运用直角三角形的性质．【解答】解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∠BAE＝∠DEC＝60°∴∠AEB＝∠CDE＝30°∵30°所对的直角边是斜边的一半∴AE＝6，DE＝8又∵∠AED ＝90°根据勾股定理∴AD ＝10．故选：A ．【点评】解决此类题目的关键是熟练掌握运用直角三角形两个锐角互余，30°所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的性质．【变式1-5】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长（大于12AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ，则CD 的长为．【分析】根据勾股定理可以求得AB 的长，然后根据线段垂直平分线的判定方法可以得到MN 为线段AB 的垂直平分线，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到CD 的长．【解答】解：∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ==5，连接NA ，NB ，MA ，MB ，如图所示，∵分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长（大于12AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，∴NA ＝NB ，MA ＝MB ，∴直线MN 垂直平分AB ，∵直线MN 交AB 于点D ，∴点D 为AB 的中点，∴CD 为Rt △ACB 斜边上的中线，∴CD =12AB =52，故答案为：52．【点评】本题考查勾股定理、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式1-6】（2022春•河北区期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．求AB与BC的长．【分析】根据勾股定理求出BC即可；根据勾股定理求出AD，求出AB即可．【解答】解：∵CD⊥AB，AC＝20，CD＝12，BD＝9，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，在Rt△CDB中，由勾股定理得：BC=15，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD=16，∴AB＝AD+DB＝16+9＝25．答：AB的长为25，BC的长为15．【点评】本题考查了勾股定理的应用，关键是对定理的掌握和运用．【变式1-7】如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，CE是AB边上的中线，CD是AB边上的高，且AE＝5．（1）求CD的长；（2）求DE的长．【分析】（1）先证明三角形ABC是直角三角形，再根据等面积法即可求解；（2）根据勾股定理求出BD的长即可求解．【解答】解：（1）∵CE是AB边上的中线，∴AE＝BE＝5，∴AB＝10，又∵AC＝8，BC＝6，∴AC2+BC2＝82+62＝100＝AB2，∴△ABC是直角三角形，又∵CD是△ABC的高，∴S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，∴CD=AC⋅BCAB=4.8；（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得，BD=3.6，∴DE＝BE﹣BD＝5﹣3.6＝1.4．【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【例题2】勾股定理的验证方法很多，用面积（拼图）证明是最常见的一种方法．如图所示，一个直立的长方体在桌面上慢慢地倒下，启发人们想到勾股定理的证明方法，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，证明中用到的面积相等关系是（）A．S△ABC+S△ABD＝S△AFG+S△AEFB．S梯形BCEF＝S△ABC+S△ABF+S△AEFC．S△BDH＝S△FGHD．S梯形BCEF＝S△ABC+S△ABF+S△AEF+S△FGH【分析】通过用两种方法计算梯形BCEF的面积即可证明勾股定理．【解答】解：∵矩形ACBD旋转得出矩形AGFE，∴△ABC≌△FAE，∴AB＝AF，∠BAC＝∠AFE，∵∠AFE+∠EAF＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝90°，∴△ABF是等腰直角三角形，由题意知：S梯形BCEF =12（a+b）•（a+b）=12(a+b)2=12a2+ab+12b2，S△ABC+S△ABF+S△AEF=12ab+12ab+12c2=ab+12c2，∴12a2+ab+12b2=ab+12c2，∴a2+b2＝c2，故选：B．【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，等腰直角三角形的判定，表示出图形面积的不同表达形式，建立等量关系是解题的关键．【变式2-1】（2022春•三门峡期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】由正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A 、大正方形的面积为：c 2，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：12ab ×4+（b ﹣a ）2＝a 2+b 2，∴a 2+b 2＝c 2，故A 选项能证明勾股定理；B 、大正方形的面积为：（a +b ）2，也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a 2+b 2+2ab ，∴（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ，∴B 选项不能证明勾股定理．C 、大正方形的面积为：（a +b ）2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：12ab ×4+c 2＝2ab +c 2，∴（a +b ）2＝2ab +c 2，∴a 2+b 2＝c 2，故C 选项能证明勾股定理；D、梯形的面积为：12（a+b）（a+b）=12（a2+b2）+ab，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：12ab×2+12c2＝ab+12c2，∴12（a2+b2）+ab＝ab+12c2，∴a2+b2＝c2，故D选项能证明勾股定理；故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的证明、正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式，熟练掌握内弦图、外弦图是解题的关键．【变式2-2】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9B．6C．4D．3【分析】分析题意，首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为：a﹣b；接下来根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：12ab=12×8＝4，从图形中可得，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，∴4×12ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3．故选：D．【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式．【变式2-3】（2022春•高安市期中）勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则下列说法：①a2+b2＝25，②a﹣b＝1，③ab＝12，④a+b＝7．正确的是（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【分析】根据勾股定理和大正方形面积为25，可以判断①；根据小正方形面积为1，可以判断②；根据大正方形面积为25，小正方形面积为1，可以得到四个直角三角形的面积，从而可以得到ab的值，即可判断③；根据完全平方公式可以判断④．【解答】解：由图可得，a2+b2＝c2＝25，故①正确；∵小正方形面积为1，∴小正方形的边长为1，∴a﹣b＝1，故②正确；∵大正方形面积为25，小正方形面积为1，∴12ab＝（25﹣1）÷4，解得ab＝12，故③正确；∵a2+b2＝25，ab＝12，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，∴a+b＝7，故④正确；故选：D．【点评】本题考查勾股定理的证明、正方形的性质、直角三角形的面积，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．【变式2-4】如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC ＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A ．36B ．76C ．66D ．12【分析】由题意∠ACB 为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC 延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x ，则x 2＝122+52＝169，所以x ＝13，所以这个风车的外围周长是：（13+6）×4＝76．故选：B ．【点评】此题考查了勾股定理的证明，本题是勾股定理在实际情况中的应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．【变式2-5】用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理c 2＝a 2+b 2．（2）如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，AC ＝4，BC ＝3，求CD 的长度；（3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a +b ）2的值（a ＜b ）．【分析】（1）根据大正方形的面积的两种表示方法求解即可；（2）根据直角三角形的面积公式求解即可；（3）根据小正方形的为1得出2ab ＝12，再结合c 2＝13即可求解．【解答】解：（1）如图1，大正方形的面积＝c 2＝4×12ab +(b ―a )2，整理得，c2＝a2+b2；（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB=5，∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，∴CD=AC⋅BCAB=125；（3）∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，∴c2＝13，（b﹣a）2＝1，∴a2+b2﹣2ab＝1，∴2ab＝12，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝13+12＝25，即（a+b）2的值为25．【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出大正方形的面积的两种表示方法是解题的关键．【变式2-6】（2022春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．【分析】连接BF，由图1可得正方形ACDE的面积为b2，由图2可得四边形ABDF的面积为三角形ABF 与三角形BDF面积之和，再利用正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等即可证明．【解答】证明：如图，连接BF，∵AC ＝b ，∴正方形ACDE 的面积为b 2，∵CD ＝DE ＝AC ＝b ，BC ＝a ，EF ＝BC ＝a ，∴BD ＝CD ﹣BC ＝b ﹣a ，DF ＝DE +EF ＝a +b ，∵∠CAE ＝90°，∴∠BAC +∠BAE ＝90°，∵∠BAC ＝∠EAF ，∴∠EAF +∠BAE ＝90°，∴△BAE 为等腰直角三角形，∴四边形ABDF 的面积为：12c 2+12（b ﹣a ）（a +b ）=12c 2+12（b 2﹣a 2），∵正方形ACDE 的面积与四边形ABDF 的面积相等，∴b 2=12c 2+12（b 2﹣a 2），∴b 2=12c 2+12b 2―12a 2，∴12a 2+12b 2=12c 2，∴a 2+b 2＝c 2．【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握勾股定理的证明方法，一般利用拼图的方法，再利用面积相等证明．【例题3】如图，当正方形B的面积为64，正方形C的面积为100时，正方形A的面积为（）A．36B．25C．16D．6【分析】直接根据勾股定理进行解答即可．【解答】解：由图可知，△DEF是直角三角形，∴DE2+DF2＝EF2，∵正方形B的面积＝DF2，正方形C的面积＝EF2，正方形A的面积＝DF2，正方形B的面积为64，正方形C的面积为100，∴正方形A的面积＝100﹣64＝36．故选：A．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．【变式3-1】（2022秋•渠县期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为（）A．8B．9C．10D．12【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．【解答】解：由勾股定理，得正方形E的面积＝正方形C的面积+正方形D的面积，正方形E的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积，则正方形B的面积＝18﹣6﹣4＝8，故选：A．【点评】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式3-2】（2022秋•南京期末）如图，在等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AB＝AB、AC、BC为直径画半圆，其中所得两个月形图案AFCD和BGCE（图中阴影部分）的面积之和等于（）A．8B．4C．2D．【分析】由等腰三角形的性质及勾股定理可求解AC＝CB＝2，进而可求得S△ACB＝2，再利用阴影部分的面积＝以AC为直径的圆的面积+△ACB的面积﹣以AB为直径的半圆的面积计算可求解．【解答】解：在等腰Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝∴AC 2+BC 2＝AB 2＝8，∴AC ＝CB ＝2，∴S △ACB =12AC •BC ＝2，∴S 阴影＝π（AC 2）2+S △ACB ―12π（AB 2）2＝π+2﹣π＝2，故选：C ．【点评】本题主要考查等腰直角三角形，勾股定理，理清阴影部分的面积＝以AC 为直径的圆的面积+△ACB 的面积﹣以AB 为直径的半圆的面积是解题的关键．【变式3-3】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中S A ＝4，S B ＝2，S c ＝2，S D ＝1，则S ＝（）A ．25B ．20C ．9D ．5【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可．【解答】解：如图，根据勾股定理的几何意义，可知：S＝S F+S G＝S A+S B+S C+S D＝4+2+2+1＝9；即S＝9；故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式3-4】如图，Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1、S2、S2．如果S2+S1﹣S3＝18，则阴影部分的面积为　．【分析】由勾股定理得出S2﹣S3＝S1，再根据S2+S1﹣S3＝18即可得出S1的值，即为图中阴影部分的面积．【解答】解：由勾股定理得，BC2﹣AC2＝AB2，即S2﹣S3＝S1，∵S2+S1﹣S3＝18，∴S 1＝9，由图形可知，阴影部分的面积=12S 1，∴阴影部分的面积=92，故答案为：92．【点评】本题考查了勾股定理，由勾股定理得出S 2﹣S 3＝S 1，是解题的关键．【变式3-5】（2022秋•绿园区校级期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为16cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为 cm 2．【分析】如图根据勾股定理有S 正方形2+S 正方形3＝S 正方形1，S 正方形C +S 正方形D ＝S 正方形3，S 正方形A +S 正方形B ＝S 正方形2，等量代换即可求四个小正方形的面积之和．【解答】解：如右图所示，根据勾股定理可知，S 正方形2+S 正方形3＝S 正方形1，S 正方形C +S 正方形D ＝S 正方形3，S 正方形A +S 正方形B ＝S 正方形2，∴S 正方形C +S 正方形D +S 正方形A +S 正方形B ＝S 正方形2+S 正方形3＝S 正方形1＝162＝256（cm 2）．故答案为：256．【点评】本题考查了勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式3-6】如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．（1）求证：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求证：CD＝BE；②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．【分析】（1）根据直角三角形的定义和垂直的定义，可以证明结论成立；（2）①根据AAS可以证明结论成立；②根据S梯形ADEB＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，代入字母计算即可证明结论成立．【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ADC+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠BCE；（2）①∵AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，由（1）知：∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECB，AC=CB∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD＝BE；②由图可知：S 梯形ADEB ＝S △ADC +S △ACB +S △CEB ，∴(a b )(a b )2=ab 2+c 22+ab 2，化简，得：a 2+b 2＝c 2．【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【例题4】（2022秋•门头沟区期末）已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8．求BC 边上的高的长．【分析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，根据等腰三角形的性质求出BD =12BC ＝4，根据勾股定理求出AD 的长即可．【解答】解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵AB ＝AC ＝5，BC ＝8，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD =12BC ＝4，∴AD==3，即BC 边上的高的长为3．【点评】此题考查了等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、勾股定理是解题的关键．【变式4-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E两点，若BE＝5，CE＝3，则AC的长为．【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得BE＝AE＝5，然后在Rt△ACE中，利用勾股定理进行计算，即可解答．【解答】解：连接AE，∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE＝5，∵∠C＝90°，CE＝3，∴AC==4，故答案为：4．【点评】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式4-2】（2021春•齐齐哈尔月考）已知：△ABC中，AC＝2，∠C＝30°，∠B＝45°，求AB和BC的长．【分析】作AD⊥BC，得∠ADC＝∠ADB＝90°，根据勾股定理和直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半计算即可．【解答】解：作AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵∠C＝30°，∴AD=12AC＝1，在Rt△ACD，根据勾股定理得，CD=∵∠B＝45°，∴∠DAB＝∠B＝45°，∴BD＝AD＝1，则BC＝1∴AB=【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握勾股定理和直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半，这两个定理的应用是解题关键．【变式4-3】（2022春•阳新县期末）△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长为（）A．14B．4C．14或4D．以上都不对【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC＝BD+CD，在钝角三角形中，BC＝CD﹣BD．【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，则BD＝5，在Rt△ABD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，则CD＝9，故BC＝BD+DC＝9+5＝14；（2）钝角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，则BD＝5，在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，则CD＝9，故BC的长为DC﹣BD＝9﹣5＝4．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，把三角形边的问题转化到直角三角形中用勾股定理解答．【变式4-4】如图，Rt△ABC中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边上动点．连接CD，在点D的运动过程中，当△ACD 为等腰三角形时，AD 的长为．【分析】分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质，分别求解即可解决问题．【解答】解：①当AD ＝AC 时，△ACD 为等腰三角形，∵AC ＝15，∴AD ＝AC ＝15．②当CD ＝AD 时，△ACD 为等腰三角形，∵CD ＝AD ，∴∠DCA ＝∠CAD ，∵∠CAB +∠B ＝90°，∠DCA +∠BCD ＝90°，∴∠B ＝∠BCD ，∴BD ＝CD ，∴CD ＝BD ＝DA ＝12.5；③当CD ＝AC 时，△ACD 为等腰三角形，如图，作CH ⊥BA 于点H ，则12×AB ×CH =12×AC ×BC ，∵AC ＝15，BC ＝20，AB ＝25，∴CH ＝12，在Rt △ACH 中，AH =9，∵CD ＝AC ，CH ⊥BA ，∴DH ＝HA ＝9，∴AD ＝18，综上所述：AD 的值为15或12.5或18．故答案为：15或12.5或18．【点评】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．【例题5】如图，阴影部分表示以Rt △ABC 的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S 1和S 2．若S 1+S 2＝7，AB ＝6，则△ABC 的周长是（）A ．12.5B ．13C ．14D ．15【分析】根据勾股定理得到AC 2+BC 2＝AB 2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可．【解答】解：由勾股定理得，AC 2+BC 2＝AB 2，∵S 1+S 2＝7，∴12×π×（AC 2）2+12×π×（BC 2）2+12×AC ×BC ―12×π×（AB 2）2＝7，∴AC ×BC ＝14，∴（AC +BC ）2＝AC 2+BC 2+2AC •BC ＝62+2×14＝64，∴AC +BC ＝8（负值舍去），∴△ABC 的周长＝AB +AC +BC ＝8+6＝14，故选：C ．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2．【变式5-1】如图，三角形ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于D，DE⊥AB于E，已知CD=3，BD=5，求三角形ABC的周长．【分析】根据角平分线的性质得到DE=CD=3，根据勾股定理求出BE的长，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=3，AC=AE，∵DE⊥AB，DE=3，BD=5，根据勾股定理得，BE=4，∴AC2+82=（AE+4）2，解得AE=6，则AC=6，∴三角形ABC的周长=AC+AB+BC=24．【点评】本题考查的是角平分线的性质和勾股定理的应用，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．【变式5-2】如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于E，若AB＝10cm，AC＝6cm，则△BED周长为（）A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC＝AE，可求出BE，再利用勾股定理列式求出BC，最后根据三角形的周长列式计算即可得解．【解答】解：∵AD是∠CAB的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴CD＝DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=ADDC=DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE＝6，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，由勾股定理得，BC==8，∴△BDE的周长＝BE+BD+CD＝BE+BD+CD＝BE+BC＝4+8＝12（cm）．故选：B．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记性质并求出三角形全等是解题的关键．【变式5-3】在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，连接AC，点E为AC的中点，连接BE，DE．若DE=132，BC＝12，则△ABE的周长为．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一边得到AC＝2BE＝2DE＝2AE＝13，再利用勾股定理求出AB＝5即可得到答案．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为AC的中点，∴AC＝2BE＝2DE＝2AE＝13，∵BC＝12，∴AB=5，∴△ABE的周长为AE+BE+AB=5+2×132=18，故答案为：18．【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．【例题6】（2022春•范县期中）如图，正方形ABCD中，AE⊥BE，且AE＝3，AB＝5，则阴影部分的面积是（）A．13B．15C．18D．19【分析】利用正方形的面积减去三角形的面积即可求出阴影部分的面积．【解答】解：∵AE⊥BE，且AE＝3，AB＝5，∴BE=4，∴S△ABE=12AE⋅BE=12×3×4=6，∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，∴S正＝5×5＝25，∴S阴影＝S正﹣S△ABE＝25﹣6＝19．故选：D．【点评】本题主要考查正方形的性质与勾股定理，解题的关键是用割补法求阴影部分的面积．【变式6-1】如图，在△ABC中，AC＝BC＝17，AB＝16，求△ABC的面积．【分析】过C作CD⊥AB于D，根据等腰三角形的性质和勾股定理，以及三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，∵AC＝BC＝17，AB＝16，∴AD＝BD=12AB＝8，∵AD2+CD2＝AC2，∴CD=15，∴S△ABC =12AB•CD=12×16×15=120．【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【变式6-2】（2022春•桐城市期末）如图2，在△ABC 中，AC ＝8，AB ＝4，∠BAC ＝120°，求△ABC 的面积．【分析】过点C 作CD ⊥AB ，交BA 的延长线于点D ，由勾股定理求出CD 的长，利用三角形面积公式可求出答案．【解答】解：过点C 作CD ⊥AB ，交BA 的延长线于点D ，∵∠BAC ＝120°，∴∠DAC ＝60°，∴∠ACD ＝30°，∵AC ＝8，∴AD =12AC ＝4，∴CD =∴S △ABC =12AB •CD =12×=【点评】此题主要考查了勾股定理，三角形面积公式，求得出AB ，CD 的长是解题的关键．【变式6-3】如图在四边形ABCD 中，∠ABC ＝120°，AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，AB ＝4，CD ＝5，求该四边形的面积．【分析】延长DA 和CB 交于O ，求出∠O ＝30°，根据含30度角的直角三角形性质求出OB 和OD ，根据勾股定理求出OA 和OC ，根据三角形面积公式求出即可．【解答】解：延长DA 和CB 交于O ，∵AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，∴∠DAB ＝∠C ＝∠OAB ＝90°，∵∠D ＝60°，∴∠O ＝30°，∵AB ＝4，DC ＝5，∴OB ＝2AB ＝8，OD ＝2DC ＝10，由勾股定理得：OA ==OC =∴四边形ABCD 的面积是:S △OCD ﹣S △OAB =12×OC ×CD ―12×OA ×AB =12×5―12×【点评】本题考查了含30度角的直角三角形性质，勾股定理，三角形的面积的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式6-4】如图，已知在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，BD 平分∠ABC ，AB ＝4，BD ＝10，BC ＝8，求四边形ABCD 的面积．【分析】过点D 作DE ⊥BA 的延长线于点E ，利用勾股定理和角平分线的性质可得出DE ＝DC ＝6，再利用三角形的面积公式结合S 四边形ABCD ＝S △ABD +S △BCD 可求出四边形ABCD 的面积．【解答】解：过点D 作DE ⊥BA 的延长线于点E ，如图所示．∵∠BCD＝90°，BD＝10，BC＝8，∴BD=6，∵BD平分∠ABC，∴DE＝DC＝6，∴S四边形ABCD ＝S△ABD+S△BCD，=12AB•DE+12BC•CD，=12×4×6+12×8×6，＝36．【点评】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出DE＝8是解题的关键．【例题7】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2+CD2＝2AB2．（1）求证：AB＝BC；（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE+CD．【分析】（1）根据勾股定理AB2+BC2＝AC2，得出AB2+BC2＝2AB2，进而得出AB＝BC；（2）首先证明CDEF是矩形，再根据△BAE≌△CBF，得出AE＝BF，进而证明结论．【解答】证明：（1）连接AC．∵∠ABC＝90°，∴AB2+BC2＝AC2．∵CD⊥AD，∴AD2+CD2＝AC2．∵AD2+CD2＝2AB2，∴AB2+BC2＝2AB2，∴BC2＝AB2，∵AB＞0，BC＞0，∴AB＝BC．（2）过C作CF⊥BE于F．∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，∴∠FED＝∠CFE＝∠D＝90°，∴四边形CDEF是矩形．∴CD＝EF．∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴在△BAE与△CBF中∴∠AEB=∠BFC ∠BAE=∠CBF AB=BC，∴△BAE≌△CBF．（AAS）∴AE＝BF．∴BE＝BF+EF＝AE+CD．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及三角形的全等证明，根据已知得出四边形CDEF是矩形以及△BAE≌△CBF是解决问题的关键．【变式7-1】已知AD是△ABC的中线，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，试说明AC2＝AE2﹣BE2．【分析】根据直角三角形的性质和勾股定理可得AE2﹣BE2＝（AD2﹣DE2）﹣（BD2﹣DE2）＝AD2﹣BD2＝AD2﹣CD2＝AC2，从而证明结论．【解答】证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD．∵∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴AE2﹣BE2＝（AD2﹣DE2）﹣（BD2﹣DE2）＝AD2﹣BD2＝AD2﹣CD2＝AC2．故AC2＝AE2﹣BE2．【点评】考查了直角三角形的性质和勾股定理，注意线段相互间的转化．【变式7-2】已知，如图，△ABC中，AB＞AC，AD为BC边上的高，M是AD边上任意一点．求证：AB2﹣AC2＝MB2﹣MC2．。

勾股定理(10个考点梳理+题型解读+提升训练)(原卷版)24-25学年八年级数学上学期期中考点

勾股定理（10个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC 的两直角边长分别为，斜边长为，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：a b ，c 222a b c +=，， .运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段【清单02】勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.【清单03】勾股定理逆定理 222a c b =-222b c a =-()222c a b ab =+-1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.2.如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如）.（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若，则△ABC 不是直角三角形.注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.【清单04】勾股数像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。

勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数【清单05】勾股定理应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．　本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题【考点题型一】一直直角三角形的两边，求第三边长【典例1】已知一直角三角形两直角边的长分别为9，12，则它的斜边长为（）A ．15B ．16C ．17D ．25【变式1-1】如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =8，AB =10，则BC 的长为（）a b c ，，222a b c +=c 2c 22a b +222c a b =+222c a b ¹+222a b c +<222a b c +>cA．6B C．24D．2【变式1-2】如图，一个零件的形状如图所示，已知∠CAB=∠CBD=90°，AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm，则CD长为（）cm．D．15A．5B．13C．1445【变式1-3】如图，∠C=∠ABD=90∘，AC=4，BC=3，BD=12，则AD的长等于．【考点题型二】等面积法斜边上的高【典例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=6，CB=8．(1)求AB的长；(2)求AB边上的高CD是多少？【变式2-1】已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的高长为（）A．52B．6C．132D．6013【变式2-2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，AB=4，AC=2，则CD的长为．【变式2-3】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，则高CD=．【考点题型三】作无理数的线段【典例3】如图，在数轴上点A表示的数为a，则a的值为（）A B．―1C．―1+D．―1―【变式3-1】如图，点B，D在数轴上，OB=3，OD=BC=1,∠OBC=90°,DC长为半径作弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的是（）A B+1C1D【变式3-2】如图，OC=2,BC=1，BC⊥OC于点C，连接OB，以点O为圆心，OB长为半径画弧与数轴交于点A，若点A表示的数为x，则x的值为（）A B．C―2D．2―【变式3-3】如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段AB⊥AC于点A，且AB长为1个单位长度，若以点C为圆心，BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（）A3B．3―C3D．3―【考点题型四】勾股定理的证明【典例4】用图1所示的四个全等的直角三角形可以拼成图2的大正方形．请根据信息解答下列问题：(1)请用含a，b，c的代数式表示大正方形的面积．方法1：______．方法2：______．(2)根据图2，求出a，b，c之间的数量关系．(3)如果大正方形的边长为10，且a+b=14，求小正方形的边长．【变式4-1】下面四幅图中，能证明勾股定理的有（）A．一幅B．两幅C．三幅D．四幅【变式4-2】勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等．当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，以下是利用图1证明勾股定理的完整过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2证明：连接BD ，过点D 作DF ⊥BC 交BC 延长线于点F ，则DF =EC =b ―a∵S 四边形ADCB =S △ACD +S △ABC =12b 2+12ab 又∵S 四边形ADCB =S △ADB +S △DCB =12c 2+12a (b ―a )∴∴12b 2+12ab =12c 2+12a (b ―a )∴a 2+b 2=c 2请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB =90°，求证：a 2+b 2=c 2．【变式4-3】我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c 的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ）．(1)如图1，请用两种不同方法表示图中空白部分面积．方法1：S 阴影=______；方法2：S 阴影=______；根据以上信息，可以得到等式：______；(2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；(3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若a=6，b=3，求阴影部分的面积．【考点题型五】直角三角形的判定【典例5】下列长度的三条线段，能构成直角三角形的是（）A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．8，12，13【变式5-1】以下列各组数据为三角形三边，能构成直角三角形的是（）A．4，8，7B．5，12，14C．2，2，4D．7，24，25【变式5-2】下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A B．1,C．6,7,8D．2,3,4【变式5-3】下列几组数中，不能构成直角三角形的是（）A．9，12，15B．15，36，39C．10，24，26D．12，35，36【考点题型六】勾股定理的逆定理的运用【典例6】如图，一块四边形的空地，∠B=90°，AB的长为9m，BC的长为12m，CD的长为8m，AD的长为17m．为了绿化环境，计划在此空地上铺植草坪，若每铺植1m2草坪需要花费50元，则此块空地全部铺植草坪共需花费多少元？【变式6-1】绿都农场有一块菜地如图所示，现测得AB＝12m，BC＝13m，CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，求这块菜地的面积．【变式6-2】定义：顶点都在网格点上的多边形叫格点多边形．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD的每一个顶点都在格点上，(1)求∠ABC的度数；(2)求格点四边形ABCD的面积．【变式6-3】如图，已知一块四边形的草地ABCD，其中∠B=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，DA=24m，求这块草地的面积．【考点题型七】勾股数的应用【典例7】勾股数，又名毕氏三元数，则下列各组数构成勾股数的是（）A ．13，14，512B ．1.5，2，2．5C ．5，15，20D ．9，40，41【变式7-1】下列各组数中，是勾股数的是( )A ．13，14，15B ．3，4，7C ．6，8，10D ．12【变式7-2】下列数组是勾股数的是（）A ．2，3，4B ．0.3，0.4，0.5C ．5，12，13D ．8，12，15【变式7-3】下列各组数中是勾股数的是（）A ．4，5， 6B ．1.5，2， 2.5C ．11，60， 61D ．12【考点题型八】构造直角三角形解决实际问题【典例8-1】如图，一架2.5m 长的梯子斜靠在墙上，此时梯足B 距底端O 为0.7m ．(1)求OA 的长度．(2)如果梯子下滑0.4m ，则梯子滑出的距离是否等于0.4m ？请通过计算来说明理由．【典例8-2】小强和小伟都喜欢放风筝．一天放学后他们互相配合又放起了风筝（如图所示），小伟想测量风筝的铅直高度CE ，于是他进行了如下测量：①测得小强牵线的手到风筝的水平距离BD 为15m ；②根据小强手中剩余线的长度计算出风筝线BC （假设BC 是直的线）的长为39m ；③小强牵线的手离地面的距离DE 为1.5m ．(1)求此时风筝的铅直高度CE．(2)若小强想使风筝沿CD方向下降16m（不考虑其他因素），则他应该收线多少米？【典例8-3】台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC=300km，BC=400km，又AB=500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．(1)求∠ACB的度数；(2)海港C受台风影响吗？为什么？(3)若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【变式8-1】一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是6cm，内壁高8cm．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是5cm，则这支铅笔的长度是（）cm．A．10B．15C．20D．25【变式8-2】如图是台阶的示意图，若每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB的长度是（）A．185cm B．195cm C．205cm D．215cm【变式8-3】如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞米．【变式8-4】如图，大风把一棵树刮断，量得AC=4m，BC=3m，则树刮断前的高度为m．【变式8-5】我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是尺【变式8-6】如图，开州大道上A，B两点相距14km，C，D为两商场，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．已知DA=8km，CB=6km．现在要在公路AB上建一个土特产产品收购站E，使得C，D两商场到E站的距离相等，(1)求E站应建在离A点多少km处？(2)若某人从商场D以5km/h的速度匀速步行到收购站E，需要多少小时？【变式8-7】某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当AC⊥BC时，A点到B，C两点的距离分别为500km和300km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．(1)求BC；(2)海港C受台风影响吗？为什么？【典例9】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD 折叠，使点C落在边AB的C′点．(1)求DC′的长度；(2)求△ABD的面积．【变式9-1】如图，长方形ABCD中，AB=9，BC=6，将长方形折叠，使A点与BC的中点F重合，折痕为EH ，则线段BE 的长为（）A ．53B ．4C ．52D ．5【变式9-2】如图，折叠长方形的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知AB =8cm ，BC =10cm ，则EC 的长为（）A ．3cmB ．4cmC ．3.5cmD ．5cm【变式9-3】如图，将长方形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点D 恰好落在BC 边上点F 处，若AB =3，AD =5，求EC 的长．【考点题型十】面展开图-最短路径问题【典例10-1】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是．【典例10-2】如图，圆柱形杯子容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯子内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为cm．【变式10-1】临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为AC 的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（）A．20米B．25米C．30米D．15米【变式10-24cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是（）A．9B．+6C．D．12【变式10-3】如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=9cm，BC=6cm，BF=5cm，点M在棱AB上，且AM=3cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为cm．【变式10-4】如图，圆柱的底面周长是10cm，圆柱高为12cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为．【变式10-5】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是．【变式10-6】如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，其实他们仅仅少走了m，却踩伤了花草．【变式10-7】如图，在一个边长为6cm的正方形纸片ABCD上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是cm．。

勾股定理的十五种应用题型梳理

勾股定理知识点及其十五种应用归纳梳理知识点概括一：直角三角形与勾股定理直角三角形三边的性质：1、直角三角形的两个锐角互余2、直角三角形斜边的中线，等于斜边的一半3、直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。

勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理二：勾股数勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数。

常见的勾股数：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等扩展：用含字母的代数式表示n 组勾股数1）221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2）2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）3）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）。

注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数应用1 勾股定理理解三角形例题1 在⊙O 中，直径AB ＝15，弦DE ⊥AB 于点C ．若OC ：OB ＝3 ：5，则DE 的长为（） A ．6 B ．9 C ．12 D ．15【解析】如图所示：∵直径AB ＝15，∴BO ＝7.5，∵OC ：OB ＝3：5，∴CO ＝4.5∵DE ⊥AB ，∴DC 6，∴DE ＝2DC ＝12，选C变式1 如图，在Rt △ACB 中，900.5C sinB ∠=︒=，，若6AC =，则BC 的长为（）A ．8B ．12C ．D ．【解析】∵s i nB =AC AB=0.5，∴AB =2AC ，∵AC =6，∴AB =12，∴BC ，选C 变式2 如图，Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC = 3，把Rt △ABC 沿直线BC 向右平移3个单位长度得到△A 'B 'C ' ，则四边形ABC 'A '的面积是（）A ．15B ．18C ．20D ．22【解析】在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，AB =5，AC =3，由勾股定理可得： ∵Rt △A ’C ’B ’是由Rt △ACB 平移得来，A ’C ’=AC =3，B ’C ’=BC =4 ∴A'C'B 11S =A'C'B'C'=34622⋅⋅⨯⨯=△，又∵BB ’=3，A ’C ’= 3，∴ABB'A'S BB'A 'C'339=⨯=⨯=四边形 ∴A'C'B'ABC'A'ABB'A'S S S =96=15=++△四边形四边形，选A变式3 某几何体的三视图及相关数据(单位:cm )如图所示，则该几何体的侧面积是（）A ．2652cm πB ．260cm πC ．265cm πD ．2130cm π【解析】由三视图可判断出该几何体为圆锥，圆锥的高为12cm ，底部圆的半径为5cm ，∴圆锥母线长为：l cm ，又∵S =R l π⋅⋅圆锥侧，将R =5cm ，=13l cm 代入，∴2S ==65()R l cm ππ⋅⋅圆锥侧，选C应用2 勾股定理与网格问题例题2 如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，若BD 是△ABC 的高，则BD 的长为（）A B C D【解析】由勾股定理得：AC S △ABC ＝3×3﹣111121323222⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯＝72∴1722AC BD ⋅=BD 7=，∴BD D ．变式4 如图，在45⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin ACB ∠的值为（）．A B C ．35 D ．45【解析】如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ，则90ADC ∠=︒∴5AC ==，∴4sin 5AD ACB AC ∠==，选D 变式5 如图所示，ABC ∆的顶点在正方形网格的格点上，则tan A 的值为（）A ．12B ．2C ．2D ．【解析】如图，取格点E ，连接BE ，由题意得：90AEB =︒∠，BE =，AE ，∴1tan =2BE A AE ==，选A 应用3 利用勾股定理解决折叠问题例题3 如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF ，GH 折叠（点E 、H 在AD 边上，点F ，G 在BC 边上），使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A '、D 点的对称点为D ，若90FPG ，A EP △为8，D PH △的面积为2，则矩形ABCD 的长为（）A．10 B ．C ．10 D ．+【解析】∵四边形ABC 是矩形，∴AB =CD ，AD =BC ，设AB =CD =x ，由翻折可知：P A ′=AB =x ，PD ′=CD =x ，∵△A ′EP 的面积为8，△D ′PH 的面积为2，又∵90FPG ，∠A ′PF =∠D ′PG =90°，∴∠A ′P D ′=90°，则∠A ′PE +∠D ′PH =90°，∴∠A ′PE =∠D ′HP ， ∴△A ′EP ∽△D ′PH ，∴A ′P 2：D ′H 2=8：2，∴A ′P ：D ′H =2：1，∵A ′P =x ，∴D ′H =12x ，∵S △D ′PH =12D ′P ·D ′H =12A ′P ·D ′H ，即11222x x ⋅⋅=，∴x （负根舍弃），∴AB =CD D ′H =DH ，D ′P =A ′P =CD ，A ′E =2D ′P ，∴PE =PH =，∴AD =D变式6 如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ；把纸片展平后再次折叠，使点A 落在EF 上的点A '处，得到折痕BM ，BM 与FF 相交于点N ．若直线B A ’交直线CD 于点O ，BC ＝5，EN ＝1，则OD 的长为（）A B C D 【解析】∵EN =1，∴由中位线定理得AM =2由折叠的性质可得A ′M =2，∵AD ∥EF ，∴∠AMB =∠A ′NM∵∠AMB =∠A ′MB ，∴∠A ′NM =∠A ′MB ，∴A ′N =2，∴A ′E =3，A ′F =2过M 点作MG ⊥EF 于G ，∴NG =EN =1，∴A ′G =1（微信公众号：数学第六感）由勾股定理得MG =，∴BE =DF =MG∴OF ：BE =2：3，解得OF OD B 变式7 如图，三角形纸片ABC ，点D 是BC 边上一点，连接AD ，把ABD △沿着AD 翻折，得到△AED ，DE 与AC 交于点G ，连接BE 交AD 于点F .若DG GE =，3AF =，2BF =，△ADG 的面积为2，则点F 到BC 的距离为( )A B C D【分析】首先求出△ABD 的面积．根据三角形的面积公式求出DF ，设点F 到BD 的距离为h ，根据12•BD •h ＝12•BF •DF ，求出BD 即可解决问题．∴S △ADG ＝S △AEG ＝2，∴S △ADE ＝4 由翻折可知，ADB ≌ADE ，BE ⊥AD ，∴S △ABD ＝S △ADE ＝4，∠BFD ＝90°，∴12•（AF +DF ）•BF ＝4∴12•（3+DF ）•2＝4，∴DF ＝1，∴DB设点F 到BD 的距离为h ，则12•BD •h ＝12•BF •DF ，∴h ，选B 应用4 利用勾股定理证明线段的平方关系例题4 如图，在△ABC 中，AD ，BE 分别是BC ，AC 边上的中线，且AD ⊥BE ，垂足为点F ，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，则下列关系式中成立的是（）A ．a 2+b 2＝5c 2B ．a 2+b 2＝4c 2C ．a 2+b 2＝3c 2D ．a 2+b 2＝2c 2【解析】设EF ＝x ，DF ＝y ，∵AD ，BE 分别是BC ，AC 边上的中线，∴点F 为△ABC 的重心，AF ＝AC ＝b ，BD ＝a ，∴AF ＝2DF ＝2y ，BF ＝2EF ＝2x ，∵AD ⊥BE ，∴∠AFB ＝∠AFE ＝∠BFD ＝90°，在Rt △AFB 中，4x 2+4y 2＝c 2，①在Rt △AEF 中，4x 2+y 2＝b 2，②；在Rt △BFD 中，x 2+4y 2＝a 2，③②+③得5x 2+5y 2＝（a 2+b 2），∴4x 2+4y 2＝（a 2+b 2），④①﹣④得c 2﹣（a 2+b 2）＝0，即a 2+b 2＝5c 2．选A ．变式8 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD ，对角线AC BD 、交于点O ．若24AD BC ==，，则22AB CD +=__________．【解析】∵四边形ABCD 是垂美四边形，∴AC ⊥BD∴∠AOD =∠AOB =∠BOC =∠COD =90°，由勾股定理得，AD 2+BC 2=AO 2+DO 2+BO 2+CO 2AB 2+CD 2=AO 2+BO 2+CO 2+DO 2，∴AD 2+BC 2=AB 2+CD 2，∵AD =2，BC =4∴22AB CD +=AD 2+BC 2=22+42=20变式9 如图，在△ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点P 在斜边AB 上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，90PCQ ∠=︒，则222,,PA PB PC 三者之间的数量关系是_____．【解析】过点C 作CD ⊥AB ，交AB 于点D ，∵△ACB 为等腰直角三角形，CD ⊥AB ，∴CD =AD =DB ，∵P A 2=（AD -PD ）2=（CD -PD ）2=CD 2-2CD •PD +PD 2，PB 2=（BD +PD ）2=（CD +PD ）2=CD 2-2CD •PD +PD 2，∴P A 2+PB 2=2CD 2+2PD 2=2（CD 2+PD 2），在Rt △PCD 中，由勾股定理可得PC 2=CD 2+PD 2，∴P A 2+PB 2=2PC 2，应用5 利用勾股定理解决实际问题：求梯子滑落高度例题5 如图，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.5米，则梯子顶端A 下落了（）米．A ．0.5B ．1C ．1.5D ．2【解析】在Rt △ABC 中，AB =2.5米，BC =1.5米，故AC 米．在Rt △ECD 中，AB =DE =2.5米，CD =（1.5+0.5）米，故EC 米，故AE =AC ﹣CE =2﹣1.5=0.5米．选A ．变式10 如图所示，一架梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，此时梯子下端B 与墙角C 的距离为1.5米，当梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.9米．则梯子顶端A 沿墙下移了______米．【解析】由题意得： 2.5AB =米， 1.5BC =米∴在Rt ACB ∆中，AC 2=AB 2-BC 2=2.52-1.52=4，∴AC =2米，∵BD =0.9米，∴CD =2.4米．∵ED AB =∴在Rt ECD ∆中，EC 2=ED 2-CD 2=2.52-2.42=0.49，∴EC =0.7米，∴AE =2-0.7=1.3米．变式11 如图，墙面AC 与地面BC 垂直，一个梯子AB 长2.5 米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.9米，则梯子顶端A 下落了_____米.【分析】要求下滑的距离,显然需要分别放到两个直角三角形中,运用勾股定理求得AC 和CE 的长即可【解析】在Rt △ACB 中,AC 2=AB 2-BC 2=2.52-1.52=4，∴AC =2,∵BD =0.9，∴CD =2.4.在Rt △ECD 中,EC 2=ED 2-CD 2=2.52-2.42=0.49∴.EC =0.7∴AE =AC -EC =2-0.7=1.3应用6 利用勾股定理解决实际问题：求旗杆高度例题6 从电线杆离地面8米处拉一根长为10m 的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有( )． A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【分析】首先根据题意画出图形，得到一个直角三角形．根据勾股定理，即可解答．【解析】由题意得，在Rt △ABC 中，AC ＝8，AB ＝10，所以BC ＝6．选C变式12 如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m 处，此时绳子末端距离地面2m ，则绳子的长度为____m ．【解析】设绳子长度为xm ，则AC AD xm ==，(2)AB x m =-，8BC m =，在Rt ABC 中，222AB BC AC +=，即222(2)8x x -+=，解得：17x =，绳子的长度为17m ．应用7 利用勾股定理解决实际问题：求蚂蚁爬行距离例题7 如图，圆柱的高为8cm ，底面半径为6πcm ，一只蚂蚁从点A 沿圆柱外壁爬到点B 处吃食，要爬行的最短路程是（）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm【解析】底面圆周长为6212ππ=cm ，底面半圆弧长为6cm ，展开图如图所示，连接AB ，∵BC =8cm ，AC =6cm ，∴22226810AB AC BC ，选C 变式13 如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是（）A ．13米B ．12米C ．5米D 米【解析】如图所示，过D 点作DE ⊥AB ，垂足为E ,∵AB =13，CD =8，又∵BE =CD ，DE =BC ，∴AE =AB −BE =AB −CD =13−8=5,∴在Rt △ADE 中，DE =BC =12，∴22222512169,AD AE DE =+=+= ∴AD =13（负值舍去）故小鸟飞行的最短路程为13m ，选A应用8 利用勾股定理解决实际问题：求大树折断前的高度例题8“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)()A．3B．5C．4.2D．4【解析】设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得：x2+42=（10-x）2解得：x=4.2，答：折断处离地面的高度OA是4.2尺，选C变式14《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子（1丈＝10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺．问折断处高地面的距离为（）A．5.45尺B．4.55尺C．5.8尺D．4.2尺【分析】设折断后的竹子的高为x尺，根据勾股定理列出方程求解即可.【解析】设折断后的竹子高AC为x尺，则AB长为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：AC2＋BC2＝AB2，即：x2＋32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55，选B.变式15如图，一根竖直的木杆在离地面3.1m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为__________．（参考数据：sin380.62,cos380.79,tan380.78︒≈︒≈︒≈）【解析】如图： 3.1,38AC B =∠=︒∴ 3.15sin 0.62AC AB B ===，∴木杆折断之前高度()3.158.1AC AB m =+=+=，故答案为8.1m 应用9 利用勾股定理解决实际问题：求水杯中筷子长度问题例题9 我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x 尺．根据题意，可列方程为（）A ．22210(1)x x +=+B ．222(1)5x x -+=C ．2225(1)x x +=+D ．222(1)10x x -+=【解析】设芦苇的长度是x 尺，如下图，则()1OA x =-，5AB =，OB x =在Rt AOB 中，222OA AB OB +=，即()22215x x -+=，选B变式16如图，将一根长12cm的筷子置于底面半径为3cm，高为8cm的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度h至少为_______cm．【解析】如图所示，筷子、圆柱的高、圆柱的直径正好构成直角三角形，∵圆柱杯子的底面半径为3cm，高为8cm，∴筷子在圆柱里面的最大长度cm∴筷子露在杯子外面的长度至少为12－10=2cm变式17无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有__________cm．【解析】＝15，则木筷露在杯子外面的部分至少有：20−15＝5（cm）．故答案为5．应用10利用勾股定理解决实际问题：解决航海问题例题10如图，快艇从A地出发，要到距离A地10海里的C地去，先沿北偏东70°方向走了8海里，到达B 地，然后再从B地走了6海里到达C地，此时快艇位于B地的（）．A．北偏东20°方向上B．北偏西20°方向上C．北偏西30°方向上D．北偏西40°方向上【解析】∵AC=10海里，AB=8海里，BC=6海里，根据勾股定理的逆定理可知222=AB BC AC +，∴∠ABC =90°，∵∠DAB =70°，AD ∥BE ，∴∠ABE =110°，则∠CBE =110°－90°=20°，即点C 在点B 的北偏西20°方向上，选B变式18 如图，海中有一小岛A ，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B 点测得小岛A 在北偏东60°方向上，航行12海里到达D 点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行_____海里就开始有触礁的危险．【解析】只要求出A 到BD 的最短距离是否在以A 为圆心，以10.5海里的圆内或圆上即可，如图，过A 作AC ⊥BD 于点C ，则AC 的长是A 到BD 的最短距离，∵∠CAD ＝30°，∠CAB ＝60°，∴∠BAD ＝60°﹣30°＝30°，∠ABD ＝90°﹣60°＝30°，∴∠ABD ＝∠BAD ， ∴BD ＝AD ＝12海里，∵∠CAD ＝30°，∠ACD ＝90°，∴CD ＝12AD ＝6海里，由勾股定理得：AC （海里），如图，设渔船还需航行x 海里就开始有触礁的危险，即到达点D ′时有触礁的危险，在直角△AD ′C 中，由勾股定理得：（6﹣x ）2+（2＝10.52，解得x ＝4.5渔船还需航行 4.5海里就开始有触礁的危险．变式19 一艘轮船在小岛A 的北偏东60︒方向距小岛60海里的B 处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45︒的C 处，则该船行驶的速度为_____海里/小时．【解析】如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ，由题意得：60,45BAD CAD ∠=︒∠=︒，60AB =海里，在Rt ABD △中，9030B BAD ∠=︒-∠=︒，60AB =海里，1302AD AB ∴==海里，BD = 在Rt ACD △中，45CAD ∠=︒，Rt ACD ∴△是等腰直角三角形，30CD AD ∴==海里，(30BC CD BD ∴=+=+海里，则该船行驶的速度为(103BC =+海里/小时，应用11 利用勾股定理解决实际问题：求河宽例题11 如图，为了测量池塘的宽度DE ，在池塘周围的平地上选择了A 、B 、C 三点，且A 、D 、E 、C 四点在同一条直线上，90C ∠=︒，已测得100m AB =，60m BC =，20m AD =，10m EC =，则池塘的宽度DE （）A ．80mB ．60mC ．50mD ．40m【解析】在Rt △ABC 中，AC 80m所以DE ＝AC −AD −EC ＝80−20−10＝50m ，选C变式20 一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点200m ，他在水中实际游了520m ，那么该河的宽度为（）A ．440mB ．460mC ．480mD ．500m【解析】根据已知数据，运用勾股定理求得AB 480m ，答：该河流的宽度为480m ．选C变式21 如图，为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离，观测者从测点A 、B 分别测得90BAC ∠=︒，又量得9AC m =，15BC m =，则A 、B 两点之间的距离为（）A ．10mB ．11mC ．12mD ．13m【解析】90BAC ∠=︒，9AC m =，15BC m =，()12AB m ∴===，选C ．应用12 利用勾股定理解决实际问题：求台阶上的地毯长度例题12 地面上铺设了长为20cm ，宽为10cm 的地砖，长方形地毯的位置如图所示．那么地毯的长度最接近多少？（）A ．50cmB ．100cmC ．150cmD ．200cm【解析】观察图像可知，地毯长可以看做是10个等腰直角三角形的斜边长度之和则斜边=∴长方形地毯的长为：＝≈141.4cm ，选C变式22 在高5m ，长13m 的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要（）A ．13mB ．5mC ．12mD ．17m【解析】由勾股定理，12AC ===，则地毯总长为12+5=17（m ），选D 变式23 一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程为（）A B ．25 C ．30 D ．35【解析】如图所示，∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为(2+3)×3∴蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长AB ．由勾股定理得：2AB =220+()2[233]+⨯=225，解得25AB =，选B 应用13 利用勾股定理解决实际问题：判断是否超速例题13 如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A 处的正前方30m 的C 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m ，则这辆小汽车的速度是__m /s ．【解析】在Rt △ABC 中，AC =30m ，AB =50m ，据勾股定理可得：BC （m ）故小汽车的速度为v=402=20m /s 变式24 《中华人民共和国道路交通管理条例》规定，小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km /h .如图所示，一辆小汽车在一条城市街道沿直道向B 处行驶.某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A 正前方30m 处的点C ，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离AB 为50m ，这辆小汽车________.（填“超速”或“不超速”）【解析】在Rt ABC ∆中，2222250301600BC AB AC =-=--，所以40m BC =. 因此，小汽车的速度为()4020m/s 2=.20m/s 72km/h 70km/h => 故这辆小汽车超速.变式25 如图，小明家（A ）在小亮家（B ）的正北方，某日，小明与小亮约好去图书馆（D ），一小明行走的路线是A →C →D ，小亮行走的路线是B →C →D ，已知3km AB =，4km BC =，5km CD =，90ABC ∠=︒，已知小明骑自行车速度为a km /分钟，小亮走路，速度为0.1km 分钟。

勾股定理知识点+类型+题型有答案版

勾股定理知识点知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。

（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。

（3）勾股定理的一些变式：c2=a2+b2, a2=c2-b2， b2=c2-a2， c2=(a+b)2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。

图（1）中，所以。

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。

图（2）中，所以。

方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。

在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。

，所以。

知识点三：勾股定理的作用1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；3．用于证明平方关系的问题；4．利用勾股定理，作出长为的线段。

知识点四：勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。

熟悉下列勾股数，对解题有很大帮助：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．②如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。

勾股定理考查类型类型一：勾股定理的直接用法在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6， c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

勾股定理的各类题型

勾股定理各种题型:一:勾股定理面积相等法:方法1:方法2:方法3:二:方程思想与勾股定理结合得题目１、(２0１6春•宜春期末)一旗杆在其得B处折断，量得AC=５米,则旗杆原来得高度为( )A、米B、2米ﻩC、10米ﻩD、米【考点】勾股定理得应用、【分析】可设ＡB=x,则ＢC=２x,进而在△AＢC中,利用勾股定理求解x得值即可、【解答】解:由题意可得，ＡC2=BC2﹣ＡB2,即(2x）２﹣x2=52,解得ｘ=,所以旗杆原来得高度为3x=5,故选D、【点评】能够利用勾股定理求解一些简单得直角三角形、２、(201６春•防城区期中)如图，在△ABＣ中，∠B＝4０°,EＦ∥AB,∠1=５０°,CE=3，ＥF比CＦ大1,则ＥF得长为()A、5ﻩB、６C、3D、4【考点】勾股定理;平行线得性质、【分析】由平行线得性质得出∠Ａ＝∠1=50°,得出∠C＝9０°,设CF＝x,则EF＝x+1,根据勾股定理得出方程,解方程求出x,即可得出ＥF得长、【解答】解：∵EF∥ＡB，∴∠A=∠1=５０°，∴∠A+∠B=50°+４0°＝９0°,∴∠C=90°，设CF=x,则EＦ=x＋1,根据勾股定理得:CＥ2+CF２=EF2,即３2+ｘ２=(x+1)2，解得:x=4,∴EF=４＋1=5,故选:A、【点评】本题考查了平行线得性质、直角三角形得判定、勾股定理;熟练掌握平行线得性质，并能进行推理论证与计算就就是解决问题得关键、3、(2015春•蚌埠期中）已知，如图长方形ABCD中,ＡB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B与D重合,折痕为EF,则BＥ得长为( ）Ａ、3ｃm Ｂ、４cm Ｃ、5ｃmﻩD、６cｍ【考点】翻折变换(折叠问题)、【分析】根据折叠得性质可得BE=ED,设AE=x,表示出BE=９﹣x，然后在Rt△ABE中,利用勾股定理列式计算即可得解、【解答】解:∵长方形折叠点B与点Ｄ重合，∴BE=ED,设ＡE＝x，则ED=９﹣ｘ,BE=９﹣ｘ,在Ｒt△AＢE中,AB2+ＡE2=BE２,即32+x2=(9﹣x)2,解得x=４,∴ＡE得长就就是４,∴BE=９﹣4＝５,故选C、【点评】本题考查了翻折变换得性质，勾股定理得应用,根据勾股定理列出关于AE得长得方程就就是解题得关键、4、（2008秋•奎文区校级期末)在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣得问题,这个问题得意思就就是:有一个水池,水面就就是一个边长为10尺得正方形,在水池正中央有一根新生得芦苇，它高出水面1尺，如图所示,如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它得顶端恰好到达岸边得水面、那么水深多少?芦苇长为多少?【考点】勾股定理得应用、【分析】找到题中得直角三角形,设水深为x尺,根据勾股定理解答、【解答】解；设水深为x尺,则芦苇长为(x＋1)尺,根据勾股定理得：,解得:x=12(尺），芦苇得长度＝x+1=12+1=13(尺)，答:水池深12尺,芦苇长13尺、【点评】此题就就是一道古代问题,体现了我们得祖先对勾股定理得理解,也体现了我国古代数学得辉煌成就、三:勾股定理应用:求最短距离问题１、(20１４秋•环翠区期中)如图,长方体得底面边长为1cｍ与３cm,高为6cｍ、如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达Ｂ,那么所用细线最短需要( )A、12ｃmﻩＢ、11cmﻩC、１0cm D、9cｍ【考点】平面展开-最短路径问题、【分析】要求所用细线得最短距离，需将长方体得侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果、【解答】解:将长方体展开,连接A、B′,则AＡ′=1+３+1+３=8(cm),A′B′＝6ｃm，根据两点之间线段最短，AB′=＝10ｃｍ、故选C、【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题,本题就就就是把长方体得侧面展开“化立体为平面”,用勾股定理解决、2、(２016春•繁昌县期末)如图,就就是一长、宽都就就是３ｃm,高BＣ=9cm得长方体纸箱,ＢC上有一点P,ＰＣ=ＢＣ,一只蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点Ｐ得最短距离就就是( )A、６cｍB、３cmC、１0ｃmﻩD、12ｃm【考点】平面展开－最短路径问题、【分析】将图形展开，可得到安排AP较短得展法两种,通过计算，得到较短得即可、【解答】解:(1)如图1,AD＝３ｃm,DP=3+6=9cｍ,在Rt△AＤＰ中,AＰ＝＝3cm;(２)如图2,AＣ＝６cｍ,CP=３＋3＝６ｃm,Rt△ADＰ中,AP＝=6cm、综上,蚂蚁从点Ａ出发沿纸箱表面爬行到点P得最短距离就就是6cm、故选Ａ、【点评】本题考查了平面展开﹣﹣最短路径问题,熟悉平面展开图就就是解题得关键、3、(2０1６•大悟县二模)如图,小红想用一条彩带缠绕易拉罐,正好从Ａ点绕到正上方B点共四圈,已知易拉罐底面周长就就是１2cm,高就就是20cm,那么所需彩带最短得就就是（)A、1３cmB、4cmﻩC、4cmﻩD、５2cm【考点】平面展开-最短路径问题、【分析】要求彩带得长,需将圆柱得侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果,在求线段长时,借助于勾股定理、【解答】解:由图可知,彩带从易拉罐底端得A处绕易拉罐４圈后到达顶端得B处,将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后得长方形得对角线长,∵易拉罐底面周长就就是1２cm，高就就是20ｃm，∴x2=(12×4)2＋２02，所以彩带最短就就是5２cm、故选D【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题,圆柱得侧面展开图就就是一个矩形,此矩形得长等于圆柱底面周长,高等于圆柱得高，本题就就就是把圆柱得侧面展开成矩形,“化曲面为平面”,用勾股定理解决、4、(2016•游仙区模拟)长方体敞口玻璃罐,长、宽、高分别为1６cｍ、６ｃm与６cm,在罐内点E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外壁,在长方形ＡBCD中心得正上方２ｃm处,则蚂蚁到达饼干得最短距离就就是多少cm、（)A、7ﻩB、ﻩC、２4 Ｄ、【考点】平面展开-最短路径问题、【分析】做此题要把这个长方体中蚂蚁所走得路线放到一个平面内，在平面内线段最短,根据勾股定理即可计算、【解答】解:①若蚂蚁从平面ABCD与平面CDFE经过，蚂蚁到达饼干得最短距离如图1：H′E===7，②若蚂蚁从平面ABCD与平面BCEH经过,则蚂蚁到达饼干得最短距离如图２:H′E＝=故选B、【点评】考查了平面展开﹣最短路径问题，此题得关键就就是明确两点之间线段最短这一知识点,然后把立体得长方体放到一个平面内,求出最短得线段、５、（2015秋•宜兴市校级期中)如图,一圆柱高8cm,底面半径为cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行得最短路程就就是10cm、【考点】平面展开-最短路径问题、【分析】此题最直接得解法，就就就是将圆柱展开,然后利用两点之间线段最短解答、【解答】解:底面圆周长为2πr，底面半圆弧长为πr,即半圆弧长为:×2π×=6（ｃm)，展开得: ∵BＣ=8cm,ＡC=6cm,根据勾股定理得:AB==10(cm）、故答案为:10、【点评】此题主要考查了立体图形得展开与两点之间线段最短，解题得关键就就是根据题意画出展开图,表示出各线段得长度、四:网格问题(简单）1、在边长为1得小正方形组成得网格中,△ABC得三个顶点均在格点上,则△AＢC 中ＢC边上得高为答案:设△ABC中BC边上得高为h、∵ＡB^ 2 =５，AC^ ２=20，ＢC^2=25,∴ＢC^ 2＝AB^ 2 +AC ^２，∴∠Ａ=9０°,S △AＢC = AＢAC=ＢＣh，即=5h、解得，h＝2、故答案就就是：２、2、如图,方格纸中每个小方格都就就是边长为1得正方形,我们把以格点连线为边得多边形称为“格点多边形”、如图（一）中四边形A ＢC Ｄ就就就是一个“格点四边形”、(1)求图(一)中四边形ABC Ｄ得面积;(2）在图(二)方格纸中画一个格点三角形E ＦG ,使△EFG 得面积等于四边形A ＢC Ｄ得面积且为轴对称图形、DC BA图(一) 图(二)答案:解:(1）方法一:S ＝×６×4ﻩ=１２方法二:S ＝4×6-×2×1－×4×1-×3×4-×２×3＝12(２)(只要画出一种即可)３、如图,在由边长为１得小正方形组成得网格中,△ABC 得三个顶点均在格点上、请按要求完成下列各题:(1)画A Ｄ∥ＢC （D 为格点),连接ＣＤ;（2)试判断△AB Ｃ得形状?请说明理由;答案:(1)图象如图所示;(2）由图象可知AB ²＝1²＋２²＝5,AC ²=２²+4²=20，BC ²＝3²＋４²＝25,∴ＢC ²=ＡB ²+ＡC ²,△ABC 就就是直角三角形。

完整版)勾股定理知识点与常见题型总结

完整版)勾股定理知识点与常见题型总结勾股定理复勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为直角三角形的两直角边，c为斜边。

勾股定理的证明常用拼图的方法。

通过割补拼接图形后，根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

常见的证明方法有以下三种：1.通过正方形的面积证明，即4ab + (b-a)^2 = c^2，化简可证。

2.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积，即4ab + c^2 = 2ab + c^2，化简得证。

3.通过梯形的面积证明，即(a+b)×(a+b)/2 = 2ab + c^2，化简得证。

勾股定理适用于直角三角形，因此在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。

勾股定理可用于解决直角三角形中的边长计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题。

在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算。

同时，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解。

勾股定理的逆定理是：如果三角形三边长a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

a^2+b^2=c^2$是勾股定理的基本公式。

如果三角形ABC 不是直角三角形，我们可以类比勾股定理，猜想$a+b$与$c$的关系，并对其进行证明。

勾股定理的实际应用有很多。

例如，在图中，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B 到地面的距离为7m。

现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m。

同时梯子的顶端B下降至B′。

那么BB′的长度是小于1m的（选项A）。

又如，在图中，一根24cm的筷子置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中。

设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7cm ≤ h ≤ 16cm（选项D）。

勾股定理题型大全

1.已知等腰三角形的周长为24，腰长为x ，则x 的取值范围是 ································ （）． A ）x ＞12 （B ）x ＜6 （C ）6＜x ＜12 （D ）0＜x ＜122.如图，等边三角形ABC 中，AD 是BC 上的高，取AC 的中点E ，连结DE ，则图中与DE 相等的线段有 ····························· （）．（A ）1条（B ）2条（C ）3条（D ）4条3.如图：∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF 等于（）。

A 、90° B 、 75° C 、70° D 、60°4.．如图所示，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，那么水泵站应修在河边什么地方，可使所用水管最短？画图并说明理由。

5、（10分）①如图：A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A 、B 两地，问该站建在河边什么地方，•②如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M ，N 表示大学，AO ，BO 表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等。

勾股定理知识点与题型总结大全

CA BD 勾股定理全章类题总结类型一：等面积法求高【例题】如图，△ABC 中，∠ACB=900,AC=7,BC=24，C D ⊥AB 于D. （1）求AB 的长；（2）求CD 的长.类型二：面积问题【例题】如下左图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。

【练习1】如上右图,每个小方格都是边长为1的正方形，（1)求图中格点四边形ABCD 的面积和周长。

（2）求∠ADC 的度数。

【练习2】如图，四边形ABCD 是正方形，AE ⊥BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是______。

【练习3】如图字母B 所代表的正方形的面积是（）A. 12 B 。

13 C 。

144 D 。

194类型三：距离最短问题【例题】如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧,分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米,且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂,向A 、B 两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ABCD7cmBD EB16925A BCDL【练习1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm ，高ＡＢ为4cm,ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程．【练习2】如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km 北7km 处,他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家。

他要完成这件事情所走的最短路程是多少？类型四：判断三角形的形状【例题】如果ΔABC 的三边分别为a 、b 、c ，且满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，判断ΔABC 的形状.【练习1】已知△ABC 的三边分别为m 2－n 2，2mn ，m 2+n 2（m,n 为正整数，且m ＞n)，判断△ABC 是否为直角三角形。

八上勾股定理十类题型分类知识点+例题+练习 (非常好分类全面)

教学内容勾股定理题型分类教学目标掌握勾股定理及其逆定理重点勾股定理及其逆定理难点勾股定理及其逆定理的应用教学过程课堂精讲一、勾股定理的证明根据图形，写出勾股定理的证明过程二、利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．cb aA B bbbbccccaaaabccaabDCAEB2. 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）A. S1- S2= S3B. S1+ S2= S3C. S2+S3< S1D. S2- S3=S14、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

5、在直线上依次摆放着七个正方形。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、=_________S3S2S12、如下图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的面积分别为2,5,1,2,则最大的正方形E的面积_______.三、在直角三角形中，已知两边求第三边1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为5cm，12cm，则斜边长为．2．已知直角三角形的两边长为3、4，则另一条边长的平方是3、已知直角三角形两直角边长分别为6和8，斜边上的高是．4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）A． 2倍B． 4倍C． 6倍D． 8倍5、在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。

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一、证明方法二、面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（）A.S 1- S 2= S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+S 3< S 1D. S 2- S 3=S 1c baABbbb bcc cc aaaab ccaa DAEBS 3S 2S 14、在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S 12、、S S S S S S 341234、，则+++=_____________。

5、如图17-3-7是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为2,5,1,2,则最大的正方形E 的面积_______.6、以某直角三角形三边分别作三个正方形，其中两个正方形的面积分别为25和12，则第三个正方形的面积为___________________.7、如图，∠B ＝∠D ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝4，CD ＝2. 求四边形ABCD 的面积.8、如图,长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠,设点D 落在D'处,BC 交AD'于点E,AB=6 cm,BC=8 cm,求阴影部分的面积.4260°DCBA9.如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个得到，可得△ABC ，则边AC 上的高为（）A. 223 B. 5103C. 553D. 55410、如图，四边形ABCD 中，AD ＝1cm ，BC ＝2cm ，AB ＝2cm ，CD ＝3cm ，且 ∠ABC ＝90度，求四边形ABCD 的面积11、三角形ABC 中，AB=5，AC=3，BC 边上的中线AD=2，求三角形ABC 的面积？三、在直角三角形中，求相关量1在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=10,AC=6,则BC 的长为___________ 2、已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是_________ 3、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的__________.4、在Rt △ABC 中，∠C=90° ①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则Rt △ABC 的面积是=____________________ 5、一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为___________;A BC6、斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是______________．7、如图AB=BC=CD=DE=1,AB ⊥BC,AC ⊥CD,AD ⊥DE,则AE 的长为________四、勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）A. 4，5，6B. 2，3，4C. 11，12，13D. 8，15，17 2、若线段a ，b ，c 组成直角三角形，则它们的比为（） A 、2∶3∶4 B 、3∶4∶6 C 、5∶12∶13 D 、4∶6∶73、下面的三角形中：①△ABC 中，∠C=∠A －∠B ；②△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3； ③△ABC 中，a ：b ：c=3：4：5； ④△ABC 中，三边长分别为8，15，17．其中是直角三角形的个数有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4、已知2512-++-y x x 与25102+-z z 互为相反数，试判断以x 、y 、z 为三边的三角形的形状。

5、若△ABC 的三边长a,b,c 满足222a b c 20012a 16b 20c +++=++，试判断△ABC的形状。

6、五根小木棒,其长度(单位:cm)分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是( )7、将勾股数3,4,5扩大到原来的2倍,3倍,4倍,…,可以得到勾股数6,8,10;9,12,15;12,16,20;…,则我们把3,4,5这样的勾股数称为基本勾股数,请你写出另外两组基本勾股数:________,________.8、如图，在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为A(3,1),B(2,4),三角形O AB是直角三角形吗?9、远航号海天号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，远航号每小时航行16海里，海天号每小时航行12海里，他们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道远航沿东北方向航行，你知道海天沿哪个方向航行吗？五、利用列方程求线段的长（方程思想）1、直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为______________2、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积是_____________.3、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是________________.4、如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处,发现此时绳子末端距离地面2 m.则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为______________________________.5、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？6、如图，有两只猴子在一棵树CD高5m的点B处，它们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D 后直线越向池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？7、一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动多少米？8、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC•于M，交AB于N，若AC=4，MB=2MC，求AB的长．9、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于多少？10、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC 沿直线AD折叠，使AC恰好落在斜边AB上，且点C与点E重合，求CD的长。

11、小明的叔叔家承包了一个长方形鱼池，已知其面积为48平方米，其对角线长为10m，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？12、如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA•垂直AB于A，CB 垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？六、折叠问题七、勾股定理在非直角三角形中的应用1、在直角三角形ABC中，角C=90度，AC=4，BC=3，在直角三角形ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，求出等腰三角形的底边长。

2、已知，在△ABC中，∠A= 45°，AC= 2，AB= 3+1，则边BC的长为．3、某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要__________元．4、.如图，ΔABC中，AC＝12，∠B＝45°，∠A＝60°.求ΔABC的面积.5、将一根长24㎝的筷子置于地面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h㎝，则h的取值范围。

八、爬行距离最短问题1、一只蚂蚁从长为4cm、宽为3 cm，高是5 cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是____________cm。

AB150°30米20米1245°60°CA2、如图,圆柱形容器高为18 cm,底面周长为24 cm,在杯内壁离杯底4 cm的点B 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为________cm.3、如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行_________.4、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是分米.九、航海问题1、一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里．2、一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接着，它又掉头向正东方向航行15千米．(1) 此时轮船离开出发点多少km?(2）若轮船每航行1km，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?3、如图，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M 处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。

该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。

AB3、如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN ＝30°，点A 处有一所中学，AP ＝160m 。

假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h ，那么学校受影响的时间为多少秒？4、如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市正南方向260km 的B 处有一台风中心，沿BC 方向以15km/h 的速度向D 移动，已知城市A 到BC 的距离AD=100km ，那么台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？DBCA东北30︒60︒BACMD。