用函数观点看一元二次方程
步步高学习笔记必修第一册
第2课时二次函数与一元二次方程、不等式学习目标 1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．一、一元二次不等式的定义问题1园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少米？提示设这个矩形的一条边长为x m，则另一条边长为(12－x)m.由题意，得(12－x)x>20，其中x∈{x|0<x<12}．整理得x2－12x＋20<0，x∈{x|0<x<12}．①求得不等式①的解集，就得到了问题的答案．知识梳理定义一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数二、一元二次不等式的解法问题2如课本51页图2.3－1，二次函数y＝x2－12x＋20的图象与x轴有两个交点，这与方程x2－12x＋20＝0的根有什么关系？提示函数图象与x轴交点的横坐标正好是方程的根．知识梳理一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．注意点：零点不是点，只是函数的图象与x轴交点的横坐标．问题3你能从二次函数y＝x2－12x＋20的图象上找x2－12x＋20<0的解集吗？提示从图象上看，位于x轴上方的图象使得函数值大于零，位于x轴下方的图象使得函数值小于零，故x2－12x＋20<0的解集为{x|2<x<10}．知识梳理判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx ＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅注意点：(1)若不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集；(2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集．例1(教材P52例1,2,3改编)解下列不等式：(1)－2x2＋x－6<0；(2)－x2＋6x－9≥0；(3)x2－2x－3>0.解(1)原不等式可化为2x2－x＋6>0.因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点(如图所示)．观察图象可得，原不等式的解集为R.(2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0，函数y＝(x－3)2的图象如图所示，根据图象可得，原不等式的解集为{x|x＝3}．(3)方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3.函数y ＝x 2－2x －3的图象是开口向上的抛物线，与x 轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图所示．观察图象可得不等式的解集为{x |x <－1或x >3}．反思感悟 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准．通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正．(2)判别式．对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式． (3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根． (4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)写解集．根据图象写出不等式的解集． 跟踪训练1 解下列不等式： (1)x 2－5x －6>0； (2)(2－x )(x ＋3)<0.解 (1)方程x 2－5x －6＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝6.结合二次函数y ＝x 2－5x －6的图象知，原不等式的解集为{x |x <－1或x >6}． (2)原不等式可化为(x －2)(x ＋3)>0.方程(x －2)(x ＋3)＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－3.结合二次函数y ＝(x －2)(x ＋3)的图象知，原不等式的解集为{x |x <－3或x >2}． 三、含参的一元二次不等式的解法例2 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (x ∈R )． 解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≥0， 解得x ≥2a或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a ； 当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1； 当2a <－1，即－2<a <0，解得2a≤x ≤－1. 综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥2a 或x ≤－1； 当－2<a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a <－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x ≤2a . 反思感悟 在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑： (1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a >0，a <0，a ＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x 1>x 2，x 1＝x 2，x 1<x 2. 跟踪训练2 解关于x 的不等式x 2－(3a －1)x ＋(2a 2－2)>0. 解 原不等式可化为[x －(a ＋1)][x －2(a －1)]>0， 讨论a ＋1与2(a －1)的大小．(1)当a ＋1>2(a －1)，即a <3时，不等式的解为x >a ＋1或x <2(a －1)． (2)当a ＋1＝2(a －1)，即a ＝3时，不等式的解为x ≠4.(3)当a ＋1<2(a －1)，即a >3时，不等式的解为x >2(a －1)或x <a ＋1. 综上，当a <3时，不等式的解集为{x |x >a ＋1或x <2(a －1)}， 当a ＝3时，不等式的解集为{x |x ≠4}，当a >3时，不等式的解集为{x |x >2(a －1)或x <a ＋1}．1．知识清单：(1)一元二次不等式的概念及解法． (2)含参的一元二次不等式的解法． 2．方法归纳：数形结合、分类讨论．3．常见误区：解含参数的二次不等式时找不到分类讨论的标准．1．函数y ＝x 2－4x ＋4的零点是( ) A ．(2,0) B ．(0,4) C ．±2 D ．2答案 D2．不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <1 C ．∅ D ．R答案 D解析 因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0， 所以不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为R . 3．不等式3＋5x －2x 2≤0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >3或x <－12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12≤x ≤3 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥3或x ≤－12 D ．R 答案 C解析 3＋5x －2x 2≤0⇒2x 2－5x －3≥0 ⇒(x －3)(2x ＋1)≥0⇒x ≥3或x ≤－12.4．若0<m <1，则不等式(x －m )⎝⎛⎭⎫x －1m <0的解集为________． 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪m <x <1m解析 ∵0<m <1，∴1m>1>m ，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪m <x <1m . 课时对点练1．下列不等式①x 2>0；②－x 2－x ≤5；③ax 2>2；④x 3＋5x －6>0；⑤mx 2－5y <0；⑥ax 2＋bx ＋c >0.其中是一元二次不等式的有( ) A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 答案 D解析 根据一元二次不等式的定义，只有①②满足．故选D. 2．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤x ≤13 C ．∅ D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝－13 答案 D解析 原不等式可化为(3x ＋1)2≤0， ∴3x ＋1＝0，∴x ＝－13.3．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－1或x ≥92 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x ≤92 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－92或x ≥1 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－92≤x ≤1 答案 D解析 方法一 取x ＝1检验，满足，排除A ； 取x ＝4检验，不满足，排除B ，C. 方法二 原不等式可化为2x 2＋7x －9≤0，即(x －1)(2x ＋9)≤0，解得－92≤x ≤1.4．若集合A ＝{x |(2x ＋1)(x －3)<0}，B ＝{x ∈N *|x ≤5}，则A ∩B 等于( ) A ．{1,2,3} B ．{1,2} C ．{4,5} D ．{1,2,3,4,5}答案 B解析 (2x ＋1)(x －3)<0，∴－12<x <3，又x ∈N *且x ≤5，则x ＝1,2.5．不等式⎝⎛⎭⎫12－x ⎝⎛⎭⎫13－x >0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 13<x <12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或x >12 答案 D6．(多选)函数y ＝x 2－4x ＋3的零点为( ) A ．(1,0) B ．1 C ．(3,0) D ．3 答案 BD7．不等式x 2－4x ＋4>0的解集是________． 答案 {x |x ≠2}解析 原不等式可化为(x －2)2>0，∴x ≠2.8．若a <0，则关于x 的不等式a (x ＋1)⎝⎛⎭⎫x ＋1a <0的解集为________________． 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－1a 或x <－1 解析 因为a <0，所以原不等式等价于(x ＋1)·⎝⎛⎭⎫x ＋1a >0，方程(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x ＋1a ＝0的两根为－1，－1a ，显然－1a >0>－1，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－1a 或x <－1. 9．已知不等式x 2＋x －6<0的解集为A ，不等式x 2－2x －3<0的解集为B .求A ∩B . 解 由x 2＋x －6<0得－3<x <2.∴A ＝{x |－3<x <2}．由x 2－2x －3<0，得－1<x <3， ∴B ＝{x |－1<x <3}．∴A ∩B ＝{x |－1<x <2}． 10．解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2<0(a ∈R )．解原不等式可化为(x－2a)(x＋a)<0.对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.①当a>0时，x1>x2，不等式的解集为{x|－a<x<2a}；②当a＝0时，原不等式化为x2<0，解集为∅；③当a<0时，x1<x2，不等式的解集为{x|2a<x<－a}．综上，当a>0时，不等式的解集为{x|－a<x<2a}；当a＝0时，不等式的解集为∅；当a<0时，不等式的解集为{x|2a<x<－a}．11．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是()A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m}C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n}答案 B解析方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n，因为m＋n>0，所以m>－n，结合函数y＝(m －x)(n＋x)的图象(图略)，得不等式的解集是{x|－n<x<m}．12．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为()A．{x|0<x<2} B．{x|－2<x<1}C．{x|x<－2或x>1} D．{x|－1<x<2}答案 B解析根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故不等式的解集是{x|－2<x<1}．13．(多选)下列不等式的解集为R的有()A ．x 2＋x ＋1≥0B ．x 2－25x ＋5>0C ．x 2＋6x ＋10>0D ．2x 2－3x ＋4<1答案 AC解析 A 中Δ＝12－4×1<0.满足条件； B 中Δ＝(－25)2－4×5>0，解集不为R ； C 中Δ＝62－4×10<0.满足条件；D 中不等式可化为2x 2－3x ＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．14．关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0，若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1m<x <2，则m 的取值范围是________． 答案 {m |m <0} 解析 由题意知m <0，∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1m<x <2， ∴方程(mx －1)(x －2)＝0的两个实数根为1m和2，且⎩⎪⎨⎪⎧m <0，1m <2，解得m <0， ∴m 的取值范围是{m |m <0}．15．设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，若A ⊆{x |1≤x ≤3}，则a 的取值范围为________． 答案 －1<a ≤115解析 设y ＝x 2－2ax ＋a ＋2，因为不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ， 且A ⊆{x |1≤x ≤3}，所以对于方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0. 若A ＝∅，则Δ＝4a 2－4(a ＋2)<0， 即a 2－a －2<0，解得－1<a <2.若A ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4(a ＋2)≥0，12－2a ＋a ＋2≥0，32－3×2a ＋a ＋2≥0，1≤a ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－1，a ≤3，a ≤115，1≤a ≤3，所以2≤a ≤115.综上，a 的取值范围为－1<a ≤115.16．解关于x 的不等式x 2－2ax ＋2≤0.解 因为Δ＝4a 2－8，所以当Δ<0，即－2<a <2时，原不等式对应的方程无实根，又二次函数y ＝x 2－2ax ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅. 当Δ＝0，即a ＝±2时，原不等式对应的方程有两个相等实根． 当a ＝2时，原不等式的解集为{x |x ＝2}； 当a ＝－2时，原不等式的解集为{x |x ＝－2}．当Δ>0，即a >2或a <－2时，原不等式对应的方程有两个不等实根，分别为x 1＝a －a 2－2，x 2＝a ＋a 2－2，且x 1<x 2，所以原不等式的解集为{x |a －a 2－2≤x ≤a ＋a 2－2}．综上所述，当－2<a <2时，原不等式的解集为∅； 当a ＝2时，原不等式的解集为{x |x ＝2}； 当a ＝－2时，原不等式的解集为{x |x ＝－2}； 当a >2或a <－2时， 原不等式的解集为{x |a －a 2－2≤x ≤a ＋a 2－2}．。
《利用函数的图象解一元二次方程》PPT课件
煤炭化学成分与煤的燃烧性质的关联性研究煤炭作为一种重要的能源资源，其化学成分和燃烧性质之间存在着密切的关联性。
研究煤炭的化学成分对于深入了解煤的燃烧性质具有重要意义。
本文将探讨煤炭的主要化学成分及其对燃烧性质的影响。
煤炭主要由碳、氢、氧、氮和硫等元素组成，其中碳是其主要成分。
煤炭的碳含量直接影响着其燃烧性质。
碳含量高的煤炭燃烧时会产生较高的热量，因此被广泛应用于能源领域。
同时，碳含量高的煤炭燃烧时产生的烟尘和二氧化碳排放量也相对较高，对环境造成一定的影响。
因此，在煤炭的利用过程中，需要综合考虑其碳含量对燃烧性质和环境的影响。
除了碳含量，煤炭中的氢含量也对其燃烧性质有一定的影响。
氢是煤炭中的可燃元素之一，其含量高低直接影响着煤炭的燃烧速度和热值。
氢含量高的煤炭燃烧时会产生较高的热量，具有较高的燃烧效率。
此外，氢含量高的煤炭燃烧时所产生的水蒸气会稀释烟气中的氧气，降低燃烧温度，从而减少氮氧化物的生成。
因此，氢含量高的煤炭在燃烧过程中具有较低的氮氧化物排放量，对环境友好。
煤炭中的氧含量和硫含量也对其燃烧性质有一定的影响。
氧是煤炭中的氧化剂，其含量高低直接影响着煤炭的可燃性。
氧含量高的煤炭燃烧时会产生较高的热量，燃烧速度较快。
然而，氧含量高的煤炭燃烧时也容易产生较多的烟尘和二氧化碳，对环境造成一定的影响。
因此，在煤炭的利用过程中，需要综合考虑其氧含量对燃烧性质和环境的影响。
硫是煤炭中的一种常见元素，其含量对煤炭的燃烧性质有着重要的影响。
硫在煤炭燃烧时容易生成二氧化硫等有害气体，对环境和人体健康造成危害。
因此，降低煤炭中的硫含量对于减少大气污染具有重要意义。
目前，对于高硫煤的利用，常常采取脱硫技术来降低燃烧过程中的硫排放。
除了煤炭的化学成分，煤的燃烧性质还受到煤质结构的影响。
煤质结构包括煤的孔隙结构和煤的结晶结构。
煤的孔隙结构对于煤的燃烧速度和热值有一定的影响。
孔隙结构较发达的煤炭燃烧时，氧气可以更好地进入煤体内部，提高燃烧效率。
高一数学必修一 教案 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
2．3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时二次函数与一元二次方程、不等式学习目标 1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．知识点一一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数知识点二一元二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c 的零点．知识点三二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x⎪⎪⎪x≠－b2aRax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅预习小测自我检验1．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有________．(填序号) 答案 ②④解析 一定是一元二次不等式的为②④. 2．不等式x (2－x )>0的解集为________． 答案 {x |0<x <2}解析 原不等式可化为x (x －2)<0，∴0<x <2. 3．不等式4x 2－9<0的解集是________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32<x <32 解析 原不等式可化为x 2<94，即－32<x <32.4．已知一元二次不等式ax 2＋2x －1<0的解集为R ，则a 的取值范围是________． 答案 {a |a <－1} 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，4＋4a <0，∴a <－1.一、解不含参数的一元二次不等式 例1 解下列不等式： (1)－x 2＋5x －6>0； (2)3x 2＋5x －2≥0； (3)x 2－4x ＋5>0.解 (1)不等式可化为x 2－5x ＋6<0.因为Δ＝(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x 2－5x ＋6＝0有两个实数根：x 1＝2，x 2＝3. 由二次函数y ＝x 2－5x ＋6的图象(如图①)，得原不等式的解集为{x |2<x <3}．(2)因为Δ＝25－4×3×(－2)＝49>0，所以方程3x 2＋5x －2＝0的两实根为x 1＝－2，x 2＝13.由二次函数y ＝3x 2＋5x －2的图象(图②)，得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－2或x ≥13. (3)方程x 2－4x ＋5＝0无实数解，函数y ＝x 2－4x ＋5的图象是开口向上的抛物线，与x 轴无交点(如图③)．观察图象可得，不等式的解集为R .反思感悟 解一元二次不等式的一般步骤第一步：把一元二次不等式化为标准形式(二次项系数为正，右边为0的形式)；第二步：求Δ＝b 2－4ac ；第三步：若Δ<0，根据二次函数图象直接写出解集；若Δ≥0，求出对应方程的根写出解集． 跟踪训练1 解下列不等式： (1)4x 2－4x ＋1>0； (2)－x 2＋6x －10>0.解 (1)∵方程4x 2－4x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝12.作出函数y ＝4x 2－4x ＋1的图象如图．由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠12.(2)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0， ∵Δ＝36－40＝－4<0， ∴方程x 2－6x ＋10＝0无实根， ∴原不等式的解集为∅.二、三个“二次”间的关系及应用例2 已知二次函数y ＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，且y >0的解集为{x |－3<x <2}． (1)求二次函数的解析式；(2)当关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R 时，求c 的取值范围． 解 (1)因为y >0的解集为{x |－3<x <2}，所以－3,2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝－b －8a，－3×2＝－a －aba，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝5，所以y ＝－3x 2－3x ＋18.(2)因为a ＝－3<0，所以二次函数y ＝－3x 2＋5x ＋c 的图象开口向下，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ≤0，即25＋12c ≤0，所以c ≤－2512.所以当c ≤－2512时，－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R .反思感悟 三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式． 跟踪训练2 已知关于x 的不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <12. (1)求a ，c 的值；(2)解关于x 的不等式ax 2＋(ac ＋2)x ＋2c ≥0.解 (1)由题意知，不等式对应的方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两个实数根为13和12，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－5a ＝13＋12，c a ＝12×13，解得a ＝－6，c ＝－1.(2)由a ＝－6，c ＝－1知不等式ax 2＋(ac ＋2)x ＋2c ≥0可化为－6x 2＋8x －2≥0，即3x 2－4x ＋1≤0，解得13≤x ≤1，所以不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13≤x ≤1. 三、含参数的一元二次不等式的解法例3 设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0.解 (1)当a ＝0时，不等式可化为x －2>0，解得x >2，即原不等式的解集为{x |x >2}． (2)当a ≠0时，方程ax 2＋(1－2a )x －2＝0的两根分别为2和－1a.①当a <－12时，解不等式得－1a<x <2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1a <x <2；②当a ＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为∅；③当－12<a <0时，解不等式得2<x <－1a，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2<x <－1a ； ④当a >0时，解不等式得x <－1a或x >2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1a 或x >2. 反思感悟 解含参数的一元二次不等式的步骤特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算． 跟踪训练3 (1)当a ＝12时，求关于x 的不等式x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a x ＋1≤0的解集；(2)若a >0，求关于x 的不等式x 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a x ＋1≤0的解集．解 (1)当a ＝12时，有x 2－52x ＋1≤0，即2x 2－5x ＋2≤0，解得12≤x ≤2，故不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤2. (2)x 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a x ＋1≤0⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －a )≤0，①当0<a <1时，a <1a ，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a ≤x ≤1a； ②当a ＝1时，a ＝1a＝1，不等式的解集为{1}；③当a >1时，a >1a，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1a≤x ≤a. 综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a ≤x ≤1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为{1}；当a >1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a≤x ≤a.1．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－13 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤13 C ．∅ D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝－13 答案 D解析 原不等式可化为(3x ＋1)2≤0， ∴3x ＋1＝0，∴x ＝－13.2．如果关于x 的不等式x 2<ax ＋b 的解集是{x |1<x <3}，那么b a等于( ) A ．－81 B ．81 C ．－64 D ．64 答案 B解析 不等式x 2<ax ＋b 可化为x 2－ax －b <0， 其解集是{x |1<x <3}，那么，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋3＝a ，1×3＝－b ，解得a ＝4，b ＝－3；所以b a＝(－3)4＝81.故选B. 3．不等式x 2－2x >0的解集是( ) A ．{x |x ≥2或x ≤0} B ．{x |x >2或x <0} C ．{x |0≤x ≤2} D ．{x |0<x <2}答案 B解析 解x 2－2x >0，即x (x －2)>0， 得x >2或x <0，故选B.4．不等式x 2－3x －10<0的解集是________． 答案 {x |－2<x <5}解析 由于x 2－3x －10＝0的两根为－2,5，故x 2－3x －10<0的解集为{x |－2<x <5}．5．若方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数解，则m 的取值范围是________________． 答案 {m |m ≥9或m ≤1}解析 由方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数解， ∴Δ＝(m －3)2－4m ≥0， 即m 2－10m ＋9≥0， ∴(m －9)(m －1)≥0， ∴m ≥9或m ≤1.1．知识清单：解一元二次不等式的常见方法 (1)图象法：①化不等式为标准形式：ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)；②求方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根，并画出对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的简图； ③由图象得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 2．方法归纳：数形结合，分类讨论．3．常见误区：当二次项系数小于0时，需两边同乘－1，化为正的．1．(2019·全国Ⅰ)已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |－4<x <3} B ．{x |－4<x <－2} C ．{x |－2<x <2} D ．{x |2<x <3}答案 C解析 ∵N ＝{x |－2<x <3}，M ＝{x |－4<x <2}， ∴M ∩N ＝{x |－2<x <2}，故选C.2．若0<m <1，则不等式(x －m )⎝⎛⎭⎪⎫x －1m <0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m <x <m B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >1m 或x <m C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >m 或x <1m D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪m <x <1m 答案 D解析 ∵0<m <1，∴1m>1>m ，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪m <x <1m ，故选D. 3．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，如果a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( ) A ．{x |x >3或x <－2} B ．{x |x >2或x <－3} C ．{x |－2<x <3} D ．{x |－3<x <2}答案 C解析 由题意知－2＋3＝－ba ，－2×3＝c a， ∴b ＝－a ，c ＝－6a ，∴不等式ax 2＋bx ＋c >0可化为ax 2－ax －6a >0， 又a <0，∴x 2－x －6<0，∴(x －3)(x ＋2)<0， ∴－2<x <3，故选C.4．若不等式5x 2－bx ＋c <0的解集为{x |－1<x <3}，则b ＋c 的值是( ) A ．5 B ．－5 C ．－25 D ．10 答案 B解析 由题意知－1,3为方程5x 2－bx ＋c ＝0的两根， ∴－1＋3＝b 5，－3＝c5，∴b ＝10，c ＝－15，∴b ＋c ＝－5.故选B.5．若关于x 的二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．{m |m ≤－2或m ≥2} B ．{m |－2≤m ≤2} C ．{m |m <－2或m >2} D ．{m |－2<m <2}答案 B解析 ∵x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ， ∴Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2，故选B. 6．不等式x 2－4x ＋4≤0的解集是________． 答案 {2}解析 原不等式可化为(x －2)2≤0，∴x ＝2. 7．不等式x 2＋3x －4<0的解集为________． 答案 {x |－4<x <1}解析 易得方程x 2＋3x －4＝0的两根为－4,1，所以不等式x 2＋3x －4<0的解集为{x |－4<x <1}．8．关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0，若此不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m<x <2，则m 的取值范围是________． 答案 {m |m <0}解析 ∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m <x <2，∴方程(mx －1)(x －2)＝0的两个实数根为1m和2，且⎩⎪⎨⎪⎧m <0，1m<2，解得m <0，∴m 的取值范围是m <0.9．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B . (1)求A ∩B ；(2)若不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，求不等式ax 2＋x ＋b <0的解集． 解 (1)由x 2－2x －3<0，得－1<x <3， ∴A ＝{x |－1<x <3}． 由x 2＋x －6<0，得－3<x <2，∴B ＝{x |－3<x <2}，∴A ∩B ＝{x |－1<x <2}．(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＋b ＝0，4＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.∴－x 2＋x －2<0，∴x 2－x ＋2>0， ∵Δ＝1－8＝－7<0，∴不等式x 2－x ＋2>0的解集为R .10．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0； (2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R?解 (1)由题意知1－a <0，且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a <0，41－a＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0，即为2x 2－x －3>0， 解得x <－1或x >32.∴所求不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >32. (2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0， 若此不等式解集为R ，则Δ＝b 2－4×3×3≤0，∴－6≤b ≤6.11．下列四个不等式：①－x 2＋x ＋1≥0；②x 2－25x ＋5>0；③x 2＋6x ＋10>0；④2x 2－3x ＋4<1. 其中解集为R 的是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 答案 C解析 ①显然不可能；②中Δ＝(－25)2－4×5>0，解集不为R ； ③中Δ＝62－4×10<0.满足条件；④中不等式可化为2x 2－3x ＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C.12．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( ) A ．{x |0<x <2} B ．{x |－2<x <1} C ．{x |x <－2或x >1} D ．{x |－1<x <2}答案 B解析 根据给出的定义得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)， 又x ⊙(x －2)<0，则(x ＋2)(x －1)<0， 故不等式的解集是{x |－2<x <1}．13．若关于x 的方程(a －2)x 2－2(a －2)x ＋1＝0无实数解，则a 的取值范围是________． 答案 2≤a <3解析 若a －2＝0，即a ＝2时，原方程为1＝0不合题意， ∴a ＝2满足条件，若a －2≠0，则Δ＝4(a －2)2－4(a －2)<0， 解得2<a <3，综上有a 的取值范围是2≤a <3.14．已知不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对∀x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为________． 答案 {a |－1≤a ≤4}解析 x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4≥a 2－3a 恒成立， ∴a 2－3a ≤4，即a 2－3a －4≤0， ∴(a －4)(a ＋1)≤0，∴－1≤a ≤4.15．在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a －1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________． 答案 32解析 原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，因为x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54， 所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32. 16．已知不等式ax 2＋2ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立，解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0.解 ∵ax 2＋2ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立．当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上，0≤a ≤1.由x 2－x －a 2＋a <0，得(x －a )[x －(1－a )]<0.∵0≤a ≤1，∴①当1－a >a ，即0≤a <12时，a <x <1－a ； ②当1－a ＝a ，即a ＝12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122<0，不等式无解； ③当1－a <a ，即12<a ≤1时，1－a <x <a . 综上，当0≤a <12时，原不等式的解集为{x |a <x <1－a }；当a ＝12时，原不等式的解集为∅；当12<a ≤1时，原不等式的解集为{x |1－a <x <a }．。
初中数学_二次函数的图象与一元二次方程教学设计学情分析教材分析课后反思
初中数学_二次函数的图象与一元二次方程教学设计学情分析教材分析课后反思《二次函数与一元二次方程》教学设计【课题】九年级下册5.6《二次函数与一元二次方程》（第1课时）一、教材分析本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系。
教材从一次函数与一元一次方程的关系入手，通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题，并结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系。
这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。
二、学情分析1、知识掌握上，学生对二次函数的图象及其性质和一元二次方程的解的情况都有所了解，特别的，八年级时学生已经了解到了一次函数和一元一次方程的解之间的关系。
因而，对于本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系利用类比的方法让学生在自学的基础上进行交流合作学习应该不是难题。
2、学生学习本节课的知识障碍就是建立二次函数与一元二次方程之间的联系，渗透数形结合的思想。
三、教学目标知识与技能：1.探索二次函数y＝ax2+bx+c及其图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系2.能根据二次函数y＝ax2+bx+c的系数，判断它的图象与x轴的位置关系3.应用二次函数和一元二次方程的关系解决相关问题过程与方法：经历探索二次函数y＝ax2+bx+c及其图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系的过程，培养学生分析问题，解决问题的能力。
情感态度和价值观：使学生在数学应用增强自信心，在合作学习中增强集体责任感，加强学生数形结合思想的应用。
四、教学重难点重点：应用二次函数和一元二次方程的关系解决相关问题难点：理解二次函数y＝ax2+bx+c及其图象与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系五、教法学法教法：类比探究法、归纳总结法、讲练结合法学法：合作探究法、小组讨论法六、教学内容与过程（一）、立体式复习检测（1）一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点（，）一元一次方程－3x＋6＝0的根为________（2）不解方程，判断方程x2－3x＋3=0根的情况是________（3）解方程： x2－2x－3=0（4）（中考·白银）若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是________【师生活动】：同桌提问判别式△与方程实数根的关系，然后请4位同学分别板书以上4个题目，其他同学在导学案完成以上题目。
高中数学 一元二次函数方程和不等式二次函数与一元二次方程不等式讲义 新人教A版必修一第一册
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式最新课程标准：(1)从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．(2)从函数观点看一元二次不等式．①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.知识点二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}{x|x≠－b2a}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅状元随笔一元二次不等式的解法：(1)图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集．对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p<q时，若(x－p)(x－q)>0，则x>q或x<p；若(x－p)(x－q)<0，则p<x<q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．[教材解难]教材P50思考能．可以从2个角度来看①函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围．②方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0的根．[基础自测]1．下列不等式中是一元二次不等式的是( )A．a2x2＋2≥0 B.1x2<3C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x＋1>0解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．答案：C2．不等式x(x＋1)≤0的解集为( )A．[－1，＋∞) B．[－1,0)C．(－∞，－1] D．[－1,0]解析：解不等式得－1≤x≤0，故选D.答案：D3．函数y＝17－6x－x2的定义域为( )A．[－7,1]B．(－7,1)C．(－∞，－7]∪[1，＋∞) D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)解析：由7－6x －x 2>0，得x 2＋6x －7<0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7<x <1，故选B. 答案：B4．不等式1＋2x ＋x 2≤0的解集为________．解析：不等式1＋2x ＋x 2≤0化为(x ＋1)2≤0，解得x ＝－1. 答案：{－1}题型一 解不含参数的一元二次不等式[教材P 52例1、2、3] 例1 (1)求不等式x 2－5x ＋6>0的解集． (2)求不等式9x 2－6x ＋1>0的解集． (3)求不等式－x 2＋2x －3>0的解集．【解析】 (1)对于方程x 2－5x ＋6＝0，因为Δ>0，所以它有两个实数根．解得x 1＝2，x 2＝3.画出二次函数y ＝x 2－5x ＋6的图象(图1)，结合图象得不等式x 2－5x ＋6>0的解集为{x |x <2，或x >3}．(2)对于方程9x 2－6x ＋1＝0，因为Δ＝0，所以它有两个相等的实数根，解得x 1＝x 2＝13.画出二次函数y ＝9x 2－6x ＋1的图象(图2)，结合图象得不等式9x 2－6x ＋1>0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠13(3)不等式可化为x2－2x＋3<0.因为Δ＝－8<0，所以方程x2－2x＋3＝0无实数根．画出二次函数y＝x2－2x＋3的图象(图3)．结合图象得不等式x2－2x＋3<0的解集为∅.因此，原不等式的解集为∅.因为方程x2－5x＋6＝0的根是函数y＝x2－5x＋6的零点，所以先求出x2－5x＋6＝0的根，再根据函数图象得到x2－5x＋6>0的解集．教材反思我们以求解可化成ax2＋bx＋c>0(a>0)形式的不等式为例，用框图表示其求解过程．跟踪训练1 解下列不等式：(1)x2－7x＋12>0；(2)－x 2－2x ＋3≥0； (3)x 2－2x ＋1<0； (4)－2x 2＋3x －2<0.解析：(1)因为Δ＝1＞0，所以方程x 2－7x ＋12＝0有两个不等实根x 1＝3，x 2＝4.再根据函数y ＝x 2－7x ＋12的图象开口向上，可得不等式x 2－7x ＋12＞0的解集是{x |x ＜3或x ＞4}．(2)不等式两边同乘－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0.因为Δ＝16＞0，所以方程x2＋2x －3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝1.再根据函数y ＝x 2＋2x －3的图象开口向上，可得不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}．(3)因为Δ＝0，所以方程x 2－2x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝1.再根据函数y ＝x 2－2x ＋1的图象开口向上，可得不等式x 2－2x ＋1＜0的解集为∅.(4)原不等式可化为2x 2－3x ＋2＞0，因此Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R .状元随笔 化二次项系数为正―→计算相应方程的判别式Δ及两根x 1，x 2――→函数图象结果题型二 三个“二次”之间的关系[经典例题]例2 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．【解析】 方法一 由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系可知b a ＝－5，c a ＝6.由a <0知c <0，b c ＝－56，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即x 2＋b c x ＋a c >0，即x 2－56x ＋16>0，解得x <13或x >12，所以不等式cx2＋bx ＋a <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 方法二 由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax2＋bx ＋c ＝0的两根，所以ax 2＋bx ＋c ＝a (x －2)(x －3)＝ax 2－5ax ＋6a ⇒b ＝－5a ，c ＝6a ，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即6ax 2－5ax ＋a <0⇒6a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0，故原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 状元随笔 由给定不等式的解集形式→确定a<0及关于a ，b ，c 的方程组→ 用a 表示b ，c →代入所求不等式→求解cx 2＋bx ＋a<0的解集方法归纳一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．(2)若一元二次不等式的解集为R 或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．跟踪训练2 已知一元二次不等式x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集．解析：因为x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，所以x 1＝－12与x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13－12＝－p ，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16.所以不等式qx 2＋px ＋1>0即为－16x 2＋16x ＋1>0，整理得x 2－x －6<0，解得－2<x <3.即不等式qx 2＋px ＋1>0的解集为{x |－2<x <3}． 状元随笔观察给定不等式的解集形式→由根与系数的关系得p ，q 的方程组→确定p ，q 的值→求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集题型三 含参数的一元二次不等式的解法[经典例题] 例3 解关于x 的不等式2x 2＋ax ＋2>0.【解析】 对于方程2x 2＋ax ＋2＝0，其判别式Δ＝a 2－16＝(a ＋4)(a －4)． ①当a >4或a <－4时，Δ>0，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两根为x 1＝14(－a －a 2－16)，x 2＝14(－a ＋a 2－16)． ∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <14(－a －a 2－16)或x >14(－a ＋a 2－16).②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，∴原不等式的解集为{x|x≠1}．④当－4<a<4时，Δ<0，方程无实根，∴原不等式的解集为R.状元随笔二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．方法归纳含参数一元二次不等式求解步骤(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向；(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数；(3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．跟踪训练3 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.解析：原不等式可变形为(x－a)·(x－a2)>0，则方程(x－a)(x－a2)＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2，(1)当a<0时，有a<a2，∴x<a或x>a2，此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；(2)当0<a<1时，有a>a2，即x<a2或x>a，此时原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；(3)当a>1时，有a2>a，即x<a或x>a2，此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；(4)当a＝0时，有x≠0；∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；(5)当a＝1时，有x≠1，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；综上可知：当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}．状元随笔不等式左边分解因式→讨论a的范围→比较a与a 2的大小→写出不等式的解集题型四一元二次不等式的实际应用[经典例题]例4 某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x(百台)，其总成本为g(x)万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r (x )满足r (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋7x －10.5，0≤x ≤7，13.5，x ＞7.假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求： (1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？【解析】 (1)依题意得g (x )＝x ＋3，设利润函数为f (x )，则f (x )＝r (x )－g (x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋6x －13.5，0≤x ≤7，10.5－x ，x ＞7，要使工厂有盈利，则有f (x )>0，因为f (x )>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，－0.5x 2＋6x －13.5＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞7，10.5－x ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，x 2－12x ＋27＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞7，10.5－x ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，3＜x ＜9或⎩⎪⎨⎪⎧x >7，x <10.5.则3＜x ≤7或7＜x ＜10.5，即3＜x ＜10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1 050台的范围内．(2)当3＜x ≤7时，f (x )＝－0.5(x －6)2＋4.5，故当x ＝6时，f (x )有最大值4.5，而当x ＞7时，f (x )＜10.5－7＝3.5，所以当工厂生产600台产品时盈利最大.(1)求利润函数f(x)⇒解不等式f(x)>0⇒回答实际问题． (2)根据第(1)题所求范围，分类讨论求函数最值⇒回答实际问题． 方法归纳解不等式应用题的四步骤(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系． (2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系． (3)求：解不等式． (4)答：回答实际问题．特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．跟踪训练4 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．(1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围．解析：(1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)依题意得，y ＝200a (1＋2x %)(10－x )% ＝150a (100＋2x )(10－x )(0<x <10)． (2)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元)． 依题意得，150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，化简得x 2＋40x －84≤0， ∴－42≤x ≤2.又∵0＜x ＜10，∴0＜x ≤2. ∴x 的取值范围是{x |0＜x ≤2}．状元随笔 根据题意，列出各数量之间的关系表，如下：原计划 降税后 价格(元/担)200 200税率 10% (10－x)%(0<x<10)收购量(万担) a a(1＋2x%) 收购总金额(万元) 200a 200·a(1＋2x%) 税收y(万元)200a·10%200·a(1＋2x%)(10－x)%一、选择题1．不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x <13 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <1 C ．∅ D ．R解析：因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝－8<0，所以抛物线y ＝3x 2－2x ＋1开口向上，与x 轴无交点，故3x 2－2x ＋1>0恒成立，即不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为R .答案：D2．设m ＋n >0，则关于x 的不等式(m －x )(n ＋x )>0的解集是( )A ．{x |x <－n 或x >m }B ．{x |－n <x <m }C ．{x |x <－m 或x >n }D ．{x |－m <x <n }解析：不等式(m －x )(n ＋x )>0可化为(x －m )(x ＋n )<0，方程(x －m )(x ＋n )＝0的两根为x 1＝m ，x 2＝－n .由m ＋n >0，得m >－n ，则不等式(x －m )(x ＋n )<0的解集是{x |－n <x <m }，故选B.答案：B 3．不等式ax2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <12，则a ，c 的值分别为( ) A ．a ＝6，c ＝1 B ．a ＝－6，c ＝－1 C ．a ＝1，c ＝1 D ．a ＝－1，c ＝－6解析：由题意知，方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两根为x 1＝13，x 2＝12，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝13＋12＝－5a ，x 1·x 2＝13×12＝ca.解得a ＝－6，c ＝－1.答案：B4．若不等式x 2＋mx ＋m2>0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(0,2)解析：由题意知原不等式对应方程的Δ<0，即m 2－4×1×m2<0，即m 2－2m <0，解得0<m <2，故答案为D.答案：D 二、填空题5．不等式(2x －5)(x ＋3)<0的解集为________．解析：方程(2x －5)(x ＋3)＝0的两根为x 1＝52，x 2＝－3，函数y ＝(2x －5)(x ＋3)的图象与x 轴的交点坐标为(－3,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，所以不等式(2x －5)(x ＋3)<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <52. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <52 6．不等式2x －12x ＋1<0的解集为________．解析：原不等式可以化为(2x －1)(2x ＋1)<0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<0， 故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <12. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <12 7．用一根长为100 m 的绳子能围成一个面积大于600 m 2的矩形吗？若“能”，当长＝________ m ，宽＝________ m 时，所围成的矩形的面积最大．解析：设矩形一边的长为x m ，则另一边的长为(50－x )m,0<x <50.由题意，得x (50－x )>600，即x 2－50x ＋600<0，解得20<x <30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m 2的矩形．用S 表示矩形的面积，则S ＝x (50－x )＝－(x －25)2＋625(0<x <50)．当x ＝25时，S 取得最大值，此时50－x ＝25.即当矩形的长、宽都为25 m 时，所围成的矩形的面积最大．答案：25 25三、解答题8．解下列不等式：(1)x 2＋2x －15>0；(2)x 2－3x ＋5>0；(3)4(2x 2－2x ＋1)>x (4－x )．解析：(1)x 2＋2x －15>0⇔(x ＋5)(x －3)>0⇔x <－5或x >3，所以不等式的解集是{x |x <－5或x >3}．(2)因为Δ＝(－3)2－4×1×5＝－11<0，再根据函数y ＝x 2－3x ＋5图象的开口方向，所以原不等式的解集为R .(3)由原不等式得8x 2－8x ＋4>4x －x 2.∴原不等式等价于9x 2－12x ＋4>0.解方程9x 2－12x ＋4＝0，得x 1＝x 2＝23. 结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图象知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠23. 9．若关于x 的一元二次不等式ax2＋bx ＋c <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <13或x >12，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，13＋12＝－b a ，13×12＝c a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，b ＝－56a >0，c ＝16a <0， 代入不等式cx 2－bx ＋a >0中得16ax 2＋56ax ＋a >0(a <0)． 即16x 2＋56x ＋1<0，化简得x 2＋5x ＋6<0， 所以所求不等式的解集为{x |－3<x <－2}． [尖子生题库] 10．解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2<0.解析：方程x 2－ax －2a 2＝0的判断式Δ＝a 2＋8a 2＝9a 2≥0，得方程两根x 1＝2a ，x 2＝－a .(1)若a >0，则－a <x <2a ，此时不等式的解集为{x |－a <x <2a }；(2)若a <0，则2a <x <－a ，此时不等式的解集为{x |2a <x <－a }；(3)若a ＝0，则原不等式即为x 2<0，此时解集为∅. 综上所述，原不等式的解集为：当a >0时，{x |－a <x <2a }；当a <0时，{x |2a <x <－a }；当a ＝0时，∅.。
《二次函数与一元二次方程》说课稿
《二次函数与一元二次方程（第1课时）》说课稿一、教材分析《二次函数与一元二次方程》是人教版九年级上册第22章第二节的第1课时的内容。
教材从一次函数与一元一次方程的关系入手，通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题，并结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系。
这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。
本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系。
用函数的观点看方程，可以把方程看成函数值为某个定值时的情况，所以，研究函数与方程的关系是对函数的进一步深化。
学生在一次函数时已经了解了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次不等式组之间的联系，本章专设一节，通过探讨二次函数与一元二次方程的联系，再次展示函数与方程之间的联系。
这样既深化学生对一元二次方程的认识，又可以运用二次函数解决一元二次方程的相关问题，体现了知识之间的联系。
二、学情分析学生已经学习了一元一次方程和一次函数，一元二次方程，二次函数的图像和性质等知识，对函数与方程的关系已有初步认识。
但是运用函数的思想解决问题的意识还不够，仍习惯于孤立地看待方程与不等式的问题。
本节学习可以帮助学生进一步建立函数与方程的联系，提升用函数思想解决问题的意识和能力。
三、教学目标1.了解一元二次方程的根的几何意义;理解抛物线与横轴的三种位置关系对应一元二次方程的根的三种情况.2.经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程,结合图象,进一步体会函数与方程之间的联系。
3.运用函数思想解决问题，体会事物之间的转化，提升思维品质。
四、教学重难点重点：二次函数与一元二次方程的联系，利用函数解决方程的有关问题.难点：将方程问题转化为函数问题，运用函数的思想解决问题。
五、教学策略由一次函数与一元一次方程的关系说起，采用类比的方法研究二次函数与一元二次方程的关系。
以实际问题为情境从数与形两个角度理解函数与方程之间的联系。
例析利用二次函数的图象求一元二次方程的根
例析利用二次函数的图象求一元二次方程的根二次函数是一个常见的二次方程方程的图象，通过利用二次函数的图象可以求解一元二次方程的根。
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a≠0。
首先，我们来分析二次函数的图象。
二次函数的标准形式为y =ax^2 + bx + c，其中a≠0，对应的图象是一个抛物线。
如果a>0，那么抛物线开口向上，最低点在y轴上方，如果a<0，那么抛物线开口向下，最低点在y轴下方。
我们可以通过观察二次函数的图象，抛物线与x轴相交的点就是一元二次方程的根。
根据图象的特点，我们可以得出下面的结论：1.如果二次函数图象与x轴有两个交点，那么一元二次方程有两个不同的实数根；2.如果二次函数图象与x轴有且只有一个交点，那么一元二次方程有一个实数根；3.如果二次函数图象与x轴没有交点，那么一元二次方程没有实数根。
接下来，我们以一个具体的例子来说明如何利用二次函数的图象求解一元二次方程的根。
例1：求解方程x^2-3x+2=0的根。
首先，我们将方程的系数与一元二次方程的一般形式对应起来，可以看出a=1，b=-3，c=2我们可以通过求解方程的判别式来判断该方程有几个实数根。
判别式的计算公式为D=b^2 - 4ac，其中D为判别式的值。
根据判别式的值可以得出以下结论：1.如果D>0，方程有两个不同的实数根；2.如果D=0，方程有一个实数根；3.如果D<0，方程没有实数根。
我们将系数代入计算判别式：D=(-3)^2-4*1*2=9-8=1根据判别式的结果，我们可以得知方程有两个不同的实数根。
接下来，我们可以画出二次函数的图象来求解方程的根。
首先，我们可以画出抛物线的大致形状。
由于判别式大于0，所以抛物线开口向上。
现在，我们需要找到抛物线与x轴的交点。
我们可以看出，抛物线与x轴的交点对应方程的根。
根据题意，我们需要求解方程的两个根，所以我们需要找到抛物线与x轴的两个交点。
《利用函数的图象解一元二次方程》PPT课件
整合方法
(3)若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a 的取值范围． 解：a 的取值范围为49≤a＜98或 a≤－2.
整合方法
11．【2019·云南】已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－ 6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点．
(1)求k的值； 解：∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴， ∴k2＋k－6＝0，解得k1＝－3，k2＝2. 又∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k与x轴有两个交点， ∴0－4×1×3k＝－12k＞0，即k＜0. ∴k＝－3.
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高一数学必修第一册2019(A版)_《二次函数与一元二次方程、不等式》课标解读
《二次函数与一元二次方程、不等式》课标解读教材分析本节内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式是初中从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式的延续和深化，对已学习过的集合与常用逻辑用语、不等式等知识的巩固和运用具有重要作用，也与后面要学习的直线与圆锥面线以及导数等内容密切相关.许多问题的解决都会借助于本节课的知识，是近年来高考综合题的热点，在高中数学中起着广泛的应用工具作用.本节内容包括：从函数观点看一元二次方程、从函数观点看一元二次不等式.通过学习，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，体会数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想，提升学生直观想象和数学运算素养.学情分析学生在初中就已经接触了不等式，并通过从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，有着良好的知识基础.同时学生的心智发育逐渐成熟，发散思维习惯和方式已初步形成，具备了一定的数形结合思想，有着较好的观察与总结、类比、化归、探究的能力.教学建议一方面，引导学生回顾从一次函数的角度看一元一次方程与一元一次不等式，类比学会从二次函数的角度看一元二次方程与一元二次不等式，进一步理解函数、方程和不等式之间的关系，体会数学的整体性，提升数学运算等素养.另一方面，课上通过多列举具体的问题（也可以让学生提出问题或总结常见问题），让学生认识一元二次不等式在现实世界的广泛应用，提升数学建模素养. 学科核心素养目标与素养1.通过学习，理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数之间的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法，培养学生数形结合的能力、分类讨论的思想，积累基本解题经验，达到逻辑推理和直观想象核心素养水平一的层次.2.能够利用一元二次不等式解决一些实际问题，提升数学建模的能力，达到数学建模和数学运算核心素养水平一的层次.情境与问题通过用栅栏围矩形区域种植花卉的情境，引出一元二次不等式，进而探究它与一元二次方程、二次函数之间的关系.内容与节点本节内容为二次函数与一元二次方程、不等式，而一元二次不等式的求解是解不等式的基础和核心，它已成为代数、三角、解析几何交汇综合的部分.过程与方法1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法，强化直观想象和逻辑推理的核心素养水平.2.利用一元二次不等式解决一些实际问题的探究过程，使学生掌握数学建模的方法，巩固数学建模和数学运算的核心素养.教学重点难点重点能借助一元二次函数求解一元二次不等式.难点理解三个“二次”之间的关系.。
2022_2023学年新教材高中数学课时作业十三从函数观点看一元二次方程湘教版必修第一册
课时作业(十三) 从函数观点看一元二次方程[练基础]1．若x1，x2是方程x2－3x－4＝0的两个根，则x1＋x2的值是( )A．1 B．－3 C．3 D．－42．若b2－4ac＝0，则二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)零点的个数为( )A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定3．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)有两个零点x1<0，x2>0，且x1＋x2>0，则( )A．b>0，c>0 B．b>0，c<0C．b<0，c>0 D．b<0，c<04．已知a，b，c满足a＋c＝2b，那么二次函数y＝ax2＋2bx＋c的图象与x轴交点的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．1或25．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是( )6．(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)……求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称，根据现有信息，题中的二次函数一定具有的性质是( )A．在x轴上截得的线段的长度是2B．与y轴交于点(0，3)C．顶点是(－2，－2)D．过点(3，0)7．已知二次函数的图象的顶点坐标为(1，1)，且过点(2，2)，则该二次函数的解析式为________________．8．已知α，β是方程x2－7mx＋4m2＝0的两根，且(α－1)·(β－1)＝3，则m的值为________．9．已知函数y＝x2＋ax＋b的图象与x轴分别交于点(1，0)，(2，0)，求函数y＝x2＋bx＋a的零点．10．已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根．(1)求k的取值范围；(2)若此方程的两个实数根x1，x2满足x＋x＝11，求k的值．[提能力]11．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口向下，与y轴正半轴相交，则函数的零点个数是( )A．1B．2 C．0D．无法确定12．(多选)若关于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝m有实数根x1，x2，且x1<x2，则下列结论中正确的是( )A．当m＝0时，x1＝2，x2＝3B．m>－C．当m>0时，2<x1<x2<3D．二次函数y＝(x－x1)(x－x2)＋m的图象与x轴交点的坐标为(2，0)和(3，0)13．一元二次方程(1－k)x2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________．14．若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，则实数a的值为________，函数f(x)其余的零点为________．15．已知关于x的一元二次方程x2＋(4m＋1)x＋2m－1＝0.(1)求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程两根为x1，x2且满足＋＝－，求m的值．[培优生]16．对于二次函数y＝ax2＋(b＋1)x＋b－2(a≠0)，若存在实数x0，当x＝x0，有y ＝x0成立，则称x0为该二次函数的不动点．(1)当a＝2，b＝－2时，求该二次函数的不动点；(2)若对于任意实数b，二次函数恒有两个不相同的不动点，求a的取值范围．课时作业(十三) 从函数观点看一元二次方程1．解析：由韦达定理得x1＋x2＝－＝3.答案：C2．解析：因为b2－4ac＝0，所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，所以二次函数y＝ax2＋bx＋c有一个零点．答案：B3．解析：首先a<0，由于二次函数一个正根、一个负根，而x1·x2＝，故c>0.而x1＋x2＝－>0，所以b>0，故选A.答案：A4．解析：∵2b＝a＋c，∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0，∴二次函数y ＝ax2＋2bx＋c的图象与x轴交点的个数为1或2，故选D.答案：D5．解析：∵a＋b＋c＝0且a>b>c，∴a>0，c<0，∴抛物线的开口向上，与y轴的交点在负半轴上，选项D符合题意．故选D.答案：D6．解析：A.抛物线与x轴两交点为(1，0)，(3，0)，故在x轴上截得的线段长是2，正确；B.图象过点(1，0)，且对称轴是直线x＝2时，代入解析式即可得出b＝－4a，c＝3a.当a＝1时与y轴的交点可以是(0，3)，正确．C.顶点的横坐标应为对称轴，本题的顶点坐标与已知对称轴矛盾，错误；D.因为图象过点(1，0)，且对称轴是直线x＝2，则x轴上另一个交点为(3，0)，正确．答案：ABD7．解析：设二次函数的解析式为y＝a(x－1)2＋1(a≠0)，将(2，2)代入上式，2＝a(2－1)2＋1得a＝1，所以y＝(x－1)2＋1.答案：y＝(x－1)2＋18．解析：因为α，β是方程x2－7mx＋4m2＝0的两根，所以α＋β＝7m，αβ＝4m2，Δ＝(－7m)2－4×1×4m2＝33m2≥0.又因为(α－1)(β－1)＝3，即αβ－(α＋β)－2＝0，所以4m2－7m－2＝0，解得m＝2或m＝－.答案：2或－9．解析：由题意，1，2是函数y＝x2＋ax＋b的零点，所以x1＝1，x2＝2是方程x2＋ax＋b＝0的根，所以，所以，所以方程x2＋2x－3＝0的两个根为x1＝1，x2＝－3，即函数y＝x2＋2x－3的零点为1，－3.10．解析：(1)由题意方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根，则满足Δ＝[－(2k－1)]2－4(k2＋k－1)＝－8k＋5≥0，解得k≤，即实数k的取值范围是；(2)由(1)可知k≤，又由一元二次方程中根与系数的关系，可得x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2＋k－1，因为x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(2k－1)2－2(k2＋k－1)＝2k2－6k＋3＝11，所以k＝4或k＝－1，又因为k≤，所以k＝－1.11．解析：因为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口向下，所以a<0，因为图象与y轴正半轴相交，所以c>0，所以a·c<0，所以Δ＝b2－4ac>0，所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个根，故函数有两个零点．答案：B12．解析：画出二次函数y＝(x－2)(x－3)的图象，当m＝0时，x1＝2，x2＝3成立，故A选项结论正确．根据二次函数图象的对称性可知，当x＝2.5时，y取得最小值为－.要使y＝(x－2)(x－3)＝m有两个不相等的实数根，则需m>－，故B选项结论正确．当m>0时，根据图象可知x1<2，x2>3，故C选项结论错误．由(x－2)(x－3)＝m展开得x2－5x＋6－m＝0，根据韦达定理得x1＋x2＝5，x1·x2＝6－m.所以y＝(x－x1)(x－x2)＋m＝x2－(x1＋x2)x＋x1x2＋m＝x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)，故y＝(x－x1)(x－x2)＋m与x轴的交点坐标为(2，0)，(3，0).答案：ABD13．解析：由题意一元二次方程(1－k)x2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则，解得k<2且k≠1.答案：k<2且k≠114．解析：由题意知f(－3)＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6.所以f(x)＝x2＋x－6.解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.所以函数f(x)其余的零点是2.答案：6 215．解析：(1)∵Δ＝(4m＋1)2－4(2m－1)＝16m2＋5>0，∴方程有两个不相等的实根．(2)∵x1＋x2＝－(4m＋1)，x1x2＝2m－1，＋＝＝－，∴＝－，∴m＝－.16．解析：(1)由题意得2x2＋(－2＋1)x＋(－2)－2＝x，整理得2x2－2x－4＝0，解方程得x1＝－1，x2＝2，则该二次函数的不动点为－1和2.(2)由题意可知方程ax2＋(b＋1)x＋b－2＝x恒有两解，则Δ＝b2－4a(b－2)＝b2－4ab＋8a>0对任意的实数b恒成立．把b2－4ab＋8a看作是关于b的二次函数，则有Δ1＝(4a)2－4·8a＝16a2－32a＝16a(a－2)<0，解得0<a<2即为所求．。
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26.2 用函数的观点看一元二次方程
教学目标：
感受二次函数与一元二次方程之间的关系，会判断抛物线与x 轴交点个数，掌握方程与函数之间的转化。
重点、难点：
1、 探索函数图象与一元二次方程的关系，理解与x 轴交点。
2、 函数、方程、x 轴交点之间的关系。
3、 运用二次函数及其图象，性质解决方程的根。
教学过程：
一、 复习回顾
解方程：1、022=-+x x 2、0962=+-x x 3、012
=+-x x
回顾复习解一元二次方程的过程中，问：在不求解情况下，可以用什么方法来知方程根的情况呢？（此处可让学生独立思考，点名回答）
总结出：一元二次方程：()002
≠=++a c bx ax 可以用ac b 42
-=∆这个判别式来判断
根的情况。
（适当的让学生复习出求根公式）
问：那函数()02
≠++=a c bx ax y 与方程之间的关系是如何呢？这就是我们今天要学习的
方法……用函数观点看一元二次方程。
二、 解读探究，新课新授
（用小黑板展示题目）探究：以40m ／s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时
间t (单位：s) 之间具有关系：2
520t t h -=
问：⑴球的飞行高度能否达到15m ？如果能，需要多少飞行时间？ ⑵球的飞行高度能否达到20m ？如果能，需要多少飞行时间？ ⑶球的飞行高度能否达到20.5m ？为什么？ ⑷球从飞出到落地用多少时间？
分析：在现实问题中没存在坐标系，函数的图形也无法确定顶点。
在这可加上坐标后，让学生了解把现实生活搬到纸上可以更好的分析问题。
球的高度与时间之间的关系是：
2520t t h -=二次函数的解析式，存在两个变量的关系。
（1） 当h=15m 时，变成2
52015t t -=关于t 的二次方程。
求解方程：11=t 32=t 。
表示当1s 和3s 时球达到了15m 。
为何有两个呢？（抛物线关于对称轴对称）
⑵当h=20m 时，代入得到2
52020t t -=的方程，解得221==t t 到达2s 时达到20m 高。
⑶当h=20.5时，代入得到2
5205.20t t -=的方程，由于Δ﹤0 这个方程无实根，也就是找不到对应的时间能到达20.5m ，也就是不能达到20.5m 高。
⑷球落地时也就相当于球的高度为零h=0时，代入2
5200t t -=解得01=t 42=t ，存在两个，0时是还没出发，4s 时是落地的时间点，从开始出发0s 到落地4s ，总共是花了4s. 总结：由以上的4个问题，了解到，当函数的两个变量，函数值确定，函数变化为一元二次方程。
求出相应自变量的值即可。
我们知道当函数值y=0时，所表示的点是在x 轴上。
当函数()02
≠++=a c bx ax y 的y 值取0时，抛物线就跟x 轴有交点。
三、观图思考
图上函数与x 轴的交点存在与否？看图了解： ⑴22
-+=x x y = 0 ⑵962
+-=x x y = 0 ⑶12
+-=x x y = 0
师生，让学生观察图中了解，⑴中抛物线与x 轴有两个交点，分别是（-2，0）（1,0）两个点。
⑵中的抛物线与x 轴有一个交点（3，0）。
⑶中无交点。
与x 轴的交点，既是当y=0时，x 的值。
此时函数已变成一元二次方程。
得到：022
=-+x x ()0921412
〉=-⨯⨯-=∆ 方程是有两个不相等的实根。
0962=+-x x ()091462
=⨯⨯--=∆ 方程有两个相等的实根。
（1根）
012=+-x x ()0311412
〈-=⨯⨯--=∆ 方程无实根。
总结：抛物线与x 轴的三种
位置
同步练习：判断下列抛物线与x 轴的交点个数；
⑴ 432
-+-=x x y ⑵6532
+--=x x y ⑶ 2422
-+-=x x y
四、课堂小结：
函数()02
≠++=a c bx ax y 与方程之间的关系，当函数值y 确定时，函数变为方程。
当y 取0时，函数变成()002
≠=++a c bx ax 方程，此时可以用来判断抛物线与x 轴之间
的交点。
板书：
用函数观点看一元二次方程
例题：（小黑板） ()002
≠=++a c bx ax
022
=-+x x
0962
=+-x x
012
=+-x x。