等差数列的概念(第一课时)(教案)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)

等差数列的概念第一课时1.课时教学内容等差数列的概念2.课时学习目标(1)能说出等差数列、等差中项的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列；(2)会用等差数列的通项公式解决简单问题；3.教学重点与难点重点∶等差数列的定义，等差数列的通项公式。

难点∶等差数列的通项公式。

4.教学过程设计环节一情景引入观察下列现实生活中的数列，回答后面的问题。

1、我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2017，2029，2041，2053，2065，2077，…；①2、我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275，270，265，260，255，250，…；②3、2020年1月中，每个星期日的日期为5，12，19，26.③问题1：观察数列①②③你能发现他们的规律吗？答：对于数列2017，2029，2041，2053，2065，2077，…；①我们发现：2029=2017+12，2041=2029+12，2053=2041+12，… 换一种写法就是：2029-2017=12，2041-2029=12，2053-2041=12，… 如果用{}n a 表示数列①，则有：,1212=-a a ,1223=-a a ,1234=-a a …对于数列①，有这样的规律：数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数12。

同样数列②满足从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数-5。

数列③满足从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数7。

【设计意图】通过三个例子，让学生研究三个数列的共性，从而得到等差数列的定义。

环节二 学习新知：问题2：什么是等差数列，你能给出等差数列的定义吗？一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

对定义的理解：等差数列的定义中的几个关键词是“从第2项起”，“同一个常数”问题3：你能判断下列数列是否为等差数列吗？ （1）5，9，13，17，21； 是（2）9，7，5，3，1，-1； 是 （3）6，6，6，6，6，6； 是 （4）0，1，0，1，0，1； 不是 【设计意图】熟悉等差数列的定义。

问题4：如果在数a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 应满足什么条件？答：由等差数列定义，有A b a A -=-,所以b a A +=2，即2ba A +=。

此时，我们把A 叫做a 和b 的等差中项。

a 和b 的等差中项是它们的算术平均数。

问题5：你能根据等差数列的概念写出它的递推公式吗？ 设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则由定义可得：d a a n n =-+1。

追问1：你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？ 答：由d a a n n =-+1则有：d a a =-12，d a a =-23，d a a =-34，…。

于是：d a a +=12d a d d a d a a 2)(1123+=++=+= d a d d a d a a 3)2(1134+=++=+=……归纳可得：)2()1(1≥-+=n d n a a n ，。

当1=n 时，上式为111)11(a d a a =-+=。

首项为为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的通项公式为：d n a a n )1(1-+=。

追问2：还有什么其他方法，推导等差数列的通项公式吗？d a a n n =--1 d a a n n =---21 d a a n n =---32……d a a =-23d a a =-12一共有n-1个等式，将它们进行累加，有,)1(1d n a a n -=-即,)1(1d n a a n -+= 追问3：你能写出以下数列的通项公式吗？ （1）5，9，13，17，21； （2）9，7，5，3，1，-1； （3）6，6，6，6，6，6； 答：（1）144)1(5+=⨯-+=n n a n ； （2）112)2()1(9+-=-⨯-+=n n a n ； （3）60)1(6=⨯-+=n a n 。

追问4：由等差数列的通项公式可以看出，要求n a ，需要哪几个条件？ 答：只要求出等差数列的首项1a 和公差d ，代入公式,)1(1d n a a n -+=即可。

问题6：观察等差数列的通项公式，它和哪一类函数有关？ 答：因为)()1(11d a dn d n a a n -+=-+=， 所以当0=d 时，1a a n =是常数函数；当0≠d 时，n a 是一次函数))(()(1R x d a dx x f ∈-+=当*)(,N n n x ∈=时的函数值，即)(n f a n =。

追问1：等差数列{}n a 的图像与一次函数))(()(1R x d a dx x f ∈-+=的图像有什么关系？答：数列{}n a 的图像是落在一次函数))(()(1R x d a dx x f ∈-+=图像上的一系列点。

追问2：由一次函数),()(为常数b k b kx x f +=得到的数列b kn a n +=一定是等差数列吗？答：任给),()(为常数b k b kx x f +=，则b kn a n +=，b k f a +==)1(1b n k n f a b kn n f a n n ++=+=+==+)1()1(,)(1， []k b kn b k n a a n n =+-++=-+)()1(1。

所以数列{}n a 是以)(b k +为首项，k 为公差的等差数列。

数列{}n a 是公差不为0的等差数列⇔数列的通项公式n a 是关于n 的一次函数。

追问3：可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？ 答：0>d 时，等差数列{}n a 单调递增； 0<d 时，等差数列{}n a 单调递减； 0=d 时，等差数列{}n a 为常数列。

环节三 例题解析：例1：已知等差数列{}n a 的通项公式为，n a n 25-=，求等差数列{}n a 的首项1a 和公差d 。

分析：有了通项公式，只要将1=n 代入，就能求得1a ，由通项公式写出1-n a 的表达式，由1--n n a a 可求得公差d 。

解：把1=n 代入通项公式，得31251=⨯-=a ，当2≥n 时，n n a n 27)1(251-=--=-，于是2)27()25(1-=---=-=-n n a a d n n ，所以数列{}n a 的首项为3，公差为-2。

追问1：还有其他方法求公差吗？分析：由于一直数列{}n a 为等差数列，所以数列中每一项与它前一项的差都等于公差d ，由于已求出首项为3，只需再求出2a ，12a a -即为公差。

解法2：31251=⨯-=a 12252=⨯-=a于是23112-=-=-=a a d 。

所以数列{}n a 的首项为3，公差为-2。

追问2：你能直接从通项公式看出公差的值吗？ 答：由于等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，即)()1(11d a dn d n a a n -+=-+=。

一次项系数即为公差d ，可以直接从通项公式看出公差d 的值。

解法3：31251=⨯-=a因为n a n 25-=，所以公差为-2，所以数列{}n a 的首项为3，公差为-2。

研究数列时,运用函数观点,将数列的通项公式或前n 项和公式,看成关于n 的函数,用函数方法得到数列的相关性质,是研究数列时的常用方法。

例2：求等差数列8，5，2，...的通项公式和第20项，并判断-289是否是数列中的项，若是，是第几项？分析∶只要知道数列的首项和公差，就可以求得数列的通项公式，从而可以求得第20项.公差可以由任意一项和它前一项的差求得。

求得通项公式以后，它是一个关于n 的方程，判断一289是否是数列中的项，只需要看一289是否能使得该方程有正整数解即可。

解：由已知条件，得385-=-=d ，把3,81-==d a 代入d n a a n )1(1-+=，得113)3()1(8+-=-⨯-+=n n a n ，所以491120320=+⨯-=a ，令289113-=+-n ，得100=n ，所以-289是该数列中的第100项。

等差数列的首项1a 和公差d 是等差数列的"基本量",由这两个基本量,可以求得等差数列通项公式和数列中的任意一项。

根据已知条件,列出关于通项公式中未知变量的方程或方程组,求得未知变量是解决等差数列相关问题的常用方法。

环节四 课堂小结：问题7：本节课学习了那些知识？ 1.等差数列的概念 (1) 等差数列及等差中项的定义；(2) 等差数列的通项公式；递推公式、归纳和累加法。

(3)通项公式的应用。

函数与方程.2.通项公式的应用(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．(2)等差数列{}n a 的通项公式d n a a n )1(1-+=中共含有四个参数，即1a ，d ，n ，n a ，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．(3)通项公式可变形为)(1d a dn a n -+=，可把n a 看作自变量为n 的一次函数。

环节五 课后作业： 1.求下列各组数的等差中项. (1)647和895； (2)53243112和-。

解：（1）771，（2）152122.已知在等差数列{}n a 中，12,20784==+a a a ，求4a 。

解：64=a 【巩固练习】1.设数列{a n }(n ∈N *)是公差为d 的等差数列，若a 2＝4，a 4＝6，则d 等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案 D2.已知等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5等于( ) A.15 B.22 C.7 D.29 答案 A3.在数列{a n }中，若a n ＋1＝a n ＋2，a 1＝8，则数列{a n }的通项公式为( ) A.a n ＝2(n ＋1)2 B.a n ＝4(n ＋1) C.a n ＝8n 2D.a n ＝4n (n ＋1)答案 A4.《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是( ) A.73斤 B.72斤 C.52斤 D.3斤 答案 B5.等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是( ) A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项 答案 B6.在△ABC 中，B 是A 和C 的等差中项，则cos B ＝________. 答案 127.已知等差数列{a n }中，a 1＋a 2＝a 4，a 10＝11，则a 12＝________. 答案 138.现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升. 答案 67669.在等差数列{a n }中，(1)若a 5＝15，a 17＝39，试判断91是否为此数列中的项. (2)若a 2＝11，a 8＝5，求a 10.解 (1)因为⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝15，a 1＋16d ＝39，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝2，所以a n ＝7＋2(n －1)＝2n ＋5.令2n ＋5＝91，得n ＝43.因为43为正整数，所以91是此数列中的项.(2)设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝11，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝－1.∴a n ＝12＋(n －1)×(－1)＝13－n ， 所以a 10＝13－10＝3.10.已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2.(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由.(2)求a n .解 (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列.理由如下：因为a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2，所以1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ，所以1a n ＋1－1a n ＝12，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝12，公差d ＝12 的等差数列.(2)由(1)可知，1a n ＝1a 1＋(n －1)d ＝n2，所以a n ＝2n.。