研究生泛函分析总结

应用泛函分析总结
1.距离空间的定义：设X 是非空集合，若存在一个映射d ：X ×X →R ，使得
∀x,y,z ∈X,下列距离公理成立：
（1）非负性：d(x,y)≥0，d(x,y)=0⇔x=y; （2）对称性：d(x,y)=d(y,x);
（3）三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y);
则称d(x,y)为x 与y 的距离，X 为以d 为距离的距离空间，记作（X ，d ）. P37 例题2.1.2
2.距离空间中的开集与闭集【两个定理的证明会考一个】
设A ⊂X ，若0A A =，则称A 为X 中的开集；若A =A ，则称A 为X 中的闭集。

定理2.2.1（开集与闭集的对偶性）开集的余集是闭集，闭集的余集是开集。

证：设A 为开集，则有A ∂⊂C A ；再由'0A A A A A =∂=,有
C C C C C C C A A A A A A A A =∂=∂=∂= )()()(0 故C A 为闭集，若A 为闭集，则由A A A A A ∂=∂=\\0,有
()
()
C C
C C C C C C C C C A A A A A A A A A A A ==∂=∂=∂=∂=)())(())(()(\0
故C A 为开集。

定理2.2.2任意个开集的并集是开集，有限个开集的交集是开集。

证：设αG (α∈I)为开集，令ααG G U I
∈=，则∀x ∈G ，I ∈∃β，使得βG x ∈。

由β
G 为开集，知∃r ＞0，使得 G G x B ⊂⊂β)(r 从而x 为G 的内点，故G 为开集；又设k k G G n
1==，其中k G （k=1,2,…，n ）为开集，则∀x ∈G,有x ∈k G （k=1,2,…，
n ）.由k G 开，知∃k r ＞0，使得k r G x B k ⊂)(，故取 }{r min 1k n
k r ≤≤=,则有
G G x B k n
k r =⊂= 1
)(，从而有x 为G 的内点，故G 亦为开集。

3.稠密性（掌握概念）
设A,B 是距离空间X 的两个子集，则 （1）A 称为X 中的稠集，若A =X
（2）A 称为B 的稠子集，若A ⊂B ⊂A （3）A 称为在B 中稠密，若B ⊂A .
4.Cauchy 列（基本列）（掌握概念）
距离空间（X,d ）中的点列｛n x ｝称为Cauchy 列（或基本列），若∀0＞ε，∃N ∈N,使当m,n ＞N 时，有d （n m x ,x ）＜ε （注意：0),(→⇔n m x x d （∞→n m ,） ） 定义2.5.2 距离空间（X,d ）成为完备的，若X 中的任一Cauchy 列都收敛到X 中的一点。

5.完备
距离空间（X,d ）称为完备的，若中的任一Cauchy 列都收敛到X 中的一点。

6.列紧集与紧集
设A 是距离空间X 的子集，若A 中的任一点列都有收敛子列，则称A 为列紧集；若A 中的任一点列都有收敛于A 的子列，则称A 为紧集。

7.压缩映射（重点 例题）
设（X,d ）为距离空间，T ：X →X 是X 到自身的一个自映射，若存在常数θ（0＜θ＜1），使对∀x,y ∈X ，有d （Tx,Ty ）≤θd(x,y),则称T 为X 上的压缩映射。

8.不动点
对X 上的自映射T ，若∃*x ∈X ，使得T *x =*x ，则称*x 为T 的一个不动点
9.给出映射须证出为压缩映射
例3.6.1 设X=(0,1/4]是R 中的左开右闭区间，其上的距离按数的距离：F:X →X,定义为2)(F x x =,X x ∈∀,那么
),(2
1
)()()()(),(F 22y x y x y x y x y F x F y F x ρρ≤
-+≤-=-=）（ ，X y x ∈∀, 则F 是X 上的一个收缩映射
课后例题1 设X=[1,∞+)是R 得子空间，X X →:T 定义为x
x x 1
2T +=，证明：T 是压缩映射并求出T 的不动点。

证明：设在X=[1,∞+)上有
2
1
121T 2'
≤-=x x ）（，故T 是压缩映射 ；令x x =T 得x
x x 1
2+=
，计算的2±=x ，故T 在[1,∞+)上有唯一的不动点2*=x
10.赋值空间
设X 是数域K 上的线性空间，若∀x ∈X ，都有一个实数||x||与之对应，使得∀x,y ∈X ，α∈K ，下列范数公理成立： （1）正定性：||x||≥0，||x||=0⇔x=0 （2）绝对齐次性：||αx||=|α| ||x|| （3）三角不等式：||x+y||≤||x||+||y||
则称||x||为x 的范数，X 为K 上的赋范空间，记作（X ，||·||） 例3.2.1∀x ∈R,定义||x||=|x|,则（R ，||·||）是赋范空间。

证明：o 1：有题知，显然有0≥=x x ，且00=⇔==x x x ，满足正定性 o 2：x x x x αααα===，满足绝对齐次性
o 3：设R ,∈y x ,∴y x y x y x +≤+=+,满足三角不等式， 所以（R ，||·||）是赋范空间。

例3.2.2∀x=（n x ，⋯,x 1）∈n
R ，定义p
p
n
k k p
x 1
1
||X
）（∑==，1≤p ＜∞，
||max ||x ||1k n
k x ≤≤∞=，
则（p R ||.||,n ）（1≤p ≤∞）均为赋范空间。

证明:1:有题意得：显然0||X
1
1
≥=∑=p
p
n
k k p
x ）（，且
),..,2,1(00||X
1
1
n k x x k p
p
n
k k p
==⇔==∑=）（ 满足正定性。

2：又因p
p
p
n
k
k p
p n
k
k
p
p
p
n
k k p
X
x x
x ααα
αα====∑∑∑=111
1
)(||X ）（）（满足绝对
齐次性。

3：设n n n R y y y y x x x x ∈==),...,,(),,...,,(2121,所以
p
p
p
n
k
p
k
p
n
k
p
k
p
p
k n
k
p
k
p
n
k p k k p
y
x
y x y x y x +=+≤+≤+=+∑∑∑∑=1111
1
)()()]([||y
x ）（
满足三角不等式，综上所述，（p R ||.||,n ）（1≤p ≤∞）均为赋范空间
例3.2.3 P75
10.Banach 空间的概念
完备的赋范空间称为Banach 空间。

11.范数的等价性
定义3.4.1 设1||.||和2||.||是线性空间X 上的两个范数，若∀｛n x ｝⊂X ，
0||||0||||21lim lim =⇔=∞
→∞
→n n n
n x x
，
则称1||.||与2||.||是等价的。

定理3.4.1（等价范数定理） 线性空间X 上的两个范数1||.||与2||.||等价的充分必要条件是：∃1C ,2C ＞0，使得∀x ∈X,有 12211||x ||||||||||C x x C ≤≤
证 必要性：设1||.||与2||.||等价，若不存在2C ＞0，使得∀x ∈X ，均有122||||||x ||x C ≤， 则∀n ∈N,∃n x ∈X,使得2||||n x ＞n 1||x ||n ，记n n n x x 2
||||1
y =
，则当n ∞→时，01
||||||||1||y ||121→=
n
x x n n n ＜ ，
12.内积空间的定义
13.Bessel不等式
14.正交分解定理
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

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