一元一次方程的应用题(含解析)

一元一次方程的应用题(一)考试要求：内容基本要求略高要求较高要求一元一了解一元一次方会根据具体问题列出一元一次方能运用整式的加减运算次方程程的有关概念程对多项式进行变形，进一步解决有关问题一元一理解一元一次方能熟练掌握一元一次方程的解会运用一元一次方程解次方程程解法中的各个法；会求含有字母系数(无需讨论)决简单的实际问题的解法步骤的一元一次方程的解例题精讲：应用题是中学数学中的一类重要问题，一般通过对问题中量的关系进行分析，适当的设未知数，找出等量关系列出方程加以解决.很多同学见到应用题就发怵，觉得题目长，文字多，关系复杂，难以把握.其实应用题关键在于读题，弄懂题意.一些常见的问题，比如行程问题、工程问题、利率问题、浓度问题等等，其中的基本关系一定要深刻理解.设未知数的方法一般来讲，有以下几种：直接设未知数解应用题：直接设未知数指题目问什么就设什么，它多适用于要求的未知数只有一个的情况；间接设未知数解应用题：设间接未知数，是指所设的不是所求的，而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用；引入辅助未知数解应用题：设辅助未知数，就是为了使题目中的数量关系更加明确，可以引进辅助未知数帮助建立方程.辅助未知数往往不需要求出，可以在解题时消去.解应用题的方法多种多样，除此之外，还有运用逆推法解应用题、运用整体思想解应用题、运用图形图表法解应用题等等，单纯的背这些方法是没有意义的，关键还在于提高理解能力，大量练习，从而学会快速读懂题意，综合运用各种方法去求解问题.列方程解应用题的步骤：①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系②设：设未知数（一般求什么，就设什么为 x）③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）模块一和差倍分问题【例1】玻璃缸里养了三个品种的金鱼，分别是“水泡”“朝天龙”“珍珠”．“水泡”的条数是“珍珠”的 3 倍；“朝天龙”的条数是“珍珠”的 2 倍，且“朝天龙”比“水泡”少 1 条，这三种金鱼各有几条呢?【解析】设“珍珠”的条数为x条，则“水泡”“朝天龙”的条数分别为3x条、2x条．依题意得：3x2x1，x1，从而3x3，2x2.【答案】3,2,1x【巩固】甲队有 32 人，乙队有 28 人，现从乙队抽人到甲队，使甲队是乙队人数的 2 倍，依题意，列出方程为【解析】略【答案】32 2(28 ).x x 【巩固】汽车若干辆装运货物一批，若每辆汽车装3.5吨货物，这批货物就有 2 吨运不走；若每辆汽车装 4 吨货物，那么装完这批货物后，还可以装其他货物 1 吨，问汽车有 多少辆?这批货物有多少吨？【解析】设有汽车 辆．依题意得：3.5 2 4 1，解之得： 6 ，41 23，故汽车 x x x x x 有 6 辆，货物有 23 吨．【答案】6 ； 23【例2】 ⑴ 甲仓库有粮120吨．乙仓库有粮90 吨．从甲仓库调运剂后甲仓库存粮是乙仓库的一半．吨到乙仓库，调 ⑵ 甲乙两个圆柱体容器，底面积比为5∶3，甲容器水深20c m ，乙容器水深10c m ， 再往两个容器注入同样多的水，使两个容器的水深相等，这时水深多少厘米?1【解析】⑴ 从甲仓库调运 吨到乙仓库，依题意得120 (90) ，解得 x 50 ． x x x 2⑵ 设这时水深 cm ，依题意得 5( 20) 3( 10)，解得 35 ．若学生不好理x x x x 解，不妨多设一个底面积比为5 ∶3 ．方程为5 (20) 3 ( 10) 即可． a a a x a x 【答案】50 ；352【巩固】某公司有甲乙两个工程队，甲队人数比乙队人数的 多 28 人．现因任务需要，从3乙队调走 20 人到甲队，这时甲队人数是乙队人数的 2 倍，则甲乙两队原来的人数 分别是多少人？2【解析】设乙队原来有 x 人，则甲队有 28 人．依题意可列：x 32 2 x 20 x 28 20 ，解得： 66x 3【答案】72,66【巩固】甲、乙、丙三条铁路共长1191千米，甲铁路长比乙铁路的2 倍少189千米，乙铁路长比丙铁路少8 千米，求甲铁路的长． 【解析】设丙铁路长为 千米，则乙铁路长x 8 千米，甲铁路长2 x 8 189 千x 米．依题意可列： x x 8 2 x 8189 1191【答案】499,344,352【巩固】如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长1 1度是它的 ，另一根露出水面的长度是它的 ．两根铁棒长度之和为55 ，此时cm 3 木桶中水的深度是5． cm1【解析】设此时木桶中水的深度为 c m ，依题意得，两根铁棒的长度为 [ (1 )]cm 和x x 31 1 1[x (1 )]cm ，故[x (1 )] [x (1 )] 55，解得 20．x 5 3 5【答案】20【例3】 牧羊人赶着一群羊寻找一个草长得茂盛的地方，一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了上来，他对牧羊人说：“你赶的这群羊大概有 100 只吧!”牧羊人答道：“如果这群 羊增加一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊一半的一半，连你这只 羊也算进去，才刚好凑满 100 只．”问牧羊人的这群羊共有多少只?1 2 14【解析】设这群羊共有 只，依题意，有2 1100 ，解之得 36 .x x x x x 【答案】36模块二 行程问题追击问题解决追击问题的一个最基本的公式：追击时间 速度差 追击的路程．于此相关 的问题都可以应用这一公式进行解答．【例4】 敌我两军相距 32 千米，敌军以每小时 6 千米的速度逃窜，我军同时以每小时 16 千米的速度追击在相距 2 千米的地方发生战斗，问战斗是从 开始追击后几小时发生的？【解析】根据追击问题的基本公式：追击时间 速度差 追击的路程．设战斗是从开始追击后 小时发生的．则依题意可列：166 x 32 2 ， x 解得： 3． x 【答案】3【巩固】环城自行车赛，最快的人在开始 48 分钟后遇到最慢的人，已知最快的人的速度是3最慢的人速度的 倍，环城一周是 20 千米，求两个人的速度。

232 43 【解析】设最慢的人的速度为 ，则最快的人的速度为 x ，依题意可列： x x 20 ． x 5 2解得： 50x【答案】慢人的速度为50 ，快人的速度为65．【巩固】一个通迅员骑摩托车追赶前面部队乘坐的汽车，汽车的速度是每小时 28 千米，摩托车的速度是每小时 42 千米，通讯员出发 4 小时后追上汽车，求部队比通讯员早 出发几小时？42 28 4 【解析】设部队比通讯员早出发x x 28 ，解得： 2 ． x【答案】2【例5】 某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30 千米，那么比火车开车时间早到15 分钟，若每小时行 18 千米，则比火车开车时间迟到 15 分钟，现在此人打算在 火车开车前 10 分钟到达火车站，则此人此时骑摩托车的速度应为多少？15 15【解析】设此人从家里出发到火车开车的时间为 小时，则30( ) 18( ) ，解得 1，x x x x 60 60此人打算在火车开车前 10 分钟到达，1530 (1 )60 骑摩托车的速度应为27 （千米/时） 10 160【答案】27【巩固】甲乙两列火车，甲车长 160 ，乙车长 120 ，甲车速度为 20m / s ，乙车速度为40m m m / s ；若乙车从后面追赶甲车，问从乙车追上甲车到乙车超过甲车的时间是多少？【解析】本题解题的关键是要注意“乙车追上甲车到乙车超过甲车”所以，追击路程为两车的 车长之和．设 从 乙 车 追 上 甲 车 到 乙 车 超 过 甲 车 的 时 间 为 ， 则 依 题 意 可 列 ：x 160 120 40 20 x解得： x 14 【答案】14相遇问题解决相遇问题的基本公式为：速度和 相遇时间 路程．【例6】 乙两站的路程为 360 千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶72 千米；一列慢车从甲站开出，每小时行驶 48 千米．两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时 相遇？【解析】设经过 小时相遇，则依题意可列： 72 48 x 360 ，解得： x 3．x【答案】3【巩固】甲、乙两人从相距75 的 、 两地相向而行，甲每小时行7.5 km A B,乙每小时行5km ，问：（1）两人同时出发，多少小时相遇？（2）甲先走 2 小时后乙出发，问乙 km出发几小时后两人相遇【解析】（1）设 小时相遇．依题意可列： 7.55 x 75 ，解得：6 x x （2）设乙出发 小时后两人相遇．则依题意可列：75 7.5 2 7.5 5 x ，解得：4 ． x x 【答案】6 ； 4【巩固】甲、乙两人从相距 73 的 、 两地相向而行，甲每小时行 7 ,乙每小时行 2 ，km A B km km 问：两人同时出发，多少小时相距 1 ？km 【解析】设 小时后相距1 ．依题意可列：73 1 7 2 x，解得： 8． kmx x 【答案】8变速问题【例7】 一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行 525 米，预计 40 分钟到达，但行到一半路程时，机器发生故障，用 5 分钟修理完毕，如果仍在预计的时间内到达，行驶余下的 路程，每分钟比原来速度快多少米？【解析】设比原来的速度快 x 20 5 ，解得： 175．x 525 x【答案】175【巩固】某人以每小时 8 千米的速度上山，以每小时 12 千米的速度下山，共用 5 小时。

问上山需要用多少时间？【解析】设上山需要用 小时，下山需要5 x 小时．则依题可列：8x 12 5x ，解得：x 3． x 【答案】3【巩固】Cenrrie 带着宠物狗“旺财”去玩接“飞盘”的游戏，Cenrrie 站一个小山坡的脚下，当Cenrrie 扔出“飞盘”，“旺财”从 Cenrrie 身边同时跑出去速度为 6 m / s ，接到“飞盘” 后以 9 m / s 的速度跑回 Cenrrie 身边，问整个过程中“旺财”的平均速度是多少？ 整个路程【解析】设“旺财”从身边跑出去接到飞盘所用的时间为 ，平均速度=，则 x 全程所用的时间2 6x整个过程中的平均速度为： 7.269x x【点评】这题切记利用两个速度和的一半来求平均速度，这样做是错误的．【例8】 某人有急事，预定搭乘一辆小货车从 A 地赶往 B 地．实际上，他乘小货车行了三分之一路程后改乘一辆小轿车，车速提高了一倍，结果提前一个半小时到达．已知 小货车的车速是 36 千米／小时，求两地间路程.【解析】列方程解应用题的基本思想是通过对实际问题中数量关系的分析，列出相关的代数式，进而建立方程，转化为纯数学问题来解决．这一过程的关键是要透过纷繁多变 问题的表象，住数量关系的实质；不能机械的记忆、套用某些题型而忽略了问题的 本质．常有貌似相像，实质不同的问题；也有面目迥异而实质相同的问题．本题与2 1 13上题具有相同的数量关系：后 程中时间节约了1 小时．所以设行驶了全程的3 2 x x 1还余 千米．根据题意，同样可列出方程， 1 ，解得 108．这时两地x x 36 72 22间路程是108 162 (千米)．3 【答案】162【巩固】一只小船从甲港到乙港逆流航行需 2 小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需 3 小时，水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行多少小时？【解析】设小船在静水中的速度为 ，原来的水速为 ，则2( ) 3( 2 ) ，解 得 4 ，a b a b a b a b 2(a b)(a 2b)故所求时间为 【答案】11（小时）.流水问题流水问题的常用公式：逆水时的速度=船速-静水速度顺水时的速度=船速+静水速度1船速= 逆水时的速度+顺水时的速度 21静水速度= 顺水时的速度-逆水时的速度 2【例8】 一小船由 A 港到 B 港顺流需行 6 小时，由B 港到 A 港逆流需行 8 小时，一天，小船从早晨 6 点由 A 港出发顺流行至 B 港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立 即返回，1 小时后找到救生圈.问：⑴若小船按水流速度由 A 港漂流到 B 港需多少小时？ ⑵救生圈是何时掉入水中的？【解析】⑴设小船在静水中的速度为 ，水流速度为b ，则6(a b) 8(a b) ，解得 a 7b ，a 6(a b)故小船按水流速度由 A 港漂流到 B 港所需时间为 48（小时）；b⑵设小船行驶 x 小时后，救生圈掉入水中，则(6 x 1)b (a b) 1 (6 x)(a b) ， 将 a 7b 代入上式，得到 x 5 ，故救生圈是上午 11 点掉入水中的.【巩固】甲、乙两港相距 360 千米，一轮船往返两港需 35 小时，逆流航行比顺流航行多花了 5 小时，现有一机帆船，静水中速度是每小时 12 千米，问这机帆船往返两港要 多少小时？ 【解析】解答本题需要两大步骤：首先求出水流的速度，其次，利用已求的水流速度求出帆船往返所需要的时间．设轮船顺流航行需要 小时，依题意可列： 5 35，解得： 15． x x x x 1360 360可求得水速为：3 （千米∕时） 215 20 360 360则帆船往返两港所需要的时间为：64 （小时） 12 3 12 3【答案】64模块三 工程问题【例9】 某车间原计划每周装配42 台机床，预计若干周完成任务．在装配了三分之一以后，改进操作技术，工效提高了一倍，结果提前一周半完成任务．求这次任务需装配机 床总台数．13x x 1 【解析】设装配了机床总量的 还余 台．根据题意可列方程 x1 ，解得 42 42 2 2 2x 126．这时总任务是 【答案】189126 189 (台)．3【巩固】某工程，甲工程队单独做40天完成，乙工程队单独做需要60天完成，若乙工程队单独做30 天后，甲、乙两工程队再合作 天完成．列方程为． x 1 1 1【解析】 30 ( ) 1．x 60 【答案】130 60【例10】一水池，装有甲、乙两个进水管和一个出水管丙，如果单独开发甲管4 小时注满水池；单独开放乙管3 小时可注满水池；单独开放丙管8 小时可以把满池水放完。