(精选)长沙理工大学大一高数期末考试题(精)
一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1. )(
0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .
（A ）
(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.
2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=
x x x x x
x βα.
（A ）
()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；
（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.
3.
若
()()()0
2x
F x t x f t dt
=-?，其中
()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则
（ ）.
（A ）函数()F x 必在0x
=处取得极大值；
（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；
（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.
)
(
)( , )(2)( )(1
=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设
（A ）2
2
x （B ）
2
22x +（C ）1x - （D ）2x +.
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5. =
+→x
x x sin 20
)
31(lim .
6. ,)(cos 的一个原函数是已知
x f x x =??x x x
x f d cos )(则 .
7.
lim
(cos cos cos )→∞
-+++=2
2
221L n n n
n
n n π
π
ππ .
8.
=
-+?
2
1
2
12
211
arcsin －
dx x
x x .
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
9. 设函数=()y y x 由方程
sin()1x y
e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .
10. .d )1(17
7
x x x x ?+-求
11. ．
求，， 设?--?????≤<-≤=1 32
)(1020
)(dx x f x x x x xe x f x
12.
设函数)(x f 连续，
=?1
()()g x f xt dt
，且
→=0
()
lim
x f x A
x ，A 为常数. 求
'()g x 并讨论
'()g x 在=0x 处的连续性.
13.
求微分方程2ln xy y x x
'+=满足
=-
1(1)9y 的解.
四、 解答题（本大题10分）
14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线
斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲
线方程.
五、解答题（本大题10分）
15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.
(1)
求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
16. 设
函数
)
(x f 在
[]
0,1上连续且单调递减，证明对任意的
[,]
∈01q ，
1
()()≥??q f x d x q f x dx
.
17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=?π
x d x f ，0cos )(0=?π
dx x x f .证明：
在
()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设?=
x
dx
x f x F 0
)()(）
一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5.
6
e . 6.c
x x +2
)cos (21 .7. 2π. 8.
3
π
.
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导
(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++=
cos()
()cos()x y x y
e y xy y x e x xy +++'=-+
0,0x y ==，(0)1y '=-
10. 解：767u x x dx du =
=
1(1)112
()7(1)71u du du
u u u u -=
=-++??原式 1
(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712
ln ||ln |1|77x x C =-++
11.
解：
10
330
()x
f x dx xe dx ---=+???
3
()x xd e --=-+??
00
2
32
cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----??=--+-=???
令
321
4
e π
=
--
12. 解：由
(0)0f =，知(0)0g =。
===
??1
()()()x
xt u
f u du
g x f xt dt x
(0)x ≠
02
()()()(0)
x
xf x f u du
g x x x
-'=
≠?
2
0()()A
(0)lim lim
22x
x x f u du
f x
g x x →→'===?
02
()()lim ()lim
22x
x x xf x f u du
A A
g x A x
→→-'==-
=
?，'()g x 在=0x 处连续。
13.
解：2
ln dy y x dx x +=
2
2
(ln )
dx dx x x
y e e xdx C -??=+?
2
11
ln 39x x x Cx -=
-+
1
(1),09y C =-=，
11ln 39y x x x
=- 四、 解答题（本大题10分） 14. 解：由已知且0
2d x
y y x y
'=+?，
将此方程关于x 求导得y y y '+=''2
特征方程：022
=--r r
解出特征根：
.2,121=-=r r
其通解为
x x e C e C y 221+=-
代入初始条件
y y ()()001='=，得
31
,3221==
C C
故所求曲线方程为：
x x e e y 23132+=
-
五、解答题（本大题10分）
15. 解：（1）根据题意，先设切点为
)ln ,(00x x ，切线方程：
)(1
ln 00
0x x x x y -=
-
由于切线过原点，解出
e x =0，从而切线方程为：
x e y 1
=
则平面图形面积
?-=
-=1
121
)(e dy ey e A y
（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1，则
213
1
e V π=
曲线
x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积为V 2
?-=1
22)(dy
e e V y π
D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
)
3125(6
221+-=
-=e e V V V π
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）
16. 证明：1
()()q
f x d x q f x dx -??1
()(()())
q
q
q
f x d x q f x d x f x dx =-+???
10
(1)()()q
q
q f x d x q f x dx
=--??
1212[0,][,1]
()()
12(1)()(1)()
0q q f f q q f q q f ξξξξξξ∈∈≥=
---≥
故有：
1
()()≥??q
f x d x q f x dx
证毕。
17.
证：构造辅助函数：
π
≤≤=?x dt t f x F x
0,)()(0
。其满足在],0[π上连续，在),0(π上可导。
)()(x f x F ='，且0)()0(==πF F
由题设，有
????+===π
π
π
π
)(sin cos )()(cos cos )(0|dx
x F x x x F x xdF xdx x f ，
有
?=π
sin )(xdx x F ，由积分中值定理，存在),0(πξ∈，使0sin )(=ξξF 即0)(=ξF
综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .在区间],[,],0[πξξ上分别应用罗尔定理，知
存在
),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈，使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ，即0)()(21==ξξf f . 高
等数学I 解答
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1. 当
0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ D ）不一定是无穷小.
(A)
()()x x βα+
(B)
()()x x 22βα+
(C)
[])()(1ln x x βα?+
(D)
)()(2x x βα
2. 极限
a
x a x a x -→??? ??1sin sin lim 的值是（ C ）.
a
e tan
e cot（D）a
（A） 1 （B）e（C）
3.
???
??=≠-+=001
sin )(2x a x x
e x x
f ax 在0x =处连续，则a =（ D ）. （A ） 1
（B ） 0
（C ） e
（D ） 1-
4. 设)(x f 在点x a =处可导，那么=
--+→h h a f h a f h )
2()(lim
（ A ）. （A ） )(3a f
'
（B ） )(2a f '
(C) )(a f '
（D ） )
(31
a f '
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5. 极限)
0(ln )ln(lim
>-+→a x a
a x x 的值是 a 1.
6. 由
x x y e y
x 2cos ln =+确定函数y (x )，则导函数='y x
xe
ye x y
x xy
xy ln 2sin 2+++
- .
7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行，则直线l 的方程
为 13
121
1--=--=-z y x . 8. 求函数2
)4ln(2x x y -=的单调递增区间为 （－￥，0）和（1，+￥ ） .
三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）
9. 计算极限10(1)lim
x
x x e
x →+-.
解：
1
1
ln(1)12000(1)1ln(1)lim
lim lim 2x x
x
x x x x e e x x e e e x x x +-→→→+--+-===-
10. 已知：||3a =v ，||26b =v ，30a b ?=v v ，求||a b ?v v 。 解：
1312
cos 1sin ,135cos 2=-==?=θθθb a b a ρρρρ ，
72
=?b a ρρ
11. 设)(x f 在[a ，b ]上连续，且
]
,[)()()(b a x dt
t f t x x F x
a
∈-=?，试求出)(x F ''。
解：
??-=x
a
x
a
dt
t tf dt t f x x F )()()(
??=-+='x
a
x
a
dt
t f x xf x xf dt t f x F )()()()()(
)()(x f x F =''
12. 求
3cos .sin x x dx x ?
解：
23cos 1
sin sin 2x x
dx xd x x -=-?? 2221111
sin sin sin cot 2222x x xdx x x x C
---=-+=--+?
四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）
13. 求
?
-2
3
2
21
x x dx .
令
1x t =
?
--=21
2
322)1
(11
11dt t t t
原式
=-?dt
t 121
2
3
2
=arcsin t
12
3
2=
π
6
14. 求函数
212x x y +=
的极值与拐点.
解：函数的定义域（－￥，+￥）
22)1()1)(1(2x x x y ++-='
3
22)1()3(4x x x y +--=''
令0='y 得 x 1
= 1, x 2
= -1
0)1(<''y x
1
= 1是极大值点，
0)1(>-''y x
2
= -1是极小值点
极大值1)1(=y ，极小值1)1(-=-y
0=''y 33故拐点（-
3，-
2
3
），（0，0）（
3，
2
3
）
15. 求由曲线43x y =与2
3x x y -=所围成的平面图形的面积.
解 :,,
x x x x x x 3232431240=--+=
x x x x x x ()(),,,.+-==-==620602123 S x x x dx x x x dx
=-++---??()()3260
2
3024334
=-++---()()x x x x x x 423602340
21632332316
=+=4521347
1
3 16. 设抛物线2
4x y -=上有两点(1,3)A -，(3,5)B -，在弧A B 上，求一点(,)P x y 使ABP
?的面积最大.
解：
AB y x AB P AB x y x x x ABP 连线方程： 点到的距离 的面积
+-==+-=-++-≤≤2104521
5
23
5
132()
?
S x x x x x ()()
=??-++=-++124523
522322
当 '=-+='=S x x x S x ()()4410 当时取得极大值也是最大值''=-<=S x x S x ()()40
1 此时 所求点为，y =313()
另解：由于的底一定故只要高最大而过点的抛物线
的切线与平行时高可达到最大值问题转为求，使 解得所求点为?ABC AB C AB C x x f x x x C ,,,()
,(),,(,)
002
0004253312113-'=-=--+=-=
六、证明题（本大题4分）
17. 设0x >，试证x x e x
+<-1)1(2.
证明：设
0),1()1()(2>+--=x x x e x f x
1)21()(2--='x e x f x ，x xe x f 24)(-=''， 0)(,
0≤''>x f x ，因此)(x f '在（0，+￥）内递减。
在（0，+￥）内，)(,0)0()(x f f x f ='<'在（0，+￥）内递减， 在（0，+￥）内，
),0()(f x f <即0)1()1(2<+--x x e x
亦即当 x >0时，
x x e x
+<-1)1(2 。
高等数学I A
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 18. 函数
???
??????<+<≤>-+=0,sin 1
0,2tan 1,1)
1ln()(x x x x x x x x x f π
的全体连续点的集合是 （ ）
(A) (-∞,+∞) (B) (-∞,1) Y (1,+ ∞)
(C) (-∞,0) Y (0, +∞)
(D) (-∞,0) Y (0,1) Y (1,+ ∞)
19.
设0)11(lim 2=--++∞→b ax x x x ，则常数a ,b 的值所组成的数组（a ,b ）为（ ） （A ） （1，0） （B ） （0，1） （C ） （1，1） （D ） （1，-1）
20.
设在[0，1]上
)(x f 二阶可导且0)(>''x f ，则（ ）
（A ）)0()1()1()0(f f f f -<'<' (B) )1()0()1()0(f f f f '<-<'
(C)
)0()1()0()1(f f f f -<'<'
（D ）
)0()1()0()1(f f f f '<'<-
21.
,1cos sin 2
2
2
4
dx x
x
x M ?-
+=
π
π
?-
+=2
24
3
)cos (sin π
πdx x x N ?--=
2
2
432)cos sin (π
π
dx x x x P 则（ ）
（A ） M < N < P （B ） P < N < M （C ） P < M < N （D ） N < M < P
二 填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
1. 设
=->)1arctan (12
x x d x （ ） 2. 设
?
+=,
sin )(c x dx x f 则
?
=
dx x f n )()(（ ）
3. 直线方程p z n y m
x +-=
=--65
24，与xoy 平面，yoz 平面都平行，
那么m n p ,,的值各为（ ）
4. =
??
? ??=+∞
→∑2
12lim
n i n
i x e n i （ ）
三 解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）
1. 计算
??? ??-→2201sin 1
lim x x x 2. 设
?????≤>=00,1cos )(2
x x x x
x x f 试讨论)(x f 的可导性，并在可导处求出)(x f ' 3. 设函数
),()(+∞-∞=在x f y 连续，在x 10时二阶可导，且其导函数)(x f '的图形如图所示，给
出
)(x f
)(x f y =的拐点。
四 解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分）
1. 求不定积分
?-+x
dx
x x 2)12(
2. 计算定积分
?e
e
dx
x 1ln
3. 已知直线43
5221:
3
121:
21-=-=--==z y x l z y x l ,
求过直线l 1且平行于直线l 2的
平面方程。
4. 过原点的抛物线2
ax y =及y =0,x =1所围成的平面图形绕x 轴一周的体积为π
581
，确定抛物线方程
中的a ，并求该抛物线绕y 轴一周所成的旋转体体积。
五、综合题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
1. 设
)()1()(2
x f x x F -=，其中)(x f 在区间[1,2]上二阶可导且有0)2(=f ，试证明存在ξ（21<<ξ）使得0)(=''ξF 。
2.
?≥-=x
n x tdt t t x f 0
22)
0(sin )()(
（1） 求
)(x f 的最大值点；
（2） 证明：
)32)(22(1
)(++≤
n n x f
一、单项选择题 B D B C .
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5. dy =dx x x x )1arctan 411(2-+-.
6. ?=dx x f n )()(?++=+c
n x dx n x )2sin()2cos(ππ. 7. 0,6,2≠-==n p m . 8.
)1(21
-e .
三、解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）
9. (8分)计算极限 22
11
lim(
)sin x x x →-.
解：2222220011sin lim()lim sin sin →→--=x x x x x x x x
30sin sin lim →-+=x x x x x x x
201cos 12lim 33x x x →-==
10. (8分)设
?????≤>=00,1cos )(2
x x x x
x x f ，试讨论)(x f 的可导性，并在可导处求出)(x f '.
解： 当
x x x x f x 1
sin
1cos 2)(,0+='>；当1)(,0=' cos 0 00'(0)lim 0'(0)lim 1 x x x x x x f f x x +-?→+?→-?-?-?=====?? 故f (x )在x =0处不可导。 ()????? <>+='0101sin 1cos 2x x x x x x f 11. (8分)设函数()y f x =在(,)-∞+∞连续，在0x ≠时二阶可导，且其导函数()f x '的图形如图. ()f x ()y f x =的拐点. 解：极大值点：x a =x d = 极小值点：x b = 拐点(0,(0)),(,())f c f c 四 解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分） 12. (9分)求不定积分 2 2 (2)(1)x dx x x --? . 解：原式=2413()(1)1dx x x x -++--? = 1 4ln 3ln 11x x c x - --+- 13. (9分)计算定积分 1ln e e x dx ? . 解：原式= ()1 11ln ln e e x dx xdx -+?? ()[]111 ln ln e e x x x x x x =--+-???? 2 2e =- 14. (9分)已知直线 11: 123x y z l -==，2123:254x y z l ---==,求过直线l 1 且平行于直线l 2 的 平面方程. 解： 12(1,2,3)(2,5,4)(7,2,1)n s s =?=?=-r r r 取直线l 1上一点M 1(0,0,1) 于是所求平面方程为 72(1)0 x y z -++-= 15. (9分)过原点的抛物线2 ax y = (0)a > 及y =0, x =1所围成的平面图形绕x 轴一周的体积为 π 581. 求a ，并求该抛物线绕y 轴一周所成的旋转体体积. 解： 1 1 5 2220 ()5x V a x dx a ππ==?2 5 a π= 由已知得 5 815 2 π π= a 故 a = 9 抛物线为：2 9x y = 绕y 轴一周所成的旋转体体积： 1 2 29V x x dx π=??1 4091842x ππ == 五 综合题（每小题4分，共8分） 16. (4分)设 )()1()(2 x f x x F -=，其中)(x f 在区间[1,2]上二阶可导且有0)2(=f . 证明：存 在ξ（12ξ<<）使得()0F ξ''=。 证明：由 )(x f 在[1，2]上二阶可导，故F (x )在[1，2]二阶可导，因 f (2)=0,故F (1)=F (2) = 0 在[1，2]上用罗尔定理，至少有一点) 21(,00< 0)(0='x F ) ()1()()1(2)(2x f x x f x x F '-+-='得0)1(='F 在[1，x 0]上对)(x F '用罗尔定理，至少有点)21(0<< 17. (4分). 解：（1）1x =为 ()f x 的最大值点。 22()()sin n f x x x x '=-，当 01 x <<， 22()()sin 0 n f x x x x '=->；当 1 x >， 22()()sin 0n f x x x x '=-≤。(1)f 为极大值，也为最大值。 （2） 220 ()()sin (1) x n f x t t tdt f =-≤? 1 1 22220 1 (1)()sin ()(22)(23)n n f t t tdt t t t dt n n =-≤-= ++?? 高等数学上B （07）解答 一、 填空题：（共24分，每小题4分） 1．2 sin[sin()]y x =，则dy dx =22 2cos[sin()]cos x x x 。 2． 已知2 1a dx x π+∞-∞=+?，a =__1______。 3． 1ln e e x dx =? 2 2e -。 4． x y e =过原点的切线方程为y ex =。 5．已知()x f x e =，则 '(ln ) f x dx x ? =x c +。 6．a = 32- ，b =9 2 时，点(1,3)是曲线 32y ax bx =+的拐点。