2019届高考数学大一轮复习第十一章概率高考专题突破六高考中的概率与统计问题学案文北师大版20180

高考专题突破六 高考中的概率

与统计问题

【考点自测】

1．在可行域内任取一点，其规则如算法框图所示，则能输出数对

(x ，y )的概率是( )

A.π8

B.π4

C.π6

D.π2 答案 B

解析 由题意知，可行域为正方形，输出数对(x ，y )形成的图形为图中阴影部分，故所求概率为

P ＝14π? ???

?22222·22

＝π4.

2．(2017·湖南邵阳二模)假设有两个分类变量X 和Y 的2×2列联表如下：

Y X

y 1 y 2

总计

x 1 a 10 a ＋10 x 2

c

30 c ＋30

总计

60

40

100

对同一样本，以下数据能说明X 与Y 有关系的可能性最大的一组为( ) A ．a ＝45，c ＝15 B ．a ＝40，c ＝20 C ．a ＝35，c ＝25 D ．a ＝30，c ＝30

答案 A

解析 根据2×2列联表与独立性检验可知，当a a ＋10与c

c ＋30

相差越大时，X 与Y 有关系的可能性越大，即a ，c 相差越大，

a a ＋10与c

c ＋30

相差越大，故选A. 3．设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( ) A ．1＋a,4 B ．1＋a,4＋a C ．1,4 D ．1,4＋a

答案 A 解析

x 1＋x 2＋…＋x 10

10

＝1，y i ＝x i ＋a ，所以y 1，y 2，…，y 10的均值为1＋a ，方差不变仍为4.

故选A.

4．已知高一年级某班有63名学生，现要选1名学生作为标兵，每名学生被选中的概率是相同的，若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的10

11，则这个班男生

的人数为________． 答案 33

解析 根据题意，设该班的男生人数为x ，则女生人数为63－x ，因为每名学生被选中的概率是相同的， 根据古典概型的概率计算公式知，“选出的标兵是女生”的概率是

63－x

63

，“选

出的标兵是男生”的概率是

x

63，故63－x 63＝1011×x 63

，解得x ＝33，故这个班男生的人数为33. 5．某单位为了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

气温(℃) 18 13 10 －1 用电量(度)

24

34

38

64

由表中数据得线性回归方程为y ＝bx ＋a 中的b ＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量约为________度． 答案 68

解析 根据题意知x ＝18＋13＋10＋(－1)4＝10，y ＝24＋34＋38＋64

4

＝40，因为回归直线

过样本点的中心，

所以a ＝40－(－2)×10＝60，所以当x ＝－4时，y ＝(－2)×(－4)＋60＝68，所以用电量约为68度.

题型一 古典概型与几何概型

例1 (1)(2017·榆林二模)若函数f (x )＝???

?

?

e x

，0≤x <1，ln x ＋e ，1≤x ≤e，

在区间[0，e]上随机取一

个实数x ，则f (x )的值不小于常数e 的概率是( ) A.1

e B ．1－1e

C.e

1＋e

D.11＋e

答案 B

解析 当0≤x <1时，f (x )

e

，故选B.

(2)(2017·太原一模)现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为( ) A.1

3 B.23

C.12

D.34

答案 C

解析 记两道题分别为A ，B ，所有抽取的情况为AAA ，AAB ，ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，BBA ，BBB (其中第1个、第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目)，共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，共4种．故所求事件的概率为1

2

.故选C.

思维升华 几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性，几何概型经常涉及的几何度量有长度、面积、体积等，解决几何概型的关键是找准几何测度；古典概型是命题的重点，对于较复杂的基本事件，列举时要按照一定的规律进行，做到不重不漏．

跟踪训练1 (1)(2017·商丘二模)已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2

x ＋1，若a 是从1,2,3中任

取的一个数，b 是从0,1,2中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( ) A.79 B.13 C.59 D.23 答案 D

解析 f ′(x )＝x 2

＋2ax ＋b 2

，要使函数f (x )有两个极值点，则有Δ＝(2a )2

－4b 2

>0，即a 2

>b 2

.由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．

满足a 2

>b 2

的有6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)， 所以所求事件的概率为69＝23

.

(2)(2017·青岛模拟)如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝π

6.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞

镖，则飞镖落在小正方形内的概率是________．

答案

2－3

2

解析 易知小正方形的边长为3－1，故小正方形的面积为S 1＝(3－1)2

＝4－23， 又大正方形的面积为S ＝2×2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P ＝S 1S ＝4－234＝2－3

2

.

题型二 概率与统计的综合应用

例2 (2017·西安质检)长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某校为了解A ，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字)．

(1)你能否估计哪个班级平均每周上网时间较长？

(2)从A 班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a ，从B 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b ，求a >b 的概率．

解 (1)A 班样本数据的平均值为1

5(9＋11＋14＋20＋31)＝17，

由此估计A 班学生每周平均上网时间为17小时；

B 班样本数据的平均值为

1

5

(11＋12＋21＋25＋26)＝19， 由此估计B 班学生每周平均上网时间为19小时． 所以B 班学生上网时间较长．

(2)A 班的样本数据中不超过19的数据a 有3个，分别为9,11,14，B 班的样本数据中不超过21的数据b 也有3个，分别为11,12,21.从A 班和B 班的样本数据中各随机抽取一个共有9种不同的情况，

分别为(9,11)，(9,12)，(9,21)，(11,11)，(11,12)，(11,21)，(14,11)，(14,12)，(14,21)， 其中a >b 的情况有(14,11)，(14,12)2种，故a >b 的概率P ＝29

.

思维升华 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性． 跟踪训练2 某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100)后得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求图中实数a的值；

(2)若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；

(3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100)两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．

解(1)由已知，得10×(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)＝1，解得a＝0.03. (2)根据频率分布直方图，可知成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.010)＝0.85.由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数为640×0.85＝544.

(3)易知成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05＝2，这2人分别记为A，B；成绩在[90,100)分数段内的人数为40×0.1＝4，这4人分别记为C，D，E，F.若从数学成绩在[40,50)与[90,100)两个分数段内的学生中随机选取2名学生，则所有的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个．如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100)分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内，另一个成绩在[90,100)分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共7个，故所求概

率P(M)＝7

15

.

题型三概率与统计案例的综合应用

例3 某校计划面向高一年级1 200名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，先按性别进行分层抽样，抽取了180名学生对社会科学类、自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有105人．在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45人．

(1)分别计算抽取的样本中男生、女生选择社会科学类的频率，并以统计的频率作为概率，估计实际选课中选择社会科学类的学生人数；

(2)根据抽取的180名学生的调查结果，完成以下2×2列联表．并判断能否在犯错误的概率

不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？

选择自然科学类

选择社会科学类

合计 男生 女生 合计

附：χ2

＝n (ad －bc )2

(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )

，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .

P (χ2≥k )

0.500 0.400 0.250 0.150 0.100 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 P (χ2≥k )

0.050 0.025

0.010 0.005 0.001 k

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

解 (1)由条件知，抽取的男生有105人，女生有180－105＝75(人)．男生选择社会科学类的频率为45105＝37，女生选择社会科学类的频率为4575＝3

5.

由题意，知男生总数为1 200×105

180＝700，

女生总数为1 200×75

180＝500，

所以估计选择社会科学类的人数为 700×37＋500×3

5＝600.

(2)根据统计数据，可得列联表如下：

选择自然科学类

选择社会科学类

合计 男生 60 45 105 女生 30 45 75 合计

90

90

180

则χ2

＝180×(60×45－30×45)2

105×75×90×90＝367

≈5.142 9>5.024，

所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下能认为科类的选择与性别有关．

思维升华 统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题．

跟踪训练3 近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病．为了解三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：

(1)请将如图的列联表补充完整．若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽9人，其中女生抽多少人？

(2)为了研究患三高疾病是否与性别有关，请计算出统计量χ2

，并说明是否可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为患三高疾病与性别有关.

患三高疾病 不患三高疾病

总计 男

6 30 女 总计

36

下面的临界值表供参考：

P (χ2≥k )

0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(参考公式χ2

＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )

，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )

解 (1)完善补充列联表如下：

患三高疾病

不患三高疾病

总计 男 24 6 30 女 12 18 30 总计

36

24

60

在患三高疾病人群中抽9人，则抽取比例为936＝1

4，

所以女性应该抽取12×1

4＝3(人)．

(2)根据2×2列联表，则

χ2

＝60×(24×18－6×12)2

30×30×36×24

＝10>7.879.

所以可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为患三高疾病与性别有关．

1．某单位对职员中的老年、中年、青年进行健康状况调查，其中老年、中年、青年职员的人数之比为k∶5∶3，现用分层抽样的方法抽出一个容量为120的样本，已知在老年职员中抽取了24人，则在青年职员中抽取的人数为_______________________．

答案36

解析∵老年、中年、青年职员的人数之比为k∶5∶3，

∴

k

k＋3＋5

＝

24

120

，解得k＝2，∴在青年职员中抽取的人数为120×

3

10

＝36.

2．在不等式组

??

?

??y≤x，

0

y>

1

x

所表示的平面区域内的所有格点(横、纵坐标均为整数的点称为格点)中任取3个点，则该3点恰能作为一个三角形的3个顶点的概率为________．

答案

9

10

解析不等式组表示的平面区域内的格点有(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共5个，从中任取3个点，有10种取法，其中共线的3点不能构成三角形，有(3,1)，(3,2)，(3,3)，1种情况，所以能够作为三角形3个顶点的情况有9种，故所求概率是

9

10

.

3．(2018·唐山模拟)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)从样本中日平均生产件数不足60的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；

(2)规定日平均生产件数不少于80的为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？

P(χ2≥k)0.1000.0500.0100.001

k 2.706 3.841 6.63510.828

附：χ2＝n(ad－bc)2

(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)

.

解(1)由已知得，样本中有25周岁以上(含25周岁)组工人60名，25周岁以下组工人40名．

所以样本中日平均生产件数不足60的工人中，25周岁以上(含25周岁)组工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.

从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．

其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A1，B1)，(A1，B2)，

(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝7

10

.

(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上(含25周岁)组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：

生产能手非生产能手合计

25周岁以上(含25

周岁)组

154560

25周岁以下组152540

合计3070100

所以得χ2＝

(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)

＝100×(15×25－15×45)2

60×40×30×70

＝

25

14

≈1.79.

因为1.79＜2.706.

所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．

4．(2018·北京海淀区模拟)某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为0,1,2,3,4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的编号之和等于7，则中一等奖，等于6或5，则中二等奖，等于4，则中三等奖，其余结果为不中奖． (1)求中二等奖的概率； (2)求不中奖的概率．

解 (1)记“中二等奖”为事件A .

从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有{0,1}，{0,2}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共10个基本事件．

记两个小球的编号之和为x ，由题意可知，事件A 包括两个互斥事件：x ＝5，x ＝6. 事件x ＝5的取法有2种，即{1,4}，{2,3}， 故P (x ＝5)＝210＝15

；

事件x ＝6的取法有1种，即{2,4}，故P (x ＝6)＝1

10.

所以P (A )＝P (x ＝5)＋P (x ＝6)＝15＋110＝3

10

.

(2)记“不中奖”为事件B ，则“中奖”为事件B ，由题意可知，事件B 包括三个互斥事件：中一等奖(x ＝7)，中二等奖(事件A )，中三等奖(x ＝4)． 事件x ＝7的取法有1种，即{3,4}，故P (x ＝7)＝1

10；

事件x ＝4的取法有{0,4}，{1,3}，共2种， 故P (x ＝4)＝210＝1

5.

由(1)可知，P (A )＝3

10

.

所以P (B )＝P (x ＝7)＋P (x ＝4)＋P (A ) ＝110＋15＋310＝35

. 所以不中奖的概率为P (B )＝1－P (B )＝1－35＝2

5.

5．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的

数据如下：

零件的个数

x(个)234 5

加工的时间y(小时) 2.534 4.5

(1)求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a，并在坐标系中画出回归直线；

(2)试预测加工10个零件需要的时间．

(注：b＝

∑

i＝1

n

x i y i－n x y

∑

i＝1

n

x2i－n x2

，a＝y－b x，∑

i＝1

4

x i y i＝52.5，∑

i＝1

4

x2i＝54)

解(1)由表中数据得x＝

1

4

×(2＋3＋4＋5)＝3.5，

y＝

1

4

×(2.5＋3＋4＋4.5)＝3.5，

∴b＝

52.5－4×3.5×3.5

54－4×3.52

＝0.7，

a＝3.5－0.7×3.5＝1.05.

∴y＝0.7x＋1.05.

回归直线如图所示．

(2)将x＝10代入线性回归方程，得

y＝0.7×10＋1.05＝8.05，

故预测加工10个零件需要8.05小时．

6．某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按1∶20进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：

分数

段

(分)

[50，

70)

[70，

90)

[90，

110)

[110，

130)

[130，

150)

总计

频数

b

频率

a

0.25

(1)求表中a ，b 的值及成绩在[90,110)范围内的样本数，并估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率(成绩在[90,150)内为及格)；

(2)若从茎叶图中成绩在[100,130)范围内的样本中一次性抽取两个，求取出两个样本数字之差的绝对值小于或等于10的概率．

解 (1)由茎叶图知成绩在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人， ∴a ＝0.1，b ＝3.

∵成绩在[90,110)范围内的频率为1－0.1－0.25－0.25＝0.4， ∴成绩在[90,110)范围内的样本数为20×0.4＝8. 估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为

P ＝1－0.1－0.25＝0.65.

(2)所有可能的结果为

(100,102)，(100,106)，(100,106)，(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,106)，(102,106)，(102,116)，(102,118)，(102,128)，(106,106)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(116,118)，(116,128)，(118,128)，共21个，

取出的两个样本中数字之差小于或等于10的结果为(100,102)，(100,106)，(100,106)，(102,106)，(102,106)，(106,106)，(106,116)，(106,116)，(116,118)，(118,128)，共10个， ∴P (A )＝1021

.