六年级奥数定义新运算
六年级奥数定义新运算 Prepared on 22 November 2020
定义新运算
1.规定:a ※b=(b+a)×b,那么(2※3)※5= 。
2.如果a △b 表示b a ?-)2(,例如3△444)23(=?-=,那么,当a △5=30时, a= 。
3.定义运算“△”如下:对于两个自然数a 和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a △b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=1
4.根据上面定义的运算,18△12= 。
4.已知a,b 是任意有理数,我们规定: a ⊕b= a+b-1,2-=?ab b a ,那么
[]=?⊕⊕?)53()86(4 。
为正数,
6.如果a ⊙b 表示b a 23-,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x ⊙5比5⊙x 大5时, x= 。
7.如果1※4=1234,2※3=234,7※2=78,那么4※5= 。
8.规定一种新运算“※”: a ※b=)1()1(++?????+?b a a a .如果(x ※3)※4=421200,那么x= 。
9.对于任意有理数x, y,定义一种运算“※”，规定:x ※y=cxy by ax -+,其中的c b a ,,表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x ※m=x(m ≠0),则m 的数值是 。
10.设a,b 为自然数,定义a △b ab b a -+=22。
(1)计算(4△3)+(8△5)的值；
(2)计算(2△3)△4；
(3)计算(2△5)△(3△4)。
11.设a ，b 为自然数，定义a ※b 如下:如果a ≥b ，定义a ※b=a-b ，如果a
(1)计算:(3※4)※9；
(2)这个运算满足交换律吗满足结合律吗也是就是说，下面两式是否成立①a ※b= b ※a;②(a ※b)※c= a ※(b ※c)。
12.设a,b 是两个非零的数,定义a ※b a
b b a +=。
(1)计算(2※3)※4与2※(3※4)。
(2)如果已知a 是一个自然数，且a ※3=2,试求出a 的值。
13.定义运算“⊙”如下:对于两个自然数a 和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a ⊙b 。比如:10和14，最小公倍数为70，最大公约数为2，则10⊙14=70-2=68。
(1)求12⊙21,5⊙15；
(2)说明，如果c 整除a 和b,则c 也整除a ⊙b ；如果c 整除a 和a ⊙b ，则c 也整除b ；
(3)已知6⊙x=27,求x 的值。 答案
一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）规定：a※b=（b+a ）×b，那么（2※3）※5= 100 ．
考点：
定义新运算。
分析： 根据a※b=（b+a ）×b，得出新的运算方法，再根据新的运算方法解答（2※3）※5的值．
解答：解：因为，2※3=（3+2）×3=15，
所以，（2※3）※5=15※5=（5+15）×5=100，故答案为：100．
点评：解答此题的关键是，根据所给的等式，找出新的运算方法，再运用新的运算方法，解答出要求式子的值．
2．（3分）如果a△b表示（a﹣2）×b，例如3△4=（3﹣2）×4=4，那么，当a△5=30时，a= 8 ．
考
点：
定义新运算。
分析：根据“a△b表示（a﹣2）×b，3△4=（3﹣2）×4=4，”得出新的运算方法，再用新的运算方法计算a△5=30，即可写成方程的形式，解此方程得出a的值．
解答：解：因为，a△5=30，
所以，（a﹣2）×5=30，5a﹣10=30，
5a=40，
a=8，
故答案为：8．
点评：解答此题的关键是根据题意找出新运算方法，再根据新运算方法解答即可．
3．（3分）定义运算“△”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b．例如：4△6=（4，6）+[4，
6]=2+12=14．根据上面定义的运算，18△12=42 ．
考
点：
定义新运算。
分析：根据新运算知道，求18△12，就是求18和12的最大公约数与最小公倍数的和，由此即可解答．
解答：解：因为，18和12的最大公约数是6，最小公倍数是36，所以，18△12=（18，12）+[18，12]=6+36=42；
故答案为：42．
点评：解答此题的关键是，根据定义的新运算，找出运算方法，列式解答即可．
4．（3分）已知a，b是任意有理数，我们规定：a⊕b=a+b﹣1，ab=ab﹣2，那么4[（6⊕8）⊕（35）]= 98 ．
考
点：
定义新运算。
分析：根据a⊕b=a+b﹣1，ab=ab﹣2，得出新的运算方法，再运用新的运算方法计算4[（6⊕8）⊕（35）]的值．
解答：解：4[（6⊕8）⊕（35）]，
=4[（6+8﹣1）⊕（3×5﹣2）]，=4[13⊕13]，
=4[13+13﹣1]，
=425，
=4×25﹣2，
=98，
故答案为：98．
点评：解答此题的关键是根据给出的式子，找出新的运算方法，用新运算方法解答即可．
5．（3分）x为正数，＜x＞表示不超过x的质数的个数，如＜＞=3，即不超过的质数有2，3，5共3个．那么＜＜19＞+＜93＞+＜4＞×＜1＞×＜8＞＞的值是11 ．
考
点：
定义新运算。
分析：根据题意，先求出不超过19的质数的个数，再求出不超过93的质数的个数，而不超过1的质数的个数是0，所以＜4＞×＜1＞×＜8＞的值是0，因此即可求出要求的答案．
解答：解：因为，＜19＞为不超过19的质数，有2，3，5，7，11，13，17，19共8个，
＜93＞为不超过的质数，共24个，
并且，＜1＞=0，
所以，＜＜19＞+＜93＞+＜4＞×＜1＞×＜8＞＞，
=＜＜19＞+＜93＞＞，
=＜8+24＞，
=＜32＞，
=11，
故答案为：11．
点评：解答此题的关键是，根据题意，找出新的符号表示的意义，再根据定义的新运算，找出对应量，解答即可．
6．（3分）如果a⊙b表示3a﹣2b，例如4⊙5=3×4﹣2×5=2，那么，当x⊙5比5⊙x大5时，x= 6 ．
考
点：
定义新运算。
分析：根据所给的运算方法，将x⊙5比5⊙x大5写成方程的形式，解答方程即可．
解答：解：由x⊙5﹣5⊙x=5，可得：（3x﹣2×5）﹣（3×5﹣2x）=5， 5x﹣25=5，
x=6，
故答案为：6．
点评：解答此题的关键是，根据题意找出新的运算方法，再根据新的运算方法，列式解答即可．
7．（3分）如果1※4=1234，2※3=234，7※2=78，那么4※5=45678 ．
考
点：
定义新运算。
分析：根据“1※4=1234，2※3=234，7※2=78”，得出新的运算方法：※的前一个数字是等号后面数的第一个数字，※后面的数字表示连续数的个数，是从※前面的数开始连续，然后运用新的运算方法计算4※5的值即可．
解答：解：由于1※4=1234，2※3=234，7※2=78，所以4※5=45678；
故答案为：45678．
点评：解答此题的关键是，根据所给出的式子，找出新的运算方法，再利用新的运算方法解答即可．
8．（3分）我们规定：符号○表示选择两数中较大数的运算，例如：5○3=3○5=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：
5△3=3△5=3．
请计算：= ．
考
点：
定义新运算。
分析：根据符号○表示选择两数中较大数的运算，符号△表示选择两数中较小数的运算，得出新的运算方法，用新的运算方法，计算所给出的式子，即可得出答案．
解答：解：○=○=，
△=△=，
△=△=，
О=О=，
所以：==；故答案为：．
点评：解答此题的关键是，根据题意找出新的运算方法，再根据新的运算方法，解答即可．
9．（3分）规定一种新运算“※”：a※b=a×（a+1）×…×（a+b﹣1）．如果（x※3）※4=421200，那么x= 2 ．
考
点：
定义新运算。
分析：先根据“a※b=a×（a+1）×…×（a+b+1）”，知道新运算“※”的运算方法，由于（x※3）※4=421200，这个式子里有两步新运算，所以令其中的一步运算式子为y，再根据新的运算方法，由此即可求出要求的答案．
解答：解：令x※3=y，则y※4=421200，
又因为，421200=24×34×52×13=24×25×26×27，所以，y=24，即x※3=24，
又因为，24=23×3=2×3×4，
所以，x=2；
故答案为：2．
点评：解答此题的关键是，根据新运算方法的特点，只要将整数写成几个自然数连乘的形式，即可得出答案．
10．（3分）对于任意有理数x，y，定义一种运算“※”，规定：x※y=ax+by ﹣cxy，其中的a，b，c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算．又知道1※2=3，2※3=4，x※m=x（m≠0），则m的数值是 4 ．
考
点：
定义新运算。
分析：根据x※y=ax+by﹣cxy，找出新的运算方法，根据新的运算方法，将1※2=3，2※3=4，x※m=x写成方程的形式，即可解答．
解答：解：由题设的等式x※y=ax+by﹣cxy及x※m=x（m≠0），得a0+bm ﹣c0m=0，
所以bm=0，又m≠0，故b=0，
因此x※y=ax﹣cxy，
由1※2=3，2※3=4，得，
解得a=5，c=1，
所以x※y=5x﹣xy，令x=1，y=m，
得5﹣m=1，
故m=4；
故答案为：4．
点评：解答此题的关键是，根据题意找出新的运算方法，再根据新的运算方法，列式解答即可．
二、解答题（共4小题，满分0分）
11．设a，b为自然数，定义a△b=a2+b2﹣ab．（1）计算（4△3）+（8△5）的值；
（2）计算（2△3）△4；
（3）计算（2△5）△（3△4）．
考
点：
定义新运算。
分析：根据“a△b=a2+b2﹣ab”得出新的运算方法，然后运用新的运算方法进行计算即可．
解解：（1）（4△3）+（8△5），
答：=（42+32﹣4×3）+（82+52﹣8×5），
=1++49，
=62；
（2）（2△3）△4，
=（22+32﹣2×3）△4，
=7△4，
=72+42﹣7×4，
=37；
（3）（2△5）△（3△4），
=（22+52﹣2×5）△（32+42﹣3×4），
=19△13，
=192+132﹣19×13，
=283；
答：（1）62，（2）37，（3）283．
点评：解答此题的关键是，根据所给出的式子，找出新的运算方法，再利用新的运算方法解答即可．
12．设a，b为自然数，定义a※b如下：如果a≥b，定义a※b=a﹣b，如果a＜b，则定义a※b=b﹣a．
（1）计算：（3※4）※9；
（2）这个运算满足交换律吗满足结合律吗也是就是说，下面两式是否成立①a※b=b※a；②（a※b）※c=a※（b※c）．
考
点：
定义新运算。
分析：（1）根据“如果a≥b，定义a※b=a﹣b，如果a＜b，则定义a※b=b﹣a，”得出新的运算方法，再利用新的运算方法计算（3※4）※9的值即可；
（2）要证明这个运算是否满足交换律和满足结合律，也就是证明①和②这两个等式是否成立．
解答：解：（1）（3※4）※9=（4﹣3）※9=1※9=9﹣1=8；
（2）因为表示a※b表示较大数与较小数的差，显然a※b=b※a成立，即这个运算满是交换律，
但一般来说并不满足结合律，例如：（3※4）※9=8，而3※（4※9）
=3※（9﹣4）=3※5=5﹣3=2，
所以，这个运算满足交换律，不满足结合律；答：这个运算满足交换律，不满足结合律．
点评：解答此题的关键是，根据所给出的式子，找出新的运算方法，再根据新的运算方法解答即可．
13．设a，b是两个非零的数，定义a※b=．
（1）计算（2※3）※4与2※（3※4）．
（2）如果已知a是一个自然数，且a※3=2，试求出a的值．
考
点：
定义新运算。
分析：（1）根据a※b=，找出新的运算方法，再根据新的运算方法，计
算（2※3）※4与2※（3※4）即可；（2）根据新运算方法将a※3=2，转化成方程的形式，再根据a是自然数，即可求出a的值．
解
答：
（1）按照定义有2※3=，3※4=，
于是（2※3）※4=※4=，
2※（3※4）=2※；
（2）由已知得①
若a≥6，则≥2，从而与①矛盾，
因此a≤5，对a=1，2，3，4，5这5个可能的值，一一代入①式中检查知，
只有a=3符合要求．
点评：解答此题的关键是根据所给的式子，找出新运算的运算方法，再用新运算方法计算要求的式子即可．
14．定义运算“⊙”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b．比如：10和14，最小公倍数为70，最大公约数为2，则10⊙14=70﹣2=68．
（1）求12⊙21，5⊙15；
（2）说明，如果c整除a和b，则c也整除a⊙b；如果c整除a和a⊙b，则c也整除b；
（3）已知6⊙x=27，求x的值．
考
点：
定义新运算。
分析：（1）根据新的定义运算，先求出12与21的最小公倍数和最大公约数，5与15的最小公倍数和最大公约数，问题即可解决；
（2）根据整除的定义及公约数、最大公约数与最小公倍数之间的关系进行说明；
（3）由于运算“⊙”没有直接的表达式，解这个方程有一些困难，我们设法逐步缩小探索范围，即根据6与x的最小公倍数不小于27+1，不大于27+6，由此即可得出答案．
解答：解：（1）因为，12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84，3，所以，12⊙21=84﹣3=81，
同样道理5⊙15=15﹣5=10；
（2）如果c整除a和b，那么c是a和b的公约数，则c整除a，b 的最大公约数，显然c也整除a，b最小公倍数，
所以c整除最小公倍数与最大公约的差，即c整除a⊙b，
如果c整除a和a⊙b，由c整除a推知c整除a，b的最小公倍数，再由c整除a⊙b推知，c整除a，b的最大公约数，而这个最大公约数整除b，
所以c整除b；
（3）因为6与x的最小公倍数不小于：27+1=28，不大于：
27+6=33，
而28到33之间，只有30是6的倍数，
可见6和x的最小公倍数是30，
因此，它们的最大公约数是30﹣27=3，
由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”，
得到：30×3=6×x，
6x=90，
x=15，
所以x的值是15．
点评：解答此题的关键是，根据定义新运算，得出新的运算意义，再利用新的运算意义和运算方法，解答即可．