4.2 黄金分割--教学设计(公开课)
《黄金分割》教学设计
（北师大版）义务教育课程标准实验教材八年级（下）
课题：黄金分割八年级（下）第四章第二节
任课教师：
一、教学设计思路
1．对教材的分析
（1）教学目标、重点、难点。
教学目标：通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割，体会其中的文化价值。同时，在应用中进一步理解线段的比、成比例的线段等相关内容，在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识和自信心。
重点：黄金分割的定义，以及简单的应用。
难点：黄金分割的作图及黄金比的比值的理解。
（2）本节课与前后知识的内在联系
本节课的内容是前面线段的比、成比例的线段等相关内容在现实生活中的运用，在建筑、艺术上都有较多的体现。从另外一方面，它也是线段的比、成比例的线段等枯燥乏味的概念在在现实生活中的充分体现。在本节课的内容中设置了丰富的问题情境，展现了知识的发生、发展的过程。
（3）与传统教材在内容和编写意图的比较
首先，与传统教材在内容的多少上就有较大的区别，在传统教材即人教社编写的教材中只在“比例线段”一节中的最后结尾用了两三段的文字给出了“黄金分割”的概念及比值，而在北师大版义务教育课程标准实验教材八年级下册第四章中用了一节的内容来讲解它，并且对于“黄金分割”的定义，用了非常好的例子“五角星”来引入，使学生更能接受和领会。其次，关于“黄金分割”的作法，在教社编写的教材中只在后面的“读一读”中介绍，而在北师大版义务教育课程标准实验教材中用正文来介绍，让学生掌握其作法，由此可见其重要性。
2．对学习者的分析
（1）学生学习本节内容的认知基础是两节课的学习“线段的比”的基础
（2）学生的认知特点、一般容易出现的学习障碍或困难
学生学习本节内容时，有一个很大的障碍就是在前面刚学习“线段的比”还是“知
其然而不知其所以然”，现在又用“线段的比”来定义“黄金分割”，使学生会更加的“糊涂”。另外，很容易造成入门容易而深入难的状况，即还是“知其然而不知其所以然”，只学得一个“皮毛”。
4．对“Z+Z”的的技术优势在本节课可以发挥作用的切入点的分析
为了防止出现以上问题，我在教学中利用了“Z+Z智能教育平台”中的《三角函数》软件，向学生展示“黄金分割”的定义的由来。充分利用“Z+Z智能教育平台”作图、计算、变化等功能，让学生在实实在在中学习，让原来学习时枯燥乏味的知识更生动。这正如中科院院士张景中教授所说的那样：
“Z+Z”，对于教师，它是得力的助手。教师讲课时它使屏幕成为有智能的黑板，既能根据课堂反映即兴写字、画图、计算、推导，又可以有条不紊地展示预先准备的文字动画等多媒体材料。它会把你写的画的一切悄悄记下来，由你掌握着随时隐藏或重现；它会让你画的图形变成符合知识内容的动画；它会使本来和复杂的作图计算推理变得轻而易举，在同一节课向学生传递更多的信息。教师备课时，它不仅是参考书、笔记本、计算器和教学资源库，而且是智能的多媒体创作工具。由于它的智能性、知识性和专业性，它让你用简单的操作代替复杂的编程，用平凡的指令代替挖空心思的设计。常常在十几分钟甚至几分钟里完成用一般多媒体工具或程序设计几个小时的工作，快速进行课件制作。
对于学生，它成为预习、复习、完成作业和准备考试的良师益友。它使计算机屏幕成为智能演算板和画板，在图像的运动变化中表现出科学之美。使学习成为趣味盎然的富有吸引力的活动。它能通过运动的图形，动态的测量计算帮助加深理解，培养形象思维和逻辑思维的能力。有了疑难问题，还可以用它画画算算，甚至用它的交互推理功能合作探讨解决的方法。它为学生提供了一片科学实验的天地，让他们动手动脑实验、设计，制作出新颖漂亮的逻辑动画与小伙伴交流，发挥潜力，培养创新的品质和能力。用了它，还会更熟悉计算机的操作，为未来进入信息社会遭做准备。
5．教学设计的大致构思
（1）本节课预期达到的学科教学目的
了解黄金分割，体会其中的文化价值，掌握黄金分割的定义、作法，并能在实际生活中应用黄金分割去分析问题和解决问题，培养学生的应用知识去分析问题和解决问题的能力。
（2）本节课预期达到教学研究目的
掌握黄金分割的定义、作法，并能应用黄金分割去分析问题和解决问题，培养学生的应用知识去分析问题和解决问题的能力。
（4）教学的主要环节
1．创设问题情景，激发学生兴趣。利用“Z+Z智能教育平台”中的《三角函数》向学生展示几幅有关“黄金分割”的建筑和艺术方面的图片：巴台农神庙、胡夫金字塔、巴黎圣母院、维娜斯雕像。
2．实例引入，给出定义。利用“Z+Z智能教育平台”中的《三角函数》制作“五角星中的黄金分割”的课件向学生展示“五角星中的黄金分割”。
3．师生互动，探索作法。利用《三角函数》制作课件“黄金分割的作法”。
4．回应开头，解决问题。
5．巩固知识，随堂练习。
6．课外活动，布置作业。
在整个的教学的设计中，教师只起到一个引导的作用，学生可以说变为学习的主体，教师设计问题，学生解决问题，更多的时间是让学生思考与讨论，自己解决问题。整个课堂是以问题为主线，学生自主探究的方式来完成本节课。
二、教学过程描述
课题《黄金分割》位于北师大版义务教育课程标准实验教材八年级下册第四章第二节授课班级人数：40人
授课地点：学校多功能教室。时间：2004年4月7日
4.教学过程：
（一）创设问题情景，激发学生兴趣。
利用“Z+Z智能教育平台”中的《三角函数》向学生展示几幅有关“黄金分割”的建筑和艺术方面的图片：巴台农神庙、胡夫金字塔、巴黎圣母院、维娜斯雕像。以激起学生的兴趣，勾起学生探索的欲望。（如图1）
图1
（二）实例引入，给出定义。
由教室的正前方的五星红旗为例引入，“在五角星中也存在黄金分割”。
（1）首先，让我们来看一看在五角星中有一些边之间存在的关系。利用“Z+Z智能教育平台”中的《三角函数》制作“五角星中的黄金分割”的课件向学生展示五角星中的黄金分割，①在电脑中先测量AC，AB，BC的长度。②利用《三角函数》软件计算比值AC/AB，BC/AC。③让学生观察AC/AB，BC/AC的值相等吗？④改变A或B的位置，观察AC/AB，BC/AC 的值还相等吗？
（2）在上面观察的基础之上，给出“黄金分割”的定义。（如图2）
（3）黄金比的比值：在（1）的演示中，我们可以发现，无论如何改变AB的长度，AC/AB和BC/AC的值是不变的，而且它们的值始终是0.618，所以黄金比就为0.618，即
AC/AB=BC/AC≈0.618
（4）变式训练：
①在黄金分割的定义中的比例式还可以变为：AC2=AC·BC或长变/全边＝短边/长边。
②任意一条线段的黄金分割点有两点。（在这里是先提出问题，有学生思考与讨论而
得到结论）
（三）师生互动，探索作法。
（1）提出问题，激起学生的兴趣。你会作出一条线段的“黄金分割点”吗？
（2）引入作法，提起学生探索的欲望。老师这里有一种作法，请同学们仔细观察：利用《三角函数》制作课件“黄金分割的作法”，如图3。
图3
（3）仿照老师的作法练习作图。请同学们仿照老师的作法在草稿纸上画出上图。
（4）探索作法的正确性。①设A B=1，那么BD、AD、AC、BC分别等于多少？学生计算后，问：点C是线段AB的黄金分割点吗？②若设AB=a，那么BD、AD、AC、BC分别等于多少？
在学生以上的探索后，展示比例式：
（四）回应开头，解决问题。
在本节课的开头我们看到了：巴台农神庙、胡夫金字塔、巴黎圣母院、维娜斯雕像等建筑和艺术上的精品，都是利用了黄金分割的知识。今天我们学习了“黄金分割”的知识，那么你们知道它们之中的“黄金分割”是如何形成的吗？做书上P99的“想一想”的问题。学生分小组讨论来解决问题。
（五）巩固知识，随堂练习。
（1）为什么翩翩起舞的芭蕾舞演员要掂起脚尖?为什么身材苗条的时装模特还要穿高跟鞋?为什么她们会给人感到和谐、平衡、舒适，美的感觉？如图4，请利用“黄金分割”的知识加以解释。
（2）如图5，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少m处？，如果他向B点再走m，也处在比较得体的位置？（结果精确到0.1m）
图4
图5
（3）完成书上P99的“随堂练习”。
（六）课外活动，布置作业。
（1）上网查找有关“黄金分割”或“0.618”的资料。
（2）利用“黄金分割”的作法画一个“黄金五角星”。
（3）完成书上P101的“习题4.3”的1，2。
三、课后评价与反思
关于本节课的教学，我校有两种类型，一种是借助PowerPoint，一种是借助Z＋Z智
能教育平台中的三角函数软件，两者相比较，我认为Z＋Z的优势在于它的强大的功能使
得整节课实现了智能化。在讲解《黄金分割》的定义时，利用五角星中的边的关系来下定义，可以充分利用“三角函数”的测量与计算功能，使得AC/AB和BC/AC的值都是0.618，一方面自然给出定义，另一方面又为后面的“黄金分割之比为0.618”设下伏笔。另外，在黄金分割点的作出以及验证中，都充分体现了Z＋Z的优势，使得学生更容易接受。
反思本节课的主要不足在于黄金分割点的作出，还是应当由教师利用圆规、三角尺当堂演示效果较好，这一点利用Z＋Z学生有些糊涂。`
4.2黄金分割
成都市武侯实验中学龚林昀
一、教学目标：
1、让学生了解黄金分割
2、让学生掌握并利用等比性质解决问题.
二、教学重、难点：
1、教学重点：黄金分割的定义以及应用
2、教学难点：黄金分割的引入以及学生对黄金分割的价值.
三、教学课时安排：
1课时
四、教学器材：
1、有关介绍黄金分割知识的书籍.
2、(事先做好的)黄金三角形,黄金矩形的模型.
3、电脑上存贮的和黄金分割有关的一系列图片.
五、教学过程：
㈠、引入—创设教学情境
1、教师提问：“几何学中的两大瑰宝是什幺?”；“谁知道这两大瑰宝是谁发现的?”
(分析：学生都知道勾股定理两大瑰宝之一,是古希腊的毕达哥拉斯的杰作,但是另一个瑰宝是什幺?由此学生马上对此产生好奇心)
学生回答：“勾股定理—是毕达哥拉斯发现的”；
有少数的学生回答：“黄金分割—是欧多克斯发现的”
2、(利用学生的好奇心)及时提出“黄金分割”
(分析：这样一来学生产生学习黄金分割知识的强烈愿望,他们都在初二上学期知道勾股定理的重要性,黄金分割既然和勾股定理相提并论,可见黄金分割的重要性非同凡响.)
3、(抓住学生的这种想法)教师继续提问：“谁知道黄金分割的故事?”
学生回答：“……”(各抒己见,兴趣被激发起来,情绪高涨.)
㈡、新知
1、教师把学生分成4个组,每个组分发关于黄金分割的阅读材料,让学生自己思考,自己发现问题,提出问题.
学生质疑：“到底什幺是黄金分割?”；
“黄金分割的定义到底应该怎样下?”；
“黄金数是怎幺求出来的?”；
“黄金分割点又怎幺求出来的?”
教师(不正面回答)在黑板上板书“线段分成两部分,其中一部分对于全部线段的长度比等于另外一部分对这一部分的比,这就叫黄金分割”
(通过教师的进一步讲解,学生终于明白了黄金分割)
2、学生自己动手,计算这个比值是多少?几乎每个学生都能顺利的进行计算,教师再不是时机的告诉学生,其实他们求解的这个数值就是黄金数,只不过比科学家发现更晚而已.
(分析：学生感受到发现知识的乐趣,原来数学知识并不是老师教的.也可以自己发现,学习的成功感油然而生,增加了他们学习数学的自信心.)
3、例题讲解(教师演示详细过程)
例题：已知：如图,AB=1,AC=
5-1.
2
求证：AC2=AB?BC A
C B
证明思路：∵AB=1,AC=5-1, 2
∴BC=1－AC=1－5-1
=
3-5. 22
∵AC2=(5-
1)2=
3-5,
AB?BC=1×
3-5
=
3-5, 2222
∴AC2=AB?BC
(先分析然后叫学生书写证明过程)
(总结：线段AB分成线段AC与BC,其中AC＞BC,且使AC是AB和BC的比例中项,叫做
②、已知：C是线段AB的黄金分割点,AC
≈0.618,求
把线段AB黄金分割,点C叫做AB的黄金分割点,由于AC=5-1≈0.618,所以成为1的线2
段的黄金分割点,大约在距一个端点的0.618处.)
4、实际应用
(学生学到并掌握了新知识,他们很自然的想到从自己学过的几何图形中去寻找黄金分割,这时,教师加以引导,同时为学生介绍有关黄金分割的知识)
①、“黄金三角形”：顶角为36?的等腰三角形,作底角B的平分线BD,则D就是AC边上的黄金分割点.
②、“黄金矩形”：矩形的宽与长的比等于黄金数.
③、举例日常生活当中的其它应用.
5、联系巩固
①、已知：线段a=1,b=5-1
,c=
3-5,求证：线段b是a、c的比例中项. 22
CB
AB AC的的近似值.
③、学生利用“黄金分割”自己动手制作小课件.
(分析：学生亲自感悟数学的真谛,深刻理解了“黄金分割”,感受到数学存在于我们的身边,存在于我们的生活之中.)
㈢、小结
1、了解黄金分割的定义.
(由学生自己思考,自己总结,锻炼学生自己解决问题和思考问题的能力.)
2、黄金分割的实际应用.
(分析：课堂上展开激烈的讨论,让学生自己发表自己的意见,加深对应用的记忆)㈣、作业
1、让学生自己找寻生活中的“黄金分割”,起码举出三个例子.
2、动手制作—金字塔.
(分析：作业轻松而富有新意,学生都容易接受,通过作业以及联系让学生加深对“黄金分割”的理解和印象.让学生明白“黄金分割”的重要性.)
§4.2黄金分割(第3课时)
●教学目标
（一）教学知识点
1.知道黄金分割的定义.
2.会找一条线段的黄金分割点.
3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.
（二）能力训练要求
通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力.
（三）情感与价值观要求
理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用.
●教学重点
了解黄金分割的意义，并能运用.
●教学难点
找黄金分割点和画黄金矩形.
●教学方法
讲解法
●教具准备
投影片一张：（记作§4.2A）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
图4－6
［师］生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗？比如，右图是一个五角星图案，如何找点C把AB分成两段AC和BC，使得画出的图形匀称美观呢？本节课就研究这个问题.
Ⅱ.讲授新课
［师］在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC、BC的长度，然后计算AC AB
、
.
BC
AC
,它们的值相等吗？
［生］相等.
［师］所以
AC BC
=
AB AC
.
1.黄金分割的定义
在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果
AC BC
=
AB AC
,那么称线段AB被点C黄金分割（golden section）,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫AC
做黄金比.其中≈0.618.
AB
投影片（§4.2A）
黄金分割在几何作图上有很多应用，如五角星形的各边是按黄金分割划分的，其中点C就是线段AB的一个黄金分割点.作圆的内接正十边形也能归结为黄金分割.
黄金分割也被广泛用在建筑设计、美术、音乐、艺术等方面.如在设计工艺品或日用品的宽和长时，常设计成宽与长的比近似为0.618,这样易引起美感；在拍照时，常把主要景物摄在接近于画面的黄金分割点处，会显得更加协调、悦目；舞台上报幕员报幕时总是站在近于舞台的黄金分割点处，这样音响效果就比较好，而且显得自然大方，等等黄金分割在工厂里也有着普遍的应用.如“优选法”中常用的“0.618法”就是黄金分割的一种应用.
［师］既然黄金分割的实用价值这么大，我们就必须把它学好，还要用好，下面我们来学习如何找一条线段的黄金分割点.
2.作一条线段的黄金分割点.
图4－7
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=
1
2AB.
（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.
（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
［师］你知道为什么吗？
若点C为线段AB的黄金分割点，则点C分线段AB所成的线AC、BC间须满足AC BC
=
AB AC
.下面请大家进行验证.自己有困难时可以互相交流.为了计算方便，可设AB=1.
证明：∵AB=1,AC=x,BD=11 AB= 22
∴AD=x+1 2
在△Rt ABD中，由勾股定理，得
11
（x+）2=12+（）2
22
11
∴x2+x+=1+
44
∴x2=1－x
∴x2=1·（1－x）
∴AC2=AB·BC
AC BC
即：=
AB AC
即点C是线段AB的一个黄金分割点，在x2=1－x中
整理，得x2+x－1=0
∴x=-1±1+4-1±5
=
22
∵AC为线段长，只能取正
∴AC=5-1
2≈0.618
∴AC
AB≈0.618
∴黄金比约为0.618.
3.想一想
图4－8
古希腊时期的巴台农神庙（P arthenom T emple）.把它的正面放在一个矩形ABCD中，
BC AB 以矩形ABCD的宽AD为边在其内部作正方形A EFD，那么我们可以惊奇地发现，=
BE BC 点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？
［师］请大家互相交流.,
,所以 2 ,
2 a 2 a
2 a = AB =
AB = ［生］因为四边形 AEFD 是正方形，所以 AD =BC =AE,又因为
BC AB AE AB = =
BE BC BE AE
,
即 AE BE =
AB AE ,因此点 E 是 AB 的黄金分割点，矩形 ABCD 宽与长的比是黄金比.
［师］在上面这个矩形中，宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形.你学会作了 吗？
Ⅲ.随堂练习
1.解：设 AB =a,根据题意，得
AE = a
由勾股定理，得
EF =EB = AB 2 + + AE 2
= a 2 +
a 2
4
= 5
∴AF =AH =BE －AE = 5 - 1
BH =AB －AH =a － 5 - 1 3 - 5
2 a
∴ AH 5 - 1
2 a
a = 5 - 1 2
3 - 5
BH 2 a
AH = 5 - 1 2 a
∴ AH BH AH
= 3 - 5 5 - 1 =
5 - 1 2
∴点 H 是 AB 的黄金分割点. Ⅳ.课时小结
本节课学习了：1.黄金分割点的定义及黄金比.
2.如何找一条线段的黄金分割点，以及会画黄金矩形.
3.能根据定义判断某一点是否为一条线段的黄金分割点. Ⅴ.课后作业 习题
4.3
Ⅵ.活动与探究
14
D
.
要配制一种新农药，需要兑水稀释，兑多少才好呢？太浓太稀都不行.什么比例最合适， 要通过试验来确定.如果知道稀释的倍数在 1000 和 2000 之间，那么，可以把 1000 和 2000 看作线段的两个端点，选择 AB 的黄金分割点 C 作为第一个试验点，C 点的数值可以算是 1000+（2000－1000）×0.618=1618.试验的结果，如果按 1618 倍，水兑得过多，稀释效果 不理想，可以进行第二次试验.这次的试验点应该选 AC 的黄金分割点 D ， 的位置是 1000+ （1618－1000）×0.618，约等于 1382，如果 D 点还不理想，可以按黄金分割的方法继续 试验下去.如果太浓，可以选 DC 之间的黄金分割点；如果太稀，可以选 AD 之间的黄金分 割点，用这样的方法，可以较快地找到合适的浓度数据.
这种方法叫做“黄金分割法” 用这样的方法进行科学试验，可以用最少的试验次数找 到最佳的数据，既节省了时间，也节约了原材料.
●板书设计
§4.2 黄金分割
一、1.黄金分割的定义.
2.作一条线段的黄金分割点及黄金矩形.
3.想一想
二、随堂练习 三、课时小节 四、课后作业