江苏省常州市四校联考2021届高三上学期期末数学试题

2021届高三上学期期末四校联考

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}

2

1,B y y x x A ==+∈，则A

B = （ ）

A ．?

B ．{}1,2

C ．{}2,0,2-

D ．{}2,1,1,2--

2．当复数2021

11=ai i ai -?? ?

+??时，实数a 的值可以为 （ ） A ．0

B ．1

C ．1-

D ．1±

附：()()()()

2

n ac bd K a b c d a c b d -=

++++，其中n a b c d =+++；

（ ） A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“能接种与年龄段无关” B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“能接种与年龄段有关” C ．有99%以上的把握认为“能接种与年龄段无关” D ．有99%以上的把握认为“能接种与年龄段有关” 4．函数

()x x f x -=

的图象大致为 （ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

5.设随机变量(),1N ξμ，函数()22f x x x ξ=+-没有零点的概率是0.5，则()01P ξ<≤=（ ）

附：若()2,N ξμσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+≈，()220.9544P X μσμσ-<≤+≈.

A ．0.1587

B ．0.1359

C ．0.2718

D ．0.3413

6.在探索系数,,,A b ω?对函数()()sin 0,0y A x b A ω?ω=++>>图象的影响时，我们发现，系数A 对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数ω对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数?对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b 对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”.运用上述四种变换，若函数()sin f x x =的图象经过四步变换得到函数()2sin 213g x x π?

?

=-+ ??

?

的图象，且已知其中有一步是向右平移

3

π

个单位，则变换的方法共有 （ ） A ．6种 B ．12种 C ．16种 D ．24种

7．俄国著名飞机设计师埃格?西科斯基设计了世界上第一架四引擎飞机和第一种投入生产的直升机，当代著名的“黑鹰”直升机就是由西科斯基公司生产的.1992年，为了远程性和安全性上与美国波音747竞争，欧洲空中客车公司设计并制造了340A ，是一种有四台发动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的310A .假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1p -，且各引擎是否有故障是独立的，已知

340A 飞机至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；310A 飞机需要2个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行.若要使340A 飞机比310A 飞机更安全，则飞机引擎的故障率应控制的范围是 （ ）

A ．2,13?? ???

B ．1,13?? ???

C ．20,3?? ???

D ．10,3?? ???

8．已知数列{}n a 满足()

2

*11n n n a a a n N +=-+∈，设12

11

1

n n S a a a =

+++

，且10910231

a S a -=-，则数列{}n a 的首项1a 的值为 （ ） A ．

23 B ．1 C ．3

2

D ．2

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9.2020年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行.下图是该地某小区2019年12月至2020年12月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月份代码113分别对应2019年12月

2020年12月）

根据散点图选择y a =+ln y c

d x =+两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为0.9369y =+0.95540.0306ln y x =+，并得到以下一些统计量的值：

（ ） A ．当月在售二手房均价y 与月份代码x 呈负相关关系

B ．由0.9369y =+2021年3月在售二手房均价约为1.0509万元/平方米

C ．曲线0.9369y =+0.95540.0306ln y x =+都经过点()

,x y

D ．模型0.95540.0306ln y x =+回归曲线的拟合效果比模型0.9369y =+ 10.若()()()2

20121+1++1n

n n x x x a a x a x a x +++=+++

+，

且121125n a a a n -+++=-，则下列结论正确的是 （ ）

A ．6n =

B ．()12n

x +展开式中二项式系数和为729 C ．()()()2

1+1++1n

x x x +++展开式中所有项系数和为126

D ．12323321n a a a na ++++=

11.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于点,A B ，且,4p A a ??

???

，3

2

AF =

.下列结论正确的是 （ ）

A ．4p =

B ．a =．3BF = D ．△AOB 的面积为2

12.若函数()f x 是连续的平滑曲线，且在[,]a b 上恒非负，则其图象与直线,,x a x b x ==轴围成的封闭图形面积称为()f x 在[,]a b 上的“围面积”.根据牛顿-莱布尼兹公式，计算围面积时，若存在函数()F x 满足'()()F x f x =，则()()F b F a -的值为()f x 在[,]a b 上的围面积.下列围面积计算正确的有 （ ）

A.函数()3

f x x =在[]

0,1上的围面积为

14 B.函数()2x

f x =在[]0,2上的围面积为2ln 2

C.函数()2

cos f x x =在0,4π??????

上的围面积为148π+ D.函数()ln f x x =在2,e e ????上的围面积为2e 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.在四边形ABCD 中，8AB =.若31

44

DA CA CB =+，则AB CD ?= ▲ ．

14.在平面直角坐标系xOy 中，设双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的右焦点为F ，若双曲线的右支上

存在一点P ，使得△OPF 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为 ▲ ．

15.在△ABC 中，已知1AC =，A ∠的平分线交BC 于D ，且1AD =，BD =

则△ABC 的面积为 ▲ ．

16.矩形ABCD 中，1AB BC =

=，现将△ACD 沿对角线AC 向上翻折，得到四面体D ABC -，则

该四面体外接球的体积为 ▲ ；设二面角D AC B --的平面角为θ，当θ在,32ππ??

?

???

内变化时，BD 的范围为 ▲ ．（第一空2 分，第二空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）

在△ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边.在①(2)cos cos a c B b C -==2ABC BC S ??；

③sin sin()3

B B π

++

=.

（1）求角的值；B

（2）若△ABC 为锐角三角形，且1=b ，求△ABC 的面积的取值范围. 18.（本小题满分12分）

某公司在市场调查中，发现某产品的单位定价x (单位：万元/吨)对月销售量y (单位：吨)有影响．对不同定价i x 和月销售量1,2,...8y i =数据作了初步处理，

x

y

z

∑=8

1

2

i i

x

∑=8

1

2i i

z

∑=8

1

i i

i y

x

∑=8

1

i i

i y z

0.24 43

9

0.164 820 68 3956

表中x z =

．经过分析发现可以用x

a y +=来拟合y 与x 的关系. （1）求^

y 关于x 的回归方程；

（2）若生产1吨产品的成本为1.6万元，那么预计价格定位多少时，该产品的月利润取最大值，求此时的

月利润.

附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：^

1

1

2

2

2

1

1

()()()

n n

i

i

i i i i n

n

i

i

i i v n v v v

n ωωωωβωωω

ω

====---?=

=

--?∑∑∑∑，^^

v αβω=-．

19.（本小题满分12分）

已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足31=a ，21=b ，1222-=b a ，333+=b a . （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；

（2）将{}n a 和{}n b 中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列{}n c ，求数列{}n c 的前100项和100S .

20.（本小题满分12分） 在多面体ABCDE 中，平面⊥ACDE 平面ABC ，四边形ACDE 为直角梯形，//CD AE ，AE AC ⊥，BC AB ⊥，1CD =，2AE AC ==，F 为DE 的中点，且点E 满足EG EB 4=. （1）证明：//GF 平面ABC .

（2）当多面体ABCDE 的体积最大时，求二面角D BE A --的余弦值.

21.（本小题满分12分）

已知函数()()0ln ax

f x a x

=>． （1）当函数()f x 在1

x e

=处的切线斜率为2-时，求()f x 的单调减区间；

（2）当1x >时，()ln ln x x x

a f x e x

≥?，求a 的取值范围.

22.（本小题满分12分）

11(,)v ω22(,)v ω(,)n n v ω???v

αβω=+

已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的离心率为1

2

，且过点)3,2(A ，右顶点为B .

（1）求椭圆C 的标准方程； （2）过点A 作两条直线分别交椭圆于点N M ,，满足直线AN AM ,的斜率之和为3-，求点B 到直线MN

距离的最大值.

2021届高三上学期期末四校联考

数学答案

13.16-2 15.8 16.4

3π；22??

三、解答题

17.解：（1）选①

由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cosC A B C B B -=

2sin cos sin A B A ∴= ……………………………………………………………………2分

()

0,sin 0A A π∈∴>

1

cos 2

B ∴=

…………………………………………………………………………………3分 ()

0,3

B B π

π∈∴=

………………………………………………………………4分

选②

32ABC BA BC S

?=

1

cos 2sin 2

B ac B =?

sin B B ∴= ……………………………………………………………………2分

()0,sin 0

cos 0B B B π∈∴>∴>

3

B π

∴=

…………………………………………………………………………………4分

选③

1

sin sin 2B B B ++=

1sin cos 122

B B +=

sin 16B π?

?∴+= ??

? ……………………………………………………………………2分

()70,,666B B ππππ??

∈∴+∈ ???

6

2

3B B π

π

π

∴+

=

∴=

…………………………………………………………………4分

（2）由正弦定理得：

sin sin sin a b c A B C ===,

a A c C ∴== ………………………………………………………………5分

12sin sin

23S ac B A A π??∴==- ???

………………………………………………6分

sin 26612A π??=

-+

??

? ………………………………………………8分

锐角三角形ABC

02262032A A C A πππππ

?

<

………………………………………………9分

52,666A πππ??

∴-∈ ???

S ∴∈??

………………………………………………………………………10分 18.解：（1）令1

z x

=，则y a b z =+?

则8

^

18

2

2

1239568943

582089

88i i

i i i z y z y

b z z

==-??=

=

=-?--∑∑ ………………………………………………3分 ^

^

2

a y

b z =-?=- ………………………………………………5分 ^5

2y x ∴=-+

………………………………………………6分 （2）月利润()()^58 1.62 1.68.22y x x x x x T ?????-=--=-+ ? ???

=?? ……………………9分

8.20.2≤-= …………10分

（当且仅当8

2x x =即2x =时取等号） ………………………………11分

答：（1）y 关于x 的回归方程为^5

2y x

=-+；

（2）预计价格定位2万元/吨时，该产品的月利润取最大值，最大值为0.2万元.……12分

19.解：（1）由22

322144

3223d q d q d q a q +=?-=-?????+=?+=??

………………………2分 2,4q d ∴== ………………………………………………4分 41,2n n n a n b ∴=-= ………………………………………………6分 （2）当{}n c 的前100项中含有{}n b 的前7项时，令8

41225664.25n n -<=?<

此时至多有64771+=项（不符） …………………………………7分 当{}n c 的前100项中含有{}n b 的前8项时，令9

412512128.25n n -<=?<

则{}n c 的前100项中含有{}n b 的前8项且含有{}n a 的前92项 ……………………9分

()8

100212929192341702051017530212S -???∴=?+?+=+= ?-??

……………………12分 20.解：（1）分别取EB AB ,中点N M ,，连结ND MN CM ,,.

在梯形ACDE 中，EA DC //且EA DC 2

1

=，且N M ,分别为BE BA ,中点

EA

MN EA MN 21

,//=∴

CD MN CD MN =∴,//

∴四边形CDNM 是平行四边形

DN CM //∴ …………………………………………………………………………2分

又EB EG 4

1

=，N 为EB 中点，G ∴为EN 中点，又F 为ED 中点

DN GF //∴ …………………………………………………………………………3分 CM GF //∴ …………………………………………………………………………4分 又?CM 平面ABC ，?GF 平面ABC

//GF ∴平面ABC ………………………………………………………………6分 （2）在平面ABC 内，过B 作AC BH ⊥交AC 于H .

平面⊥ACDE 平面ABC ，平面 ACDE 平面AC ABC =， ?BH 平面ABC ，AC BH ⊥，

∴⊥BH 平面ACDE …………………………7分

BH ∴即为四棱锥ACDE B -的高，

又底面ACDE 面积确定，所以要使多面体ABCDE 体积最大，即BH 最

大

，

此

时

2AB BC == ………………………8分

过点H 作AE HP //，易知HP HC HB ,,两两垂直，

以{}

HP HC HB ,,为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系xyz H -

则)1,1,0(),2,1,0(),0,0,1(),0,1,0(D E B A --

)1,2,0(),2,1,1(),0,1,1(-=--==DE BE AB

设),,(1111z y x n =为平面ABE 的一个法向量，则

?????=?=?0

011BE n AB n ，所以

??

?=+--=+0

20

11111z y x y x ，取

)0,1,1(1-=n ……………………9分

设),,(2222z y x n =为平面DBE 的一个法向量，则

????

?=?=?0

22BE n DE n ，所以???=+--=+-0202222

22z y x z y ，取)2,1,3(2=n ……………………10分 所以7

7

|

|||,cos 212121=

?>=

7

-.…12分 21.解：（1）()ln ax

f x x

=

定义域为()()0,11,+∞． …………………… 1分

因为()()

'

'

2

ln 1ln ln ax x f x a x x -??== ???． 所以()f x 在1

x e

=

处的切线斜率为2a -． 所以1a =． ……………………2分

所以()ln x f x x =，()()

'

'

2

ln 1ln ln x x f x x x -??== ???． 令()0f

x =，则x e = ……………………3分

（2）由题()ln

ln x x

a f x e x

≥?对任意),1(+∞∈x 恒成立

所以ln ln x ae x a ≥-对任意),1(+∞∈x 恒成立

方法一：所以()ln ln ln a x

e a x x x +++≥+对任意),1(+∞∈x 恒成立

所以()ln ln ln ln a x

x e

a x e x +++≥+对任意),1(+∞∈x 恒成立 ……………………7分

令()x

g x e x =+ 则()()ln ln g a x g x +≥对任意),1(+∞∈x 恒成立 因为()'

10x

g x e =+>

所以()g x 在R 上单调增

所以ln ln a x x +≥对任意),1(+∞∈x 恒成立 ……………………9分 所以()()max ln ln 1a x x x ≥-> ……………………10分 令()()ln 1h x x x x =->

因为()'1110x g x x x

-=

-=< 所以()g x 在(1,)+∞上单调减

所以()()11g x g <=-

所以ln 1a ≥-即1

a e ≥

……………………12分 方法二：设)1(ln ln )(>+-=x a x ae x h x

，

则01

)(''1)('2>+=-=x

ae x h x ae x h x x ，，

所以)('x h 在),1(+∞单调递增，又1)1('-=ae h ……………………7分

若e

a

1

≥，则0)1('≥h ，所以0)('≥x h 恒成立，所以)('x h 在),1(+∞单调递增，

又011ln )1(=-≥+=a ae h ，所以0)(≥x h 恒成立，符合题意. ………………10分

若e

a 1

0<<，则011ln )1(=-<+=a ae h ，不符合题意，舍去. ……………………11分

综上所述，e a 1

≥. ……………………12分

22.解：（1）由题222

22

41

22

49

1b c a a c b a c a b ?

?+==??

??=

?=????=??+=?? ………………………3分 所以C 的标准方程为

112

162

2=+y x ………………………4分

（2）若直线MN 斜率不存在，设),(),,(0000y x N y x M -，则

???==???????

?-=---+--=+0432

323112

160000002

020y x x y x y y x ，此时N M ,重合，舍去.……………………………5分 若直线MN 斜率存在，设),(),,(2211y x N y x M t kx y MN ，：+=，

联立??

???+==+t kx y y x 112162

2得04848)34(2

22=-+++t ktx x k ，

所以3

448

4,3482

221221+-=+-=+k t x x k kt x x ……………………………7分 由题323232211

-=--+--x y x y ，即32

3

232211-=--++--+x t kx x t kx 化简得.0244))(92()32(2121=+-+--++t x x k t x x k ……………………………8分

因此.0244)348)(92(34484)32(2

22=+-+---++-+t k kt

k t k t k 化简得068682

2=---++t k t kt k

即0)24)(32(=++-+t k t k ……………………………10分 若032=-+t k ，则32+-=k t ，直线MN 过点)3,2(A ，舍去，

所以024=++t k ，即24--=k t ，因此直线MN 过点)2,4(-P .……………………11分 又点)0,4(B ，所以点B 到直线MN 距离最大值即2=BP , 此时2-=y MN ：，符合题意.

所以点B 到直线MN 距离最大值为2 ……………………12分