构造函数法证明不等式的八种方法.docx
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导数之构造函数法证明不等式
1、移项法构造函数
【例 1】
已知函数
f ( x) ln( x 1) x ，求证：当 x
1时，恒
有
1 ln( x 1) x
1
x 1
【解】 f ( x)
1 1
x
x 1
x
1
∴当
1 x 0 时， f (x) 0 ，即 f (x) 在 x
( 1,0) 上为增函数
当 x
0 时， f (x)
0 ，即 f ( x) 在 x
(0,
) 上为减函数
故函数 f ( x) 的单调递增区间为 ( 1,0) ，单调递减区间 (0, )
于是函数 f ( x) 在 ( 1,
) 上的最大值为 f ( x) max f (0)
0 ，因此，当 x 1时，
f ( x) f (0) 0 ，即 ln( x 1) x 0 ∴ ln( x 1) x （右面得证），
现证左面，令
g( x) ln( x
1)
1
1 ， 则 g ( x)
1 1 x
x 1
x 1 ( x 1) 2
(x 1) 2
当 x ( 1,0)时, g (x) 0;当x ( 0, )时, g ( x) 0
，
即 g(x) 在 x ( 1,0) 上为减函数，在 x (0, ) 上为增函数，
故函数 g ( x) 在 ( 1, ) 上的最小值为 g( x) min g (0)
0 ，
∴ 当 x 1时， g (x) g (0)
0 ，即 ln( x 1)
1
1 0
x
1
∴
ln( x 1)
1
x
1
，综上可知，当
x
1时 ,有 1
1
ln( x 1) x
1
x 1 2、作差法构造函数证明
【例
2】已知函数 f (x)
1 x
2 ln x. 求证：在区间 (1, ) 上，函数 f (x) 的图象在函数
2
g( x)
2
x 3 的图象的下方；
3
【解】设 F ( x) g (x)
f (x) ，即 F (x)
2 x
3 1 x 2 ln x ，
3
2
v1.0可编辑可修改则F ( x) 2x2x 1 = ( x 1)(2 x2x 1)
x x
当 x 1时，F (x)=( x 1)(2x
2
x 1)
x
从而 F ( x) 在 (1,) 上为增函数，∴ F (x) F (1)1
0 6
∴当 x 1时g(x) f ( x) 0 ，即 f ( x)g (x) ，
故在区间 (1,) 上，函数 f ( x) 的图象在函数 g ( x)2
x3的图象的下方。
3、换元法构造函数证明
3
【例 3】证明：对任意的正整数n，不等式ln(
1
1)11都成立 .
n n2n3
只需令1
x n
【解】令 h(x)x3x 2ln( x1) ，
则 h ( x)3x22x13x3( x1)2在 x(0, ) 上恒正，
x1x 1
所以函数 h( x) 在 (0,) 上单调递增，∴x(0,) 时，恒有 h(x) h( 0)0，即 x 3x2ln( x1)0 ，∴ ln( x1)x 2x3
对任意正整数n，取x1(0,)，则有 ln(
1
1)11
n n n 2n 3
4、从条件特征入手构造函数证明
【例 4】若函数y= f (x)在R上可导且满足不等式x f( x) >－ f (x) 恒成立，且常数a，b 满足a>b，求证：．a f (a)>b f (b)
【解】由已知x f (x)+f ( x)>0∴构造函数 F ( x) xf (x) ，
则 F ' (x)x f ( x)+f ( x)>0，从而F ( x)在 R上为增函数。
a b ∴F (a) F (b)即a f ( a)>b f (b)
5、构造二阶导数函数证明导数的单调性
例．已知函数 f ( x) ae x 1 x2 2
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(1)若 f(x) 在 R 上为增函数 , 求 a 的取值范围 ;
(2)若 a=1, 求证 :x ＞0 时 ,f(x)>1+x
解： (1)f′(x)＝ae x－ｘ，
∵ｆ（ｘ）在Ｒ上为增函数，∴ f ′ (x) ≥０对ｘ∈Ｒ恒成立，
即ａ≥ｘｅ-ｘ对ｘ∈Ｒ恒成立
记ｇ（ｘ）＝ｘｅ-ｘ，则ｇ′ ( ｘ ) ＝ｅ-ｘ－ｘｅ-ｘ =(1-x)e -x，
当ｘ＞１时，ｇ′（ｘ）＜０，当ｘ＜１时，ｇ′（ｘ）＞０．
知ｇ（ｘ）在 (- ∞ ,1) 上为增函数 , 在 (1,+∞ ) 上为减函数 ,
∴g(x) 在 x=1 时 , 取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e,∴a≥ 1/e,
即 a 的取值范围是 [1/e, +∞)
(2) 记 F(X)=f(x) －(1+x) =e x 1 x21x ( x0)
2
则 F′ (x)=e x -1-x,
令 h(x)= F ′ (x)=e x-1-x, 则 h′(x)=e x-1
当 x>0 时 , h ′ (x)>0, ∴ h(x) 在 (0,+∞ ) 上为增函数 ,
又h(x) 在 x=0 处连续 , ∴ h(x)>h(0)=0
即 F′ (x)>0 ,∴ F(x)在(0,+∞ )上为增函数,又F(x)在x=0处连续,
∴F(x)>F(0)=0, 即 f(x)>1+x ．
6.对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）
例：证明当 x
111x 0时, (1 x)x e2
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7.构造形似函数
例：证明当b a e,证明 a b b a
例：已知m、 n 都是正整数，且1 m n, 证明： (1 m) n(1n) m
强化训练：
1 、设a0, f ( x) x 1ln
2 x2a ln x
求证：当 x 1 时，恒有x ln 2 x2a ln x1
2、已知定义在正实数集上的函数 f ( x)1x22ax, g ( x) 3a2ln x b,其中 a>0，且
2
b 5 a23a2 ln a ，求证： f ( x) g ( x)
2
3、已知函数f ( x)ln(1 x)x a 、b，
，求证：对任意的正数
1x
恒有 ln a ln b 1 b .
a
4、f (x)是定义在（ 0， +∞）上的非负可导函数，且满足xf ( x) f ( x) ≤0，对任意正
数 a、 b，若 a < b，则必有（）
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（ A）af ( b) ≤bf ( a)（B）bf( a) ≤af( b)
（ C）af ( a) ≤f( b)（D）bf( b) ≤f( a)
5．设函数 f （ x）=e mx+x2﹣ mx．
（1）证明： f （ x）在（﹣∞， 0）单调递减，在（ 0，+∞）单调递增；
（2）若对于任意 x1， x2∈[ ﹣ 1， 1] ，都有 |f （ x1）﹣ f （x2）| ≤e﹣ 1，求 m的取值范围．
6、已知函数. （ 1）讨论函数的单调性；
（2）设，证明：对任意.
7．已知函数 f （ x） =x 2+ax﹣ lnx ，a∈R．
（1）若函数 f （ x）在 [1 ， 2] 上是减函数，求实数 a 的取值范围；
（2）令 g（ x） =f （x）﹣ x2，是否存在实数a，当 x∈（ 0， e] （ e 是自然常数）时，函数g
（x）的最小值是3，若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由；
（3）当 x∈（ 0， e] 时，证明：．
8．已知函数 f （ x）=alnx ﹣ ax﹣ 3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数 f （ x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数 y=f（ x）的图象在点（2，f（ 2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1 ，2] ，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
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9. 设函数 f （ x） =（1+x）2﹣ 2ln （ 1+x）
（1）若关于 x 的不等式 f （ x）﹣ m≥0在 [0 ， e﹣ 1] 有实数解，求实数m的取值范围．
（2）证明不等式：
*（n∈N）．
10．已知函数，其中 a 为实数．
（1）求函数 f （ x）的单调区间；
（2）若函数 f （ x）≥0对定义域内的任意x 恒成立，求实数 a 的取值范围；
（3）证明：对任意的正整数m， n，不等式
恒成立．
11．设函数 f （ x） =lnx ﹣﹣bx
（Ⅰ）当a=b= 时，求函数 f （ x）的单调区间；
（Ⅱ）令 F（x） =f （ x） +＜x≤3），其图象上任意一点P（ x0，y0）处切线的斜率 k≤恒成立，求实数 a 的取值范围；
2 2
12.已知函数 f （ x）= x +2ax﹣ a lnx ﹣1
（1）a≠0时，讨论函数 f （ x）的单调性；
（2）若不等式 2xlnx ≤xf ′（x）+a2+1恒成立，其中 f ′（ x） f （ x）是 f （ x）的导数，求实数 a 的取值范围．
13. 已知函数 f(x)=ln1x .
1－ x
( Ⅰ ) 求曲线 y=f(x)在点（ 0，f(0)）处的切线方程；
( Ⅱ ) 求证：当 x∈ (0,1) 时， f(x)≥ 2(x+ x
3
); 3
x 3
) 对 x∈ (0,1)恒成立，求 k 的最大值 .
( Ⅲ ) 设实数 k 使得 f(x)>k(x+
3
14. 设函数 f(x)=a e x lnx+be x 1, 曲线 y=f(x)在点（ 1， f(1)）处切线方程为 y=e(x-1)+2.
x
( Ⅰ ) 求 a,b ；
( Ⅱ ) 证明： f(x)>1.利用导数求函数单调性
15. 已知函数 f(x)= e x
- e
－x
-2x.
( Ⅰ ) 讨论 f(x) 的单调性
( Ⅱ ) 设 g(x)=f(2x)-4bf(x),当 x>0 时， g(x)>0,求 b 的最大值；
ax
16. 函数 f(x)=ln(x+1)-
x a
(a>1) 讨论 f(x) 的单调性
17. 已知函数f(x)=xcosx-sinx,x∈ [0,π
]，求证：f(x)≤ 0；2
18、已知函数,，其中R .
（1）讨论的单调性；
（2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；
（3）设函数,当时，若存在，对于任意的，总有成立，求实数的取值范围．
19、已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）设，若对任意，，不等式
恒成立，求实数的取值范围 .
20、设函数表示的导函数，，（其中）（ 1）求的单调区间（2）若对任意的，都有
成立，求实数的取值范围
21、已知函数,，其中R．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（Ⅲ）设函数
, 当时，若，，总有成立，求实数的取值范围．
22、已知函数.
( Ⅰ ) 若，求曲线在处切线的斜率；( Ⅱ ) 求的单调区间；（Ⅲ）设
，若对任意，均存在，使得，求
的取值范围。