数列求和之错位相减法、倒序相加法

数列求和之错位相减法、倒序相加法

1、错位相减法适用于c n =a n ×b n ，其中a n {}是等差数列，b n {}是等比数列。

步骤：此时可把式子

的两边同乘以公比 q (q ¹0且

q ¹1)，得到

，两式错位相减整理即可求出

S n .

2、倒序相加法适用于数列首尾项的和为定值。

【例1】已知数列211,3,5,,(21)(0)n a a n a a --≠ ，求前n 项和.

【例2】已知 a n {

}

是一个公差大于0的等差数列，且满足

a 3a 6

=55,a 2+a 7=16

（Ⅰ）求数列 a n {}的通项公式：

（Ⅱ）若数列 a n {

}

和数列 b n {

}

满足等式:2n

n n

a b =，求数列 b n {}

的前n 项和S n .

【例3】求和：22

2

2

sin 1sin 2sin 3sin 89++++

【例4】已知函数()()R x x f x ∈+=

2

41，点()111,y x P ，()222,y x P 是函数()x f 图像上

的两个点，且线段21P P 的中点P 的横坐标为2

1

．

（Ⅰ）求证：点P 的纵坐标是定值； （Ⅱ）若数列{}n a 的通项公式为()m n N m m n f a n ,,2,1, =∈⎪⎭

⎫

⎝⎛=，求数列{}n a 的前m

项的和m S ；

【变式训练】

1、已知数列2

6a --，1

4a --，2-，0,2a ，2

4a ，...，（-8+2n ）3

n a -求前n 项和.

2、若数列

{}n a 的通项公式为23n

a

n =+，数列 b n {}满足等式:2n n n b a =，求数列

b n {}

的

前n 项和S n

3、求cos1cos 2cos3cos178cos179+++++

的值.

【过关练习】

1. 设数列{a n }的前n 项和为S n =2n 2，{b n }为等比数列，且a 1=b 1,b 2(a 2-a 1)=b 1， （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）设c n =a n

b n

，求数列{c n }的前n 项和T n ．

2、已知是等差数列，其前n 项和为n S ，是等比数列，且，.

（1）求数列与的通项公式；

（2）记，，证明（）；

}{n a }{n b 27,24411=+==b a b a 1044=-b S }{n a }{n b n n n n b a b a b a T 1211+++=- *

N n ∈n n n b a T 10212+-=+*

N n ∈

3、已知()lg 2,xy =求和1

22lg lg()lg()lg n

n n n

n S x x

y x y y --=++++