子波基本理论与提取方法

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子波基本理论与提取方法

子波基本理论与提取方法 1 地震子波基本原理 由震源激发、
经地下传播并被人们在地面或井中接收到的地震波通常是一个短的
脉冲振动， 称该振动为振动子波。
它可以理解为有确定起始时间和有限能量，在很短时间内衰减的
一个信号。
地震子波其振动的一个根本属性是振动的非周期性。
因此， 它的动力学参数应有别于描述周期振动的振幅、 频率、
相位等参数，而用振幅谱、 相位谱等概念来描述。
子波一般是物理可实现的， 特别是地震子波， 作为一个物理
滤波器的响应函数， 自然是物理可实现的， 所有必定为非零相子波，
但不同子波相位延迟不同。
子波包括最小相位子波、 最大相位子波、 混合相位子波。
子波的 Z 变换是一个多项式：
nnzbzbzbbzB...)(221 若此多项式的全部零点均在
单位圆外， 则为最小相位子波； 在单位圆内， 为最大相位子波； 零
点在单位圆的内外都有， 则为混合相位子波。
最小相位 最大相位 混合相位 2 地震子波的数学模型 实际
中的地震子波是一个很复杂的问题， 因为地震子波与地层岩石性质
有关， 地层岩石性质本身就是一个复杂体。
为了研究方便， 仍需要对地震子波进行模拟， 目前普遍认为雷
克提出的地震子波数学模型具有广泛的代表性， 即称雷克子波。
最小相位的地震子波的数学模型为：
ftetbat2sin)(2 式中：
f为子波的主频；)ln(22Mf为子波衰减系数；|/|21mmM 为
最大波峰值1m和最大波谷值2m 之对比。
其波形大致如图所示：
3 地震子波提取的基本方法 地震子波的提取方法有两大类：
第一类是确定性子波提取方法； 第二类是统计性子波提取方法。
确定性子波提取方法指的是利用测井资料首先计算出反射系数
序列， 然后结合井旁地震道由褶积理论求出地震子波， 它的优点是
不需要对反射系数序列的分布作任何假设， 能得到较为准确的子波，
而统计性方法的优点是不需要测井信息也可以得到子波的估计， 但
缺点是需对所用的地震资料和地下的反射系数序列的分布进行某种
假设， 所得子波理论上的精度不是高很。
正是由于这个原因， 所以本文将分别最这两种方法进行 C 语
言的编程实现，来对统计性子波提取方法和确定性子波进行地震信号
反褶积的效果作一下对比和演示。
4 统计性子波提取方法原理 虽然子波一般是未知的， 但地震
记录中包含有子波， 因此， 可以从地震记录中求取子波。
虽然目前求取地震子波的方法也很多， 但下面还是介绍一下统
计求取子波方法。
若将子波作为一般信号对待， 则子波也可用)(ts表示， 假设
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反射系数是随机的白噪序列， 则有地震记录)(tx的自相关和子
波)(ts的自相关相等， 于是有记录的振幅谱| )(|X和子波的振幅
谱| )(|S相等 | )(| | )(|XS 及其对数也相等
| )(|ln| )(|lnXS 理论已证明， 当子波为最小相位时， 其
对数谱序列（或称复赛谱）序列 )()(nS是因果
d(jeSnS| )|ln1 由于| )(|lnS为实偶函数，
因此)(nS是实的因果序列。
任何实序列都可写成奇部和偶部序列之和， 故)(nS可写成：
)()()(neSnoSnS 即子波对数谱序列)(nS的奇
部)(noS和偶部)(neS有下述两个性质：
第一， 由于)(nS的因果性， 起奇部和偶部有如下关
系 )()()(neSnsignnoS )()()()()(nnoSnoSnsignneS
式中， 1 0n )(nsign 0
0n -1 0n 第二，)(nS的偶部和奇部的
傅里叶变换为其傅里叶变换的实部和虚部。
设)(nS的傅里叶变换
为)(Re)(fiSfrS，)(Im)(fSfiS，)( fS为子波的对数
谱，则 )()()(fiSifrSfS 由傅里叶变换性质
有 )()(feSneSF
)()(foSinoSF 故
有 )()()(fiSifrSfS )()(foSifeS
即 )()(frSfeS )()(fiSfoS 于是求子波的方法可归结
为：
1） 用多道统计的方法获得可靠的子波对数谱的实部。
由子波谱 ((jeSS| )|) 则有
| )(|ln)(SS )(| )(|lniS 由若干
道振幅谱的几何平均（或多道记录的相关函数平均） 确定子波振幅
谱的对数谱| )(|lnS。
2） 由子波振幅谱对数求子波相位谱)(|。
计算公式为 )(| )(|lnneSSIFT
)()()(neSnsignnoS )()(FTnoS 3） 计算子
波)(tS。
由)(S及)(得 )(| )(|)(tSeSSFTj 由于干
扰的影响和反射系数序列不完全相关性， 故需对子波的振幅谱和相
位谱进行整形处理， 另外， 这种方法理论上仅适应最小相位的情况，
为适应混合相位记录， 可以先采用指数滤波的方法使地震记录最小
相位化， 再对求取的子波进行反向指数加权。