2.5 指数与指数函数 作业
第5节 指数与指数函数--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第五节指数与指数函数1．根式(1)如果x n ＝a ，那么01x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *.(2)式子na 叫做02根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(3)(na )n ＝03a．当n 为奇数时，na n ＝04a ；当n 为偶数时，na n ＝|a |，a ≥0，a ，a <0.2．分数指数幂正数的正分数指数幂，a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．正数的负分数指数幂，a－m n ＝1a m n＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)．0的正分数指数幂等于050，0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质a r a s ＝06a r ＋s ；(a r )s ＝07a rs ；(ab )r ＝08a r b r (a >0，b >0，r ，s ∈R )．4．指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ，a 是底数．(2)指数函数的图象与性质a>10<a <1图象定义域R 值域09(0，＋∞)性质图象过定点10(0，1)，即当x＝0时，y ＝1当x >0时，11y >1；当x <0时，120<y <1当x <0时，13y >1；当x >0时，140<y <1在(－∞，＋∞)上是15增函数在(－∞，＋∞)上是16减函数(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数．(2)画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)1(3)如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b ＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象越高，底数越大．(4)指数函数y ＝a x 与y (a >0，且a ≠1)的图象关于y 轴对称．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)4(－4)4＝－4.()(2)2a·2b＝2ab.()(3)na n＝(na)n＝a.()(4)6(－3)2＝(－3)13.()(5)函数y＝2x－1是指数函数．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2．小题热身(1)(人教A必修第一册习题4.1T1改编)下列运算中正确的是()A.(2－π)2＝2－πB．a－1a＝－aC．(m 14n-38)8＝m2n3D．(x3－2)3＋2＝x9答案C解析对于A，因为2－π<0，所以(2－π)2＝π－2，故A错误；对于B，因为－1a>0，所以a<0，则a－1a＝－(－a)·1－a＝－－a，故B错误；对于C，因为(m14n-38)8＝(m14)8·(n-38)8＝m2n3，故C正确；对于D，因为(x3－2)3＋2＝x9－2＝x7，故D错误．(2)已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1，2)，那么这个函数也必定经过点()21C．(1，2)答案D(3)函数y＝2x＋1的图象是()答案A(4)若函数y＝a x(a>0，且a≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a的值为________．答案2考点探究——提素养考点一指数幂的运算例1(1)(2024·湖北宜昌高三模拟)已知x，y>03x-34y12－14x14y－1y__________．答案－10y解析原式＝3x -34y12－3 10 x -34y-12＝－10y.(2)－0.752＋6－2－23＝________．答案1解析＋136×－23＝32－＋136×2＝32－916＋136×94＝1.【通性通法】【巩固迁移】－12·(4ab－1)3(0.1)－1·(a3·b－3)12(a>0，b>0)＝________．答案85解析原式＝2·432a 32b -3210a 32b-32＝85.2．若x 12＋x -12＝3，则x 2＋x －2＝________．答案47解析由x 12＋x -12＝3，得x ＋x －1＝7，再平方得x 2＋x －2＝47.考点二指数函数的图象及其应用例2(1)(2024·安徽合肥八中月考)函数①y ＝a x ；②y ＝b x ；③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是()A.54，3，13，12 B.3，54，13，12C.12，13，3，54 D.13，12，54，3答案C解析由题图，直线x ＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而3>54>12>13，故选C.(2)(2024·江苏南京金陵高三期末)若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －1|(a >0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围为________．答案解析当0<a <1时，y ＝|a x －1|的图象如图1所示，由已知得0<3a <1，∴0<a <13；当a >1时，y ＝|a x －1|的图象如图2所示，由已知可得0<3a <1，∴0<a <13，结合a >1可得a 无解．综上可知，a【通性通法】(1)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．【巩固迁移】3．(2024·广东深圳中学高三摸底)函数y ＝e －|x |(e 是自然对数的底数)的大致图象是()答案C解析y ＝e －|x |，x ≥0，x <0，易得函数y ＝e －|x |为偶函数，且图象过(0，1)，y ＝e －|x |>0，函数在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，故C 符合题意．故选C.4．(多选)若实数x ，y 满足4x ＋5x ＝5y ＋4y ，则下列关系式中可能成立的是()A ．1<x <yB ．x ＝yC ．0<x <y <1D ．y <x <0答案BCD解析设f (x )＝4x ＋5x ，g (x )＝5x ＋4x ，则f (x )，g (x )都是增函数，画出函数f (x )，g (x )的图象，如图所示，根据图象可知，当x ＝0时，f (0)＝g (0)＝1；当x ＝1时，f (1)＝g (1)＝9，依题意，不妨设f (x )＝g (y )＝t ，则x ，y 分别是直线y ＝t 与函数y ＝f (x )，y ＝g (x )图象的交点的横坐标．当t >9时，若f (x )＝g (y )，则x >y >1，故A 不正确；当t ＝9或t ＝1时，若f (x )＝g (y )，则x ＝y ＝1或x ＝y ＝0，故B 正确；当1<t <9时，若f (x )＝g (y )，则0<x <y <1，故C 正确；当t <1时，若f (x )＝g (y )，则y <x <0，故D 正确．故选BCD.考点三指数函数的性质及其应用(多考向探究)考向1比较指数式的大小例3(2023·天津高考)若a ＝1.010.5，b ＝1.010.6，c ＝0.60.5，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >b >cD ．b >a >c答案D解析解法一：因为函数f (x )＝1.01x 是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b >a >1.因为函数φ(x )＝0.6x 是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60＝1，即c <1.综上，b >a >c .故选D.解法二：因为函数f (x )＝1.01x 是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b >a .因为函数h (x )＝x 0.5在(0，＋∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a >c .综上，b >a >c .故选D.【通性通法】比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指．(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小．(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；或构造同一幂函数，然后利用幂函数的性质比较大小．(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较．【巩固迁移】5．(2023·福建泉州高三质检)已知a －13，b －23，c ()A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．b >a >c答案C解析－13－23，y 在R 上是增函数，－13－23，即c >a >b .考向2解简单的指数方程或不等式例4(1)(多选)若4x －4y <5－x －5－y ，则下列关系式正确的是()A ．x <yB ．y －3>x －3C.x >y <3－x答案AD解析由4x －4y <5－x －5－y ，得4x －5－x <4y －5－y ，令f (x )＝4x －5－x ，则f (x )<f (y )．因为g (x )＝4x ，h (x )＝－5－x 在R 上都是增函数，所以f (x )在R 上是增函数，所以x <y ，故A 正确；因为G (x )＝x －3在(0，＋∞)和(－∞，0)上都单调递减，所以当x <y <0时，x －3>y －3，故B 错误；当x <0，y <0时，x ，y 无意义，故C 错误；因为y 在R 上是减函数，且x <y ，，<3－x ，故D 正确．故选AD.(2)已知实数a ≠1，函数f (x )x ，x ≥0，a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．答案12解析当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a >1时，2a －(1－a )＝4a －1，无解．故a 的值为12.【通性通法】(1)解指数方程的依据：a f (x )＝a g (x )(a >0，且a ≠1)⇔f (x )＝g (x )．(2)解指数不等式的思路方法：对于形如a x >a b (a >0，且a ≠1)的不等式，需借助函数y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，则需分a >1与0<a <1两种情况讨论；而对于形如a x >b 的不等式，需先将b 转化为以a 为底的指数幂的形式，再借助函数y ＝a x 的单调性求解．【巩固迁移】6．函数y ＝(0.5x－8)-12的定义域为________．答案(－∞，－3)解析因为y ＝(0.5x －8)-12＝10.5x －8，所以0.5x －8>0，则2－x >23，即－x >3，解得x <－3，故函数y ＝(0.5x－8)-12的定义域为(－∞，－3)．7．当0<x <12时，方程a x ＝1x (a >0，且a ≠1)有解，则实数a 的取值范围是________．答案(4，＋∞)解析依题意，当x ，y ＝a x 与y ＝1x 的图象有交点，作出y ＝1x的部分图象，如图所示，>1，12>2，解得a>4.考向3与指数函数有关的复合函数问题例5(1)函数f(x)＝3－x2＋1的值域为________．答案(0，3]解析设t＝－x2＋1，则t≤1，所以0<3t≤3，故函数f(x)的值域为(0，3]．(2)函数yx－＋17的单调递增区间为________．答案[－2，＋∞)解析设t>0，又y＝t2－8t＋17＝(t－4)2＋1在(0，4]上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增．≤4，得x≥－2，>4，得x<－2，而函数t在R上单调递减，所以函数yx－＋17的单调递增区间为[－2，＋∞)．【通性通法】涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．【巩固迁移】8．(多选)已知定义在[－1，1]上的函数f(x)＝－2·9x＋4·3x，则下列结论中正确的是() A．f(x)的单调递减区间是[0，1]B．f(x)的单调递增区间是[－1，1]C．f(x)的最大值是f(0)＝2D．f(x)的最小值是f(1)＝－6答案ACD解析设t＝3x，x∈[－1，1]，则t＝3x是增函数，且t∈13，3，又函数y＝－2t2＋4t＝－2(t－1)2＋2在13，1上单调递增，在[1，3]上单调递减，因此f(x)在[－1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，故A正确，B错误；f(x)max＝f(0)＝2，故C正确；f(－1)＝109，f(1)＝－6，因此f (x )的最小值是f (1)＝－6，故D 正确．故选ACD.9．若函数f (x )2＋2x ＋3，19，则f (x )的单调递增区间是________．答案(－∞，－1]解析∵y 是减函数，且f (x )，19，∴t ＝ax 2＋2x ＋3有最小值2，则a >0且12a －224a ＝2，解得a ＝1，因此t ＝x 2＋2x ＋3的单调递减区间是(－∞，－1]，故f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]．课时作业一、单项选择题1．(2024·内蒙古阿拉善盟第一中学高三期末)已知集合A ＝{x |32x －1≥1}，B ＝{x |6x 2－x －2<0}，则A ∪B ＝()A.12，－12，12－12，＋∞答案D解析集合A ＝{x |32x －1≥1}＝12，＋B ＝{x |6x 2－x －2<0}＝{x |(3x －2)(2x ＋1)<0}＝－12，所以A ∪B －12，＋故选D.2.(2024·山东枣庄高三模拟)已知指数函数y ＝a x 的图象如图所示，则y ＝ax 2＋x 的图象顶点横坐标的取值范围是()－12，－12，＋∞答案A解析由图可知，a ∈(0，1)，而y ＝ax 2＋x ＝－14a (a ≠0)，其顶点横坐标为x ＝－12a，所以－12a∈∞，故选A.3．已知函数f (x )＝11＋2x ，则对任意实数x ，有()A ．f (－x )＋f (x )＝0B ．f (－x )－f (x )＝0C ．f (－x )＋f (x )＝1D ．f (－x )－f (x )＝13答案C解析f (－x )＋f (x )＝11＋2－x ＋11＋2x ＝2x 1＋2x ＋11＋2x ＝1，故A 错误，C 正确；f (－x )－f (x )＝11＋2－x－11＋2x ＝2x 1＋2x －11＋2x ＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，不是常数，故B ，D 错误．故选C.4．已知a ＝243，b ＝425，c ＝513，则()A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <a <cD ．c <a <b答案A 解析因为a ＝243＝423，b ＝425，所以a ＝423>425＝b ，因为b ＝425＝(46)115＝4096115，c ＝513＝(55)115＝3125115，所以b >c .综上所述，a >b >c .故选A.5．(2024·江苏连云港海滨中学高三学情检测)若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，则实数m 的值为()A.12B.1142C.116D.12或116答案D解析当a >1时，f (x )＝a x 在[－1，2]上单调递增，则f (x )max ＝f (2)＝a 2＝4，解得a ＝2，此时f (x )＝2x ，m ＝f (x )min ＝2－1＝12；当0<a <1时，f (x )＝a x 在[－1，2]上单调递减，所以f (x )max ＝f (－1)＝a －1＝4，解得a ＝14，此时f (x )，m ＝f (x )min ＝f (2)＝116.综上所述，实数m 的值为12或116.故选D.6．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0，1)上单调递减，则a 的取值范围是()A ．(－∞，－2]B ．[－2，0)C ．(0，2]D ．[2，＋∞)答案D解析函数y ＝2x 在R 上单调递增，而函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0，1)上单调递减，则函数y ＝x (x －a )－a 24在区间(0，1)上单调递减，因此a2≥1，解得a ≥2，所以a 的取值范围是[2，＋∞)．故选D.7．(2023·辽宁名校联盟联考)已知函数f (x )满足f (x )x －2，x >0，－2－x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是()A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)答案B解析当x >0时，－x <0，f (－x )＝2－2x ＝－(2x －2)＝－f (x )；当x <0时，－x >0，f (－x )＝2－x－2＝－(2－2－x )＝－f (x )，则函数f (x )为奇函数，所以f (a )>f (－a )＝－f (a )，即f (a )>0，作出函数f (x )的图象，如图所示，由图象可得，实数a 的取值范围为(－1，0)∪(1，＋∞)．故选B.8．(2024·福建漳州四校期末)已知正数a ，b ，c 满足2a －1＝4，3b －1＝6，4c －1＝8，则下列判断正确的是()A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <b <aD ．c <a <b答案A解析由已知可得a ＝2，b ＝2，c ＝2，则a ，b ，c 可分别看作直线y ＝2－x 和y ，y ，y 的图象的交点的横坐标，画出直线y ＝2－x 和y ，y ，y 的大致图象，如图所示，由图象可知a <b <c .故选A.二、多项选择题9．下列各式中成立的是()＝n 7m 17(n >0，m >0)B ．－1234＝3－3C.39＝33D ．[(a 3)2(b 2)3]－13＝a －2b －2(a >0，b >0)答案BCD解析＝n 7m7＝n 7m －7(n >0，m >0)，故A 错误；－1234＝－3412＝－313＝3－3，故B 正确；39＝332＝332＝33，故C 正确；[(a 3)2(b 2)3]-13＝(a 6b 6)-13＝a －2b －2(a >0，b >0)，故D 正确．故选BCD.10．已知函数f (x )＝3x －13x ＋1，下列说法正确的是()A ．f (x )的图象关于原点对称B ．f (x )的图象关于直线x ＝1对称C ．f (x )的值域为(－1，1)D ．∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0答案AC解析由f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝－3x －13x ＋1＝－f (x )，可得函数f (x )为奇函数，所以A 正确；因为f (0)＝0，f (2)＝45，f (0)≠f (2)，所以B 错误；设y ＝3x －13x ＋1，可得3x ＝1＋y 1－y ，所以1＋y 1－y >0，即1＋y y －1<0，解得－1<y <1，即函数f (x )的值域为(－1，1)，所以C 正确；f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1为增函数，所以D 错误．故选AC.三、填空题11．0.25-12－(－2×160)2×(2-23)3＋32×(4-13)－1＝________．答案3解析原式＝[(0.5)2]-12－(－2×1)2×2－2＋213×2231－4×14＋2＝2－1＋2＝3.12．不等式10x －6x －3x ≥1的解集为________．答案[1，＋∞)解析由10x －6x －3x ≥1，≤1.令f (x )，因为y ＝，y ，y 均为R 上的减函数，则f (x )在R 上单调递减，且f (1)＝1，所以f (x )≤f (1)，所以x ≥1，故不等式10x －6x －3x ≥1的解集为[1，＋∞)．13．若函数f (x )＝|2x －a |－1的值域为[－1，＋∞)，则实数a 的取值范围为________．答案(0，＋∞)解析令g (x )＝|2x －a |，由题意得g (x )的值域为[0，＋∞)，又y ＝2x 的值域为(0，＋∞)，所以－a <0，解得a >0.14．已知函数f (x )x －a ，x ≤0，x ＋a ，x >0，关于x 的不等式f (x )≤f (2)的解集为I ，若I(－∞，2]，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，－1)解析当a ≥0时，结合图象可得f (x )≤f (2)的解集是(－∞，2]，不符合题意．当a <0时，2－a>2a ，由于f (x )在区间(－∞，0]和(0，2]上单调递增，所以要使f (x )≤f (2)的解集I 满足I(－∞，2]，则2－a >f (2)＝22＋a ，解得a <－1.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－1)．四、解答题15．(2024·辽宁沈阳东北育才学校高三月考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且函数g (x )＝f (x )＋e x 是定义在R 上的偶函数．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求不等式f (x )≥34的解集．解(1)∵g (x )＝f (x )＋e x 是定义在R 上的偶函数，∴g (－x )＝g (x )，即f (－x )＋e －x ＝f (x )＋e x ，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＋e －x ＝f (x )＋e x ，∴f (x )＝e －x －e x2.(2)由(1)，知e －x －e x 2≥34，得2e －x －2e x －3≥0，即2(e x )2＋3e x －2≤0，令t ＝e x ，t >0，则2t 2＋3t －2≤0，解得0<t ≤12，∴0<e x ≤12，∴x ≤－ln 2，∴不等式f (x )≥34的解集为(－∞，－ln 2]．16．(2024·山东菏泽高三期中)已知函数f (x )3＋x.(1)解关于x 的不等式f (x 3＋ax ＋1，a ∈R ；(2)若∃x ∈(1，3)，∀m ∈(1，2)，f (2mnx －4)－f (x 2＋nx )＋x 2＋nx －2mnx ＋4≤0，求实数n 的取值范围．解(1)3＋x3＋ax ＋1，得x 3＋x <x 3＋ax ＋1，即(1－a )x <1.当1－a ＝0，即a ＝1时，不等式恒成立，则f (x 3＋ax ＋1的解集为R ；当1－a >0，即a <1时，x <11－a，则f (x 3＋ax ＋1|x 当1－a <0，即a >1时，x >11－a，则f (x 3＋ax ＋1|x 综上所述，当a ＝1时，不等式的解集是R ；当a <1时，|x当a >1时，|x (2)因为y ＝x 3和y ＝x 均为增函数，所以y ＝x 3＋x 是增函数，因为y 是减函数，所以f (x )是减函数，则g (x )＝f (x )－x 是减函数．由f (2mnx －4)－f (x 2＋nx )＋x 2＋nx －2mnx ＋4≤0可得，g (2mnx －4)＝f (2mnx －4)－(2mnx －4)≤f (x 2＋nx )－(x 2＋nx )＝g (x 2＋nx )，所以2mnx －4≥x 2＋nx ，所以2mn －n ≥x ＋4x ，又x ＋4x≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，不等式取等号，即∀m ∈(1，2)，2mn －n ≥4恒成立，由一次函数性质可知n －n ≥4，n －n ≥4，解得n ≥4，所以实数n 的取值范围是[4，＋∞)．17．(多选)已知函数f (x )＝a |＋b 的图象经过原点，且无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是()A ．a ＋b ＝0B ．若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＋y ＝0C ．若x <y <0，则f (x )<f (y )D ．f (x )的值域为[0，2)答案ABD解析∵函数f (x )＝a |＋b 的图象过原点，∴a ＋b ＝0，即b ＝－a ，则f (x )＝a |－a ，又f (x )的图象无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，∴b ＝2，a ＝－2，f (x )＝－|＋2，故A 正确；由于f (x )为偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，故若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＝－y ，即x ＋y ＝0，故B 正确；由于f (x )＝2－|在(－∞，0)上单调递减，故若x <y <0，则f (x )>f (y )，故C 错误；|∈(0，1]，∴f (x )＝－|＋2∈[0，2)，故D 正确．故选ABD.18．(多选)已知实数a ，b 满足3a ＝6b ，则下列关系式可能成立的是()A ．a ＝bB ．0<b <aC ．a <b <0D ．1<a <b答案ABC解析由题意，在同一坐标系内分别画出函数y ＝3x 和y ＝6x 的图象，如图所示，由图象知，当a ＝b ＝0时，3a ＝6b ＝1，所以A 可能成立；作出直线y ＝k ，当k >1时，若3a ＝6b ＝k ，则0<b <a ，所以B 可能成立；当0<k <1时，若3a ＝6b ＝k ，则a <b <0，所以C 可能成立．故选ABC.19．(2023·广东珠海一中阶段考试)对于函数f (x )，若其定义域内存在实数x 满足f (－x )＝－f (x )，则称f (x )为“准奇函数”．若函数f (x )＝e x －2e x ＋1，则f (x )________(是，不是)“准奇函数”；若g (x )＝2x ＋m 为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，则实数m 的取值范围为________．答案不是－54，－1解析假设f (x )为“准奇函数”，则存在x 满足f (－x )＝－f (x )，∴e －x －2e －x ＋1＝－e x －2e x ＋1有解，整理得e x ＝－1，显然无解，∴f (x )不是“准奇函数”．∵g (x )＝2x ＋m 为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，∴2－x＋m ＝－2x －m 在[－1，1]上有解，∴2m ＝－(2x ＋2－x)在[－1，1]上有解，令2x ＝t ∈12，2，∴2m t ∈12，2上有解，又函数y ＝t ＋1t在12，，在(1，2]上单调递增，且t ＝12时，y ＝52，t ＝2时，y ＝52，∴y min ＝1＋1＝2，y max ＝52，∴y ＝t ＋1t 的值域为2，52，∴2m ∈－52，－2，解得m ∈－54，－1.。
第二章 2.5指数与指数函数高考总复习
实数a的取值范围是
－x2＋2x，0≤x≤4
答案 解析 几何画板展示
A.(－∞，－3]
B.[－3,0)
C.[－3，－1]
D.{－3}
(2)已知函数 f(x)＝2x－21x，函数 g(x)＝ffx－，xx，≥x0<，0， 则函数 g(x)的最 小值是____0____. 答案 解析 当 x≥0 时，g(x)＝f(x)＝2x－21x为单调增函数， 所以g(x)≥g(0)＝0； 当 x<0 时，g(x)＝f(－x)＝2－x－21－x为单调减函数， 所以g(x)>g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0.
1
(2) 4b
a 3 －8a 3 b
2 3
＋23
ab＋a
2 3
÷(a
2 3
－23a
b)×
5
a·3 a2 .
a·3 a
解答
原式＝ a
1 3
1
1
1
a 3 [a 3 3－2b 3 3]
1
1
2＋a 3 ·2b 3 ＋2b
1 3
a ÷ 2
1 3
－2b a
1 3
2
×
a·a
1
3
a 2 ·a
1 3
1 2
1 5
5
11
思维升华
(1)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a的取值 范围，并在必要时进行分类讨论. (2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇 偶性的求解方法，要化归于指数函数来解.
跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝－12x，a≤x＜0， 的值域是[－8,1]， 则
跟踪训练1
化简(14)
高中数学 2.5 指数函数课时提能训练 文 新人教A版
【全程复习方略】（湖北专用）2013版高中数学 2.5 指数函数课时提能训练 文新人教A 版(45分钟 100分)一、选择题（每小题6分，共36分）1.（2012·孝感模拟）函数y=x 164-的值域是( ) （A ）［0，+∞) （B ）［0,4］ （C ）［0,4) （D ）(0,4)2.（2012·黄冈模拟）已知函数f(x)是奇函数，当x ＞0时，f(x)=a x(a ＞0且a ≠1)，且f(12log 4)=-3,则a 的值为( )（A ）3 （B ）3 （C ）9 （D ）323.若集合A ＝{x|y=x 112--,x ∈R},集合B ＝{y|y=log 2(3x+1),x ∈R},则A ∩B=( )(A){x|0＜x ≤1} (B){x|x ≥0} (C){x|0≤x ≤1} (D )Ø4.（易错题）函数y=|2x-1|在区间(k-1,k+1)内不单调,则k 的取值范围是( ) (A)（-1,+∞） (B)(-∞,1) (C)(-1,1) (D)(0,2) 5.(预测题)若存在负实数使得方程2x-a=1x 1-成立,则实数a 的取值范围是 ( )(A)（2,+∞） (B)(0,+∞) (C)(0,2) (D)(0,1)6.设函数f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线x=1对称,且当x ≥1时,f(x)=3x-1,则有( )(A)f(13)＜f(32)＜f(23) (B)f(23)＜f(32)＜f(13) (C)f(23)＜f(13)＜f(32) (D)f(32)＜f(23)＜f(13)二、填空题（每小题6分，共18分） 7. （2012·黄石模拟）求值：()12()()436341623224249-⨯+--×80.25-(2 005)0=_______. 8.函数f(x)=2x 2x 3am +-+(a ＞1)恒过点（1,10）,则m=_______.9.设定义在R 上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)+f(-x)=0；②f(x)=f(x+2)；③当0≤x ≤1时， f(x)=2x-1，则f(12)+f(1)+f(32)+f(2)+f(52)=_______. 三、解答题（每小题15分，共30分）10.（2012·福州模拟）已知对任意x ∈R,不等式222x mx m 4x x1122-+++＞()恒成立,求实数m 的取值范围.11.（2012·郑州模拟）设函数f(x)=ka x-a -x(a ＞0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数; (1)若f(1)＞0，试求不等式f(x 2+2x)+f(x-4)＞0的解集; (2)若f(1)=32,且g(x)=a 2x +a -2x-4f(x)，求g(x)在［1,+∞)上的最小值. 【探究创新】（16分）定义在D 上的函数f(x),如果满足：对于任意x ∈D,存在常数M ＞0,都有|f(x)|≤M 成立,则称f(x)是D 上的有界函数,其中M 称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)=1+a ·(12)x +(14)x; （1）当a =1时,求函数f(x)在(-∞,0)上的值域.并判断函数f(x)在（-∞,0）上是否为有界函数,请说明理由；（2）若函数f(x)在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数,求实数a 的取值范围.答案解析1.【解析】选C.∵4x ＞0,∴-4x ＜0,∴16-4x＜16.又16-4x≥0,∴0≤y ＜4. 2.【解析】选A.12log 4=-2,∴f(12log 4)=f(-2)=-f(2)=-a 2=-3,∴33.【解题指南】保证集合A 中的函数解析式有意义,同时注意对数函数成立的条件. 【解析】选A.∵A={x|x 11-20-≥}={x||x|-1≤0}={x|-1≤x ≤1},B={y|y ＞0},∴A ∩B={x|0＜x ≤1}.4.【解析】选C.由于函数y=|2x-1|在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增,而函数在区间（k-1,k+1）内不单调,所以有k-1＜0＜k+1,解得-1＜k ＜1.5.【解题指南】转化为两函数y=1x 1-与y=2x-a 图象在(-∞,0)上有交点求解. 【解析】选C.在同一坐标系内分别作出函数y=1x 1-和y=2x-a 的图象知,当a ∈(0,2)时符合要求.6.【解析】选B.由已知条件可得f(x)=f(2-x). ∴f(13)=f(53),f(23)=f(43). 又x ≥1时,f(x)=3x-1,在(1,+∞)上递增,∴f(53)＞f(32)＞f(43). 即f(13)＞f(32)＞f(23).【方法技巧】比较具有对称性、奇偶性、周期性函数的函数值大小的方法（1）单调性法：先利用相关性质,将待比较函数值调节到同一单调区间内，然后利用该函数在该区间上的单调性比较大小.（2）图象法：先利用相关性质作出函数的图象,再结合图象比较大小.7.【解析】原式=()4313233444723242214⨯+-⨯-⨯-=108+2-7-2-1=100. 答案：1008.【解析】f(x)=2x2x 3am +-+,在x 2+2x-3=0时,过定点（1,1+m ）或（-3,1+m ）,∴1+m=10,解得m=9. 答案：99.【解题指南】根据条件先探究函数的奇偶性、周期性,再将所求函数值转化为已知函数值求解. 【解析】依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2， ∴f(12)+f(1)+f(32)+f(2)+f(52)=f(12)+f(1)+f(12-)+f(0)+f(12) =f(12)+f(1)-f(12)+f(0)+f(12)=f(12)+f(1)+f(0)=1102212121-+-+- =2. 答案：210.【解析】由题知：不等式22x x 2x mx m 411()22+-++＞()对x ∈R 恒成立, ∴x 2+x ＜2x 2-mx+m+4对x ∈R 恒成立. ∴x 2-(m+1)x+m+4＞0对x ∈R 恒成立. ∴Δ=(m+1)2-4(m+4)＜0. ∴m 2-2m-15＜0.∴-3＜m ＜5.11.【解析】∵f(x)是定义域为R 的奇函数, ∴f(0)=0,∴k-1=0,∴k=1. (1)∵f(1)＞0,∴a 1a-＞0,又a ＞0且a ≠1, ∴a ＞1,f(x)=a x-a -x,而当a ＞1时，y=a x和y=-a -x在R 上均为增函数， ∴f(x)在R 上为增函数，原不等式化为：f(x 2+2x)＞f(4-x), ∴x 2+2x ＞4-x,即x 2+3x-4＞0, ∴x ＞1或x ＜-4，∴不等式的解集为{x|x ＞1或x ＜-4}.(2)∵f(1)=32,∴a 1a -=32, 即2a 2-3a-2=0,∴a=2或a=12-（舍去），∴g(x)=22x+2-2x-4(2x-2-x)=(2x-2-x )2-4(2x-2-x)+2, 令t=2x-2-x (x ≥1),则t=h(x)在［1,+∞)上为增函数（由（1）可知），即h(x)≥h(1)=32.∴p(t)=t 2-4t+2=(t-2)2-2,∴当t=2时，g(x)min =-2,此时x=log 2(1+2), 当x=log 2(1+2)时,g(x)有最小值-2.【误区警示】本题（2）中易由于不会换元转化为二次函数而无法进行下去，根本原因是对于较复杂的函数式化繁为简，化陌生为熟悉训练不到位. 【探究创新】【解析】（1）当a=1时,()2x x x 11113f x 1()()()24224⎡⎤=++=++⎢⎥⎣⎦,∵f (x)在(-∞,0)上递减,所以f(x)＞f(0)=3, 即f(x)在(-∞,0)的值域为（3,+∞）, 故不存在常数M ＞0,使|f(x)|≤M 成立, ∴函数f(x)在(-∞,0)上不是有界函数. （2）由题意,|f(x)|≤3在[0,+∞)上恒成立.-3≤f(x)≤3,-4-(14)x ≤a ·(12)x ≤2-(14)x, ∴-4·2x -(12)x ≤a ≤2·2x-(12)x 在[0,+∞)上恒成立,∴[-4·2x -(12)x ]max ≤a ≤[2·2x-(12)x ]min .设2x=t,h(t)=-4t 1t -,p(t)=2t 1t-,由x ∈[0,+∞)得t ≥1,设1≤t 1＜t 2, h(t 1)-h(t 2)=()()211212t t 4t t 1t t --＞0,p(t 1)-p(t 2)=()()121212t t 2t t 1t t -+＜0,所以h(t)在[1,+∞)上递减,p(t)在[1,+∞)上递增,h(t)在[1,+∞)上的最大值为h(1)=-5,p(t)在[1,+∞)上的最小值为p(1)=1,所以实数a 的取值范围为[-5,1].。
指数与指数函数
47 .
方法总结
指数幂运算的一般原则
1.有括号的先算括号里的,无括号的先进行指数运算.
2.先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
3.底数是负数的,先确定符号;底数是小数的,先化成分数.底数是带分数
的,先化成假分数.
4.若是根式,则化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运
为选项C.
考点三
指数函数的性质及应用
◉角度(一) 比较指数式的大小或解不等式
例3
(1)(2024·吉林白山模拟)已知 a ＝0.310.1， b ＝0.310.2， c ＝
0.320.1，则(
D )
A. a ＞ b ＞ c
B. b ＞ a ＞ c
C. c ＞ b ＞ a
D. c ＞ a ＞ b
由 y ＝0.31 x 单调递减可知0.310.1＞0.310.2，即 a ＞ b ；
即b＜a＜c.
C )
6.
2 −4
1
不等式 3
＞ 的解集为
27
−∞，1 ∪ 3，＋∞
2 −4
1
由3
＞ ＝3－3，所以 x 2－4 x ＞－3，即
27
＜1或 x ＞3.
.
− 1 − 3 ＞0，解得 x
7. 函数 y ＝
1
1
－
＋1在区间[－3，2]上的值域是
4
2
因为 x ∈[－3，2]，所以若令 t ＝
关键能力
重点探究
课时作业
巩固提升
必备知识 自主梳理
[知识梳理]
知识点一 幂的运算
1. 指数与指数运算
指数与指数函数图像及性质(学生版)
指数与指数函数图像及性质【知识要点】 1．根式（1）如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根.其中1>n ，且*∈N n 。
（2）如果a x n=，当n 为奇数时，n a x =；当n 为偶数时，n a x ±=()0>a .其中n a 叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 其中1>n ，且*∈N n 。
(3)()()*∈>==N n n a a nnn ,1,00。
,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数其中1>n ，且*∈N n 。
2.分数指数幂(1)正分数指数幂的定义: n m n m a a =()1,,,0>∈>*n N n m a (2)负分数指数幂的定义: nm nm aa1=-()1,,,0>∈>*n Nn m a(3) 要注意四点：①分数指数幂是根式的另一种表示形式； ②根式与分数指数幂可以进行互化； ③0的正分数指数幂等于0； ④0的负分数指数幂无意义。
(4)有理数指数幂的运算性质:①sr sra a a +=⋅()Q s r a ∈>,,0；② ()rs sra a =()Q s r a ∈>,,0；③()r r rb a ab =()Q r b a ∈>>,,0,0.3.无理数指数幂(1)无理数指数幂的值可以用有理数指数幂的值去逼近; (2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。
4．指数函数的概念：一般地，函数()0,1xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。
5．指数函数的图像与性质第一课时【典例精讲】题型一 根式、指数幂的化简与求值1.n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数，规定：1a a =；2. (1,)n a n n N +=>∈,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数；3. 1(0,,,)n mnmn a a m n N ma-+=>∈且为既约分数，=a a αβαβ（）. 【例1】计算下列各式的值．（1（2（3；（4)a b >.【变式1】 求下列各式的值：（1*1,n n N >∈且）；（2【例2】计算)21313410.027256317--⎛⎫--+-+⎪⎝⎭【变式2】化简34的结果为（ ）A ．5B ．C ．﹣D ．﹣5【变式3】1332-⎛⎫ ⎪⎝⎭×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0＋148＝________.题型二 根式、指数幂的条件求值 1. 0a >时，0;b a > 2. 0a ≠时， 01a =； 3. 若,r s a a =则r s =；4. 1111222222()(0,0)a a b b a b a b ±+=±>>； 5. 11112222()()(0,0)a b a b a b a b +-=->>. 【例3】已知11223a a-+=，求下列各式的值.（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++【变式1】已知,a b 是方程2640x x -+=的两根，且0,a b >>的值.【变式2】已知12,9,x y xy +==且x y <，求11221122x y x y-+的值.【变式3】已知11223a a -+=，求33221122a aa a----的值.【变式4】（1）已知122+=xa，求xx xx a a a a --++33；（2）已知a x=+-13，求6322--+-x ax a .【例4】计算下列各式的值：（1）246347625---+-；（2）()2x 3442<--+-x x x ；（3）12121751531311++-+++++++n n ；（4）()54 2222233=++--xxxx x 其中.【变式5】化简或计算出下列各式：（1）121316324(1243)27162(8)--+-+-；（2）化简65312121132ab b a b a ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛；（3【课堂练习】1. 若()0442-+-a a 有意义,则a 的取值范围是()A.2≥aB.42<≤a 或4>aC. 2≠aD. 4≠a 2. 下列表述中正确的是() A.()()()273336263=-=-=- B.32213421313a a a a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅ C.无理数指数幂na (n 是无理数)不是一个确定的实数 D.()()()⎩⎨⎧≤-≥=00a a a a a nn3. 已知0>a ,则的值2313123131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a 为 ()A.3232-+aa B.4 C. 3232--aa D. 4-4. 计算：()=-+-0430625.0833416π ______.【思维拓展】1.化简⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----2141811613212121212121的结果是 ( )A.13212121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-B.132121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- C.32121-- D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3212121第二课时题型三 指数函数的概念【例1】已知函数()2()33x f x a a a =-+是指数函数，求实数a 的值。
指数函数典型例题详细解析
指数函数典型例题详细解析指数函数·例题解析第一课时例1：求下列函数的定义域与值域：1) $y=\frac{3}{2-x}$解：定义域为$x\in R$且$x\neq 2$，值域为$y>0$且$y\neq1$。
2) $y=2x+2-1$解：由$2^{\frac{x+2}{2}-1}\geq 0$，得定义域为$x\geq -2$，值域为$|y|\geq 0$。
3) $y=3-3x-1$解：由$3-3^{\frac{x-1}{2}}\geq 0$，得定义域为$x\leq 2$，由$3-3^{\frac{x-1}{2}}<3$，得值域为$y<3$。
1.指数函数$y=a^x$（$a>0$且$a\neq 1$）的定义域是$R$，值域是$(0,+\infty)$。
2.求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为$0$③形如$a^0$，($a\neq 0$)3.求函数的值域：①利用函数$y=a^x$单调性②函数的有界性($x^2\geq 0;a^x>0$)③换元法。
例如：$y=4x+\frac{6}{2x-8}$($1\leq x\leq 2$)，先换元，再利用二次函数图象与性质（注意新元的范围）。
例2：指数函数$y=a^x$，$y=b^x$，$y=c^x$，$y=d^x$的图像如图2.6-2所示，则$a$、$b$、$c$、$d$、$1$之间的大小关系是？解：选$(c)$，在$x$轴上任取一点$(x,0)$，则得$b<a<1<d<c$。
例3：比较大小：1)$2$、$3^2$、$5^4$、$8^8$、$9^{16}$的大小关系是：$2<3^2<5^4<8^8<9^{16}$。
2)$\frac{0.6}{4}-\frac{5}{13}-2$，$2$的大小关系是：$\frac{0.6}{4}-\frac{5}{13}-2<2$。
第六篇指数与指数函数
第六篇 指数与指数函数考纲传真1.考查指数函数的求值、指数函数的图象和性质2.讨论与指数函数有关的复合函数的性质3.将指数函数与对数函数、抽象函数相结合，综合考查指数函数知识的应用复习建议1.重视指数的运算，熟练的运算能力是高考得分的保证2.掌握两种情况下指数函数的图象和性质，在解题中要善于分析，灵活使用3.对有关的复合函数要搞清函数的结构考点梳理1．指数幂的概念 (1)根式如果一个数的n 次方等于a (n >1且n ∈N *)，那么这个数叫做a 的n 次方根．也就是，若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)根式的性质①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号na 表示．②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正负两个n 次方根可以合写成±na (a >0)．③(na )n ＝a .④当n 为偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， a ≥0，－a ，a <0.⑤当n 为奇数时，na n ＝a . ⑥负数没有偶次方根． ⑦零的任何次方根都是零． 2．有理指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂：m na ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)． ②正数的负分数指数幂：m n a-＝nm a1＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)．③0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理指数幂的运算性质①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )． ②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )． ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质 一般地，函数(0,xy aa =>且)1a ≠叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R.指数函数有关的主要知识如下表：典例探究例1 已知a ，b 是方程9x 2－82x ＋9＝0的两根，且a <b ，求：(1)a －1＋b －1(ab )－1；(2)3327-a a ÷3a －8·3a 15.例2 (1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0 (2)求函数()f x =例3 （基础班）比较下列各题中两个值的大小 （1） 2.51.7，31.7； （2）0.10.8-，0.21.25；（3）0.31.7， 3.10.9； （4） 4.14.5， 3.63.7例3 （提高班）(1)k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？(2)已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |. ①若f (x )＝32，求x 的值；②（难题）若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．例4 已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －x ) (a >0且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．例5 已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．课后小结1．根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程．2．指数函数的单调性是底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按：0<a <1和a >1进行分类讨论．3．比较指数式的大小方法：利用指数函数单调性、利用中间值． 4．恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来． 5．复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．6．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0 (≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.课后作业一、选择题 1．下列结论正确的个数是( ) ①当a <0时，232)(a ＝a 3； ②na n ＝|a |；③函数y ＝21)2( x －(3x －7)0的定义域是(2，＋∞)； ④若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b ＝1. A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x是指数函数，则有( ) A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a >0且a ≠13．函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )4．设函数f (x )＝a－|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，则 ( )A ．f (－2)>f (－1)B ．f (－1)>f (－2)C ．f (1)>f (2)D ．f (－2)>f (2)5．函数y ＝x2的值域是 ( ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．[2，＋∞) 6．若函数f (x )＝a |2x －4| (a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]7．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫0，12 8．化简3421413223)(ab b a ab b a (a 、b >0)的结果是 ( )A.b aB ．abC.a bD ．a 2b二、填空题9．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是__________． 10.已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0且a ≠1)的图象如图所示，则a ＋b 的值是________．11.函数()223xx f x am +-=+恒过点()1,10，则m ＝______.12.（1）设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )，x ∈R 是偶函数，则实数a ＝______. （2）（提高班）已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________．①a <0，b <0，c <0; ②a <0，b ≥0，c >0；③2－a <2c; ④2a ＋2c <2.三、解答题13. 已知函数f (x )＝(12x －1＋12)x 3.(1)求f (x )的定义域； (2)证明：f (－x )＝f (x )； (3)证明：f (x )>0.14.设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．。
2014高考数学一轮复习课件_2.5指数与指数函数
形结合求解．
【尝试解答】
(1)由f(x)＝|2x－1|
2x－1，x≥0， ＝ 可作出函数的 1－2x，x＜0.
图象如图．因此函数f(x)在(－∞， 0)上递减；函数f(x)在(0，＋∞)上 递增．
(2)在同一坐标系中分别作出
函数f(x)、f(x＋1)的图象，
如图所示．
由图象知，当|2x0＋1－1|＝|2x0－1|时，解得x0＝ 2 2 log2 ，两图象相交，从图象可见，当x＜log2 时，f(x)＞f(x 3 3 ＋1)； 2 当x＝log2 时，f(x)＝f(x＋1)； 3 2 当x＞log2 时，f(x)＜f(x＋1)． 3
指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确 复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都 要借助“同增异减”这一性质分析判断． 2．与奇、偶函数有关的问题，根据对称性可只讨论x＞
0时的情况．
ax－1 已知函数f(x)＝ x (a＞0且a≠1)． a ＋1 (1)求f(x)的定义域和值域； (2)讨论f(x)的奇偶性； (3)讨论f(x)的单调性．
(2，－2)
3．(2013·安庆模拟)指数函数y＝(a2 －1)x在定义域内是
减函数，则a的取值范围是________．
【解析】 由题意知0＜a2－1＜1， ∴1＜a2＜2，即1＜a＜ 2或－ 2＜a＜－1.
【答案】
(－ 2，－1)∪(1， 2)
4 ． (2013· 广 州 六 校 联 考 ) 已 知 函 数 g(x) ＝ 2x ， 且 有
【答案】
A
易错提示：(1)对a和b没有化为同底的意识，造成思维受 阻． (2)不能合理的构造函数或找不到恰当的中间量而盲目 作答，造成误解．
指数函数习题
解:
4 2 4.将 ,2 , 3 3
1 3
2 3
3
3 , 用 “ ” 号 连 接 起 来 。 4
1 3
1 2
2 3 4 2 3 4 3
感悟收获,巩固拓展
1、总结反思
我学到了哪些数学知识？ 我掌握了哪些数学方法？ 我还有哪些问题是感到困惑的？
2、课后作业 课本P52 P54 1，5 2，3，4
x 2
1 2 x 1
1 (3) y 2
2,
例2:
2 3x 1 2 2 x 设y ( ) ，y ( ) , 1 3 2 3 当x为何值时，分别有 : （ 1 ）y1 y2 ; (2) y1 y2 ; (3) y1 y2
y
y=3x
y=2x
解设该市国民生产总值在 : 2000年后的第x年为 则: y亿元，
=20×1.08， 第1年: y=20+20×8% =20（1+8%） 2 第2年: y=20 1.08+20 1.08 8% 20 1.08 第x年: y 20 1.08
x
( x N ,1 剟x 10)
3
1 2
2 3
讲解范例： 例1求下列函数的定义域、值域：
x 5 x1 ⑴ ⑵ ⑶ y 2 1 y 3 y 0.4 分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合 指数函数的图象。注意指数函数的定义域就是使函数 表达式有意义的自变量x的取值范围。
1 x 1
解：（1）由x-1≠0得x≠1所以，所求函数定义域为 {x|x≠1} 由 1 0 ，得y≠1 1
2.5 指数与指数函数
二
所以，当 a>1 时，x 的取值范围为{x|x<－3}；
当 0<a<1 时，x 的取值范围为{x|x>－3}．
第2章 第5节
第12页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
易错问题
报
1．根式化简与指数运算的误区：混淆“n an”与“(n a)n”；
告
一 误用性质．
课
时
4 (1)
a－b4＝__________；
一
课
时
作
业
报 告 二
第2章 第5节
第29页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报
告 一
[解析]
令 f(x)＝ax－1a，当 a>1 时，f(0)＝1－1a∈(0,1)，所
课 时
以 A 与 B 均错；
作 业
报 告
当 0<a<1 时，f(0)＝1－1a<0，所以 C 错 D 对，故选 D.
二
第2章 第5节
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
Ⅱ.指数函数图象的辨析
3．[2019 广东潮州期末]在我国大西北，某地区荒漠化土地
报
告 一
面积每年平均比上一年增长
10.4%，专家预测经过
x
年可能增
长到原来的 y 倍，则函数 y＝f(x)的图象大致为( D )
课 时 作
业
报 告 二
第2章 第5节
第27页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
告 二
根是一个 正数 ，负数的 n 次 方根是一个 负数
n
a
零的 n 次方 根是零
当 n 为偶数时，正数的 n 次方 根有两个 ，它们互为相反数
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1课时规范练2.5 指数与指数函数基础巩固组1.(2019四川成都七中一模,2)设集合A={x |2x >12},B={x |x+1x -2≤0},则A ∩B=( ) A.(-1,2) B.[-1,2) C.(-1,2]D.[-1,2]2.化简√64x 12y 66(x>0,y>0)得( ) A.2x 2yB.2xyC.4x 2yD.-2x 2y3.(2019北京通州一模,2)已知c<0,则下列不等式中成立的是( )A.c>2cB.c>(12)cC.2c >(12)cD.2c <(12)c4.(2019河北承德一中期中)设2x =8y+1,9y =3x-9,则x+y 的值为( ) A.18B.21C.24D.275.函数f (x )=a |2x-4|(a>0,a ≠1),满足f (1)=1,则f (x )的单调递减区间是( )A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]6.(2019黑龙江佳木斯一中调研二,5)设a=log 37,b=21.1,c=0.81.1,则( )2A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b7.(2019陕西西安一中月考)下列函数中,与函数y=2x -2-x 的定义域、单调性、奇偶性均一致的是( ) A.y=sin x B.y=x 3C.y=(12)xD.y=log 2x8.若偶函数f (x )满足f (x )=2x -4(x ≥0),则{x|f (x-3)>0}=( ) A.{x|x<-3或x>5} B.{x|x<1或x>5} C.{x|x<1或x>7}D.{x|x<-3或x>3}9.(2019广东韶关一中期末)设x>0,且1<b x <a x ,则 ( ) A.0<b<a<1 B.0<a<b<1 C.1<b<aD.1<a<b10.不等式(12)x 2+ax <(12)2x+a -2恒成立,则a 的取值范围是 .11.函数y=xa x||(0<a<1)图象的大致形状是( )综合提升组12.(2019福建厦门期末,3)实数x,y满足x>y,则下列不等式成立的是()<1 B.2-x<2-yA.yxC.lg(x-y)>0D.x2>y213.(2019湖北龙泉中学六月模拟,9)已知a>b>0,x=a+b e b,y=b+a e a,z=b+a e b,则()A.x<z<yB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x14.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是()A.(-∞,+∞)B.(-2,+∞)C.(0,+∞)D.(-1,+∞)15.(2019福建泉州五中模拟)设a>0,且a≠1,函数y=a2x+2a x-1在[-1,1]上的最大值是14,则实数a的值为.创新应用组16.(2019湖南衡阳八中模拟)在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%,专家预测经过x年可能增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为()3417.(2019山西吕梁期末,20)已知定义域为R 的函数f (x )=-2x +n 2x+1+m是奇函数. (1)求实数m ,n 的值;(2)若对于任意的t ∈[-1,1],不等式f (t 2-2)+f (2a-at )≥0恒成立,求实数a 的取值范围.5参考答案课时规范练2.5 指数与指数函数1.A ∵集合A={x |2x >12},解得x>-1,B={x |x+1x -2≤0}={x|-1≤x<2},则A ∩B={x|-1<x<2},故选A . 2.A 原式=(26x 12y 6)16=2x 2|y|=2x 2y. 3.D 因为c<0,所以0<2c <1,(12)c>1,所以选项A,B,C 错,故选D .4.D 因为2x =8y+1=23(y+1),所以x=3y+3,因为9y =32y =3x-9,所以x-9=2y ,解得x=21,y=6,所以x+y=27. 5.B 由f (1)=19,得a 2=19.又a>0,∴a=13,即f (x )=13|2x-4|. ∵y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增, ∴f (x )在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减,故选B . 6.B ∵1<a=log 37<2,b=21.1>2,c=0.81.1<1,∴b>a>c.故选B .7.B y=2x -2-x 是定义域为R 的单调递增函数,且是奇函数.而y=sin x 不是单调递增函数;y=(12)x是非奇非偶函数;6y=log 2x 的定义域是(0,+∞);只有y=x 3是定义域为R 的单调递增函数,且是奇函数,符合题意. 8.B ∵f (2)=0,∴f (x-3)>0等价于f (|x-3|)>0=f (2).∵f (x )=2x -4在[0,+∞)内为增函数,∴|x-3|>2,解得x<1或x>5.9.C 因为x>0时,1<b x ,所以b>1.因为x>0时,b x <a x ,所以x>0时,(ab)x>1.所以ab >1,所以a>b ,所以1<b<a. 10.(-2,2) 由指数函数的性质知y=(12)x 是减函数,因为(12)x 2+ax <(12)2x+a -2恒成立,所以x 2+ax>2x+a-2恒成立, 所以x 2+(a-2)x-a+2>0恒成立,所以Δ=(a-2)2-4(-a+2)<0,即(a-2)(a+2)<0, 即a 的取值范围是(-2,2). 11.D 函数定义域为{x|x ∈R ,x ≠0},且y=xa x |x |={a x ,x >0,-a x ,x <0.当x>0时,函数是一个指数函数,∵0<a<1,∴函数在(0,+∞)上是减函数;当x<0时,函数图象与指数函数y=a x (x<0,0<a<1)的图象关于x 轴对称,在(-∞,0)上是增函数,故选D . 12.B 由题意,指数函数y=2x 是定义域R 上的单调递增函数,又由x>y ,则-x<-y ,所以2-x <2-y ,故选B . 13.A ∵x=a+b e b ,y=b+a e a ,z=b+a e b ,∴y-z=a(e a-e b).又a>b>0,e>1,∴e a>e b,∴y>z.z-x=(b-a)+(a-b)e b=(a-b)(e b-1).又a>b>0,e b>1,∴z>x.综上,x<z<y,故选A.14.D不等式2x(x-a)<1可变形为x-a<(12)x,如图,作出直线y=x-a与y=(12)x的图象.由题意,在(0,+∞)上,直线有一部分在曲线的下方.观察可知,有-a<1,所以a>-1.15.13或3令t=a x(a>0,且a≠1),则原函数化为y=f(t)=(t+1)2-2(t>0).①当0<a<1,x∈[-1,1]时,t=a x∈[a,1a ],此时f(t)在[a,1a]上为增函数.所以f(t)max=f(1a)=(1 a +1)2-2=14.解得a=-15(舍去)或a=13.②当a>1时,x∈[-1,1],t=a x∈[1a,a],此时f(t)在[1a,a]上是增函数.所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,解得a=3或a=-5(舍去).综上,a=13或3.16.D设原有荒漠化土地面积为b,经过x年后荒漠化面积为z,所以z=b(1+10.4%)x,故y=zb=(1+10.4%)x(x≥0),是底数大于1的指数函数.因此y=f(x)的图象为选项D.717.解(1)∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=n-12+m =0,∴n=1,∴f(x)=-2x+12x+1+m.又f(1)=-f(-1),∴1-2 m+4=-1-12m+1,解得m=2,∴f(x)=1-2x2x+1+2.经验证可得函数f(x)为奇函数, ∴n=1,m=2.(2)由(1)知f(x)=1-2x2x+1+2=-1+1x,∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.∵f(t2-2)+f(2a-at)≥0,∴f(t2-2)≥-f(2a-at),又f(x)是奇函数,∴f(t2-2)≥f(at-2a),又f(x)为减函数,∴t2-2≤at-2a对任意的t∈[-1,1]恒成立.∴t2-at+2a-2≤0对任意的t∈[-1,1]恒成立.令g(t)=t2-at+2a-2,则{g(-1)=1+a+2a-2=3a-1≤0,g(1)=1-a+2a-2=a-1≤0,解得a≤13.∴实数a的取值范围为(-∞,13].8。