数学课件第五节 指数与指数函数
mn
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是 an＝__a_m_ (a ＞0，m，n∈N*，且 n＞1)；正数的负分数指数幂的意义
1 是 a－mn ＝___n _a_m___ (a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)；0 的正 分数指数幂等于 0；0 的负分数指数幂__没__有__意__义__．
(2) 有 理 指 数 幂 的 运 算 性 质 ： aras ＝ _a_r＋__s _ ； (ar)s ＝ __a_rs__；(ab)r＝_a_r_b_r _，其中 a＞0，b＞0，r，s∈Q.
所以函数 f(x)＝3x－13x在 R 上是增函数． (3)由 a0＝1 知，当 x＝2 时，f(2)＝1＋2＝3. 所以点 A 的坐标为(2，3)． 答案：(1)C (2)B (3)(2，3)
考点 1 指数幂的运算(自主演练)
【例】 化简下列各式：
1
(1)338－3＋160.25－(
第二章 函数、导数及其应用
第五节 指数与指数函数
最新考纲
1.了解指数函数模型的实际背 景． 2.理解有理数指数幂的含义， 了解实数指数幂的含义，掌握 幂的运算． 3.理解指数函数的概念，理解 指数函数的单调性，掌握指数 函数图象通过的特殊点． 4.知道指数函数是一类重要的 函数模型.
考情索引
2018·上海卷， T11 2017·北京卷， T8 2017·全国卷Ⅰ， T11 2016·全国卷Ⅲ， T6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
角度 指数函数性质的应用
【例 3】 已知 f(x)＝ax－1 1＋12x3(a＞0，且 a≠1)． (1)讨论 f(x)的奇偶性； (2)求 a 的取值范围，使 f(x)＞0 在定义域上恒成立． 解：(1)由于 ax－1≠0，则 ax≠1，得 x≠0， 所以函数 f(x)的定义域为{x|x≠0}． 对于定义域内任意 x，有 f(x)＝ax－1 1＋12x3＝x23（（aaxx－＋11）），
a2 表示成分 3
a· a2
数指数幂，其结果是( )
1
A．a2
5
B．a6
7
C．a6
3
D．a2
(2)(2017·北 京 卷 ) 已 知 函 数
f(x)
＝
3x
－
1 3
x
，
则
f(x)( )
A．是偶函数，且在 R 上是增函数 B．是奇函数，且在 R 上是增函数 C．是偶函数，且在 R 上是减函数 D．是奇函数，且在 R 上是减函数 (3)(2019·青岛调研)已知函数 f(x)＝ax－2＋2(a＞0 且 a ≠1)的图象恒过定点 A，则 A 的坐标为________．
3
2)6÷( 3)6
＝23＋2－89＝196.
(2)原式＝1 6040015－5223－28713－1
1 5 2
1
＝14035×－2×3－3233－1
＝52－32－1＝0.
增加 p%，则该产品的产量 y 随年数 x 变化的函数解析式
为( )
A．y＝a(1＋p%)x(0<x<m) B．y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N) C．y＝a(1＋xp%)(0<x<m) D．y＝a(1＋xp%)(0≤x≤m，x∈Z)
解析：(1)依题意可知 a2＝13，解得 a＝ 33， 所以 f(x)＝ 33x， 所以 f(－1)＝ 33－1＝ 3.
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．教材衍化
(1)(人 A 必修 1·P56 例 6 改编)若函数 f(x)＝ax(a＞0，
且 a≠1)的图象经过2，13，则 f(－1)＝(
)
A．1
B．2
C. 3
D．3
(2)(人 A 必修 1·P59A 组 T6 改编)某种产品的产量原
来是 a 件，在今后 m 年内，计划使每年的产量比上一年
7
解析：(1)由题意得a1＋a322×12＝aa625＝a6.
(2)因为函数 f(x)的定义域为 R， f(－x)＝3－x－13－x＝13x－3x＝－f(x)， 所以函数 f(x)是奇函数． 因为函数 y＝13x在 R 上是减函数， 所以函数 y＝－13x在 R 上是增函数． 又因为 y＝3x 在 R 上是增函数，
3 2÷
3)6；
1
2
3
(2)[(0.0645)－2.5]3－
338－π0；
1
2
1
(3)56a3·b－2·(－3a－12b－1)÷(4a3·b－3)2；
3
(4)
a3b2
11
ab2 1(a>0，b>0)．
1
（a4b2）4a－3b3
1
解：(1)338－3＋160.25－(
3
2÷ 3)6
1
＝287－3＋(24)0.25－(
2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正 数．
3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能 既有分母又含有负指数．
考点 2 指数函数的图象及应用(讲练互动)
[典例体验]
1．(2019·浙江镇海中学阶段检测)不论 a 为何值，函
数 y＝(a－1)2x－a2恒过定点，则这个定点的坐标是(
)
A.1，－12
答案：[－1，1]
考点 3 指数函数的性质及应用(多维探究)
角度 指数函数的单调性
【例 1】 (2019·河南八市第一次测评)设函数 f(x)＝
x2－a 与 g(x)＝ax(a>1 且 a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同
的单调性，则 M＝(a－1)0.2 与 N＝1a0.1的大小关系是(
[变式训练] 1．(2019·益阳调研)已知函数 f(x)＝1＋2ax·2x(a∈R)的
图象关于点0，12对称，则 a＝________．
解析：由已知，得
f(x)
＋
f(
－
x)
＝
1
，
即
2x 1＋a·2x
＋
1＋2a－·x2－x＝1，整理得(a－1)[22x＋(a－1)·2x＋1]＝0 恒成立，
解析：将函数 f(x)＝|2x－2|－b 的零点个 数问题转化为函数 y＝|2x－2|的图象与直线 y ＝b 的交点个数问题，利用数形结合求解．
在同一平面直角坐标系中画出 y＝|2x－2|与 y＝b 的图 象，如图所示．
所以当 0＜b＜2 时，两函数图象有两个交点，从而函 数 f(x)＝|2x－2|－b 有两个零点．
2
1
(3)原式＝－52a－16b－3÷(4a3·b－3)2
1
＝－54a－16b－3÷(a3b－32)＝－54a－12·b－32
＝－54· a1b3＝－54aabb2 .
12 1
(4)原式＝（a3b2a31b31）2＝a32＋16－1＋13b1＋13－2－13＝ab. ab2a－3b3
1．指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分 数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底 数幂相乘，指数才能相加．(2)运算的先后顺序．
3．指数函数及其性质
(1)概念：函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)叫做指数函数，其
中指数 x 是自变量，函数的定义域是 R，a 是底数．
(2)指数函数的图象与性质．
图象
a＞1
0＜a＜1
定义域 值域
R _(_0_，__＋__∞__)__
过定点_(_0_，__1_)_，即 x＝0 时，y＝1 性 当 x＞0 时，__y_＞__1_； 当 x＜0 时，__y_＞__1_； 质 当 x＜0 时，_0_＜__y_＜__1_ 当 x＞0 时，_0_＜__y_＜__1_
)
A．M＝N
B．M≤N
C．M<N
D．M >N
解析：因为 f(x)＝x2－a 与 g(x)＝ax(a>1，且 a≠2)在(0， ＋∞)上具有不同的单调性．
所以 a>2， 因此 M＝(a－1)0.2>1，N＝1a0.1<1. 故 M >N. 答案：D
【例 2】 若函数 f(x)＝13ax2＋2x＋3的值域是0，19， 则 f(x)的单调递增区间是________．
因此 a－1＝0，所以 a＝1.
答案：1
2．若曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 的取值范围是________．
解析：画出曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 的图象如图所 示，由图象可知，如果|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点， 则 b 应满足的条件是 b∈[－1，1]．
B.1，12
C.－1，－12
D.－1，12
解析：y＝(a－1)2x－a2＝a2x－12－2x，令 2x－12＝0， 得 x＝－1，故函数 y＝(a－1)2x－a2恒过定点－1，－12.
答案：C
2．若函数 f(x)＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数 b 的 取值范围是________．
在(－∞，＋∞)上是 在(－∞，＋∞)上是
_增__函___数__
_减__函__数___
1．在第一象限内，指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的图 象越高，底数越大．
2．指数函数的单调性仅与底数 a 的取值有关． 3．画指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的图象，应抓住 三个关键点：(1，a)，(0，1)，－1，1a.
4
解析：(1)由于 （－4）4＝ 44＝4，故(1)错．
24
(2)(－1)4＝ （－1）2＝1，故(2)错．
(3)由于指数函数解析式为 y＝ax(a＞0，且 a≠1)，故
y＝2x－1 不是指数函数，故(3)错．
(4)由于 x2＋1≥1，又 a＞1，所以 a x2＋1≥a.故 y＝ax x2
＋1 (a＞1)的值域是[a，＋∞)，故(4)错．
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是 an＝__a_m_ (a ＞0，m，n∈N*，且 n＞1)；正数的负分数指数幂的意义
1 是 a－mn ＝___n _a_m___ (a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)；0 的正 分数指数幂等于 0；0 的负分数指数幂__没__有__意__义__．
(2) 有 理 指 数 幂 的 运 算 性 质 ： aras ＝ _a_r＋__s _ ； (ar)s ＝ __a_rs__；(ab)r＝_a_r_b_r _，其中 a＞0，b＞0，r，s∈Q.
所以函数 f(x)＝3x－13x在 R 上是增函数． (3)由 a0＝1 知，当 x＝2 时，f(2)＝1＋2＝3. 所以点 A 的坐标为(2，3)． 答案：(1)C (2)B (3)(2，3)
考点 1 指数幂的运算(自主演练)
【例】 化简下列各式：
1
(1)338－3＋160.25－(
第二章 函数、导数及其应用
第五节 指数与指数函数
最新考纲
1.了解指数函数模型的实际背 景． 2.理解有理数指数幂的含义， 了解实数指数幂的含义，掌握 幂的运算． 3.理解指数函数的概念，理解 指数函数的单调性，掌握指数 函数图象通过的特殊点． 4.知道指数函数是一类重要的 函数模型.
考情索引
2018·上海卷， T11 2017·北京卷， T8 2017·全国卷Ⅰ， T11 2016·全国卷Ⅲ， T6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
角度 指数函数性质的应用
【例 3】 已知 f(x)＝ax－1 1＋12x3(a＞0，且 a≠1)． (1)讨论 f(x)的奇偶性； (2)求 a 的取值范围，使 f(x)＞0 在定义域上恒成立． 解：(1)由于 ax－1≠0，则 ax≠1，得 x≠0， 所以函数 f(x)的定义域为{x|x≠0}． 对于定义域内任意 x，有 f(x)＝ax－1 1＋12x3＝x23（（aaxx－＋11）），
a2 表示成分 3
a· a2
数指数幂，其结果是( )
1
A．a2
5
B．a6
7
C．a6
3
D．a2
(2)(2017·北 京 卷 ) 已 知 函 数
f(x)
＝
3x
－
1 3
x
，
则
f(x)( )
A．是偶函数，且在 R 上是增函数 B．是奇函数，且在 R 上是增函数 C．是偶函数，且在 R 上是减函数 D．是奇函数，且在 R 上是减函数 (3)(2019·青岛调研)已知函数 f(x)＝ax－2＋2(a＞0 且 a ≠1)的图象恒过定点 A，则 A 的坐标为________．
3
2)6÷( 3)6
＝23＋2－89＝196.
(2)原式＝1 6040015－5223－28713－1
1 5 2
1
＝14035×－2×3－3233－1
＝52－32－1＝0.
增加 p%，则该产品的产量 y 随年数 x 变化的函数解析式
为( )
A．y＝a(1＋p%)x(0<x<m) B．y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N) C．y＝a(1＋xp%)(0<x<m) D．y＝a(1＋xp%)(0≤x≤m，x∈Z)
解析：(1)依题意可知 a2＝13，解得 a＝ 33， 所以 f(x)＝ 33x， 所以 f(－1)＝ 33－1＝ 3.
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．教材衍化
(1)(人 A 必修 1·P56 例 6 改编)若函数 f(x)＝ax(a＞0，
且 a≠1)的图象经过2，13，则 f(－1)＝(
)
A．1
B．2
C. 3
D．3
(2)(人 A 必修 1·P59A 组 T6 改编)某种产品的产量原
来是 a 件，在今后 m 年内，计划使每年的产量比上一年
7
解析：(1)由题意得a1＋a322×12＝aa625＝a6.
(2)因为函数 f(x)的定义域为 R， f(－x)＝3－x－13－x＝13x－3x＝－f(x)， 所以函数 f(x)是奇函数． 因为函数 y＝13x在 R 上是减函数， 所以函数 y＝－13x在 R 上是增函数． 又因为 y＝3x 在 R 上是增函数，
3 2÷
3)6；
1
2
3
(2)[(0.0645)－2.5]3－
338－π0；
1
2
1
(3)56a3·b－2·(－3a－12b－1)÷(4a3·b－3)2；
3
(4)
a3b2
11
ab2 1(a>0，b>0)．
1
（a4b2）4a－3b3
1
解：(1)338－3＋160.25－(
3
2÷ 3)6
1
＝287－3＋(24)0.25－(
2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正 数．
3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能 既有分母又含有负指数．
考点 2 指数函数的图象及应用(讲练互动)
[典例体验]
1．(2019·浙江镇海中学阶段检测)不论 a 为何值，函
数 y＝(a－1)2x－a2恒过定点，则这个定点的坐标是(
)
A.1，－12
答案：[－1，1]
考点 3 指数函数的性质及应用(多维探究)
角度 指数函数的单调性
【例 1】 (2019·河南八市第一次测评)设函数 f(x)＝
x2－a 与 g(x)＝ax(a>1 且 a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同
的单调性，则 M＝(a－1)0.2 与 N＝1a0.1的大小关系是(
[变式训练] 1．(2019·益阳调研)已知函数 f(x)＝1＋2ax·2x(a∈R)的
图象关于点0，12对称，则 a＝________．
解析：由已知，得
f(x)
＋
f(
－
x)
＝
1
，
即
2x 1＋a·2x
＋
1＋2a－·x2－x＝1，整理得(a－1)[22x＋(a－1)·2x＋1]＝0 恒成立，
解析：将函数 f(x)＝|2x－2|－b 的零点个 数问题转化为函数 y＝|2x－2|的图象与直线 y ＝b 的交点个数问题，利用数形结合求解．
在同一平面直角坐标系中画出 y＝|2x－2|与 y＝b 的图 象，如图所示．
所以当 0＜b＜2 时，两函数图象有两个交点，从而函 数 f(x)＝|2x－2|－b 有两个零点．
2
1
(3)原式＝－52a－16b－3÷(4a3·b－3)2
1
＝－54a－16b－3÷(a3b－32)＝－54a－12·b－32
＝－54· a1b3＝－54aabb2 .
12 1
(4)原式＝（a3b2a31b31）2＝a32＋16－1＋13b1＋13－2－13＝ab. ab2a－3b3
1．指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分 数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底 数幂相乘，指数才能相加．(2)运算的先后顺序．
3．指数函数及其性质
(1)概念：函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)叫做指数函数，其
中指数 x 是自变量，函数的定义域是 R，a 是底数．
(2)指数函数的图象与性质．
图象
a＞1
0＜a＜1
定义域 值域
R _(_0_，__＋__∞__)__
过定点_(_0_，__1_)_，即 x＝0 时，y＝1 性 当 x＞0 时，__y_＞__1_； 当 x＜0 时，__y_＞__1_； 质 当 x＜0 时，_0_＜__y_＜__1_ 当 x＞0 时，_0_＜__y_＜__1_
)
A．M＝N
B．M≤N
C．M<N
D．M >N
解析：因为 f(x)＝x2－a 与 g(x)＝ax(a>1，且 a≠2)在(0， ＋∞)上具有不同的单调性．
所以 a>2， 因此 M＝(a－1)0.2>1，N＝1a0.1<1. 故 M >N. 答案：D
【例 2】 若函数 f(x)＝13ax2＋2x＋3的值域是0，19， 则 f(x)的单调递增区间是________．
因此 a－1＝0，所以 a＝1.
答案：1
2．若曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 的取值范围是________．
解析：画出曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 的图象如图所 示，由图象可知，如果|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点， 则 b 应满足的条件是 b∈[－1，1]．
B.1，12
C.－1，－12
D.－1，12
解析：y＝(a－1)2x－a2＝a2x－12－2x，令 2x－12＝0， 得 x＝－1，故函数 y＝(a－1)2x－a2恒过定点－1，－12.
答案：C
2．若函数 f(x)＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数 b 的 取值范围是________．
在(－∞，＋∞)上是 在(－∞，＋∞)上是
_增__函___数__
_减__函__数___
1．在第一象限内，指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的图 象越高，底数越大．
2．指数函数的单调性仅与底数 a 的取值有关． 3．画指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的图象，应抓住 三个关键点：(1，a)，(0，1)，－1，1a.
4
解析：(1)由于 （－4）4＝ 44＝4，故(1)错．
24
(2)(－1)4＝ （－1）2＝1，故(2)错．
(3)由于指数函数解析式为 y＝ax(a＞0，且 a≠1)，故
y＝2x－1 不是指数函数，故(3)错．
(4)由于 x2＋1≥1，又 a＞1，所以 a x2＋1≥a.故 y＝ax x2
＋1 (a＞1)的值域是[a，＋∞)，故(4)错．
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第三章 第五节 指数函数 课件(共53张PPT)
解析： 函数 y＝|3x－1|的图象是由函数 y＝3x 的图象向下平移一个单位 后，再把位于 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴 上方得到的，函数图象如图所示．
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以 k 的取值范围为(－∞，0].
答案： (－∞，0]
指数函数的性质及应用
角度一 比较指数幂的大小
解析： (1)由函数 y＝kx＋a 的图象可得 k<0，0<a<1.因为函数的图象与 x 轴交点的横坐标大于 1，所以 k>－1，所以－1<k<0.函数 y＝ax＋k 的图象可以 看成把 y＝ax 的图象向右平移－k 个单位长度得到的，且函数 y＝ax＋k 是减函 数，故此函数与 y 轴交点的纵坐标大于 1，结合所给的选项，选 B.
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
n (1)
an
＝(n
a
)n＝a(n∈N＋).(
)
m
(2)分数指数幂 an
可以理解为mn
个 a 相乘．(
)
(3)函数 y＝3·2x 与 y＝2x＋1 都不是指数函数．( )
(4)若 am<an(a>0，且 a≠1)，则 m<n.( )
答案： (1)× (2)× (3)√ (4)×
角度二 解简单的指数方程或不等式
(1)若
，则函数 y＝2x 的值域是( )
1 A．8，2
1 B．8，2
C．－∞，18
D．[2，＋∞)
4x，x≥0， (2)已知实数 a≠1，函数 f(x)＝2a－x，x<0， 若 f(1－a)＝f(a－1)，则 a 的
值为________．
解析： (1)因为
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以 k 的取值范围为(－∞，0].
答案： (－∞，0]
指数函数的性质及应用
角度一 比较指数幂的大小
解析： (1)由函数 y＝kx＋a 的图象可得 k<0，0<a<1.因为函数的图象与 x 轴交点的横坐标大于 1，所以 k>－1，所以－1<k<0.函数 y＝ax＋k 的图象可以 看成把 y＝ax 的图象向右平移－k 个单位长度得到的，且函数 y＝ax＋k 是减函 数，故此函数与 y 轴交点的纵坐标大于 1，结合所给的选项，选 B.
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
n (1)
an
＝(n
a
)n＝a(n∈N＋).(
)
m
(2)分数指数幂 an
可以理解为mn
个 a 相乘．(
)
(3)函数 y＝3·2x 与 y＝2x＋1 都不是指数函数．( )
(4)若 am<an(a>0，且 a≠1)，则 m<n.( )
答案： (1)× (2)× (3)√ (4)×
角度二 解简单的指数方程或不等式
(1)若
，则函数 y＝2x 的值域是( )
1 A．8，2
1 B．8，2
C．－∞，18
D．[2，＋∞)
4x，x≥0， (2)已知实数 a≠1，函数 f(x)＝2a－x，x<0， 若 f(1－a)＝f(a－1)，则 a 的
值为________．
解析： (1)因为
高中数学第二章 第5节 指数与指数函数优秀课件
解析 (1)由于4 （－4）4＝4 44＝4，故(1)错.
2
(2)(－1)4＝4 （－1）2＝1，故(2)错.
(3)由于指数函数解析式为y＝ax(a＞0，且a≠1)， 故y＝2x－1不是指数函数，故(3)错. (4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a. 故y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，(4)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
A.1，－12
B.1，12
C.－1，－12
D.－1，12
(2)假设函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，那么实数b的取值范围是________.
16
知识衍化体验
考点聚集突破
解析 (1)y＝(a－1)2x－a2＝a2x－12－2x，令 2x－12＝0，得 x＝－1， 故函数 y＝(a－1)2x－a2恒过定点－1，－12.
1
(1)2350＋2－2·214－2－(0.01)0.5；
解 (1)原式＝1＋14×4912－101012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1165.
@《创新设计》
13
知识衍化体验
考点聚集突破
@《创新设计》
规律方法 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用 法那么计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺 序. 2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
)
A.是偶函数，且在R上是增函数
B.是奇函数，且在R上是增函数
C.是偶函数，且在R上是减函数
D.是奇函数，且在R上是减函数
解析 函数 f(x)的定义域为 R，f(－x)＝3－x－13－x＝13x－3x＝－f(x)，∴函数 f(x)是奇
第5讲 指数与指数函数
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第二章 函数概念与基本初等函数
19
1
4．函数 y＝2x－1的值域为________．
解析：因为x－1 1≠0，
1
1
所以 2x－1>0 且 2x－1≠1.
答案：(0，1)∪(1，＋∞)
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第二章 函数概念与基本初等函数
20
指数幂的化简与求值(自主练透)
1．化简14－12·
在第一象限内，指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．
3．指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象和性质跟 a 的取值有关，要特
别注意应分 a>1 与 0<a<1 来研究．
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第二章 函数概念与基本初等函数
10
二、教材衍化 1．化简4 16x8y4(x<0，y<0)＝________．
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)n an＝(n a)n＝a.
2
1
(2)(－1)4＝(－1)2＝ －1.
(3)函数 y＝a－x 是 R 上的增函数．
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13
( ×) ( ×) ( ×)
第二章 函数概念与基本初等函数
(4)函数 y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)． (5)函数 y＝2x－1 是指数函数． (6)若 am<an(a>0，且 a≠1)，则 m<n.
画指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，－1，1a. 2.指数函数的图象与底数大小的比较
新高考2023版高考数学一轮总复习第2章第5讲指数与指数函数课件
1
2
D，左边＝a3 ÷a－3 ＝a1＝a，左边＝右边．故选 D．
3．(必修 1P107T2 改编)设 a>0，将
a2 表示成分数指数幂，其结
3
a·
a2
果是
( C)
A．a12
B．a56
C．a76
D．a32
[解析] 由题意得
a2
＝a2－12
－1 3
＝a67
，故选 C．
3
a·
a2
4．(必修 1P109T4 改编)化简4 16x8y4(x<0，y<0)＝__－__2_x_2y___.
当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有__两__个___，
它们互为__相__反__数___
±n a
零的 n 次方根是零
负数没有偶次方 根
(2)两个重要公式 __a__，n为奇数，
①n an＝|a|＝____－a____a_a_≥a<00，， n为偶数.
②(n a)n＝__a__(注意 a 必须使n a有意义)．
3．f(x)＝ax 与 g(x)＝1ax(a>0 且 a≠1)的图象关于 y 轴对称．
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
4
(1)
－44＝－4.
m
(2)分数指数幂 an
可以理解为mn 个 a 相乘．
m
m
(3)a－n ＝－an (n，m∈N*)．
(× ) (× ) (× )
考点突破·互动探究
考点一
例1
指数与指数运算——自主练透 (1)(多选题)下列命题中不正确的是
A．n an＝a
B．a∈R，则(a2－a＋1)0＝1
(江苏专版)高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第五节指数与指数函数实用课件文
答案：－1967
第十页，共45页。
39
2. a 2 a－3÷ 3 a－73 a13＝________.
解析：原式＝(a
9 2
a
3 2
)
1 3
÷(a
7 3
a
13 3
)
1 2
＝(a3)
1 3
÷(a2)
1 2
＝a÷a＝1.
答案：1
4
1
3. 4b
a 3 －8a 3 b
2 3
＋23
ab＋a
2 3
÷a
2 3
3
1．指数函数的图象
函数
y＝ax(a＞0，且 a≠1)
0＜a＜1
a＞1
图象
在 x 轴_上__方_，过定点_(0_,_1_)
图象
特征 当 x 逐渐增大时，图象逐渐 当 x 逐渐增大时，图象
下___降_
逐渐_上__升_
第十五页，共45页。
2.指数函数图象画法的三个关键点 画指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键 点：(1，a)，(0,1)，－1，1a. 3．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图 象，底数 a，b，c，d 与 1 之间的大小关系为 c＞d＞1＞a＞b.
2
1
2
又因为 a＝2 3 ＝4 3 ，c＝25 3 ＝5 3 ，
2
由函数 y＝x 3 在(0，＋∞)上为增函数知，a＜c.
综上得 b＜a＜c. [答案] c＞a＞b
第二十九页，共45页。
[方法技巧] 比较指数式大小的方法
比较两个指数式大小时，尽量化同底或同指． (1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利 用指数函数性质比较大小． (2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图 象比较大小． (3)当底数不同，指数也不同时，常借助 1,0 等中间量进行 比较．
指数与指数函数_PPT课件
(1)实数 a 的值；
(2)用定义法判断 f(x)在其定义域上的单调性．
解：(1)依题意，函数 f(x)的定义域为 R，
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴a·22－－x＋x＋a1－2＝－a·22x＋x＋a1－2，
∴2(a－1)(2x＋1)＝0，∴a＝1.
高三总复习
人教A 版 ·数学 （理）
从而y＝ax－a－x为增函数， 所以f(x)为增函数． 当0<a<1时，a2－1<0， y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝ax－a－x为减函数． 所以f(x)为增函数． 故当a>0且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．
高三总复习
人教A 版 ·数学 （理）
(3)由(2)知 f(x)在 R 上是增函数， ∴在区间[－1,1]上为增函数． 所以 f(－1)≤f(x)≤f(1)， ∴f(x)min＝f(－1)＝a2－a 1(a－1－a) ＝a2－a 1·1－a a2＝－1， ∴要使 f(x)≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需 b≤－1， 故 b 的取值范围是(－∞，－1]．
高三总复习
人教A 版 ·数学 （理）
2．将指数函数 f(x)的图象向右平移一个单位，得到如右图所
示的 g(x)的图象，则 f(x)＝( )
A．2x
B．3x
C．(12)x
D．(13)x
解析：设f(x)＝ax，则g(x)＝ax－1，由g(x)图象过(2,2)点可知，a2－1 ＝2，∴a＝2.∴f(x)＝2x.
高三总复习
人教A 版 ·数学 （理）
[例 2] 已知函数 y＝(13)|x＋1| (1)作出图象； (2)由图象指出其单调区间； (3)由图象指出当 x 取什么值时函数有最值．
第五节 指数与指数函数课件
RM＋1r2＋Mr22＝(R＋r)MR31.
设α＝
r R
.由于α的值很小，因此在近似计算中
3α3＋3α4＋α5 1＋α2
≈3α3，则r的近似值为
(D )
A． MM12R
B． 2MM21R
3 C．
3MM12R
3 D．
3MM21R
[解析] 将r＝α·R代入方程可得R＋Mα1R2＋αM2R22＝(1＋α)MR21，
3．有理数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
知识点二 指数函数及其性质 1．指数函数的概念 函数__y_＝__a_x_(a_>_0_，__且__a_≠__1_) _____叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定 义域是R，a是底数． 说明：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数．
角度Ⅱ.“整体代换法”化简求值
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．[2018上海卷]已知常数a>0，函数f(x)＝
2x 2x＋ax
的图象经过点P
p，65
，
Qq，－15.若2p＋q＝36pq，则a＝____6____.
[解析] 由已知条件知， f(p)＝65，f(q)＝－15， 所以22qp＋ ＋22qpaaqp＝ ＝－ 65，15① ，② ①＋②，得2p22q＋p＋aaqp＋22qq＋2ap＋qap＝1， 整理得2p＋q＝a2pq，
[解析] 令x－2＝0，得x＝2，且f(2)＝1－2a，所以函数f(x)的图象恒过定点(2,1
设α＝
r R
.由于α的值很小，因此在近似计算中
3α3＋3α4＋α5 1＋α2
≈3α3，则r的近似值为
(D )
A． MM12R
B． 2MM21R
3 C．
3MM12R
3 D．
3MM21R
[解析] 将r＝α·R代入方程可得R＋Mα1R2＋αM2R22＝(1＋α)MR21，
3．有理数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
知识点二 指数函数及其性质 1．指数函数的概念 函数__y_＝__a_x_(a_>_0_，__且__a_≠__1_) _____叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定 义域是R，a是底数． 说明：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数．
角度Ⅱ.“整体代换法”化简求值
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．[2018上海卷]已知常数a>0，函数f(x)＝
2x 2x＋ax
的图象经过点P
p，65
，
Qq，－15.若2p＋q＝36pq，则a＝____6____.
[解析] 由已知条件知， f(p)＝65，f(q)＝－15， 所以22qp＋ ＋22qpaaqp＝ ＝－ 65，15① ，② ①＋②，得2p22q＋p＋aaqp＋22qq＋2ap＋qap＝1， 整理得2p＋q＝a2pq，
[解析] 令x－2＝0，得x＝2，且f(2)＝1－2a，所以函数f(x)的图象恒过定点(2,1
第五讲+指数与指数函数 课件——2025届高三数学一轮复习
要特别注意应分 a＞1 与 0＜a＜1 来研究.
考点一 指数幂的运算
1.化简 3 ab2 a2b2 (a，b 为正数)的结果是( 11 3 b (a6b4 )4
b2 A.a2
B.a2b2
a2 C.b2
) D.ab
12
78
解析：原式＝ a3b3 1
a2b2
2
a 3b3
21
＝a2b2.故选
B.
2025年高考一轮总复习
第二章 函数、导数及其应用
第五讲 指数与指数函数
1.根式 (1)一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1， 且 n∈N*.
(2)式子n a叫做根式，其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数.
(3)(n a)n＝a.当 n 为奇数时，n an＝a；当 n 为偶数时，n an＝ |a|＝a－，aa，≥a0<，0.
4.指数函数y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象与性质
底数
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域为 R，值域为(0，＋∞) 图象过定点(0，1)
(续表)
底数
a>1
当 x>0 时，y>1；
性质 当 x<0 时，0<y<1
在定义域 R 上为增函数
0<a<1 当 x>0 时，0<y<1； 当 x<0 时，y>1 在定义域 R 上为减函数
考点二 指数函数的图象
[例 1](1)(多选题)若函数 y＝ax＋b－1(a>0，且 a≠1)的图象经
过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有( )
A.a>1
指数与指数函数-优秀课件
若
0＜a＜1，则a2－a 1＜0，
a x1
a x2 a x1x2 a x1 x2
1
＜0，
f(x1)＞f(x2)． 所以，若 a＞0，总有 f(x1)＞f(x2)， ∴f(x)在 R 上是增函数．
(3)由(2)知 f(x)在[－1,1]上为增函数，
所以 f(x)在[－1,1]上的最小值为
f(－1)＝a2－a 1(a－1－a)＝－1.
x≥1， x＜1，
故选 B.
答案 B
3．f(x)＝4＋ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标为
A．(1,5)
B．(1,4)
C．(0,4)
D．(4,0)
解析 x－1＝0即x＝1时，f(x)＝5，恒过(1,5)点．
答案 A
4．函数 y＝ 32x－1－217的定义域为________． 解析 由 32x－1－217≥0 知，32x－1≥3－3， 2x－1≥－3，∴x≥－1.
象的位置与底数大小的关系．
(2)底数与指数函数的图象相对位置关系由指数函 数 y＝ax 与直线 x＝1 相交于点(1，a)可知：在 y 轴右侧， 图象从下到上相应的底数由小变到大．
如图所示的指数函数的底数的大小关系为0＜a4＜a3＜1 ＜a2＜a1.
【变式训练】 2．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象 有两个公共点，则a的取值范围是________． 解析 数形结合．由图可知 0＜2a＜1， ∴0＜a＜12.
2．根式的性质 (1)当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数 的 n 次方根是一个负数，这时，a 的 n 次方根用符号 n a 表 示． (2)当 n 为偶 数时，正数的 n 次方根有两个，它们互为
指数与指数函数ppt课件
2．已知函数 f (x)＝ax－2＋2(a>0 且 a≠1)的图象恒过定点 A，则点 A 的坐标为( B )
A．(0,1)
B．(2,3)
C．(3,2)
D．(2,2)
【解析】 ∵a0＝1，∴当 x＝2 时，y＝3，∴图象过点(2,3)．故选 B．
3．化简4 16x4y8(x<0，y<0)＝__－__2_x_y_2 _. 【解析】 4 16x4y8＝|2xy2|，又 x<0，y<0，∴原式＝－2xy2.
第二章 函数
第五节 指数与指数函数
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
『知识聚焦』 1．根式的概念及性质 (1)如果xn＝a，那么____x___叫做a的n次方根． (2)式子n a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)根式的性质 ①(n a)n＝a(a使n a有意义．负数没有偶次方根)． ②当n为奇数时，n an＝___a____； 当n为偶数时，n an＝____|_a_| __＝a－，aa，≥a0<，0.
(2)令 g(x)＝ax2－4x＋3，则 f (x)＝13g(x)，由于 f (x)有最大值 3，所以 g(x)应有最小值 a>0，
－1，因此必有3a－ a 4＝－1， 解得 a＝1，即当 f (x)有最大值 3 时，a 的值等于 1. (3)由指数函数的性质知，要使 f (x)的值域为(0，＋∞)， 应使 y＝ax2－4x＋3 的值域为 R， 因此只能 a＝0(因为若 a≠0，则 y＝ax2－4x＋3 为二次函数，其值域不可能为 R)．
C．(1＋a)a>(1＋b)b
D．(1－a)a>(1－b)b
【解析】
(1)把
b
化简为