《一元二次方程根与系数的关系》练习(2)(有答案)_6959
一元二次方程根与系数的关系全套练习题
1 一元二次方程根与系数的关系练习题 一、 填空： 1、 如果一元二次方程cbxax2=0)(0a的两根为1x，2x，那么1x+2x= ，
1x2x= . 2、如果方程02qpxx的两根为1x，2x，那么1x+2x= ，1x2x= . 3、方程01322xx的两根为1x，2x，那么1x+2x= ，1x2x= . 4、如果一元二次方程02nmxx的两根互为相反数，那么m= ；如果两根互为倒数，那么n= . 5方程0)1(2nmxx的两个根是2和－4，那么m= ，n= .
6、以1x，2x为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 . 7、以13，13为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .
10、已知方程04322xx的两根为1x，2x，那么2221xx= .
11、若方程062mxx的一个根是23，则另一根是 ，m的值是 . 12、若方程01)1(2kxkx的两根互为相反数，则k= ， 若两根互为倒数，则k= . 13、如果是关于x的方程02nmxx的根是2和3，那么nmxx2在实数范围内可分解为 14、已知方程0232xx的两根为1x、2x，则
（1）1x2+2x2= _； （2）2111xx= ； （3）221)(xx_ _； （4）)1)(1(21xx= . 二、选择题： 1、关于x的方程pxx822＝０有一个正根，一个负根，则p的值是（ ） （A）0 （B）正数 （C）－8 （D）－4 2、已知方程122xx=0的两根是1x，2x，那么1221221xxxx（ ） 2
(A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －3 3、已知方程0322xx的两根为1x，2x，那么2111xx=（ ）
(A )－31 (B) 31 (C )3 (D) －3 4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ） （A）0322xx （B） 0322xx
初中根与系数的关系复习题 附答案
10．已知关于 x 的方程（m-2）x2-（m-1）x+m=0． （1）请你选取一个合适的整数 m，使方程有两个有理数根，并求出这两个根； （2）当 m＞0，且 m2-2m＜0 时，讨论方程的实数根的情况．
11．（2013•平谷区一模）已知关于 m 的一元二次方程 2x2+mx-1=0． （1）判定方程根的情况； （2）设 m 为整数，方程的两个根都大于 -1 且小于
b a a b
3 ，那么它的另一个根是为
3
是关于 x 的方程 x2-4x+c=0 的一个根，则 c 的值是
7．已知关于 x 的方程 2x2-mx-6=0 的一个根 2，则 m=
，另一个根为
8．若 x1，x2 是方程 3x2-|x|-4=0 的两根，则
x1 x 2 1 的值 x1 x 2
9．方程 x2-3x+1=0 中的两根分别为 a 、b，则代数式 a 2-4 a -b 的值为
2
2
18．已知 x1，x2 是方程 x2-2x-2=0 的两实数根，不解方程求下列各式的值： （1）
2 2 x1 x 2
；
（2）
1 1 x1 x 2
19． 已知关于 x 的方程 x
2
x2 的积是两根和的两倍， ①求 m 的值； (2m 3) x m 2 6 0 的两根 ，求 a b 的值．
23．要在一个长 10m，宽 8m 的院子中沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的 30%， 试求这花圃的宽度．
24．某电热器经过两次降价后，利润由 20 元降到 5 元，已知降价前该产品的利润率是 25%，解答下列问 题： （1）求这种电热器的进价； （2）求经过两次降价后的售价； （3）求每次降价的平均降价率？（精确到 1%）
(完整版)一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案)
一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）一．选择题（共22小题）1．（2014•宜宾）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（ ） A ．x2+3x﹣2=0B．x2﹣3x+2=0C．x2﹣2x+3=0D．x2+3x+2=02．（2014•昆明）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1•x2等于（ ） A ．﹣4B．﹣1C．1D．43．（2014•玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的结论是（ ） A ．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在4．（2014•南昌）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ） A ．10B．9C．7D．55．（2014•贵港）若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c的值是（ ） A ．﹣10B．10C．﹣6D．﹣16．（2014•烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（ ） A ．﹣1或5B．1C．5D．﹣17．（2014•攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（ ） A ．α+β=﹣1B．αβ=﹣1C．α2+β2=3D．+=﹣18．（2014•威海）方程x2﹣（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是（ ） A ．﹣2或3B．3C．﹣2D．﹣3或2i mA ．2B ．1C ．﹣1D ．0 10．（2014•黄冈样卷）设a ，b 是方程x 2+x ﹣2015=0的两个实数根，则a 2+2a+b 的值为（ ） A ．2012B ．2013C ．2014D ．2015 11．（2014•江西模拟）一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0与3x 2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（ ） A．﹣6B ．6C ．3D．﹣3 12．（2014•峨眉山市二模）已知x 1、x 2是方程x 2﹣（k ﹣2）x+k 2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是（ ） A ．19B ．18C ．15D ．13 13．（2014•陵县模拟）已知：x 1、x 2是一元二次方程x 2+2ax+b=0的两根，且x 1+x 2=3，x 1x 2=1，则a 、b 的值分别是（ ） A ．a=﹣3，b=1B ．a=3，b=1C ．a=﹣，b=﹣1D ．a=﹣，b=1 14．（2013•湖北）已知α，β是一元二次方程x 2﹣5x ﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（ ） A．﹣1B ．9C ．23D ．27 15．（2013•桂林）已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+a ﹣1=0有两根为x 1和x 2，且x 12﹣x 1x 2=0，则a 的值是（ ）A ．a=1B ．a=1或a=﹣2C ．a=2D ．a=1或a=216．（2013•天河区二模）已知一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=（ ）A ．4B ．3C ．﹣4D．﹣3 17．（2013•青神县一模）已知m 和n 是方程2x 2﹣5x ﹣3=0的两根，则的值等于（ ）A ．B ．C ．D ． 18．（2012•莱芜）已知m 、n 是方程x 2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（ ）A 9B ．±3C ．3D 5ei n re 19．（2012•天门）如果关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=0，那么a 的值为（ ） A ．3B ．﹣3C ．13D．﹣13 20．（2011•锦江区模拟）若方程x 2﹣3x ﹣2=0的两实根为x 1、x 2，则（x 1+2）（x 2+2）的值为（ ） A．﹣4B ．6C ．8D ．12 21．（2011•鄂州模拟）已知p 2﹣p ﹣1=0，1﹣q ﹣q 2=0，且pq ≠1，则的值为（ ）A ．1B ．2C ．D ．22．（2010•滨湖区一模）若△ABC 的一边a 为4，另两边b 、c 分别满足b 2﹣5b+6=0，c 2﹣5c+6=0，则△ABC 的周长为（ ） A ．9B ．10C ．9或10D ．8或9或10二．填空题（共4小题）23．（2014•莱芜）若关于x 的方程x 2+（k ﹣2）x+k 2=0的两根互为倒数，则k= _________ ．24．（2014•呼和浩特）已知m ，n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根，则m 2﹣mn+3m+n= _________ ．25．（2014•广州）若关于x 的方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根x 1、x 2，则x 1（x 2+x 1）+x 22的最小值为 _________ ． 26．（2014•桂林）已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k+1）x+k 2﹣2=0的两根为x 1和x 2，且（x 1﹣2）（x 1﹣x 2）=0，则k 的值是 _________ ． 三．解答题（共4小题）27．（2014•泸州）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣2（m+1）x+m 2+5=0的两实数根．（1）若（x 1﹣1）（x 2﹣1）=28，求m 的值；（2）已知等腰△ABC 的一边长为7，若x 1，x 2恰好是△ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长． 28．（2014•日照二模）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根，其满足29．（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 30．（2001•苏州）已知关于x 的一元二次方程，（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．（2014•宜宾）若关于x 的一元二次方程的两个根为x 1=1，x 2=2，则这个方程是（ ） A ．x 2+3x ﹣2=0B ．x 2﹣3x+2=0C ．x 2﹣2x+3=0D ．x 2+3x+2=0考点：根与系数的关系．分析：解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和是否为3及两根之积是否为2即可．解答：解：两个根为x 1=1，x 2=2则两根的和是3，积是2．A 、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；B 、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；C 、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；D 、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，故选：B ．点评：验算时要注意方程中各项系数的正负． 2．（2014•昆明）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x+1=0的两个实数根，则x 1•x 2等于（ ） A．﹣4B ．﹣1C ．1D ．4考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：直接根据根与系数的关系求解．解答：解：根据韦达定理得x 1•x 2=1．故选：C ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．3．（2014•玉林）x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+m ﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m 使+=0成立？则正确的结论是（ ） A ．m=0时成立B ．m=2时成立C ．m=0或2时成立D ．不存在分析：先由一元二次方程根与系数的关系得出，x 1+x 2=m ，x 1x 2=m ﹣2．假设存在实数m 使+=0成立，则=0，求出m=0，再用判别式进行检验即可．解答：解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+m ﹣2=0的两个实数根，∴x 1+x 2=m ，x 1x 2=m ﹣2．假设存在实数m 使+=0成立，则=0，∴=0，∴m=0．当m=0时，方程x 2﹣mx+m ﹣2=0即为x 2﹣2=0，此时△=8＞0，∴m=0符合题意．故选：A ．点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x 1，x 2是方程x 2+px+q=0的两根时，那么x 1+x 2=﹣p ，x 1x 2=q ．4．（2014•南昌）若α，β是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ） A ．10B ．9C ．7D ．5考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系求得α+β=2，αβ=﹣3，则将所求的代数式变形为（α+β）2﹣2αβ，将其整体代入即可求值．解答：解：∵α，β是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个实数根，∴α+β=2，αβ=﹣3，∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣3）=10．故选：A ．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．（2014•贵港）若关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0的两个实数根分别为x 1=﹣2，x 2=4，则b+c 的值是（ ） A．﹣10B ．10C ．﹣6D．﹣1分析：根据根与系数的关系得到﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可．解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，∴根据根与系数的关系，可得﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，解得b=﹣2，c=﹣8∴b+c=﹣10．故选：A．点评：此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1x2=． 6．（2014•烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（ ） A ．﹣1或5B．1C．5D．﹣1考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=a，x1•x2=2a，由于x12+x22=5，变形得到（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，则a2﹣4a﹣5=0，然后解方程，满足△≥0的a的值为所求．解答：解：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=a，x1•x2=2a，∵x12+x22=5，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，∴a2﹣4a﹣5=0，∴a1=5，a2=﹣1，∵△=a2﹣8a≥0，∴a=﹣1．故选：D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程的根的判别式．7．（2014•攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（ ） A ．α+β=﹣1B．αβ=﹣1C．α2+β2=3D．+=﹣1考点：根与系数的关系．分析：先根据根与系数的关系得到α+β=﹣1，αβ=﹣1，再利用完全平方公式变形α2+β2得到（α+β）2﹣2αβ，利用通分变形+得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判断．解答：解：根据题意得α+β=﹣1，αβ=﹣1．所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=3；+===1．故选：D ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．8．（2014•威海）方程x 2﹣（m+6）x+m 2=0有两个相等的实数根，且满足x 1+x 2=x 1x 2，则m 的值是（ ） A．﹣2或3B ．3C ．﹣2D．﹣3或2考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：判别式法．分析：根据根与系数的关系有：x 1+x 2=m+6，x 1x 2=m 2，再根据x 1+x 2=x 1x 2得到m 的方程，解方程即可，进一步由方程x 2﹣（m+6）+m 2=0有两个相等的实数根得出b 2﹣4ac=0，求得m 的值，由相同的解解决问题．解答：解：∵x 1+x 2=m+6，x 1x 2=m 2，x 1+x 2=x 1x 2，∴m+6=m 2，解得m=3或m=﹣2，∵方程x 2﹣（m+6）x+m 2=0有两个相等的实数根，∴△=b 2﹣4ac=（m+6）2﹣4m 2=﹣3m 2+12m+36=0解得m=6或m=﹣2∴m=﹣2．故选：C ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式△=b 2﹣4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．9．（2014•长沙模拟）若关于x 的一元二次方程x 2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（ ）A 2B ．1C ．D 0考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=来求方程的另一个根．解答：解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的两个根，由韦达定理，得x1•x2=2，即﹣2x2=2，解得，x2=﹣1．即方程的另一个根是﹣1．故选C．点评：此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1•x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．10．（2014•黄冈样卷）设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ） A ．2012B．2013C．2014D．2015考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，则a2+2a+b变形为a+b+2015，再根据根与系数的关系得到a+b=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．解答：解：∵a是方程x2+x﹣2015=0的根，∴a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，∴a2+2a+b=a+b+2015，∵a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根∴a+b=﹣1，∴a2+2a+b=a+b+2015=﹣1+2015=2014．故选C．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．11．（2014•江西模拟）一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（ ） A ．﹣6B．6C．3D．﹣3e t 分析：由一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0和3x 2﹣11x+6=0先用判别式判断方程是否有解，再根据根与系数的关系，即可直接得出答案．解答：解：由一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0，∵△=4+16=20＞0，∴x 1x 2=﹣3，由一元二次方程3x 2﹣11x+6=0，∵△=121﹣4×3×6=49＞0，∴x 1x 2=2∴﹣3×2=﹣6故选A ．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要把代数式变形为两根之积的形式． 12．（2014•峨眉山市二模）已知x 1、x 2是方程x 2﹣（k ﹣2）x+k 2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是（ ） A ．19B ．18C ．15D ．13考点：根与系数的关系；二次函数的最值．分析：根据x 1、x 2是方程x 2﹣（k ﹣2）x+（k 2+3k+5）=0的两个实根，由△≥0即可求出k 的取值范围，然后根据根与系数的关系求解即可．解答：解：由方程有实根，得△≥0，即（k ﹣2）2﹣4（k 2+3k+5）≥0所以 3k 2+16k+16≤0，所以 （3k+4）（k+4）≤0解得﹣4≤k ≤﹣．又由x 1+x 2=k ﹣2，x 1•x 2=k 2+3k+5，得x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=（k ﹣2）2﹣2（k 2+3k+5）=﹣k 2﹣10k ﹣6=19﹣（k+5）2，当k=﹣4时，x 12+x 22取最大值18．故选：B ．点评：本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据△≥0先求出k 的取值范围再根据根与系数的关系进行求解．13．（2014•陵县模拟）已知：x 1、x 2是一元二次方程x 2+2ax+b=0的两根，且x 1+x 2=3，x 1x 2=1，则a 、b 的值分别是（ ） A ．a=﹣3，b=1B ．a=3，b=1C ．a=﹣，b=﹣1D ．a=﹣，b=1考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系得到得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，即﹣2a=3，b=1，然后解一次方程即可．解答：解：根据题意得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，所以﹣2a=3，b=1，解得a=﹣，b=1．故选D．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．14．（2013•湖北）已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（ ） A ．﹣1B．9C．23D．27考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系α+β=﹣，αβ=，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．解答：解：∵α，β是方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=5，αβ=﹣2，又∵α2+αβ+β2=（α+β）2﹣βα，∴α2+αβ+β2=52+2=27；故选D．点评：此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法，若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1x2=．15．（2013•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2，且x12﹣x1x2=0，则a的值是（ ） A ．a=1B．a=1或a=﹣2C．a=2D．a=1或a=2考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：根据x12﹣x1x2=0可以求得x1=0或者x1=x2，所以①把x1=0代入原方程可以求得a=1；②利用根的判别式等于0来求a的值．解答：解：解x12﹣x1x2=0，得x1=0，或x1=x2，①把x1=0代入已知方程，得t i me an dAl l t h i ng sa ﹣1=0，解得：a=1；②当x 1=x 2时，△=4﹣4（a ﹣1）=0，即8﹣4a=0，解得：a=2．综上所述，a=1或a=2．故选：D ．点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义．解答该题的技巧性在于巧妙地利用了根的判别式等于0来求a 的另一值．16．（2013•天河区二模）已知一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=（ ） A ．4B ．3C ．﹣4D．﹣3考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，直接利用x 1+x 2=﹣求出即可．解答：解：∵一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，∴x 1+x 2=﹣=4．故选A ．点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键． 17．（2013•青神县一模）已知m 和n 是方程2x 2﹣5x ﹣3=0的两根，则的值等于（ ） A ．B ．C ．D ．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到m+n=，mn=﹣，再变形+得到，然后利用整体思想计算．解答：解：根据题意得m+n=，mn=﹣，所以+===﹣．故选D ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．18．（2012•莱芜）已知m 、n 是方程x 2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（ ） A 9B ．±3C ．3D5i e dl l t h i ng si nt he i rb a re go od fo s ．．考点：根与系数的关系；二次根式的化简求值．专题：整体思想．分析：根据一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系得到m+n=﹣2，mn=1，再变形得，然后把m+n=﹣2，mn=1整体代入计算即可．解答：解：∵m 、n 是方程x 2+2x+1=0的两根，∴m+n=﹣2，mn=1，∴====3．故选C ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．也考查了二次根式的化简求值．19．（2012•天门）如果关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=0，那么a 的值为（ ） A ．3B ．﹣3C ．13D．﹣13考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：利用根与系数的关系求得x 1x 2=a ，x 1+x 2=﹣4，然后将其代入x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣5=0列出关于a的方程，通过解方程即可求得a 的值．解答：解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根，∴x 1x 2=a ，x 1+x 2=﹣4，∴x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣5=a ﹣2×（﹣4）﹣5=0，即a+3=0，解得，a=﹣3；故选B ．点评：本题考查了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 20．（2011•锦江区模拟）若方程x 2﹣3x ﹣2=0的两实根为x 1、x 2，则（x 1+2）（x 2+2）的值为（ ） A．﹣4B ．6C ．8D ．12考点：根与系数的关系．分析：根据（x 1+2）（x 2+2）=x 1x 2+2x 1+2x 2+4=x 1x 2+2（x 1+x 2）+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可．解答：解：∵x 1、x 2是方程x 2﹣3x ﹣2=0的两个实数根．thingsintheirbeingareg∴x1+x2=3，x1•x2=﹣2．又∵（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4．将x1+x2=3、x1•x2=﹣2代入，得（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4=（﹣2）+2×3+4=8．故选C点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．21．（2011•鄂州模拟）已知p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，则的值为（ ） A．1B．2C．D．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：首先把1﹣q﹣q2=0变形为，然后结合p2﹣p﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系可以得到p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，那么利用根与系数的关系即可求出所求代数式的值．解答：解：由p2﹣p﹣1=0和1﹣q﹣q2=0，可知p≠0，q≠0，又∵pq≠1，∴，∴由方程1﹣q﹣q2=0的两边都除以q2得：，∴p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，则由韦达定理，得p+=1，∴=p+=1．故选A．点评：本题考查了根与系数的关系．首先把1﹣q﹣q2=0变形为是解题的关键，然后利用根与系数的关系就可以求出所求代数式的值．22．（2010•滨湖区一模）若△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，则△ABC的周长为（ ） A．9B．10C．9或10D．8或9或10考点：根与系数的关系；三角形三边关系．专题：压轴题．分析：由于两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，那么b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，根据根与系数的关系可以得到b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，由此即可求出△ABC的一边a为4周长．解答：解：∵两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，∴b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，∴b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，①若b=c，则b=c=3或b=c=2，但2+2=4，所以三角形不成立，故b=c=3．∴△ABC的周长为4+3+3=10或4+2+2②若b≠c，∴△ABC的周长为4+5=9．故选C．点评：此题把一元二次方程的根与系数的关系与三角形的周长结合起来，利用根与系数的关系来三角形的周长．此题要注意分类讨论．二．填空题（共4小题）23．（2014•莱芜）若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k= ﹣1 ．考点：根与系数的关系．专题：判别式法．分析：根据已知和根与系数的关系x1x2=得出k2=1，求出k的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k的值．解答：解：∵x1x2=k2，两根互为倒数，∴k2=1，解得k=1或﹣1；∵方程有两个实数根，△＞0，∴当k=1时，△＜0，舍去，故k的值为﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了根与系数的关系，根据x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=﹣，x1x2=进行求解．24．（2014•呼和浩特）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n= 8 ．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：常规题型．Array分析：根据m+n=﹣=﹣2，m•n=﹣5，直接求出m、n即可解题．解答：解：∵m 、n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根，∴mn=﹣5，m+n=﹣2，∵m 2+2m ﹣5=0∴m 2=5﹣2mm 2﹣mn+3m+n=（5﹣2m ）﹣（﹣5）+3m+n =10+m+n =10﹣2=8故答案为：8．点评：此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m 和n 的值是解决问题的关键． 25．（2014•广州）若关于x 的方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根x 1、x 2，则x 1（x 2+x 1）+x 22的最小值为 ．考点：根与系数的关系；二次函数的最值．专题：判别式法．分析：由题意可得△=b 2﹣4ac ≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．解答：解：由题意知，方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根，则△=b 2﹣4ac=4m 2﹣4（m 2+3m ﹣2）=8﹣12m ≥0，∴m ≤，∵x 1（x 2+x 1）+x 22=（x 2+x 1）2﹣x 1x 2=（﹣2m ）2﹣（m 2+3m ﹣2）=3m 2﹣3m+2=3（m 2﹣m+﹣）+2=3（m ﹣）2 +；∴当m=时，有最小值；∵＜，∴m=成立；∴最小值为；故答案为：．点评：本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．26．（2014•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，则k的值是 ﹣2或﹣ ．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：先由（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，得出x1﹣2=0或x1﹣x2=0，再分两种情况进行讨论：①如果x1﹣2=0，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，解方程求出k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么将x1+x2=﹣（2k+1），x1x2=k2﹣2代入可求出k的值，再根据判别式进行检验．解答：解：∵（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，∴x1﹣2=0或x1﹣x2=0．①如果x1﹣2=0，那么x1=2，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，整理，得k2+4k+4=0，解得k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=[﹣（2k+1）]2﹣4（k2﹣2）=4k+9=0，解得k=﹣．又∵△=（2k+1）2﹣4（k2﹣2）≥0．解得：k≥﹣．所以k的值为﹣2或﹣．故答案为：﹣2或﹣．点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验．三．解答题（共4小题）27．（2014•泸州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．考点：根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质．专题：代数几何综合题．分析：（1）利用（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，求得m的值即可；（2）分7为底边和7为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．解答：解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根，∴x1+x2=2（m+1），x1•x2=m2+5，∴（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，解得：m=﹣4或m=6；当m=﹣4时原方程无解，∴m=6；（2）①当7为底边时，此时方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0有两个相等的实数根，∴△=4（m+1）2﹣4（m2+5）=0，解得：m=2，∴方程变为x2﹣6x+9=0，解得：x1=x2=3，∵3+3＜7，∴不能构成三角形；②当7为腰时，设x1=7，代入方程得：49﹣14（m+1）+m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时方程变为x2﹣22x+105=0，解得：x=7或15∵7+7＜15，不能组成三角形；当m=4时方程变为x2﹣10x+21=0，解得：x=3或7，此时三角形的周长为7+7+3=17．点评：本题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系．28．（2014•日照二模）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根，其满足（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80．求实数a 的所有可能值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：根据△的意义由一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根得到△≥0，即（3a ﹣1）2﹣4（2a 2﹣1）=a 2﹣6a+5≥0，根据根与系数的关系得到x 1+x 2=﹣（3a ﹣1），x 1•x 2=2a 2﹣1，由（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80变形得到3（x 1+x 2）2﹣16x 1x 2=﹣80，于是有3（3a ﹣1）2﹣16（2a 2﹣1）=﹣80，解方程得到a=3或a=﹣，然后代入△验算即可得到实数a 的值．解答：解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根，∴△≥0，即（3a ﹣1）2﹣4（2a 2﹣1）=a 2﹣6a+5≥0所以a ≥5或a ≤1．…（3分）∴x 1+x 2=﹣（3a ﹣1），x 1•x 2=2a 2﹣1，∵（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80，即3（x 12+x 22）﹣10x 1x 2=﹣80，∴3（x 1+x 2）2﹣16x 1x 2=﹣80，∴3（3a ﹣1）2﹣16（2a 2﹣1）=﹣80，整理得，5a 2+18a ﹣99=0，∴（5a+33）（a ﹣3）=0，解得a=3或a=﹣，当a=3时，△=9﹣6×3+5=﹣4＜0，故舍去，当a=﹣时，△=（﹣）2﹣6×（﹣）+6=（）2+6×+6＞0，∴实数a 的值为﹣点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：如果方程的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力．29．（2013•孝感）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+1）x+k 2+2k=0有两个实数根x 1，x 2．（1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k 使得x 1•x 2﹣x 12﹣x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．e an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo r考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：压轴题．分析：（1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△≥0，据此列出关于k 的不等式[﹣（2k+1）]2﹣4（k 2+2k ）≥0，通过解该不等式即可求得k 的取值范围；（2）假设存在实数k 使得≥0成立．利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式≥0，通过解不等式可以求得k 的值．解答：解：（1）∵原方程有两个实数根，∴[﹣（2k+1）]2﹣4（k 2+2k ）≥0，∴4k 2+4k+1﹣4k 2﹣8k ≥0∴1﹣4k ≥0，∴k ≤．∴当k ≤时，原方程有两个实数根． （2）假设存在实数k 使得≥0成立．∵x 1，x 2是原方程的两根，∴．由≥0，得≥0．∴3（k 2+2k ）﹣（2k+1）2≥0，整理得：﹣（k ﹣1）2≥0，∴只有当k=1时，上式才能成立．又∵由（1）知k ≤，∴不存在实数k 使得≥0成立．点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．30．（2001•苏州）已知关于x 的一元二次方程，（1）求证：不论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x 1、x 2是方程的两个根，且x 12﹣2kx 1+2x 1x 2=5，求k 的值．n ga re go od fo rs 考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k 的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：（1）已知关于x 的一元二次方程，∴△=（﹣2k ）2﹣4×（k 2﹣2）=2k 2+8，∵2k 2+8＞0恒成立，∴不论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）∵x 1、x 2是方程的两个根，∴x 1+x 2=2k ，x 1•x 2=k 2﹣2，∴x 12﹣2kx 1+2x 1x 2=x 12﹣（x 1+x 2）x 1+2x 1x 2=x 1x 2=k 2﹣2=5，解得k=±．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．。
一元二次方程的根与系数的关系(八大题型提分练)(解析版)
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系（八大题型提分练）题型一、利用根与系数的关系求两根之和与两根之积1．（2024·天津红桥·三模）若一元二次方程22320x x +-=的两个根分别为1x ，2x ，则12x x +的值为（）A ．32-B ．32C ．1-D ．12．（2024·天津宝坻·二模）若12x x ，是方程2320x x --=的两个根，则（）A ．122x x =-B ．122x x =C ．123x x +=-D ．1223x x +=3．（2024·甘肃兰州·二模）若1x ，2x 是方程2650x x -+=两个根，则（）A ．126x x +=-B ．126x x +=C ．1256x x ⋅=-D ．125x x ⋅=-【答案】B【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是记住1x ，2x 是一元二次方程200ax bx c a ++=≠（）的两根题型二、利用根与系数的关系求代数式的值4．（2024·山东菏泽·一模）已知m ，n 是一元二次方程²220260x x +-=的两个实数根，则代数式²3m m n ++的值等于()A ．2026B ．2025C ．2024D ．2023【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义，正确将原式变形为()()22mm m n +++是解题的关键．根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到2220262m m m n +=+=-，，再把原式变形为()()22m m m n +++，由此代值计算即可．【详解】解：∵m 、n 是一元二次方程²220260x x +-=的两个实数根，∴22202602m m m n +-=+=-,，∴222026m m +=，∴²3m m n++()()2222m m m n =+++()()22m m m n =+++()20262=+-2024=，故选C ．5．（2024·山东济宁·一模）设α，β是一元二次方程23170x x +-=的两个根，则252a αβ++=.【答案】11【分析】此题主要考查了根与系数的关系，由α，β是一元二次方程23170x x +-=的两个根，得出3αβ+=-，23170αα+-=，再把252a αβ++变形为()232αααβ+++，即可求出答案．【详解】解：∵α，β是一元二次方程23170x x +-=的两个根，∴3αβ+=-，23170αα+-=，∴2317αα+=，∴()()225232172311ααβαααβ++=+++=+⨯-=，故答案为：11．6．（2024·江苏盐城·二模）已知：α，β是方程2240x x +-=有两个实数根．求出下列代数式的值(1)()1αβα++；(2)242ααβ++．【答案】(1)6-(2)0【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．（1）根据根与系数的关系可得2αβ+=-，4αβ=-，再将所求代数式变形，最后代入求解即可；（2）根据题意可得2240αα+-=，2αβ+=-，推出224αα+=，再将所求式子变形，最后代入求解即可．【详解】（1）解： α，β是方程2240x x +-=有两个实数根，∴2αβ+=-，4αβ=-，∴(1)246αβαααββ++=++=--=-；（2） α，β是方程2240x x +-=有两个实数根，∴2240αα+-=，∴224αα+=，∴242ααβ++2(2)(22)αααβ=+++()()222αααβ=+++()422=+⨯-0=题型三、已知代数式的值求参数7．（2024·四川乐山·二模）已知一元二次方程230x x k -+=的两个实数根为12,x x ，若1212221x x x x ++=，则实数k 的值为（）A ．5-B ．7C ．1-D ．18．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知1x 、2x 是关于x 的方程2230x x k -+-=的两实数根，且2211221x x x x x x +=+-，则k 的值为．9．（2024·广东东莞·一模）已知一元二次方程()22210x m x m +-+=(1)若方程有两个实数根，求m 的取值范围；(2)若方程的两个实数根为12,x x ，且121210x x x x ++-=求m 的值．10．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知一元二次方程2102x x m -+=．(1)若方程有实数根，求m 的取值范围；(2)若方程的两个实数根为12x x 、，且1233x x +=，求m 的值．∴0m =．题型四、已知方程的一根求另一根和参数的值11．（23-24九年级下·山东烟台·期中）250x x m --=的一个根，则该方程的另一根是（）A ．1-B ．1C ．2D ．312．（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知关于x 的方程230x x n --=有一个根是1-，则另一个根为．【答案】4【分析】本题考查根与系数的关系，设另一个根为a ，由两根之和等于3，进行求解即可．【详解】解：设方程的另一个根为a ，则：()13a +-=，∴4a =；即：另一个根为4；故答案为：4．13．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）已知关于x 的一元二次方程()22210x k x k k -+++=．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)已知方程一个根为2，求k 的值．【答案】(1)见解析(2)1k =，或2k =【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程根的判别式判定根的情况，一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键．（1）根据一元二次方程写出根的判别式，根据根的判别式的值为正数即可证明方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的另一根为α，根据根与系数的关系列方程组，消去a ，得到k 的一元二次方程，解方程即得．【详解】（1）解：∵()()2222Δ21414414410k k k k k k k ⎡⎤=-+-⨯⨯+=++--=>⎣⎦，故方程有两个不相等的实数根．（2）设方程的另一根为a ，则22212a k a k k+=+⎧⎨=+⎩，∴2320k k -+=，∴()()120k k --=，∴10k -=，或20k -=，解得，1k =，或2k =．题型五、根与系数的关系与判别式综合问题14．（2024·江苏宿迁·三模）关于x 的一元二次方程()²00ax bx c ac ++=≠，有以下命题：①若0a b c -+=，则²40b ac -≥②若方程的两根为3-和1，则30a c +=③若上述方程有两个相等的实数根，则²1ax bx c ++=-必有实数根；④若m 是该方程的一个根，则1m一定是²0cx bx a ++=的一个根．其中真命题的个数（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的知识，掌握一元二次方程解的概念和计算方法，根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程的解，把131x x x =-==，，代入可判定命题①②；根据根的判别式240b ac ∆=-≥可判15．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）已知两个实数x 、y ，可按如下规则进行运算：计算(1)(1)1x y ---的结果，得到的数记为1z ，称为第一次操作．再从x 、y 、1z 中任选两个数，操作一次得到的数记为2z ；再从x 、y 、1z 、2z 中任选两个数，操作一次得到的数记为3z ，依次进行下去．以下结论正确的个数为（）①若x 、y 为方程240m m +-=的两根，则1 2z =-；②对于整数x 、y ，若x y +为偶数，在操作过程中，得到的n z 一定为偶数；③若4,2x y =-=，要使得2024n z >成立，则n 至少为4．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【分析】本题考查新定义的实数运算和一元二次方程根与系数的关系，理解题目中的算法是解题的关键．①先化简(1)(1)1x y ---，根据根与系数的关系得1x y +=-，4xy =-，即可求解；②对于整数x 、y ，若x y +为偶数，则x 、y 同为偶数或同为奇数，xy 为偶数或奇数，计算结果可能为奇数或偶数；③先计算1z ，然后从中选取绝对值较大的两个数，进行计算，即可求解．【详解】解：①x 、y 为方程240m m +-=的两根，∴1x y +=-，4xy =-，∴()()(1)(1)111413x y xy x y xy x y ---=--+-=-+=---=-故说法错误；②对于整数x 、y ，若x y +为偶数，则x 、y 同为偶数或同为奇数，∴xy 为偶数或奇数，∴(1)(1)1x y ---的结果可能为奇数或偶数，∴得到的n z 一定为偶数说法错误；③若4,2x y =-=，则1826z =-+=-，然后从中选取绝对值较大的两个数，进行计算，则()()()2464634z =-⨯----=()()3346346232z =⨯---=-，()4232342323467690z =-⨯--+=-，16．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知关于x 的一元二次方程22560x x p -+-=．(1)求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两实数根为12,x x ，且满足124x x =，试求出p 的值．17．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）对于代数式2ax bx c ++，若存在实数n ，当时，代数式的值也等于n ，则称n 为这个代数式的不变值．例如：对于代数式2x ，当0x =时，代数式等于0；当1x =时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值A=．与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则0 (1)代数式22x x-的不变值是________，A=_______．(2)已知代数式2x bx b-+，A=，求b的值；①若0②若12A≤≤，b为整数，求所有整数b的和．题型六、根与系数的关系与三角形问题18．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）已知关于x 的方程()2330x k x k -++=．(1)求证：无论k 取任何实数，该方程总有实数根；(2)若等腰三角形的三边长分别为a b c ，，，其中1a =，并且b c ，恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．【答案】(1)见解析(2)7【分析】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，三角形三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．（1）表示出方程根的判别式，判断其值大于等于0即可得证；（2）分两种情况考虑：当b c =时，求出方程的解，进而得到三角形周长；当1a c ==或1a b ==时，把1x =代入方程求出k 的值，进而求出周长即可．【详解】（1）证明：∵()()222Δ34136930k k k k k ⎡⎤=-+-⨯⨯=-+=-≥⎣⎦，∴无论k 取任何实数，方程总有实数根；（2）解：当b c =时，3k =，方程为2690x x -+=，解得：123x x ==，此时三边长为133，，，周长为1337++=；当1a b ==或1a c ==时，把1x =代入方程得：()1330k k -++=，解得：1k =，此时方程为：2430x x -+=，解得：1231x x ==，，此时三边长为113，，不能组成三角形，综上所述，ABC 的周长为7．19．（2023·四川绵阳·一模）已知关于x 的方程()()2340x x p p ---+=；(1)求证：方程总有实数根；(2)若方程的两根12,x x 为直角三角形的两边长，且25x =，求P 的值及该直角三角形的周长．20．（22-23九年级上·黑龙江七台河·期末）已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程222(1)50x m x m -+++=的两实数根．(1)若12(1)(1)28x x --=，求m 的值；(2)已知等腰ABC 的一边长为7，若1x ，2x 恰好是ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．【详解】（1）解：根据题意得判别式()()2241450m m =+-+≥，解得2m ≥，122(1)x x m +=+，2125=+x x m ，121)18)(2(x x --= ，即1212()128x x x x -++=，252(1)128m m ∴+-++=，整理得22240m m --=，解得16m =，24m =-，而2m ≥，m ∴的值为6；（2）解：当腰长为7时，则7x =是一元二次方程222(1)50x m x m -+++=的一个解，把7x =代入方程得24914(1)50m m -+++=，整理得214400m m -+=，解得110m =，24m =，当10m =时，122(1)22x x m +=+=，解得215x =，而7715+<，故舍去；当4m =时，122(1)10x x m +=+=，解得23x =，则三角形周长为37717++=；当7为等腰三角形的底边时，则12x x =，所以2m =，方程化为2690x x -+=，解得123x x ==，则337+<，故舍去，所以这个三角形的周长为17．题型七、根与系数的关系与四边形问题21．（2023·江西新余·一模）已知平行四边形ABCD 的两邻边的长m ，n 分别是关于x 的一元二次方程21024k x kx -+-=的两个实数根．(1)求k 的取值范围；(2)当k 为何值时，四边形ABCD 是菱形；(3)当k 为何值时，四边形ABCD 的两条对角线的长相等，且都等于102，求出这时四边形ABCD 的周长和面积．题型八、新定义及材料探究题22．（2023·江西新余·一模）如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如：方程2430x x -+=的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．(1)方程2320x x -+=______（填“是”或“否”）“三倍根方程”；(2)若关于x 的方程240x x c -+=是“三倍根方程”，求c ；(3)若()20x m n x mn -++=是关于x 的“三倍根方程”，求代数式22mnm n +的值．23．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如果关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，(1)方程2680x x -+=“2倍根方程”（填“是”或“不是”）；(2)若一元二次方程290x x c -+=是“2倍根方程”，求出c 的值．(3)若()()()300x ax b a --=≠是“2倍根方程”，求代数式32a ba b-+的值．1．（2024·安徽合肥·二模）已知关于x 的方程2230x x k -+=的两根分别为1x 和2x ，若1240x x +=，则k 的值为（）A ．23-B ．2-C ．23D ．22．（2024·湖北黄石·二模）设m n ，分别为一元二次方程2220240x x +-=的两个实数根，则23m m n ++=（）A ．2020B ．2022C ．2024D ．2026【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根的定义可得2220240m m +-=，进而得222024m m +=，由一元二次方程根和系数的关系可得2m n +=-，再把23m m n ++转化为()22m m m n +++，代入前面所得式子的值计算即可求解，掌握一元二次方程根的定义及根和系数的关系是解题的关键．【详解】解：∵m n ，分别为一元二次方程2220240x x +-=的两个实数根，∴2220240m m +-=，2m n +=-，∴222024m m +=，∴()2232202422022m m n m m m n ++=+++=-=，故选：B ．3．（2024·江苏南京·二模）若关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠的两根之和为p ，两根之积为q ，则关于y的方程()()2110a y b y c -+-+=的两根之积是（）A ．1p q ++B ．1p q -+C ．1q p -+D ．1q p --【答案】A【分析】本题考查根与系数的关系，设关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，得到1212,x x p x x q +==，换元法，得到()()2110a y b y c -+-+=的两个根为121,1x x ++，再进行求解即可．【详解】解：设关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，则：1212,x x p x x q +==，∴关于y 的方程()()2110a y b y c -+-+=的两根为11221,1y x y x =+=+，∴()()()121212121111y y x x x x x x q p =++=+++=++；故选A ．4．（2024·江苏南京·二模）关于x 的方程22x kx +=（k 为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）A ．两个正根B ．两个负根C ．一个正根，一个负根D ．无实数根5．（2024·四川达州·二模）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x 的一元二次方程2120x x m -+=的两个实数根，且其面积为20，则该菱形的边长为（）A ．B ．C ．4D ．66．（2024·内蒙古乌兰察布·二模）设1x 、2x 是一元二次方程260x mx --=的两个根，且121x x =+，则12x x -=．【答案】5【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解一元二次方程，由一元二次方程根与系数的关系得出121x x m +==，再利用因式分解法解一元二次方程，最后代入计算即可得出答案，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键．【详解】解： 1x 、2x 是一元二次方程260x mx --=的两个根，且121x x =+，121x x m ∴+==，7．（2024·四川内江·二模）已知实数a ，b 满足251a a -=-，215b b +=，则b aa b+=．8．（2024·山东济宁·三模）若关于x 的方程2220(x x m m m +--=为正整数）的两根分别记为m α，m β，如：当1m =时，方程的两根记为1α，1β，则112220232023111111αβαβαβ++++⋯++=．9．（2024·甘肃天水·三模）已知关于x的方程2220x mx m m+++=有两个不相等的实数根1x，2x．(1)求m的取值范围；(2)若22121240x x x x m++=，求m的值．解得：0m =或1或2m =-，0m < ，2m ∴=-．10．（2024·四川南充·三模）已知关于x 的一元二次方程()221230x k x k -+--=有两个不相等的实数根．(1)求实数k 的取值范围，(2)当2k =时，设方程的两个实数根分别为12,x x ，求32221121243x x x x x -+++的值．913=++13=．11．（2024·安徽合肥·二模）类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料：设20x px q ++=的两个根为1x 和2x ，那么22121212()()()x px q x x x x x x x x x x ++=--=-++比较系数，可得12x x p +=-，12x x q =．类比推广，回答问题：设320x px qx r +++=的三个根为1x ，2x ，3x ，那么323123()()()x px qx r x x x x x x x +++=---=+___________（）2x +（___________）x +（___________）．比较系数，可以得到一元三次方程的根与系数的关系：123x x x ++=___________，___________q =，123x x x =___________．【答案】123x x x ---，122313x x x x x x ++，r -，p -，122313x x x x x x ++，r【分析】本题主要考查根据一元二次方程中根和系数之间的关系推理一元三次方程中根与系数的关系，掌握一元二次方程中根与系数的关系，多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．将一元三次方程按照一元二次方程的方式因式分解为，再将其按照多项式乘以多项式的方式展开，得到()()32123122313123x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，最后得到根与系数关系123x x x p ++=-，122313q x x x x x x +=+，123x x x r =即可；【详解】解：根据材料提示得，32123()()()x px qx r x x x x x x +++=---，()212123()x x x x x x x x ⎡⎤=-++-⎣⎦，()()32231212312123x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=--++++-⎣⎦，()()32123122313123x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+++++-⎣⎦，()()32123122313123x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，32x px qx r +++=，∴123x x x p ++=-，122313q x x x x x x +=+，123x x x r =-；故答案为：123x x x ---，122313x x x x x x ++，123x x x ，p -，122313x x x x x x ++，-r ．12．（2024·四川南充·二模）已知关于x 的一元二次方程()232100x m x m --+-=．(1)求证：此一元二次方程总有实数根；(2)已知ABC 两边长a ，b 分别为该方程的两个实数根，且第三边长3c =，若ABC 的周长为偶数，求m 的值．13．（2024·四川南充·二模）关于x 的一元二次方程()222120x m x m -+++=有实数根．(1)求m 的取值范围；。
一元二次方程韦达定理、根与系数的关系练习+答案
韦达定理与根与系数的关系练习题一、填空题1、关于x 的方程0322=+-m x x ，当 时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，一个负根；当m 时，方程有一个根为0。
2、已知一元二次方程01322=--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x ．3、如果1x ，2x 是方程0652=+-x x 的两个根，那么=⋅21x x ．4、已知1x ，2x 是方程0362=++x x 的两实数根，则2112x x x x +的值为______． 5、设1x 、2x 是方程03422=-+x x 的两个根，则=++)1)(1(21x x ．6、若方程03422=--x x 的两根为βα、，则=+-22ββ2a a ．7、已知1x 、2x 是关于x 的方程01)1(22=-++-a x x a 的两个实数根，且1x ＋2x ＝31，则21x x ⋅＝ ．8、已知关于x 的一元二次方程0642=--x mx 的两根为1x 和2x ，且221-=+x x ，则=m ，()=+⋅2121x x x x 。
9、若方程0522=+-k x x 的两根之比是2：3，则=k ．10、如果关于x 的方程062=++k x x 的两根差为2，那么=k 。
11、已知方程0422=-+mx x 两根的绝对值相等，则=m 。
12、已知方程022=+-mx x 的两根互为相反数，则=m 。
13、已知关于x 的一元二次方程01)1()1(22=++--x a x a 两根互为倒数，则=a 。
14、已知关于x 的一元二次方程0)1(222=+--m x m x 。
若方程的两根互为倒数，则=m ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则=m 。
15、一元二次方程)0(02≠=++p r qx px 的两根为 0 和 －1，则=q p : 。
16、已知方程0132=-+x x ，要使方程两根的平方和为913，那么常数项应改为 。
一元二次方程根与系数关系习题(含答案)
一元二次方程及一元二次方程与根与系数关系1.方程216x =的解是（ ）A ．4x =± B ．4x = C ．4x =- D ．16x =2.一元二次方程2520x x -=的解是（ ）A ．x 1 = 0 ，x 2 =25 B ． x 1 = 0 ，x 2 =52- C ．x 1 = 0 ，x 2 =52 D ． x 1= 0 ，x 2 =25- 3.方程2x =x 的解是（ ）（A ）x =1 （B ）x =0 (C) x 1=1 x 2=0 (D) x 1=﹣1 x 2=04.用配方法解一元二次方程542=-x x 的过程中，配方正确的是（ ）A ．（1)22=+xB ．1)2(2=-xC ．9)2(2=+xD ．9)2(2=-x5.用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -= 6.用配方法将代数式a 2+4a -5变形，结果正确的是（ ）A.(a +2)2-1B. (a +2)2-5C. (a +2)2+4D. (a +2)2-9 7.关于x 的方程ax 2－(a ＋2)x ＋2=0只有一解(相同解算一解)，则a 的值为( )(A)a =0． (B)a =2． (C)a =1． (D)a =0或a =2．8.已知关于x 的方程260x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2- 9.已知2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值是（ ）A ．3-B ．3C ．0D ．0或310.方程(3)(1)3x x x -+=-的解是（ ）A ．0x = B ．3x = C ．3x =或1x =- D ．3x =或0x =11. 若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m +n 的值为（ ）（A ）1 （B ）2（C ）-1 （D ）-2 12.若12x x ，是一元二次方程2560x x -+=的两个根，则12x x +的值是（ ）A ．1B ．5C ．5-D ．613.若方程2310x x --=的两根为1x 、2x ，则1211x x +的值为（ )A ．3 B ．－3 C ．13 D ．13- 14.设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）A ．2006B ．2007C ．2008D ．2009 15.方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）A ．12B ．12或15C ．15D ．不能确定16.关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．25 17.定义：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知20(0)ax bx c a ++=≠ 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A ．a c =B ．a b =C ．b c =D ． a b c ==18.三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的周长为（ ）A ．14B ．12C ．12或14D ．以上都不对 19.方程(x-1)2=4的解是 ；20.若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______．21.如果2是一元二次方程x 2＋bx ＋2＝0的一个根，那么常数b 的值为 ．22.一元二次方程02)12(22=-+++-k x k x 有实数根，则k 的取值范围是 。
《一元二次方程的根与系数的关系》资料习题配答案
一元二次方程根与系数的关系习题6、已知关于x 的方程07)3(102=-++-m x m x ，若有一个根为0，则m =7，这时方程的另一个根是1；若两根之和为－35 ，则m =9-，这时方程的 两个根为15821=-=x x ，. 07)3(10)1(2=-++-m x m x 设方程解： ，则：、设原方程两根为b a )2(，则：另一根为1x 107103-=+=+m ab m b a ，10301+=+m x ① 53-原方程两根之和为 10701-=•m x ② 53103-=+=+m b a 由②，得：7=m 9-=∴m 代入将7=m ①，得： 08352=-+∴x x 原方程可化为：11=x 0)1)(85(=-+∴x x0171时，方程一根为，==∴x m 158=-=∴x x 或 7、如果5)1(222+++-m x m x 是一个完全平方式，则m =2； 05)1(222=+++-m x m x 解：令 0204)12(422=--++∴m m m是完全平方式5)1(222+++-m x m x 0168=-∴m有两个相等实根方程05)1(222=+++-∴m x m x 2=∴m0)5(4)]1(2[22=+-+-=∆∴m m8、方程6)4(22-=-x mx x 没有实数根，则最小的整数m =2; 6)4(22-=-x mx x 解：将方程 08848<+-∴m068)12(2=+--x x m 化简，得： 611>∴m 原方程没有实数根 2为最小整数m ∴0)12(2464<--=∆∴m9、已知方程)4()3)(1(2-=--m x m x x 两根的和与两根的积相等，则m =2;)4()3)(1(2-=--m x m x x 解：将方程 m m 3227=-∴ 06)27(22=+--m x m x 化简，得： 2=∴m，则：，设方程两根为21x x 048)]27([22>---=∆=m m m 时，当m x x m x x 32272121=-=+， 2=∴m 积相等方程两根的和与两根的10、设关于x 的方程062=+-k x x 的两根是m 和n ，且2023=+n m ，则k 值为16-; 是方程的两根、解：n m 代入将8=m ①，得：6=+n m ① 2-=nk mn = ② 代入，将28-==n m ③，得： 2023=+n m ③ 16)2(8-=-⨯=k①×2-③，得： 043616>-=∆-=k k 时，当8-=-m 16-=∴k8=∴m11、若方程01)12(22=++--m x m x 有实数根，则m 的取值范围是43-≤m ; 原方程有实数根解： 34≥-∴m0)1(4)]12([22≥+---=∆∴m m 43-≤∴m 04414422≥--+-∴m m m 根。
八下数学每日一练：一元二次方程的根与系数的关系练习题及答案_2020年综合题版
八下数学每日一练：一元二次方程的根与系数的关系练习题及答案_2020年综合题版答案答案答案答案答案2020年八下数学：方程与不等式_一元二次方程_一元二次方程的根与系数的关系练习题~~第1题~~(2019大庆.八下期中) 关于 的方程有两个不相等的实数根.（1） 求的取值范围.（2） 是否存在实数 ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.考点： 一元二次方程的根;一元二次方程的根与系数的关系;~~第2题~~(2019合肥.八下期中) 若关于x 的一元二次方程x ﹣2（2﹣k ）x+k +12=0有实数根α、β．（1） 求实数k 的取值范围；（2） 设 ，求t 的最小值．考点： 一元二次方程根的判别式及应用;一元二次方程的根与系数的关系;~~第3题~~(2019北京.八下期中) 已知：关于x 的一元二次方程x +（m +1）x +m ＝0（1） 求证：无论m 为何值，方程总有两个实数根；（2） 若x 为方程的一个根，且满足0＜x ＜3，求整数m 的值．考点： 一元二次方程的根与系数的关系;~~第4题~~(2018肇源.八下期末) 关于x 的一元二次方程x +（2k+1）x+k +1=0有两个不等实根x ， x ．（1） 求实数k 的取值范围；（2） 若方程两实根x ，x 满足x +x =－x x ，求k 的值．考点： 一元二次方程根的判别式及应用;一元二次方程的根与系数的关系;~~第5题~~(2018长沙.八下期中) 已知关于 的一元二次方程有两个实数根.（1） 求实数的取值范围；（2） 若方程的两实数根满足 ,求 的值。
考点： 一元二次方程根的判别式及应用;一元二次方程的根与系数的关系;2020年八下数学：方程与不等式_一元二次方程_一元二次方程的根与系数的关系练习题答案1.答案：22222121212122.答案：3.答案：4.答案：5.答案：。
1.3一元二次方程的根与系数的关系同步练习含答案
1.3 一元二次方程的根与系数的关系1. 若一元二次方程20x p x q ++=的两根为1x 、2x ，则1x +2x = ，1x 2x = .2. 若1x 、2x 是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两个实数根，则1x +2x = ，1x 2x = .3. 若1x 、2x 是一元二次方程22740x x -+=的两根，则1x +2x 与1x 2x 的值分别是 （ ）A ．72-、-2 B. 72-、2 C. 72、2 D. 72、-2 4. 已知α、β,是一元二次方程2520x x --=的两个实数根，则22ααββ++的值为（ ）A. -1B. 9C. 23D. 275. 若1x =-1是关于二的方程250x mx +-=的一个根，则此方程的另一个根2x = .6. 已知关于x 的一元二次方程230x x --=的两个实数根分别为α、β，则（α+3）（β+3）= .7. 不解方程，求下列方程两根的和与积;（1） 22350x x +-=； （2） 2310x x -+=；（3） (1)(2)4x x +-= （4）(2)10x x -+=.8. 已知关于x 的一元二次方程2220mx mx m -+-=.（1）若方程有两实数根，求m 的取值范围;（2）设方程两实数根为1x 、2x 且12x x -=1，求m 的值.9. 已知1x 、2x 是一元二次方程220x x -=的两根，则(1x +2x )的值是 （ ）A. 0B. 2C.一2D. 410. 若关于x 的一元二次方程2(31)2(1)0ax a x a -+++=有两个不相等的实数根1x 、2x ，且有1x -1x 2x +2x =1-a ,则a 的值是 （ ）A. 1B.一1C. 1或-1D. -211. 已知关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是1x 、2x ，且22127x x +=，则212()x x -的值是 （ ）A. 10B. 12C. 13D. 1512. 设1x 、2x 是一元二次方程2310x x --=的两个实数根，则2212124x x x x ++的值为 .13. 如果m 、n 是两个不相等的实数，且满足221m m -=，221n n -=，那么代数式m n mn +-的值是 .14. 已知关于x 的一元二次方程222(1)10x m x m +++-=.（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围;（2）若方程两实数根分别为1x 、2x ，且满足21212()16x x x x -=-，求实数m 的值.15. 已知1x 、是关于x 的一元二次方程222(1)50x m x m ++++=的两实数根.（1）若12(1)(1)28x x --=，求m 的值;（2）已知等腰三角形ABC 的一边长为7，若1x 、2x 恰好是△ABC 另外两边的长，求这个三角形的周长.参考答案1. p - q2. b a - c a3. C4. D5. 56. 97. （1）1232x x +=-，1252x x =- （2）123x x +=，121x x = （3）121x x +=，126x x =- （4）122x x +=，121x x =8. （1）关于x 的一元二次方程2220mx mx m -+-=有两个实数根， ∴0,0.m ≠⎧⎨≥⎩ 由2(2)4(2)0m m m =--∙∙-≥，得0m ≥， ∴m 的取值范围为0m >. （2） 方程两实数为1x 、2x ，122x x ∴+=，122m x x m-=. 121x x -=,212()1x x ∴-=.21212()41x x x x ∴+-=. ，解得8m =. 经检验，8m =是原方程的解. ∴8m =.9. B10. B11. C12. 713. 314. （1）由题意，得[]222(1)4(1)0m m =+--≥，整理得880m +≥，解得1m ≥-，∴实数m 的取值范围是1m ≥-.（2） 由根与系数的关系，得212122(1),1x x m x x m +=-+=-，21212()16x x x x -=-21212()3160x x x x ∴+--=. []222(1)3(1)160m m ∴-+---=，即(9)(m m +-=，解得19m =-，1m =. 1m ≥-，1m ∴=.15.（1）1x 、2x 是关于x 的一元二次方程222(1)50x m x m -+++=的两实数根，∴122(1)x x m +=+，2125x x m =+由12(1)(1)28x x --=得1212()128x x x x --+=，252(1)128m m ∴+-++=，即22240m m --=，解得14m =-，26m =.当4m =-时，0<，原方程无解；当6m =时0>，∴6m =.（2）①当7为底边是，此时方程22(1)250x m x m -+++=有两个相等的实数根，224(1)4(5)0m m ∴=+-+=. 解得2m =，此时方程为2690x x -+=，解得123x x ==.337+<，∴不能构成三角形，舍去；②当7为腰时，设17x =，代入方程，得24914(1)50m m -+++=，解得10m =或 4. 当10m =时，方程为2221050x x -+=，解得7x =或15. 7715+<，∴不能构成三角形；当4m =时，方程为210210x x -+=，解得3x =或7，此时三角形的周长为7+7+3=17.综上所述，这个三角形的周长为17.。
初中数学一元二次方程根与系数的关系练习题含答案
初中数学一元二次方程根与系数的关系练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（）A.x2+3x+4=0B.x2+4x−3=0C.x2−4x+3=0D.x2+3x−4=02. 一元二次方程x2−2x+b=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2等于( )A.−2B.bC.2D.−b3. 若x1,x2是一元二次方程2x2−7x+5=0的两根，则x1+x2−x1x2的值是（）A.1B.6C.−1D.−64. 若关于x的一元二次方程kx2−3x+1=0的两根之积为4，则这个方程的两根之和为( ）A.3 4B.−34C.12D.−125. 下列方程中两个实数根的和等于2的方程是（）A.2x2−4x+3=0B.2x2−2x−3=0C.2y2+4y−3=0D.2t2−4t−3=06. 王刚同学在解关于x的方程x2−3x+c＝0时，误将−3x看作+3x，结果解得x1＝1，x2＝−4，则原方程的解为（）A.x1＝−1，x2＝−4B.x1＝1，x2＝4C.x1＝−1，x2＝4D.x1＝2，x2＝37. 已知x1，x2是方程x2=2x+1的两个根，则1x1+1x2的值为（）A.−12B.2 C.12D.−28. x1，x2是关于x的一元二次方程x2−mx+m−2=0的两个实数根，是否存在实数m使1x1+1x2=0成立？则正确的结论是()9. 设方程x2−4x−1=0的两个根为x1与x2，则x1x2的值是（）A.−4B.−1C.1D.010. 若2，3是方程x2+px+q=0的两实根，则x2−px+q可以分解为（）A.(x−2)(x−3)B.(x+1)(x−6)C.(x+1)(x+5)D.(x+2)(x+3)11. 设x1，x2是方程5x2−3x−2=0的两个实数根，则1x1+1x2的值为________.12. 若关于x的方程x2+3x+k=0的一个根是1，则另一个根是________.13. 一元二次方程x2−4x+2=0的两根分别为x1，x2，则x12−4x1+2x1x2的值为________.14. 已知α，β是一元二次方程x2+x−2=0的两个实数根，则α+β−αβ的值是________.15. 如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2−m=3，n2−n=3，那么代数式2n2−mn+2m+2009=________．16. 一元二次方程x2−4x+2=0的两根为x1，x2，则x12−4x1+2x1x2的值为________．17. 若m，n是方程x2+3x−2019=0的两个实数根，则m2+4m+n的值为________．18. 设方程x2+3x−4=0的两个实数根为x1，x2，求1x1+1x2=________．19. 试写出一个以−1，−3为两根的一元二次方程________．20. 已知，α、β是关于x的一元二次方程x2+4x−1＝0的两个实数根，则α+β的值是________．21. 已知关于x的方程x2+5x−c=0一根为2，求另一根及c的值．x1+x2+12√x1x2．（1）当a≥0时，求y的取值范围；（2）当a<0时，比较y与−a2+3a−9的大小，并说明理由．23. 已知x1、x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，求x2x1+x1x2的值．24. 已知a，b是关于x的方程x2+2x−3=0的两个实数根．求a+b与ab的值．25. 已知实数a，b是方程x2−x−1=0的两根，求ba +ab的值．26. 已知x1，x2是一元二次方程x2−3x−1=0的两根，不解方程求下列各式的值．(1)x12+x22；(2)1x1+1x2.27. 已知方程x2+4x−2=0的两个实数根分别为x1，x2，试求：(1)x12+x22；(2)1x12+1x22．28. 在一元二次方程x2−2ax+b=0中，若a2−b>0，则称a是该方程的中点值．(1)方程x2−8x+3=0的中点值是________；(2)已知x2−mx+n=0的中点值是3，其中一个根是2，求mn的值．29. 关于r的一元二次方程x2−4x−k−3=0的两个实数根是x1,x2（1）已知k=2（2）若x=3x试求上的值30. 已知关于x的一元二次方程x2−(2m−2)x+(m2−2m)=0的两实数根分别为x1，x2.(1)求x1−x2的值；(2)若x12+x22=10，求m的值．31. 阅读材料：已知实数m，n满足m2−m−1=0，n2−n−1=0，求nm +mn的值．解：由题知m，n是方程x2−x−1=0的两个不相等的实数根，根据根与系数关系得m+n=1，mn=−1，所以nm +mn=m2+n2mn=(m+n)2−2mnmn=1+2−1=−3.根据上述材料解决以下问题：(1)一元二次方程5x2+10x−1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=_______，x1x2=_______；(2)类比探究：已知m，n满足7m2−7m−1=0，7n2−7n−1=0，求m2n+mn2的值；(3)思维拓展：已知p，q满足p2=9p−6，3q2=9q−2，求p2+9q2的值．32. 已知x1,x2是一元二次方程x2−2x−3=0的两个实数根，则x1+x2=________.33. 阅读材料：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，那么有x1+x2=−ba ，x1x2=ca．这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例x1，x2是方程x2+6x−3=0的两根，求x12+x22的值．解法可以这样：∵x1+x2=−6，x1x2=−3，则x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−6)2−2×(−3)=42．请你根据以上解法解答下题：已知x1，x2是方程x2−4x+2=0的两根，求：(1)1x1+1x2的值；(2)(x1−x2)2的值．34. 已知关于x的方程x2+x+a−1=0有一个根是1，求a的值及方程的另一个根．35. 设一元二次方程x2−6x+3=0的两根为x1和x2，求x2x1+x1x2的值．36. 若x1，x2是方程x2+2x−2007=0的两个根，试求下列各式的值：（1）x12+x22；（2）1x1+1x2；(3)(x1−5)(x2−5)；（4）|x1−x2|．37. 先阅读，再回答问题：如果x1、x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，那么x1+x2，x1x2与系数a、b、c的关系是：x1+x2=−ba ，x1x2=ca，例如：若x1、x2是方程2x2−x−1=0的两个根，则x1+x2=−ba =−−12=12，x1x2=c a =−12=−12．若x1、x2是方程2x2+x−3=0的两个根．（1）求x1+x2，x1x2；（2）求x2x1+x1x2的值．38. 阅读材料：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，那么有x1+x2=−ba ，x1x2=ca．这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例x1，x2是方程x2+6x−3=0的两根，求x12+x22的值．解法可以这样：∵x1+x2=−6，x1x2=−3，则x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−6)2−2×(−3)= 42．请你根据以上解法解答下题：已知x1，x2是方程x2+x−1=0的两根，求：(1)1x1+1x2的值；(2)(x1−x2)2的值．(3)试求x22−x12的值．39. 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x、x，有如下结论：3x2−x−2019＝0的两根分别为x1、x2，求(x1+2)(x2+2)的值．40. 韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1、x2，则x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca，阅读下面应用韦达定理的过程：若一元二次方程−2x2+4x+1=0的两根分别为x1、x2，求x12+x22的值．解：该一元二次方程的△=b2−4ac=42−4×(−2)×1=24>0由韦达定理可得，x1+x2=−ba =−4−2=2，x1⋅x2=ca=1−2=−12x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=22−2×(−1 2 )=5然后解答下列问题：（1）设一元二次方程2x2+3x−1=0的两根分别为x1，x2，不解方程，求x12+x22的值；（2）若关于x的一元二次方程(k−1)x2+(k2−1)x+(k−1)2=0的两根分别为α，β，且α2+β2=4，求k的值．参考答案与试题解析初中数学一元二次方程根与系数的关系练习题含答案一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1.【答案】 C【考点】根与系数的关系 【解析】由根与系数的关系求得p ，q 的值． 【解答】解：方程两根分别为x 1=3，x 2=1，则x 1+x 2=−p =3+1=4，x 1x 2=q =3 ∴ p =−4，q =3，∴ 原方程为x 2−4x +3=0． 故选C ． 2. 【答案】 C【考点】根与系数的关系 【解析】根据“一元二次方程x 2−2x +b ＝0的两根分别为x 1和x 2”，结合根与系数的关系，即可得到答案． 【解答】解：根据题意得： x 1+x 2=−−21=2.故选C . 3.【答案】 A【考点】根与系数的关系 【解析】首先利用韦达定理计算，再代入求值即可. 【解答】解：由题可知， x 1+x 2=72，x 1x 2=52， 所以x 1+x 2−x 1x 2=72−52=1. 故选A .【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】设出两根，利用根已悉数的关系，构造方程，解出即可. 【解答】解：设两根分别为x1，x2，由根与系数的关系可知，x1+x2=3k ，x1x2=1k=4，∴k=14，∴x1+x2=3k=3×4=12.故选C.5.【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】利用判别式对A进行判断；根据根与系数的关系对B、C、D进行判断．【解答】解：A、△=(−4)2−4×2×3<0，方程没有实数解，所以A选项错误；B、两个实数根的和等于1，所以B选项错误；C、两个实数根的和等于−2，所以C选项错误；D、两个实数根的和等于2，所以D选项正确．故选D．6.【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】利用根与系数的关系求得c的值；然后利用因式分解法解原方程即可．【解答】依题意得关于x的方程x2+3x+c＝0的两根是：x1＝1，x2＝−4．则c＝1×(−4)＝−4，则原方程为x2−3x−4＝0，整理，得(x+1)(x−4)＝0，解得x1＝−1，x2＝4．7.【答案】D根与系数的关系【解析】先把方程化为一般式得x2−2x−1=0，根据根与系数的关系得到x1+x2=−2，x1⋅x2=−1，再把原式通分得x1+x2x1x2，然后利用整体思想进行计算．【解答】解：方程化为一般式得x2−2x−1=0，根据题意得x1+x2=2，x1⋅x2=−1，∴原式=x1+x2x1x2=2−1=−2．故选D．8.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】先由一元二次方程根与系数的关系得出，x1+x2=m，x1x2=m−2．假设存在实数m使1x1+1x2=0成立，则x1+x2⋅=0，求出m=0，再用判别式进行检验即可．【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2−mx+m−2=0的两个实数根，∴x1+x2=m，x1x2=m−2．假设存在实数m使1x1+1x2=0成立，则x1+x2x1x2=0，∴mm−2=0，∴m=0．当m=0时，方程x2−mx+m−2=0即为x2−2=0，此时Δ=8>0，∴m=0符合题意．故选A．9.【答案】B【考点】根与系数的关系【解析】关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．【解答】解：a=1，c=−1，所以x1⋅x2=ca =−11=−1．【答案】 D【考点】根与系数的关系 【解析】本题考查了根与系数的关系这一知识点． 【解答】解：根据根与系数的关系可得p =−(2+3)=−5，q =2×3=6． 因此x 2+5x +6=(x +2)(x +3)． 故选D ．二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 11. 【答案】−32【考点】根与系数的关系 【解析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2、x 1x 2的值，然后将所求的代数式进行变形并代入计算即可． 【解答】解：∵ 方程x 1,x 2是方程5x 2−3x −2=0的两个实数根， ∴ x 1+x 2=35，x 1x 2=−25， ∴1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=35−25=−32．故答案为：−32. 12.【答案】 −4【考点】根与系数的关系 【解析】设方程的两根分别为x 1，x 2，则由根与系数关系得，x 1+x 2=−3，由x 1=1可得x 2=−4． 【解答】解：根据题意，设方程的两根分别为x 1，x 2，令x 1=1， 则由根与系数关系得，x 1+x 2=−3， ∵ x 1=1， ∴ x 2=−4． 故答案为：−4． 13.【答案】 2【解析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于−b，两根之积a .根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x12−4x1=−2，x1x2=2，将等于ca其代入所求式子中即可求出结论．【解答】解：根据题意得，x12−4x1=−2，x1x2=2，x12−4x1+2x1x2=−2+4=2.故答案为：2.14.【答案】1【考点】根与系数的关系【解析】据根与系数的关系α+β=−1，αβ=−2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．【解答】解：∵α，β是方程x2+x−2=0的两个实数根，∴α+β=−1，αβ=−2，∴α+β−αβ=−1+2=1.故答案为：1.15.【答案】2020【考点】根与系数的关系【解析】由于m，n是两个不相等的实数，且满足m2−m=3，n2−n=3，可知m，n是x2−x−3=0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n=2，mn=−3，又n2=n+3，利用它们可以化简2n2−mn+2m+2015=2(n+3)−mn+2m+2015=2n+6−mn+2m+2015=2(m+n)−mn+2021，然后就可以求出所求的代数式的值．【解答】解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2−m=3，n2−n=3，所以m，n是x2−x−3=0的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=−3，又n2=n+3，则2n2−mn+2m+2009=2(n+3)−mn+2m+2009=2n+6−mn+2m+2009=2(m+n)−mn+2015=2×1−(−3)+2015=2+3+2015=2020．故答案为：2020．16.【答案】2【考点】根与系数的关系【解析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x12−4x1=−2、x1x2=2，将其代入x12−4x1+2x1x2中即可求出结论．【解答】∵一元二次方程x2−4x+2=0的两根为x1、x2，∴x12−4x1=−2，x1x2=2，∴x12−4x1+2x1x2=−2+2×2=2．17.【答案】2016【考点】根与系数的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：∵m，n是方程x2+3x−2019=0的两个根，∴m2+3m=2019，m+n=−3，∴m2+4m+n=m2+3m+(m+n)=2019−3=2016．故答案为：2016．18.【答案】34【考点】根与系数的关系【解析】根据根与系数的关系得到x1+x2=−3，x1⋅x2=−4，再变形1x1+1x2得到x1+x2x1x2，然后利用代入法计算即可．【解答】解：∵一元二次方程x2+3x−4=0的两根是x1，x2，∴x1+x2=−3，x1⋅x2=−4，∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=−3−4=34．故答案为：34．19.【答案】x 2+4x +3=0 【考点】根与系数的关系 【解析】根据根与系数的关系：两根之和=−ba，两根之积=ca，首先写出两根之和，再写出两根之积，可直接得到方程． 【解答】解：∵ −1+(−3)=−4，(−1)×(−3)=3， ∴ 方程为：x 2+4x +3=0， 故答案为：x 2+4x +3=0． 20.【答案】 −4【考点】根与系数的关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答三、 解答题 （本题共计 20 小题 ，每题 10 分 ，共计200分 ） 21.【答案】解：设另一根为x 1，则{x 1+2=−5,2x 1=−c,解得{x 1=−7,c =14,∴ 另一根为−7，c 的值为14． 【考点】根与系数的关系 【解析】 暂无 【解答】解：设另一根为x 1，则{x 1+2=−5,2x 1=−c,解得{x 1=−7,c =14,∴ 另一根为−7，c 的值为14． 22. 【答案】解：(1)14x 2+(a −2)x +a 2=0，∵ △=(a −2)2−4×14×a 2≥0，∴ a ≤1，根据题意得x 1+x 2=−4(a −2)，x 1x 2=4a 2， ∵ 0≤a ≤1，∴ y =−4(a −2)+a =−3a +8∴5≤y≤8；（2）当a<0时，y=−4(a−2)−a=−5a+8，y−(−a2+3a−9)=−5a+8+a2−3a+9=(a−4)2+1，∵(a−4)2+1>0，∴y>−a2+3a−9．【考点】根与系数的关系【解析】（1）先把方程化为一般式得到14x2+(a−2)x+a2=0，再利用判别式得到a≤1，根据根与系数的关系得到y=−4(a−2)+a=−3a+8，然后计算当0≤a≤1时对应的y的范围；（2）当a<0时，y=−4(a−2)−a=−5a+8，然后利用求差法比较大小．【解答】解：(1)14x2+(a−2)x+a2=0，∵△=(a−2)2−4×14×a2≥0，∴a≤1，根据题意得x1+x2=−4(a−2)，x1x2=4a2，∵0≤a≤1，∴y=−4(a−2)+a=−3a+8∴5≤y≤8；（2）当a<0时，y=−4(a−2)−a=−5a+8，y−(−a2+3a−9)=−5a+8+a2−3a+9=(a−4)2+1，∵(a−4)2+1>0，∴y>−a2+3a−9．23.【答案】解：∵x1、x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，∴由韦达定理，知x1+x2=−6，x1⋅x2=3，∴x2x1+x1x2=x1⋅x2˙=(−6)2−2×33=10，即x2x1+x1x2的值是10．【考点】根与系数的关系【解析】利用根与系数的关系求得x1+x2=−6，x1⋅x2=3，然后将其代入整理后的所求的代数式求值．【解答】解：∵x1、x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，∴由韦达定理，知x1+x2=−6，x1⋅x2=3，∴x2x1+x1x2=x1⋅x2˙=(−6)2−2×33=10，即x2x1+x1x2的值是10．24.【答案】解：a+b=−21=−2，ab=−31=−3.【考点】根与系数的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：a+b=−21=−2，ab=−31=−3.25.【答案】解：∵实数a，b是方程x2−x−1=0的两根，∴a+b=1，ab=−1，∴ba +ab=b2+a2ab=(a+b)2−2abab=−3．【考点】根与系数的关系【解析】根据根与系数的关系得到a+b=1，ab=−1，再利用完全平方公式变形得到ba +ab=b2+a2 ab =(a+b)2−2abab，然后利用整体代入的方法进行计算．【解答】解：∵实数a，b是方程x2−x−1=0的两根，∴a+b=1，ab=−1，∴ba +ab=b2+a2ab=(a+b)2−2abab=−3．26.【答案】解：(1)∵x1，x2是一元二次方程x2−3x−1=0的两根，∴x1+x2=3，x1x2=−1，∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=32−2×(−1)=11.(2)1x1+1x2=x1+x2x1x2=3−1=−3．【考点】根与系数的关系【解析】无无【解答】解：(1)∵x1，x2是一元二次方程x2−3x−1=0的两根，∴x1+x2=3，x1x2=−1，∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=32−2×(−1)=11.(2)1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=3−1=−3．27.【答案】解：(1)∵ x 1，x 2是x 2+4x −2=0的两个实数根， ∴ x 1+x 2=−4，x 1x 2=−2， x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2 =(−4)2−2×(−2) =16+4 =20.(2)由(1)得，x 1+x 2=−4，x 1x 2=−2， 1x 12+1x 22 =x 12+x 22x 12x 22=20(−2)2=5.【考点】根与系数的关系 【解析】（1）将原式变形为(x 1+x 2)2−2x 1x 2，然后代入计算即可； （2）将原式变形为含有x 1+x 2和x 1x 2，然后代入计算即可. 【解答】解：(1)∵ x 1，x 2是x 2+4x −2=0的两个实数根， ∴ x 1+x 2=−4，x 1x 2=−2， x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2 =(−4)2−2×(−2) =16+4 =20.(2)由(1)得，x 1+x 2=−4，x 1x 2=−2， 112+122 =x 12+x 22x 12x 22=202=5. 28. 【答案】 4(2)∵ m2=3，∴ m=6，把x=2代入x2−mx+n=0得4−6×2+n=0，解得n=8，∴ mn=6×8=48.【考点】根与系数的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)在方程x2−8x+3=0中，a=4，b=3，∴a2−b=42−3=13>0，符合题意，∴ a=4是该方程的中点值.故答案为：4.(2)∵m=3，2∴ m=6，把x=2代入x2−mx+n=0得4−6×2+n=0，解得n=8，∴ mn=6×8=48.29.【答案】(1)−1；(2)k=−6.【考点】根与系数的关系【解析】(1)当k=2时，方程为：x2−4x−2−3=0,即x2−4x−5=0,所以可得：x1+x2= 4，x1×x2=−5，代入即可求得代数式的值；(2)先求得x2=1，x1=3，再代入求得答案.【解答】解：(1)当k=2时，方程为：x2−4x−2−3=0,即x2−4x−5=0,所以可得：x1+x2=4，x1×x2=−5，所以x1+x2+x1×x2=4−5=−1；(2)x1+x2=4，x1=3x2，即3x2+x2=4，解得：x2=1，所以x1=3，即：x1x2=−k−3=3，解得：k=−6.30.【答案】解：(1)∵x1，x2是方程x2−(2m−2)x+(m2−2m)=0的两实数根，x1+x2=2m−2，x1x2=m2−2m.(x1−x2)2=x12+x22−2x1x2=(x1+x2)2−2x1x2−2x1x2=(x1+x2)2−41x1x2=(2m−2)2−4(m2−2m)=4m2−8m+4−4m2+8m=4.x1−x2=±2,即x1−x2的值为2或−2.(2)∵x12+x22=10，∴(x1+x2)2−2x1x2=10，∴(2m−2)2−2(m2−2m)=10，4m2−8m+4−2m2+4m=10，m2−2m−3=0，∴m1=3, m2=−1即m的值为3或−1.【考点】根与系数的关系【解析】（1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系找出x1+x2=−2，x1⋅x2=2m，再结合完全平方公式可得出x12+x22=(x1+x2)2−2x1⋅x2，代入数据即可得出关于关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值，经验值m=−1符合题意，此题得解．【解答】解：(1)∵x1，x2是方程x2−(2m−2)x+(m2−2m)=0的两实数根，x1+x2=2m−2，x1x2=m2−2m.(x1−x2)2=x12+x22−2x1x2=(x1+x2)2−2x1x2−2x1x2=(x1+x2)2−41x1x2=(2m−2)2−4(m2−2m)=4m2−8m+4−4m2+8m=4.x1−x2=±2,即x1−x2的值为2或−2.(2)∵x12+x22=10，∴(x1+x2)2−2x1x2=10，∴(2m−2)2−2(m2−2m)=10，4m2−8m+4−2m2+4m=10，m2−2m−3=0，∴m1=3, m2=−1即m的值为3或−1.【答案】−2；−15(2)∵7m2−7m−1=0，7n2−7n−1=0，∴m，n可看作方程7x2−7x−1=0的两个根，∴m+n=1，mn=−17，∴m2n+mn2=mn(m+n)=−17×1=−17.(3)∵p，q满足p2=9p−6，3q2=9q−2，∴9q2=27q−6，即(3q)2=9⋅(3q)−6，∴p，3q可看作方程x2−9x+6=0的两个根，∴p+3q=9，p⋅(3q)=6，∴原式=(p+3q)2−6pq=92−6×2=69 .【考点】根与系数的关系【解析】（1）直接利用根与系数的关系求解；（2）把m、n可看作方程7x2−7x−1=0，利用根与系数的关系得到m+n=1，mn=−17，再利用因式分解的方法得到m2n+mn2=mn(m+n)，然后利用整体的方法计算；（3）把p、3q可看作方程x2−9x+6=0的两个根，利用根与系数的关系得到p+3q=9，p⋅(3q)=6，再利用配方法得到p2+9q2=(p+3q)2−6pq，然后利用整体的方法计算；【解答】解：(1)x1+x2=−105=−2，x1x2=−15.故答案为：−2；−15.(2)∵7m2−7m−1=0，7n2−7n−1=0，∴m，n可看作方程7x2−7x−1=0的两个根，∴m+n=1，mn=−17，∴m2n+mn2=mn(m+n)=−17×1=−17.(3)∵p，q满足p2=9p−6，3q2=9q−2，∴9q2=27q−6，即(3q)2=9⋅(3q)−6，∴p，3q可看作方程x2−9x+6=0的两个根，∴p+3q=9，p⋅(3q)=6，∴原式=(p+3q)2−6pq=92−6×2=69 .32.【答案】【考点】根与系数的关系【解析】本题考查一元二次方程根与系数的关系.关于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）,当方程有两根据x1、x2，则x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca.据此求解即可.【解答】解：x1+x2=−ba =−−21=2.故答案为：2.33.【答案】解：(1)∵x1+x2=4，x1x2=2，∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=42=2．(2)(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=42−4×2=8．【考点】根与系数的关系【解析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数关系即韦达定理可得x1+x2−ba=4，x1x2=ca=2，把代数式变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，求得代数式的值．【解答】解：(1)∵x1+x2=4，x1x2=2，∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=42=2．(2)(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=42−4×2=8．34.【答案】解：将x=1代入方程x2+x+a−1=0得1+1+a−1=0，解得a=−1，方程为x2+x−2=0，解得x1=−2，x2=1．所以另一个根为−2．【考点】根与系数的关系【解析】将x=1代入方程x2+x+a−1=0可得a的值，再将a的值代回方程，解方程得出另一个根．【解答】解：将x=1代入方程x2+x+a−1=0得1+1+a−1=0，解得a=−1，方程为x2+x−2=0，解得x1=−2，x2=1．所以另一个根为−2．解：根据题意得x 1+x 2=6，x 1x 2=3， 所以x 2x 1+x 1x 2=x 12+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2=62−2×33=10．【考点】根与系数的关系 【解析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2=6，x 1x 2=3，再利用通分和完全平方公式把x 2x 1+x 1x 2变形为(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x 1+x 2=6，x 1x 2=3， 所以x 2x 1+x 1x 2=x 12+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2=62−2×33=10．36.【答案】解：∵ x 1，x 2是方程x 2+2x −2007=0的两个根，∴ x 1+x 2=−2，x 1⋅x 2=−2007．（1）x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1⋅x 2=(−2)2−2×(−2007)=4018；（2）1x 1+1x 2=x 1+x 2⋅=−2−2007=22007；(3)(x 1−5)(x 2−5)=x 1⋅x 2−5(x 1+x 2)+25=−2007−5×(−2)+25=−1972； （4）|x 1−x 2|=√(x 1−x 2)2=√(x 1+x 2)2−4x 1⋅x 2=√(−2)2−4×(−2007)=4√502．【考点】根与系数的关系 【解析】由一元二次方程根与系数的关系可得x 1+x 2=−2，x 1⋅x 2=−2007．（1）将x 12+x 22变形为(x 1+x 2)2−2x 1⋅x 2，再代入计算即可求得结果； （2）将1x 1+1x 2变形为x 1+x 2⋅，再代入计算即可求得结果；（3）将(x 1−5)(x 2−5)变形为x 1⋅x 2−5(x 1+x 2)+25，再代入计算即可求得结果； （4）将|x 1−x 2|变形为√(x 1+x 2)2−4x 1⋅x 2，再代入计算即可求得结果． 【解答】解：∵ x 1，x 2是方程x 2+2x −2007=0的两个根，∴ x 1+x 2=−2，x 1⋅x 2=−2007．（1）x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1⋅x 2=(−2)2−2×(−2007)=4018；（2）1x 1+1x 2=x 1+x 2⋅=−2−2007=22007；(3)(x 1−5)(x 2−5)=x 1⋅x 2−5(x 1+x 2)+25=−2007−5×(−2)+25=−1972； （4）|x 1−x 2|=√(x 1−x 2)2=√(x 1+x 2)2−4x 1⋅x 2=√(−2)2−4×(−2007)=4√502．解：（1）∵ x 1、x 2是方程2x 2+x −3=0的两个根， ∴ x 1+x 2=−12，x 1⋅x 2=−32； （2）原式=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2=(−12)2−2×(−32)−32 =−136．【考点】根与系数的关系 【解析】（1）直接利用根与系数的关系解答即可；（2）通分变形后，整体代入（1）中的数值得出答案即可． 【解答】 解：（1）∵ x 1、x 2是方程2x 2+x −3=0的两个根， ∴ x 1+x 2=−12，x 1⋅x 2=−32； （2）原式=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2=(−12)2−2×(−32)−32 =−136．38.【答案】解：(1)∵ x 1，x 2是方程x 2+x −1=0的两根， ∴ x 1+x 2=−1，x 1x 2=−1， 则1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=−1−1=1；(2)(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=1+4=5；(3)x 22−x 12=(x 2−x 1)(x 2+x 1)当x 1<x 2时，x 22−x 12=√5×(−1)=−√5， 当x 1>x 2时，x 22−x 12=−√5×(−1)=√5.【考点】根与系数的关系 【解析】(1)由根与系数的关系可得x 1+x 2=−1，x 1x 2=−1，将其代入到1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2即可得；(2)将x 1+x 2=−1，x 1x 2=−1代入到(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2即可得；(3)根据x 22−x 12=−(x 12−x 22)，结合(2)中结果即可得．【解答】解：(1)∵ x 1，x 2是方程x 2+x −1=0的两根， ∴ x 1+x 2=−1，x 1x 2=−1， 则1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=−1−1=1；(2)(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=1+4=5；(3)x 22−x 12=(x 2−x 1)(x 2+x 1)当x 1<x 2时，x 22−x 12=√5×(−1)=−√5， 当x 1>x 2时，x 22−x 12=−√5×(−1)=√5.39. 【答案】由一元二次方程的根与系数的关系得到x 1+x 2=13，x 1⋅x 2＝−673， (x 1+2)(x 2+2)＝x 1⋅x 2+2(x 1+x 2)+4 ＝−673+2×13+4 ＝−66813．【考点】根与系数的关系 【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到x 1+x 2=13，x 1⋅x 2＝−673，再将(x 1+2)(x 2+2)变形为x 1⋅x 2+2(x 1+x 2)+4代入计算即可求解． 【解答】由一元二次方程的根与系数的关系得到x 1+x 2=13，x 1⋅x 2＝−673， (x 1+2)(x 2+2)＝x 1⋅x 2+2(x 1+x 2)+4 ＝−673+2×13+4 ＝−66813．40.【答案】 解：（1）∵ 一元二次方程的△=b 2−4ac =32−4×2×(−1)=17>0， 由根与系数的关系得：x 1+x 2=−32，x 1⋅x 2=−12，∴ x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=(−32)2−2×(−12)=134；（2）由根与系数的关系知：α+β＝k 2−1k−1=−k −1，αβ=(k−1)2k−1=k −1，α2+β2=((α+β)2−2αβ=(k +1)2−2(k −1)=k 2+3 ∴ k 2+3=4， ∴ k =±1， ∵ k −1≠0 ∴ k ≠1， ∴ k =−1，将k =−1代入原方程：−2x 2+4=0， △=32>0，∴ k =−1成立， ∴ k 的值为−1． 【考点】根与系数的关系 【解析】（1）先根据根与系数的关系得到x 1+x 2=−32，x 1⋅x 2=−12，再利用完全平方公式变形得到x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2，然后利用整体代入的方法计算即可；（2）根据一元二次方程(k −1)x 2+(k 2−1)x +(k −1)2=0的两根分别为α，β，求出两根之积和两根之和的关于k 的表达式，再将α2+β2=4变形，将表达式代入变形后的等式，解方程即可．【解答】 解：（1）∵ 一元二次方程的△=b 2−4ac =32−4×2×(−1)=17>0， 由根与系数的关系得：x 1+x 2=−32，x 1⋅x 2=−12，∴ x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=(−32)2−2×(−12)=134；（2）由根与系数的关系知：α+β＝k 2−1k−1=−k −1，αβ=(k−1)2k−1=k −1，α2+β2=((α+β)2−2αβ=(k +1)2−2(k −1)=k 2+3 ∴ k 2+3=4， ∴ k =±1， ∵ k −1≠0∴ k ≠1， ∴ k =−1，将k =−1代入原方程：−2x 2+4=0， △=32>0，∴ k =−1成立， ∴ k 的值为−1．。
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初中数学精品试卷
2.4 一元二次方程根与系数的关系
同步练习
一、选择题
1．若 x1 ，x2 是一元二次方程
3x
2
x 1 0 的两个根，则
1 1
的值是（
）
x1 x
2
A．2 B． 1 C．―1 D．3
2．若关于 x 的一元二次方程 x2 kx 4k 2 3 0 的两个实数根分别是 x1 , x2 ,且
满足 x1 x2 x1 gx2 .则 k 的值为（
）
A．－1 或 3 B．－ 1 C．
3
D．不存在
4 4
3．方程 x2-3x-6=0 与方程 x2-6x+3=0 的所有根的乘积为（
）
A．-18 B．18 C．-3 D ． 3
1 2 2
12 +x 2
2
的值是（ ）
4．若 x ，x 是一元二次方程 2x -3x+1=0 的两个根，则 x
A． 5 B． 9 C．
11
D． 7
4 4 4
5．若关于 x 的一元二次方程 2x2－ 2x＋3m－1＝0 的两个实数根 x1 ，x2，且
x1·x2＞x1＋x2－4，则实数 m 的取值范围是（
）
A．m＞ 5 B． m≤ 1 C． m＜ 5 D． 5 ＜m≤
1
3 2 3 3 2
．已知方程 2 2－2=0 的两实根的平方和等于 11，k 的取值是（ ）
6 x +(2k+1)x+k
A．3 B．－ 3 C． 1 D．－3或 1
7．下列说法中不正确的是（
）
A．方程 x2+2x-7=0 的两实数根之和为－ 2
B．方程 x2-3x-5=0 的两实数根之积为 -5
C．方程 x2-2x-7=0 的两实数根的平方和为 18
D.方程 x 2-3x-5=0 的两实数根的倒数和为
3
5
8．如果 x 的方程 x2+kx+1=0 的两根的差为
1，那么 k 的值为（
）
A．±2 B．± 3 C．± 5 D．±
6
9．已知关于 x 的方程 5x2+kx-6=0 的一个根为 2，设方程的另一个根为
x1，
则有（ ）
初中数学精品试卷
． 1 3 ，k=-7 B ．x1 3 ，k=-7 C．x1 3 ，k=7 D ．x
1
3
，
A x = 5 =- 5 =- 5 =
5
k=7
二、填空题
1．已知一元二次方程 2x 2 3x 1 0 的两根为 x1 、x2 ，则
x
1
x
2
．
2．如果 x1 ， x2 是方程
x
2
5x 6
0 的两个根，那么
x1 x
2 ＝
．
3．已知 x1 ， x2 是方程
x
2
6x 3
0 的两实数根，则
x
2
x
1
的值为 ______．
x1 x
2
4．已知 x1 、x2 是关于 x 的方程 (a 1)x 2 x a2 1 0 的两个实数根，且 x1＋
x2 ＝ 1 ，则 x1 x2 ＝ ．
3
5．设 x1、x2 是方程 2x2+4x-3=0 的两个根，则 (x
1 +1)(x2
+1)=
．
6．若方程 2x 2 4x 3 0 的两根为 a、β，则
a
2 2
．
2aβ β
7．若方程
2x
2
5x k
0 的两根之比是 2：3，则
k=
．
8．请写出一个二次项系数为 1，两实根之和为 3 的一元二次方
程： ．
三、解答题
1．已知关于 x 的二次方程 x2+mx-1=0 的一个根是
2
1
，求另一个根
及 m 的值．
2．已知关于 x 的方程 x2－（ k+1） x+k+2=0 的两个实数根的平方和等于
6，
求 k 的值．
3．α，β是关于 x 的一元二次方程 (m－1)x 2－ x + 1 = 0 的两个实数根，且满
初中数学精品试卷
足 ( α+1)( β+1) = m，+1求实数 m 的值．
4．已知关于 x 的方程 x2 2(m 2) x m 2 0 ，问：是否存在正实数
m,使方
程的两个实数根的平方和等于 56，若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由 .
5．已知关于 x 的一元二次方程
x2+(4m+1)x+2m-1=O ．
(1)求证：不论 m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
若方程两根为
1 2
1 1
=－
1
，求 m 的值．
(2) x 、x ，且满足 +
x2 2 x
1
初中数学精品试卷
参考答案
一、选择题
1．B； 2．C； 3．A； 4．A； 5．D ； 6．D； 7．D；
8．C．〖提示〗令 x1＞ x2，因为 x1+x2=-k，x1x2=1，所以 x1-x2=
x1 2 4x1 x 2 k 2 4 1=1，所以 k2-4=1，所以 k=± 5 ． x
2
． ．提示：因为
1 2 6 ，所以 2x1 6 ，所以 x1 =- 3 ，又 x1 +x 2
=
k
，所
9 B x x =- 5 =-
5 5 3 5
以 k=5×（ 2 ）=-7．
5
二、填空题
．
3
； 2．6； 3．10； 4． 8； ． 5；
6 ． ； 7
． ；
1 3 5 10 3
2 2
8．答案不唯一，如 x2-3x-2=0 等；
三、解答题
1．设方程的另一个根为 1 1 1 =－
1
2 1． x ,那么 ( 2 1
) ·x =－ 1,所以 x
2 1
又因为( 2 1) ( 2 1) m ，所以 m=2．所以方程的另一个根为
2 1
．
2．设方程的两根 x1、x2，则 x1+x2=k+1，x 1x2=k+2．因为
x12+x22=(x1+x2)2― 2x1x2=6，即 (k+1)2－2（k+2）=6，解之，得 k=±3．当 k=3 时，
△ =(k+1)2－4（k+2）=42－4×5＜0．当 k=－3 时，△ =(-2)2－ 4（ -1）=8＞ 0．
所以 k=3 不合题意，舍去，故 k=－3．
1 1
，且 m-1≠0．
3．根据题意，得 α +β=
，αβ=
m 1 m 1
1 1
因为 ( α+1)(+1)β = m +1，所以 αβ+（α+β） =m，所以
，所以
m + =m 1 m 1
2 1 2
=1（不合题意，舍去） ．即实数 m 的值为 2．
m
-m-2=0，所以 m =2，m
4．设方程 x
2
2(m 2) x
m
2
0 的两实数根是 x1、x2，假设存在正数
m，使
方程的两个实数根的平方和等于
56，则 x
1
2 2 1 2
1 2
2 2
+x =56，所以（x +x ） -2x x =56，又
因为 x1+x2=2（m-2），x1x2=m2， 所以 4(m-2)2-2m2=56，所以 m2-8m-20=0，所以
m1=-8，m2=10．
因为 m 为正数，所以 m=-8 舍去．
初中数学精品试卷
当 m=10 时，原方程变形为 x2－ 16x+100=0，该方程的△ =（-16）2-4 ×100＜0，
与该方程有两个实数根相矛盾．
所以不存在正数 m，使方程的两个实数根的平方和等于 56．
5．（1）证明：因为一元二次方程 x2+(4m+1)x+2m-1=O 的根的判别式
△ =(4m+1)2－ 4（ 2m-1） =16m2+8m+1-8m+4=16m2+5．
因为不 m 取何值时， m2 ≥0，所以 16m2+5 总大于 0，即不论 m 为任何实数，
方程总有两个不相等的实数根；
（2）因为方程两根为
x1、x2，所以 x1+x2=－（ 4m+1）， x1x2=2m－ 1，
因为
1 + 1 =－1
，所以 x1 x2 1 ，所以 ( 4m 1) 1 ，所以 m= 1 ．
x 1 x 2 2
x1 x
2
2 2m 1 2 10