第三章线性方程组与线性子空间 (2)
线性代数-章节知识点及习题
第一章 行列式一、教学要求1、了解行列式定义；2、掌握行列式的性质和展开法则；3、会利用化三角法和行列式展开法则计算低阶行列式以及简单n 阶行列式；4、了解克莱姆法则；重点、难点：熟练运用行列式性质，掌握行列式计算方法二、主要知识点及练习 1、 行列式性111213111112132122232121222331323331313233223=1223=223a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ，则。
练习：若行列式---311234=1303=101313a b c a b c ，则。
练习：若行列式+++2、 代数余子式13122,112D x x D=则中的系数为。
练习：设行列式11111111x x 是关于的一次多项式，该式中的一次项系数是。
练习：--- 3、 行列式计算1） 对角线法------计算二阶、三阶行列式212103214111213212223313233--、a a a a a a a a a 练习：计算三阶行列式2） 利用行列式性质计算行列式------将行列式化为上三角、下三角、对角行列式222222222(1)(2)(1)(2)(2)(1)(2)11231123(3)(4)11131121(1)ab b b x x x ba b b y y y bb a b z z z b b b ax ab ac aex bd cdde x bf cfefx 练习：计算下列行列、式、、的值+++++++-+-+-+3） 利用行列式展开法计算行列式------将行列式降阶0110100111011110练习：四阶行列式。
=11121314313233441111123456224816123434D A A A A A A A A 练习：已知行列式，则，。
==+++=++--+=123,1,3D A A 练习：设三阶行列式的第二行元素分别为,,第一行元素的代数余子式的值分别为,,则。
线性子空间
阵来求向量组 1, 2, , s 的一个极大无关组，从而 求出生成子空间 L(1, 2 , , s ) 的维数与一组基.
例6 求L(1,2 ,3 ,4 ,5 ) 的维数与一组基，并把
它扩充为P4的一组基，其中
1 (1, 1,2,4), 2 (0, 3,1, 2), 3 (3,0,7,14), 4 (1, 1, 2,0), 5 (2,1,5,6)
lr lr 1
0
l1
从而有
Bj
lr lr1
0
③
而秩(Bj)＝r，∴ ③ 有非零解，故有不全为零的数
l1, l2 , , lr , lr1, 使
l11 l22 lr r lr1 j 0,
1, 2, , r , j 线性相关.
故 1, 2 , , r 为 1, 2 , , s 的极大无关组，
所以 L(1, 2 , , s ) 的维数＝r＝秩(A).
注：
由证明过程可知，若1,2 , ,n 为V的一组基，
(1, 2 , , s ) (1,2 , ,n ) A 则向量组 1, 2 , , s与矩阵A的列向量组具有相同
4、设 1,2 , ,n 为P上n维线性空间V的一组基，
A为P上一个 n s 矩阵，若
(1 , 2 , 则 L(1, 2 ,
, s ) (1,2 , ,n ) A
线性无关
, s )的维数＝秩(A).
应用方向：
向量组1, 2 , , s 与矩阵A的列向量组具有相同
§6.5 线性子空间
一、线性子空间
1.子空间的定义 2.子空间的判定定理 3.子空间举例
2. 第二讲 线性子空间
由定理, 子空间 L( x1 , x2 , 由归纳假设,L( x1 , x2 ,
因 n-(m+1)=(n-m)-1=(k+1)-1=k,
, xm +1 )的基 x1 , x2 , , x m , x m +1
可以扩充为整个空间Vn 的一组基.由归纳原理得证.
矩阵的值域 m×n 设 A ∈ C 的n个列向量为 a1 , a2 ,
+ kn xn } ki ∈ K , i = 1, 2, , xn ) = {k1 x1 + + kn xn }
,n
L ( x1 , x2 ,
, xn 生成(或张成)的子空间,记为
如果 x1 , x2 , 则 x1 , x2 ,
, xm
m < n 是线性无关组,
, xm
是生成的子空间的基
零子空间就是零元素生成的子空间
( γ s1 , γ s 2 ,
, γ ss ,0,0,
,1)
这个解向量组就是方程组的解空间的基
判断Rn的下列子集合哪些是子空间:
V1 = {( x1 , x2 , V2 = {( x1 , x2 , V3 = {( x1 , x2 , , xn ) x1 + x2 + , xn ) x1 + x2 + + xn = 0, xi ∈ R} + xn = 1, xi ∈ R} , n 1}
= L( x1 , x2 ,
4,维数公式 (定理1.6)
设 V1 ,V2为线性空间V的两个子空间,则
dimV1 + dimV2 = dim(V1 + V2 ) + dim(V1 ∩ V2 )
《高等代数与解析几何》教学大纲
《咼等代数与解析几何》课程教学大纲一、课程基本信息1、课程名称：高等代数与解析几何（上、下）2、课程编号：03030001/23、课程类别：学科基础课4、总学时/学分：160/105、适用专业：信息与计算科学6、开课学期：第一、二学期二、课程与人才培养标准实现矩阵说明掌握自然科学基础知识和数学专业所需的技术基础及专业知识，掌握分析问题、解决问题的科学方法；通过所学专业基础知识，获取数学专业知识的能力，更新知识和应用知识的能力。
三、课程的地位性质与目的本课程是数学与应用数学专业学生的重要的基础课程，是现代信息科学中不可缺少的数学工具。
高等代数与解析几何最突出的特点就是代数与几何在知识与理论上的有机结合，在思想和方法上的融会贯通。
主要目的是掌握本门课程的基本理论和基本方法；同时通过本课程的教学，锻炼和提高学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力，培养学生创新能力，提高学生的数学素养。
四、学时分配表五、课程教学内容和基本要求总的目标：通过本课程的学习要求学生对高等代数与解析几何的基本概念、基本定理有比较全面、系统认识，能把几何的观点与代数的方法结合起来，“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”，逐步培养学生运用几何与代数相结合的方法分析问题、解决问题的能力，培养学生抽象的思维能力及空间想象能力。
本课程各章的教学内容和基本要求如下：第一章向量代数【教学内容】1、向量的线性运算2、向量的共线与共面3、用坐标表示向量4、线性相关性与线性方程组5、n维向量空间6、几何空间向量的内积7、几何空间向量的外积8、几何空间向量的混合积【基本要求】理解向量的概念，掌握向量的线性运算、内积、外积、混合积运算；熟悉向量间垂直、共线、共面的条件；会用坐标进行向量的运算。
【教学重点及难点】重点：向量的概念，向量的线性运算、内积、外积、混合积运算；用坐标进行向量的运算。
难点：向量间垂直、共线、共面的条件。
第二章行列式【教学内容】1、映射与变换2、置换的奇偶性3、矩阵4、行列式的定义理解n阶行列式的概念及性质，掌握常见类型的行列式的计算；熟悉克拉默法则。
高等代数第三章2
§3.3 向量组的秩三个辅助概念定义 设12,,,ns K ααα∈"，12,,,r i i i αα"αi 是其一个部分组。
若12,,,r i i αα"α线性无关，且对任意(,j k j i α≠1,2,,;1)k r j =≤"s ≤均有12,,,,r j i i i αααα"线性相关，则称12,,,r i i i αα"α是一个极大线性无关组，简称极大无关组。
显然，若12,,,s ααα"线性无关，则极大无关组就是其自身。
例 向量组的任何一个线性无关的部分组均可扩充为一个极大无关组。
定义 设 12,,,s ααα"与 12,,,t ββ"β)是两组n 元 向量，若每个均可由(1,2,,i i s α="12,,,t ββ"β线性 12,,,s ααα"12,,,t 可由向量组βββ" 表出，则称向量组线性表出。
若向量组12,,,s αα"α与向量组12,,,t βββ"可相互线性表出，则称向量组12,,,s ααα"12,,,t 与向量组βββ"12,,,等价，记为{s ααα"}{12,,,t βββ"}≅例 讨论下列向量之间的关系：(1) )1,0(),0,1(21==εε与 )0,0(),0,1(21==αα(2) )1,0(),0,1(21==εε与 )1,2(),2,1(21==ββ性质 向量组的等价具有(1)自反性：{m ααα,...,,21}≅{m ααα,...,,21}；(2)对称性：{s ααα,...,,21}≅{t βββ,...,,21}⇒{t βββ,...,,21}≅{s ααα,...,,21}；(3)传递性：12121212{,,...,}{,,...,}{,,...,}{,,...,}s t t r αααββββββγγγ≅⎫⎬≅⎭⇒{12,,...,s ααα}≅{12,,...,m γγγ}。
高等代数与解析几何教学大纲
《高等代数与解析几何》教学大纲说明高等代数与解析几何是数学的主要基础课. 通过本课程的教学将逐步培养学生运用几何与代数相结合的方法分析问题和解决问题的能力. 因此在教学中应注意讲清代数概念的几何背景, 培养学生的空间想象力.本课程如按每学期每周4节正课2节习题课安排, 在一学年内应能讲授完本大纲的内容。
至于教科书《高等代数与解析几何》中的打星号的选学内容可以作为第三学期的选修课内容。
第一章第一章向量代数(22课时)第二章第二章行列式(12课时)第三章第三章线性方程组与线性子空间(20课时)第四章第四章矩阵的秩与矩阵的运算(14课时)第五章第五章线性空间与欧几里得空间(16课时)第六章第六章几何空间的常见曲面(14课时)第七章第七章线性变换(6课时)第八章第八章线性空间上的函数(10课时)第九章第九章坐标变换与点变换(12课时)第十章第十章一元多项式与整数的因式分解(14课时)第十一章第十一章多元多项式(12课时)第十二章第十二章多项式矩阵与若尔当典范形(10课时)以下计划中所列参考课时数均不包括习题课课时.第一章向量代数(22课时)内容包括向量的线性运算，向量的共线与共面，用坐标表示向量，线性相关性与线性方程组，n维向量空间，几何空间向量的内积、外积与混合积，平面曲线的方程等。
本章的教学目的是使学生对向量及其运算以及线性相关性有一个较直观的认识，为以后抽象向量的学习打下基础。
第二章行列式(12课时)本章从讲解映射与变换以及置换的奇偶性入手，通过体积的计算引入行列式的定义，同时也给出行列式的常用定义，然后引入矩阵的概念，以帮助理解行列式的性质，再讲解行列式按一行(一列)展开以及用行列式解线性方程组的克拉默法则，最后证明拉普拉斯定理。
本章的教学目的是使学生对行列式的意义及其计算有所了解。
并会应用克拉默法则解线性方程组。
对行列式计算的技巧不能太强调。
第三章线性方程组与线性子空间(20课时)用消元法解线性方程组是与初等数学相衔接的，在此基础上讨论线性方程组的解的情况，然后引出向量组的线性相关性的有关性质，再学习线性子空间及线性子空间的基与维数，以帮助理解齐次线性方程组的解的结构。
线性代数详细知识点
线性代数 第一章 行列式§1 二阶和三阶行列式一、二元一次线性方程组与二阶行列式结论：如果112212210a a a a -≠，则二元线性方程组 11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩的解为122122*********b a a b x a a a a -=-，1121212112121a b b a x a b b a -=-。
定义：设11122122,,,a a a a ，记11221221a a a a -为11122122a a a a 。
称11122122a a a a 为二阶行列式有了行列式的符号，二元线性方程组的求解公式可以改写为112222111122122b a b a x a a a a =，111122211122122a b a b x a a a a =二、三阶行列式与三元一次线性方程组定义：111213212223313233a a a a a a a a a 112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---定理：如果1112132122233132330a a a D a a a a a a =≠，则***123(,,)x x x 是下面的三元线性方程组的解111122133121122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩当且仅当*1x =112132222333233/b a a b a a D b a a ,*2x =111132122331333/a b a a b a D a b a ,*3x =111212122231323/a a b a a b D a a b 其中111213212223313233a a a a a a a a a 为系数行列式。
高等代数第三章2
§3.3 向量组的秩三个辅助概念定义 设12,,,ns K ααα∈"，12,,,r i i i αα"αi 是其一个部分组。
若12,,,r i i αα"α线性无关，且对任意(,j k j i α≠1,2,,;1)k r j =≤"s ≤均有12,,,,r j i i i αααα"线性相关，则称12,,,r i i i αα"α是一个极大线性无关组，简称极大无关组。
显然，若12,,,s ααα"线性无关，则极大无关组就是其自身。
例 向量组的任何一个线性无关的部分组均可扩充为一个极大无关组。
定义 设 12,,,s ααα"与 12,,,t ββ"β)是两组n 元 向量，若每个均可由(1,2,,i i s α="12,,,t ββ"β线性 12,,,s ααα"12,,,t 可由向量组βββ" 表出，则称向量组线性表出。
若向量组12,,,s αα"α与向量组12,,,t βββ"可相互线性表出，则称向量组12,,,s ααα"12,,,t 与向量组βββ"12,,,等价，记为{s ααα"}{12,,,t βββ"}≅例 讨论下列向量之间的关系：(1) )1,0(),0,1(21==εε与 )0,0(),0,1(21==αα(2) )1,0(),0,1(21==εε与 )1,2(),2,1(21==ββ性质 向量组的等价具有(1)自反性：{m ααα,...,,21}≅{m ααα,...,,21}；(2)对称性：{s ααα,...,,21}≅{t βββ,...,,21}⇒{t βββ,...,,21}≅{s ααα,...,,21}；(3)传递性：12121212{,,...,}{,,...,}{,,...,}{,,...,}s t t r αααββββββγγγ≅⎫⎬≅⎭⇒{12,,...,s ααα}≅{12,,...,m γγγ}。
第三章2线性方程组解的结构定理
1 ,2 , ,n线性相关;
向量组{1,2 , ,n }的秩R(1,2 ,
系数矩阵A的秩R(A) n.
,n ) n;
推论：齐次线性方程组只有零解：
1,2 , ,n线性无关;
向量组{1,2 , ,n }的秩R(1,2 , ,n ) n;
系数矩阵A的秩R(A) n. 5
例 讨论齐次方程组解 的
a1n
a22
a2n
am 2
amn
Ax b
x1
x=
x2
xn
b1
b=
b2
bm
a1i
i
=
a2i
ami
b 0，对应齐次线性方程组；
b≠0，对应非齐次线性方程组。
x11 x22 xnn b
4
线性方程组的一般理论
定理：齐次线性方程组有非零解：
1
记为 1,2 , ,nr ;
（2）显然 1,2 ,nr 线性无关；
14
（3）设 Ax 0 的解为 k1
kr kr 1
kn T
则
(kr 11 kr 22 knnr )
k1 b11kr 1
k2
b21kr 1
kr
br1kr 1
0
0
b1,n r kn
b2,
n
r
kn
0
之间的过渡矩阵，即
C ' CQ.
1
对于任意v V ,有
v BX B ' X ',T (v) CY C 'Y '.
设A是线性映射T在基B和C下的矩阵，可知
Y AX
由向量在不同基下的坐标之间的关系可知
QY ' A(PX ')
线性空间定义
kR
a11 b11 a12 b12 a1n b1n a b a b a b 21 21 22 22 2n 2n A B am1 bm1 am 2 bm 2 amn bmn
ka11 ka12 ka1n ka ka ka 21 22 2n kA , kam1 kam 2 kamn
显然在 R 零向量
a1 a2 向量 an
n
0 0 O , Байду номын сангаас 0
的负向量
a1 a 2 an
注 R n 是最重要的实线性空间。 类似有复线性空间 C n
k ka1 ka2i
在实线性空间 C 中零向量为数字0；
a1 a2i 的负向量 a1 a2 i
例3
m n 阶实矩阵全体 M mn关于矩阵线性运算是
特别的 一个线性空间(实矩阵空间）。
n 阶实方阵全体 M n 关于矩阵线性运算是一个线性
空间。
a11 a12 a1n b11 b12 b1n a a a b b b 21 22 2n 2n A , B 21 22 M mn , a a a b b b mn m1 m 2 mn m1 m 2
第三章 3.1
线性空间
线性空间的定义
3.2 线性空间基与维数
3.3 线性映射与线性变换
3.4 特征向量与矩阵的对角化
3.1 一
二
线性空间的定义 线性空间定义
线性空间例子
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（任意 m ( n ) 个 n 维向量必线性相关.） 推论3 两个线性无关的等价向量组必含相同个数
的向量.
§3.3 线性相关性
例2
判断向量组
1 (1, 2, 3), 2 (2,1, 0), 3 (1, 7, 9)
是否线性无关？若线性相关，求一组非零数
k 1 , k 2 , k 3 , 使 k 1 1 k 2 2 k 3 3 0.
相关，则向量组 1 , 2 , , s 也线性相关. 注：向量组 1 , 2 , , s 常称为向量组 1 , 2 , , s 的延伸组； 而 1 , 2 , , s 称为 1 , 2 , , s
的缩短组.
§3.3 线性相关性
8）向量组线性相关的基本性质定理 定理2 设 1 , 2 , , r 与 1 , 2 , , s 为两个 向量组，若 i) 向量组 1 , 2 , , r 可经 1 , 2 , , s 线性表出； ii) r s . 则向量组 1 , 2 , , r必线性相关.
证明： 1 , 2 , 3 线性无关.
证：设 x 1 1 x 2 2 x 3 3 0, 即
( x 1 x 3 ) 1 ( x 1 x 2 ) 2 ( x 2 x 3 ) 3 0
x1 x 3 0 由于 1 , 2 , 3 线性无关，于是有 x 1 x 2 0 x2 x3 0 解之得 x 1 x 2 x 3 0.
解： 设 k 1 1 k 2 2 k 3 3 0, 即有方程组
k1 2 k 2 k 3 0 2 k 1 k 2 7 k 3 0 , 解之得 k 1 3 k 3 , k 为任意数 3 k2 k3 3 k1 9 k 3 0
的一个线性组合． 事实上，有对任意 ( a 1 , a 2 , , a n ) , 皆有
a 1 1 a 2 2 a n n .
1 , 2 , , n也称为 n 维单位向量组．
§3.3 线性相关性
例1
判断向量 能否由向量组 1 , 2 , 3 线性表出.
1）向量组 1 , 2 线性相关 1 , 2 成比例.
2）任意一个含零向量的向量组必线性相关.
§3.3 线性相关性
定义1'：向量组 1 , 2 , , s ( s 1) 称为线性相关 线性相关的, 如果存在 P 上不全为零的数 k 1 , k 2 , , k s 使
（3）
中，方程的个数 s ＜未知量的个数 r ， 所以（3）有非零解. 从而有不全为零的数 x 1 , x 2 , , x r ，使
x 1 1 x 2 2 x r r 0
所以 1 , 2 , , r线性相关。
§3.3 线性相关性
推论1 若向量组 1 , 2 , , r 可经向量组 1 , 2 , , s 线性表出，且 1 , 2 , , r 线线性无关，则 r s . 推论2 任意 n＋1 个 n 维向量必线性相关.
§3.3 线性相关性
特别地，对于n 个 n 维向量
i ( a i 1 , a i 2 , , a in ), i 1, 2, , n
a 11 a 21 行列式 a n1 a 11 a 21 行列式 a n1 a 12 a 22 an2 a 12 a 22 an2 a1 n a2n 0 1 , 2 , , n 线性相关； a nn a1 n a2n 0 1 , 2 , , n 线性无关. a nn
§3.3 线性相关性
2、线性无关
定义2：若向量组 1 , 2 , , s 不线性相关，则称
向量组 1 , 2 , , s 为线性无关的. 即
若不存在 P 中不全为零的数 k 1 , k 2 , , k s P ，使
k 1 1 k 2 2 k s s 0
所以方程组(1)有解．它的一般解为
2 1 k1 3 k 3 3 1 k2 k3 1 3 令 k 3 1, 得(1)的一个解 (1, 0,1) ， 从而有 1 3
§3.3 线性相关性
二、向量组的等价
1、定义
若向量组 1 , 2 , , s 中每一个向量 i ( i 1, 2, , s ) 皆可经向量组 1 , 2 , , t 线性表出，则称向量组
一、线性组合
二、向量组的等价
三、线性相关性 四、极大线性无关组
一、线性组合
定义 设
和
1 , 2 , , s P n , k 1 , k 2 , , k s P
k 1 1 k 2 2 k s s
称为向量组 1 , 2 , , s 的一个线性组合. 若向量 可表成向量组 1 , 2 , , s 的一个线性组 合，则称向量 可由向量组 1 , 2 , , s 线性表出.
§3.3 线性相关性
（1）
对方程组(1)的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵
1 2 A 3 1 5 1 5 3 12 6 11 3 1 2 1 0 0 3 0 4 5 3 0 0 1 1 0 0 2 1 0 2 1 3 3 1 1 0 1 3 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
则称向量组 1 , 2 , , s 为线性无关的.
§3.3 线性相关性
换句话说， 对于一个向量组 1 , 2 , , s , 若由
k 1 1 k 2 2 k s s 0
必有
k 1 k 2 k s 0,
则称向量组 1 , 2 , , s 为线性无关的.
注：1) 若 k ，也称向量 与 成比例.
§3.3 线性相关性
2）零向量0可由任一向量组的线性表出. 3）一向量组中每一向量都可由该向量组线性表出. 4）任一 n 维向量 ( a 1 , a 2 , , a n ) 都是向量组
1 (1, 0, , 0), 2 (0,1, , 0), , n (0, 0, ,1)
a 11 x 1 a 21 x 2 a s 1 x s 0 a 12 x 1 a 22 x 2 a s 2 x s 0 a x a x a x 0 2n 2 sn s 1n 1
（2）
只有零解； 向量组 i ( a i 1 , a i 2 , , a in ), i 1, 2, , s , 线性相关 的充要条件是齐次线性方程组(2)有非零解.
量组也线性相关；
一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组
都线性无关. 5）如果向量组 1 , 2 , , s 线性无关，而向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，则 可经向量组
1 , 2 , , s 线性表出.(习题3)
§3.3 线性相关性
6）向量组 i ( a i 1 , a i 2 , , a in ), i 1, 2, , s 线性无关的充要条件是齐次线性方程组
k 1 1 k 2 2 k s s 0.
注：在 s 2 时，定义1与定义1'是等价的. 例2
(1) (2)
判断下列向量组是否线性相关.
1 (1, 2, 3), 2 (2, 4, 6), 3 (3, 5, 4)
1 (1, 0, 0), 2 (1,1, 0), 3 (1,1,1)
§3.3 线性相关性
7）若向量组 i ( a i 1 , a i 2 , , a in ), i 1, 2, , s
线性无关，则向量组
i ( a i 1 , a i 2 , , a in , a i , n 1 ),
i 1, 2, , s
也线性无关 .
反之，若向量组 1 , 2 , , s 线性
i 1
r
j 1, 2, , s
§3.3 线性相关性
则也使
x 1 1 x 2 2 x r r 0.
t 11 x 1 t 12 x 2 t 1 r x r 0 t 21 x 1 t 22 x 2 t 2 r x r 0 在方程组 t x t x t x 0 s2 2 sr r s1 1
§3.3 线性相关性
3、线性相关性的有关性质
1）单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量； 单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量.
2）一个向量组中若有一向量为零向量，则该向量 组一定线性相关. 3）一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一 个向量可由其余向量线性表出.
§3.3 线性相关性
4）一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向
若能，写出它的一个线性组合．
(2, 1, 3, 4)
1 (1, 2, 3,1), 2 (5, 5,12,11), 3 (1, 3, 6, 3)
解：设 k 1 1 k 2 2 k 3 3，即有方程组
k1 5 k 2 k 3 2 2 k1 5 k 2 3 k 3 1 3 k 12 k 6 k 3 1 2 3 k 1 11 k 2 3 k 3 4
1 , 2 , , s 可以经向量组 , , , 线性表出； 1 2 t
若两个向量组可以互相线性表出，则称这两个 向量组等价.
§3.3 线性相关性
2、性质
向量组之间的等价关系具有：
1) 反身性 2) 对称性 3) 传递性