高三数学下学期第二次检测试题 文
四川省眉山市2023届高三下学期第二次诊断性考试 数学(理) PDF版含答案
数!学理工类
注意事项 !*答 卷 前 考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名 座 位 号 和 准 考 证 号 填 写 在 答 题 卡 上 #*回答选择题时选出 每 小 题 答 案 后用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号
!!"通过计算判 断#有 没 有 <<> 的 把 握 认 为 客 户 对 该 产 品 的 评 价 结 果 与 性 别 有 关系,
!#"该 商 店 在 春 节 期 间 开 展 促 销 活 动 #该 产 品 共 有 如 下 两 个 销 售 方 案 ! 方 案 一 &按 原 价 的 & 折 销 售 + 方案二&顾客购买该 产 品 时#可 在 一 个 装 有 3 张 )每 满 #$$ 元 少 &$ 元*#" 张 )每 满#$$ 元 少3$ 元 *共!$ 张 优 惠 券 的 不 透 明 箱 子 中 #随 机 抽 取! 张 #购 买 时 按照所抽取的优惠券进行优惠! 已知该产品原价 为 #"$!元-件"!顾 客 甲 若 想 采 用 方 案 二 的 方 式 购 买 一 件 产 品 #估 计 顾 客 甲 需 支 付 的 金 额 +你 认 为 顾 客 甲 选 择 哪 种 购 买 方 案 较 为 合 理 ,
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四川遂宁市高中2021届高三下学期第二次诊断性考试数学文试题word版含答案
四川遂宁市高中2021届高三下学期其次次诊断性考试数学文试题一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）（2021•遂宁模拟）已知集合A=，B={x|（x+3）（2x﹣1）≤0}，则A∩B=（）A．B．C．，∵A=，∴A∩B=，故选：B．【点评】：此题考查了交集及其运算，娴熟把握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2021•遂宁模拟）在某校的一次英语听力测试中用以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的听力成果（单位：分）已知甲组数据的众数为15，乙组数据的中位数为17，则x、y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，7 D．8，7【考点】：茎叶图．【专题】：概率与统计．【分析】：依据茎叶图与题意，求出x、y的值，即可．【解析】：解：依据茎叶图知，甲组数据是9，15，10+x，21，27；∵它的众数为l5，∴x=5；同理，依据茎叶图知乙组数据是9，13，10+y，18，27，∵它的中位数为17，∴y=7．故x、y的值分别为：5，7．【点评】：本题考查茎叶图的应用问题，解题时利用茎叶图供应的数据，求出x、y的值，即可解答问题，是基础题．3．（5分）（2021•遂宁模拟）已知复数z满足：zi=2+i（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．2i B．﹣2i C． 2 D．﹣2【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解析】：解：由zi=2+i ，得，∴z的虚部是﹣2．故选：D．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．（5分）（2021•遂宁模拟）为了得到函数y=sin3x的图象，可以将函数y=sin3x+cos3x的图象（）A．向右平移个单位长B．向右平移个单位长C．向左平移个单位长D．向左平移个单位长【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的正弦函数．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则推断选项即可．【解析】：解：函数y=sin3x+cos3x=sin（3x+），故只需将函数y=sin（3x+）的图象向右平移个单位，得到y=sin=sin3x的图象．故选：A．【点评】：本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本学问的考查．5．（5分）（2021•遂宁模拟）设a、b是实数，则“a＞b＞0”是“a2＞b2”的（）A．充分必要条件B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的推断．【专题】：简易规律．【分析】：依据充分条件和必要条件的定义进行推断即可．【解析】：解：若a＞b＞0，则a2＞b2成立，若a=﹣2，b=1，满足a2＞b2，但a＞b＞0不成立，故“a＞b＞0”是“a2＞b2”的充分不必要条件，故选：C【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的推断，依据不等式的关系是解决本题的关键．6．（5分）（2021•遂宁模拟）已知向量，若，则实数λ=（）A． 1 B．﹣1 C． 2 D．﹣2【考点】：平面对量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】：平面对量及应用．【分析】：由于，可得．于是=0，解得λ即可．【解析】：解：∵，∴．∴=λ（λ+2）+1=0，解得λ=﹣1．故选：B．【点评】：本题考查了向量的平行四边形法则、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．7．（5分）（2021•遂宁模拟）在区间上随机选取一个数M，不变执行如图所示的程序框图，且输入x的值为1，然后输出n的值为N，则M≤N﹣2的概率为（）A．B．C．D．【考点】：几何概型；程序框图．【专题】：计算题；概率与统计；算法和程序框图．【分析】：计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足推断框的条件，退出循环，输出结果N，再以长度为测度求概率即可．【解析】：解：循环前输入的x的值为1，第1次循环，x2﹣4x+3=0≤0，满足推断框条件，x=2，n=1，x2﹣4x+3=﹣1≤0，满足推断框条件，x=3，n=2，x2﹣4x+3=0≤0满足推断框条件，x=4，n=3，x2﹣4x+3=3＞0，不满足推断框条件，输出n：N=3．在区间上随机选取一个数M，长度为5，M≤1，长度为3，所以所求概率为，故选：C【点评】：本题考查循环结构的应用，留意循环的结果的计算，考查计算力量，考查概率的计算，确定N的值是关键．8．（5分）（2021•遂宁模拟）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．4+2B．2+C．2+2D．4+【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，画出几何体的直观图，求出各个面的面积，可得答案．【解析】：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，该几何体的直观图如下图所示：由三视图可得：CD=AD=1，SD=BD=2，SD⊥底面ABC，故S△ABC=S△ASC=2，由勾股定理可得：SA=SC=AB=AC=，SB=2，故△SAB和△SBC均是以2为底，以为高的等腰三角形，故S△SAB=S△SBC =，故该几何体的表面积为4+2，故选：A【点评】：本题考查的学问点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的外形．9．（5分）（2021•遂宁模拟）过抛物线y2=2px的焦点F作直线交抛物线于M，N两点，弦MN的垂直平分线交x 轴于点H，若|MN|=40，则|HF|=（）A．14 B．16 C．18 D．20【考点】：抛物线的简洁性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：先求MN的垂直平分线，求出MN的垂直平分线交x轴于H的坐标，进而求得|HF|=|MN|，即可得出结论．【解析】：解：设M（x1，y1），N（x2，y2），弦MN的中点为M′（x0，y0），则∴MN的垂直平分线为y﹣y0=﹣（x﹣x0）令y=0，则x H=x0+p∴|HF|=x0+∵|MN|=x1+x2+p=2x0+p∴|HF|=|MN|=20，故选：D．【点评】：本题以抛物线方程为载体，考查抛物线的性质，考查同学的计算力量，比较基础．10．（5分）（2021•遂宁模拟）函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足：（1）f（x）在D上为单调函数；（2）存在区间⊆D，使得f（x）在上的值域为，则称函数f（x）为“取半函数”．若f（x）=log c（c x+t）（c＞0，且c≠1）为“取半函数”，则t的取值范围是（）A．（﹣，）B．（0，）C．（0，）D．（，1）【考点】：对数函数的图像与性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：依据复合函数的单调性，先推断函数f（x）的单调性，然后依据条件建立方程组，转化为一元二次方程根的存在问题即可得到结论．【解析】：解：若c＞1，则函数y=c x+t为增函数，y=log c x，为增函数，∴函数f（x）=log c（c x+t）为增函数，若0＜c＜1，则函数y=c x+t为减函数，y=log c x，为减函数，∴函数f（x）=log c（c x+t）为增函数，综上：函数f（x）=log c（c x+t）为增函数，若函数f（x）=log c（c x+t）（c＞0，c≠1）是函数f（x）为“取半函数”．，所以a，b是方程log c（c x+t）=，两个不等实根，即a，b是方程c x +t=c两个不等实根，化简得出：c x+t=0，可以转化为：m2﹣m+t=0有2个不等正数根．所以求解得出：0故选：B．【点评】：本题主要考查与指数函数和对数函数有关的信息题，推断函数的单调性是解决本题的关键，综合性较强，有肯定的难度．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填答题卷指定横线上）11．（5分）（2021•遂宁模拟）圆心在原点且与直线y=2﹣x 相切的圆的方程为x2+y2=2．【考点】：圆的切线方程．【专题】：计算题；直线与圆．【分析】：可求圆的圆心到直线的距离，就是半径，写出圆的方程．【解析】：解：圆心到直线的距离：r==，所求圆的方程为x2+y2=2．故答案为：x2+y2=2．【点评】：本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是基础题．12．（5分）（2021•遂宁模拟）已知偶函数f（x）在=；（2）f（x）=2sinx+cos2x=2sinx+1﹣2sin2x=，x∈R．则：sinx∈，当sinx=时，函数f（x）的最大值为．【点评】：本题考查的学问要点：利用三角函数的关系式求函数的值，三角函数关系式的恒等变换，复合函数的最值问题．属于基础题型．17．（12分）（2021•遂宁模拟）某学校有男老师45名，女老师15名，依据分层抽样的方法组建了一个4人的学科攻关小组．（1）求某老师被抽到的概率及学科攻关小组中男、女老师的人数；（2）经过一个月的学习、争辩，这个学科攻关小组打算选出2名老师做某项试验，方法是先从小组里选出1名老师做试验，该老师做完后，再从小组内剩下的老师中选1名做试验，求选出的2名老师中恰有1名女老师的概率．【考点】：列举法计算基本大事数及大事发生的概率；分层抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：（1）依据分层抽样的按比例抽取的方法，男女老师抽取的比例是45：15，4人中的男女抽取比例也是45：15，从而解决；（2）先算出选出的2名老师的基本大事数，有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a 1，b），（a2，b），（a3，b），共6种；再算出恰有1名女老师大事大事数，两者比值即为所求概率．【解析】：解：（1）由题意知，该校共有老师60名，故某老师被抽到的概率为=．设该学科攻关小组中男老师的人数为x，则，解得x=3，所以该学科攻关小组中男、女老师的人数分别为3，1．（2）由（1）知，该3名男老师和1名女老师分别记为a1，a2，a3，b，则选取2名老师的基本大事有：（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b），（a2，b），（a3，b），共6种，其中恰有1名女老师的基本大事有3种，所以选出的2名老师中恰有1名女老师的概率为P==．【点评】：本题主要考查分层抽样方法、概率的求法，是一道简洁的综合性的题目，解答的关键是正确理解抽样方法及样本估量的方法，属基础题．18．（12分）（2021•遂宁模拟）如图，ABCD为梯形，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2a，DA=a，PD=a，E为BC中点（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PDE；（Ⅱ）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由．【考点】：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（Ⅰ）连结BD，由已知得BC⊥DE，BC⊥PD，从而BC⊥平面PDE，由此能证明平面PBC⊥平面PDE．（Ⅱ）连结AC，BD交于O点，AB∥CD，从而△AOB∽△COD，AB=DC，进而△CPA中，AO=AC，由PF=，得OF∥PA，由此得到当点F位于PC三分之一分点（靠近P点）时，PA∥平面BDF．【解析】：（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结BD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=a，DA=，所以BD=DC=2a，E为BC中点，所以BC⊥DE，…（3分）又由于PD⊥平面ABCD，所以BC⊥PD，由于DE∩PD=D，…（4分），所以BC⊥平面PDE，…（5分）由于BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDE．…（6分）（Ⅱ）解：当点F位于PC三分之一分点（靠近P点）时，PA∥平面BDF，…（7分）连结AC，BD交于O点，AB∥CD，所以△AOB∽△COD，AB=DC，所以△CPA中，AO=AC，…（10分）而PF=，所以OF∥PA，…（11分）而OF⊂平面BDF，PA⊄平面BDF，所以PA∥平面BDF．…（12分）【点评】：本题考查面面垂直的证明，考查线面平行时点的位置的确定与证明，考查同学的空间想象力量、规律推理力量和运算求解力量，是中档题．19．（12分）（2021•遂宁模拟）已知数列{a n}为等差数列，其中a1=1，a7=13（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n =，T n为数列{b n}的前n项和，当不等式λT n＜n+8（n∈N*）恒成立时，求实数λ的取值范围．【考点】：数列的求和；等差数列的性质．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）由题意和等差数列的通项公式求出公差，代入等差数列的通项公式化简求出a n；（2）由（1）化简b n =，利用裂项相消法求出T n，代入不等式λT n＜n+8分别出λ，利用基本不等式求出式子的最小值，再由对于n∈N*恒成立求出实数λ的取值范围．【解析】：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=1，a7=13，∴a1+6d=13，解得d=2，所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1…（5分）（2）由（1）得，b n ==（），∴T n==（1﹣）=…（8分）要使不等式λT n＜n+8（n∈N*）恒成立，只需不等式=+17恒成马上可…（10分）∵，当且仅当时，即n=2取等号，∴λ＜25…（12分）【点评】：本题考查等差数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，以及利用基本不等式求最值，属于中档题．20．（13分）（2021•遂宁模拟）已知定点A（﹣2，0），F（1，0），定直线l：x=4，动点P与点F的距离是它到直线l的距离的．设点P的轨迹为C，过点F的直线交C于D、E两点，直线AD、AE与直线l分别相交于M、N 两点．（1）求C的方程；（2）试推断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（1）设P（x，y）为E 上任意一点，依题意有=，化简即可得出；（2）设DE的方程为x=ty+1，与椭圆方程联立化为（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，设D（x1，y1），E（x2，y2），由A（﹣2，0），可得直线AD的方程为y=，点M，同理可得N．利用根与系数的关系只要证明=0即可．【解析】：解：（1）设P（x，y）为E 上任意一点，依题意有=，化为．（2）设DE的方程为x=ty+1，联立，化为（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，设D（x1，y1），E（x2，y2），则，t1t2=．由A（﹣2，0），可得直线AD的方程为y=，点M，同理可得N．∴======9﹣9=0．∴以线段MN为直径的圆恒过定点F．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、向量垂直与数量积的关系、圆的性质、两点之间的距离公式，考查了推理力量与计算力量，属于难题．21．（14分）（2021•遂宁模拟）已知函数f（x）=（x+1）ln（x+1），g（x）=kxe x（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），g′（x）为g（x）的导函数，且g′（0）=1，（1）求k的值；（2）对任意x＞0，证明：f（x）＜g（x）；（3）若对全部的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．【考点】：导数的运算；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）先求导，再代入值计算即可；（2）构造函数G（x），依据函数的单调性，即可证明；（3）构造函数令h（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，求导，再分类争辩，即可求出a的取值范围．【解析】：解：（1）g'（x）=k（x+1）e x所以g'（0）=k=1…（3分）（2）证明：令G（x）=e x﹣x﹣1，G′（x）=e x﹣1，当x∈（0，+∞），G′（x）＞0，所以当x∈（0，+∞）时G（x）单调递增，从而有G（x）＞G（0）=0，x＞0；所以e x＞x+1＞0⇒x＞ln（x+1）＞0，∴xe x＞（x+1）ln（x+1），所以当x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）；…（8分）（3）令h（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，则h′（x）=1﹣a+ln（x+1），令h′（x）=0，解得x=e a﹣1﹣1，（i）当a≤1时，所以x=e a﹣1﹣1＜0，从而对全部x＞0，h′（x）＞0；h（x）在…（14分）【点评】：本题考查了导数和函数的单调性的关系以及参数的取值范围，属于中档题．。
2024学年四川省遂宁第二中学高三下学期第二次模拟考试数学试题理试卷
2024学年四川省遂宁第二中学高三下学期第二次模拟考试数学试题理试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设a=log 73，13b log 7=，c=30.7，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．b a c <<2．若a R ∈，则“3a =”是“()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则11m n+的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知等差数列{}n a 中，51077,0a a a =+=，则34a a +=（ ） A ．20B ．18C ．16D ．145．直线20(0)ax by ab ab ++=>与圆221x y +=的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切6．如图，点E 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）A ．在点F 的运动过程中，存在EF //BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值7．已知集合2{|23}A x y x x ==-++，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．AB A =B ．A B B ⋃=C ．()UA B =∅ D ．UB A ⊆8．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．159．如图，抛物线M ：28y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线M 交于A ，B 两点，若直线l 与以F 为圆心，线段OF （O 为坐标原点）长为半径的圆交于C ，D 两点，则关于AC BD ⋅值的说法正确的是（ ）A ．等于4B ．大于4C ．小于4D ．不确定10．数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n +1+a n +2为定值.若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=( ) A ．132 B ．299C ．68D ．9911．函数24y x =-A ，集合(){}2log 11B x x =+>，则A B =（ ）A ．{}12x x <≤B ．{}22x x -≤≤C ．{}23x x -<<D ．{}13x x <<12．将函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移8π个单位长度后，得到函数的图象关于直线3x π=对称，则函数()f x 在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（ ）A ．[1,2]-B ．[3,2]-C ．2,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[2,2]-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三下学期二诊数学(文)试题 含答案
（第6题图）2021年高三下学期二诊数学（文）试题 含答案数学（文） 试 题一.选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.为虚数单位，若，则（ ）A 、B 、C 、D 、2.在等差数列中，，，则（ ）A 、B 、C 、D 、 3.命题：“存在，使得”的否定为（ ）A 、存在，使得B 、存在，使得C 、对任意，都有D 、对任意，都有4.重庆巫山中学高三的某位学生的10次数学考试成绩的茎叶图如图所示，则该生数学成绩在内的概率为（ ）A 、B 、C 、D 、5.函数的值域为（ ）A 、B 、C 、D 、6.执行右图所示的程序框图，则输出的值为（A 、B 、C 、D 、7.某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为（A 、B 、C 、D 、 8. 双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．9.已知且，若函数过点，则的最小值为（ ）A 、B 、C 、D 、10. 设定义在R 上的函数是最小正周期为2π的偶函数，是的导函数．3 7 5 6 6 8 0 34 9 (第4题图) 4题图 第7题图 侧视图俯视图当x∈时，0＜＜1；当x∈（0，π）且时，＞0 ．则函数在上的零点个数为（）A．4 B．5 C．6 D．二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11.为了增强学生的环保意识，某数学兴趣小组对空气质量进行调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市的个数分别为、、．若用分层抽样的方法抽取个城市，则丙组中应抽取的城市数为．12. 已知，，设，的夹角为，则___________.13.观察等式：由以上几个等式的规律可猜想.14.函数()2sin(),(0,)22f x xππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示, 则 .15.已知圆的方程为，过直线：（）上的任意一点作圆的切线，若切线长的最小值为，则直线的斜率为__________.三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题满分13分）已知数列为等差数列，的前项和为，，.（1）求与；（2）若数列为等比数列，且，，求及数列的前项和.14题图17. 城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，重庆市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人， 将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：min ）：（Ⅰ）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（Ⅱ）若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自同一组的概率18.（本小题满分13分） 已知函数在点处的切线平行于轴. （1）求的值；（2）求的单调区间与极值.19.（本小题满分12分） 已知. （1）求的单调递增区间；（2）在中，角所对的边分别为，若，，，求边， 的长.20.（本小题满分12分） 如图，四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，. （1）求证：；（2）为中点，为中点，求四棱锥的体积.21.（本小题满分12分）已知椭圆（）过两点，为坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点且？若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABDACBDDAC11.3 12. 4/5 13.1007 14. 15. -3/417.解析：（1）候车时间少于10分钟的概率为，所以候车时间少于10分钟的人数为人．（2）将第三组乘客编号为，第四组乘客编号为．从6人中任选两人有包含以下基本事件：，， ，，，其中两人恰好来自不同组包含7个基本事件，所以，所求概率为． 18.解：（1）（）（2）由（1）知，（） 则的两根为 在上；在上.所以，的单调增区间为；单调减区间为. 在处取得极大值； 在处取得极小值.19.解：（1）22222,26233k x k k x k k Z πππππππππ∴-≤+≤+-≤≤+∈即 的单调增区间为.（2） 又311()3sin sin 6326f A A A ππ-==∴=<= 22420,0,cos sin 22sin cos 63A B A B A A A ππ∴<<<<====， 2723cos 1sin ,sin sin()927B BC A B ∴=-==+=， 则由正弦定理知：. 20.解：（1）,,PA ABCD BC ABCD PA BC ⊥⊂∴⊥面面连接,又2222BC AB AB AC BC BC AC ===+∴⊥，即，,,BC PAC PC PAC PC BC ∴⊥⊂∴⊥面又面.（2）由题可知3144EFCP PBC D EFCP PC BC S S V -====∴= 21.解：（1）将两点代入椭圆方程，解之得：，则椭圆的标准方程为：（2）存在这样的圆.（理由如下：）设圆的半径为，圆的方程为，圆的切线与椭圆的交点为：① 当圆的切线斜率存在时，设切线方程为：， 则圆心到直线的距离为又切线与椭圆相交于两点，则有，消去即可得： ，由韦达定理有：， 又，则2212121212(1)()x x y y k x x kb x x b +=++++2222222222222222(28)(1)4(21)2121213883(1)8(1)02121b k b k b k k k k b k r k k k k -++=-++++--+-+===++②当斜率不存在时，切线方程为，由可知综上所述，存在这样的圆，且圆的方程为.&j8. 33386 826A 艪< 40253 9D3D 鴽{€[(。
湖南省长沙市2024届高三下学期二模数学试题含答案
长沙市2024届高考适应性演练（二）数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}2log 1M x x =<，{}210N x x =-<，则M N = （）A ．{}2x x <B ．12x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭C ．{}02x x <<D ．102x x ⎧⎫<<⎨⎩⎭2．已知复数z 满足1z =，则34i z +-（i 为虚数单位）的最大值为（）A ．4B ．5C ．6D ．73．已知π5sin 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．45B ．45-C ．35D ．35-4．()422x x --的展开式中x 的系数是（）A ．8B ．8-C ．32D ．32-5．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:14C x y -+=，若直线:0l x y m ++=上有且只有一个点P 满足：过点P 作圆C 的两条切线,PM PN ，切点分别为,M N ，且使得四边形PMCN 为正方形，则正实数m 的值为（）A ．1B．C ．3D ．76．已知函数()22log log 28x xf x =⋅，若()()12f x f x =（其中12x x ≠），则1219x x +的最小值为（）A ．4B ．2C ．32D ．347．中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于2004年被国际足联正式确认为世界足球运动的起源．为弘扬中华传统文化，某市四所高中各自组建了蹴鞠队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率均为13，则在比赛结束时丙队在输了第一场且其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为（）A ．19B ．527C ．481D ．82438．在边长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是BC 的中点，点P 是侧面11ABB A 内的动点（含四条边），且tan 4tan APD EPB ∠=∠，则P 的轨迹长度为（）A ．π9B ．2π9C ．4π9D ．8π9二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．设函数()f x 的定义域为R ，()f x 为奇函数，()()11f x f x +=-，()31f =，则（）A ．()11f -=B ．()()4f x f x =+C ．()()4f x f x =-D ．()1811k f k ==-∑10．古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从A 点走向B 点，要先走完总路程的三分之一，再走完剩下路程的三分之一，如此下去，会产生无限个“剩下的路程”，因此他有无限个“剩下路程的三分之一”要走，这个人永远走不到终点，由于古代人们对无限认识的局限性，故芝诺得到了错误的结论．设AB S =，这个人走的第n 段距离为n a ，这个人走的前n 段距离总和为n S ，则（）A ．*n ∀∈N ，使得()123n n S S a +-=B ．*n ∀∈N ，使得123n n a a +=C ．*n ∀∈N ，使得213nn S S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．*n ∃∈N ，使得1nS S=11．过抛物线()2:20E x py p =>的焦点F 的直线l 交抛物线E 于,A B 两点（点A 在第一象限），M 为线段AB 的中点．若24AF BF ==，则下列说法正确的是（）A ．抛物线E 的准线方程为83y =-B ．过,A B 两点作抛物线的切线，两切线交于点N ，则点N 在以AB 为直径的圆上C ．若O 为坐标原点，则2OM =D ．若过点F 且与直线l 垂直的直线m 交抛物线于,C D 两点，则288AB CD ⋅=三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．二项式13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有二项式系数之和为64，则二项式的展开式中常数项为______．13．某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W （单位：克）与脉搏率f （单位：心跳次数/分钟）的对应数据()(),1,2,,8i i W f i =⋅⋅⋅，根据生物学常识和散点图得出f 与W 近似满足kf cW =（,c k 为参数）．令ln i i x W =，ln i i y f =，计算得8x =，5y =，821214ii y==∑．由最小二乘法得经验回归方程为ˆ7.4ˆbx y=+，则k 的值为______；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值()1,2,,ˆ8i y i =⋅⋅⋅，若残差平方和()8210.28iii y y =-≈∑，则决定系数2R ≈______．（参考公式：决定系数 ()()221211ni ii n ii y y R y y ==-=--∑∑）14．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长均为4，60ABC ∠=︒，以A为球心，与侧面11CDD C 的交线长为______．四、解答题（本题共5小题，共77分。
湖南省衡阳市2021届高三数学下学期第二次联考(二模)试题 文
湖南省衡阳市2021届高三数学下学期第二次联考（二模）试题文注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x2－x－6<0}，则A∩B＝A.{－1，0，1，2}B.{－1，0，1}C.{0，1，2}D.{－1，1}2.已知复数z满足(i－1)z＝－i(i为虚数单位)，则|z|＝A.2B.－22C.22D.13.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信经济融合、文化包容的命运共同体，自202X 年以来，“一带一路”建设成果显著。
右图是202X－2021年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．的是A.这五年，出口增速前四年逐年下降B.这五年，202X年出口额最少C.这五年，2021年进口增速最快D.这五年，出口额总和比进口额总和大4.下列命题中的真命题是A. x∈N，x2≥1B.命题“∃a ，b ∈R ，2b aa b+>”的否定 C.“直线l 1与直线l 2垂直”的充要条件是“它们的斜率之积一定等于－1”D.“m>－1”是“方程22121x y m m -=+-表示双曲线”的充分不必要条件 5.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y(单位：kw ·h)与气温x(单位：℃)之间的关系，随机选取4天的用电量与当天气温，并制作了如下对照表：若由表中数据求得线性回归方程为：260y x =-+，则a 的值为 A.64 B.62 C.60 D.586.函数(x)＝2|1|x x e -的大致图象是7.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 边的中点，F 为CD 边上一点，若2AF AE AE ⋅=，则|AF |＝A.3B.5C.32 D.528.设函数f(x)＝2,(1)1,(1)x a x x x -⎧≤⎪⎨+>⎪⎩，若f(1)是f(x)的最小值，则实数a 的取值范围为A.[0，2]B.(1，2]C.[1，2]D.[1，＋∞)9.设a ＝ln 12，b ＝125--，c ＝13log 2，则A.c<b<aB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a10.2021年4月，国内新冠疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光，某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如下表：两个旅游团计划游览该景点，若分别购票，则共需支付门票费1290元，若合并成一个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差的绝对值为A.20B.30C.35D.4011.已知函数f(x)＝sin2x，将y＝f(x)的图象向左平移6π得到y＝g(x)的图象，则下列关于函数h(x)＝f(x)＋g(x)的结论中错误．．的是A.函数h(x)的最小正周期为πB.函数h(x)的图象关于直线x＝23π对称C.函数h(x)的单调增区间为[kπ－6π，kπ＋3π](k∈Z) D.函数h(x)不是奇函数12.已知双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的一条渐近线方程为x－2y＝0，A，B是C上关于原点对称的两点，M是C上异于A，B的动点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，若1≤k1≤2，则k2的取值范围为A[18，14] B.[14，12] C.[－14，－18] D.[－12，－14]第II卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
四川省雅安市2024届高三下学期二诊数学(理)试题(含答案与解析)_5757
雅安市高2024届第二次诊断性考试数学（理科）本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数13ii 1i z +=--，则z =（ ）A.B.C. 2D.2. 某公司收集了某商品销售收入y （万元）与相应的广告支出x （万元）共10组数据(),i i x y （1,2,3,,10i = ），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合.若将图中10个点中去掉A 点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ） A. 决定系数2R 变小 B. 残差平方和变小C. 相关系数r 的值变小D. 解释变量x 与预报变量y 相关性变弱3. 522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为（ ）A. 80B. 40C. 10D. 40-4. 已知数列{}n a 满足12a =，111n n n a a a +-=+（*n ∈N ），则2024a =（ ）A. 3-B. 12-C.13 D. 2 5. 已知D ，E 分别为ABC 的边AB ，AC 的中点，若()3,4DE =，()2,3B --，则点C 的坐标为（ ） A. ()4,5B. ()1,1C. ()5,7--D. ()8,11--6. 已知平面区域40,Ω20,0,x y x y x +-≤⎧⎪=--≤⎨⎪≥⎩圆C ：()()221x a y b -+-=，若圆心C ∈Ω，且圆C 与y 轴相切，则a b +的最大值为（ ） A. 10B. 4C. 2D. 07. 某校甲、乙、丙、丁4个小组到A ，B ，C 这3个劳动实践基地参加实践活动，每个小组选择一个基地，则每个基地至少有1个小组的概率为（ ） A.29B.13C.49D.898. 已知函数()cos 2sin 2f x x x =+，则下列说法中，正确的是（ ） A. ()f x 的最小值为1- B. ()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C. ()f x 的图象关于点π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称 D. ()f x 的图象可由()2g x x =的图象向右平移8π个单位得到9. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，EF 是BCD △的中位线，AC 与EF 交于点G ，已知PEF !是CEF △绕EF 旋转过程中的一个图形，且P ABCD ∉平面．给出下列结论：①//BD 平面PEF ； ②平面PAC ⊥平面ABCD ；③二面角P EF C --的平面角是直线OP 与平面ABCD 所成角的2倍．其中所有正确结论序号为（ ） A. ①②③B. ①②C. ①③D. ②③10. 已知函数()()1e xf x ax =+，给出下列4个图象：其中，可以作为函数()f x 的大致图象的个数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 411. 已知1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线与圆2221()2x c y c -+=相切，与C 在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则C 的离心率为（ ）A. 3B.C. 2D.12. 已知a ，b ，c 均为正数，且2212log (1)a a a =-+，211(2b b b -=-，11e 2c c c c -=+，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. b<c<a B. b a c << C. c<a<bD. c b a <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，{}2,4,6,8A =，{}3,4,5,6B =，则()U A B ⋃=ð______． 14. 已知e ()x x f x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为______． 15. 已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合*{|cos ,}n S x x a n ==∈N 有且仅有两个元素，则这两个元素的积为______．16. 一个圆锥的顶点和底面圆都在半径为2的球体表面上，当圆锥的体积最大时，其侧面积为______．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 某校在课外活动期间设置了文化艺术类活动和体育锻炼类活动，为了解学生对这两类活动的参与情况，统计了如下数据：的文化艺术类体育锻炼类合计 男 100 300 400 女 50 100 150 合计150400550（1）通过计算判断，有没有90%的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关系？（2）“投壶”是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，也是一种礼仪．该校文化艺术类课外活动中，设置了一项“投壶”活动．已知甲、乙两人参加投壶活动，投中1只得1分，未投中不得分，据以往数据，甲每只投中的概率为13，乙每只投中的概率为12，若甲、乙两人各投2只，记两人所得分数之和为ξ，求ξ的分布列和数学期望．附表及公式：()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0k2.07227063.841 5.0246635其中22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．18. 如图，在三棱锥-P ABC 中，M 为AC 边上一点，90APC PMA ∠=∠=︒，cosCAB ∠=2AB PC ==PA =．（1）证明：平面PBM ⊥平面ABC ；..的（2）若直线PA 与平面ABC 所成角P AC B --为锐二面角，求二面角B AP C --的正弦值．19. 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且tan tan B C +=．（1）求角C ；（2）若CD 是ACB ∠的角平分线，CD =，ABC的面积为，求c 的值．20. 在直角坐标系xOy 中，设F 为抛物线C ：()220y px p =>的焦点，M 为C 上位于第一象限内一点．当0MF OF ⋅=时，OFM △的面积为1．（1）求C 的方程；（2）当3MF OF ⋅=-时，如果直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，直线MA ，MB 的斜率满足2⋅=-MA MB k k ，试探究点M 到直线l 的距离的最大值.21. 已知函数()e 2xf x ax =--．（1）若()f x 在区间()0,1存在极值，求a 的取值范围；（2）若()0,x ∈+∞，()sin cos f x x x x >--，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭. （1）求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C 与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由. [选修4—5：不等式选讲]（10分）23. 已知a ，b ，c 均为正数，且3a b c ++=.的（1）是否存在a ，b ，c ，使得()190,5a b c+∈+，说明理由； （26.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数13ii 1i z +=--，则z =（ ）A.B.C. 2D.【答案】D 【解析】【分析】由复数的运算结合模长公式计算即可. 【详解】因为()()()()13i 1i 13ii=i=1i 1i 1i 1i z +++=---+--+，所以z =，故选：D.2. 某公司收集了某商品销售收入y （万元）与相应的广告支出x （万元）共10组数据(),i i x y （1,2,3,,10i = ），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合.若将图中10个点中去掉A 点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确是（ ） A. 决定系数2R 变小 B. 残差平方和变小C. 相关系数r 的值变小D. 解释变量x 与预报变量y 相关性变弱【答案】B的【解析】【分析】从图中分析得到去掉A 点后，回归效果更好，再由决定系数，残差平方和，相关系数和相关性的概念和性质作出判断.【详解】从图中可以看出A 点较其他点，偏离直线远，故去掉A 点后，回归效果更好， 故决定系数2R 会变大，更接近于1，残差平方和变小，相关系数r 的绝对值，即r 会更接近于1，由图可得x 与y 正相关，故r 会更接近于1， 即相关系数r 的值变大，解释变量x 与预报变量y 相关性变强， 故A 、C 、D 错误，B 正确. 故选：B .3. 522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为（ ） A. 80 B. 40C. 10D. 40-【答案】B 【解析】【分析】根据题意，求得二项展开式的通项公式，结合通项确定r 的值，代入即可求解.【详解】由二项式522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为251031552C ()((2)C r r r r r rr T x x x --+=-=-⋅，令1034r -=，可得2r =，所以展开式中4x 的系数为225(2)C 40-⋅=. 故选：B.4. 已知数列{}n a 满足12a =，111n n n a a a +-=+（*n ∈N ），则2024a =（ ） A. 3- B. 12-C.13D. 2【答案】A 【解析】【分析】列举出数列的前几项，即可找到规律，从而得解. 【详解】因为12a =，111n n n a a a +-=+，所以1211113a a a -==+，2321112a a a -==-+， 343131a a a -==-+，454121a a a -==+， ，又20244506=⨯，所以202443a a ==- 故选：A5. 已知D ，E 分别为ABC 的边AB ，AC 的中点，若()3,4DE =，()2,3B --，则点C 的坐标为（ ） A. ()4,5 B. ()1,1C. ()5,7--D. ()8,11--【答案】A 【解析】【分析】根据向量的数乘运算，向量坐标与终点、始点的关系可解. 【详解】因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以()26,8BC DE ==，设(),C x y ，又()2,3B --，所以()()2,36,8x y ++=即2638x y +=⎧⎨+=⎩，解得45x y ⎧⎨⎩==.故选：A6. 已知平面区域40,Ω20,0,x y x y x +-≤⎧⎪=--≤⎨⎪≥⎩圆C ：()()221x a y b -+-=，若圆心C ∈Ω，且圆C 与y 轴相切，则a b +的最大值为（ ） A. 10 B. 4C. 2D. 0【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用圆C 与y 轴相切，得到(),C a b 在直线1x =上运动，此时利用数形结合确定b 的取值即可得到结论 【详解】作出如图所示的可行域（阴影部分），由于圆C 与y 轴相切，C ∈Ω，所以1a =，故(),C a b 在直线1x =上运动，联立140x x y =⎧⎨+-=⎩得13x y =⎧⎨=⎩，即(1,3)A ，1a b b +=+，故当b 最大时，a b +最大，故当圆心在(1,3)A 时，此时b 最大时为3，故a b +的最大值为4， 故选：B7. 某校甲、乙、丙、丁4个小组到A ，B ，C 这3个劳动实践基地参加实践活动，每个小组选择一个基地，则每个基地至少有1个小组的概率为（ ） A.29B.13C.49D.89【答案】C 【解析】【分析】根据分组分配以及分步乘法技术原理即可求解个数,由古典概型概率公式求解即可. 【详解】每个小组选择一个基地，所有的选择情况有4381=种， 每个基地至少有1个小组的情况有212432C C A 36=, 故概率为364819=， 故选：C8. 已知函数()cos 2sin 2f x x x =+，则下列说法中，正确的是（ ）A. ()f x 的最小值为1-B. ()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C. ()f x 的图象关于点π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称D. ()f x 的图象可由()2g x x =的图象向右平移8π个单位得到【答案】D 【解析】【分析】根据辅助角公式得()π)4f x x =+，即可根据三角函数的性质求解ABC ，根据函数平移，以及诱导公式可判断D.【详解】()πcos 2sin 2)4f x x x x =+=+，()f x的最小值为,故A 错误，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ3πππ2,,44422x ⎡⎤⎡⎤+∈-⊄-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以函数()f x 在ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不单调，故B 错误；πππ)884f =⎛⎫⎝⨯+⎪⎭= ，故()f x 的图象关于π8x =对称，C 错误，将函数()2g x x =的图象向右平移π8个单位得()πππππ())2284244g x x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确．故选：D ．9. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，EF 是BCD △的中位线，AC 与EF 交于点G ，已知PEF !是CEF △绕EF 旋转过程中的一个图形，且P ABCD ∉平面．给出下列结论：①//BD 平面PEF ； ②平面PAC ⊥平面ABCD ；③二面角P EF C --的平面角是直线OP 与平面ABCD 所成角的2倍．其中所有正确结论的序号为（ ） A. ①②③ B. ①②C. ①③D. ②③【答案】A 【解析】【分析】借助线面平行的判定定理，面面垂直的判定定理与二面角及线面角的定义逐项判断即可得. 【详解】对①，由EF 是BCD △的中位线，故//EF DB ，又EF ⊂平面PEF ，DB ⊄平面PEF ，故//BD 平面PEF ，故①正确；对②，连接PA 、PC 、PG ，菱形ABCD 中，AC BD ⊥，即CG EF ⊥， 由折叠的性质可知，PG EF ⊥，即PG BD ⊥，又AC 、PG ⊂平面PAC ，AC PG G ⋂=，故BD ⊥平面PAC ， 又BD ⊂平面ABCD ，故平面PAC ⊥平面ABCD ，故②正确； 对③，连接PO ，由EF 是BCD △的中位线，故G 为OC 中点，故PG GC GO ==，即POG GPO ∠=∠，2PGC GPO GOP GOP ∠=∠+∠=∠， 由CG EF ⊥，PG EF ⊥，故PGC ∠为二面角P EF C --的平面角， 由平面PAC ⊥平面ABCD ，故点P 在平面ABCD 的投影必在线段OC 上， 故GOP ∠为直线OP 与平面ABCD 所成角，故③正确.故选：A.10. 已知函数()()1e xf x ax =+，给出下列4个图象：其中，可以作为函数()f x 的大致图象的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】【分析】对a 情况进行分类讨论，借助于导数对函数的单调性进行分析即可判断函数的大致图象. 【详解】由题意知，()f x 定义域为R ，当0a =时，()e xf x =，由指数函数的单调性可知函数()f x 单调递增，可对应①；当0a >时，()()1e xf x ax a =++'，令()0f x '=可得：10a x a +=-<，所以当1,a x a ∞+⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1,a x a ∞+⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以，函数()f x 先减后增，且当1x a <-时，()0f x <，此时可对应②；当a<0时，()()1e xf x ax a =++'，当()0f x '=时1a x a +=-，当1,a x a ∞+⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当1,a x a ∞+⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以，函数()f x 先增后减，当1a <-时，10a x a+=-<，且此时101a <-<，所以可对应③，当10a -<<时，10a x a+=->，此时11a ->，所以可对应④. 故选：D.11. 已知1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线与圆2221()2x c y c -+=相切，与C 在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则C 的离心率为（ ）A. 3B.C. 2D.【答案】D 【解析】【分析】根据圆的性质得到垂直关系求得1F N ，结合直角三角形中正切的定义得到关于,,a b c 的齐次式即可得解.【详解】设圆心为M ，直线与圆相切于点N ，的则113,,22NM c F M c c c ==+=故1F N =， 由于2PF x ⊥，所以P x c =，故222221P P b ay c y a b -=⇒=，因此在12Rt PFF △，由221212tan 2b PF a PF F F F c∠===240ac -=2224040ac e e --=⇒-=⇒=故选：D12. 已知a ，b ，c 均为正数，且2212log (1)a a a =-+，211(2b b b -=-，11e 2c c c c -=+，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. b<c<a B. b a c << C. c<a<b D. c b a <<【答案】A 【解析】【分析】可将所给式子变形成21log (1)2a a a -=+、1142b b b --=、111e 2ec c cc c c ---==⋅，则可构造相应函数研究其交点横坐标，借助函数单调性画出图象即可得.【详解】由2212log (1)a a a =-+，可得21log (1)2a a a-=+， 由211()42b b b -=-，可得1142b b b--=， 由11e 2c c c c -=+可得111e 2ec c c c c c ---==⋅， 令()12f x x x =-，()21102f x x+'=>，故()f x 在()0,∞+上单调递增，令()()2log 1g x x =+，()()101ln 2g x x =>+'，故()g x 在()0,∞+上单调递增，令()14xh x -=，()14ln 40xh x -'=-<，故()h x 在()0,∞+上单调递减，令()1exx x μ-=，则()()111e e 1e xx x x x x μ---=-'=-，则()0,1x ∈时，()0x μ'>，()1,x ∞∈+，()0x μ'<， 故()x μ在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，()111122f =-=，()()21log 111g =+=，()11141h -==，()1111e 1μ-=⨯=， ()172244f =-=，()()()222log 21log 31,2g =+=∈，()121244h -==，()12222e e μ-=⨯=，a 为函数()f x 与函数()g x 的交点横坐标，b 为函数()f x 与函数()h x 的交点横坐标，c 为函数()f x 与函数()x μ的交点横坐标，结合函数图象可得b<c<a .故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于利用所给式子，将其变形成21log (1)2a a a -=+、1142b b b--=、111e 2ec c cc c c ---==⋅，从而可构造相应函数研究其交点横坐标，借助函数单调性画出图象即可得. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，{}2,4,6,8A =，{}3,4,5,6B =，则()U A B ⋃=ð______． 【答案】{}1,7,9 【解析】【分析】借助集合交并补的概念计算即可得.详解】由{}2,4,6,8A =，{}3,4,5,6B =，故{}2,3,4,5,6,8A B ⋃=，【故(){}1,7,9U A B = ð. 故答案为：{}1,7,9.14. 已知e ()x x f x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为______． 【答案】()e 1y x =- 【解析】【分析】借助导数的几何意义计算即可得.【详解】()e 1xf x '=-，则1(1)e 1e 1f '=-=-，又1(1)e 1e 1f =-=-， 故切线方程为()()()e 1e 11y x --=--，即()e 1y x =-. 故答案为：()e 1y x =-. 15. 已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合*{|cos ,}n S x x a n ==∈N 有且仅有两个元素，则这两个元素的积为______． 【答案】12-##0.5- 【解析】【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.【详解】()()112π113n a a n d a n =+-=+-， 则()112π2π2πcos cos 1cos 333n a a n n a ⎡⎤⎛⎫=+-=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 其周期为2π32π3=，而n *∈N ，即cos n a 最多3个不同取值，集合*{|cos ,}n S x x a n ==∈N 有且仅有两个元素，设{,}S a b =，则在12cos ,cos ,cos n n n a a a ++中，12cos cos cos n n n a a a ++=≠或12cos cos cos n n n a a a ++≠=， 或21cos cos cos n n n a a a ++=≠，又3cos cos n n a a +=，即321cos cos cos n n n a a a +++=≠，所以一定会有相邻的两项相等，设这两项分别为2πcos ,cos 3θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,于是有2πcos cos(3θθ=+，即有2π2π,3k k θθ⎛⎫++=∈ ⎪⎝⎭Z ，解得ππ,3k k θ=-∈Z ， 不相等的两项为4πcos ,cos 3θθ⎛⎫+⎪⎝⎭， 故2ππ4πππ1cos(πcos[(π)]cos(πcos πcos πcos 333332ab k k k k k =--+=--=-=-，k ∈Z . 故答案为：12-. 【点睛】关键点点睛：此题关键是通过周期性分析得到相等的项为相邻的两项，不相等的两项之间隔一项，从而求得答案.16. 一个圆锥的顶点和底面圆都在半径为2的球体表面上，当圆锥的体积最大时，其侧面积为______．【解析】【分析】设圆锥高为h ，底面半径为r ，推出224r h h =-，求出体积的表达式，利用导数判断单调性求解函数的最值，即可根据侧面积公式得到结果．【详解】设圆锥高为(04)h h <<，底面半径为r ，则2222(2)h r =-+，224r h h ∴=-，22231π4ππ(4)π3333V r h h h h h h ∴==-=-，28ππ3V h h '∴=-，令0V '=得83h =或0h =（舍去），当803h <<时，0V '>，函数V 是增函数；当843h <<时，0V '<．函数V 是减函数，因此当83h =，r =时函数取得极大值也最大值，此时圆锥体积最大．故侧面积为ππ==． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 某校在课外活动期间设置了文化艺术类活动和体育锻炼类活动，为了解学生对这两类活动的参与情况，统计了如下数据：文化艺术类体育锻炼类合计 男 100 300 400 女 50 100 150 合计150400550（1）通过计算判断，有没有90%的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关系？（2）“投壶”是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，也是一种礼仪．该校文化艺术类课外活动中，设置了一项“投壶”活动．已知甲、乙两人参加投壶活动，投中1只得1分，未投中不得分，据以往数据，甲每只投中的概率为13，乙每只投中的概率为12，若甲、乙两人各投2只，记两人所得分数之和为ξ，求ξ的分布列和数学期望．附表及公式：()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.0100k2.072 2.7063.841 5.024 6.635其中22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．【答案】（1）有90%的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关，（2）分布列见解析，期望为53【解析】【分析】（1）根据表中数据计算卡方，即可求解，（2）根据独立事件的概率乘法公式即可求解概率，进而可求解分布列以及期望. 【小问1详解】零假设0:H 没有90%的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关，()2255010010050300275 3.819 2.70615040015040072k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，故有90%的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关， 【小问2详解】ξ的可能取值为0,1,2,3,4，()22114101132369P ξ⎛⎫⎛⎫==--== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()2211221111111211C 111C 1332322363P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--+--== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()2222112211*********C 1C 1113322323236P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()221122111111613C 1C 1332322366P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+-== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()2211143236P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 4p19 13 1336 16 136数学期望()1131150318293Eξ=++++= 18. 如图，在三棱锥-P ABC中，M 为AC 边上的一点，90APC PMA∠=∠=︒，cos CAB ∠=2AB PC ==PA =．,（1）证明：平面PBM ⊥平面ABC ；（2）若直线PA 与平面ABC P AC B --为锐二面角，求二面角B AP C --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）结合题意，借助线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理即可得.（2）借助题目所给线面角，可计算出各边长度，建立适当空间直角坐标系后借助空间向量计算即可得. 【小问1详解】因为在PAC △中，90APC ∠=︒，PA =，PC =，所以AC =90PMA ∠=︒，所以AP PC AC PM ⋅=⋅，则1PM =，AM =，在ABM 中，由余弦定理可得2BM ==，所以222AM BM AB +=，于是BM AM ⊥，BM AC ⊥， 又PM AC ⊥，PM BM M ⋂=，PM 、BM ⊂平面PBM ，所以AC ⊥平面PBM ，又因为AC ⊂平面ABC ，所以平面PBM ⊥平面ABC . 【小问2详解】因为二面角P AC B --为锐二面角，平面PBM ⊥平面ABC ，平面PBM ⋂平面ABC BM =， 过点P 作PN ^平面ABC 于N 点，则N 点必在线段BM 上， 连接AN ，可知PAN ∠为PA 与平面ABC 所成的角，在Rt PAN △中，sin PAN∠，PA =35PN =，在Rt PMN △中，1PM =，35PN =，得45MN =，以M 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系M xyz -，则)A，()0,2,0B ，430,,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,0,0M ，则有()2,0AB =，43,55AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()AM =，设平面BAP 、平面MAP 的法向量分别为()111,,m x y z = ，()222,,n x y z =则有111112043055y y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，222204355y z ⎧=⎪⎨++=⎪⎩，令1x =，23y =，可得)2m =，()0,3,4n =-，设二面角B AP C --的平面角为θ，所以cos m n m n θ⋅==，即sin θ=故二面角B AP C --. 19. 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且tan tan B C +=．（1）求角C ；（2）若CD 是ACB ∠的角平分线，CD =，ABC的面积为，求c 的值． 【答案】（1）π3C = （2）c =【解析】【分析】（1）利用正弦定理化角为边，结合和差角公式以及弦切互化可得tan C =，即可求解，（2）由in 12s S ab C =，可得72ab =，根据等面积法可求6a b +=，由余弦定理即可求c 的值． 【小问1详解】由tan tan B C +=()sin sin sin sin cos cos sin cos cos cos cos cos cos B C B C B C B C B C B C B C +++==⇒=sin 1sin 0,cos 0,cos cos cos A A B B C C ⇒=≠≠∴=故sin C C =，进而tan C =由于()0,π,C ∈所以π3C =【小问2详解】由面积公式得11sin 22ABC S ab C ab === 72ab =，ABC BCD ACD S S S =+ ，∴11sin 30sin 3022b CD a CD =⋅︒+⋅︒，即1sin 30()2CD a b ⋅︒+=，18a b ∴+=， 又72ab = ，22222222cos ()318372108c a b ab C a b ab a b ab ∴=+-=+-=+-=-⨯=，∴c =20. 在直角坐标系xOy 中，设F 为抛物线C ：()220y px p =>的焦点，M 为C 上位于第一象限内一点．当0MF OF ⋅=时，OFM △的面积为1．（1）求C 的方程； （2）当3MF OF ⋅=- 时，如果直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，直线MA ，MB 的斜率满足2⋅=-MA MB k k ，试探究点M 到直线l 的距离的最大值.【答案】（1）24y x =（2）【解析】【分析】（1）结合题意计算即可得；（2）设出点2,4t M t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意计算可得()4,4M ，设出直线联立曲线，借助韦达定理计算可得直线l 恒过定点()6,4N -，则当MN l ⊥时，点M 到直线l 距离有最大值.【小问1详解】 由题意得,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由0MF OF ⋅= ，MF OF ⊥，即,2p M p ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 从而OFM △的面积1122OFM p S p =⋅⋅= ，则2p =， 所以，抛物线C 的方程为24y x =；【小问2详解】 设2,4t M t ⎛⎫ ⎪⎝⎭（0t >），则21,4t MF t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，()1,0OF = ， 由3MF OF ⋅=- ，得2134t -=-，即4t =， 所以，此时()4,4M ，由题意可知，l 斜率必不等于0，于是可设l ：x my n =+，由24x my n y x=+⎧⎨=⎩，可得2440y my n --=， 上述方程的判别式满足()()24440m n ∆=--⋅->，即2m n >-， 设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 根据韦达定理有：124y y m +=，124y y n =-，因为2⋅=-MA MB k k ，所以1222124424444y y y y --⋅=---，1244244y y ⋅=-++， 于是()12124240y y y y +++=，所以，416240n m -++=，即46n m =+，故直线l 的方程为46x my m =++，即()64x m y -=+，的所以直线l 恒过定点()6,4N -，则当MN l ⊥时，点M 到直线l 的距离有最大值，且最大值为MN ==.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21. 已知函数()e 2xf x ax =--． （1）若()f x 在区间()0,1存在极值，求a 的取值范围；（2）若()0,x ∈+∞，()sin cos f x x x x >--，求a 的取值范围．【答案】（1）()1,e（2）(],1-∞【解析】【分析】（1）对a 分类讨论研究单调性后，结合极值的定义计算即可得；（2）设()()e cos sin 12xg x x x a x =++-+-，原问题即为()0g x >在()0,x ∞∈+时恒成立，多次求导后，对1a ≤时及1a >时分类讨论，结合零点的存在性定理与函数的单调性即可得解.【小问1详解】由()e 2x f x ax =--，得()e xf x a '=-， 当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 单调递增，()f x 不存在极值，当0a >时，令()0f x '=，则ln x a =，若ln x a <，则()0f x '<，()f x 单调递减；若ln x a >，则()0f x '>，()f x 单调递增，所以ln x a =是()f x 的极小值点，因为()f x 在区间()0,1存在极值，则0ln 1a <<，即1e a <<，所以，()f x 在区间()0,1存在极值时，a 的取值范围是()1,e ；【小问2详解】由()sin cos f x x x x >--在()0,x ∞∈+时恒成立，即()e cos sin 120xx x a x ++-+->在()0,x ∞∈+时恒成立， 设()()e cos sin 12xg x x x a x =++-+-，则()0g x >在()0,x ∞∈+时恒成立， 则()()e sin cos 1xg x x x a +'=--+， 令()()()e sin cos 1x m x g x x x a '==-+-+，则()e cos sin x m x x x =-'-，令()()e cos sin x n x m x x x ==--'，则()e sin cos xn x x x =-'+， ()0,1x ∈时，e sin 1x x +>，则()e sin cos 0x n x x x =+->'，[)1,x ∞∈+时，e e x ≥，则()0n x '>， 所以()0,x ∞∈+时，()0n x '>，则()n x 即()m x '单调递增，所以()()00m x m ''>=，则()m x 即()g x '单调递增，所以()()01g x g a ''>=-，①当1a ≤时，()010g a ='-≥，故()0,x ∞∈+，()0g x '>，则()g x 单调递增，所以()()00g x g >=，所以()sin cos f x x x x >--在()0,x ∞∈+时恒成立，②当1a >时，()010g a ='-<，()()()()ln 33sin ln 3cos ln 31g a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+-+'++-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦()2ln 304a π⎡⎤=+->⎢⎥⎣⎦， 故在区间()()0,ln 3a +上函数()g x '存在零点0x ，即()00g x '=，由于函数()g x '在()0,∞+上单调递增，则()00,x x ∈时，()()00g x g x ''<=，故函数()g x 在区间()00,x 上单调递减，所以，当()00,x x ∈时，函数()()00g x g <=，不合题意，综上所述，的取值范围为(],1-∞.【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于多次求导后，得到()()01g x g a ''>=-，从而通过对1a ≤及1a >进行分类讨论.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB = ，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C 与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.【答案】（1）C 的普通方程为()2214x y -+=，l 直角坐标方程为30x y -+=.（2）存在，坐标为33,,44⎛⎛-- ⎝⎝【解析】【分析】（1）首先分析题意，进行消参，化简参数方程，结合极坐标与直角坐标的互化求解即可.（2）设出所求点的坐标，求出其轨迹的参数方程，再进行消参，得出轨迹的直角坐标方程，利用圆与圆的位置关系判断其有公共点，联立求解即可.【小问1详解】由题设曲线C 的参数方程，消参得()2214x y -+=，由cos ,sin x y ρθρθ==，且)πsin sin cos 4ρθρθρθ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭y x =，化简得30x y -+=， ∴C 的普通方程为()2214x y -+=，l 直角坐标方程为30x y -+=.【小问2详解】当0y =时，()33,0x A =-⇒-，易知()12cos ,2sin B a a +，设(),M x y ， 可得()()3,,2cos 1,2sin AM x y MB a x a y =+=-+- ，32cos 1cos 1,2sin sin x a x x a AM MB y a y y a +=-+=-⎧⎧=⇒⎨⎨=-=⎩⎩（a 是参数）， 消参得方程为()2211,x y ++=且1,2,1,3E C C E C E r r r r r r ==-=+=，则圆心距离2,d ==得C E C E r r d r r -<<+，则两圆相交，故两圆存在公共点，联立方程组()()22221114x y x y ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，解得34x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或34x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故坐标为33,,44⎛⎛-- ⎝⎝. [选修4—5：不等式选讲]（10分）23. 已知a ，b ，c 均为正数，且3a b c ++=.（1）是否存在a ，b ，c ，使得()190,5a b c+∈+，说明理由；（26.【答案】（1）不存在，理由见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得30b c a +=->，则19193a b c a a+=++-，利用乘“1”法及基本不等式求出19a b c++的最小值，即可说明；（2+平方，再利用基本不等式计算可得.【小问1详解】不存在a ，b ，c ，使得()190,5a b c+∈+.理由如下： 因为a ，b ，c 都是正数，且3a b c ++=，所以30b c a +=->， 所以()19191193333a a a b c a a a a ⎛⎫⎡⎤+=+=+-+ ⎪⎣⎦+--⎝⎭13911610103333a a a a ⎛-⎛⎫=++≥+= ⎪ -⎝⎭⎝， 当且仅当393a a a a -=-，即39,44a b c =+=时取等号， 即19a b c++的最小值为163， 所以不存在a ，b ，c ，使得()190,5a b c +∈+. 【小问2详解】因为2()9a b c =++++++()()()()()()12333333a b b c a c ≤++++++++++++()302a b c =+++36=，当且仅当1a b c ===时等号成立，6+.。
2021届山西晋城市高三下学期第二次模拟数学(文)试卷
7．如果执行下图所示的程序框图，那么输出的 （ ）
A． B． C． D．以上都不正确
8．在正方体 中， 为线段 的中点，若三棱锥 的外接球的体积为 ，则正方体的棱长为（）
A． B． C． D．
9．已知变量 满足约束条件 ： ，若 表示的区域面积为4，则 的最大值为（）
A． B． C． D．
9．D
【解析】
试题分析：如图所示，因为区域面积为 ，可求得 ，由此得平面区域，可知当 过点 时有最大值，为 ．故选D.
考点：简单的线性规划．
【详解】
模拟执行程序，可得
a＝2，n＝1
执行循环体，a ，n＝3
满足条件n≤2016，执行循环体，a＝﹣1，n＝5
满足条件n≤2016，执行循环体，a＝2，n＝7
满足条件n≤2016，执行循环体，a ，n＝9
…
由于2015＝3×671+2，可得：
n＝2015，满足条件n≤2016，执行循环体，a ，n＝2017
（2）若方程 恰有两个不同的实数解，求实数 的取值范围.
参考答案
1．B
【解析】
试题分析： ,故选B.
考点：复数的运算．
2．C
【解析】
试题分析： （人），故选C.
考点：分层抽样．
3．D
【解析】
试题分析： ， ，故选D.
考点：集合的运算．
4．A
【解析】
试题分析：因为函数为奇函数，则 ，故选A.
考点：函数的奇偶性．
A．2400B．2700C．3000D．3600
3．已知集合 ， ，则下列结论正确的是（）
A． B． C． D．
4．已知 为奇函数，则 的值为（）
『二模』2021-2022学年福建省厦门市高三毕业班第二次质量检测数学试题+答案解析(附后)
『二模』2021-2022学年福建省厦门市高三毕业班第二次质量检测数学试题1. 复数的虚部为( )A. B. C. 2 D. 42. 一个斜边长为的等腰直角三角形绕直角边旋转一周形成的几何体的体积为.( )A. B. C. D.3. 某校高三有1000人参加考试，统计发现数学成绩近似服从正态分布，且成绩优良不低于120分的人数为360，则此次考试数学成绩及格不低于90分的人数约为( )A. 360B. 640C. 720D. 7804. 点在抛物线上，F为焦点，直线MF与准线相交于点N，则( )A. B. C. 4 D.5. 埃拉托斯特尼是古希腊亚历山大时期著名的地理学家，他最出名的工作是计算了地球大圆的周长：如图，在赛伊尼，夏至那天中午的太阳几乎正在天顶方向这是从日光直射进该处一井内而得到证明的同时在亚历山大城该处与赛伊尼几乎在同一子午线上，其天顶方向与太阳光线的夹角测得为因太阳距离地球很远，故可把太阳光线看成是平行的．已知骆驼一天走100个视距段，从亚历山大城到赛伊尼须走50天，一般认为一个视距段等于157米，则埃拉托斯特尼所测得地球的周长约为( )A. 37680千米B. 39250千米C. 41200千米D. 42192千米6. 为充分感受冬奥的运动激情，领略奥运的拼搏精神，甲、乙、丙三人进行短道速滑训练赛．已知每一场比赛甲、乙、丙获胜的概率分别为，，，则3场训练赛过后，甲、乙获胜场数相同的概率为( )A. B. C. D.7. 平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为( )A. B. C. D.8. 已知，，，则( )A. B. C. D.9. 四棱台的底面ABCD是正方形，平面ABCD，则( )A. 直线AD与直线所成角为B. 直线与直线异面C.平面平面 D.10. 定义在R上的奇函数满足，且当时，，则( )A. 是周期函数B. 在上单调递减C. 的图象关于直线对称D. 的图象关于点对称11. 已知P是圆O：上任意一点，定点A在x轴上，线段AP的垂直平分线与直线OP相交于点Q，当P在圆O上运动时，Q的轨迹可以是( )A. 直线B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线12. 已知数列满足，，则下列选项正确的是( )A.是递增数列 B.C. D.13. 集合，，若，则实数a的范围是__________.14. 2021年秋季，教育部明确要求在全国中小学全面推行课后延时服务，实行“”服务模式．某校开设了篮球、围棋和剪纸三门课后延时服务课程，某班的4个同学每人选择了其中的一门课程，若每门课程都有人选，则不同的选课方案种数为__________用数字作答15. 若函数和R的图象有且仅有一个公共点P，则在P处的切线方程是__________.16. 函数的图象关于点对称，且，则__________，的最小值为__________.17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知求A；若，D为BC的中点，，求的面积．18.已知等差数列和递增的等比数列满足，，求和的通项公式；若，记数列的前n项和为，证明：19. 在三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面ABC，平面与平面的交线为证明：；已知，上是否存在点P，使与平面ABP所成角为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由．20. 一个车间为了规定工时定额，需要确定一台机器持续加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如表所示：零件数个102030405060708090100时间分钟76859295100110115121125131通过数据分析，发现y与x之间呈线性相关关系，求y关于x的回归方程，并预测持续加工480个零件所花费的时间；机器持续工作，高负荷运转，会影响产品质量．经调查，机器持续工作前6小时内所加工出来的零件的次品率为，之后加工出来的零件的次品率为机器持续运行时间不超过12小时已知每个正品零件售价100元，次品零件作废，持续加工x个零件的生产成本单位：元根据的回归方程，估计一台机器持续工作多少分钟所获利润最大？利润=零件正品数售价-生产成本参考数据：，，附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，21. 已知是函数的导函数．讨论的单调性；若有两个极值点，，且，求a的取值范围．22. 已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，过作不平行于坐标轴的直线交于A，B两点，且的周长为求的方程；若轴于点M，轴于点N，直线AN与BM交于点C，求面积的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的概念与四则运算，属于基础题.通过复数的运算化简即可解得.【解答】解：，故虚部为故选：2.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的体积，属于基础题．根据题意可知几何体为圆锥，根据圆锥体积公式计算即可.【解答】解：斜边长为的等腰直角三角形，绕直角边旋转一周所形成几何体是：底面半径为，高的圆锥，故该几何体的体积故选3.【答案】B【解析】【分析】本题考查正态分布曲线的特点以及频率与频数的关系，属于基础题．由，求出，进而求出此次考试数学成绩及格不低于90分的人数．【解答】解：数学成绩近似服从正态分布，，则，所以此次考试数学成绩及格不低于90分的人数约为故选：4.【答案】C【解析】【分析】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.由M的坐标求出抛物线方程，得到F的坐标，由抛物线的定义可知，M到准线距离为4，利用相似三角形，可求【解答】解：将点代入抛物线中，得，故抛物线方程为，焦点坐标，由抛物线定义可知，点M到准线的距离也为4，又焦点到准线的距离为2，由相似三角形性质可知故选：5.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识要点：比例的性质，圆的周长公式，主要考查运算能力，属于基础题．直接利用比例的性质，圆的周长公式的应用求出结果．【解答】解：由题意知，太阳光线互为平行线，则亚历山大城、赛伊尼与地球中心所成角和天顶方向与太阳光线的夹角为同位角，则亚历山大城、赛伊尼与地球中心所成角为，且亚历山大城、赛伊尼间距离为米千米，所以地球周长为千米故选：6.【答案】C【解析】【分析】本题考查两个计数原理的综合应用，概率的计算，考查学生对概率的实际应用，属于基础题.甲、乙获胜场数相同分为两种情况，甲、乙获胜场数都为0场，甲、乙获胜场数都为1场，由分类加法计数原理，再将两个概率相加即可.【解答】解：甲、乙获胜场数相同分为以下两种情况：甲、乙获胜场数都为0场，则丙获胜3场，概率为：；甲、乙获胜场数都为1场，则丙获胜1场，概率为：由分类加法计数原理，甲、乙获胜场数相同的概率为：故选：7.【答案】D【解析】【分析】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，三角函数的性质，向量的数量积，属于中档题.设，先求出，，，，在中由正弦定理得，然后利用数量的向量积和三角函数的性质进行求解可得.【解答】解：设，因为，，，所以，，，，因为，所以可得，在中，由正弦定理得，即，即，即可得，所以，，故选：8.【答案】B【解析】【分析】本题考查对数函数的性质，属于基础题.先利用对数的运算与函数的性质比较a，b大小，再利用函数的图象比较a，c的大小，可得结果.【解答】解：，，且，所以，又，对于函数的图象如图所示，当时，，则，所以所以故选：9.【答案】AC【解析】【分析】本题考查了立体几何的异面直线夹角以及线线垂直和面面垂直的判定，属于基础题.根据题意，逐一判定求解即可．【解答】解：对于A ，四棱台的底面ABCD是正方形，所以所以即为直线AD与直线所成角，又ABCD是正方形，所以直线AD与直线所成角为，故A正确；对于B，因为四棱台的底面ABCD是正方形，则，故A，，，C四点共面，故B错误；对于C，平面ABCD，面BCD，所以，又是正方形，，又，平面所以平面，又平面所以平面平面故C正确；对于D，因为四棱台的底面ABCD是正方形，所以，又因为不垂直所以不与AD垂直，故D错误.故选：10.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性、周期性、单调性、最值以及图象的对称性，属于中档题.因为是R上的奇函数，所以，又因为，所以，于是可判断A；由可判断B，由，可判断C，由可判断【解答】解：因为是R上的奇函数，所以，对于A，又因为，所以，可见是周期为4的周期函数，所以A正确；对于B，当时，，为奇函数，则，所以B不正确；对于C，因为，则的图象关于直线对称，所以C正确；对于D，由，所以的图象关于点对称，D正确.故选：11.【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查椭圆的定义、双曲线的定义，轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．根据题意，分类讨论定点A在圆上，圆内和圆外，判断Q点的轨迹.【解答】解：当定点A在x轴且在圆上时，此时线段AP的垂直平分线与直线OP相交于点O，即Q的轨迹是一个点;当定点A在x轴且在圆内时，此时，故Q的轨迹是以点O和点A为焦点的椭圆;当定点A在x轴且在圆外时，此时，故Q的轨迹是以点O和点A为焦点的双曲线.12.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查了数列函数特性、数列的递推公式、裂项相消法求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．先判断是正项数列，再由，则是递增数列，判断A，.根据已知条件进行变形，判断由，可得判断C，由，得，变形再累加一起，然后判断【解答】解：，可得数列为正项数列，，则是递增数列，故A正确.，故B正确.由选项A正确，是递增数列，可得，所以，故C错误；由，得，则，，，故D正确.故选：13.【答案】【解析】【分析】本题考查了集合基本关系，属于基础题.根据，求解a的取值范围【解答】解：由题意，集合，若则14.【答案】36【解析】【分析】本题考查了排列组合的应用，分步计数原理，属于中档题.先从四个学生中任选2人“捆绑起来”看作一个组合，这个组合跟其他两人共三个做一次全排列，即可得到答案，【解答】解：先从四个学生中任选2人“捆绑起来”看作一个组合，有种选法，这个组合跟其他两人共三个做一次全排列，有种排法，对应三门课后延时服务课程，故共有种选法，所以不同的选课方案种数为故答案为：15.【答案】【解析】【分析】本题考查了导数的几何意义，函数切线方程的求法，考查了分析和运用能力，属于中档题.设公共点，则，再根据，，得到，即，建立方程组求出a，m即可求解.【解答】解：由题意，设公共点，则，①又，，则，即，②联立①②解得，切线斜率，，切线方程为故答案为：16.【答案】； 4【解析】【分析】本题主要考查正弦函数的单调性以及图象的对称性，属于中档题.由题意利用正弦函数的单调性以及图象的对称性，可得，，又且，所以图像关于点对称，由此求得、的值．【解答】解：函数的图象关于点对称，，又且，所以图像关于点对称所以，；要使得最小即T应该最大，所以，，最小值为4；又，，最小值为故本题填：；17.【答案】解：因为，所以由正弦定理可得，即可得，所以，又，所以，因为，所以因为D为线段BC中点，所以，所以化简得，①在中，由余弦定理得，即，②又，③联立①②③，解得，所以【解析】本题考查正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角形的和差公式，考查计算转化能力，属于基础题.利用正弦定理和三角形的和差公式进行求解可得；利用数量积和余弦定理，求出，再求解三角形的面积.18.【答案】解：设数列的公差为d，数列的公比为q，，依题意有，解得，，，，所以，证明：，当时，，当时，，所以，，，，，，…，而，，故最小，从开始逐渐增大，当时，，所以的最大值为，综上可知【解析】本题考查了数列的函数特征、等差数列的通项公式、等比数列的通项公式、裂项相消法求和，属于中档题.结合条件列方程组求出基本量，再求数列的通项公式；结合数列的通项公式判定各项的符号，进而得到数列的各项符号，从而判定的最大值及最小值即可证明.19.【答案】证明：因为四边形为菱形，所以，平面平面ABC，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以解：l上不存在点P，使与平面ABP所成角为理由如下：取中点D，连接AD，因为，所以，又，所以为等边三角形，所以，因为，所以，又平面平面ABC，平面平面平面，所以平面ABC，以A为原点，以方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，，因为平面平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，假设l上存在一点P，使与平面ABP所成角为，设，则，所以，设为平面ABP的一个法向量，则，即，令，则，可取，又，所以，即，此方程无解，因此，l上不存在点P，使与平面ABP所成角为【解析】本题考查线面垂直的判定与性质，线面平行的判定与性质，考查利用空间向量求线面角，属于中档题.由已知可得，可证平面，得到，进而可证平面，即可得证；取的中点D，连接AD，，平面ABC，以A为坐标原点，以AB，AC，AD 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求出平面ABP的法向量，利用与平面ABP所成角为，得到P的坐标，判断结果即可.20.【答案】解：根据题意可知，，，所以，所以回归直线，当时，，所以预测加工480个零件所花费时间为360分钟.根据的结果，由得，①当，时，依题意，利润，所以当时，z取最大值9216②由得，所以当4801080，时，依题意，利润，所以当时，z取最大值9700，因为，所以一台机器持续加工700个零件时此时加工时间，即估计一台机器持续工作492分钟所获利润最大.【解析】本题考查线性回归系数的方程，函数的最值，二次函数的性质，考属中档题．首先求出，再根据参考数据求出、，即可求出回归直线方程，再令，求出y 的值，即可预测加工480个零件所花费时间；令与求出所对应的x的范围，分别求出利润函数，再根据二次函数的性质计算可得．21.【答案】解：，，，①当时，，所以在上单调递增，②当时，由得由得所以在上单调递增，在上单调递减综上，当时，在上单调递增;当时，在上单调递增，在上单调递减.函数有两个极值点，则有两个不相等的零点，由得，令，，由得，由，得，即在上单调递增，在上单调递减，又，当时，，当时，作出图象，如图所示：作出图象，如图所示，则，又，，则，设，则，即在上单调递增，又，，所以，又在上单调递减，所以，综上，【解析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值、零点，属于中档题.对求导得到，再分类讨论求得的单调性即可；将的极值点问题转换为的零点问题，变量分离构造函数，再利用导数研究函数的单调性即可求解．22.【答案】解：根据椭圆的定义可知的周长等于4a，所以，，又离心率，所以，，所以椭圆C的方程为；根据题意，设直线AB方程为，联立得，易知，设，，则，因为轴，轴，所以，所以直线①，直线②，设，联立①②解得因为，所以，所以，又因为，所以，设，则，当且仅当，即时，等号成立，故面积的最大值为【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查二次函数的性质，考查转化能力与运算求解能力，属于拔高题.根据题意，求出，，即可求出椭圆的标准方程；根据题意，设直线l：，联立，运用一元二次方程根与系数的关系，设而不求，利用函数性质即可求取值范围.。
广东省佛山市顺德区2024届高三下学期2月教学质量检测(二)(二模)数学含答案
2023学年顺德区普通高中高三教学质量检测（二）数学试题（答案在最后）2024.2本试卷共6页，22小题，满分150分，考试时间120分钟，注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在数学答题卡，并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}1M x x =>，{}lg 1N x x =<，则M N ⋂=（）A.{}110x x <<B.{}01x x <<C.{}010x x << D.{}0x x >2.复数4i 1iz =-在复平面上对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.抛物线24x y =在点()2,1处的切线的斜率为（）A. 1- B.12-C.12 D.14.在ABC 中，,AB a AC b == ，若2,2AC EC BC DC == ，线段AD 与BE 交于点F ，则CF =（）A.1233a b +B.1233a b -C.1233a b-+ D.1233a b-- 5.二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照同款新车裸车价格，第一年汽车贬值30%，从第二年开始每年贬值10%，刚参加工作的小明打算用7万元入手一辆3～5年的二手车，根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是(N)m m ∈万，则m =（）A.14B.15C.16D.176.小明爬楼梯每一步走1级台阶或2级台阶是随机的，且走1级台阶的概率为23，走2级台阶的概率为13．小明从楼梯底部开始往上爬，在小明爬到第4级台阶的条件下，他走了3步的概率是（）A.49B.427C.913D.36617.已知函数π4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]π0,,0,4a a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的值域均为[]1,b -，则实数a 的取值范围是（）A.3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.π5π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.3π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.已知椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的上、下焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上且位于第三象限，满足1212120,PF F PF F ∠=∠︒的角平分线与2PF 相交于点Q ，若225PQ PF =，则椭圆C 的离心率为（）A.35B.12C.1925- D.1915二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.一个平面截正方体所得的截面图形可以是（）A.等腰三角形B.菱形C.梯形D.正五边形10.若6234560123456(1)x a a x a x a x a x a x a x -=++++++，则（）A .01a =B .320a =C.1234562481632640a a a a a a +++++=D.0246135a a a a a a a +++=++11.已知圆22:(4)1A x y +-=，椭圆22:14x B y +=，直线()():1l y k x k =-∈R ，点M 为圆A 上任意一点，点N 为椭圆B 上任意一点，以下的判断正确的是（）A.直线l 与椭圆B 相交B.当k 变化时，点M 到直线l1C.max1MN =+D.max6MN=12.函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且它的最小正周期是T ，已知(),0,4,,242T x x f x T T T x x ⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎤⎪-∈ ⎥⎪⎝⎦⎩，()()()g x f x a a =+∈R ．下列四个判断中，正确的有（）A.当()4T a k k =⋅∈Z 时，()()g x f x +的值只有0或4TB.当()4Ta k k =⋅∈Z 时，函数()()g x f x +既有对称轴又有对称中心C.对于给定的正整数n ，存在a ∈R ，使得10ni i T i T g f n n =⋅⋅⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑成立D.当4T a =时，对于给定的正整数n ，不存在k ∈R 且1k ≠，使得10ni i T i Tg k f n n =⋅⋅⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑成立三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.已知π0,,cos cos22αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则α=______．14.已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为12,S S ，则12S S =______．15.一次考试后，学校将全体考生的成绩分数绘制成频率分布直方图（如下图），并按照等级划分表（如下表）对考生作出评价，若甲考生的等级为“A ”，则估计甲的分数为______．（写出满足条件的一个整数值即可）等级划分范围（分数由高到低）A +前20%（包括20%）A 前20%~35%（包括35%）B +前35%~65%（包括65%）B 前65%~85%（包括85%）C +前85%~95%（包括95%）C最后5%16.在如图所示的长方形台球桌面示意图中，4,2OM MP ==，桌面的六个网分别位于长方形的四个顶点及长边中点上．现有三个台球分别在3175,,2424A B C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、、三点所在的位置上，且、、A B C 三点共线．用球A 贴着桌面移动去击球C （不能碰到球B ），使得球C 沿球A 运动的方向径直落入,,O R M 三个网⊗中之一．若球和网⊗近似地看成点，且台球在桌面上为直线运动，球A 碰到桌边缘后反弹符合入射角等于反射角．则球A 击中球C 前，球A 移动的最短路径的路程为______．四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 满足()*22,m n a n a m m n +=+∈N ，且35a=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：1221333n n a a a +++< ．18.某市随机抽取n 名市民进行智能手机使用情况调查，使用5G 手机（A 类）和使用4G 及以下或不使用手机（B 类）的人数占总人数n 的比例统计如下表：A 类B 类大于或等于60岁10%15%小于60岁45%30%（1）若用样本的频率作为概率的估计值，在全体市民中任选3人，记ξ为3人中小于60岁的人数，求ξ的分布列和数学期望；（2）若以60岁为年龄分界，讨论当n 取不同值时，依据小概率值0.01α=的独立性检验，能否判断使用手机类型与年龄有关？附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．α0.050.010.001x α3.8416.63510.82819.在四棱雉P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，2PA PD AB ===，AD =，点E 为线段AD 的中点．已知点P 在平面ABCD 上的射影在四边形ABCD 外，且直线PE 与平面ABCD 所成的角为45︒．（1）设点M 为线段CD 的中点，求证：BD PM ⊥；（2）求平面PAC 与平面ABCD 的夹角θ的余弦值．20.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中1a =，21cos 2c A b-=．（1）求角B 的大小；（2）如图，D 为ABC 外一点，AB BD =，ABC ABD ∠=∠，求sin sin CABCDB∠∠的最大值．21.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，焦距为42，且双曲线过点()3,1P -．斜率不为零的直线与双曲线交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过点P ．（1）求双曲线的方程；（2）是否存在直线AB ，使得点P 到直线AB 的距离最大？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由．22.已知函数()()21ln 2f x x x mx m m =+-+∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且满足21e x ≥（e 为自然对数的底数，e 2.7183≈）．（ⅰ）求实数m 的取值范围；（ⅱ）证明：()()210.005f x f x -<-．2023学年顺德区普通高中高三教学质量检测（二）数学试题2024.2本试卷共6页，22小题，满分150分，考试时间120分钟，注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在数学答题卡，并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}1M x x =>，{}lg 1N x x =<，则M N ⋂=（）A.{}110x x <<B.{}01x x <<C.{}010x x << D.{}0x x >【答案】A 【解析】【分析】先根据对数的性质化简集合N ，再根据集合交集的概念求解即可.【详解】由lg 1x <解得010x <<，所以{}010N x x =<<，又{}1M x x =，所以{}110M N x x ⋂=<<，故选：A2.复数4i 1iz =-在复平面上对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据复数乘方以及除法运算可得1122z i =+，即可判断出结论.【详解】由2i 1=-可知()()4i 11i 1i 11i 1i 1i 1i 1i 222z ++=====+---+，因此复数z 在复平面上对应的点坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限.故选：A3.抛物线24x y =在点()2,1处的切线的斜率为（）A. 1- B.12-C.12D.1【答案】D 【解析】【分析】求出导函数，令2x =求出()2f '即为切线的斜率.【详解】令()214f x x =，得()21142f x x x '⎛⎫== ⎪⎝⎭'，得()21f '=故选：D4.在ABC 中，,AB a AC b == ，若2,2AC EC BC DC == ，线段AD 与BE 交于点F ，则CF =（）A.1233a b +B.1233a b -C.1233a b-+ D.1233a b-- 【答案】B 【解析】【分析】根据中线性质得出23AF AD =uu u r uuu r，再由平面向量线性运算即可求得结果.【详解】如下图所示：由2,2AC EC BC DC ==可得,D E 分别为,BC AC 的中点，由中线性质可得23AF AD =uu u r uuu r，又()()1122AD AB AC a b =+=+，所以()()211323AF a b a b =⨯+=+ ，因此()112333CF CA AF b a b a b =+=-++=- .故选：B5.二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照同款新车裸车价格，第一年汽车贬值30%，从第二年开始每年贬值10%，刚参加工作的小明打算用7万元入手一辆3～5年的二手车，根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是(N)m m ∈万，则m =（）A.14B.15C.16D.17【答案】B 【解析】【分析】依据贬值规律，根据等比数列性质列不等式即可解得15m =.【详解】根据题意可知，列不等式()()51130%110%7m -⋅-⨯-≤，即41015.240.9m ≤≈，又N m ∈，可得15m =.故选：B6.小明爬楼梯每一步走1级台阶或2级台阶是随机的，且走1级台阶的概率为23，走2级台阶的概率为13．小明从楼梯底部开始往上爬，在小明爬到第4级台阶的条件下，他走了3步的概率是（）A.49B.427C.913D.3661【答案】D 【解析】【分析】根据题意，设事件A 为“小明爬到第4级台阶”，事件B 为“小明走了3步爬到第4级台阶”，求出()P A ，()P AB ，进而计算可得答案【详解】根据题意，设事件A 为“小明爬到第4级台阶”，事件B 为“小明走了3步爬到第4级台阶”，事件A 包含3中情况，①走了4次1级台阶，其概率41216381P ⎛⎫== ⎪⎝⎭②走了2次1级台阶，1次2级台阶，其概率2123124C 339P ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭，即()49P AB =,③走了2次2级台阶，其概率231139⎛⎫= ⎪⎭=⎝P ，故小明爬到第4级台阶概率()123164161819981P A P P P =++=++=在小明爬到第4级台阶的条件下，他走了3步的概率()()()4369616181P AB P B A P A ===,故选：D 7.已知函数π4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]π0,,0,4a a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的值域均为[]1,b -，则实数a 的取值范围是（）A.3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.π5π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.3π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】利用正弦型函数图象，数形结合可得.【详解】在[]0,a 上，πππ[,]444x a -∈--，在π0,4a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上，ππ[,]44x a -∈-，由题意，函数π4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在两个区间上最值相同，且最小值为1-，即两区间左端点函数值均为最小值，所以两区间右端点函数值不能小于1-，但两区间内最大值相同，如图π4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的部分图象，数形结合得3π4a ≥且π6π44a +≤，即3π5π,44a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选：A8.已知椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的上、下焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上且位于第三象限，满足1212120,PF F PF F ∠=∠︒的角平分线与2PF 相交于点Q ，若225PQ PF =，则椭圆C 的离心率为（）A.35B.12C.25-D.15【答案】C 【解析】【分析】由向量的关系，可得112||2||3PF F F =，再由角平分线的性质可得112||2||3PF F F =，由12||2F F c =，由椭圆的定义可得1||PF ，2||PF 的表达式，再由余弦定理可得a ，c 的关系，进而求出离心率的值．【详解】因为225PQ PF = ，则2||2||3PQ QF =，由角平分线的性质可得112||2||3PF F F =，因为12||2F F c =，所以14||3PF c =，由椭圆的定义可知：214||2||23PF a PF a c =-=-，在△12PF F ，12120PF F ∠=︒，由余弦定理可得222212112112||||||2||||cos PF F F PF F F PF PF F =+-⋅∠，即()222444122223332a c c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理可得：22254305430c c c ac a a a ⎛⎫+-=⇒+⨯-= ⎪⎝⎭,即25430e e +-=，可得e =，因为(0,1)e ∈，所以e =．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.一个平面截正方体所得的截面图形可以是（）A.等腰三角形B.菱形C.梯形D.正五边形【答案】ABC【解析】【分析】根据正方体的几何特征，我们可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，然后逐一与四个答案中的图形进行比照，即可判断选项．【详解】根据题意，当截面为三角形时，可能出现等腰三角形；如图：故A正确；当B，D分别为正方体棱中点时，截面可以为菱形，如图：故B正确;当C，D分别为正方体棱的中点，截面图可以为等腰梯形，如图：故C正确；当截面为五边形，如图，不可能是正五边形：若截面为五边形，则该面恰与五个面相交，而其中一定有两组对面，根据面面平行的性质定理，故有两组平行边，但正五边形没有平行的边，故截面不可能是正五边形.故D 错误.故选：ABC.10.若6234560123456(1)x a a x a x a x a x a x a x -=++++++，则（）A.01a =B.320a =C.1234562481632640a a a a a a +++++=D.0246135a a a a a a a +++=++【答案】ACD 【解析】【分析】将0x =，2x =，1x =±代入6234560123456(1)x a a x a x a x a x a x a x -=++++++判断ACD ，利用二项式展开式的通项公式判断B 即可.【详解】将0x =代入6234560123456(1)x a a x a x a x a x a x a x -=++++++得()6001a -=，解得01a =，A正确；由二项式定理可知()61x -展开式的通项为()616C 1rr rr T x -+=-，令6r 3-=得3r =，所以()3336C 120a =-=-，B 错误；将2x =代入6234560123456(1)x a a x a x a x a x a x a x -=++++++得()6012345621248163264a a a a a a a -=++++++，即1234562481632640a a a a a a +++++=，C 正确；将1x =代入6234560123456(1)x a a x a x a x a x a x a x -=++++++得()6012345611a a a a a a a -=++++++，即01245630a a a a a a a +++++=+①，将=1x -代入6234560123456(1)x a a x a x a x a x a x a x -=++++++得()6012345611a a a a a a a --=-+-+-+，即012345664a a a a a a a -+-+-+=②，①+②得()0246264a a a a +++=，所以024632a a a a +++=，①-②得()135264a a a ++=-，所以13532a a a +=-+，所以0246135a a a a a a a +++=++，D 正确；故选：ACD11.已知圆22:(4)1A x y +-=，椭圆22:14x B y +=，直线()():1l y k x k =-∈R ，点M 为圆A 上任意一点，点N 为椭圆B 上任意一点，以下的判断正确的是（）A.直线l 与椭圆B 相交B.当k 变化时，点M 到直线l 1C.max1MN =+D.max6MN=【答案】ABD 【解析】【分析】根据直线过定点()1,0，可得点在椭圆内可判断A ，根据圆心()0,4A ，可得出点M 到直线l 的距离的最大值判断B ，设出()00,N x y ，利用两点间距离公式并由二次函数性质可求得max5AN =，进而可得C 错误，D 正确.【详解】根据题意可知圆22:(4)1A x y +-=的圆心为()0,4A ，半径为1r =，椭圆22:14x B y +=的长轴为4，短轴为2，直线()():1l y k x k =-∈R 恒过定点()1,0C ，显然点()1,0在椭圆B 的内部，如下图所示：显然，直线l 与椭圆B 相交，即A 正确；当k 变化时，易知圆心()0,4A 到直线l 的距离的最大值为()()22100417AC =-+-=所以点M 到直线l 的距离的最大值为171AC r +=+，即B 正确；设点()00,N x y 满足220014x y +=且[]01,1y ∈-，可得()220041x y =-又易知maxmax 1MN AN =+，显然()()()222222000000000481641816AN x y x y y y y y =-+-=+-+-+-+220004763820333y y y ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，显然当01y =-时，max38205AN=-++，可得max max 16MN AN =+=，即可得C 错误，D 正确；故选：ABD12.函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且它的最小正周期是T ，已知(),0,4,,242T x x f x T T T x x ⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎤⎪-∈ ⎥⎪⎝⎦⎩，()()()g x f x a a =+∈R ．下列四个判断中，正确的有（）A.当()4T a k k =⋅∈Z 时，()()g x f x +的值只有0或4TB.当()4Ta k k =⋅∈Z 时，函数()()g x f x +既有对称轴又有对称中心C.对于给定的正整数n ，存在a ∈R ，使得10ni i T i T g f n n =⋅⋅⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑成立D.当4T a =时，对于给定的正整数n ，不存在k ∈R 且1k ≠，使得10ni i T i Tg k f n n =⋅⋅⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑成立【答案】BC 【解析】【分析】A 选项，，当4k =时，a T =，()()()2g x f x f x +=，求出()f x 的值域为,44T T ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，进而得到()(),22T T g x f x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，A 错误；B 选项，由于()g x 为()f x 平移得到，故()g x 的最小正周期也为T ，故只需研究1,2,3,4k =即可，当1k =时，4T a =，()()()4T g x f x f x f x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，推出()h x 关于8T x =轴对称，结合()f x 为奇函数，得到()h x 关于,08T ⎛⎫-⎪⎝⎭对称，同理可得2,3,4k =也满足要求，B 正确；C 选项，推出()f x 的图象关于点,02T ⎛⎫⎪⎝⎭对称，()g x 的图象关于直线2T x =对称，故()()0n i T n i Ti T i T f g f g n nn n ⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫+=⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，分n 为偶数和n 为奇数两种情况，得到C 正确；D 选项，先得到函数()g x 的图象关于y 轴对称，在C 选项基础上，得到4T a =时，10ni i T i T g f n n =⋅⋅⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，此时1k =-，D 错误.【详解】选项A ，当4k =时，a T =，()()()()()2g x f x f x T f x f x +=++=，当0,4T x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0,4T f x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，当,42T T x ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，()0,24T T f x x ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭，故0,2T x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为0,4T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，又()f x 为奇函数，故当,22T T x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为,44T T ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故()()()2,22T T g x f x f x ⎡⎤+=∈-⎢⎥⎣⎦，()g x 为()f x 平移得到，故()g x 的最小正周期也为T ，故函数()()g x f x +的最小正周期为T ，故函数()()g x f x +值域为,22T T ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故A 错误；B 选项，由于()g x 为()f x 平移得到，故()g x 的最小正周期也为T ，故只需研究1,2,3,4k =即可，当1k =时，4T a =，()()()4T g x f x f x f x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，当0,24T T x ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦时，,42T T x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时22T T f x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，当,242T T T x ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦时，0,4T x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，此时222T T T f x x x ⎛⎫⎛⎫-+=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故,0,42,,242T x x T f x T T T x x ⎧⎡⎫∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭⎛⎫-+=⎨ ⎪⎝⎭⎡⎤⎪-∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，由于()f x 为连续函数，故()2T f x f x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，故()f x 的图象在0,2T x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上关于直线4T x =对称，又()f x 为奇函数，最小正周期为T ，结合图象可知，()f x 在图象在R 上关于直线4Tx =对称，所以44T T f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()()()h x g x f x =+，则()()4T h x f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，将x 用4T x -替换，有()44T T h x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()4T h x h x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()h x 关于8Tx =轴对称，又()f x 为奇函数，故()()0f x f x -+=，所以044T T f x f x ⎛⎫⎛⎫++--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()()4T h x f x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故()44444T TT T T h x f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--++--=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()()()0444T T T h x h x f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=+++-+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()h x 关于,08T ⎛⎫-⎪⎝⎭对称，所以()()()h x g x f x =+既有对称轴，又有对称中心，当2,3,4k =时，同理可得()()()h x g x f x =+既有对称轴，又有对称中心，B 正确；C 选项，取4T a =，则()4T g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于()f x 为奇函数，故()()f x f x -=-，又()f x 的最小正周期为T ，故()()f x f x T -=+，即()()f x T f x +=-，即()()0f x T f x ++=，故()f x 的图象关于点,02T ⎛⎫⎪⎝⎭对称，由B 选项知，()f x 的图象关于直线4T x =对称，故()g x 的图象关于直线2Tx =对称，所以()n i T i Tf f nn ⎛⎫-⋅⋅⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()n i T i T g g n n ⎛⎫-⋅⋅⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()0n i T n i Ti T i Tf g f g nnn n ⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫+=⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当n 为偶数时，()02T f f T ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以10ni i T i T g f n n =⋅⋅⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，当n 为奇数时，()0f T =，所以10ni i Ti T g f n n=⋅⋅⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，C 正确；D 选项，由于4T a =，所以10ni i T i T g f n n =⋅⋅⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑成立，(),0,4,,242T x x f x T T T x x ⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎤⎪-∈ ⎥⎪⎝⎦⎩，故(),,0444,0,244T T x x T g x f x T T T x x ⎧⎡⎤+∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎛⎫=+=⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎤⎪-+∈ ⎪ ⎥⎪⎝⎭⎝⎦⎩，即(),,044,0,44T T x x g x T T x x ⎧⎡⎤+∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎤⎪-∈ ⎥⎪⎝⎦⎩，故在,44T T x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上()()g x g x -=，又()g x 的图象关于直线2Tx =对称，且最小正周期为T ，故函数()g x 的图象关于y 轴对称，所以i T i T g g nn ⋅⋅⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而10ni i T i Tg f n n =⋅⋅⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑成立，所以10ni i T i T g f n n =⋅⋅⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，故存在1k =-成立，D 错误.故选：BC【点睛】结论点睛：函数的对称性：若()()f x a f x b c ++-+=，则函数()f x 关于,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，若()()f x a f x b +=-+，则函数()f x 关于2a bx +=对称，三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.已知π0,,cos cos22αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则α=______．【答案】π12【解析】【分析】利用二倍角公式和同角三角函数关系得到tan 23α=，求出π12α=.【详解】cos cos2cos2tan 23αααααα=⇒=⇒=，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,πα∈，故π26α=，解得π12α=.故答案为：π1214.已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为12,S S ，则12S S =______．【答案】74【解析】【分析】由几何关系求出外接球和棱切球半径，再由球的表面积公式求出表面积，最后求出比值.【详解】设正三棱柱的棱长为a ，因为正三棱柱上下底面中心连线的中点O 为外接球的球心，则外接球的半径222OB OD BD =+，233323BD a a =⨯=，所以2222172312a a r ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为3OE a OF ===，所以O 为棱切球的球心，则棱切球半径2222333a r ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，所以2211222274π7124π43a S r a S r ===.故答案为：7415.一次考试后，学校将全体考生的成绩分数绘制成频率分布直方图（如下图），并按照等级划分表（如下表）对考生作出评价，若甲考生的等级为“A ”，则估计甲的分数为______．（写出满足条件的一个整数值即可）等划分范围（分数由高到低）级A +前20%（包括20%）A前20%~35%（包括35%）B +前35%~65%（包括65%）B前65%~85%（包括85%）C +前85%~95%（包括95%）C 最后5%【答案】100（答案不唯一，100,101,102,103,104,105任选其一）【解析】【分析】根据频率分布直方图可求得0.025a =，再利用成绩划分等级标准分别求出等级为“A ”的分数区间，即可得出答案.【详解】利用频率分布直方图可得()0.0060.0090.020.0320.008101a +++++⨯=，解得0.025a =，成绩在区间[]110,120内的人数占8%，在[)100,110内的人数占25%，设成绩排在前20%位的分数线为x ，则110121025x -=，解得105.2x =；设成绩排在前35%位的分数线为y ，则10021032y -=，解得99.375y =；因此考生的等级为“A ”的分数区间为[)99.375,105.2，又因为分数取整数，所以可得甲的分数所有可能取值为100,101,102,103,104,105.故答案为：100（答案不唯一）16.在如图所示的长方形台球桌面示意图中，4,2OM MP ==，桌面的六个网分别位于长方形的四个顶点及长边中点上．现有三个台球分别在3175,,2424A B C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、、三点所在的位置上，且、、A B C 三点共线．用球A 贴着桌面移动去击球C （不能碰到球B ），使得球C 沿球A 运动的方向径直落入,,O R M 三个网⊗中之一．若球和网⊗近似地看成点，且台球在桌面上为直线运动，球A 碰到桌边缘后反弹符合入射角等于反射角．则球A 击中球C 前，球A 移动的最短路径的路程为______．【答案】352352【解析】【分析】分三种情况，结合题意，连接点C 与网⊗中其中之一，得到直线，根据反射得到点A 的运动路径，得到最小值.【详解】因为用球A 贴着桌面移动去击球C （不能碰到球B ），连接RC 并延长交PM 于点T ，直线22:572242y x RC --=--，即132y x =-+，令4x =得，231y =-+=，故()4,1T ，则T 为PM 的中点，故RC 的反射直线为TW ，则1:2WT y x b =+，将()4,1T 代入1:2WT y x b =+中，得1b =-，故1:12WT y x =-，令0y =得2x =，故()2,0W ，W 为OM 的中点，直线WT 经过反射得到直线112y x b =-+，将()2,0W 代入112y x b =-+中，得11b =，故112y x =-+，其中31,24A ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足112y x =-+上，故A 球的轨迹为AW WT TC --，其中2231520244AW ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2242105WT =-+-=2275541244TC ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故轨迹长度为352AW WT TC ++=，连接MC 并延长，交PQ 于点V ，直线MC 的方程为04570442y x --=--，即()542y x =--，令2y =得165x =，故16,25V ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据反射得到反射直线25:2VL y x b =+，将16,25V ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得，2516225b ⨯+=，解得26b =-，故直线5:62VL y x =-，令0y =得5602x -=，解得125x =，故12,05L ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据反射得到直线35:2YL y x b =-+，将12,05L ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得，3512025b -⨯+=，解得36b =，故直线5:62YL y x =-+，令2y =得5622x -+=，解得85x =，故8,25Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据反射得到直线45:2YS y x b =+，将8,25Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得，458225b ⨯+=，解得42b =-，故直线5:22YS y x =-，令0y =得45x =，故4,05S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于31,24A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故令5:22YS y x =-中的32x =得5372224y =⨯-=，故点A 不在直线YS 上，故要想点A 在直线YS 上，也要经过多次反射，故路径会大于352，不合要求，舍去；连接OC 并延长，交PM 于点H ，则直线OH 的方程为514y x =，令4x =得107=y ，故104,7H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据反射得到直线反射直线55:14HZ y x b =-+，将104,7H ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入上式得，55104147b -⨯+=，解得5207b =，故直线520:147HZ y x =-+，令2y =得5202147x -+=，解得125x =，故12,25Z ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据反射得到反射直线65:14XZ y x b =+，将12,25Z ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得，65122145b ⨯+=，解得687b =，故58:147XZ y x =+，令0x =得87y =，故80,7X ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据反射得到反射直线75:14XJ y x b =-+，将80,7X ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得787b =，故58:147XJ y x =-+，由于31,24A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故令58:147XJ y x =-+中的32x =得53817142728y =-⨯+=，故31,24A ⎛⎫ ⎪⎝⎭不在反射直线58:147XJ y x =-+上，故要想点A 在直线XJ 上，也要经过多次反射，故路径会大于352，不合要求，舍去；综上，球A 移动的最短路径的路程为352.故答案为：352【点睛】新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 满足()*22,m n a n a m m n +=+∈N，且35a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：1221333n n a a a +++< ．【答案】（1）21n a n =-（2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）得到{}2-n a n 为常数列，结合35a =得到21n a n -=-，求出通项公式；（2）2133n n n n a n b -==，设{}n b 的前n 项和为n T ，错位相减法求和得到1113n n n T +=-<.【小问1详解】22m n a m a n --=，故{}2-n a n 为常数列，其中35a =，故35616a =--=-，故21n a n -=-，即21n a n =-；【小问2详解】2133n n n n a n b -==，设{}n b 的前n 项和为n T ，则21321333n n n T -=+++ ①，231113213333n n n T +-=+++ ②，两式①-②得，1121232221222211333133333333211n n n n n n T n +++-=+---+++=+-- 122233n n +-+=，故1113n n n T +=-<.18.某市随机抽取n 名市民进行智能手机使用情况调查，使用5G 手机（A 类）和使用4G 及以下或不使用手机（B 类）的人数占总人数n 的比例统计如下表：A 类B 类大于或等于60岁10%15%小于60岁45%30%（1）若用样本的频率作为概率的估计值，在全体市民中任选3人，记ξ为3人中小于60岁的人数，求ξ的分布列和数学期望；（2）若以60岁为年龄分界，讨论当n 取不同值时，依据小概率值0.01α=的独立性检验，能否判断使用手机类型与年龄有关？附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．α0.050.010.001x α 3.841 6.63510.828【答案】（1）分布列见解析，()94E ξ=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据条件判断出33,4B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，然后计算出ξ在不同取值下的概率，由此可求分布列，根据分布列可求()E ξ；（2）由已知表格得到列联表，将表中数据代入2K 的计算公式并将计算结果，分类讨论与6.635比较大小，由此可知结果【小问1详解】由表格可知，任取一人小于60岁的概率0.30.450.7534n n n P n n +===，由题意可知：33,4B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，ξ的可能取值为0，1，2，3所以()30034334410C 16P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21134334491C 16P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1223272C 1633444P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0333273C 1633444P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以ξ的分布列为：ξ0123P 16496427642764所以()19272790123646464644E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（或者()39344E ξ=⨯=）.【小问2详解】因为使用5G 手机（A 类）和使用4G 及以下或不使用手机（B 类）的人数占总人数n 的比例统计如下表：A 类B 类大于或等于60岁10%15%小于60岁45%30%所以可得列联表A 类B 类总计大于或等于60岁0.1n 0.15n 0.25n 小于60岁0.45n 0.3n 0.75n 总计0.55n 0.45n n因为0.1n ，0.15n ，0.3n ，0.45n 都是正整数，且0.1n ：0.15n ：0.3n ：0.45n =2:3:6:9所以n 是20的正整数倍，因为22(0.10.30.150.405)0.0300.4230350.5.75n n n n n K n n n n n ⨯⨯⨯-⨯⨯=≈⨯，当220n ≥时，20.030303 6.66 6.6335K n ≈>>，当200n ≤时，20.030303 6.061 6.6335K n ≈<<，所以当220n ≥且是20的正整数倍时，依据小概率值0.05α=的独立性检验认为喜欢旅游与性别有关；当200n ≤且是20的正整数倍时，依据小概率值0.05α=的独立性检验认为喜欢旅游与性别有无关.19.在四棱雉P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，2PA PD AB ===，AD =，点E 为线段AD 的中点．已知点P 在平面ABCD 上的射影在四边形ABCD 外，且直线PE 与平面ABCD 所成的角为45︒．（1）设点M 为线段CD 的中点，求证：BD PM ⊥；（2）求平面PAC 与平面ABCD 的夹角θ的余弦值．【答案】（1）详解见解析（2）22211【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出0BD PM ⋅= ，即得证（2）利用空间向量法可求得平面PAC 的法向量和平面ABCD 的一个法向量，利用向量的夹角公式求解即可.【小问1详解】作PO ⊥平面ABCD ，连接OA ，OD ，OE所以直线PE 与平面ABCD 所成的角即为45PEO ∠=︒，又因为在等腰三角形APD 中，2PE =，所以212PO EO PE ===，因为2PA PD ==，所以3OA OD ==，故⊥EO AD ，以O 为坐标原点，以垂直于OF 所在直线，OF ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，所以()()()()()0,0,1,2,3,0,2,3,0,2,1,0,2,,2,0P B C D M ---所以()()22,2,0,2,2,1BD PM =--=- ，((()2222010BD PM ⋅=-⨯-⨯+⨯-= ，所以BD PM⊥【小问2详解】点)2,1,0A ，设平面PAC 的法向量为(),,n x y z = ，则有00n PA n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，又)()2,1,1,2,2,0PA AC =-=- ，所以202220x y z x y ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨令1x =，则2,22y z ==所以(2,2n = ，取平面ABCD 的一个法向量()0,0,1m =，则22222cos 1111m n m n θ⋅===⋅ 20.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中1a =，21cos 2c A b-=．（1）求角B 的大小；（2）如图，D 为ABC 外一点，AB BD =，ABC ABD ∠=∠，求sin sin CAB CDB ∠∠的最大值．【答案】（1）π3B =（23【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦定理将边化为角，可得角的方程，化简计算，即可得到结果；（2）根据题意，由正弦定理可得sin sin CAB CD CDB AC ∠=∠，再由余弦定理分别得到22,AC CD ，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.【小问1详解】因为1a =，所以2cos 2c a A b-=，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，可得2sin sin cos 2sin C A A B -=，整理可得2sin cos 2sin sin B A C A =-，又因为()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+，化简可得sin 2sin cos A A B =，而sin 0A ≠，则1cos 2B =，又()0,πB ∈，则π3B =【小问2详解】在BCD △中，由sin sin BC CD CDB CBD =∠∠可得2sin 3sin CDB CDπ∠=，在ABC 中，由sin sin BC AC CAB ABC =∠∠可得sin 3sin CAB AC π∠=，所以sin sin CAB CD CDB AC∠=∠，设()0AB BD t t ==>，由余弦定理2222cos CD BA BC BA BC CBD =+-⋅⋅∠，2222cos AC BA BC BA BC CBA =+-⋅⋅∠，可得221CD t t =++，221AC t t =+-，因此222221211311CD t t t AC t t t t++==+≤++-+-，当且仅当1t t =时，即1t =等号成立，所以sin sin CAB CDB∠∠1AB BD ==.21.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，焦距为，且双曲线过点()3,1P -．斜率不为零的直线与双曲线交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过点P ．（1）求双曲线的方程；（2）是否存在直线AB ，使得点P 到直线AB 的距离最大？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22162x y -=（2）存在，8y x =--【解析】【分析】（1）待定系数法求解双曲线方程；（2）方法一：设直线:AB x my n =+，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，根据0PA PB ⋅= 得到()()2630m n m n --++=，即3n m =--或26n m =-，分两种情况讨论，得到直线:AB x my n =+过定点()6,2Q --，要想P 到直线AB 的距离最大，则AB ⊥PQ ，从而求出直线AB 的方程；方法二：齐次化求解，平移双曲线得()()2231162x y -+-=，设平移后的直线A B ''方程为1mx ny +=，变形得到()()26366610y y n m n m x x⎛⎫++++-= ⎪⎝⎭，根据斜率之积为-1得到则直线1mx ny +=过定点()3,3--，从而原直线AB 过定点()6,2Q --，要想P 到直线AB 的距离最大，则AB ⊥PQ ，从而求出直线AB 的方程；【小问1详解】由题意得2c =，且22911a b -=，又222+=a b c ，解得226,2a b ==，故双曲线方程为22162x y -=；【小问2详解】设直线:AB x my n =+，联立22162x y -=得()2223260m y mny n -++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则212122226,33mn n y y y y m m -+=-=--，由题意得0PA PB ⋅=，即()()()()()()112212123,13,13311PA PB x y x y x x y y ⋅=+-⋅+-=+++-- ()()()()12123311my n my n y y =+++++--()()()()221212131310m y y m n y y n ⎡⎤=+++-++++=⎣⎦，将212122226,33mn n y y y y m m -+=-=--代入上式，()()()222226213131033n mn m m n n m m -⎡⎤+-+-+++=⎣⎦--，即()()()()()222222162323330m n m n n mn n m m +--++++-+-=，化简得2229180m mn n n +---=，变形为()()2630m n m n --++=，故3n m =--或26n m =-，当3n m =--时，直线():13AB x y m =--，经过定点()3,1-，与P 重合，不合要求，当26n m =-时，直线():26AB x y m =+-，经过定点()6,2Q --，要想P 到直线AB 的距离最大，则AB ⊥PQ ，其中21163PQ k --==-+故直线AB 的斜率11AB PQk k =-=-，故直线AB 的方程为()26y x +=-+，即8y x =--.经检验，8y x =--满足要求.方法二：平移双曲线得()()2231162x y -+-=，即223660x y x y ---=，设平移后的直线A B ''方程为1mx ny +=，则有()()223660x y x y mx ny --++=，即()()()226366610n y m n xy m x ++++-=，两边同除以2x 得()()26366610y y n m n m x x ⎛⎫++++-= ⎪⎝⎭，由题意得PA PB ''⊥，设()()1122,,,A x y B x y ''，则12121261133163y y m k k m n x x n -===-⇒--=+，则直线1mx ny +=过定点()3,3--，将()3,3--向左平移3个单位，向上平移1个单位，则原直线AB 过定点()6,2Q --，要想P 到直线AB 的距离最大，则AB ⊥PQ ，其中21163PQ k --==-+故直线AB 的斜率11AB PQk k =-=-，故直线AB 的方程为()26y x +=-+，即8y x =--，经检验，8y x =--满足要求.【点睛】处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ），（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系，得到有关k 与,x y 的等式，（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至找到()00,x y ，①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的式子归为一组，变形为“()k ⋅”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k 变为常数.22.已知函数()()21ln 2f x x x mx m m =+-+∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x，且满足21x ≥（e 为自然对数的底数，e 2.7183≈）．（ⅰ）求实数m 的取值范围；（ⅱ）证明：()()210.005f x f x -<-．【答案】（1）答案见解析（2）（ⅰ）1144e e ,-⎡⎫⎪+∞⎢+⎣⎭；（ⅱ）证明过程见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，令()21g x x mx =-+，根据∆的正负分类讨论，求出函数的单调性；（2）（ⅰ）在（1）的基础上得到m>2，并根据21x ≥得到不等式，求出1144e e m -≥+，得到m 的取值范围；（ⅱ）结合12x x m +=，121=x x ，得到()()222122212ln 22x f x f x x x -=+-，根据m 的范围得到142e ,x ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭，令()2212ln 22t h t t t =+-，14e ,t ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭，求导得到其单调性，故()14e h t h ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，要证明50.00<-，只需证10e -->，结合e 2.718>且。
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a a 四川省2017届高三数学下学期第二次检测试题 文 方差：2222121[()()()]nsxxxxxxn 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分 1、已知集合{|(2)(1)0}Mxxx，{|10}Nxx，则MN=（ ） A (1，1) B (2，1) C (2，1) D (1，2) 2、设11zii，则z=（ ）
A 12 B 22 C 32 D 2
3、若x，y满足20401xyxyy，则2zyx的最小值为（ ） A 1 B 7 C 2 D 5 4、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出n的值是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 5、在ABC中，“0ABBC” 是“ABC为钝角三角形”的（ ） A 充要条件 B 必要不充分条件 C 充分不必要条件 D 既不充分也不必要条件 6、若抛物线22(0)ypxp的焦点与双曲线222xy的右焦点重合，则p的值为（ ）
A 2 B 2 C 4 D 22 7、定义在R上的函数()||xxgxeex，则满足(21)(3)gxg的x取值范围是（ ） A (，2) B (2，2) C (2，) D (1，2)
8、设a，b，c为ABC的三个内角ABC，，的对边，(31)m，，(cossin)nAA，，若mn，且coscossinaBbAcC，则角AB，的大小分别为（ ） A ππ63， B 2ππ36， C ππ36， D ππ33， 9、在ABC中，D是AB边上一点，且2ADDB，13CDCACB，则（ ） A 23 B 13 C 13 D 23 10、给出下列三个命题： a a ①函数22log(56)yxx的单调增区间是5(2,) ②经过任意两点的直线，都可以用方程121121()()()()yyxxxxyy来表示； ③命题p：“0x，210xx”的否定是“00x，20010xx”， 其中正确命题的个数有（ ）个 A 0 B 1 C 2 D 3 11、设m，nR，若直线(1)+(1)2=0mxny与圆22(1)+(y1)=1x相切，则+mn的取值范围是（ ） A [13,1+3] B (,13][1+3,+) C [222,2+22] D (,222][2+22,+) 12、已知函数2fxxax（1xee，e为自然对数的底数）与xgxe的图象上存在关于直线yx对称的点，则实数a取值范围是 （ ） A [1，1]ee B [1，1]ee C 1[ee 。1]ee D 1[ee，]e 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 13、已知数列{}na是公差不为零的等差数列，12a，且2a，4a，8a成等比数列，则数列{}na的通项公式为___________ 14、已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为___________ 15、学校艺术节对同一类的DCBA,,,四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖” 丙说：“DA,两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得 一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是___________ 16、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的各个顶点在某一个球面上，则该球面的面积为___________ 三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 a a 17 （本小题满分12分） 已知函数2()2cossin3(2cos1)fxxxx （Ⅰ）求)(xf的最大值； （Ⅱ）求(2)fx的最小正周期与单调递增区间 18、 (本小题满分12分） 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产 品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表： 质量指标值分组
[75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,
125]
频数 6 26 38 22 8 （1）在右边的坐标系中作出这些数据的频率分布直方图 （2）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80％”的规定？ 19、（本小题满分12分） 如图，在三棱柱111CBAABC中，各个侧面 均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点 （Ⅰ）求证：BD⊥平面11AACC； （Ⅱ）求证：直线1AB∥平面DBC1； （Ⅲ）设M为线段1BC上任意一点，在DBC1内的平面区域（包括边界）是否存在点E，使CEDM，并说明理由
20、（本小题满分12分） 已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点(2P,3)，且它的离心率12e （I）求椭圆的标准方程； （II）与圆22(1)1xy相切的直线lykxt：交椭圆于M、N
A B
C D
A1 B1
C1 a
a 两点，若椭圆上一点C满足OMONOC，求实数的取值范围 21、（本小题满分12分）已知函数22lnfxxx （1）讨论()fx的单调性并求最大值； （2）设2()12lnxgxxeaxxx，若()()0fxgx恒成立，求实数a的取值范围 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程.
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是2cossinxtyt（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2222cos2sin12，且直线l与曲线C交于P，Q两点 （1）求曲线C的普通方程及直线l恒过的定点A的坐标； （2）在（1）的条件下，若6APAQ，求直线l的普通方程
23、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 函数()fxxa，0a （Ⅰ）若2a 求不等式22fxfx的解集 （Ⅱ）若不等式1()(2)2fxfx的解集非空，求a的取值范围 a
a 参考答案 一、选择题： CBDBC CDCAB DA 二、填空题： 13、2nan 14 35 15 B 16 48 17、解：()sin23cos2fxxx2sin(2)3x………………3分 （Ⅰ）因为xR ，故最大值为2………………5分 （Ⅱ）(2)2sin(4)3fxx………………6分最小正周期为2………………8分 令242()232kxkkZ，解得5242242kkx……10分 故增区间为5(242k,)242k，kZ……12分（注：无kZ，扣1分） 18、解：（1）．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）质量指标值的样本平均数为
800.06900.261000.38x1100.221200.08100．．．．．．．．．．．．．6分
质量指标值的样本方差为： 22222200.06100.2600.38100.22200.08104s．．．．．8分
所以这种产品质量指标值的样本平均数的估计值为100，方差的估计值为104 （3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.380.220.080.68．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19、解：（Ⅰ）证明：因为三棱柱的侧面是正方形，所以11,CCBCCCAC,BCACC，所以1CC底面ABC，因为BD底面ABC，所以1CCBD a a O x
y
M N
由已知可得，底面ABC为正三角形 因为D是AC中点，所以BDAC 因为1ACCCC，所以BD平面11ACCA … 4分 （Ⅱ）证明：如图，连接1BC交1BC于点O，连接OD． 显然点O为1BC的中点．因为D是AC中点， 所以1//ABOD． 又因为OD平面1BCD，1AB平面1BCD，
所以直线1//AB平面1BCD． ……… 8分 （Ⅲ）在DBC1内的平面区域（包括边界）存在一点E，使CEDM 此时点E是在线段1CD上. 证明如下： 过C作1CECD交线段1CD于E， 由（Ⅰ）可知BD平面11ACCA，而CE平面11ACCA， 所以BDCE． 又1CECD，1BDCDD，所以CE平面DBC1． 又DM平面DBC1，所以CEDM ……… 12分
20、解：(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为)0(12222babyax┈┈┈┈┈┈ 1分 由已知得：22431ab，12ca，222cab，解得28a，26b┈┈┈┈4分 所以椭圆的标准方程为： 22186xy┈┈┈┈┈┈ 5分 (Ⅱ) 因为直线l：ykxt与圆22(1)1xy相切 所以22112(t0)1tktktk ┈ 6分 把ykxt代入22186xy并整理得：
C1
A B
C D
A1 B1
M E
A B
C D
A1 B1
C1
O