常微分方程段复习题1
常微分方程第一、二、三次作业参考答案
1、给定一阶微分方程2dyx dx=： （1） 求出它的通解；解：由原式变形得：2dy xdx =.两边同时积分得2y x C =+.（2） 求通过点（2，3）的特解；解：将点（2,3）代入题（1）所求的得通解可得：1C =-即通过点（2,3）的特解为：21y x =-.（3） 求出与直线23y x =+相切的解；解：依题意联立方程组：223y x Cy x ⎧=+⎨=+⎩故有：2230x x C --+=。
由相切的条件可知：0∆=，即2(2)4(3)0C --⨯-+=解得4C =故24y x =+为所求。
（4） 求出满足条件33ydx =⎰的解。
解：将 2y x C =+代入330dy =⎰，可得2C =-故22y x =-为所求。
2、求下列方程的解。
１）3x y dydx-= 2）233331dy x y dx x y -+=--解：依题意联立方程组：23303310x y x y -+=⎧⎨-+=⎩ 解得：2x =，73y =。
则令2X x =-，73Y y =-。
故原式可变成：2333dY x ydX x y-=-. 令Yu X =，则dy Xdu udx =+，即有 233263u dxdu u u x-=-+.两边同时积分，可得122(263)||u u C X --+= .将732y u x -=-，2X x =-代入上式可得： 12227()614323|2|2(2)y y C x x x -⎛⎫- ⎪--+=- ⎪-- ⎪⎝⎭.即上式为所求。
3、求解下列方程:1)24dyxy x dx+=. 解：由原式变形得：22dyxdx y=-. 两边同时积分得：12ln |2|y x C --=+. 即上式为原方程的解。
2)()x dyx y e dx-=. 解：先求其对应的齐次方程的通解： ()0dyx y dx -=. 进一步变形得：1dy dx y=.两边同时积分得：x y ce =.利用常数变异法，令()x y c x e =是原方程的通解。
常微分方程题（1）
常微分方程题（1）习题 2.51. 求解下列方程的解（1） ysinx+dxdy cosx=1 解：移项得，dxdy cosx=1-ysinx 两边同除cosx 得dx dy =—x x cos sin y+x cos 1 所以，y=e ?x x d cos )(cos 1（?x cos 1e ?-x x d cos )(cos 1dx+c ）y=cosx(2)cos 1(?xdx+c) y=cosx(?2sec xdx+c) y=cosx(tanx+c)所以 y=sinx+cosxc 为方程的通解(2)ydx-xdy=x 2ydy解：两边同除x 2得，2xxdy ydx -=ydy 则d （xy -）=d （22y ）所以，xy y +22=c 为方程的通解。
（3）dxdy =4e -y sinx-1 解：两边同乘以e y 得，e y dxdy =4sinx-e y 所以dxe d y )(=4sinx-e y 令u=e y 得，u x dx du -=sin 4 u=e ?-dx 1 (??dx xe sin 4dx+c)u=e -x (?x xe sin 4dx+c)又因为?x xe sin 4dx=4?x xde sin =4sinxe x -4?x e dsinx=4sinxe x -4?x xe cos dx=4sinxe x -4 ?x xde cos =4sinxe x -4e x cosx+4?x e d （cosx ）=4sinxe x -4e x cosx-4?x xe sin dx所以dx xe x ?sin 4=2e x sinx-2e x cosx （分步积分法）即e y =e -x （2e x sinx-2e x cosx+c ）所以e y =2（sinx-cosx ）+ce -x 为方程的通解。
（4）dx dy =xyx y - 解：分子分母同除x 得，x yxydx dy -=1令u=x y ，则y=ux,由此u dx du x dx dy +=,代入原方程得，x dx du +u=uu -1 化简得，xdx du =uu u -1 当u u ≠0时，du uu u -1=x 1dx （dx x du uu u 1)11=- （dx xdu u u 1)123=-- c x u u+=--ln ln 21 1ln ln 2c u x u++=- )21(ln 2111c y u-+-= 令-c c =121 则c y u +-=ln 211 即c y y x +-=ln 21，2)ln 21(c y y x +-= 即x=y （-2)ln 21c y + 经验证，y=0也是方程的解。
常微分方程第一、二章考试卷4
常微分方程第一二章考测验试卷(4)班级 姓名 学号 得分一．填空题（10 分）1． 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。
2．当 时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程。
3.方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有只含x 的积分因子的充要条件是 ，有只含y 的积分因子的充要条件是 。
4． 称为伯努利方程，它有积分因子 。
5． 称为黎卡提方程，若它有一个特解 ，则经换 ，可化为伯努利方程。
二.求一曲线，是起切线在纵轴之截距等于切点的横坐标。
（10 分）三.出伯努利方程的积分因子。
（15 分）四．求下列方程的通解。
（45 分）1．y 3'-x 3 (1-y ')=0 2. dx dy =312+++-y x y x 3． x(4ydx+2xdy)+y 3(3ydx+5xdy)=04．（y-1-xy ）dx+xdy=05．dxdy =y+sinx 6．(x 2y 3+xy)y '=17．(x 2-1)y '+y 2-2xy+1=0 8.32y x dx+4223yx y -dy=0 五．证明题。
（20 分）1. 一阶非齐线性方程的任两解之差必为相应的齐线性方程的解2. 齐线性方程的任一解的常数倍或任两解之和仍为其解。
参考答案一． 填空题。
1．dx dy =P （x ）y+Q(x) e dx x P )( e ⎰dx x P )((⎰+⎰-c dx e x Q dx x P )()() 2．xy x N y y x M ∂∂=∂∂),(),( 3．N X N y M x ∂∂-∂∂=)(ϕ MX N y M y -∂∂-∂∂=)(ϕ 4．n y x Q y x P dxdy )()(+= e ⎰-dx x P n )()1( 5．)()()(2x R y x Q y x P dx dy ++= y(x)=)(x y +z 二．解：设曲线的切点为（x,y ），设切线的方程为Y-y=y '(X-x)，与坐标轴的交点为（0,y-xy '），（x-'y y ） 由题意得：y-xy '=x, 即 dx dy =xy -1 令 x y =u 得y=ux 则dx du =u-1 u=-ln x +c 即x y =-ln x +c 方程的通解为y=cx--xln x 三．解：伯努利方程为：dxdy =P (x)y+Q(x)y n 两边同乘以y n -得：y n -dxdy = p(x)y 1+-n +Q(x) 则 [p(x)y 1+-n +Q(x)]dx- y n -dy=0N x N y M ∂∂-∂∂=nny y n x P ----)1)((=(n-1)P(x) 则积分因子为)(x μ=e ⎰-)()1(x P n 则)(x μy n -dy= )(x μ[p(x)y 1+-n +Q(x)]dx令'μ(x) =y n -)(x μ= y n - e ⎰-)()1(x P n则'μ(x)即为伯努利方程的积分因子。
[考研类试卷]考研数学一(常微分方程)历年真题试卷汇编1.doc
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[考研类试卷]考研数学一（常微分方程）历年真题试卷汇编1一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 (1998年)已知函数y=y(x)在任意点x处的增量且当△x→0时，α是△x的高阶无穷小，y(0)=π，则y(1)等于( )（A）2π（B）π（C）（D）2 (2016年)若是微分方程y′+p(x)y=q(x)的两个解，则q(x)=( )（A）3x(1+x2)（B）一3x(1+x2)（C）（D）3 (2008年)在下列微分方程中，以y=C1e x+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是( )（A）y"′+y"一4y′一4y=0（B）y"′+y"+4y′+4y=0（C）y"′一y"一4y′+4y=0（D）y"′一y"+4y′一4y=04 (2015年)设是二阶常系数非齐次线性微分方程y"+ay′+by=ce x的一个特解，则( )（A）a=一3，b=2，c=一1（B）a=3，b=2，c=一1（C）a=一3，b=2，c=1（D）a=3，b=2，c=1二、填空题5 (2006年)微分方程的通解是__________。
6 (2008年)微分方程xy′+y=0满足条件y(1)=1的解是y=___________。
7 (2014年)微分方程xy′+y(lnx—lny)=0满足y(1)=e3的解为y=____________。
8 (2005年)微分方程xy′+2y=zlnx满足的解为___________。
9 (2011年)微分方程y′+y=e-x cosx满足条件y(0)=0的解为y=__________。
10 (2000年)微分方程xy"+3y′=0的通解为_____________。
11 (2002年)微分方程xy"+y′2=0满足初始条件的特解是____________。
考研数学一(无穷级数,常微分方程)历年真题试卷汇编1(题后含答
考研数学一（无穷级数，常微分方程）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2009年试题，一)设有两个数列{an}，{bn}，若则( )．A．当收敛时，anbn收敛B．当发散时,anbn发散C．当收敛时,an2bn2收敛D．当发散时,an2bn2发散正确答案：C解析：A选项的反例可取an=bn=；B，D选项的反例可取an=bn=故正确答案为C．解析二考察选项C．由知，{an}有界；由收敛知．即{｜bn｜}也有界．又0≤an2bn2=an｜bn｜｜bn｜≤M｜bn｜(M为常数)，根据比较敛法知，an2bn2收敛，正确答案为C．知识模块：无穷级数2．(2006年试题，二)若级数收敛，则级数( )．A．收敛B．收敛C．收敛D．收敛正确答案：D解析：由级数收敛推出收敛；再由线性性质推出收敛，即收敛．故选D．知识模块：无穷级数3．(2004年试题，二)设为正项级数．下列结论中正确的是( )．A．若，则级数收敛B．若存在非零常数λ，使得则级数发散C．若级数收敛，则D．若级数发散，则存在非零常数λ，使得正确答案：B解析：由题设，为正项级数，可通过举反例的方法一一排除干扰项．关于A，令则发散，但故A可排除；关于C，令则收敛，但，故C也可排除；关于D，令则发散，但．即D也排除；关于B，由于发散，则由正项级数的比较判别法知发散，综上，选B．知识模块：无穷级数4．(2002年试题，二)设un≠0(n=1，2，3，…)，且则级数( ).A．发散B．绝对收敛C．条件收敛D．收敛性根据所给条件不能判定正确答案：C解析：由题设，令而由已知则根据比较判别法知发散，则原级数不是绝对收敛，排除B，考虑原级数的部分和，即由已知从而．因而所以即原级数条件收敛，选C．知识模块：无穷级数5．(2000年试题，二)设级数收敛，则必收敛的级数为( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：观察四个选项，结合题设收敛，可知D中必然收敛，因为它是两个收敛级数和逐项相加所得，关于其余三个选项，可逐一举出反例予以排除．关于A，令不难验证是收敛的交错级数，而是发散级数；关于B，令同样有为收敛的交错级数，而是发散级数；关于C，令则是收敛的交错级数，而，当n→∞时，而级数发散，因此发散．综上，选D．一般通过举反例来排除错误选项时，常以P级数．级数(当P>1时，绝对收敛；0(当P>1时，收敛；P≤1时，发散)作为反例，其中P的取值根据具体情况而定．知识模块：无穷级数6．(2011年试题，一)设数列{an}单调减少，无界，则幂级数的收敛域为( )．A．(一1，1]B．[一1，1)C．[0，2)D．(0，2]正确答案：C解析：因为{an}单调减少所以an＞0(n=1，2，…)，由交错级数的莱布尼兹法则，收敛，因为无界，所以级数发散，则的收敛域为[一1，1)，故原级数的收敛域为[0，2)．故选C．知识模块：无穷级数7．(1999年试题，二)设其中则等于( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：由题设，所给S(x)为余弦级数，周期为2，将f(x)作偶延拓，并由傅里叶级数收敛定理，知所求和函数值为选C。
常微分方程1
常 微 分 方 程试卷（一至十） 试 卷（一）一、填空题（3′×10＝30′）1、以y 1＝e 2x ，y 2=e x sinx ，y 3=e x cosx 为特解的最低阶常系数齐次线性微分方程是 。
2、微分方程4x 3y 3dx+3x 4y 2dy=0的通积分是 。
3、柯西问题x dxdy=，y （0）=1的解是 。
4、方程ydx-xdy=0的积分因子可取 。
5、证明初值问题的毕卡定理所构造的毕卡序列是 。
6、微分方程F(x ，y ，p)=0若有奇解y=ϕ (x)，则y=ϕ (x) 满足的P-判别式是 。
7、线性微分方程组Y x A dxdY)(=的解组Y 1（x ），Y 2（x ）…，Y n （x ）在某区间上线性无头的充分必要条件是。
8、设A ，则矩阵指数函数e xA ＝ 。
9、方程0=+'+''y y y 的通解是 。
10、由方程033=+'+''+'''y y a y a y 的通解是 。
二、解下列各方程（7′×4＝28） 1、求方程31-++-=y x y x dx dy 的通解： 23、621y x y xdx dy =+ 4、x e x y y y 2)53(23+=+'-''三、求单参数曲线族xy=c 的正交轨线族（10′）12′）=dxdYY五、设二阶方程0442=-'+''y y x y x 有特解y 1(x)=x ，求此方程的通解（8′）六、有一容积为10000m 3的车间。
车间的空气含有0.12%的CO 2，今用一台风量为1000m 3/min 的鼓风机通入新鲜空气，新鲜空气中含有0.04%的CO 2，向鼓风机开动10min 后，车间内CO 2的百分比降到多少？（12′）试卷（二）一、填空题（31、微分方程组的阶数是 。
2、以y 1＝e x ,y 2=xe x ,y 3=e 2x xin2x 为特解的最低阶实常系数齐次线性微分方程是 。
考研数学一常微分方程
考研数学一常微分方程1. 【单项选择题】A. x2+y2=C2B. x2-y2=C2C. x2+y2=CD. x2-y2=C正确答案：A参考解析：2. 【单项选择题】微分方程y”+2y'-3y=e-x+x的一个特解形式为（）．A. ae-x+bx+cB. axe-x+x(bx+c)C. axe-x+bx+cD. ae x+x(bx+c)正确答案：A参考解析：3. 【单项选择题】下列方程中，以y=C1e x+C2cosx+C3sinx(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是（）．A. y'''-y''+y'-y=0B. y'''+y''+y'-y=0C. y'''+y''-y'-y=0D. y'''-y''-y'-y=0正确答案：A参考解析：由通解y=C1e x+C2cosx+C3sinx，知其特征根为r1=1，r2=i，r3=-i，故对应的特征方程为(r-1)(r2+1)=0，即r3-r2+r-1=0，故对应的微分方程为y'''-y''+y'-y=0，A正确。
4. 【单项选择题】若二阶常系数线性齐次微分方程y"+py'+qy=0的通解为y=C1e x+C2xe x，则非齐次微分方程y"+py'+qy=x满足y(0)=2，y’(0)=0的特解为y=（）．A. xe x-x-2B. xe x-x+2C. -xe x+x+2D. -xe x-x+2正确答案：C参考解析：y由齐次微分方程通解为y=C1e x+C2xe x，知对应特征方程的根为r1=r2=1，其特征方程为(r-1)2=0，即r2-2r+1=0，故p=-2，q=1，所以非齐次微分方程为y"-2y'+y=x ①令特解y*=ax+b，代入上式，得-2a+ax+b=x，解得a=1，b=2，故①的通解为y=C1e x+C2xe x+x+2。
常微分方程复习(一)
因为
故存在仅与x有关的积分因子
( x) e
1 dx x
x
以 x乘方程两边得 :
( x2 2 xy)dx x2dy 0
( x2 2 xy)dx x2dy 0
这是恰当方程，对方程重新分项组合得
x dx (2xydx x dy) 0 1 3 d x ( ydx 2 x 2 dy ) 0 即 3 1 3 d ( x x2 y) 0 3 1 3 故方程的通解为: x x2 y c 3
dy f ( x, y ) 设 dx 解为y ( x, x0 , y0 ) y ( x0 ) y0
x f ( x, ) f ( x0 , y0 ) exp( dx) x0 x0 y x f ( x, ) exp( dx) x0 y0 y
exp(
1
1 dx) x x
题型：
一、填空（20分） 二、求解微分方程（组）（60分） 三、证明题（20分）
第一章 （2---4分） 1.微分方程、线性微分方程概念 2.微分方程的解、通解 3.初值问题的解、定解条件
dy f ( x, y ) 一阶微分方程 dx 的解y ( x)所表示xy平面上的一条曲线,
称为微分方程的积分曲线.
x f ( x, ) ( x, x0 , y0 ) x0 1 [ f ( x0 , y0 ) exp( dx)]x 1 [ ] y0 0 y 0 x y x0 x1 ( x, 0, 0)
0 0 0
f (1, 0) exp(
0
x
cos(
x
) dx)
0
常微分习题解答1
dy = − y / x ln y + ln x = c ； xy = C , C = 2 dx
7．人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比。 1）如果过 4 小时的细菌数既为原细菌数的 2 倍，那么经过 12 小时应有多少？ 2）如在 3 小时的时候，有细菌 104 个，那么在开始时有多少个 细菌？ 解：1）
第一章 初等积分法
1.1 微分方程和解
1、指出下列微分方程的阶数： （1）
dy = y 2 + x 3 ；一阶二次 dx
d2 y d3 = x + 3 arcsin x ；二阶一次； dx 2 dx
3
（2）
（3） y
d2 y + 1 = 0 ；二阶四次； dx 2
1
⎛ dx ⎞ （4） ⎜ ⎟ = 4 ；一阶二次； ⎝ dy ⎠
2 2
10
( x −2 + x −1 )dx − ( y −2 + y −1 )dy = 0 ln | x | − x −1 − ln | y | + y −1 = C 得 C = −2
3、利用变量替换法把下列方程化为变量可分离方程： （1）
dy = f (ax + by + c) ； dx
解： u = ax + by + c ， u ' = a + by ' = a + bf (u ) （2）
2） ( y − 2 xy )dx + x dy = 0
2 2
解： x = 0 或 y ′ = 2 y / x + ( y / x) ；
2
z + xz ′ = 2 z − z 2 ⇒ xz ′ = z (1 − z )
常微分方程练习题及答案复习题
當微分方程练习试卷3 U A1.方程X —1 = U 址R _________ I Mett. ir«rt > 微分方仪.dt-：.方w —^- = f (xy) ________ •可以化为tn分Khfi ______________ .y dxd'ys.做分方《■ ——z- —_______________________________ — x = 0 購足条d y(0) = 1, y'(0) = 2 的解“个.dx& »««»/,•» y" + ay' + fly = ye x的卄解y (x) = e~x + e x + xe x.妙此方n的系型 a = ______________________________________________ . p = ______________ . y = 5.朗躲晰列式W(f)三0Wffittffl召(f),x2(t),^-,x n(t) A a<x <b i找件仲的___________________________________________ 条件.& 方程xydx+(2x2 4- 3y2一2Q)dy = 0 的只号y有关的机分因子为__________________________________T.已知X' = A(t)X的啊时为0(0的.期A(t) = _____________________________~2 0_8.方KfflX* = X的星轄第辞为0 5_空*+尸9._________ 可用变殃紗们为利方程化；MS性方程.10._____________________________________ 丁—1 足朋方程y m + 2y" 4- 5y r + y = 1 辦“苗条”g *v<4)-v=z2H.方程』丿的ftJiiWW-Jm ____ 的心式：is.三附常不n齐仪件方丹y"—2y" + y = 0的椅征根乞________________________点的曲找方幔.matt任.点仪的wtt^w点血成“.。
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常微分方程阶段复习题
一、填空题
1. 方程y x x
y tan d d =的所有常数解是 ． 2．若y=y 1(x )，y=y 2(x )是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 ．
3．方程
22y x dx
dy +=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 _______
4. 方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是_______
5.求dx dy =f(x,y)满足00)(y x =ϕ的解等价于求积分方程_______ ____________的连续解。
6. 方程21
2)1(d d y x
y -=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 7．),(y x f y '连续是方程),(d d y x f x
y =初值唯一的 条件． 8．)()(x Q y x P dx
dy += 称为一阶线性方程，它有积分因子 ⎰-dx x P e )( ，其通解为 _________ 。
9．函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件，如果 _______ 。
10． 若)(x ϕ为毕卡逼近序列{
})(x n ϕ的极限，则有)()(x x n ϕϕ-≤ ______ 。
二、单项选择题
1.微分方程3()1y y '''=的阶数为( )
(A) 一 (B)二 (C)三 (D)五
2. 微分方程ln ln xy y y y x '=-是 ( )
（A ）可分离变量方程； （B ）齐次方程；
（C ）一阶线性微分方程； （D ）伯努利方程
3.微分方程
x
y x y dx dy +=2 的解为（ ） （A ）x C x y 2)(ln +=； （B ）0=y ； （C ）2y=(ln x +C)x y=0和； （D ）以上都不对。
4.曲线上任意点的斜率为2x,且通过点（1，3）。
则表示该曲线的函数为（ ）
（A ）y=c x +2 （B ）2y x =+
(C)22y x =+ (D) 2y x c =+ （c 为任意常数）
5.设(),()f x f x '为已知的连续函数,则方程()()()y f x y f x f x '''+=的解是( )
（A ）()
()1f x y f x ce -=-+； （B ）()()1f x y f x ce -=++； （C ）()()f x y f x c ce -=-+； （D ）()()f x y f x ce -=+
6．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ ）
（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程
（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程
7. 方程)0(d d ∞<≤=y y x
y 过点(0, 0)有（ ）． 8．求解方程3330(), dy x y xy y dx
'''+-==
注需作变换( ). （A ）y p '= （B ） 3y = p ' （C ）3 x u = （D ）不需变换 (A) 一个解 (B) 两个解 (C) 无数个解 (D) 三个解
9．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ ）．
(A) 1±=x (B)1±=y
(C)1±=y , 1±=x (D)1=y , 1=x 4.
10．方程21d d y x
y -=过点(0, 0)的解为x y sin =，此解存在区间是（ ）． （A ）),(∞+-∞ （B ）]0,(-∞ （C ）),0[∞+ （D ）]2,2[π
π-
三、求下列方程的通解或通积分：
1．)(e d d 3x x x
y y +=-
2．22d d y xy x y x
-=
3.
5d d xy y x
y +=
4．0d 3d 242
23=-+y y
x y x y x
5．0d d )1(2=+--y x x y x
6.0e =-'+'x y y
7. x e x ny dx
dy x x n sin )1()
1(1++=-+
8. dx y x ydx xdy )4(22+=-
9.已知f(x)⎰x
dt t f 0)(=1,x ≠0,试求函数f(x)的一般表达式。
四．求方程2
dy x y dx =+经过（0，0）的第三次近似解
五．
1.已知某曲线经过点(1 1) 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标 求它的方程
2．求一曲线，具有如下性质：曲线上任一点的切线，在y x ,轴上的截距之和为1．
3．求一曲线，此曲线的任一切线在两个坐标轴间的线段长等于常数a ．
六．设可导函数)(x ϕ满足：1sin )(2cos )(0+=+⎰x tdt t x x x
ϕϕ，求)(x ϕ。
七．将下列方程式化为一阶方程组
（1）0)()(=++x g x x f x &&& （2）)(d d d d 22t f kx t x c t
x m =++ （3）0)()()(321=+'+''+'''y x a y x a y x a y
八．证明题
1. 如果),(y x f 在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx
dy =的解与y=0y +dx y x f x
x ⎰0),(的解等价。
2.设(,)f x y 及f y
∂∂连续,试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x 的积分因子.
3． 证明方程)(y x f dx
dy -=经变换y x u -=后可求解。