§9.2圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系
2024年高考数学一轮总复习讲义 第三讲 圆的方程 直线与圆的位置关系
[解析] 依题意，过切点(1,1)的圆的半径所在直线方程为 y－1＝－1(x－1)， 2
x＋y－1＝0，
x＝－1，
即 x＋2y－3＝0，由
解得
因此所求圆的圆心为(－
x＋2y－3＝0，
y＝2，
1,2)，半径 r＝ －1－12＋2－12＝ 5，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2
＝5.
名师点拨：求圆的方程的两种方法
3．常见圆的方程的设法
标准方程的设法
一般方程的设法
圆心在原点 过原点
x2＋y2＝r2 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2
x2＋y2－r2＝0 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圆心在 x 轴上
(x－a)2＋y2＝r2
x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在 y 轴上
x2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＋Ey＋F＝0
x－4 3
2＋
33
y－7 3
2＝65；
9
过(－1,1)，(4,0)，(4,2)的圆的方程为 x2＋y2－16xLeabharlann 2y－16＝0，即x－8 5
2
5
5
＋(y－1)2＝169. 25
3．(2024·湖北武汉部分学校调研)圆心在直线 x＋y－1＝0 上且与直线 2x－y
－1＝0 相切于点(1,1)的圆的方程是 (x＋1)2＋(y－2)2＝5 .
[解析] 设圆心坐标为 C(a,0)， ∵点 A(－1,1)和 B(1,3)在圆 C 上， ∴|CA|＝|CB|， 即 a＋12＋1＝ a－12＋9，解得 a＝2， ∴圆心为 C(2,0)， 半径|CA|＝ 2＋12＋1＝ 10， ∴圆 C 的方程为(x－2)2＋y2＝10. 3．(选择性必修 1P98T2(1))以点(2，－1)为圆心且与直线 3x－4y＋5＝0 相切 的圆的方程为( C ) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3 C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9 [解析] 因为圆心(2，－1)到直线 3x－4y＋5＝0 的距离 d＝|6＋4＋5|＝3，所
圆的方程、直线与圆的位置关系题型归纳学生版
圆的方程、直线与圆的关系题型归纳一、学法指导与考点梳理1．圆的方程 (1)圆的方程①标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心坐标为(a ，b )，半径为r . ②一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2.(2)点与圆的位置关系①几何法：利用点到圆心的距离d 与半径r 的关系判断：d >r ⇔点在圆外，d ＝r ⇔点在圆上；d <r ⇔点在圆内．②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r 2(或0)作比较，大于r 2(或0)时，点在圆外；等于r 2(或0)时，点在圆上；小于r 2(或0)时，点在圆内． 2．直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)与圆：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)的位置关系如下表.3．圆与圆的位置关系二、重难点题型突破重难点1 圆的方程求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法．（1）由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算．对于几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． （2）由于圆的标准方程中含有三个参数a ，b ，r ，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a ，b ）是圆的定位条件，半径r 是圆的定形条件．例1．（1）当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0（2）已知圆C 关于x 轴对称，经过点(0,1)，且被y 轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( ) A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43B ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13C.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43D.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13【变式训练1】．圆心在曲线y ＝2x (x >0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝25B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5【变式训练2】．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程．重难点2 直线与圆的位置关系 判定直线与圆位置关系的常用方法：（1）几何法：根据圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数判断．（3）直线系法：若动直线过定点P ，则点P 在圆内时，直线与圆相交；当P 在圆上时，直线与圆相切或相交；当P 在圆外时，直线与圆位置关系不确定．例2．（1）直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2）若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(4,5)D ．(4,5]【变式训练1】．若直线x －y ＋m ＝0被圆(x －1)2＋y 2＝5截得的弦长为23，则m 的值为( ) A ．1 B ．－3 C ．1或－3D ．2【变式训练2】．已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦最短时，直线方程为________．【变式训练3】．在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为（I ）求圆心的轨迹方程；（II ）若点到直线，求圆的方程． 重难点3 直线、圆方程的综合应用（1）判断或处理直线和圆的位置的问题，一般有两种方法，一是几何法，利用圆的几何性质解题，二是代xOy P x y P P y x P数法，联立圆与直线的方程，利用判别式，根与系数关系来处理，在做题时要用心作图，很多题目要用到数形结合的思想．（2）若,()P x y 是定圆222()()C x a y b r -+-=：上的一动点，则mx ny +和yx这两种形式的最值，一般都有两种求法，分别是几何法和代数法．①几何法．mx ny +的最值：设mx ny t +=，圆心(,)C a b 到直线mx ny t +=的距离为22d m n=+，由d r =即可解得两个t 值，一个为最大值，一个为最小值．y x 的最值：yx即点P 与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值． ②代数法．mx ny +的最值：设mx ny t +=，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t 的两个值，一个为最大值，一个为最小值．y x 的最值：设yt x=，则y tx =，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t 的两个值，一个为最大值，一个为最小值．例3．（1）已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．2 6B ．4 C. 6 D ．2（2）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：（x －a ）2＋（y －b ）2可以转化为平面上点M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为________．【变式训练1】．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3，5)． (1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S .【变式训练2】．在平面直角坐标系xoy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（I ）求圆C 的方程；（II ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．三、课堂定时训练（45分钟）1．（2020黑龙江黑河一中高二期中）已知A (3，－2)，B (－5,4)，则以AB 为直径的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝25 B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝100 D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝1002．（2020山东潍坊三中高二期中）已知以点A (2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O ，则点M (5，－7)与圆O 的位置关系是( )A ．在圆内B ．在圆上C ．在圆外D ．无法判断3．（2020福建莆田一中高二月考）过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（ ） A ．()()22314x y -++= B ．()()22314x y ++-= C ．()()22114x y -+-=D ．()()22114x y +++=4．（2020邢台市第八中学高二期末）方程220x y Dx Ey F ++++=表示以(2,3)-为圆心,4为半径的圆,则D,E,F 的值分别为（ ） A ．4,6,3-B ．4,6,3-C ．4,6,3--D ．4,6,3--5．（2020·全国高二课时练习）直线y=x+1与圆x 2+y 2=1的位置关系为（ ） A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离6．（2020山东泰安实验中学高二期中）0y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ ）A 或B ．C ．-D ．-7．（2020全国高二课时练）与圆()22:136C x y -+=同圆心，且面积等于圆C 面积的一半的圆的方程为_________.8．（2020·上海高二课时练习）若圆22(1)(4)5x y -+-=的圆心到直线0x y a -+=的距离为2，则a 的值为_________.9．（2020湖南师大附中高二期中）已知点()()1,2,1,4A B --，求（1）过点A,B 且周长最小的圆的方程； （2）过点A,B 且圆心在直线240x y --=上的圆的方程．10．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方． (1)求圆C 的方程；(2)过点M (1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．。
第4节直线与圆、圆与圆的位置关系课件
角度2 圆的切线问题
例 2 (1) 过 点 P(2 ， 4) 引 圆 C ： (x － 1)2 ＋ (y － 1)2 ＝ 1 的 切 线 ， 则 切 线 方 程 为
_x_＝__2__或__4_x_－__3__y_＋__4_＝__0__.
解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，圆心到直线的距离 等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y
3.若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线l：x－y－2＝0的距离为1，则实数r的
取值范围是( A )
A.( 2＋1，＋∞) C.(0， 2－1)
B.( 2－1， 2＋1) D.(0， 2＋1)
解析
计算得圆心到直线
l
的距离为
2＝ 2
2＞1，如图.
直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l
第八章 平面解析几何
考试要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
内容 索引
知识诊断 基础夯实
考点突破 题型剖析
分层训练 巩固提升
知识诊断 基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
知识梳理
1.直线与圆的位置关系 设圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线 l：Ax＋By＋C＝0，圆心 C(a，b)到直线 l 的距离为 d，由（ Axx＋－Bay）＋2C＋＝（0y－b）2＝r2，消去 y(或 x)，得到关于 x(或 y) 的一元二次方程，其判别式为 Δ.
∴0＜m＜1和－1＜m＜0都是直线与圆相交的充分不必要条件.
3.(多选)(202X·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点
直线与圆、圆与圆的位置关系讲义
直线与圆、圆与圆的位置关系讲义课前双击巩固1.直线与圆的位置关系设圆O 的半径为r (r>0),圆心到直线l 的距离为d ,则直线与圆的位置关系可用下表表示:位置关系 相离 相切 相交图形量化 方程观点 Δ 0 Δ 0 Δ 0 几何观点d r d r d r2.两圆的位置关系设两圆的半径分别为R ,r (R>r ),两圆圆心间的距离为d ,则两圆的位置关系可用下表表示:位置关系 相离 外切 相交 内切 内含图形量的关系常用结论1.求圆的切线方程,常用两种方法(1)代数法:将直线方程代入圆的方程中,消去一个未知数(x 或y),令一元二次方程的判别式等于0,求出相关参数.(2)几何法:将圆的切线方程设为一般式,根据圆心到直线的距离等于半径,求出相关参数.2.直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法:运用弦心距d 、半径r 和弦长的一半构成的直角三角形,计算弦长|AB|=2√r 2-d 2.(2)代数法:设直线y=kx+m 与圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,将直线方程代入圆的方程中,消去y,得关于x 的一元二次方程,求出x M +x N 和x M ·x N ,则|MN|=√1+k 2·√(x M +x N )2-4x M ·x N.题组一常识题1.[教材改编]直线y=kx+1与圆x2+y2-2x-3=0的位置关系是.2.[教材改编]以点(2,-1)为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是.3.[教材改编]圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为.4.[教材改编]直线x-y-5=0被圆x2+y2-4x+4y+6=0所截得的弦的长为.题组二常错题◆索引:忽视分两圆内切与外切两种情形;忽视切线斜率k不存在的情形;求弦所在直线的方程时遗漏一解.5.若圆x2+y2=1与圆(x+4)2+(y-a)2=25相切,则常数a=.6.已知圆C: x2+y2=9,过点P(3,1)作圆C的切线,则切线方程为.且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则该直线的方程7.若直线过点P-3,-32为.课堂考点探究探究点一直线与圆的位置关系1 (1)直线x+ay+1=0与圆x2+(y-1)2=4的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.不能确定(2)直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )A.0<m<1B.-4<m<0C.m<1D.-3<m<1[总结反思]判断直线与圆的位置关系的常用方法:(1)若易求出圆心到直线的距离,则用几何法,利用d与r的关系判断.(2)若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达式较复杂,则用代数法,联立方程后利用Δ判断,能用几何法求解的,尽量不用代数法.式题 (1)圆2x 2+2y 2=1与直线xsin θ+y -1=0θ∈R ,θ≠π2+kπ,k ∈Z 的位置关系是 (横线内容从“相交、相切、相离、不确定”中选填).(2)过定点P (-2,0)的直线l 与曲线C :(x-2)2+y 2=4(0≤x ≤3)交于不同的两点,则直线l 的斜率的取值范围是 . 探究点二 圆的切线与弦长问题2 (1) 过点(1,1)的直线l 与圆(x-2)2+(y-3)2=9相交于A ,B 两点,当|AB |=4时,直线l 的方程为 .(2) 已知圆的方程是x 2+y 2=1,则经过上一点M √22,√22的切线方程是 .[总结反思] (1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.(2)处理圆的切线问题时,一般通过圆心到直线的距离等于半径建立关系式解决问题.若点M (x 0,y 0)在圆x 2+y 2=r 2上,则过点M 的圆的切线方程为x 0x+y 0y=r 2.式题 (1)已知直线l :x+y-2=0和圆C :x 2+y 2-12x-12y+m=0相切,则实数m 的值为 . (2) 设直线y=kx+1与圆x 2+y 2+2x-my=0相交于A ,B 两点,若点A ,B 关于直线l :x+y=0对称,则|AB |= .(3)已知点M 在直线x+y+a=0上,过点M 引圆O :x 2+y 2=2的切线,若切线长的最小值为 2√2,则实数a 的值为 ( )A. ±2√2B.±3C.±4D. ±2√5探究点三 圆与圆的位置关系3 (1) 已知圆C 1:x 2+y 2=4,圆C 2:x 2+y 2+6x-8y+16=0,则圆C 1和圆C 2的位置关系是 ( )A.相离B.外切C.相交D.内切(2)已知经过点P1,32的两个圆C1,C2都与直线l1:y=12x,l2:y=2x相切,则这两圆的圆心距C1C2等于.[总结反思](1)处理两圆的位置关系时多用圆心距与半径的和或差的关系判断,一般不采用代数法.(2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.式题(1)已知点O(0,0),M(1,0),且圆C:(x-5)2+(y-4)2=r2(r>0)上至少存在一点P,使得|PO|=√2|PM|,则r的最小值是.(2)设P(x1,y1)是圆O1:x2+y2=9上的点,圆O2的圆心为O2(a,b),半径为1,则(a-x1)2+(b-y1)2=1是圆O1与圆O2相切的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件课时作业一、填空题1．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是________．2．过两圆x2＋y2＋3x＋2y＝0及x2＋y2＋2x＋6y－4＝0的交点的直线方程是________．3．已知直线l：y＝k(x－1)－3与圆x2＋y2＝1相切，则直线l的倾斜角为________．4．若圆心在x轴上，半径为5的圆C位于y轴左侧，且被直线x＋2y＝0截得的弦长为4，则圆C的方程是________．5．若过点P(1，3)作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A和B，则弦长|AB|＝________．6．过点(1,1)的直线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．7．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则________．8．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于________．9．设直线l截圆x2＋y2－2y＝0所得弦AB的中点为(－12，32)，则直线l的方程为________；|AB|＝________．10．设圆C同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y＝x上；③截y轴所得的弦长为4，则圆C 的方程是________．11．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为23，则a＝________.二、解答题12．一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为27，求此圆的方程．13．已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程．。
直线与圆、圆与圆的位置关系
①，圆 C 2： x 2＋ y 2＋ D 2 x ＋ E
②，若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得( D 1－
D 2) x ＋( E 1－ E 2) y ＋ F 1－ F 2=0
③，方程③表示圆 C 1与 C 2的公共弦
所在直线的方程.
2. 两圆公共弦长的求法
先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距 d ，半弦长
若｜ AB ｜＝6，则 r 的值为
5 .
设圆心(0，0)到直线 x － 3 y ＋8＝0的距离为 d ，
则d＝
｜8 ｜
＝4，
12 ＋(− 3)2
所以 r 2＝
｜｜
2
2
又 r ＞0，所以 r ＝5.
＋ d 2＝32＋42＝25.
方法总结
1. 求直线与圆相交弦长的常用方法
(1)几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成
所以｜ AB ｜＝ (−4 − 0)2 ＋(0 − 2)2 ＝2 5 ，即公共弦长为2 5 .
法二：由 x 2＋ y 2－2 x ＋10 y －24＝0，得( x －1)2＋( y ＋5)2＝50，圆 C 1的
圆心坐标为(1，－5)，半径 r ＝5 2 ，圆心到直线 x －2 y ＋4＝0的距离为
d＝
(3)过圆 x 2＋ y 2＝ r 2外一点 P ( x 0， y 0)作圆的两条切线，切点分别为 A ，
B ，则过 A ， B 两点的直线方程为 x 0 x ＋ y 0 y ＝ r 2．
◉角度(二) 弦长问题
例2 (1)已知直线 y ＝2 x 与圆 − 2
则 ＝(
B )
2＋
−2
2 ＝1交于 A ， B 两点，
圆及直线与圆的位置关系
（x+
D ）2+（y+
2
E 2
）2= D2
E2 4
4F
.
O
rM C
（把1方）程圆x的2 一y般2 方D程x 体 E现y 了F圆方0(程D的2 代E数2 特4点F ：0x)2、y2 项系数相
等且（不其为2中）零当，. 半没D2径有+E是x2－yr 项4F.=D0
2时，E2方2 程4（F *，）圆表心示坐点标（是－
则 d r 相离 0 ;
d r 相切 0 ;
d r 相交 0 .
9
二、考点透视 11.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，O1O2 d
0 d r1 r2 内含 无公切线
O1
O2
O1
O2
d r1 r2 内切 1条公切线
②圆心在点 C(a，b) ，半径为 r 的圆的参数方程是：
x a r cos
y
b
r
sin
(是参数)
在①中消去θα 得 x2+y2=r2，在②中消去θ得
（x－a）2+（y－b）2=r2，
把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程.
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二、考点透视 5.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示 圆的充要条件: ①A=C≠0，②B=0，③D2+E2－4AF＞0. 6. 线段AB为直径的圆的方程：
( D , E ) 圆心, r D 2 E 2 4F .
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二、考点透视 10.研究圆与直线的位置关系最常用的方法 ①判别式法； ②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系.