2013年高考真题——数学理(全国大纲版)解析版
2013年高考理科数学全国卷1-答案
故选A．故选A．综上可知：[,0]2a ∈-．（步骤4）【提示】由1n n a a +=可知n n n A B C △的边n n B C 为定值1a ，由111112(2)2n n n n b c a b c a +++=+--及1112b c a +=得12n n b c a +=，则在n n n A B C △中边长1n n B C a =为定值，另两边n n n n A C A B 、的长度之和12n n b c a +=为定值，由此可知顶点n A 在以n n B C 、为焦点的椭圆上，根据111()2n n n n b c b c ++=---，得1111()2n n n b c b c -⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，可知n →+∞时n n b c →，据此可判断n n n A B C △的边n n B C 的高n h 随着n 的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．51111得1AB AC ⊥； （Ⅱ）易证OA ，1OA ，OC 两两垂直．以O 为坐标原点，OA u u u r的方向为x 轴的正向，||OA u u u r 为单位长，建立r u u u r【提示】（Ⅰ）设动圆的半径为R ，由已知动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，可得1212()()|+|+++4PM PN R r r R r r ==-=||，而||2NM =，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（Ⅱ）设曲线C 上任意一点,()P x y ，由于||2222PM PN R ≤|-|=-，所以2R ≤，当且仅当圆P 的圆心为所以可设l ：4)+(y k x =，与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出． 【考点】圆的标准方程及其性质，椭圆的的定义及其几何性质，直线与双曲线的位置关系． 21.【答案】（Ⅰ）4a =2b = 2c = 2d =（Ⅱ）2[1,]e【解析】（Ⅰ）由已知得(0)2f =，(0)2g =，(0)4f '=，(0)4g '=．（步骤1）而+()2f x x a ='，((+))+xg x e cx d c '=，故2b =，2d =，4a =，+4d c =.（步骤2）从而4a =，2b =，2c =，2d =．（步骤3）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()+4+2f x x x =，()21)+(x g x e x =．设函数2()()()2()+142x F x kg x f x ke x x x =-=---，则()2+()2242+1(2())x x F x ke x x x ke '=--=-．由题设可得(0)0F ≥，即1k ≥（步骤4）令()0F x '=得1ln x k =-，22x -=．（步骤5）①若21k e ≤<，则120x <≤-．从而当12(),x x ∈-时，()0F x '<；当1(),+x x ∈∞时，()0F x '>．即()F x 在1()2,x -单调递减，在1(),+x ∞单调递增．故()F x 在[)2,+-∞的最小值为1()F x ．（步骤6）而1111211()2+24+0)22(F x x x x x x =--=-≥-．故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f kg x x ≤恒成立．（步骤7）②若2k e =，则2222+()()()2x F e x e e x -'=-．从而当2x >-时，)0(F x '>，即F (x )在()2,+-∞单调递增．而()20F -=，故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f kg x x ≤恒成立．（步骤8）③若2k e >，则22222+220()()F ke e k e ---=-=-<-．从而当2x ≥-时，()()f kg x x ≤不可能恒成立．综上，k 的取值范围是2[1,]e ．（步骤9）【提示】（Ⅰ）对()f x ，()g x 进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ，从而解出a ，b ，c ，d 的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得出()f x ，()g x 的解析式，再求出()F x 及它的导函数，通过对k 的讨论，判断出()F x 的【提示】（Ⅰ）对于曲线1C 利用三角函数的平方关系式22sin cos 1t t +=即可得到圆1C 的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到1C 的极坐标方程；（Ⅱ）先求出曲线2C 的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标3⎝⎦21||23|2|x x y x +-=---，画出函数y 的图象，数形结合可得结论．。
2013年全国高考理数真题试卷(大纲卷)
第1页，总16页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2013年全国高考理数真题试卷（大纲卷）考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 四 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共12题)B={4，5}，M={x|x=a+b ，a∈A ，b∈B}，则M 中元素的个数为（ ） A . 3 B . 4 C . 5 D . 62. 已知函数f （x ）的定义域为（﹣1，0），则函数f （2x+1）的定义域为（ ） A . （﹣1，1） B . C . （﹣1，0） D .3. 椭圆C ：的左、右顶点分别为A 1、A 2 ， 点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是（ ） A .B .C .D .4. 已知函数f （x ）=cosxsin2x ，下列结论中错误的是（ ）A . y=f （x ）的图象关于（π，0）中心对称B . y=f （x ）的图象关于x= 对称C . f （x ）的最大值为D . f （x ）既是奇函数，又是周期函数5. 已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，点M （﹣2，2），过点F 且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若，则k=（ ）答案第2页，总16页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A .B .C .D . 26. 已知数列{a n }满足3a n+1+a n =0，a 2=﹣ ，则{a n }的前10项和等于（ ）A . ﹣6（1﹣3﹣10） B .C . 3（1﹣3﹣10）D . 3（1+3﹣10）7. 若函数f （x ）=x 2+ax+是增函数，则a 的取值范围是（ ）A . [﹣1，0]B . [﹣1，∞]C . [0，3]D . [3，+∞] 8.=（ ）A . ﹣8B . 8C . ﹣8iD . 8i9. 已知正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于（ ）A .B .C .D .10. （1+x ）3（1+y ）4的展开式中x 2y 2的系数是（ ） A . 5 B . 8 C . 12 D . 1811. 函数f （x ）=log 2（1+ ）（x ＞0）的反函数f ﹣1（x ）=（ ）A .B .C . 2x ﹣1（x∈R ）D . 2x ﹣1（x ＞0）12. 已知向量 =（λ+1，1）， =（λ+2，2），若（ + ）∈（ ﹣ ），则λ=（ ） A . ﹣4 B . ﹣3 C . ﹣2 D . ﹣1第Ⅱ卷 主观题第Ⅱ卷的注释评卷人得分一、填空题（共4题)。
2013年高考数学(全国卷)理科及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合M=｛x|(x+1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N=（）（A）｛0，1，2｝（B）｛-1，0，1，2｝（C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}（2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z= （）（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i（3）等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1= （）（A）（B）-（C）（D）-（4）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β。
直线l满足l ⊥m，l ⊥n，l β，则（）（A）α∥β且l ∥α（B）α⊥β且l⊥β（C）α与β相交，且交线垂直于l （D）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+ɑx）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ=（A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的s=（A）1+ + +…+（B ）1++ +…+（C ）1+ + +…+（D ）1++ +…+（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为搞影面，则得到正视图可以为(A) (B) (C) (D)（8）设ɑ=log 36,b=log 510,c=log 714,则（A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a（C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件 ,若z=2x+y 的最小值为1，则a=(A)(B) (C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=x2+αx2+bx+，下列结论中错误的是（A ）∑x α∈R f(x α)=0（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若xn 是f （x ）的极值点，则f 1(x α)=0（11）设抛物线y2=3px(p ≥0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5若以MF 为直径的园过点（0，3），则C 的方程为（A ）y2=4x 或y2=8x （B ）y2=2x 或y2=8x（C ）y2=4x 或y2=16x （D ）y2=2x 或y2=16x（12）已知点A （-1，0）；B （1，0）；C （0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是x ≥1, x+y ≤3, y ≥a(x-3). {（A）（0，1）(B)（1-，1/2）( C)（1-，1/3）(D)[ 1/3, 1/2）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
2013年高考理科数学全国新课标卷1(附答案)
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I新课标)注意事项：1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置．3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则()．A．A∩B＝B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆B答案：B解析：∵x(x－2)＞0，∴x＜0或x＞2.∴集合A与B可用图象表示为：由图象可以看出A∪B＝R，故选B.2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为()．A．－4 B．45-C．4 D．45答案：D解析：∵(3－4i)z＝|4＋3i|，∴55(34i)34i 34i(34i)(34i)55z+===+--+.故z的虚部为45，选D.3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()．A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样答案：C解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C：2222=1x ya b-(a＞0，b＞0)的离心率为52，则C的渐近线方程为()．A．y＝14x±B．y＝13x±C．y＝12x±D．y＝±x答案：C解析：∵52cea==，∴22222254c a bea a+===.∴a2＝4b2，1 =2 ba±.∴渐近线方程为12b y x x a =±±.5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5] 答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)． 若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]． 综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A.6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm 3 B ．866π3cm 3C ．1372π3cm 3D ．2048π3cm 3答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ， 由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5， 所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 7．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3. ∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C.8．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π 答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 答案：B解析：由题意可知，a ＝2C mm ，b ＝21C mm +， 又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)，即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y + B ．22=13627x y + C ．22=12718x y + D ．22=1189x y + 答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+， 即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9.∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0] 答案：D解析：由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C. ②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x . 故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax .当x ＝0时，不等式为0≥0成立． 当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a . ∵x －2＜－2，∴a ≥－2. 综上可知：a ∈[－2,0]．12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n nb a +，则( )． A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________.答案：2解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ， ∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ， ∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t . ∴t ＝2.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{a n }的前n 项和2133n n S a =+，则{a n }的通项公式是a n ＝__________. 答案：(－2)n －1解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.②①－②，得12233n n n a a a -=-，即1n n aa -＝－2. ∵a 1＝S 1＝12133a +，∴a 1＝1.∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.答案： 解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭，令cos αsin α＝则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )，所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝5=-16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x ＝－2对称，则f (x )的最大值为__________．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称， ∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15. 由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2上为增函数，在(－22)上为减函数，在(－2，－2上为增函数，在(－2∞)上为减函数．∴f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15] ＝－3(4－16＋15) ＝－9.f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16.故f (x )的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求P A ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA . 解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得P A 2＝11732cos 30424+-︒=.故P A (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBAsin sin(30)αα=︒-，α＝4sin α. 所以tan α，即tan ∠PBA18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值． (1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B . 因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB . 由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°， 故△AA 1B 为等边三角形， 所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C . (2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ， 所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz.由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，B (－1,0,0)．则BC ＝(1,0，1BB ＝1AA ＝(－10)，1AC ＝(0，． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn 即0,30.x x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝1，－1)．故cos 〈n ，1AC 〉＝11AC AC ⋅n n ＝. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n .如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2)＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且 P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14.所以X 的分布列为EX ＝111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |. 解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3. 设圆P 的圆心为P(x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切， 所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y)，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2. 所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP RQM r=，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M =1，解得k ＝4±. 当k ＝4时，将4y x =代入22=143x y +， 并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±.所以|AB |2118|7x x -=.当4k =-时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝|AB |＝187.21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2.(1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围．解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4. 而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )， 故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x (x ＋1)． 设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2， 则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x －1)． 由题设可得F (0)≥0，即k ≥1. 令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.①若1≤k ＜e 2，则－2＜x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )＞0.即F (x )在(－2，x 1)单调递减，在(x 1，＋∞)单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)的最小值为F (x 1)．而F (x 1)＝2x 1＋2－21x －4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0.故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．②若k ＝e 2，则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)(e x －e －2)．从而当x ＞－2时，F ′(x )＞0，即F (x )在(－2，＋∞)单调递增． 而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．③若k ＞e 2，则F (－2)＝－2k e －2＋2＝－2e －2(k －e 2)＜0. 从而当x ≥－2时，f (x )≤kg (x )不可能恒成立． 综上，k 的取值范围是[1，e 2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .(1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径． (1)证明：连结DE ，交BC 于点G . 由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG＝2.设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将cos,sinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由2222810160,20x y x yx y y⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1xy=⎧⎨=⎩或0,2.xy=⎧⎨=⎩所以C1与C2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫⎪⎝⎭.24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0. 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0. 所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立． 故2a -≥a －2，即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。
2013年高考理科数学全国新课标卷1试题与答案解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )． A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆A D ．A ⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4D ．45 3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm3B ．866π3cm3C ．1372π3cm3D ．2048π3cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y + D ．22=1189x y +11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n n b a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列B ．{Sn}为递增数列C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n 项和2133n n S a =+，则{an}的通项公式是an ＝_______.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax ＋b)的图像关于直线x ＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，ABBC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA.18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y ＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D. 3．答案：C解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．答案：C解析：∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2，1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±.5．答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A.6．答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5， 所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 7．答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3.∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C.8．答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9．答案：B解析：由题意可知，a ＝2C m m ，b ＝21C m m +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)， 即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10．答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上， ∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+， 即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2， 而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 11．答案：D解析：由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C.②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax .当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a.∵x －2＜－2，∴a ≥－2.综上可知：a ∈[－2,0]．12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t . ∴t ＝2.14．答案：(－2)n －1解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.② ①－②，得12233n n n a a a -=-， 即1n n a a -＝－2. ∵a 1＝S 1＝12133a +， ∴a 1＝1.∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1.15．答案：5- 解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭， 令cos αsin α＝- 则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )， 所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝5=-. 16．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－22)上为减函数，在(－2，－2)上为增函数，在(－2∴f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2)＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f (－2)＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16.故f (x )的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=.故PA . (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得sin sin150sin(30)αα=︒︒-，cos α＝4sin α.所以tan αtan ∠PBA 18．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直． 以O 为坐标原点，OA u u u r 的方向为x 轴的正方向，|OA u u u r |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，0)，C (0,0，B (－1,0,0)．则BC uuu r ＝(1,0，1BB u u u r ＝1AA u u u r ＝(－1，0)，1AC u u u r ＝(0，． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量， 则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n即0,0.x x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝1，－1)． 故cos 〈n ，1AC u u u r 〉＝11A C A C⋅u u u r n n＝. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2) ＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且 P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14. 所以X 的分布列为EX ＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 20．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M ， 解得k ＝4±. 当k ＝4时，将4y x =代入22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2所以|AB |2118|7x x -=.当4k =-时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝|AB |＝187. 21．解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4.从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x (x ＋1)．设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x －1)．由题设可得F (0)≥0，即k ≥1.令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.①若1≤k ＜e 2，则－2＜x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )＞0.即F (x )在(－2，x 1)单调递减，在(x 1，＋∞)单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)的最小值为F (x 1)． 而F (x 1)＝2x 1＋2－21x －4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0.故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．②若k ＝e 2，则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)(e x －e －2)．从而当x ＞－2时，F ′(x )＞0，即F (x )在(－2，＋∞)单调递增．而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．③若k ＞e 2，则F (－2)＝－2k e －2＋2＝－2e －2(k －e 2)＜0.从而当x ≥－2时，f (x )≤kg (x )不可能恒成立．综上，k 的取值范围是[1，e 2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE ，交BC 于点G .由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC .(2)解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG ＝2. 设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG ＝60°.从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，所以CF ⊥BF ，故Rt△BCF . 23． 解：(1)将45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0. 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立． 故2a -≥a －2，即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。
2013高考数学试卷(新课标全国卷Ⅱ理科)详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(新课改II)(理科)第Ⅰ卷〔选择题 共50分〕一.选择题：本大题共10小题。
每题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
〔1〕已知集合M = {x | (x -1)2 < 4, x ∈R }，N =｛-1, 0, 1, 2, 3｝，则M ∩ N =〔A 〕{0, 1, 2｝ 〔B 〕{-1, 0, 1, 2} 〔C 〕{-1, 0, 2, 3} 〔D 〕{0, 1, 2, 3}答案：A【解】将N 中的元素代入不等式：(x -1)2 < 4进行检验即可. 〔2〕设复数z 满足(1-i )z = 2 i ，则z =〔A 〕-1+ i 〔B 〕-1- i 〔C 〕1+ i 〔D 〕1- i答案：A【解法一】将原式化为z = 2i1- i,再分母实数化即可.【解法二】将各选项一一检验即可.〔3〕等比数列{a n }的的前n 项和为S n ，已知S 3 = a 2 +10a 1 ，a 5 = 9，则a 1 =〔A 〕13〔B 〕- 13〔C 〕19〔D 〕- 19答案：C【解】由S 3 = a 2 +10a 1 ⇒ a 3 = 9a 1 ⇒ q 2 = 9 ⇒ a 1 =a 5q 4 = 19〔4〕已知m , n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β . 直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊂ /α，l ⊂ /β, 则：〔A 〕α∥β且l ∥α 〔B 〕α⊥β且l ⊥β 〔C 〕α与β 相交，且交线垂直于l 〔D 〕α与β 相交，且交线平行于l 答案：D【解】显然α与β 相交，不然α∥β 时⇒ m ∥n 与m , n 为异面矛盾. α与β 相交时，易知交线平行于l .〔5〕已知(1+a x )(1+x )5的展开式中x 2的系数为5，则a = 〔A 〕- 4 〔B 〕- 3〔C 〕- 2 〔D 〕- 1 答案：D 【解】x 2的系数为5 ⇒C 25+a C 15 = 5 ⇒a = - 1〔6〕执行右面的程序框图，如果输入的N =10，那么输出的S =〔A 〕1+ 12 + 13 + … + 110〔B 〕1+ 12! + 13! + … + 110!〔C 〕1+ 12 + 13 + … + 111〔D 〕1+ 12! + 13! + … + 111!答案：B【解】变量T , S , k 的赋值关系分别是：T n+1 =T nk n, S n+1 = S n+ T n+1, k n+1 = k n + 1.( k 0 =1, T 0 = 1, S 0 = 0) ⇒ k n= n + 1, T n= T nTn -1×T n -1T n -2× …×T 1T 0×T 0= 1k n -1×1k n -2×…×1k 0 = 1n !, S n= (S n - S n -1) + (S n -1- S n -2) + … + (S 1- S 0) + S 0 = T n+ T n -1 + … + T 0= 1+12! + 13! + … + 1n !满足k n> N 的最小值为k 10= 11，此时输出的S 为S 10〔7〕一个四面体的顶点在空间直角坐标系O -xyz 中的坐标分别是(1, 0, 1)，(1, 1, 0〕，(0, 1, 1〕，(0, 0, 0)，画该四面体三视图中的正视图时，以z O x 平面为投影面，则得到正视图可以为答案：A 【解】〔8〕设a = log 36，b = log 510，c = log 714，则〔A 〕c > b > a 〔B 〕b > c > a 〔C 〕a > c > b 〔D 〕a > b > c答案：D【解】a = 1 + log 32，b = 1 + log 52，c = 1 + log 72log 23 < log 25 < log 27 ⇒ log 32 > log 52 > log 72 ⇒ a > b > c〔9〕已知a > 0，x , y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1x + y≤3y ≥a (x - 3) , 假设z =2x + y 的最小值为1，则a =〔A 〕14〔B 〕12〔C 〕1 〔D 〕2 答案：B 【解】如下图，当z =1时，直线2x + y = 1与x = 1的交点C (1, -1) 即为最优解，此时a = k BC = 12(A)(B) (C) (D)l xy C1A (1, 2)B (3, 0)o〔10〕已知函数f (x ) = x 3 + a x 2 + b x + c ，以下结论中错误的选项是〔A 〕 x 0∈R , f (x 0)= 0〔B 〕函数y = f (x )的图像是中心对称图形〔C 〕假设x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(-∞, x 0)单调递减〔D 〕假设x 0是f (x )的极值点，则f '(x 0 ) = 0答案：C【解】f (x ) 的值域为(-∞, +∞), 所以〔A 〕正确； f (x ) = [x 3 + 3x 2• a 3 + 3x •( a 3)2 + ( a 3)3 ]+ b x - 3x •( a 3)2 + c - ( a3)3= (x + a 3)3 + (b - a 23)(x + a 3) + c - ab 3 - 2a 327因为g (x ) = x 3 + (b -a 23)x 是奇函数，图像关于原点对称， 所以f (x ) 的图像关于点(- a 3 , c - ab 3 - 2a 327)对称.所以〔B 〕正确；显然〔C 〕不正确；〔D 〕正确.〔11〕设抛物线C ：y 2 =2p x ( p > 0)的焦点为F ，点M 在C 上，| MF |=5，假设以MF 为直径的圆过点(0, 2)，则C 的方程为 〔A 〕y 2 = 4x 或y 2 = 8x 〔B 〕y 2 = 2x 或y 2 = 8x 〔C 〕y 2 = 4x 或y 2 = 16x 〔D 〕y 2 = 2x 或y 2 = 16x 答案：C【解】设M (x 0, y 0)，由| MF |=5 ⇒ x 0 + p 2 = 5 ⇒ x 0 = 5 - p2圆心N (x 02 + p 4 , y 02 )到y 轴的距离| NK | = x 02 + p 4 = 12| MF |，则圆N 与y 轴相切，切点即为K (0, 2)，且NK 与y 轴垂直⇒ y 0 = 4 ⇒2p (5 - p2 ) = 16 ⇒ p = 2或8 .〔12〕已知点A (-1, 0)，B (1, 0)，C (0, 1)，直线y = a x +b (a > 0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是：〔A 〕(0, 1)〔B 〕(1-22 , 12)〔C 〕(1-22 , 13](D) [ 13 , 12)答案：B【解】情形1：直线y = a x +b 与AC 、BC 相交时，如下图，设MC = m , NC = n , 由条件知S △MNC = 12 ⇒ mn = 1显然0 < n≤ 2 ⇒ m =1n ≥ 22又知0 < m≤ 2 , m ≠n 所以22≤ m ≤ 2 且m ≠1D 到AC 、BC 的距离为t , 则t m + t n = DN MN + DMMN= 1⇒ t = mn m +n ⇒1t = m + 1mf (m ) = m + 1m (22 ≤ m ≤ 2 且m ≠1)的值域为(2, 322 ] ⇒ 2 < 1t ≤322 ⇒ 23 ≤ t < 12因为b =1- CD =1- 2t ，所以1-22 < b ≤ 13情形2：直线y = a x +b 与AB 、BC 相交时，如下图， 易求得x M = - b a , y N = a +b a +1 ,由条件知(1+ b a ) a +ba +1 = 1⇒ b 21-2b= aM 在线段OA 上⇒0< ba <1 ⇒0 < a < bN 在线段BC 上⇒0<a +ba +1<1 ⇒b < 1 解不等式：0 < b 21-2b < b 得 13 < b < 12综上：1-22 < b < 12二、填空题：本大题共4小题，每题5分。
2013年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)
2013年河北省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4 B．C．4 D．3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样 B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样 D．系统抽样4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．68．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5 B．6 C．7 D．810．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=．14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=．16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）24．（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．2013年河北省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴A∩B={x|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，故选B．2．（5分）（2013•新课标Ⅰ）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4 B．C．4 D．【分析】由题意可得z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．3．（5分）（2013•新课标Ⅰ）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样 B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样 D．系统抽样【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．4．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．5．（5分）（2013•新课标Ⅰ）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故选A．6．（5分）（2013•新课标Ⅰ）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选A．7．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1与a m，进而得到公差d，由前n项和公式及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m=2可得m值．【解答】解：a m=S m﹣S m﹣1=2，a m+1=S m+1﹣S m=3，﹣a m=1，所以公差d=a m+1S m==0，得a1=﹣2，所以a m=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，故选C．8．（5分）（2013•新课标Ⅰ）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．∴长方体的体积=4×2×2=16，半个圆柱的体积=×22×π×4=8π所以这个几何体的体积是16+8π；故选A．9．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b求得m的值．【解答】解：∵m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a=，同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b==．再由13a=7b，可得13=7，即13×=7×，即13=7×，即13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，故选：B．10．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（）A．B．C．D．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选D．11．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D12．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n 的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣【分析】由a n+12a1=及b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n+1﹣c n+1=，得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，据此可判断△A n B n C n的边B n C n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由题意，+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，﹣c n+1=，∴=a1﹣b n，又由题意，b n+1﹣a1=，∴b n﹣a1=，∴b n+1∴，c n=2a1﹣b n=，∴[][]=[﹣]单调递增（可证当n=1时＞0）故选B．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=2．【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．【解答】解：∵，，∴=0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．故答案为2．14．（5分）（2013•新课标Ⅰ）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=（﹣2）n﹣1．【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．【解答】解：当n=1时，a1=S1=，解得a1=1当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣（）=，整理可得，即=﹣2，故数列{a n}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，故当n≥2时，a n=（﹣2）n﹣1，经验证当n=1时，上式也适合，故答案为：（﹣2）n﹣115．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=﹣．【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案为：﹣16．（5分）（2013•新课标Ⅰ）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为16．【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，即可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]=0，解之得，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣，x2=﹣2，x3=﹣2+，当x∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣，﹣2）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣2，﹣2+）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2+，+∞）时，f′（x）＜0∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数．又∵f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，∴f（x）的最大值为16．故答案为：16．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（2013•新课标Ⅰ）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化简即可求出．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．∴PA=．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．18．（12分）（2013•新课标Ⅰ）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB ⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即为所求正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．19．（12分）（2013•新课标Ⅰ）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）==（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=，P（X=500）=，P（X=400）=1﹣﹣=，故X的分布列如下：X 400 500 800P故EX=400×+500×+800×=506.2520．（12分）（2013•新课标Ⅰ）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R ≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到7x2+8x﹣8=0．∴，．∴|AB|===由于对称性可知：当时，也有|AB|=．综上可知：|AB|=或．21．（12分）（2013•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f （x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1）设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）=2ke x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．23．（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【分析】（Ⅰ）对于曲线C1利用三角函数的平方关系式sin2t+cos2t=1即可得到圆C1的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C1的极坐标方程；（Ⅱ）先求出曲线C2的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出C1与C2交点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程式（t为参数），得（x﹣4）2+（y﹣5）2=25即为圆C1的普通方程，即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0．将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，此即为C1的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0，由，解得或．∴C1与C2交点的极坐标分别为（，），（2，）．24．（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x ﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，画出函数y的图象，数形结合可得结论．（Ⅱ）不等式化即1+a≤x+3，故x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a ﹣2，由此解得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）=1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，解得a≤，故a的取值范围为（﹣1，]．。
2013年高考数学试题及答案(全国卷理数3套)
2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知集合M＝{x|（x﹣1）2＜4，x∈R}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，则M∩N＝（）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，2，3}D．{0，1，2，3} 2．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设复数z满足（1﹣i）z＝2i，则z＝（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．（5分）（2013•新课标Ⅱ）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3＝a2+10a1，a5＝9，则a1＝（）A．B．C．D．4．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l ⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l5．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a＝（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣16．（5分）（2013•新课标Ⅱ）执行右面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝（）A．B．C．D．7．（5分）（2013•新课标Ⅱ）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．8．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c9．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知a＞0，实数x，y满足：，若z＝2x+y的最小值为1，则a＝（）A．2B．1C．D．10．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）＝0B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）单调递减D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝011．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（）A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a ＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则•＝．14．（5分）（2013•新课标Ⅱ）从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝．15．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设θ为第二象限角，若tan（θ+）＝，则sinθ+cosθ＝．16．（5分）（2013•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10＝0，S15＝25，则nS n 的最小值为．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤：17．（12分）（2013•新课标Ⅱ）△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C+c sin B．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b＝2，求△ABC面积的最大值．18．（12分）（2013•新课标Ⅱ）如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．19．（12分）（2013•新课标Ⅱ）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T表示为x的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x∈[100，110））则取x ＝105，且x＝105的概率等于需求量落入[100，110）的频率，求T的数学期望．20．（12分）（2013•新课标Ⅱ）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．（Ⅰ）求M的方程（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．21．（12分）（2013•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+m）（Ⅰ）设x＝0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．选考题：（第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答．请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分评分，作答时请写清题号）22．（10分）（2013•新课标Ⅱ）【选修4﹣1几何证明选讲】如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB 与弦AC上的点，且BC•AE＝DC•AF，B、E、F、C四点共圆．（1）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（2）若DB＝BE＝EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．23．（2013•新课标Ⅱ）已知动点P、Q都在曲线（β为参数）上，对应参数分别为β＝α与β＝2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．（1）求M的轨迹的参数方程；（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．24．（2013•新课标Ⅱ）【选修4﹣﹣5；不等式选讲】设a，b，c均为正数，且a+b+c＝1，证明：（Ⅰ）（Ⅱ）．2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知集合M＝{x|（x﹣1）2＜4，x∈R}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，则M∩N＝（）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，2，3}D．{0，1，2，3}【分析】求出集合M中不等式的解集，确定出M，找出M与N的公共元素，即可确定出两集合的交集．【解答】解：由（x﹣1）2＜4，解得：﹣1＜x＜3，即M＝{x|﹣1＜x＜3}，∵N＝{﹣1，0，1，2，3}，∴M∩N＝{0，1，2}．故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设复数z满足（1﹣i）z＝2i，则z＝（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【分析】根据所给的等式两边同时除以1﹣i，得到z的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果．【解答】解：∵复数z满足z（1﹣i）＝2i，∴z＝＝﹣1+i故选：A．【点评】本题考查代数形式的除法运算，是一个基础题，这种题目若出现一定是一个送分题目，注意数字的运算．3．（5分）（2013•新课标Ⅱ）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3＝a2+10a1，a5＝9，则a1＝（）A．B．C．D．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到，解出即可．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵S3＝a2+10a1，a5＝9，∴，解得．∴．故选：C．【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键．4．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l ⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l【分析】由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．【解答】解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选：D．【点评】本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．5．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a＝（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1【分析】由题意利用二项展开式的通项公式求得展开式中x2的系数为+a•＝5，由此解得a的值．【解答】解：已知（1+ax）（1+x）5＝（1+ax）（1+x+x2+x3+x4+x5）展开式中x2的系数为+a•＝5，解得a＝﹣1，故选：D．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．6．（5分）（2013•新课标Ⅱ）执行右面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝（）A．B．C．D．【分析】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能．【解答】解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，S＝0+1＝1，k＝1+1＝2；判断k＞10不成立，执行S＝1+，k＝2+1＝3；判断k＞10不成立，执行S＝1++，k＝3+1＝4；判断k＞10不成立，执行S＝1+++，k＝4+1＝5；…判断i＞10不成立，执行S＝，k＝10+1＝11；判断i＞10成立，输出S＝．算法结束．故选：B．【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律．7．（5分）（2013•新课标Ⅱ）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．【分析】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可．【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：故选：A．【点评】本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力．8．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c【分析】利用log a（xy）＝log a x+log a y（x、y＞0），化简a，b，c然后比较log32，log52，log72大小即可．【解答】解：因为a＝log36＝1+log32，b＝log510＝1+log52，c＝log714＝1+log72，因为y＝log2x是增函数，所以log27＞log25＞log23，∵，，所以log32＞log52＞log72，所以a＞b＞c，故选：D．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，对数函数的单调性的应用，不等式的基本性质的应用，属于基础题．9．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知a＞0，实数x，y满足：，若z＝2x+y的最小值为1，则a＝（）A．2B．1C．D．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点C时，直线y＝﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y＝1，由，解得，即C（1，﹣1），∵点C也在直线y＝a（x﹣3）上，∴﹣1＝﹣2a，解得a＝．故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．10．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）＝0B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）单调递减D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0【分析】利用导数的运算法则得出f′（x），分△＞0与△≤0讨论，列出表格，即可得出．【解答】解：f′（x）＝3x2+2ax+b．（1）当△＝4a2﹣12b＞0时，f′（x）＝0有两解，不妨设为x1＜x2，列表如下x（﹣∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：①x2是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（﹣∞，x2）不具有单调性，故C不正确．②∵+f（x）＝+x3+ax2+bx+c＝﹣+2c，＝，∵+f（x）＝，∴点P为对称中心，故B正确．③由表格可知x1，x2分别为极值点，则，故D正确．④∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即∃xα∈R，f（xα）＝0，故A正确．（2）当△≤0时，，故f（x）在R上单调递增，①此时不存在极值点，故D正确，C不正确；②B同（1）中②正确；③∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即∃x0∈R，f（x0）＝0，故A正确．综上可知：错误的结论是C．由于该题选择错误的，故选：C．【点评】熟练掌握导数的运算法则、中心得出的定义、单调性与极值的关系等基础知识与方法，考查了分类讨论的思想方法等基本方法．11．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（）A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x【分析】根据抛物线方程算出|OF|＝，设以MF为直径的圆过点A（0，2），在Rt△AOF中利用勾股定理算出|AF|＝．再由直线AO与以MF为直径的圆相切得到∠OAF ＝∠AMF，Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立关系式，从而得到关于p的方程，解之得到实数p的值，进而得到抛物线C的方程．【解答】解：∵抛物线C方程为y2＝2px（p＞0），∴焦点F坐标为（，0），可得|OF|＝，∵以MF为直径的圆过点（0，2），∴设A（0，2），可得AF⊥AM，Rt△AOF中，|AF|＝＝，∴sin∠OAF＝＝，∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，∴∠OAF＝∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF＝＝，∵|MF|＝5，|AF|＝∴＝，整理得4+＝，解之可得p＝2或p＝8因此，抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x．故选：C．方法二：∵抛物线C方程为y2＝2px（p＞0），∴焦点F（，0），设M（x，y），由抛物线性质|MF|＝x+＝5，可得x＝5﹣，因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为＝，由已知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M 点纵坐标为4，即M（5﹣，4），代入抛物线方程得p2﹣10p+16＝0，所以p＝2或p＝8．所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x．故选：C．【点评】本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．12．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a ＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．【分析】解法一：先求得直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由﹣≤0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b＝；②若点M在点O和点A之间，求得＜b＜；③若点M在点A的左侧，求得＞b＞1﹣．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．解法二：考查临界位置时对应的b值，综合可得结论．【解答】解：解法一：由题意可得，三角形ABC的面积为＝1，由于直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，故﹣≤0，故点M在射线OA上．设直线y＝ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故N（，），把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b＝．②若点M在点O和点A之间，此时b＞，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即＝，即＝，可得a＝＞0，求得b＜，故有＜b＜．③若点M在点A的左侧，则b＜，由点M的横坐标﹣＜﹣1，求得b＞a．设直线y＝ax+b和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为（，），此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即•（1﹣b）•|x N﹣x P|＝，即（1﹣b）•|﹣|＝，化简可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．由于此时b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2．两边开方可得（1﹣b）＝＜1，∴1﹣b＜，化简可得b＞1﹣，故有1﹣＜b＜．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是，故选：B．解法二：当a ＝0时，直线y ＝ax +b （a ＞0）平行于AB 边，由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得＝，b ＝1﹣，趋于最小．由于a ＞0，∴b ＞1﹣．当a 逐渐变大时，b 也逐渐变大，当b ＝时，直线经过点（0，），再根据直线平分△ABC 的面积，故a 不存在，故b ＜．综上可得，1﹣＜b ＜，故选：B ．【点评】本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考察运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则•＝2．【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）•（），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．【解答】解：∵已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则＝0，故＝（）•（）＝（）•（）＝﹣+﹣＝4+0﹣0﹣＝2，故答案为2．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题．14．（5分）（2013•新课标Ⅱ）从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝8．【分析】列出从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数的所有取法种数，求出和等于5的种数，根据取出的两数之和等于5的概率为列式计算n的值．【解答】解：从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的情况有：（1，4），（2，3）共2种情况；从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数的所有不同取法种数为，由古典概型概率计算公式得：从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的概率为p ＝．所以，即，解得n＝8．故答案为8．【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了组合数公式，解答此题时既可以按有序取，也可以按无序取，问题的实质是一样的．此题是基础题．15．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设θ为第二象限角，若tan（θ+）＝，则sinθ+cosθ＝﹣．【分析】已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出tanθ的值，再根据θ为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinθ与cosθ的值，即可求出sinθ+cosθ的值．【解答】解：∵tan（θ+）＝＝，∴tanθ＝﹣，而cos2θ＝＝，∵θ为第二象限角，∴cosθ＝﹣＝﹣，sinθ＝＝，则sinθ+cosθ＝﹣＝﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．16．（5分）（2013•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10＝0，S15＝25，则nS n 的最小值为﹣49．【分析】由等差数列的前n项和公式化简已知两等式，联立求出首项a1与公差d的值，结合导数求出nS n的最小值．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，∵S10＝10a1+45d＝0，S15＝15a1+105d＝25，∴a1＝﹣3，d＝，∴S n＝na1+d＝n2﹣n，∴nS n＝n3﹣n2，令nS n＝f（n），∴f′（n）＝n2﹣n，∴当n＝时，f（n）取得极值，当n＜时，f（n）递减；当n＞时，f（n）递增；因此只需比较f（6）和f（7）的大小即可．f（6）＝﹣48，f（7）＝﹣49，故nS n的最小值为﹣49．故答案为：﹣49．【点评】此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤：17．（12分）（2013•新课标Ⅱ）△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C+c sin B．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b＝2，求△ABC面积的最大值．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，求出tan B的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（Ⅱ）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把sin B的值代入，得到三角形面积最大即为ac最大，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出ac的最大值，即可得到面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得：sin A＝sin B cos C+sin B sin C①，∵sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C②，∴sin B＝cos B，即tan B＝1，∵B为三角形的内角，∴B＝；＝ac sin B＝ac，（Ⅱ）S△ABC由已知及余弦定理得：4＝a2+c2﹣2ac cos≥2ac﹣2ac×，整理得：ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立，则△ABC面积的最大值为××＝××（2+）＝+1．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）（2013•新课标Ⅱ）如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．【分析】（Ⅰ）通过证明BC1平行平面A1CD内的直线DF，利用直线与平面平行的判定定理证明BC1∥平面A1CD（Ⅱ）证明DE⊥平面A1DC，作出二面角D﹣A1C﹣E的平面角，然后求解二面角平面角的正弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点，又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF，因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）因为直棱柱ABC﹣A1B1C1，所以AA1⊥CD，由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，又AA1∩AB＝A，于是，CD⊥平面ABB1A1，设AB＝2，则AA1＝AC＝CB＝2，得∠ACB＝90°，CD＝，A1D＝，DE＝，A1E＝3故A1D2+DE2＝A1E2，即DE⊥A1D，所以DE⊥平面A1DC，又A1C＝2，过D作DF⊥A1C于F，∠DFE为二面角D﹣A1C﹣E的平面角，在△A1DC中，DF＝＝，EF＝＝，所以二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．sin∠DFE＝．【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力与计算能力．19．（12分）（2013•新课标Ⅱ）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T表示为x的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x∈[100，110））则取x ＝105，且x＝105的概率等于需求量落入[100，110）的频率，求T的数学期望．【分析】（Ⅰ）由题意先分段写出，当x∈[100，130）时，当x∈[130，150）时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可．（Ⅱ）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤x≤150．再由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值．（Ⅲ）利用利润T的数学期望＝各组的区间中点值×该区间的频率之和即得．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，当x∈[100，130）时，T＝500x﹣300（130﹣x）＝800x﹣39000，当x∈[130，150）时，T＝500×130＝65000，∴T＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤x≤150．由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7．（Ⅲ）依题意可得T的分布列如图，T45000530006100065000p0.10.20.30.4所以ET＝45000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4＝59400．【点评】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力，求解的重点是对题设条件及直方图的理解，了解直方图中每个小矩形的面积的意义，是中档题．20．（12分）（2013•新课标Ⅱ）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．（Ⅰ）求M的方程（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．【分析】（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线可解得c．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），利用“点差法”即可得到a，b的关系式，再与a2＝b2+c2联立即可得到a，b，c．（Ⅱ）由CD⊥AB，可设直线CD的方程为y＝x+t，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|CD|．把直线x+y﹣＝0与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即＝即可得到关于t的表达式，利用二次函可得到弦长|AB|，利用S四边形ACBD数的单调性即可得到其最大值．【解答】解：（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线x+y﹣＝0得c+0﹣＝0，解得c＝．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），则，，相减得，∴，∴，又＝，∴，即a2＝2b2．联立得，解得，∴M的方程为．（Ⅱ）∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y＝x+t，联立，消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6＝0，∵直线CD与椭圆有两个不同的交点，∴△＝16t2﹣12（2t2﹣6）＝72﹣8t2＞0，解﹣3＜t＜3，由C，D在椭圆上，可得﹣＜t＜．设C（x3，y3），D（x4，y4），∴，．∴|CD|＝＝＝．联立得到3x2﹣4x＝0，解得x＝0或，∴交点为A（0，），B，∴|AB|＝＝．＝＝＝，∴S四边形ACBD∴当且仅当t＝0时，四边形ACBD面积的最大值为，满足（*）．∴四边形ACBD面积的最大值为．【点评】本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、“点差法”、中点坐标公式、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到一元二次方程根与系数的关系、弦长公式、四边形的面积计算、二次函数的单调性等基础知识，考查了推理能力、数形结合的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．21．（12分）（2013•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+m）（Ⅰ）设x＝0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，因为x＝0是函数f（x）的极值点，由极值点处的导数等于0求出m的值，代入函数解析式后再由导函数大于0和小于0求出原函数的单调区间；（Ⅱ）证明当m≤2时，f（x）＞0，转化为证明当m＝2时f（x）＞0．求出当m＝2时函数的导函数，可知导函数在（﹣2，+∞）上为增函数，并进一步得到导函数在（﹣1，0）上有唯一零点x0，则当x＝x0时函数取得最小值，借助于x0是导函数的零点证出f（x0）＞0，从而结论得证．【解答】（Ⅰ）解：∵，x＝0是f（x）的极值点，∴，解得m＝1．所以函数f（x）＝e x﹣ln（x+1），其定义域为（﹣1，+∞）．∵．设g（x）＝e x（x+1）﹣1，则g′（x）＝e x（x+1）+e x＞0，所以g（x）在（﹣1，+∞）上为增函数，又∵g（0）＝0，所以当x＞0时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当﹣1＜x＜0时，g（x）＜0，f′（x）＜0．所以f（x）在（﹣1，0）上为减函数；在（0，+∞）上为增函数；（Ⅱ）证明：当m≤2，x∈（﹣m，+∞）时，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需证明当m＝2时f（x）＞0．当m＝2时，函数在（﹣2，+∞）上为增函数，且f′（﹣1）＜0，f′（0）＞0．故f′（x）＝0在（﹣2，+∞）上有唯一实数根x0，且x0∈（﹣1，0）．当x∈（﹣2，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，从而当x＝x0时，f（x）取得最小值．由f′（x0）＝0，得，ln（x0+2）＝﹣x0．故f（x）≥＝＞0．综上，当m≤2时，f（x）＞0．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了不等式的证明，考查了函数与方程思想，分类讨论的数学思想，综合考查了学生分析问题和解决问题的能力．熟练函数与导数的基础知识是解决该题的关键，是难题．选考题：（第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答．请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分评分，作答时请写清题号）22．（10分）（2013•新课标Ⅱ）【选修4﹣1几何证明选讲】如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB 与弦AC上的点，且BC•AE＝DC•AF，B、E、F、C四点共圆．（1）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（2）若DB＝BE＝EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．【分析】（1）已知CD为△ABC外接圆的切线，利用弦切角定理可得∠DCB＝∠A，及BC•AE＝DC•AF，可知△CDB∽△AEF，于是∠CBD＝∠AFE．利用B、E、F、C四点共圆，可得∠CFE＝∠DBC，进而得到∠CFE＝∠AFE＝90°即可证明CA是△ABC外接圆的直径；（2）要求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．只需求出其外接圆的直径的平方之比即可．由过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，及DB＝BE，可得CE＝DC，利用切割线定理可得DC2＝DB•DA，CA2＝CB2+BA2，都用DB表示即可．【解答】（1）证明：∵CD为△ABC外接圆的切线，∴∠DCB＝∠A，∵BC•AE＝DC•AF，∴．∴△CDB∽△AEF，∴∠CBD＝∠AFE．∵B、E、F、C四点共圆，∴∠CFE＝∠DBC，∴∠CFE＝∠AFE＝90°．∴∠CBA＝90°，∴CA是△ABC外接圆的直径；（2）连接CE，∵∠CBE＝90°，∴过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，得CE＝DC，又BC2＝DB•BA＝2DB2，∴CA2＝4DB2+BC2＝6DB2．而DC2＝DB•DA＝3DB2，故过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC面积的外接圆的面积比值＝＝．【点评】熟练掌握弦切角定理、相似三角形的判定与性质、四点共圆的性质、直径的判定、切割线定理、勾股定理等腰三角形的性质是解题的关键．23．（2013•新课标Ⅱ）已知动点P、Q都在曲线（β为参数）上，对应参数分别为β＝α与β＝2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．（1）求M的轨迹的参数方程；（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．【分析】（1）利用参数方程与中点坐标公式即可得出；（2）利用两点之间的距离公式、三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）依题意有P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），因此M（cosα+cos2α，sinα+sin2α）．M的轨迹的参数方程为为参数，0＜α＜2π）．（2）M点到坐标原点的距离d＝（0＜α＜2π）．当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．【点评】本题考查了参数方程与中点坐标公式、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．（2013•新课标Ⅱ）【选修4﹣﹣5；不等式选讲】设a，b，c均为正数，且a+b+c＝1，证明：（Ⅰ）（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）依题意，由a+b+c＝1⇒（a+b+c）2＝1⇒a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca＝1，利用基本不等式可得3（ab+bc+ca）≤1，从而得证；（Ⅱ）利用基本不等式可证得：+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，三式累加即可证得结论．【解答】证明：（Ⅰ）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca得：a2+b2+c2≥ab+bc+ca，由题设得（a+b+c）2＝1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca＝1，所以3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤．（Ⅱ）因为+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，故+++（a+b+c）≥2（a+b+c），即++≥a+b+c．所以++≥1．【点评】本题考查不等式的证明，突出考查基本不等式与综合法的应用，考查推理论证能力，属于中档题．2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•大纲版）设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．62．（5分）（2013•大纲版）＝（）A．﹣8B．8C．﹣8i D．8i3．（5分）（2013•大纲版）已知向量＝（λ+1，1），＝（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ＝（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣14．（5分）（2013•大纲版）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，0）D．5．（5分）（2013•大纲版）函数f（x）＝log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）＝（）A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）6．（5分）（2013•大纲版）已知数列{a n}满足3a n+1+a n＝0，a2＝﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）7．（5分）（2013•大纲版）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（）A．5B．8C．12D．188．（5分）（2013•大纲版）椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）。
2013年高考全国课标卷2理科数学word解析版
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷）数学（理科）注意事项：1。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3。
答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、 选择题：本大题共10小题。
每小题5分,共50分。
在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合M=｛x|（x —1)2 < 4，x ∈R }，N=｛-1,0,1，2，3｝，则M ∩N =( ）（A){0，1，2｝ (B ）｛—1，0，1，2｝（C ）｛-1,0，2，3} (D ）｛0,1，2，3}（2）设复数z 满足(1-i)z=2 i ,则z = （ ）（A ）—1+i （B ）—1—i （C ）1+i (D)1—i （3）等比数列｛a n }的前n 项和为S n ，已知S 3 = a 2 +10a 1 ,a 5 = 9，则a 1=（ )（A ）13 （B)13- （C ）19 (D ）19-(4）已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α,n ⊥平面β。
直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l l αβ⊄⊄，则（ ）（A)α∥β且l ∥α （B)α⊥β且l ⊥β （C ）α与β相交，且交线垂直于l (D)α与β相交，且交线平行于l （5）已知（1+ɑx )(1+x )5的展开式中x 2的系数为5,则ɑ=（ ） （A ）-4 （B ）—3 (C)—2 （D)-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（A ）11112310++++ （B ）11112!3!10!++++（C ）11112311++++ （D)11112!3!11!++++（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O —xyz 中的坐标分 别是(1，0，1），（1，1，0）,(0，1，1），（0，0,0）,画该四 面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视 图可以为（A) (B) (C) (D)(8)设a=log 36,b=log 510,c=log 714，则（A ）c ＞b ＞a （B)b ＞c ＞a （C ）a ＞c ＞b （D)a ＞b ＞c（9）已知a ＞0,x ，y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若z=2x+y 的最小值为1，则a=(A ） 14 （B ） 12(C ）1 (D)2（10）已知函数f(x ）=x 3+ax 2+bx+c ，下列结论中错误的是 （A ）∃x α∈R ，f(x α)=0 （B ）函数y=f （x)的图像是中心对称图形 (C ）若x α是f （x)的极小值点，则f （x ）在区间(-∞,x α）单调递减 （D)若x 0是f(x ）的极值点，则()0'0f x =（11)设抛物线y 2=3px(p 〉0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF ｜=5，若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为（A ）y 2=4x 或y 2=8x （B ）y 2=2x 或y 2=8x （C ）y 2=4x 或y 2=16x （D ）y 2=2x 或y 2=16x （12）已知点A(—1，0）;B(1，0);C(0，1），直线y=ax+b （a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（A ）(0，1）(B ）21122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭（ C ） 21123⎛⎤- ⎥ ⎦⎝(D) 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答。
2013年全国统一高考新课标版Ⅰ卷全国1卷理科数学试卷及参考答案与解析
2013年全国统一高考新课标版Ⅰ卷全国1卷理科数学试卷及参考答案与解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A＝{x|x2﹣2x＞0},B＝{x|﹣＜x＜},则( )A.A∩B＝∅B.A∪B＝RC.B⊆AD.A⊆B2.(5分)若复数z满足(3﹣4i)z＝|4＋3i|,则z的虚部为( )A.﹣4B.C.4D.3.(5分)为了解某地区中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( )A.简单的随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样4.(5分)已知双曲线C：(a＞0,b＞0)的离心率为,则C的渐近线方程为( )A.y＝B.y＝C.y＝±xD.y＝5.(5分)执行程序框图,如果输入的t∈[﹣1,3],则输出的s属于( )A.[﹣3,4]B.[﹣5,2]C.[﹣4,3]D.[﹣2,5]6.(5分)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如不计容器的厚度,则球的体积为( )A. B. C. D.7.(5分)设等差数列{an }的前n项和为Sn,若Sm﹣1＝﹣2,Sm＝0,Sm＋1＝3,则m＝( )A.3B.4C.5D.68.(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.16＋8πB.8＋8πC.16＋16πD.8＋16π9.(5分)设m为正整数,(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a＝7b,则m＝( )A.5B.6C.7D.810.(5分)已知椭圆E：的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A、B两点.若AB的中点坐标为(1,﹣1),则E的方程为( )A. B.C. D.11.(5分)已知函数f(x)＝,若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是( )A.(﹣∞,0]B.(﹣∞,1]C.[﹣2,1]D.[﹣2,0]12.(5分)设△An BnCn的三边长分别为an,bn,cn,△AnBnCn的面积为Sn,n＝1,2,3…若b1＞c1,b1＋c1＝2a1,an＋1＝an,,,则( )A.{Sn}为递减数列B.{Sn}为递增数列C.{S2n﹣1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S2n﹣1}为递减数列,{S2n}为递增数列二.填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)已知两个单位向量,的夹角为60°,＝t＋(1﹣t).若•＝0,则t＝.14.(5分)若数列{an }的前n项和为Sn＝an＋,则数列{an}的通项公式是an＝.15.(5分)设当x＝θ时,函数f(x)＝sinx﹣2cosx取得最大值,则cosθ＝.16.(5分)若函数f(x)＝(1﹣x2)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝﹣2对称,则f(x)的最大值为.三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)如图,在△ABC中,∠ABC＝90°,AB＝,BC＝1,P为△ABC内一点,∠BPC＝90°.(1)若PB＝,求PA；(2)若∠APB＝150°,求tan∠PBA.18.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA＝CB,AB＝AA1,∠BAA1＝60°.(Ⅰ)证明AB⊥A1C；(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB＝CB＝2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.19.(12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验；如果n＝4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验；其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.(Ⅰ)求这批产品通过检验的概率；(Ⅱ)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元),求X的分布列及数学期望.20.(12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1,圆N：(x﹣1)2＋y2＝9,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求C的方程；(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.21.(12分)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b,g(x)＝e x(cx＋d),若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(Ⅰ)求a,b,c,d的值；(Ⅱ)若x≥﹣2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答,并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分；多涂、多答,按所涂的首题进行评分,不涂,按本选考题的首题进行评分.22.(10分)(选修4﹣1：几何证明选讲)如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE 交圆于D.(Ⅰ)证明：DB＝DC；(Ⅱ)设圆的半径为1,BC＝,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.23.已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π).24.已知函数f(x)＝|2x﹣1|＋|2x＋a|,g(x)＝x＋3.(Ⅰ)当a＝﹣2时,求不等式f(x)＜g(x)的解集；(Ⅱ)设a＞﹣1,且当x∈[﹣,]时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.2013年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A＝{x|x2﹣2x＞0},B＝{x|﹣＜x＜},则( )A.A∩B＝∅B.A∪B＝RC.B⊆AD.A⊆B【分析】根据一元二次不等式的解法,求出集合A,再根据的定义求出A∩B和A∪B.【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x＞0}＝{x|x＞2或x＜0},∴A∩B＝{x|2＜x＜或﹣＜x＜0},A∪B＝R,故选：B.【点评】本题考查一元二次不等式的解法,以及并集的定义,属于基础题.2.(5分)若复数z满足(3﹣4i)z＝|4＋3i|,则z的虚部为( )A.﹣4B.C.4D.【分析】由题意可得 z＝＝,再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为＋i,由此可得z的虚部.【解答】解：∵复数z满足(3﹣4i)z＝|4＋3i|,∴z＝＝＝＝＋i,故z的虚部等于,故选：D.【点评】本题主要考查复数的基本概念,两个复数代数形式的乘除法法则的应用,属于基础题.3.(5分)为了解某地区中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( )A.简单的随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样【分析】若总体由差异明显的几部分组成时,经常采用分层抽样的方法进行抽样.【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.了解某地区中小学生的视力情况,按学段分层抽样,这种方式具有代表性,比较合理.故选：C.【点评】本小题考查抽样方法,主要考查抽样方法,属基本题.4.(5分)已知双曲线C：(a＞0,b＞0)的离心率为,则C的渐近线方程为( )A.y＝B.y＝C.y＝±xD.y＝【分析】由离心率和abc的关系可得b2＝4a2,而渐近线方程为y＝±x,代入可得答案. 【解答】解：由双曲线C：(a＞0,b＞0),则离心率e＝＝＝,即4b2＝a2,故渐近线方程为y＝±x＝x,故选：D.【点评】本题考查双曲线的简单性质,涉及的渐近线方程,属基础题.5.(5分)执行程序框图,如果输入的t∈[﹣1,3],则输出的s属于( )A.[﹣3,4]B.[﹣5,2]C.[﹣4,3]D.[﹣2,5]【分析】本题考查的知识点是程序框图,分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值,由条件为t＜1我们可得,分段函数的分类标准,由分支结构中是否两条分支上对应的语句行,我们易得函数的解析式. 【解答】解：由判断框中的条件为t＜1,可得：函数分为两段,即t＜1与t≥1,又由满足条件时函数的解析式为：s＝3t；不满足条件时,即t≥1时,函数的解析式为：s＝4t﹣t2故分段函数的解析式为：s＝,如果输入的t∈[﹣1,3],画出此分段函数在t∈[﹣1,3]时的图象,则输出的s属于[﹣3,4].故选：A.【点评】要求条件结构对应的函数解析式,要分如下几个步骤：①分析流程图的结构,分析条件结构是如何嵌套的,以确定函数所分的段数；②根据判断框中的条件,设置分类标准；③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作,分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结,写出分段函数的解析式.6.(5分)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如不计容器的厚度,则球的体积为( )A. B. C. D.【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M,可得圆心M为正方体上底面正方形的中心.设球的半径为R,根据题意得球心到上底面的距离等于(R﹣2)cm,而圆M的半径为4,由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R＝5,用球的体积公式即可算出该球的体积.【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M,则圆心M为正方体上底面正方形的中心.如图.设球的半径为R,根据题意得球心到上底面的距离等于(R﹣2)cm,而圆M的半径为4,由球的截面圆性质,得R2＝(R﹣2)2＋42,解出R＝5,∴根据球的体积公式,该球的体积V＝＝＝.故选：A.【点评】本题给出球与正方体相切的问题,求球的体积,着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识,属于中档题.7.(5分)设等差数列{an }的前n项和为Sn,若Sm﹣1＝﹣2,Sm＝0,Sm＋1＝3,则m＝( )A.3B.4C.5D.6【分析】由an 与Sn的关系可求得am＋1与am,进而得到公差d,由前n项和公式及Sm＝0可求得a 1,再由通项公式及am＝2可得m值.【解答】解：am ＝Sm﹣Sm﹣1＝2,am＋1＝Sm＋1﹣Sm＝3,所以公差d＝am＋1﹣am＝1,S m ＝＝0,得a1＝﹣2,所以am＝﹣2＋(m﹣1)•1＝2,解得m＝5,另解：等差数列{an }的前n项和为Sn,即有数列{}成等差数列,则,,成等差数列, 可得2•＝＋,即有0＝＋,解得m＝5.又一解：由等差数列的求和公式可得(m﹣1)(a1＋am﹣1)＝﹣2,m(a1＋am)＝0,(m＋1)(a1＋am＋1)＝3,可得a1＝﹣am,﹣2am＋am＋1＋am＋1＝＋＝0,解得m＝5. 故选：C.【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项an 与Sn的关系,考查学生的计算能力.8.(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.16＋8πB.8＋8πC.16＋16πD.8＋16π【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体,依据三视图的数据,得出组合体长、宽、高,即可求出几何体的体积.【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体,如图,其中长方体长、宽、高分别是：4,2,2,半个圆柱的底面半径为2,母线长为4.∴长方体的体积＝4×2×2＝16,半个圆柱的体积＝×22×π×4＝8π所以这个几何体的体积是16＋8π；故选：A.【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法,三视图与直观图的关系,柱体体积计算公式,空间想象能力9.(5分)设m为正整数,(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a＝7b,则m＝( )A.5B.6C.7D.8【分析】根据二项式系数的性质求得a和b,再利用组合数的计算公式,解方程13a＝7b求得m 的值.【解答】解：∵m为正整数,由(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,以及二项式系数的性质可得a＝,同理,由(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b,可得b＝＝.再由13a＝7b,可得13＝7,即 13×＝7×,即 13＝7×,即 13(m＋1)＝7(2m＋1),解得m＝6,故选：B.【点评】本题主要考查二项式系数的性质的应用,组合数的计算公式,属于中档题.10.(5分)已知椭圆E：的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A、B两点.若AB的中点坐标为(1,﹣1),则E的方程为( )A. B.C. D.【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得,利用“点差法”可得.利用中点坐标公式可得x1＋x2＝2,y1＋y2＝﹣2,利用斜率计算公式可得＝＝.于是得到,化为a2＝2b2,再利用c＝3＝,即可解得a2,b2.进而得到椭圆的方程.【解答】解：设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得,相减得,∴.∵x1＋x2＝2,y1＋y2＝﹣2,＝＝.∴,化为a2＝2b2,又c＝3＝,解得a2＝18,b2＝9.∴椭圆E的方程为.故选：D.【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键.11.(5分)已知函数f(x)＝,若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是( )A.(﹣∞,0]B.(﹣∞,1]C.[﹣2,1]D.[﹣2,0]【分析】由函数图象的变换,结合基本初等函数的图象可作出函数y＝|f(x)|的图象,和函数y ＝ax的图象,由导数求切线斜率可得l的斜率,进而数形结合可得a的范围.【解答】解：由题意可作出函数y＝|f(x)|的图象,和函数y＝ax的图象,由图象可知：函数y＝ax的图象为过原点的直线,当直线介于l和x轴之间符合题意,直线l 为曲线的切线,且此时函数y＝|f(x)|在第二象限的部分解析式为y＝x2﹣2x,求其导数可得y′＝2x﹣2,因为x≤0,故y′≤﹣2,故直线l的斜率为﹣2,故只需直线y＝ax的斜率a介于﹣2与0之间即可,即a∈[﹣2,0]故选：D.【点评】本题考查其它不等式的解法,数形结合是解决问题的关键,属中档题.12.(5分)设△An BnCn的三边长分别为an,bn,cn,△AnBnCn的面积为Sn,n＝1,2,3…若b1＞c1,b1＋c1＝2a1,an＋1＝an,,,则( )A.{Sn}为递减数列B.{Sn}为递增数列C.{S2n﹣1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S2n﹣1}为递减数列,{S2n}为递增数列【分析】由an＋1＝an可知△AnBnCn的边BnCn为定值a1,由bn＋1＋cn＋1﹣2a1＝及b1＋c1＝2a1得bn＋cn＝2a1,则在△AnBnCn中边长BnCn＝a1为定值,另两边AnCn、AnBn的长度之和bn＋cn ＝2a1为定值,由此可知顶点An 在以Bn、Cn为焦点的椭圆上,根据bn＋1﹣cn＋1＝,得bn﹣cn＝,可知n→＋∞时bn →cn,据此可判断△AnBnCn的边BnCn的高hn随着n的增大而增大,再由三角形面积公式可得到答案.【解答】解：b1＝2a1﹣c1且b1＞c1,∴2a1﹣c1＞c1,∴a1＞c1,∴b1﹣a1＝2a1﹣c1﹣a1＝a1﹣c1＞0,∴b1＞a1＞c1,又b1﹣c1＜a1,∴2a1﹣c1﹣c1＜a1,∴2c1＞a1,∴,由题意,＋an ,∴bn＋1＋cn＋1﹣2an＝(bn＋cn﹣2an),∴bn ＋cn﹣2an＝0,∴bn＋cn＝2an＝2a1,∴bn＋cn＝2a1,由此可知顶点An 在以Bn、Cn为焦点的椭圆上,又由题意,bn＋1﹣cn＋1＝,∴＝a1﹣bn,∴bn＋1﹣a1＝,∴bn﹣a1＝,∴,cn ＝2a1﹣bn＝,∴[][]＝[﹣]单调递增(可证当n＝1时＞0)故选：B.【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式,综合考查学生分析解决问题的能力,有较高的思维抽象度,是本年度全国高考试题中的“亮点”之一.二.填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)已知两个单位向量,的夹角为60°,＝t＋(1﹣t).若•＝0,则t＝ 2 .【分析】由于•＝0,对式子＝t＋(1﹣t)两边与作数量积可得＝0,经过化简即可得出.【解答】解：∵,,∴＝0,∴tcos60°＋1﹣t＝0,∴1＝0,解得t＝2.故答案为2.【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键.14.(5分)若数列{an }的前n项和为Sn＝an＋,则数列{an}的通项公式是an＝(﹣2)n﹣1.【分析】把n＝1代入已知式子可得数列的首项,由n≥2时,an ＝Sn﹣Sn﹣1,可得数列为等比数列,且公比为﹣2,代入等比数列的通项公式分段可得答案.【解答】解：当n＝1时,a1＝S1＝,解得a1＝1当n≥2时,an ＝Sn﹣Sn﹣1＝()﹣()＝,整理可得,即＝﹣2,故数列{an}从第二项开始是以﹣2为首项,﹣2为公比的等比数列,故当n≥2时,an＝(﹣2)n﹣1,经验证当n＝1时,上式也适合,故答案为：(﹣2)n﹣1【点评】本题考查等比数列的通项公式,涉及等比数列的判定,属基础题.15.(5分)设当x＝θ时,函数f(x)＝sinx﹣2cosx取得最大值,则cosθ＝﹣. 【分析】f(x)解析式提取,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,由x＝θ时,函数f(x)取得最大值,得到sinθ﹣2cosθ＝,与sin2θ＋cos2θ＝1联立即可求出cosθ的值.【解答】解：f(x)＝sinx﹣2cosx＝(sinx﹣cosx)＝sin(x﹣α)(其中cosα＝,sinα＝),∵x＝θ时,函数f(x)取得最大值,∴sin(θ﹣α)＝1,即sinθ﹣2cosθ＝,又sin2θ＋cos2θ＝1,联立得(2cosθ＋)2＋cos2θ＝1,解得cosθ＝﹣.故答案为：﹣【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,以及正弦函数的定义域与值域,熟练掌握公式是解本题的关键.16.(5分)若函数f(x)＝(1﹣x2)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝﹣2对称,则f(x)的最大值为16 .【分析】由题意得f(﹣1)＝f(﹣3)＝0且f(1)＝f(﹣5)＝0,由此求出a＝8且b＝15,由此可得f(x)＝﹣x4﹣8x3﹣14x2＋8x＋15.利用导数研究f(x)的单调性,可得f(x)在区间(﹣∞,﹣2﹣)、(﹣2,﹣2＋)上是增函数,在区间(﹣2﹣,﹣2)、(﹣2＋,＋∞)上是减函数,结合f(﹣2﹣)＝f(﹣2＋)＝16,即可得到f(x)的最大值.【解答】解：∵函数f(x)＝(1﹣x2)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝﹣2对称,∴f(﹣1)＝f(﹣3)＝0且f(1)＝f(﹣5)＝0,即[1﹣(﹣3)2][(﹣3)2＋a•(﹣3)＋b]＝0且[1﹣(﹣5)2][(﹣5)2＋a•(﹣5)＋b]＝0,解之得,因此,f(x)＝(1﹣x2)(x2＋8x＋15)＝﹣x4﹣8x3﹣14x2＋8x＋15,求导数,得f′(x)＝﹣4x3﹣24x2﹣28x＋8,令f′(x)＝0,得x1＝﹣2﹣,x2＝﹣2,x3＝﹣2＋,当x∈(﹣∞,﹣2﹣)时,f′(x)＞0；当x∈(﹣2﹣,﹣2)时,f′(x)＜0；当x∈(﹣2,﹣2＋)时,f′(x)＞0；当x∈(﹣2＋,＋∞)时,f′(x)＜0∴f(x)在区间(﹣∞,﹣2﹣)、(﹣2,﹣2＋)上是增函数,在区间(﹣2﹣,﹣2)、(﹣2＋,＋∞)上是减函数.又∵f(﹣2﹣)＝f(﹣2＋)＝16,∴f(x)的最大值为16.故答案为：16.【点评】本题给出多项式函数的图象关于x＝﹣2对称,求函数的最大值.着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识,属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)如图,在△ABC中,∠ABC＝90°,AB＝,BC＝1,P为△ABC内一点,∠BPC＝90°.(1)若PB＝,求PA；(2)若∠APB＝150°,求tan∠PBA.【分析】(I)在Rt△PBC,利用边角关系即可得到∠PBC＝60°,得到∠PBA＝30°.在△PBA中,利用余弦定理即可求得PA.(II)设∠PBA＝α,在Rt△PBC中,可得PB＝sinα.在△PBA中,由正弦定理得,即,化简即可求出.【解答】解：(I)在Rt△PBC中,＝,∴∠PBC＝60°,∴∠PBA＝30°. 在△PBA中,由余弦定理得PA2＝PB2＋AB2﹣2PB•ABcos30°＝＝.∴PA＝.(II)设∠PBA＝α,在Rt△PBC中,PB＝BCcos(90°﹣α)＝sinα.在△PBA中,由正弦定理得,即,化为.∴.【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键.18.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA＝CB,AB＝AA1,∠BAA1＝60°.(Ⅰ)证明AB⊥A1C；(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB＝CB＝2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.【分析】(Ⅰ)取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B,由已知可证OA1⊥AB,AB⊥平面OA1C,进而可得AB⊥A1C；(Ⅱ)易证OA,OA1,OC两两垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴的正向,||为单位长,建立坐标系,可得,,的坐标,设＝(x,y,z)为平面BB1C1C的法向量,则,可解得＝(,1,﹣1),可求|cos＜,＞|,即为所求正弦值.【解答】解：(Ⅰ)取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B,因为CA＝CB,所以OC⊥AB,由于AB＝AA1,∠BAA1＝60°,所以△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB,又因为OC∩OA1＝O,所以AB⊥平面OA1C,又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C；(Ⅱ)由(Ⅰ)知OC⊥AB,OA1⊥AB,又平面ABC⊥平面AA1B1B,交线为AB,所以OC⊥平面AA1B1B,故OA,OA1,OC两两垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴的正向,||为单位长,建立如图所示的坐标系,可得A(1,0,0),A1(0,,0),C(0,0,),B(﹣1,0,0),则＝(1,0,),＝(﹣1,,0),＝(0,﹣,),设＝(x,y,z)为平面BB1C1C的法向量,则,即,可取y＝1,可得＝(,1,﹣1),故cos＜,＞＝＝, 又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值,故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：.【点评】本题考查直线与平面所成的角,涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定,属难题.19.(12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验；如果n＝4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验；其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.(Ⅰ)求这批产品通过检验的概率；(Ⅱ)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元),求X的分布列及数学期望.【分析】(Ⅰ)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,由概率得加法公式和条件概率,代入数据计算可得；(Ⅱ)X可能的取值为400,500,800,分别求其概率,可得分布列,进而可得期望值.【解答】解：(Ⅰ)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝＝(Ⅱ)X可能的取值为400,500,800,并且P(X＝800)＝,P(X＝500)＝,故EX＝400×＋500×＋800×＝506.25【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列涉及数学期望的求解,属中档题.20.(12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1,圆N：(x﹣1)2＋y2＝9,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求C的方程；(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.【分析】(I)设动圆的半径为R,由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切,可得|PM|＋|PN|＝R ＋1＋(3﹣R)＝4,而|NM|＝2,由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M,N为焦点,4为长轴长的椭圆,求出即可；(II)设曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|﹣|PN|＝2R﹣2≤4﹣2＝2,所以R≤2,当且仅当⊙P 的圆心为(2,0)R＝2时,其半径最大,其方程为(x﹣2)2＋y2＝4.分①l的倾斜角为90°,此时l 与y轴重合,可得|AB|.②若l的倾斜角不为90°,由于⊙M的半径1≠R,可知l与x轴不平行,设l与x轴的交点为Q,根据,可得Q(﹣4,0),所以可设l：y＝k(x＋4),与椭圆的方程联立,得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出.【解答】解：(I)由圆M：(x＋1)2＋y2＝1,可知圆心M(﹣1,0)；圆N：(x﹣1)2＋y2＝9,圆心N(1,0),半径3.设动圆的半径为R,∵动圆P与圆M外切并与圆N内切,∴|PM|＋|PN|＝R＋1＋(3﹣R)＝4,而|NM|＝2,由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M,N为焦点,4为长轴长的椭圆,∴a＝2,c＝1,b2＝a2﹣c2＝3.∴曲线C的方程为(x≠﹣2).(II)设曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|﹣|PN|＝2R﹣2≤3﹣1＝2,所以R≤2,当且仅当⊙P的圆心为(2,0)R＝2时,其半径最大,其方程为(x﹣2)2＋y2＝4.①l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|＝.②若l的倾斜角不为90°,由于⊙M的半径1≠R,可知l与x轴不平行,设l与x轴的交点为Q,则,可得Q(﹣4,0),所以可设l：y＝k(x＋4),由l于M相切可得：,解得.当时,联立,得到7x2＋8x﹣8＝0.∴,.∴|AB|＝＝＝由于对称性可知：当时,也有|AB|＝.综上可知：|AB|＝或.【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识,需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法.21.(12分)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b,g(x)＝e x(cx＋d),若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(Ⅰ)求a,b,c,d的值；(Ⅱ)若x≥﹣2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.【分析】(Ⅰ)对f(x),g(x)进行求导,已知在交点处有相同的切线及曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2),从而解出a,b,c,d的值；(Ⅱ)由(I)得出f(x),g(x)的解析式,再求出F(x)及它的导函数,通过对k的讨论,判断出F(x)的最值,从而判断出f(x)≤kg(x)恒成立,从而求出k的范围.【解答】解：(Ⅰ)由题意知f(0)＝2,g(0)＝2,f′(0)＝4,g′(0)＝4,而f′(x)＝2x＋a,g′(x)＝e x(cx＋d＋c),故b＝2,d＝2,a＝4,d＋c＝4,从而a＝4,b＝2,c＝2,d＝2；(Ⅱ)由(I)知,f(x)＝x2＋4x＋2,g(x)＝2e x(x＋1)设F(x)＝kg(x)﹣f(x)＝2ke x(x＋1)﹣x2﹣4x﹣2,则F′(x)＝2ke x(x＋2)﹣2x﹣4＝2(x＋2)(ke x﹣1),由题设得F(0)≥0,即k≥1,令F′(x)＝0,得x1＝﹣lnk,x2＝﹣2,①若1≤k＜e2,则﹣2＜x1≤0,从而当x∈(﹣2,x1)时,F′(x)＜0,当x∈(x1,＋∞)时,F′(x)＞0,即F(x)在(﹣2,x1)上减,在(x1,＋∞)上是增,故F(x)在[﹣2,＋∞)上的最小值为F(x1),而F(x1)＝﹣x1(x1＋2)≥0,x≥﹣2时F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.②若k＝e2,则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x﹣e﹣2),从而当x∈(﹣2,＋∞)时,F′(x)＞0,即F(x)在(﹣2,＋∞)上是增,而F(﹣2)＝0,故当x≥﹣2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.③若k＞e2时,F′(x)＞2e2(x＋2)(e x﹣e﹣2),而F(﹣2)＝﹣2ke﹣2＋2＜0,所以当x＞﹣2时,f(x)≤kg(x)不恒成立,综上,k的取值范围是[1,e2].【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程,函数恒成立问题,考查分类讨论思想,解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质,此题是一道中档题.四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答,并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分；多涂、多答,按所涂的首题进行评分,不涂,按本选考题的首题进行评分.22.(10分)(选修4﹣1：几何证明选讲)如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE 交圆于D.(Ⅰ)证明：DB＝DC；(Ⅱ)设圆的半径为1,BC＝,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.【分析】(I)连接DE交BC于点G,由弦切角定理可得∠ABE＝∠BCE,由已知角平分线可得∠ABE ＝∠CBE,于是得到∠CBE＝∠BCE,BE＝CE.由已知DB⊥BE,可知DE为⊙O的直径,Rt△DBE≌Rt △DCE,利用三角形全等的性质即可得到DC＝DB.(II)由(I)可知：DG是BC的垂直平分线,即可得到BG＝.设DE的中点为O,连接BO,可得∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°.得到CF⊥BF.进而得到Rt△BCF的外接圆的半径＝.【解答】(I)证明：连接DE交BC于点G.由弦切角定理可得∠ABE＝∠BCE,而∠ABE＝∠CBE,∴∠CBE＝∠BCE,BE＝CE.又∵DB⊥BE,∴DE为⊙O的直径,∠DCE＝90°.∴△DBE≌△DCE,∴DC＝DB.(II)由(I)可知：∠CDE＝∠BDE,DB＝DC.故DG是BC的垂直平分线,∴BG＝.设DE的中点为O,连接BO,则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°.∴CF⊥BF.∴Rt△BCF的外接圆的半径＝.【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识,需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力.23.已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π).【分析】(1)曲线C1的参数方程消去参数t,得到普通方程,再由,能求出C1的极坐标方程.(2)曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程,与C1的普通方程联立,求出C1与C2交点的直角坐标,由此能求出C1与C2交点的极坐标.【解答】解：(1)将,消去参数t,化为普通方程(x﹣4)2＋(y﹣5)2＝25, 即C1：x2＋y2﹣8x﹣10y＋16＝0,将代入x2＋y2﹣8x﹣10y＋16＝0,得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ＋16＝0.∴C1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ＋16＝0.(2)∵曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.∴曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2﹣2y＝0,联立,解得或,∴C1与C2交点的极坐标为()和(2,).【点评】本题考查曲线极坐标方程的求法,考查两曲线交点的极坐标的求法,考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题.24.已知函数f(x)＝|2x﹣1|＋|2x＋a|,g(x)＝x＋3.(Ⅰ)当a＝﹣2时,求不等式f(x)＜g(x)的解集；(Ⅱ)设a＞﹣1,且当x∈[﹣,]时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.【分析】(Ⅰ)当a＝﹣2时,求不等式f(x)＜g(x)化为|2x﹣1|＋|2x﹣2|﹣x﹣3＜0.设y＝|2x ﹣1|＋|2x﹣2|﹣x﹣3,画出函数y的图象,数形结合可得结论.(Ⅱ)不等式化即 1＋a≤x＋3,故x≥a﹣2对x∈[﹣,]都成立,分析可得﹣≥a﹣2,由此解得a的取值范围.【解答】解：(Ⅰ)当a＝﹣2时,求不等式f(x)＜g(x)化为|2x﹣1|＋|2x﹣2|﹣x﹣3＜0.设y＝|2x﹣1|＋|2x﹣2|﹣x﹣3,则 y ＝,它的图象如图所示：结合图象可得,y＜0的解集为(0,2),故原不等式的解集为(0,2).(Ⅱ)设a＞﹣1,且当x∈[﹣,]时,f(x)＝1＋a,不等式化为 1＋a≤x＋3,故 x≥a﹣2对x∈[﹣,]都成立.故﹣≥a﹣2,解得 a ≤,].故a的取值范围为(﹣1,【点评】本题考查绝对值不等式的解法与绝对值不等式的性质,关键是利用零点分段讨论法分析函数的解析式.第21页，共21页。
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绝密★启用前
2013年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中元素的个数为
（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6
（2）()
3
1+3i
=
（A ）8- （B ）8 （C ）8i - （D ）8i
（3）已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则
（A ）4- （B ）-3 （C ）2- （D ）-1
（4）已知函数()()()-1,021f x f x -的定义域为，则函数的定义域为
（A ）()1,1- （B ）11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）()-1,0 （D ）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】B
【解析】由题意可知 1210,x -<+<，则1
12
x -<<-。
故选B （5）函数()()1=log 10f x x x ⎛⎫+
> ⎪⎝⎭
的反函数()1
=f x -
（A ）
()1021x x >- （B ）()1
021
x
x ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210x x -> 【答案】A
【解析】由题意知11
12(0)21
y y x y x +
=⇒=<-，高考资源网 因此 ，故选A
（6）已知数列{}n a 满足{}124
30,,103
n n n a a a a ++==-则的前项和等于
（A ）()
-10-61-3 （B ）
()-101
1-39
（C ）()-1031-3 （D ）()-1031+3
（7）()()3
4
2
2
11+x y x y +的展开式中的系数是
（A ）56 （B ）84 （C ）112 （D ）168
（8）椭圆22
122:1,,46
x y C A A P C PA +=的左、右顶点分别为点在上且直线斜率的取值范围是[]12,1,PA --那么直线斜率的取值范围是
（A ）1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （B ）3384⎡⎤
⎢⎥⎣⎦， （C ）112⎡⎤
⎢⎥⎣⎦， （D ）314
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
（9）若函数()2
11=,2f x x ax a x ⎛⎫
++
∞ ⎪⎝⎭
在是增函数，则的取值范围是 （A ）[]-1，0 （B ）[]-∞1， （C ）[]0，3 （D ）[]3∞，+
（10）已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于
（A ）23 （B ）33 （C ）23 （D ）1
3
【】A
【解析】如下图，连接AC 交BD 于点O ，连接1C O ,过C 作1CH C O ⊥于H
（11）已知抛物线()2
:82,2,C C y x M k C =-与点过的焦点，且斜率为的直线与交于
,0,A B MA MB k ==u u u r u u u r
g 两点,若则
（A ）1
2
（B ）22 （C ）2 （D ）2
【】D
【解析】由题意知抛物线C 的焦点坐标为，则直线AB 的方程为y=K （x-2），
∴ 1122(2,2)(2,2)0x y x y +-•+-=
所以：121212122()2()80x x x x y y y y +++-++= ④ 由①②③④解得K=2，故选D
（12）已知函数()=cos sin 2,f x x x 下列结论中正确的是
（A ）()(),0y f x π=的图像关于中心对称 （B ）()
2
y f x
x π
==的图像关于对称
（C ）()3
2
f x 的最大值为
（D ）()f x 既是奇函数，又是周期函数
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
（13）已知1
sin ,cot 3
a a a =-=是第三象限角，则 .
（14）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字
作答）
【】480
【解析】 先排除甲、乙外的4人，方法有4
4A 再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有2
5A 的排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有4
245A A =480
（15）记不等式组0,
34,34,x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
所表示的平面区域为.D 若直线
()1y a x D a =+与有公共点，则的取值范围是 .
（16）已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，
3
602
OK O K =o ，且圆与圆所在的平面所成角为，
则球O 的表面积等于 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
等差数列{}n a 的前n 项和为232124.
=,,,n S S a S S S 已知且成等比数列，求{}n a 的通项式.
18．（本小题满分12分）
设
()()
,,,,,. ABC A B C a b c a b c a b c ac ∆++-+=的内角的对边分别为
（I）求;B
（II）若
31
sin sin, C.
A C
-
=求
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆o
中，，与都是等边三角形.
（I ）证明：;PB CD ⊥
（II ）求二面角.A PD C --的大小
20．（本小题满分12分）
甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比
赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1
,
2
各局比赛的
结果都相互独立，第1局甲当裁判.
（I）求第4局甲当裁判的概率；
（II）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望.
21．（本小题满分12分） 已知双曲线()22
1222:10,0x y C a b F F a b
-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2 6.y C =与的两个交点间的距离为
（I ）求,;a b ；
（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且 11,AF BF -证明：22.AF AB BF 、、成等比数列
22．（本小题满分12分）
已知函数()()()1=ln 1.1x x f x x x
λ++-+ （I ）若()0,0,x f x λ≥≤时求的最小值;；
（II ）设数列{}211111,ln 2.234n n n n a a a a n n
=+++⋅⋅⋅+-+>的通项证明：。