建筑力学 第十一章
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建筑力学李前程教材第十一章习题解
1 1 5 [(2P 2) ( P ) EI 2 3 1 2 (P ) (P ) ( P )] 2 3 23P 3EI
Pl 2Pl M P图
Pl
2l
l
P=1 2l M图 l l
【11-15】求刚架横梁中点C的竖向位移,各杆长同为l，EI相同。 【解】先求支座反力 C P 由∑X=0：XA=P 由∑M=0：YA=YB=P 作荷载作用下刚架的弯矩图， A X =P B 在刚架C点施加一单位荷载， 作单位荷载作用下刚架的弯矩图， Y =P Y =P 应用图乘法得：
A A B
C
A B 2
1 C M( x )M( x )dx EI 11q 4 1 1 2 1 2 q / 8 2 / 6 q / 8 / 2 3 / 8 EI 2 3 384EI
(b) 】(a)求支座反力 YA=P/2 , YB=3P/2 作荷载作用下的M图。 在外伸梁C点加一单位荷载，作 作单位荷载作用下的M图，用M图 的面积乘以单位荷载的M图的竖坐 标，得
1 1 P EI 2 4 2
P=1 Pl
Pl
P 3 16EI
M P图
M图
【11-16】求悬臂折杆自由端的竖向位移,各杆长同为l,EI相同。 【解】可不求支座反力， 直接作荷载作用下悬臂折杆 P 悬臂折杆的弯矩图， 在自由端施加一单位荷载， 2Pl Pl 作单位荷载作用下的弯矩图， 应用图乘法得：
P A B
Hale Waihona Puke C l/2 YB=3P/2
l YA=P/2
Pl/2 M图
l/3 l/3 M图 l/2 P=1
1 C M( x )M( x )dx EI P 3 1 1 1 11 P / 3 P / 2 / 3 EI 2 2 22 8EI
Pl 2Pl M P图
Pl
2l
l
P=1 2l M图 l l
【11-15】求刚架横梁中点C的竖向位移,各杆长同为l，EI相同。 【解】先求支座反力 C P 由∑X=0：XA=P 由∑M=0：YA=YB=P 作荷载作用下刚架的弯矩图， A X =P B 在刚架C点施加一单位荷载， 作单位荷载作用下刚架的弯矩图， Y =P Y =P 应用图乘法得：
A A B
C
A B 2
1 C M( x )M( x )dx EI 11q 4 1 1 2 1 2 q / 8 2 / 6 q / 8 / 2 3 / 8 EI 2 3 384EI
(b) 】(a)求支座反力 YA=P/2 , YB=3P/2 作荷载作用下的M图。 在外伸梁C点加一单位荷载，作 作单位荷载作用下的M图，用M图 的面积乘以单位荷载的M图的竖坐 标，得
1 1 P EI 2 4 2
P=1 Pl
Pl
P 3 16EI
M P图
M图
【11-16】求悬臂折杆自由端的竖向位移,各杆长同为l,EI相同。 【解】可不求支座反力， 直接作荷载作用下悬臂折杆 P 悬臂折杆的弯矩图， 在自由端施加一单位荷载， 2Pl Pl 作单位荷载作用下的弯矩图， 应用图乘法得：
P A B
Hale Waihona Puke C l/2 YB=3P/2
l YA=P/2
Pl/2 M图
l/3 l/3 M图 l/2 P=1
1 C M( x )M( x )dx EI P 3 1 1 1 11 P / 3 P / 2 / 3 EI 2 2 22 8EI
建筑力学第11章
式中，W为力矩的功；M为力矩；φ为物体在力 矩作用下转过的角度。
功是代数量，可正、可负，也可为零。当力与 位移方向相同时，功为正；反之，则为负；当力与 位移垂直时，功为零。
功的量纲为力与长度乘积，单位为N·m或kN·m等。
11.2 虚功 原理
2.广义力与广义位移
为方便计算，可将功的表达式统一写成
W=FΔ
学习目标
➢了解静定结构的位移计算的相关概念。 ➢理解并掌握虚功原理、位移计算的一般公式、单位荷 载法、图乘法。 ➢能够求解结构的位移。 ➢了解结构由于温度变化、支座移动引起的位移计算和 弹性体系的互等定理。
11.1 静定结构的
位移概述
11.1.1位移的概念 11.1.2计算静定结构位移的目的
工程结构在荷载作用下，形状将发生改变， 结构上各点的位置会发生相应的移动。杆件的截 面除移动外还会有转动，截面的移动和转动称为 位移。其中截面形心移动的距离称为该截面的线 位移，截面转动的角度称为该截面的角位移。
11.1 静定 结构 的位 移概
述
11.1 静定 结构 的位 移概
述
又如图11-2所示的刚架，在荷载F的作用下发生虚
线所示的变形，其中截面A的角位移为φA（顺时针）， 截面B的角位移为φB（逆时针），这两个截面的转向相 反的角位移之和就是截面A，B的相对角位移，
φAB=φA+φB；同理，截面C的水平线位移为ΔC，截面D的 水平线位移为ΔD，这两个指向相反的水平位移之和就称 为C，D两点的水平相对线位移，ΔCD=ΔC+ΔD。
（1）对结构进行刚度校核。 （2）为解决超静定问题打下基础。 （3）为生产使用提供依据。
11.1 静定 结构 的位 移概
述
11.2 虚功原理
功是代数量，可正、可负，也可为零。当力与 位移方向相同时，功为正；反之，则为负；当力与 位移垂直时，功为零。
功的量纲为力与长度乘积，单位为N·m或kN·m等。
11.2 虚功 原理
2.广义力与广义位移
为方便计算，可将功的表达式统一写成
W=FΔ
学习目标
➢了解静定结构的位移计算的相关概念。 ➢理解并掌握虚功原理、位移计算的一般公式、单位荷 载法、图乘法。 ➢能够求解结构的位移。 ➢了解结构由于温度变化、支座移动引起的位移计算和 弹性体系的互等定理。
11.1 静定结构的
位移概述
11.1.1位移的概念 11.1.2计算静定结构位移的目的
工程结构在荷载作用下，形状将发生改变， 结构上各点的位置会发生相应的移动。杆件的截 面除移动外还会有转动，截面的移动和转动称为 位移。其中截面形心移动的距离称为该截面的线 位移，截面转动的角度称为该截面的角位移。
11.1 静定 结构 的位 移概
述
11.1 静定 结构 的位 移概
述
又如图11-2所示的刚架，在荷载F的作用下发生虚
线所示的变形，其中截面A的角位移为φA（顺时针）， 截面B的角位移为φB（逆时针），这两个截面的转向相 反的角位移之和就是截面A，B的相对角位移，
φAB=φA+φB；同理，截面C的水平线位移为ΔC，截面D的 水平线位移为ΔD，这两个指向相反的水平位移之和就称 为C，D两点的水平相对线位移，ΔCD=ΔC+ΔD。
（1）对结构进行刚度校核。 （2）为解决超静定问题打下基础。 （3）为生产使用提供依据。
11.1 静定 结构 的位 移概
述
11.2 虚功原理
11建筑力学与结构(第3版)第十一章砌体结构
3.蒸压灰砂砖
蒸压灰砂砖是以石英砂和石灰为主要原料,加入其他 掺合料后压制成型,蒸压养护而成。使用这类砖时受 到环境的限制。
4.蒸压粉煤灰砖
蒸压粉煤灰砖是以粉煤灰、石灰为主要原料,掺加适 量石膏和集料,经坯料制备、压制成型,高压蒸汽养 护而成的实心砖。
5.混凝土小型空心砌块
砌块是指用普通混凝土或轻混凝土及硅酸盐材料制 作的实心和空心块材。
2.混合砂浆
在水泥砂浆掺入适量的塑性掺合料,如石灰膏、黏土 膏等而制成的砂浆叫混合砂浆。混合砂浆具有保水 性和流动性较好、强度较高、便于施工且质量容易 保证等特点,是砌体结构中常用的砂浆。
3.非水泥砂浆
非水泥砂浆是指不含水泥的砂浆,如石灰砂浆、石膏 砂浆等。非水泥砂浆具有强度不高、耐久性较差等 特点,适用于受力不大或简易建筑、临时性建筑的砌 体中。
(4)应考虑施工队伍的技术条件和设备情况,而且应方 便施工。
(5)应考虑建筑物的使用性质和所处的环境因素。
2.《砌体规范》对块体和砂浆的选择的规定
5层及5层以上房屋的墙以及受振动或层高大于6 m 的墙、柱所用的块体和砂浆最低强度等级:砖为 MU10、砌块为MU7.5、石材为MU30、砂浆为M5。 地面以下或防潮层以下的砌体、潮湿房间的墙,所用 材料的最低强度等级应符合要求。
砌体轴心受压从加荷开始直到破坏,大致经历以下三 个阶段:
(1)当砌体加载达极限荷载的50%~70%时,单块砖内产 生细小裂缝。
(2)当加载达极限荷载的80%~90%时,砖内有些裂缝连 通起来,沿竖向贯通若干皮砖。
(3)当压力接近极限荷载时,砌体中裂缝迅速扩展和贯 通,将砌体分成若干个小柱体,砌体最终因被压碎或 丧失稳定而破坏。
(二)砌块砌体
砌块砌体可用于定型设计的民用房屋及工业厂房的 墙体。由于砌块重量较大,砌筑时必须采用吊装机具, 因此在确定砌块规格尺寸时,应考虑起吊能力,并应 尽量减少砌块类型。砌块砌体具有自重轻、保温隔 热性能好、施工进度快、经济效果好的特点。目前, 国内使用的砌块高度一般为180~600 mm。
蒸压灰砂砖是以石英砂和石灰为主要原料,加入其他 掺合料后压制成型,蒸压养护而成。使用这类砖时受 到环境的限制。
4.蒸压粉煤灰砖
蒸压粉煤灰砖是以粉煤灰、石灰为主要原料,掺加适 量石膏和集料,经坯料制备、压制成型,高压蒸汽养 护而成的实心砖。
5.混凝土小型空心砌块
砌块是指用普通混凝土或轻混凝土及硅酸盐材料制 作的实心和空心块材。
2.混合砂浆
在水泥砂浆掺入适量的塑性掺合料,如石灰膏、黏土 膏等而制成的砂浆叫混合砂浆。混合砂浆具有保水 性和流动性较好、强度较高、便于施工且质量容易 保证等特点,是砌体结构中常用的砂浆。
3.非水泥砂浆
非水泥砂浆是指不含水泥的砂浆,如石灰砂浆、石膏 砂浆等。非水泥砂浆具有强度不高、耐久性较差等 特点,适用于受力不大或简易建筑、临时性建筑的砌 体中。
(4)应考虑施工队伍的技术条件和设备情况,而且应方 便施工。
(5)应考虑建筑物的使用性质和所处的环境因素。
2.《砌体规范》对块体和砂浆的选择的规定
5层及5层以上房屋的墙以及受振动或层高大于6 m 的墙、柱所用的块体和砂浆最低强度等级:砖为 MU10、砌块为MU7.5、石材为MU30、砂浆为M5。 地面以下或防潮层以下的砌体、潮湿房间的墙,所用 材料的最低强度等级应符合要求。
砌体轴心受压从加荷开始直到破坏,大致经历以下三 个阶段:
(1)当砌体加载达极限荷载的50%~70%时,单块砖内产 生细小裂缝。
(2)当加载达极限荷载的80%~90%时,砖内有些裂缝连 通起来,沿竖向贯通若干皮砖。
(3)当压力接近极限荷载时,砌体中裂缝迅速扩展和贯 通,将砌体分成若干个小柱体,砌体最终因被压碎或 丧失稳定而破坏。
(二)砌块砌体
砌块砌体可用于定型设计的民用房屋及工业厂房的 墙体。由于砌块重量较大,砌筑时必须采用吊装机具, 因此在确定砌块规格尺寸时,应考虑起吊能力,并应 尽量减少砌块类型。砌块砌体具有自重轻、保温隔 热性能好、施工进度快、经济效果好的特点。目前, 国内使用的砌块高度一般为180~600 mm。
建筑力学(第11章)
11.3 压杆的临界应力
11.3.1 临界应力与柔度
压杆处于临界状态时横截面上的平均应力称为临界应力，
11.3.2 欧拉公式的适用范围
11.3.3 三类压杆的临界应力
1. 大柔度杆
2. 中柔度杆
3. 小柔度杆
11.3.4 临界应力总图
11.4 压杆的稳定计算
11.4.1 压杆稳定条件
11.4.2 压杆稳定条件的应用 与强度条件的计算方法类似，应用稳定条件可以解决下列常见的3类 问题： （1）校核压杆的稳定性。 （2）确定许可荷载。 （3）设计截面尺寸。
11.5 提高压杆稳定性的措施
1. 减小压杆长度 2. 增强约束以减小长度系数μ 3. 合理选择截面形状，增大截面惯性矩 4. 合理选用材料
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第11章
压杆稳定
11.1 工程中的压杆稳定问题
11.2 细长压杆的临界压力
11.2.1 压杆的稳定平衡与不稳定平衡
压杆从直线平衡形式到弯曲平衡形式的转变称为失稳或屈曲。使压杆保持 微弯平衡状态的轴向压力Fcr称为临界压力或临界力。
11.2.2 两端铰支细长压杆的临界压力 11.2.3 其他支承情况下细长压杆的临界压力
建筑力学第十一章静定结构的内力分析ppt课件
11.2 多跨静定梁
【例11-3】试作图11-16(a)所示的多跨静定梁的内力图。
11.2.2 多 跨 静 定 梁 的 内 力
11.2 多跨静定梁
11.2.2 多 跨 静 定 梁 的 内 力
11.2 多跨静定梁
11.2.2 多 跨 静 定 梁 的 内 力
图10-17
11.1.1 结 构 计 算 简 图
11.1 概述
(1)结构的简化。以梁的轴线取代实际构件,取桥墩中 心距离l为计算跨度。
(2)结点的简化。只有一个构件,无结点。 (3)支座的简化。梁的实际支座结构如图11-7(ａ)所示。 梁在竖向不能移动,水平方向也不能移动(梁与桥墩之间有 摩擦力),温度变化时梁可伸缩。因此左端处可简化为固定 铰链支座,右端处可简化为可动铰链支座,符合梁的实际受 力变形特征。如果把右端处简化为固定铰链支座,则左端处 可简化为可动铰链支座,也符合梁的实际受力变形特征。 (4)荷载的简化。将梁自重取为均布线荷载q,车辆重量 以P1、P2 该结构简化后的计算简图如图11-7(c)
和内力图的绘制。 （3）能够运用内力分析法和内力图进行实际工程计算。
11.1 概述
用一个简化的图形来 代替实际结构,这个图形称 为结构的计算简图。
11.1.1 结 构 计 算 简 图
11.1 概述
1.计算简图的简化原则
要反映结构主要受力、几何及变形特征 。
分清主次，略去次要因素，便于结构 的力学计算。
11.1.1 结 构 计 算 简 图
11.1 概述
1.梁
梁是一种以弯曲为主要变形的结构。 截面内力:剪力和弯矩。
单跨梁 多跨连续梁
11.1.2 平 面 杆 系 结 构 的 分 类
11.1 概述
建筑力学课件12
3.改善约束条件,减小压杆长度
�
表11.1 压杆长度系数 .
支承 情况 值 值 两端铰支 1.0 一端固定 一端铰支 0.7 两端固定 0.5 一端固定 一端自由 2
挠 曲 线 形 状
11.2.2 1,临界应力和柔度 ,
欧拉公式的适用范围
当压杆在临界力Fcr作用下处于直线临界状态的平 衡时,其横截面上的压应力等于临界力Fcr除以横 截面面积A,称为临界应力 临界应力,用σcr表示, 临界应力
Fmax
解:(1)计算BD杆的柔度
l BD l 2 = = = 2.31m 0 cos 30 3 2
λBD =
lBD
i
=
lBD
1× 2.31 = = = 80 I 1 1 a 0.1× A 12 12
lBD
(2)求BD杆能承受的最大压力 根据柔度查表,得 BD = 0.470 ,则BD杆能承受 的最大压力为:
解:(1)计算各杆承受的压力
Fx = 0,FNAB cos 450 FNAC cos 300 = 0 ∑
Fy = 0,FNAB sin 450 + FNAC sinFNAB = 0.896 F = 13.44kN AC杆: FAC = FNAC = 0.732 F = 10.98kN
例11.2 图11.4所示为两端铰支的圆形截面受压 杆,用Q235钢制成,材料的弹性模量E=200Gpa, 屈服点应力 σs=240MPa,,直径d=40mm, 试分别计算下面二种情况下压杆的临界力: (1)杆长l=1.5m;(2)杆长l=0.5m. 解:(1)计算杆长l=1.2m时的临界力 两端铰支因此 =1
πd2
4
3.14 × 402 = 87.64 × = 110.08 × 103 N ≈ 110 KN 4
《建筑力学》11章静定结构的内力分析
总结词
应力的定义与分类
详细描述
应力是指物体在单位面积上所承受的内力，是描述物体受力状态的重要物理量。根据不同的分类标准，应力可以 分为不同的类型，如正应力和剪应力，拉应力和压应力等。
静定结构的应力分布规律
总结词
静定结构的应力分布规律
详细描述
静定结构是指在不受外力或外力平衡的条件下，其内部应力分布规律与边界条件无关的结构。静定结 构的应力分布规律主要取决于结构的几何形状和材料性质，可以通过理论分析和实验测试来研究。
详细描述：位移法适用于求解静定结构和超静定结构的 内力，特别是当结构的刚度矩阵难以直接求解时。
单位荷载法
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总结词：基本概念
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详细描述：单位荷载法是在结构上施加单位荷载，通过计 算单位荷载下的内力和位移来分析结构性能的方法。
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总结词：应用范围
《建筑力学》11章 静定结构的内力分析
目录
• 静定结构概述 • 静定结构的内力分析方法 • 静定结构的内力计算 • 静定结构的位移计算 • 静定结构的应力分析
01
静定结构概述
静定结构的定义
静定结构的定义
静定结构是指在结构分析中，未知的内力和反力个数相等的结构，也就是说， 静定结构的自均布荷载作用下，其跨中 截面弯矩为最大，且最大弯矩为 ql^2/4，其中q为均布荷载，l为梁 的跨度。
悬臂梁的内力计算
悬臂梁在固定端截面处弯矩为最大， 且最大弯矩为ql^2/3，其中q为均 布荷载，l为梁的跨度。
静定拱的内力计算
圆拱的内力计算
圆拱在均布荷载作用下，其跨中截面 弯矩为最大，且最大弯矩为ql^2/8， 其中q为均布荷载，l为拱的跨度。
应力的定义与分类
详细描述
应力是指物体在单位面积上所承受的内力，是描述物体受力状态的重要物理量。根据不同的分类标准，应力可以 分为不同的类型，如正应力和剪应力，拉应力和压应力等。
静定结构的应力分布规律
总结词
静定结构的应力分布规律
详细描述
静定结构是指在不受外力或外力平衡的条件下，其内部应力分布规律与边界条件无关的结构。静定结 构的应力分布规律主要取决于结构的几何形状和材料性质，可以通过理论分析和实验测试来研究。
详细描述：位移法适用于求解静定结构和超静定结构的 内力，特别是当结构的刚度矩阵难以直接求解时。
单位荷载法
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详细描述：单位荷载法是在结构上施加单位荷载，通过计 算单位荷载下的内力和位移来分析结构性能的方法。
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总结词：应用范围
《建筑力学》11章 静定结构的内力分析
目录
• 静定结构概述 • 静定结构的内力分析方法 • 静定结构的内力计算 • 静定结构的位移计算 • 静定结构的应力分析
01
静定结构概述
静定结构的定义
静定结构的定义
静定结构是指在结构分析中，未知的内力和反力个数相等的结构，也就是说， 静定结构的自均布荷载作用下，其跨中 截面弯矩为最大，且最大弯矩为 ql^2/4，其中q为均布荷载，l为梁 的跨度。
悬臂梁的内力计算
悬臂梁在固定端截面处弯矩为最大， 且最大弯矩为ql^2/3，其中q为均 布荷载，l为梁的跨度。
静定拱的内力计算
圆拱的内力计算
圆拱在均布荷载作用下，其跨中截面 弯矩为最大，且最大弯矩为ql^2/8， 其中q为均布荷载，l为拱的跨度。
《建筑力学》高版本 教学课件 建筑力学 第十一章 (最终)
(a)
(b)
图 11-4
4. 超静定结构的类型 常见的超静定结构的类型有梁、刚架、拱、桁架及组合结构等，如 图11-5 所示。
图 11-5
11.1.2 超静定次数的确定
超静定结构具有多余约束，因而具有相应的多余未知力。通常将多 余约束的数目或多余未知力的数目称为超静定结构的超静定次数 。
超静定结构的超静定次数常采用去掉多余约束的方法来确定。该方 法就是去掉结构中的多余约束，代之以相应的多余未知力，使原结构变 成静定结构，则
由于原结构在支座 B 处与Fx1相应的竖向位移 1等于零，所以，要使 基本结构的受力与原结构完全一致，那么基本结构在荷载 q 和多余未知力
Fx1 共同作用下产生的 B点的竖向位移1也应等于零，这就要求 Fx1具有某 一确定的数值。只有当 Fx1的值能保证 1= 0时，基本结构才能还原成原结 构。所以，超静定结构只有唯一的一组解能同时满足静力平衡条件和变形
协调条件，这就是超静定结构解的唯一性定理。
根据上述 1 =0 的条件基本结构，可列写出求解多余未知力 Fx1 的力法 方程。
设 11和 1P 分别表示基本结构在多余力 Fx1 和载荷 q 单独作用下 B 点沿 Fx1方向的位移，如图11-14b、c 所示，并规定与所设 Fx1正方向相同者为正。 根据叠加原理，则有
量，梁会产生向上弯曲变形，故梁会因温度改变而产生内力。
(a)
(b)
图 11-3
除上述主要特征外，超静定结构还具有整体性强、变形小、受力较为 均匀等特点，因而这种结构在实际工程中被广泛采用。例如，图11-4a 所 示的两跨连续梁较图11-4b 所示的两跨简支梁，在力 F 作用点处的弯矩和 挠度均为小。
解：① 选取力法的基本结构 去掉 C 支座支杆，代之以多余 未知力Fx1，得到如图11-15b 所示基 本结构。 ② 建立力法方程 以建立在 C 点处无竖向位移 (或 沿Fx1方向总位移 1 = 0) 为条件，建 立其力法方程，有
《建筑力学》课件 第十一章
建筑力学
第十一章
静定结构的位移计算
第一节 概述 第二节 刚体虚功原理及应用 第三节 变形体虚功原理及应用 第四节 荷载作用下静定结构的位移计算 第五节 图乘法计算位移
第一节 概述
建筑结构在施工和使用过程中，由于荷载作用、温度变化、支座沉降、 装配误差等因素的影响会发生变形。变形时，结构中各杆件横截面的位置会 发生变动，这种位置的变动称为结构的位移。结构的位移分线位移和角位移 两类。
结构位移计算的方法以刚体虚功原理为理论基础。
第二节 刚体虚功原理及应用
一、刚体虚功原理
当体系在位移过程中，不考虑材料应变，各杆件只发生刚体运动时，
则该体系属于刚体体系。
功是代数量，当力与位移的方向相同时，功为正值；当力与位移的方
向相反时，功为负值；当功与位移相互垂直时，功为零。做功的力可以是
一个集中力，也可以是一个力偶，有时也可能是一个力系。用一个统一的
刚片DBC可以绕铰支座B做自由转动，D位移到D1，C位移到C1；因 为AD刚片与DBC刚片是用两个平行于杆轴的链杆相连，位移后AD2仍应 与D1BC1平行，点A因有竖向支杆竖向位移为零，故得到一虚设的可能位 移状态，如下图所示。令上图所示的平衡力系在下图的虚位移上做虚功，
得虚功方程如下： FX X FF 0
q
FQC
2l
q (b a) 2
2．虚设一平衡力系，求静定结构的位移——虚力原理即单位荷载法
上图为一伸臂梁，支座 A 向下移动距离为 c1，现在拟求点
C 竖向位移 。
上图中位移状态是给定的，为了 应用虚功原理，应该虚设一平衡力 系。为了能在点C竖向位移上做虚 功，即与拟求的点C竖向位移对应， 在点C加一竖向力F，则支座A的反 力为Fb/a。F与相应的支座反力组成 一平衡力系，如下图所示，这是一 个虚设的力系状态。
第十一章
静定结构的位移计算
第一节 概述 第二节 刚体虚功原理及应用 第三节 变形体虚功原理及应用 第四节 荷载作用下静定结构的位移计算 第五节 图乘法计算位移
第一节 概述
建筑结构在施工和使用过程中，由于荷载作用、温度变化、支座沉降、 装配误差等因素的影响会发生变形。变形时，结构中各杆件横截面的位置会 发生变动，这种位置的变动称为结构的位移。结构的位移分线位移和角位移 两类。
结构位移计算的方法以刚体虚功原理为理论基础。
第二节 刚体虚功原理及应用
一、刚体虚功原理
当体系在位移过程中，不考虑材料应变，各杆件只发生刚体运动时，
则该体系属于刚体体系。
功是代数量，当力与位移的方向相同时，功为正值；当力与位移的方
向相反时，功为负值；当功与位移相互垂直时，功为零。做功的力可以是
一个集中力，也可以是一个力偶，有时也可能是一个力系。用一个统一的
刚片DBC可以绕铰支座B做自由转动，D位移到D1，C位移到C1；因 为AD刚片与DBC刚片是用两个平行于杆轴的链杆相连，位移后AD2仍应 与D1BC1平行，点A因有竖向支杆竖向位移为零，故得到一虚设的可能位 移状态，如下图所示。令上图所示的平衡力系在下图的虚位移上做虚功，
得虚功方程如下： FX X FF 0
q
FQC
2l
q (b a) 2
2．虚设一平衡力系，求静定结构的位移——虚力原理即单位荷载法
上图为一伸臂梁，支座 A 向下移动距离为 c1，现在拟求点
C 竖向位移 。
上图中位移状态是给定的，为了 应用虚功原理，应该虚设一平衡力 系。为了能在点C竖向位移上做虚 功，即与拟求的点C竖向位移对应， 在点C加一竖向力F，则支座A的反 力为Fb/a。F与相应的支座反力组成 一平衡力系，如下图所示，这是一 个虚设的力系状态。
建筑力学邹建奇第十一章
教学目标
理解位移法的基本概念， 了解等截面直杆单跨超静梁的杆端内力， 理解位移法的基本未知量和基本结构， 理解位移法的典型方程， 熟练应用位移法计算简单超静定梁和刚架。
教学要求
知识要点 位移法的基本概 念 等截面直杆单跨 超静梁的杆 端内力 位移法的基本未 知量和基本 结构 位移法典型方程 能力要求 (1) 理解位移法求解的基本思路 (1) 了解单跨超静定梁的固端弯矩和固端剪 力 (2) 了解单跨超静定梁刚度系数 力法 相关知识
Ky
Kx
、
、
图11.3基本未知量和基本结构
2.独立结点线位移的确定。 用位移法计算刚架时，一般忽略杆件的轴向变形和剪切变形的影响， 并且在微小变形的情况下，可认为杆件变形前的直线长度与变形后 两端点联线长度相等，从而使每一个受弯直杆就相当于一个约束， 从而减少了独立的结点线位移数目。例如图11.3（a）中各弯曲杆 变形前后长度保持不变，故1、2、3三个结点均有相同水平位移， 因此只有一独立的结点线位移。 独立结点线位移确定也可采用刚结点铰化的方法，即将所有的刚结 点及固定端支座均改为铰结，从而得到一个相应的铰接体系。对所 得到的铰接体系进行几何组成分析，若为几何不变体系，则体系没 有结点线位移。若为几何可变体，则需在结点上添加支座链杆，使 其成为几何不变体系。所需添加支座链的数目等于独立的结点线位 移数。图11.3（b）示体系是几何可变的，必须在某结点处添加一 根非竖向支座链杆（如虚线所示），才能成为几何不变体，故知原 结构独立的结点线位移数目是1。
表11.2 单跨超静定梁刚度系数
11.3位移法的基本未知量和基本结构
位移法的基本未知量应是各结点的独立角位移和 独立线位移。在计算时，应首先确定独立的结点 角位移和线位移的数目。 1.独立角位移的确定。 刚结点数目就是独立角位移数目。由于刚结点的 特点，一个刚结点只有一个独立角位移。固端支 座处，其转角等于零或已知的支座位移值。铰结 点或铰支座处各杆端的转角，不是独立的，确定 杆内力时可以不需要它们的数值，故可不作为基 本未知量。例如图11.3（a）所示刚架,其独立 角位移数是2。
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q
y
FC
FL 3 Fa 3 = = 48 EI 6 EI
+
a
4
a
qL 3 qa 3 θ qA = = 24 EI 3 EI
y qC
5 qL 4 5 qa 4 = = 384 EI 24 EI
c)叠加 c)叠加
θ A =θ
FA
+θ
a2 = 12 EI ( 3 F + 4 qa ) qA
y C = y FA + y qA
其中[ 称为容许转角； 称为容许挠跨比。 其中[θ]称为容许转角；[δ/L]称为容许挠跨比。
二、刚度计算 、校核刚度 校核刚度 、设计截面尺寸 设计截面尺寸 、确定外载荷
7
提高梁的刚度的措施
梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载有关外， 梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载有关外，还取决于 支座和荷载有关外 下面三个因素： 下面三个因素 材料——梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比 梁的位移与材料的弹性模量 成反比； 材料 截面——梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比 梁的位移与截面的惯性矩 成反比； 截面 跨长——梁的位移与跨长 L 的 n 次幂成正比 梁的位移与跨长 次幂成正比。 跨长 次幂， （转角为 L 的 2 次幂，挠度为 L的 3 次幂） 的 次幂） 1、增大梁的抗弯刚度（EI） 、增大梁的抗弯刚度（ ） 2、减少梁的跨度 、 3、改善荷载作用情况 、
y B ( F1 , F2 ,⋅ ⋅ ⋅, Fn ) = y B1 ( F1 ) + y B 2 ( F2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + y Bn ( Fn )
三、叠加法的特征： 叠加法的特征：
1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查； 梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查； 2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。 叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。
1
+ M
2
+ M
3
一、前提条件：弹性、小变形。 前提条件：弹性、小变形。 二、叠加原理：各荷载同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于各荷 叠加原理：各荷载同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，
载分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。
θ B ( F1 , F2 ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅, Fn ) = θ B1 ( F1 ) + θ B 2 ( F2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +θ Bn ( Fn )
M = M1 + M 2 + M 3
F
Fs
x
EI y i′′ = M i ( x )
′ EI y 1′ = M 1 ( x ) EI y ′′ = M 2 ( x ) 2 ′ EI y 3′ = M 3 ( x )
2
EI y ′′ = M ( x )
′ ′ y ′′ = y 1′ + y ′′ + y 3′ 2 M (x) = M
第十一章
弯曲变形
度量梁变形的参数--度量梁变形的参数--梁的挠度， 梁的挠度，横截面的转角
F 一、挠曲线：梁变形后的轴线。 挠曲线：梁变形后的轴线。
性质：连续、光滑、弹性、 性质：连续、光滑、弹性、极其 平坦的平面曲线。 平坦的平面曲线。
C
y
二、挠度：横截面形心沿垂直于 挠度： 轴线方向的位移。 轴线方向的位移。 用“y” 表示。 表示。 挠度向下为正 三、转角：横截面绕中性轴转过 转角： 的角度。 表示。 的角度。 用“θ” 表示。 转角顺时针为正
3
F
q
例：叠加法求A截面的转角和C截面的挠度. 叠加法求A截面的转角和C截面的挠度.
AA
a
C a F
解、a)载荷分解如图 、a)载荷分解如图 b)由梁的简单载荷变形表， b)由梁的简单载荷变形表， 由梁的简单载荷变形表 查简单载荷引起的变形。 查简单载荷引起的变形。
=
a
a
FL 2 Fa 2 θ FA = = 16 EI 4 EI
(a) 3、叠加
+
yC = yCa + yCb = yCa + 0 5(q ) L4 5qL4 2 = = 384 EI 768EI
6
AA
L/2
C q/2 L/2
(b)
一、梁的刚度条件
ymax ≤ [ y ] ymax ≤ [δ ] ⇒ ymax δ ≤ L L
θ max ≤ [θ ]
5
5 qa 4 Fa 3 = + 24 EI 6 EI
q
例：求图示梁 截面的挠度。 求图示梁C截面的挠度。 求图示梁 截面的挠度 解：1、载荷分解如图 2、查梁的简单载荷变形表
AA
L/2 q/2
C L/2
=
yCa
5(q ) L4 2 = ; yCb = 0 384 EI
AA
L/2 q/2
C L/2
1
θ θ θ θ θ θ θ θ
叠加法计算梁的变形
Me
q
梁上有分布载荷， 梁上有分布载荷，集中力与 集中力偶。 集中力偶。
qx 2 B 弯矩： M = M − Fx − 弯矩： e 2
A
F
Me
x
lqLeabharlann MA弯矩的叠加原理---弯矩的叠加原理---梁在几个载荷共同作用下 的弯矩值， 的弯矩值，等于各载荷单独 作用下的弯矩的代数和。 作用下的弯矩的代数和。
8
y
FC
FL 3 Fa 3 = = 48 EI 6 EI
+
a
4
a
qL 3 qa 3 θ qA = = 24 EI 3 EI
y qC
5 qL 4 5 qa 4 = = 384 EI 24 EI
c)叠加 c)叠加
θ A =θ
FA
+θ
a2 = 12 EI ( 3 F + 4 qa ) qA
y C = y FA + y qA
其中[ 称为容许转角； 称为容许挠跨比。 其中[θ]称为容许转角；[δ/L]称为容许挠跨比。
二、刚度计算 、校核刚度 校核刚度 、设计截面尺寸 设计截面尺寸 、确定外载荷
7
提高梁的刚度的措施
梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载有关外， 梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载有关外，还取决于 支座和荷载有关外 下面三个因素： 下面三个因素 材料——梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比 梁的位移与材料的弹性模量 成反比； 材料 截面——梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比 梁的位移与截面的惯性矩 成反比； 截面 跨长——梁的位移与跨长 L 的 n 次幂成正比 梁的位移与跨长 次幂成正比。 跨长 次幂， （转角为 L 的 2 次幂，挠度为 L的 3 次幂） 的 次幂） 1、增大梁的抗弯刚度（EI） 、增大梁的抗弯刚度（ ） 2、减少梁的跨度 、 3、改善荷载作用情况 、
y B ( F1 , F2 ,⋅ ⋅ ⋅, Fn ) = y B1 ( F1 ) + y B 2 ( F2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + y Bn ( Fn )
三、叠加法的特征： 叠加法的特征：
1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查； 梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查； 2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。 叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。
1
+ M
2
+ M
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一、前提条件：弹性、小变形。 前提条件：弹性、小变形。 二、叠加原理：各荷载同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于各荷 叠加原理：各荷载同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，
载分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。
θ B ( F1 , F2 ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅, Fn ) = θ B1 ( F1 ) + θ B 2 ( F2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +θ Bn ( Fn )
M = M1 + M 2 + M 3
F
Fs
x
EI y i′′ = M i ( x )
′ EI y 1′ = M 1 ( x ) EI y ′′ = M 2 ( x ) 2 ′ EI y 3′ = M 3 ( x )
2
EI y ′′ = M ( x )
′ ′ y ′′ = y 1′ + y ′′ + y 3′ 2 M (x) = M
第十一章
弯曲变形
度量梁变形的参数--度量梁变形的参数--梁的挠度， 梁的挠度，横截面的转角
F 一、挠曲线：梁变形后的轴线。 挠曲线：梁变形后的轴线。
性质：连续、光滑、弹性、 性质：连续、光滑、弹性、极其 平坦的平面曲线。 平坦的平面曲线。
C
y
二、挠度：横截面形心沿垂直于 挠度： 轴线方向的位移。 轴线方向的位移。 用“y” 表示。 表示。 挠度向下为正 三、转角：横截面绕中性轴转过 转角： 的角度。 表示。 的角度。 用“θ” 表示。 转角顺时针为正
3
F
q
例：叠加法求A截面的转角和C截面的挠度. 叠加法求A截面的转角和C截面的挠度.
AA
a
C a F
解、a)载荷分解如图 、a)载荷分解如图 b)由梁的简单载荷变形表， b)由梁的简单载荷变形表， 由梁的简单载荷变形表 查简单载荷引起的变形。 查简单载荷引起的变形。
=
a
a
FL 2 Fa 2 θ FA = = 16 EI 4 EI
(a) 3、叠加
+
yC = yCa + yCb = yCa + 0 5(q ) L4 5qL4 2 = = 384 EI 768EI
6
AA
L/2
C q/2 L/2
(b)
一、梁的刚度条件
ymax ≤ [ y ] ymax ≤ [δ ] ⇒ ymax δ ≤ L L
θ max ≤ [θ ]
5
5 qa 4 Fa 3 = + 24 EI 6 EI
q
例：求图示梁 截面的挠度。 求图示梁C截面的挠度。 求图示梁 截面的挠度 解：1、载荷分解如图 2、查梁的简单载荷变形表
AA
L/2 q/2
C L/2
=
yCa
5(q ) L4 2 = ; yCb = 0 384 EI
AA
L/2 q/2
C L/2
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θ θ θ θ θ θ θ θ
叠加法计算梁的变形
Me
q
梁上有分布载荷， 梁上有分布载荷，集中力与 集中力偶。 集中力偶。
qx 2 B 弯矩： M = M − Fx − 弯矩： e 2
A
F
Me
x
lqLeabharlann MA弯矩的叠加原理---弯矩的叠加原理---梁在几个载荷共同作用下 的弯矩值， 的弯矩值，等于各载荷单独 作用下的弯矩的代数和。 作用下的弯矩的代数和。
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