1数模引论及简单模型简介

由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子
3博弈模型
之囚徒困境问题
何谓博弈？
博弈论就是研究博弈行为中竞争各方是否存 在着最合理的行动方案，以及如何找到这个 合理的行动方案的数学理论和方法。 博弈的基本要素： 局中人：具有决策权的参加者。
策略：局中人能够采取的可行性方案称为策略 。 收益：局中人采取某种策略之后得到的结果。
囚徒困境问题
• 两个合伙作案的犯罪嫌疑人被警方抓获。 警方怀疑他们作案，但警方手中并没有掌 握他们作案的确凿完备的证据。因而，对 两个犯罪嫌疑人犯罪事实的认定及相应的 量刑完全取决于他们自己的供认。此时， 警察一般会把他们分开审讯，告诉他们如 果其中一个招供，他就可作为污点证人可 以减轻刑罚，如果拒不认罪而另一个犯罪 嫌疑人招供的话就要加重刑罚。那两个犯 罪嫌疑人到底招还是不招？
对任意, f(), g() 至少一个为0
数学 问题
已知： f() , g()是连续函数 ;
对任意， f() • g()=0 ;
且 g(0)=0， f(0) > 0.
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0. 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
二、数学建模及其竞赛
2：主要内容
初等模型 简单优化模型 离散模型
数学规划模型
微分方程模型
概率模型
统计回归模型
差分方程模型
图与网络模型
数学建模竞赛 形式：3—3制，通讯式 内容：实际问题 规则：可以使用任何非生命资源 时间：国内：9月第三个星期五至下一周星期一 美国：2月中旬 评奖： 网址：国内： 美国：
B´ B A´
用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 • 四只脚着地 椅脚与地面距离为零 距离是的函数 四个距离 (四只脚) 两个距离
C

O D´
A
x
D
正方形 对称性
C´
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f()
B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
正方形ABCD 绕O点旋转
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 f() , g()是连续函数
数学通过数学建模应用于各 个方面 1 等车问题 2 文学之谜 3 组合投资风险 概率模型
统计模型
多目标规划模型
二、数学建模及其竞赛
1 现状：
数学建模是一门新兴的学科，20世纪70年代初诞 生于英、美等现代工业国家。在短短几十年的历 史瞬间辐射至全球大部分国家和地区。 80年代初，我国高等院校也陆续开设了数学建模 课程，随着数学建模教学活动（包括数学建模课 程、数学建模竞赛和数学（建模）试验课程等） 的开展，这门课越来越得到重视，也深受广大学 生的喜爱。
模 型 构 成
尽量采用简单的数学工具
数学建模的一般步骤
模型 求解 模型 分析 模型 检验 各种数学方法、软件和计算机技术 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析 与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性
模型应用
1.3 数学建模示例
1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗
放稳 ~ 四只脚着地
5 医药学上的应用
• 另一方面从数学在医药学上的现代应用来看，随着概 率论、微积分、拓扑学、图论、矩阵和矢量代数、模 糊数学等一系列数学理论和方法的建立，真正扫除了 生命科学中应用数学的困难和障碍。数学方法在生命 科学领域的广泛应用。数学生理学、数学生物物理学、 数理流行病学、药物动力学、数理诊断学等一批数理 医药学迅速崛起。 • 具体来讲：生理医学专家有了药物浓度在人体内随时 间和空间变化的数学模型，就可以分析药物的疗效， 有效的指导临床用药。微分方程在药物动力学研究中 的应用， 回归分析在药学上的应用，模糊数学（层次 分析法）在疾病预测上的应用等等。
数学建模培养的能力
1 运用信息的能力
对实际问题进行客观调查与收集原始数据的能力； 文献资料的网上网下的查找能力；
中外文献的阅读能力；
语言和文字的表达能力；计算机文字处理和快速 录入能力； 运用计算机先进工具软件的能力；计算机编程能 力。
数学建模培养的能力
2 形象思维的能力
开放的发散思维能力（诸如联想、类比、移植、 反思等所体现的想象力）； 全面考虑又抓住要害的能力（直觉、灵感、选择、 排除等所体现的洞察力）； 对模型进行艺术加工并赋予形式美的能力；
根据上面的分析，最后的结果就是“Ａ供认， Ｂ供认”。
验证
• 在现实生活中，合伙作案的两个犯罪嫌疑 人被抓获之后，通常都是被分开审讯，最 后的结果往往都是两个都供认了，从而模 型得到验证。
应用
• 囚徒困境模型是博弈论中最经典的模型， 但它反映了一个很深刻的问题：就是个人 理性与集体理性的矛盾。 • 除了可以用于审讯犯人，还可以用来解释 很多经济、军事、政治现象。比如军备竞 赛、企业竞争、公共产品的供给等等。
数学建模的一般步骤
模型准备 模型检验 模型应用 模型假设 模型分析 模型构成 模型求解模来自型 准 备了解实际背景
搜集有关信息
形成一个 比较清晰 掌握对象特征 的‘问题’ 明确建模目的
数学建模的一般步骤
模 型 假 设 针对问题特点和建模目的 作出合理的、简化的假设 在合理与简化之间作出折中 用数学的语言、符号描述问题 发挥想像力 使用类比法
准备
• 这个问题就是一个博弈问题：即两个犯罪 嫌疑人被抓住之后，要考虑对方选择不同 的行动方案时，自己该如何选择行动方案， 使自己被判得刑期最短。
准备
局中人：
犯罪嫌疑人A、B。
返回
策略：两个犯罪嫌疑人各有两个策略，就是 供认与 不供认。 收益： 如果犯罪嫌疑人A供认B不供认，则A的收益就 是被减刑，而B被加刑。 反之如果A不供认B 供认，A的收益就是加刑， 而B的收益就是减刑。 如果A供认B供认，A、B的收益都是正常判刑。 如果A 、B都不供认 ，则会由于证据不足只能 被判比较轻的刑罚
问题分析 通常 ~ 三只脚着地 模 型 假 设
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形; • 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面; • 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地。
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
• 椅子位置
利用正方形(椅脚连线)的对称性
数学建模
教师：王秀凤
Email: wxfsnow8012@
引论 数学无处不在
1.1 等车问题
1.2 文学之谜
1.3 组合投资风险模型
1 等车问题
一个男生对两个女孩都有好感，在两者之间 难以取舍,女生A，B分别住在城北，城南。
向北公交车发车时间：1分，16分，31分，46分 向南公交车发车时间：0分，15分，30分，45分 男生不确定该去看谁，于是每天随机到站哪个 方向的车先来他就上哪趟车 思考：一个月后男生看A，B的次数是怎么样 的？
建模
• 根据前面的分析和假设我们给出囚徒困境问题的 收益矩阵为：
犯罪嫌疑人B
供认 犯罪嫌 疑人A 供认 不供认 (-5，-5) (-10，-1) 不供认 (-1，-10) (-2，-2)
求解
根据收益矩阵我们来一起分析一下，罪犯A 将如何选择策略，比如如果B供认，那么A供 认的话被判5年，不供认则被判10年，所以 供认比不供认好；如果B不供认，那么A供认 的话则被判1年，否则判2年，所以还是供认 比较好。同样，供认也是B的最优策略。
对数学解答还原为实际结果（实化）的能力。
数学建模培养的能力
3 抽象思维的能力
将实际问题理想化、符号化、数学抽象化（虚化） 的能力； 在观察现象、整理资料的基础上进行归纳提出由 桂路的命题的能力； 严谨的逻辑推理能力；
对模型潜在的各种可能性作周密分析的能力；
灵活的借鉴和模仿前人成法的能力；
5 医药学上的应用
一方面从医学生物科学的发展历史来看： 科学史家评论认为，哈维之所以能证实血液循 环，主要得益于数学方法的运用。 孟德尔揭示遗传定律亦同样，科学史家注 意到，尽管当时进行植物杂交试验是相当普遍， 但就是没有一个植物学家曾想到要对所有的杂 交种后代作数学处理。正是孟德尔创造性地把 统计方法应用于杂交结果的处理，从而得出对 现代人类遗传学和医学遗传工程影响深远的两 大遗传定律。
大胆又审慎的创新能力。
数学建模培养的能力
4 组织协调的能力
分清事情的轻重缓急并进行计划安排的能力； 根据同事的特点组织分工与合作 的能力；
沟通与协调能力；
等等
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
1 等车问题
一个月后，男生感觉也许是“天意”， 因为他去看了A两次，却看了B28次。
事实上并非“天意弄人”而是“概率弄 人”
0 1 A 15 B
登上看A的车与看B的车的几率之比约为 1：14
2 文学之谜
名著《静静的顿河》的作者是谁，一度 是文学史上的一个谜。
背景：《静静的顿河》是前苏联革命时期的 一本名著，由于当时革命形势，作者都不署 真名，而革命成功之后，可能的作者中有的 已去世，无法告诉世人真相，于是一直找不 到其真正作者。