一类高阶泛函微分方程非振动解的存在性

一类高阶泛函微分方程非振动解的存在性
莫协强;张晓建;杨甲山
【摘要】研究一类具有正负系数的高阶非线性中立型时滞泛函微分方程,获得了该方程存在非振动解的一些新的充分条件,这些结果去掉了M.R.S.Kulenovic等
(J.Math.Anal.Appl.,1998,228:436-448.)及现有的其它文献中的一个相当强的假设,所得结论推广和改进了现有文献中的一系列结果.
【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2014(037)006
【总页数】6页(P861-866)
【关键词】正负系数;中立型泛函数微分方程;非振动;不动点原理
【作者】莫协强;张晓建;杨甲山
【作者单位】梧州学院数理系,广西梧州543002;邵阳学院理学与信息科学系,湖
南邵阳422004;梧州学院数理系,广西梧州543002
【正文语种】中文
【中图分类】O175.7
关于中立型时滞泛函微分方程的振动和非振动的研究，除了在理论上具有非常重要的意义外，在实际应用中也有着非常重要的意义.因此，在这一领域出现了许多研
究成果［1-17］.但是对于高阶中立时滞微分方程的非振动解的研究却受到了冷落，这主要是源自其分析上的技术困难.而具有正负系数的高阶中立型方程的非振动定
理却更少了［6-14］.早些时候，M.R.S.Kulenovic等［2］研究了方程
及“(H0):对每个t≥t0及任意常数α＞0均有αQ(t)-R(t)≥0”的条件下得到了方程(1)存在非振动解的结论.之后，如文献如［6-11］均围绕方程(1)，或p不是常数，或方程为非线性的变时滞的等，但都是在(H0)成立的条件下进行的研究，没有实
质性的新进展.文献［12-14］的部分定理对条件(H0)有所改进，但没有方程的系
统性的结果.本文旨在去掉这个强条件(H0)，讨论下列一类更广泛的具有正负系数
的高阶非线性中立型时滞泛函微分方程
建立方程(2)非振动的若干新的准则，所得定理改进了现有文献中的一系列结论，
并举例说明了定理的应用.这里 n ＞0 为偶数，τ＞0，σi≥0，δj≥0，t0＞0为实常数(i=1，2，…，m；j=1，2，…，l，后面出现的i，j其取值亦是如此，不再另外说明)；m≥1，l≥1 为正整数.
函数x(t)称为方程(2)的解，如果x(t)∈C(［t-1，+∞)，R)，x(t)+P(t)x(t- τ)
∈Cn(［t-1，+∞)，R)，并且x(t)满足方程(2)，这里t-1=min{t0- τ，t0-}.方程(2)在半直线［Tx，+∞)(Tx≥t0)上的解x(t)称为是正则的，如果它满足sup{|x(t)|:t≥T}＞0，∀T≥Tx.方程(2)的正则解称为是振动的，如果它有任意大的零点；否则，此
正则解称为是非振动的.并考虑如下假设:
(H4)fi(x)、gj(x)均满足局部Lipchitz条件，即对于某区域 D，存在常数 Lfi(D)，Lgj(D)＞0，使得∀x，y≥0，有|fi(x)-fi(y)|≤Lfi(D)|x-y|和|gj(x)-gj(y)|≤Lgj(D)|x-y|；(H4)'fi(x)、gj(x)均满足局部Lipchitz条件，即存在常数α ＞0 及 Lfi，Lgj＞0，使得∀0≤x≤α，0≤y≤α，有|fi(x)-fi(y)|≤Lfi|x-y|和 |gj(x)-gj(y)|≤Lgj|x-y|.
1 主要结果和证明
即此时(7)式是成立的.由数学归纳法知，(7)式得证.因此，根据(8)式，易知由(6)式所确定的x(t)是方程(2)的一个最终正解.定理证毕.
定理2 设方程(2)满足条件(H1)～(H4)，0＜＜1，并且最终有P(t)≥0，则方程(2)一定存在一个非振动解.
注1 由于本文例1中所给的方程均不满足条件(H0)，即不满足假设“对任意t≥t0及任意常数α＞0均有αQ(t)-R(t)≥0”，因此文献［2，6-11］中的定理都不能用于本文例1的方程.从定理1～5的证明过程可知，方程(2)是否存在非振动解与条件αQ(t)-R(t)≥0是否成立并无必然联系.
注2 当n为奇数时，用同样类似的方法可以证明，本文结论也是成立的.
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