带极大项的具有连续变量的高阶非线性中立型时滞差分方程振动性
一类具有连续变量的高阶非线性时滞差分方程的振动性
（） ７
否则， 存在ｔ ｔ有△～ （ ） ０由（） ３ ： ｂ Ｉ ． ５式得， 以 （ 严格单调递增， ＞ １ ， ＞ △ ｔ ： ） 则有 △＿ （ ＋ ｌ ；。 ｔ ｆ ＞ ： ｘｔ ， ≥ ． ：。 ｔ ） ａ＿ （ ＋ ） △ ＿ （ ） ｘ３ － ｘ３ ３ １ 将上述不等式两边对ｉ 到ｎ 得 从２ 求和 － （ ＋ ） 互△～ （ ＋ ） ０所以， ２ ｔ 打 ≥ ｔ ｒ ＞ ． ｘ３ ３
负． 否则称为非振动的． 方程 （ ） １ 称为振动 的 ， 如果方程（ ） １ 的所 有解都是振动 的．
１ 基本 引理
首先给 出下列条件 ： （ ｕ＞ Ｈ ； Ａ） ） Ｏ，≠０ （ ）ｌ ｎ （ ） ＞ ； Ｄ ｉ ｆＩ Ｍ Ｉ ０ ｉ ｆ （ ）对某 ０ 有 ｐ ｔ Ｂ ≥ｔ， （ ＋打）＝＋。 ； 。 （ ）ｔ （） Ｃ 一 ｔ是单调非减 的；
△一 ｔ＋ ｎ １． 一 ： （ ｒ ≥ ’ ｔ＋ ） ｏ ： ３ （ ＋ ）） △ ｔ４ ） ，： ３ ｒ ＞ ． （ ｒ ３ － （ 因此 ｌ △～ （ ＋ ｎ １ｒ ：＋０ 于 ｉ ： ｔ （ ＋ ）） Ｏ． 是存在充分大的自 ｍ ３ 然数 ， ～ （ ＋ ｎ ＋ ）） ｏ所以， 有 ｘｔ （２ １ｒ ＞ ． ３
（ Ｅ）存在 常数 艿＞ ， ０ 使得 Ｍ ｓｎ（ ）＞ ）ｇ ｕ ａ
引理 １ 设 条件 （ 成立 ， 函数 （） Ａ） 若 ｔ是方程 （ ） １ 的有界最终正解 ， 则最终有
Ａｘｔ＜ ， △～ （ ＞ ， △～ （ ＜ ， ，一 ） △ ｔ ＜ ． ￣ ） ０ ： ｔ ０ ｔ ０ （ ） ） … （ １ （ ｏ ）
△ ｔ ＋ （）（（一 ） ） ０ ≥ ：（） ｐ ｔ ｘｔ ） ＝ ， ｆ
具有振动系数的二阶非线性中立型时滞动力方程的有界振动性
数学物理学报
２ ０ １ ３ ， ３ ３ Ａ（ １ ） ： ９ ８ — １ １ ３
ｈ ｔ ｔ ｐ ： ／ ／ ａ ｃ ｔ ａ ｍｓ ． ｗ ｉ ｐ ｍ． ａ ｃ ． ｃ ｎ
具 有振 动 系数 的二 阶 非线 性 中立型 时 滞 动 力方程 的有界振动性
陈大 学
（ 湖 南工程学院理 学院 湖南湘潭 ４ １ １ １ ０ ４ ）
摘要：研 究时标 上具有振动系数的二 阶非线性 中立型时滞动力方程
／ ， ｒ ］△ 、 、 Ａ
（ 、 ｒ （ ￡ ） （ 、 １ （ ｔ ） ＋ ｐ （ ） （ ７ － （ ｔ ） ） １））＋ ／ ， （ ｔ ， （ ） ） ） ＝０
的有界 振动性，其中 Ｐ是一个 定义于 ｒ Ⅱ ’ 上的振动函数， ＞ ０是两个正奇数之比．利用一种
的有 界振 动性 ，假设 具备 以下条件
（ １ ． １ ）
（ Ｈ １ ）Ｐ ∈ Ｃ ｒ ｄ （ Ｔ ， ） ， Ｐ 是一个振动函数， ｊ ｍ ｉ ｐ （ ｔ ） ＝０ ；
（ Ｈ２ ） ＞０是两个 正奇 数之 比；
（ Ｈ ３ ）ｔ ０∈， Ⅱ ＇ ， Ⅱ： ＝［ ｔ ｏ ， ∞） 是ｒ Ⅱ ＇ 内的一个时标区间，即 Ⅱ： 一｛ ： ｔ∈ ， ｔ ｔ ｏ ｝ ， ｒ∈
ｄ （ Ⅱ ， （ ０ ， 。 。 ） ） ， （ ） Ａ ｔ ＝∞；
（ ｔ ） ＝ｏ ｃ ； （ Ｈ４ ）７ － ∈ ｄ （ ， ｒ Ⅱ ’ ） ， ｔ ｌ ｉ ａ７ ｒ
。。
（ Ｈ ５ ） ∈Ｃ ￣ ｄ （ Ｙ ， ｒ Ⅱ ’ ） ， 当ｔ ∈Ⅱ 时５ （ ｔ ） ｔ ， ｌ ｉ ｍ （ ） ＝∞；
一
此，我们最感兴趣于那些对于初值 问题能够建立解的全局存在性和惟一性定理的方程．然 而，对 于具有 复杂偏 差变 元 的方 程来说 ，迄 今 为止 ，人 们还 没有 获得关 于全 局解 的存在性 和 惟 一性 定理 ．事 实上 ，这种 方程 的初值 问题 的公 式并 非总是 清楚 的 ．因此 ，如通 常那样 ，在 这 些情 形 我们不 在乎 初值 问题 的公式 Ｌ ３ ０ ＿ ． 时标上 的动力方 程 的研 究是 一个 非常新 的主 题 ， 并 且发 展迅速 ，其最 初 的 目的是 为了统 离散和连续分析 ［ ７ ］ ＿ 关于微分方程的许多结果能够很容易地平移到相应的差分方程， 而其 它 结果 则似 乎完全 不 同 ．动力 方程 的研 究揭示 了这 种差 异 ，有助 于避 免提 供结果 两次 一 一 次 为 微分 方程 提供 而 另一 次 为差分方 程提 供 ．其通 常 的想 法是 为 一个 动 力方 程提供 一个 结 果 ，其未 知 函数 的定义 域是 一个 所谓 的 时标 ，即实 数集 的任意 一个 非空 的闭子 集 ．这样 就 获 得 了不但 与实数 集或 整数 集有关 而且 与更 一般 的 时标 有关 的结果 ． 在生物 学 、工程 技术 、经济 学、物 理学 、神 经 网络和社 会科 学等 方面 ，时标上 的动 力方 程有 着 巨大 的应 用潜 力 Ｉ ｓ － ９ ］ ． 例如 ，可用 动 力方程 来建 立 昆虫数 量模型 ．昆虫 数量在 繁殖季 节是 连续变 化 的．进入 冬季 ，昆虫 逐渐 消失 了 ，而 它 们的卵正 在孵 化或 处于蛰 伏状 态，然后 在 新 的繁殖季 节，卵孵化 出来 了，这 样导 致 了不相 重叠 的数 量 Ｂ ｏ ｈ ｎ ｅ ｒ 和 Ｐ ｅ ｔ ｅ ｒ ｓ ｏ ｎ的一
具连续变量脉冲中立型时滞差分方程的振动性
具连续变量脉冲中立型时滞差分方程的振动性胡冰;欧阳瑞;吴景珠【摘要】Researched the oscillation of impulsive neutral delay difference equations with continuous arguments by using of constructor method. First, constructed equivalence theorem on oscillation between auxiliary equation and studied equation. Then, studied the auxiliary equation by means of the method of equations with continuous arguments, two sufficient conditions for oscillation of impulsive neutral delay difference e-quations with continuous arguments are obtained.%利用构造函数法研究了具连续变量脉冲中立型时滞差分方程的振动性.首先通过构造辅助方程得到了辅助方程与所研究方程解振动性的等价定理,然后利用研究具连续变量差分方程所有解振动的方法,研究了辅助方程的振动性,得到了具连续变量脉冲中立型时滞差分方程所有解振动的两个充分性条件.【期刊名称】《湘潭大学自然科学学报》【年(卷),期】2012(034)001【总页数】4页(P19-22)【关键词】脉冲中立型时滞差分方程;连续变量;振动性【作者】胡冰;欧阳瑞;吴景珠【作者单位】周口师范学院经济管理系,河南周口466000;周口师范学院数学与信息科学系,河南周口466000;周口师范学院数学与信息科学系,河南周口466000【正文语种】中文【中图分类】O175.25脉冲现象在现代科学技术各个领域中是非常普遍的，这类问题的数学模型往往可归纳为脉冲微分或差分系统［1］.脉冲微分差分系统最大的特点是能够充分考虑到瞬时突变现象对状态的影响，因而能够更加深刻、更加精确地反映事物的变化规律.近年来，具有连续变量的时滞差分方程得到了人们的广泛研究［2，3］，对带有脉冲扰动的具连续变量差分方程的研究也不断受到人们的关注［4～7］，而这类方程在工程控制，医学，现代物理，生物数学以及经济管理等领域的很多实际问题中都是普遍存在的，例如，在经济上进行动态分析时，各种突发的因素会对经济发展产生一定的影响，这种问题的数学模型经常会总结为带有脉冲的差分方程［9］.这类方程综合了离散和连续系统的特征，但又超出了离散和连续系统的范围.因此，研究脉冲对系统稳定性的影响是很有必要的.基于这种考虑，本文研究了一类具有连续变量的脉冲时滞差分方程的振动性问题.1 相关概念考虑带有脉冲扰动的具连续变量中立型时滞差分方程其中0≤t0＜t1＜t2＜…＜tk＜…是固定点列，且bk≠－1，（k＝1，2，…）是实常数.对任意t0≥0，记r＝max｛τ，σ｝，任给φ∈C（［t0－r，t0］，R），称函数y：［t0－r，∞）→R为方程（1）的满足初始条件的解.如果y（t）在［t0－r，∞）＼｛tk，tk＋τ，tk＋σ，k＝1，2，…｝连续，在tk，tk＋τ，tk＋σ（tk＞t0）左右极限存在且左连续，对t∈［t0，∞）满足（1），对t∈［t0－r，t0）满足（2）.由步法易知对任意t0≥0，φ∈C（［t0－r，t0］，R），初始问题（1），（2）有唯一解y（t，σ，φ）存在.定义1［10］方程（1）的解y（t）称为振动的，如果它既非最终正解也非最终负解；否则称其为非振动的.若一个方程的所有解都振动，则称这个方程为振动的.2 主要引理根据方程（1）构造辅助方程我们首先叙述（1）和（3）在振动性上的几个等价关系.引理1［4］如果存在正整数K使当k＞K时有bk＞－1，（k＝1，2，…），则方程（1）的所有解振动当且仅当方程（3）的所有解振动.利用［4］的方法我们证明下面的引理.引理2［4］设x（t）是方程（3）的最终正解，令若（i）存在正常数p使且q（t＋iτ）不最终恒等于零（i＝1，2，…），则最终有Δz（t）≤0，z（t）＞0. 证明由于x（t）为方程（3）的一个最终正解，则必存在T＞t0，使t＞T时有x （t－τ）＞0，x（t－σ）＞0，由方程（3）及式（4）有即有z（t）≤z（t－τ），t≥T＋τ.下面证明z（t）＞0最终成立.假设存在T1≥T使z（T1）＜0，设α＝－z（T1）＞0，由式（5）有由式（4）得由条件（i）可得与x（t）是最终正解矛盾，故z（t）≥0.假设存在T2≥T使z（T2）＝0，进而有由（ii）则有z（T2＋τ），z（T2＋2τ），…，z（T2＋nτ）不最终恒等于零，则必存在n0，使z（T2＋n0τ）＜0，此已证不可能，故必有z（t）＞0.引理3［8］设，则有3 主要结论及证明定理1 设引理2条件成立，bk＞－1，k＝1，2，…且σ≥2τ，设若，则方程（1）是振动的．证明由引理1知只需证明方程（3）是振动的，不妨设方程（3）有最终正解x （t），则由引理2知存在T1＞0，∀t≥T1时，Δz（t）≤0，z（t）＞0，由方程（3）及式（4）、（6）可得即z（t）－z（t－τ）＋β（t）z（t－σ）≤0．对上式两端同时从t－τ到t求积分，并利用积分中值定理可得其中t－τ＜ξt＜t，令则w（t）＞0，w（t－τ）＞0，w（t－σ）＞0，这时有注意到w′（t）＝Δz（t）≤0，所以有因为，所以∀ε（0＜ε＜α），∃T2＞0，∀t＞T2有β（t）＞α－ε．取T＝时，根据（7）式有所以由式（7）、（8）、（9），得到所以这与条件里的limsupβ（t）＞1－α矛盾，定理结论得证．定理2 设引理2条件成立，bk＞－1，k＝1，2，…且σ≥2τ，设若且，则方程（1）是振动的．证明和定理1的证明一样，可以得到（7），（9）．因为σ≥2τ，而w′（t）＝Δz（t）≤0，所以由上述结果，可以得到所以由式（7）、（8）、（9），得到所以这与条件里的limsupβt→∞（t）＞1－α矛盾，定理结论得证.定理2 设引理2条件成立，bk＞－1，k＝1，2，…且σ≥2τ，设若且，则方程（1）是振动的.证明和定理1的证明一样，可以得到（7），（9）.因为σ≥2τ，而w′（t）＝Δz （t）≤0，所以由上述结果，可以得到所以即由（7），（11）知因此记，由上式可知w（t－τ）＞（α－ε）（1－b1）－1 w（t－2τ），因此继续做下去，最终将有其中bn＝（α－ε）（1－bn－1）－1，n＝2，3，….所以即β（ξt）＜1－bn.所以，根据引理3，得到由ε的任意性知，与定理条件矛盾，所以定理结论得证.参考文献［1］卢大庆.具有正负系数的一阶时滞微分方程解的有界性、渐进性、振动性［J］.湖南科技大学学报（自然科学版），1995，10（1）：68—74.［2］张玉珠，燕居让.具有连续变量的差分方程振动性的判据［J］.数学学报，1995，38（3）：406—411.［3］刘琼，杨甲山.具多变滞量的二姐中立型差分方程振动性判据［J］.湘潭大学自然科学学报，2006，28（3）：17—20.［4］张建平，蔡果兰.一类连续变量脉冲中立型差分方程研究［J］.开封大学学报，2006，20（3）：66—68.［5］蔡果兰，宋淑红，丁玮.具有连续变量线性脉冲时滞差分方程的振动性［J］.山西大学学报（自然科学版），2001，24（3）：196—198.［6］蔡果兰，郭继军，王学保.一类连续变量脉冲中立型差分方程［J］.数学的实践与认识，2009，39（22）：190—192.［7］蔡果兰，郭继军.具有连续变量脉冲中立型时滞差分方程的振动性［J］.数学的实践与认识，2008，38（11）：184—188.［8］张友生，庾建设.具连续变量的线性时滞差分方程的振动性［J］.高校应用数学学报A辑，2000，15（1）：25—33.［9］欧阳瑞，陈春华.具连续变量脉冲时滞差分方程的振动性［J］.四川理工学院学报，2011，24（3）：283－285.［10］欧阳瑞.几类具连续变量差分方程的振动性［D］.秦皇岛：燕山大学，2010.。
本刊2010年总目次
基 于 Ｇ Ｓ的上 海市 购物 中心 区位 评价 研究 … …… ……… ……… ……… …… …… 武 占云 ，王远 飞 （５ ） Ｉ １ ２ 长江 中游 末次 冰期风成 堆积及 其 环境指示 … ……… …… ……… …… 于玲 玲 ，贾玉连 ，陈晓玲 ，等 （ ５ ） １ ８ 我国城市 增长路 径 的非 对称 特征分 析 … ……… …… …… ……… ……… ……… … 张 思彤 ，石柱 鲜 （ ６ ） １ ３
疏水 性离子 液体对 含 Ｃ 废水萃 取性 能的研究 …… ……… ……… … 刘 军安 ，张 ｕ
谦 ， 晓文 ，等 （ ０ 任 ８）
毅 ， 元弟 （ ６ 赵 ８）
左旋 多 巴在 纳米材料 修饰 界面上 的 电子 传递 … ……… ……… ……… …… ……… … 涂
铁 、 催化活 化杉木 屑制备 中孑 炭 与孔结 构表征 … ……… ……… ……… … 黄 明增 ，陈燕 丹 ， 镍 Ｌ 黄
湖北地 区啮齿 动物分 布及地 理 区划研究 …… …… ……… ……… …… 段 海 生 ， 国权 ，杨振 琼 ，等 （２ ） 许 １ ９
基于 Ｃ Ｌ Ｏ Ａ Ｉ Ｐ数 据 的气溶胶 光学厚 度反 演研究 ……… ……… …… 朱忠敏 ，龚 威 ，余 娟 ，等 （３ ） １ ５
基于地 图代数 障碍距 离变换 的空 间引力模 型研 究 …… ………… …… 王 丽，王 海军 ，李 青 ，等 （４ ） １ ０ 日全食对 地基 Ｇ Ｓ和 微波辐 射计 气象观 测影 响分析 Ｐ ………… …… 万 蓉，李武阶 ，陈 渡 ，等 （４ ） １ ５
丹 ，邵 亮 （３ ４）
空 时 的 四 单 形 自旋 泡 沫 量 子 跃 迁 与 度 量 涨 落 … … … … … … … … … … … … … … … … 邵
具有可变时滞的高阶非自治中立型差分方程的振动性
具有可变时滞的高阶非自治中立型差分方程的振动性
杨逢建;张超龙
【期刊名称】《生物数学学报》
【年(卷),期】2006(21)4
【摘要】研究具有可变时滞的高阶非自治中立型差分方程△^m（xn-cxn-k）＋h （n，Xn-ln）=0（n=0，1，2，…）的振动性．利用Banach空间的压缩映象原理，得到了这类差分方程振动的必要条件，利用偏序集中的Knaster不动点定理，得到了这类方程振动的充分必要条件，同时得到了这类差分方程存在最终正解的准则。
【总页数】7页(P564-570)
【关键词】非自治;中立型差分方程;可变时滞;振动性;最终正解
【作者】杨逢建;张超龙
【作者单位】仲恺农业技术学院基础部
【正文语种】中文
【中图分类】O175.7
【相关文献】
1.一类具有可变时滞的非线性中立型差分方程的振动性 [J], 杨逢建;罗毅平
2.一类具有可变时滞的高阶非线性中立型差分方程正解的存在性 [J], 贺铁山
3.具有可变时滞的非线性非自治差分方程的振动性 [J], 刘一龙;杨甲山
4.具有可变时滞的二阶中立型差分方程的振动和非振动准则 [J], 杨甲山
5.具有可变时滞的高阶非线性非自治差分方程的振动性 [J], 杨逢建;张超龙
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时标上一类非线性中立型微分方程的振动性
Value Engineering1研究背景自1988年Stefan Hilger 在他的博士论文中首次提出测度链上的微分方程理论以来，测度链上时滞动力方程的研究成为目前国际上关注的一个新课题，对其研究具有重要的理论价值和实际应用价值。
而对于许多情况，只需考虑测度链的一种特殊情形———时标，时标指的是实数R 的任意一个非空闭子集，以符号表示。
详细的有关时标的理论见文献[2,5,6]。
本文考虑时标上二阶非线性中立型微分方程(x(t)+n i =1∑p i (t)x(τi (t)))ΔΔ+mj =1∑q j (t)f j (x(r j (t)))=0,t ⩾t 0>0（1）的振动性，其中p i (t)，q j (t)∈C rd ([t 0，∞)，R +），0⩽τi （t）<t ，0⩽r j (t)<t,r j (t)非减，q j (t)不最终恒为零，f j (x)/x ⩾εj >0，i=1,2,…n ，j=1,2,…m,本文中记ε=min{εj }，r(t)=min{r j （t）}，z(t)=x(t)+ni =1∑p i(t)x(τi (t))。
2主要结果引理1设x(t)为(1)的非振动解，若x(t)最终为正(负)，则最终有z Δ(t)>0(z Δ(t)<0)。
证明假设x(t)为(1)的最终正解(最终负解同样可证)，即存在充分大的t 1⩾t 0>0，当t ⩾t 1时，x(t)>0,x(τi (t))>0，x(r i (t))>0，易知z(t)=x(t)+ni =1∑p i (t)x(τi (t))⩾0且z ΔΔ(t)=-m j =1∑q j (t)f j (x(r i (t)))⩽0（2）故知z Δ(t)单调递减，且z Δ(t)>0。
若不然，则z Δ(t)⩽0，因为q j (t)不最终恒为零，故z Δ(t)不最终恒为零，故存在t 2，当t ⩾t 2⩾t 1，有z Δ(t)⩽z Δ(t 2)（3）对(3)式从t 2到t 积分，有z(t)-z(t 2)⩽t t ∫z Δ(t 2)ΔS=z Δ(t 2)(t-t 2)，当t→∞时，得z(t)→-∞。
二阶非线性中立型时滞微分方程的振动性定理
ｌ ｑ （ ） ｄ ｔ 一＋ 。 。 ，
Ｊ ｆ ０
则方程（ １ ） 是振动的。 证 明 设 ｚ （ ￡ ） 是 方程 （ １ ）的非振 动解 ， 不妨设 为最终 正解 ， 又 由于
ｌ ｉ ａ ｒ ｒ （ ）一＋ ∞ ， ｌ ｉ ｍ （ １ ＞ｔ ｏ ， 当ｔ ＞ｔ １ 时， 有 （ ） ＞０ ， ｚ（ ｒ （ ） ）＞ ０ ， ｘ （ ａ （ ） ） ＞０ ， 令
二 阶 非 线 性 中 立 型 时 滞 微 分 方 程 的 振 动 性 定 理
查 智 高 ， 王光 明 ， 韩 振 来
（ １ ． 厦 门大 学 数学科 学学 院 ， 福建 厦 门 ３ ６ １ ０ ０ ５ ； ２ ． 济南 大学 数 学科学 学 院 ， 山东 济南 ２ ５ ０ ０ ２ ２ ）
如 果存 在 函数 （ ｔ ， ｓ ）Ｅ Ｃ （ Ｄ， Ｒ） ， 满足 型
口 ５
一一 （ ￡ ， ｓ ）￣ ／ 可
， （ ， ）∈ Ｄ， 称 函数 Ｈ（ ￡ ， ） 属 于
Ｐ类 ； 如 果存 在 函数 ｈ （ ｔ ， ｓ ）Ｅ Ｃ （ Ｄ， Ｒ） ， 函数 ｆ Ｄ （ ￡ ）Ｅ Ｃ （ Ｅ ｔ 。 ， ＋ ∞） ， （ ０ ， ＋Ｏ ０ ） ）满足
中图分类号 ： ０ １ ７ ５ ． ７
文献 标识码 ： Ａ
Ｄ Ｏ Ｉ ： １ ０ ． １ ３ ４ ８ ６ ／ ｊ ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． １ ６ ７ ３ —２ ６ １ ８ ． ２ ０ １ ４ ． ０ ６ ． ０ ０ ４
１ 问题 提 出
中立 型 时滞微 分方 程振动 性 的研究 成果 有很 多 ， 如 文献 ［ １— ６ ］ 。 文献Ｅ ５ ３研究 了非 线性 中立 型时 滞微
（ Ｈｄ ） ｒ （ ￡ ） ， （ ￡ ）∈ Ｃ Ｅ ｔ ０ ， ＋ ∞） ， ｒ （ ）≤ ｔ ， 口 （ ｆ ） ≤ ｔ 且 ｌ ｉ ａ ｒ ｒ （ ｔ ）一＋ Ｏ Ｏ ， ｌ ｉ ａ ｒ （ ￡ ）一＋ ∞ 。
高阶非线性泛函方程解的振动准则
第4期
徐艳芬等:高阶非线性泛函方程解的振动准则
71
令 /( r ) =
r -W
+1， 则通过求导讨论可以得到:/( r ) = (r -W +1)z =
l-gU
+ l)/， 令 / ( r )=〇 ， r = (U + l )
^ ] 处取得最值。经过验算， /( r )在
由归纳法， 有： ％ < V + i (o )彡
n y =i
/?(,(〇)%(茗（ 〇)“ = ， 2 , …， m
(4)
把方程式(4)式代入方程式(1)得 ：
〇 c(g(t))^p(t)x(t) + Q(t)x(g(t))f{[
i=l j=l
IT
由假设可以有： ％ (尽 （ 0)^： /?(0^； (0 +也 （ 尽 （ 0) 或者：
r = ((K + 1
) ] 时取到最大值。
从上述论述中可以得到第一个振动准则： 定 理 1 假 设 maX /( r ) < j p， 则方程式(1)一切解振动。
注 :当
w= ^
= ^ = 1 时， 定 理 1 即为参考文献[1]的 定 理 :若 柯 >
j ， 贝 ! J方程％(尽（ 〇=/?(%)^； (〇 +
1
=1;函 数 P ， ( ？ ： /— /?+=(0,
〇 〇 。定 义 为
a )， /[(0, a )， /是
/? + 上 的 一 个 无 界 子 集 ; 尽： /— /
如 果 函 数 使 得
且尽（ 〇 不 恒 等 于
£， 1丨 111 尽（ 〇 = 〇 〇
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引 理 ３ 如果 ｄ≥ １ 奇数 ，ｚ ｔ ｒ ） 正实 为 ｛ （＋ｎ ） 是 数列 且 有 界 ， Ａ ｚ ＋ ｎ ） ｛ （ ｒ ）最 终 为 负 ， 最 终 有 则
Ａ ｚ（ ）≥ Ａｚ ｎ ． （）
ｔ 时 ， 足 方 程 （ ） 方 程 （ ）的解 － 。 满 １． １ ｚ ）称 为 振 动 （
＜ ＋ Ｃ ｝ － ． ∈ （ Ｒ ，ｆ ｚ ＞ ０ ｚ≠ ０ ， 函 ｘ ，（） ３ 厂ｚ Ｒ， ） ｘ （ ） （ ）且
＋∞
ｔ
＂’ ∞ — ＋
＋ 珩 ）＝ ＋ ∞ （ ＝ ０ １ … ， 一 １ ； ， ， ｍ ）
２ 如果 ｌ ｕ Ａ （＋ｎ ） ０ 则 ｌ △ ｚ ） ｉ ｓｐ ｒ ＜ ， ｍ ｉ （ ａ ｒ
｛ 一 （ ＋ ｎ ） 最终 严格 单调 ， 而 最终 定 号 ， △ ｚｔ ｒ ｝ 从 由 此可 知 ｛ 一 （＋耵 ） 最终严 格单调 且定号 ， △ ｚ ｝ 依次
方式 推下 去 即得 ．
（） １
ｍａ ｑ ￡，（ 一 ） ｘ （ ） ｚ（ ）一 ０
ｆ ０ ≥
（ ０＜ ｔ 。≤ ｔ＜ ＋ Ｃ ） × ３
的， 如果 其解 既不最终 为正解 ， 也不最 终 为负解 ； 否
证 明 首 先 证 明最 终 有 （ １ （ ＋ 珩）＞ 一 ） Ａ ￡ ０ 一 １ ２ … ） （ ，， ．由 ｛ （ ＋ ｎ ） Ａｚ ￡ ｒ ）最 终 为 负 知 ，
则， 称方 程 （ ） 有解是 非振动 的． １所 为 了方 便 ， 在本 文 中假设 关 于 ｔ 的不 等 式 （ 如
—
｝
＋。 。
ｔ
＂ ’ 。 —＋ 。
数 （ ） ｚ 单调 非减 ．
如通常 一样 ， 函数 ｚ ￡ 为方 程 （ ）的解 ， 某 （）称 １ 如果 （） ￡ 一 （） ∈ Ｃ（ｆ一 ４ ｏ ） Ｒ ， ｔ ， ［。 ， －ｏ ， ） 当 ≥
＋ 珩 ）一 一 Ｃ （ 一 ０ １ … ， — １ ． ｘ ３ ，， ｍ ）
引 理 ２５ 假设 ｍ≥ １ ［ 是整数 ，ｚ ｔ ｒ ｝ ｛ （＋ｎ ） 是实 数 列 ， 么 那 １ 如 果 ｌ ｎｚ （ ＋ ｎ ）＞ ０ 则 ｌ ） ｉ ｉｆ ｔ ｒ ａ ｒ Ｘ ， ｉ ｍ ｚ ￡ （
—
解 的振 动性 ， 出 了该 方 程 振动 的 几个 充 分条 件 ． 得
中图 分 类 号 ：Ｏ１ ５ ７ ７． 文 献 标 识 码 ：Ａ
近几年 来 ， 于 具有 离 散 变 量 的 差 分 方 程 振 关 动性 研究 成果 比较 丰 富＿ ］ 具 有 连 续 变量 的差分 １ ， 方程 的定性 理 论也有 一些 结果 ¨ ． ６ 而对 于带 有极 大项 的具有 连续 变量 的差 分方 程 的 振动 性 到 目前
文 章 编 号 ：１ ０ 一 ９ （ Ｏ ０ Ｏ ０ ８０ ０ ０¨ Ｏ ２ １ ）１０１ －５
带极大项的具有连续变量的高阶非线性 中立型时滞差分方程振动性
刘 一 龙
（ 阳学 院 信 息 科 学 系 ，湖 南 邵 阳 ４ ２ Ｏ ） 邵 ２ Ｏ ４
摘 要 ：应用 分 析 的方 法 研 究 了 一类 带极 大项 的具 有 连 续 变 量 的 高 阶 非线 性 中 立 型 时滞 差 分 方
第４ ４卷 第 １ 期 ２１ ０ ０年 ３ 月
华 中师 范大 学学 报 （ 自然 科学 版 ）
Ｊ ＯｕＲＮＡＬ ０Ｆ ＨＵＡＺＨ０ＮＧ Ｎ０ＲＭ ＡＬ ＵＮＩ ＲＳＴＹ（ ｔ Ｓ ｉ） ＶＥ Ｉ Ｎａ． ｃ．
Ｖ０ ． ４ Ｎ０ １ １４ ．
Ｍ ａ． ２ ０ ｒ Ｏ１
这里 ｒ ０步长 ： ｚ ￡ 一 ． ￡ ｒ一ｚ ￡， ￡ ＞ ， △ （） ２ ＋ ） （） △ ｚ（） Ｃ （
，
一 △（ 一 （） ｄ≥ １ △ ｚ ： 为奇 数 ， ０ 给定 的整数 ， ≥ 是 Ｐ ￡ ，（）∈ Ｃ Ｅｏ ＋ ∞） Ｉ ， ｛ ０＜ ｚ （）ｇ ￡ （ ｔ， ， ） Ｒ ＝ ｚ ｌ
ｍ一 １． ）
为此 还没有研 究者 涉及 ． 本文利 用分析 方法研 究下
面一 类带有 极大 项 的具 有 连续 变 量 的高 阶非线 性 中立 型时滞差 分方 程
Ａ （ ｚ（ ）一 ｐ（ ） ｔ ｆ ）＋ ｔ ｚ（ — ）
证明 因为 ｆ （ △ ２ ＋ ｎ ） ｒ ｝最 终 定 号 ，所 以
程 Ａ （ （） ｐ ｔｚ ｔ ｒ） ｍａ （） Ｃ （ 一 ）一 ０解 的 振 动 性 ． 出 该 方 程 振 动 的若 干 充 ｚ ｆ 一 （） （— ） ＋ ｘｑｔｆ ｒｔ ） 得
ｔ ｔ ￣ ＞ ０
分条件．
关 键 词 ： 极 大 项 ；中立 型 差 分 方程 ； 线 性 ； 续 变 量 ； 动 性 带 非 连 振
引理 １ 假设 ≥ １ 整数 ，ｚ ｔ ｎ ） 是实 是 ｛ （＋ ｒ ）
数 列 ， 果 ｛ （ 耵） 最 终定 号 （ 如 △ 十 ｝ 即当 充 分大
后 恒有 Ａ ｚ ￡ （＋ ） ０或恒有 Ａ （＋珩 ） ０ ， ＞ ￡ ＜ ）
则 ｛ （＋ ｒ ） Ａ ｆ ） 最终 严格单 调且定 号 （ 一 ０ １ … ， ，，
未指 出 的） 是对 一切充 分大 的实数 ｔ 立． 成
｛州 ｚｔ △ （＋ ｒ ｝ 终单调 非增 ， ）最 且ＥＩ
１ 几 个 基 本 引理
为 了证 明本文 的主要 结论 ， 介绍 几个 引理． 先
收 稿 日期 ： ０ ９０—２ ２ ０ —５１． 基 金 项 目 ： 南 省 教 育 厅 资 助科 研 项 目（７ ６ ０ 湖 ０Ｃ ８ ）