中南大学有限元习题与答案(Word最新版)
大学有限元考试题及答案
大学有限元考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 有限元法中，单元划分的目的是（）。
A. 减少计算量B. 增加计算量C. 简化问题D. 提高精度答案：C2. 在有限元分析中，以下哪项不是节点自由度（）。
A. 位移B. 速度C. 压力D. 温度答案：C3. 有限元分析中，以下哪项是线性问题的特征（）。
A. 非线性材料B. 非线性边界条件C. 线性材料和线性边界条件D. 线性材料和非线性边界条件答案：C4. 有限元分析中，以下哪项是求解非线性问题的关键（）。
A. 迭代求解B. 直接求解C. 线性化处理D. 非线性化处理答案：A5. 在有限元分析中，以下哪项不是网格划分的基本原则（）。
A. 网格数量越多越好B. 网格应尽量规则C. 网格大小应均匀D. 网格应避免过度扭曲答案：A6. 有限元分析中，以下哪项是结构分析的基本步骤（）。
A. 建立几何模型B. 划分网格C. 施加边界条件D. 所有选项答案：D7. 在有限元分析中，以下哪项是材料属性的参数（）。
A. 密度B. 弹性模量C. 泊松比D. 所有选项答案：D8. 有限元分析中，以下哪项是求解静态问题的必要步骤（）。
A. 施加载荷B. 施加初始条件C. 施加边界条件D. 所有选项答案：C9. 在有限元分析中，以下哪项是动态分析的特点（）。
A. 需要考虑时间因素B. 需要考虑位移和速度C. 需要考虑惯性力D. 所有选项答案：D10. 有限元分析中，以下哪项是后处理的主要任务（）。
A. 查看结果B. 结果验证C. 结果优化D. 所有选项答案：D二、多项选择题（每题3分，共15分）11. 有限元分析中，以下哪些因素会影响网格划分的质量（）。
A. 网格大小B. 网格形状C. 网格数量D. 网格分布答案：ABCD12. 在有限元分析中，以下哪些是边界条件的类型（）。
A. 固定边界B. 自由边界C. 压力边界D. 位移边界答案：ABD13. 有限元分析中，以下哪些是常见的单元类型（）。
(完整word版)有限元法复习题(word文档良心出品)
《有限元法》复习题一. 单选题1.平面刚架单元坐标转换矩阵的阶数为（ ） A ．2⨯2 B ．2⨯4 C ．4⨯4 D ．6⨯62.图示的四根杆组成的平面刚架结构，用杆单元进行有限元分析，单元和节点的划分如图示，则总体刚度矩阵的大小为（ ） A.8⨯8阶矩阵 B.10⨯10阶矩阵 C.12⨯12阶矩阵 D.16⨯16阶矩阵3.坐标转换矩阵可归类为（ ）A.正交矩阵B.奇异矩阵C.正定矩阵D.对称矩阵 4.图示弹簧系统的总体刚度矩阵为（ ）A 11112322244434000000k k k k k k k k k k k k k k -⎡⎤⎢⎥-++-⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥-+⎣⎦ B. 1111222244434000000k k k k k k k k k k k k k -⎡⎤⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥-+⎣⎦C. 11112323224434340000k k k k k k k k k k k k k k k k -⎡⎤⎢⎥-++--⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥--+⎣⎦D. 1111223224434340000k k k k k k k k k k k k k k k -⎡⎤⎢⎥-+--⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥--+⎣⎦5.确定已知三角形单元的局部码为1(e),2(e),3(e)，对应总码依次为3，6，4，则其单元的刚度矩阵中的元素k 24应放在总体刚度矩阵的( )。
A.1行2列B.3行12列C.6行12列D.3行6列 6.对一根只受轴向载荷的杆单元，k 12为负号的物理意义可理解为（ ） A.当节点2沿轴向产生位移时，在节点1引起的载荷与其方向相同 B.当节点2沿轴向产生位移时，在节点1引起的载荷与其方向相反 C.当节点2沿轴向产生位移时，在节点1引起的位移与其方向相同 D.当节点2沿轴向产生位移时，在节点1引起的位移与其方向相反7.平面桁架中，节点3处铅直方向位移为已知，若用置大数法引入支承条件，则应将总体刚度矩阵中的（ ）A.第3行和第3列上的所有元素换为大数AB.第6行第6列上的对角线元素乘以大数AC.第3行和第3列上的所有元素换为零D.第6行和第6列上的所有元素换为零 8.在任何一个单元内（ ）A.只有节点符合位移模式B.只有边界点符合位移模式C.只有边界点和节点符合位移模式D.单元内任意点均符合位移模式 9.平面应力问题中(Z 轴与该平面垂直)，所有非零应力分量均位于（ ） A.XY 平面内 B.XZ 平面内 C.YZ 平面内 D.XYZ 空间内 12.刚架杆单元与平面三角形单元（ ）A.单元刚度矩阵阶数不同B.局部坐标系的维数不同C.无任何不同D.节点截荷和位移分量数不同 13.图示平面结构的总体刚度矩阵［Ｋ］和竖带矩阵［K *］的元素总数分别是（ ）A.400和200B.400和160C.484和200D.484和160 14.在有限元分析中，划分单元时，在应力变化大的区域应该（ ）A.单元数量应多一些，单元尺寸小一些B.单元数量应少一些，单元尺寸大一些C.单元数量应多一些，单元尺寸大一些D.单元尺寸和数量随便确定 15.在平面应力问题中，沿板厚方向（ ）A.应变为零，但应力不为零B.应力为零，但应变不为零C.应变、应力都为零D.应变、应力都不为零16.若把平面应力问题的单元刚度矩阵改为平面应变问题的单元刚度矩阵只需将（ ） A. E 换成E/(1-μ2)，μ换成μ/(1-μ2) B. E 换成E/(1-μ2)，μ换成μ/(1-μ) C. E 换成E/(1-μ)，μ换成μ/(1-μ2) D. E 换成E/(1-μ)，μ换成μ/(1-μ) 17.图示三角形单元非节点载荷的节点等效载荷为（ ） A.F yi =-100KN F yj =-50KN F yk =0 B. F yi =-80KN F yj =-70KN F yk =0 C. F yi =-70KN F yj =-80KN F yk =0 D. F yi =-50KN F yj =-100KN F yk =018.半斜带宽矩阵r 行s 列的元素对应于竖带矩阵元素( )。
有限元试题及答案
有限元试题及答案一、选择题1. 有限元方法是一种用于求解工程和物理问题的数值技术，其核心思想是将连续域划分为有限数量的离散子域。
以下哪项不是有限元方法的特点？A. 网格划分B. 边界条件处理C. 局部近似D. 整体求解答案：D2. 在有限元分析中，以下哪项不是网格划分的常见类型？A. 三角形网格B. 四边形网格C. 六边形网格D. 圆形网格答案：D3. 对于线性弹性问题，以下哪种元素类型不适用于有限元分析？A. 线性三角形元素B. 二次三角形元素C. 线性四边形元素D. 三次四边形元素答案：D二、填空题1. 在有限元分析中，单元刚度矩阵的计算通常涉及到单元的_________。
答案：形状函数2. 有限元方法中，边界条件可以分为_________和_________。
答案：Dirichlet边界条件；Neumann边界条件3. 有限元软件通常采用_________方法来求解大型稀疏方程组。
答案：迭代三、简答题1. 简述有限元方法的基本步骤。
答案：有限元方法的基本步骤包括：- 定义问题的几何域和边界条件。
- 将几何域划分为有限数量的小单元。
- 为每个单元定义形状函数。
- 计算单元刚度矩阵和载荷向量。
- 组装全局刚度矩阵和载荷向量。
- 施加边界条件。
- 求解线性方程组，得到节点位移。
- 计算单元应力和应变。
2. 为什么在有限元分析中需要进行网格划分？答案：网格划分是有限元分析中的一个重要步骤，因为它允许将连续的几何域离散化，使得问题可以被数值方法求解。
通过网格划分，可以： - 简化复杂几何形状的分析。
- 适应不同的材料属性和边界条件。
- 提供足够的细节以捕捉应力和位移的局部变化。
- 减少计算复杂度，提高求解效率。
四、计算题1. 假设有一个平面应力问题，已知材料的弹性模量E=210GPa，泊松比ν=0.3。
请计算一个边长为10mm的正方形单元在单轴拉伸下的单元刚度矩阵。
答案：单元刚度矩阵\[ K \]可以通过以下公式计算：\[K = \frac{E}{(1-\nu^2)} \int_{\Omega} \left[ B^T B \right] d\Omega\]其中，\( B \)是应变-位移矩阵，\( \Omega \)是单元的面积。
(完整版)有限元考试试题及答案
e an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go o2. 如图2所示，有一正方形薄板，沿对角承受压力作用，厚度t=1m ，载荷F=20KN/m ，设泊松比µ=0，材料的弹性模量为E ，试求它的应力分布。
（15分）图23. 图示结点三角形单元的124边作用有均布侧压力q ，单元厚度为t ，求单元的等效结点荷载。
图3图1一、简答题1. 答：1）合理安排单元网格的疏密分布2）为突出重要部位的单元二次划分3）划分单元的个数4）单元形状的合理性5）不同材料界面处及荷载突变点、支承点的单元划分6）曲线边界的处理，应尽可能减小几何误差7）充分利用结构及载荷的对称性，以减少计算量2. 答：形函数应满足的三个条件：a.必须能反映单元的刚体位移，就是位移模式应反映与本单元形变无关的由其它单元形变所引起的位移。
b.能反映单元的常量应变，所谓常量应变，就是与坐标位置无关，单元内所有点都具有相同的应变。
当单元尺寸取小时，则单元中各点的应变趋于相等，也就是单元的形变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。
c.尽可能反映位移连续性；尽可能反映单元之间位移的连续性，即相邻单元位移协调。
3. 答：含义：所谓的等参数单元，就是在确定单元形状的插值函数和确定单元位移场的插值函数中采用了完全相同的形函数。
意义：构造出一些曲边地高精度单元，以便在给定地精度下，用数目较少地单元，解决工程实际地具体问题。
4. 答：有限单元法是基于变分原理的里兹（Ritz）法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用子有限单元法，确认了有限单元法是处理连续介质问题的一种普遍方法．利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，面且事先不要求满足任何边界条件，因此它可以用来处理很复杂的连续介质问题。
有nl⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.0025.025.011212－－－＝＝E k k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.0025.0011313－＝＝E k k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.125.025.05.125.0005.05.00025.075.025.025.075.032222212222E E E E k k k k ＋＝＋＋＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---5.025.025.0125.025.005.025.0025.05.032312323E E E k k k ＝＋＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡---5.0025.025.022424E k k ＝＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡025.025.00025.0000025.0032522525E E E k k k ＝＋＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.125.025.05.15.00025.075.025.025.075.025.0005.043333313333E E E E k k k k ＝＋＋＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---125.025.05.05.0025.025.05.025.0025.043533535E E E k k k ＝＋＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡0025.0043636E k k ＝＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡75.025.025.075.024444E k k ＝＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡---25.0025.05.024545E k k ＝＝ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.125.025.05.175.025.025.075.05.00025.025.0005.045535525555E E E E k k k k ＝＋＋＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡---25.0025.05.045656E k k ＝＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡25.0005.046666E k k ＝＝把上面计算出的，…，对号入座放到总刚矩阵中去，于是得到11k 66k []K的具体表达式。
有限元试题及答案
有限元试题及答案一、选择题1. 有限元法是一种数值方法，主要用于求解什么类型的数学问题？A. 线性代数方程B. 微分方程C. 积分方程D. 偏微分方程答案：D2. 在有限元分析中，以下哪项不是网格划分的基本原则？A. 网格应尽量均匀B. 网格应避免交叉C. 网格应尽量小D. 网格应适应几何形状答案：C3. 有限元方法中，单元的局部刚度矩阵可以通过以下哪种方式获得？A. 直接积分B. 矩阵乘法C. 线性插值D. 经验公式答案：A二、填空题1. 有限元方法中，______ 是指将连续的域离散化成有限数量的小单元。
答案：离散化2. 在进行有限元分析时，______ 是指在单元内部使用插值函数来近似求解场变量。
答案：近似3. 有限元法中，______ 是指在单元边界上满足的连续性条件。
答案：边界条件三、简答题1. 简述有限元法的基本步骤。
答案：有限元法的基本步骤包括：（1）定义问题域；（2）离散化问题域，生成网格；（3）为每个单元定义局部坐标系和形状函数；（4）组装全局刚度矩阵和载荷向量；（5）施加边界条件；（6）求解线性代数方程；（7）提取结果并进行后处理。
2. 描述有限元分析中的单元类型有哪些，并简述每种单元的特点。
答案：常见的单元类型包括：（1）一维单元，如杆单元和梁单元，特点是沿一个方向传递力；（2）二维单元，如三角形和四边形单元，特点是在平面内传递力；（3）三维单元，如四面体和六面体单元，特点是在空间内传递力。
每种单元都有其特定的形状函数和刚度矩阵。
四、计算题1. 给定一个简单的一维弹性杆问题，其长度为L，两端固定，中间施加集中力P。
使用有限元法求解该杆的位移和应力分布。
答案：首先，将杆离散化为一个单元。
使用一维杆单元的局部刚度矩阵和形状函数，可以推导出全局刚度矩阵。
然后，施加边界条件，即杆的两端位移为零。
最后，将集中力P转换为等效节点载荷，求解线性代数方程，得到节点位移。
应力可以通过位移和杆的截面特性计算得出。
有限单元法考试题和答案
有限单元法考试题和答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 有限元法中，节点是指（）。
A. 网格的交点B. 网格的边界C. 网格的内部点D. 网格的对称中心答案：A2. 在有限元分析中，以下哪种类型的单元是二维的（）。
A. 杆单元B. 梁单元C. 壳单元D. 体单元答案：C3. 有限元法中，以下哪种类型的边界条件是自然边界条件（）。
A. 位移边界条件B. 力边界条件C. 力矩边界条件D. 压力边界条件答案：B4. 在有限元分析中，以下哪种类型的单元是三维的（）。
A. 三角形单元B. 四边形单元C. 六面体单元D. 四面体单元答案：C5. 有限元法中，以下哪种类型的单元是一维的（）。
A. 杆单元B. 梁单元C. 壳单元D. 体单元答案：A6. 在有限元分析中，以下哪种类型的单元是平面应力单元（）。
A. 轴对称单元B. 平面应变单元C. 壳单元D. 体单元答案：B7. 有限元法中，以下哪种类型的单元是平面应变单元（）。
A. 轴对称单元B. 平面应力单元C. 壳单元D. 体单元答案：A8. 在有限元分析中，以下哪种类型的单元是轴对称单元（）。
A. 平面应力单元B. 平面应变单元C. 壳单元D. 体单元答案：A9. 有限元法中，以下哪种类型的单元是四面体单元（）。
A. 二维单元B. 三维单元C. 壳单元D. 体单元答案：B10. 在有限元分析中，以下哪种类型的单元是六面体单元（）。
A. 二维单元B. 三维单元C. 壳单元D. 体单元答案：B二、填空题（每题2分，共20分）1. 有限元法中，单元刚度矩阵的计算需要基于______假设。
答案：小变形2. 在有限元分析中，节点位移向量通常表示为______。
答案：U3. 有限元法中，整体刚度矩阵的组装是通过______实现的。
答案：节点编号4. 在有限元分析中，边界条件的处理需要考虑______和______。
答案：位移边界条件；力边界条件5. 有限元法中，单元的形函数是用于描述单元内______分布的函数。
有限元作业试题及答案.doc
2
答：一般选用三角形或四边形单元，在满足一定精度情况,
有限元划分网格的基本原则是:
1、拓朴正确性原则。即单元间是靠单元顶点、或单元边、或单元面连接
2、几何保形原则。即网格划分后，单元的集合为原结构近似
3、特性一致原则。即材料相同，厚度相同
4、单元形状优良原则。单元边、角相差尽可能小
c j二elcm= —a
Ni = l/a2 • a x = x/a
同理可得：Nj二y/a
有限元方法及应用试题
1
答：单元离散（划分、剖分）一单元分析一整体分析
有限元分析的主要步骤主要有：
A结构的离散化
B单元分析。选择位移函数、根据几何方程建立应变与位移的关系、根据物理方程建立应力
与位移的关系、根据虚功原理建立节点力与节点位移的关系（单元刚度方程）
C等效节点载荷计算
D整体分析，建立整体刚度方程
7、图示三角形ijni为等边三角形单元，边长为1,单位面积材料密度位P,集 中力F垂直作用于nij边的中点，集度为q的均布载荷垂直作用于im边。写出三 角形单元的节点载荷向量。
q:移到m, i点F:移到m, j点重力：移到m, I, j点
要证{8}=0
只需证，Nm = 0
Nm= 1/2A (am+bmx +cmy)
(d)平面三角形单元，29个节点，38个自由度
4、什么是等参数单元？。
如果坐标变换和位移插值采用相同的节点，并且单元的形状变换函数与位移插值的形函
数一样，则称这种变换为等参变换，这样的单元称为等参单元。
5பைடு நூலகம்
v(x, y)=
答：不能取这样的位移模式，因为在平面三节点三角形单元中，位移模式应该是呈线性的。
(完整word版)中南大学有限单元法考试试卷(岳乐-庞俊)
有限元分析复习点点滴滴—-张义涵14021、什么是平面应力问题?什么是平面应变问题？（张毅涵做)答：平面应变问题是指薄板受平行于板面且沿厚度均度载荷用。
在考虑有限元法表述位移时,首先是选取一组函数，他们可以用节点位移来表示有限元内任一点的位移分量.然后从外加位移场发展解法得的各个步都是，应变分量由位移的各种导数唯一确定，于是外加位移变化确定了整个单元的应变状态.这些诱导应变和介质弹性性质一起确定了单元的诱导应力。
将初始应力与诱导应力叠加就得到了单元的总应力。
有限单元法的假设是，相邻有限单元边界之间的内力通过单元节点的相互作用来传递。
因此必须建立节点力的表达式，节点力在静力学上等价于单元之间沿边界的作用力.该方法通过离散区域的一组节点力和位移来分析连续介质问题。
为便于讲述。
什么是位移模式？位移模式是单元范围内的位移函数.是坐标的函数.位移模式通常应当满足：1）反映刚体位移。
2)反映常变形.3）单位边界上位移连续。
什么是节点力?什么是节点载荷？（陈尹依）答：节点力是单元给节点的力，或者节点给单元的力；等于单元的弹性力,节点载荷是外界作用在弹性节点上的力。
什么是单元分析？说说单元分析的过程.（石登明）答：单元分析就是寻求单元节点力与单元位移之间的关系。
单元分析的大致过程：设定节点位移表达单元内任意一点位移、建立应变与位移之间的几何方程、建立应变与应力之间的几何关系、又虚功原理建立节点力与单元内任意一点应力之间的平衡关系,从而得到单元刚度方程.单元刚度矩阵具有哪些特点？简述其物理意义.（课本）答:单元刚度矩阵具有对称性、奇异性。
可按节点分块对称性反映功的互等关系,奇异性说明单元在无约束情况下可以发生刚体位移。
由于每个节点具有相同的自由度，因此单元矩阵可按节点分成若干个相似的子块.功互等定理：对于线弹性体，作用在同一构件上的第一组力在第二组引起的位移上所作的功，等于第二组力在第一组力引起的位以上所作的功。
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中南大学有限元习题与答案通过整理的中南大学有限元习题与答案相关文档，希望对大家有所帮助，谢谢观看！中南大学有限元习题与答案习题 2.1 解释如下的概念：应力、应变，几何方程、物理方程、虚位移原理。
解应力是某截面上的应力在该处的集度。
应变是指单元体在某一个方向上有一个ΔU的伸长量，其相对变化量就是应变。
表示在x轴的方向上的正应变，其包括正应变和剪应变。
几何方程是表示弹性体内节点的应变分量与位移分量之间的关系，其完整表示如下：物理方程：表示应力和应变关系的方程某一点应力分量与应变分量之间的关系如下：虚位移原理：在弹性有一虚位移情况下，由于作用在每个质点上的力系，在相应的虚位移上虚功总和为零，即为：若弹性体在已知的面力和体力的作用下处于平衡状态，那么使弹性体产生虚位移，所有作用在弹性体上的体力在虚位移上所做的工就等于弹性体所具有的虚位能。
2.2说明弹性体力学中的几个基本假设。
连续性假设：就是假定整个物体的体积都被组成该物体的介质所填满，不存在任何间隙。
完全弹性假设：就是假定物体服从虎克定律。
各向同性假设：就是假定整个物体是由同意材料组成的。
小变形和小位移假设：就是指物体各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，并且其应变和转角都小于1。
2.3简述线应变与剪应变的几何含义。
线应变：应变和刚体转动与位移导数的关系，剪应变表示单元体棱边之间夹角的变化。
2.4 推到平面应变平衡微分方程。
解：对于单元体而言其平衡方程：在平面中有代入上式的2.5 如题图2.1所示，被三个表面隔离出来平面应力状态中的一点，求和的值。
解：x方向上：联立二式得：2.6相对于xyz坐标系，一点的应力如下某表面的外法线方向余弦值为，，求该表面的法相和切向应力。
解：该平面的正应力全应力该平面的切应力2.7一点的应力如下MP 求主应力和每一个主应力方向的方向余弦；球该店的最大剪应力。
解：设主平面方向余弦为，由题知将代入得即，。
最大剪应力（1）当时代入式（2.21）（2）当时代入式（2.21）且2.8已知一点P的位移场为，求该点p(1,0,2)的应变分量。
解：p点沿坐标方向的位移分量为u,v,w点p(1,0,2)处线应变为，，剪应变为，，2.9一具有平面应力场的物体，材料参数为E、v。
有如下位移场其中，a、b、c、d是常量。
求讨论位移场的相容性解：因为所以满足相容性条件有广义胡克定律得又则2.10一具有平面应力场的物体，材料性质是E=210GPa,v=0.3.并且有如下位移场当x=0.050m,y=0.020m时，求物体的应力和应变。
位移场是否相容？解：由广义胡克定律，，满足相容性条件2.11对于一个没有任何体积力的圆盘，处于平面应力状态。
其中a, b, c, d, e, f, g, h是常量。
为了使应力满足平衡方程和相容方程，这些常量的约束条件是什么？解：由题意得：，，，代入平衡方程根据广义胡克定律：代入相容方程（2）代入（1）得其中2.13 根据弹性力学平面问题的几何方程，证明应变分量满足下列方程，并解释该方程的意义。
证明：弹性力学平面问题的几何方程为：① ，②，③，将方程①，②分别对y和x求二阶偏导并相加得：等式右端项，该方程为相容方程中的第一式，其意义为弹性体内任一点都有确定的位移，且同一点不可能有连个不同的位移，应变分量应满足相容方程，否则，变形后的微元体之间有可能出现开裂与重叠。
2.14 假设Airy应力函数为，其中为常数，求，并求这些变量间的约束关系。
解：由，对该应力函数求偏导得;对以上两式的偏导可求得：考虑相容性条件,将上式代入可得各常量间的关系如下：2.15 对给定的应力矩阵，求最大Tresca和Von.Mises应力。
将Von Mises应力和Tresca应力201010 进行比较，δ=102010Mpa。
10 1020δzτxy τxz 解：由Tresca准则：δ=δyτyz故有δs=20Mpa，τmax=δs/2=10Mpaδz δ1=（δx+δy）/2=30Mpaδ2=10Mpa 由Von Mises准则：2δs2=6（τxy2+τyz2+τyz2）解得δs=30Mpa30-1520 2.16 一点出的应力状态由应力矩阵给出，即δ=-15-2510Mpa，若E=70Gpa，γ201040=0.33，求单位体积的应变能。
解：单位体积应变能：υ=1/2E{δx2+δy2+δz2-2u(δxδy+δyδz+δzδz)+2(1+u)(τxy2+τxz2+τyz2)} u=（E-2γ）/2γγ=0.33带入可得：υ=420.75J 3.11 如图3.11所示的平面三角形单元，厚度t=1cm，弹性模量E=2.0*105mpa，泊松比γ=0.3，试求插值函数矩阵N，应变矩阵B，应力矩阵S，单元刚度矩阵Ke。
解：此三角形单元可得：2△=（10-2）*4=32，故有a1=1/32*（8u1-5u2-16u3）a2=1/32*（4u1-4u2）a3=1/32*（-8u1+8u3）a4=1/32*（56v1-8v2-16v3）a5=1/32*（-4v1+4v2）a6=1/32*（-8v1+8v3）而b1=y2-y3=-4 b1=x2-x3=-8b1=y3-y1=4b1=x3-x1=0b1=y1-y2=0b1=x1-x2=8b1b2b3-440 [B]=1/2△* 0c1c2c3=1/32*-88c1b1c2b2c3b3-8481γ10.30 [D]=[E/(1-γ2)]* γ1=[E/0.91]*0.31(1-γ)/20.3510.3-0.1250.1250 [S]=[D]*[B]={E/0.91}* 0.31*-0.25 00 0.25 00 0.35 -0.25 0.125 00.25 01.4-1.4 -0.7 00.7 04-0.6-40 [K]①=BT*D*B①*t*△={E/36.4}* -1.4 -0.62.41.30.6 0.7-0.7-41.3-0.6-10.350.6-1-0.60.70.7-0.35 010.6-1-0.6 0 0.35 0.7-0.7 -0.35 00.71.4 0-1.4-0.7 [K]②=BT*D*B②*t*△={E/36.4}*0.64-0.6-41-0.7-1.4-0.62.41.30.6-0.35-1.4-41.33.53.12 求下图中所示的三角形的单元插值函数矩阵及应变矩阵，u1=2.0mm，v1=1.2mm，u2=2.4mm，v2=1.2mm，u3=2.1mm，v3=1.4mm，求单元内的应变和应力，求出主应力及方向。
若在单元jm边作用有线性分布面载荷（x轴），求结点的的载荷分量。
解：如图2△=64/3，解得以下参数：a1=19a2=-2a3=6；b1=-3b2=4b3=-1；c1=-1c2=-3c3=4；N1={64/3}*(19-3x-y)N2={64/3}*(-2-3x-3y) N3={64/3}*(6-x+4y) 故N=NiNjNmNiNj 0 Nm 1110 = 0 111bi 0bj 0 bm0 [B]={1/2△}* 0 cicjcmcibicjbjcmbm-34-10 ={64/3}*-1-34-1-3-344-11γ0 [D]={E/(1-γ2)}*γ1(1-γ)/21γ-34-10 单元应力矩阵[S]=[D]*[B]= {E/13(1-γ2)}*γ1*-1-34(1-γ)/2-1-3-344-121.1-3-u43u-14u2.4 单元应力[δ]=[S]*[q]= {E/13(1-γ2)}* -3u-14u-3-u4*1.2(u-1)/2(3u-3)/2(3u-3)/2 2-2u 2-2u (u-1)/22.41.43.13解：二维单元在x,y坐标平面内平移到不同位置，单元刚度矩阵相同，在平面矩阵180°时变化，单元作上述变化时，应力矩阵不变化。
（0,1）（2,1）3.14 （2,0）（0,0）② ① y x 解：令，，而，，单元①单元②：由和扩充KZ（总刚度阵）而，其中，，化简得：则，3.15如图所示有限元网格，，单元厚度，弹性模量，泊松比。
回答下述问题：（1）结点如何编号才能使结构刚度矩阵带宽最小？（2）如何设置位移边界条件才能约束结构的刚体移动？（3）形成单元刚度矩阵并集成结构刚度矩阵。
（4）如果施加一定载荷，拟定求解步骤。
(1)(2)（3）解：1、节点编号如图(2)所示；2、如图(3)设置位移边界条件才能约束结构的刚体移动；3、如图(2)所示各节点的坐标为(以m为单位)：1(0,0)，2(0.08,0)，3(0,0.04)，4(0.08,0.04 )，5(0,0.08)，6(0.08,0.08)，7(0,0.12)，8(0.08,0.12) 解：单元号123456相邻结点134557225466343678对于单元号1：；；；；；；对于单元号2：；；；；；；对于单元号3：；；；；；；对于单元号4：；；；；；；对于单元号5：；；；；；；对于单元号6：；；；；；；平面三角形单元的面积均为弹性矩阵均为应变矩阵应力矩阵单元刚度矩阵结构刚度矩阵为：若施加一定载荷，求解步骤为：1、对单元编号，并列出各单元三个结点的结点号；2、计算外载荷的等效结点力，列出结构结点载荷列阵；3、计算单元刚度矩阵，组集结构整体刚度矩阵4、引入边界条件，即根据约束情况修正结构有限元方程，特别是消除整体刚度矩阵的奇异性，得到考虑约束条件的可解的有限元方程。
5、利用线性方程组的数值解法，对结构的有限元方程进行求解，得到所有各结点的位移向量。
最后根据需要求解单元应力。
3.16一长方形薄板如图所示。
其两端受均匀拉伸。
板长12cm,宽4cm，厚1cm。
材料，泊松比。
均匀拉力。
使用有限元法求解板的内应力，并和精确解比较（提示：可利用结构对称性，并用2个三角形单元对结构进行离散）。
解：解：结点编号1234单元号12X坐标1212相邻结点13Y坐标442234平面三角形单元的面积均为应力矩阵为：单元1的应变距阵为：单元1的单元刚度矩阵为：单元2的应变距阵为：单元2的单元刚度矩阵为：总刚度矩阵为：位移分量为：载荷列阵为：因为可以得单元1的单元应力：单元2的单元应力：长方形薄板内应力的精确解为：拉应力，用有限元法求解出的结果与精确解大致相等。
3.17 验证三角形单元的位移差值函数满足及。
解：平面三角形形函数为：，其中，，分别是行列式2A中的第一行，第二行和第三行各元素的代数余子式。
行列式中，任一行的元素与其相应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值，而任一行的元素与其它行对应元素的代数余子式乘积之和为零，故有：当，同时有，同理也有：，即。
3.18 推导如图所示的9节点矩形单元的形函数。