1.3 线段的垂直平分线(1)性质定理与判定定理
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3.线段的垂直平分线（1） 性质定理与判定定理
回顾
思考
线段的垂直平分线
我们曾经利用折纸的方法得到: 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等. 你能证明这一结论吗? 已知:如图,AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点. M 求证:PA=PB. P
分析:(1)要证明PA=PB,
就需要证明PA,PB所在的 △APC≌△BPC， 而△APC≌△BPC的条件由已知 故结论可证.
D
老师提示:
因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中 点,所以我们也用这种方法作线段的中点.
驶向胜利 的彼岸
随堂练习 1
挑战自我
如图,已知AB是线段CD的垂直平
分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm, 那么ED= 7 cm;如果∠ECD=600, 那么∠EDC= 60 0.
C
A
E
B
老师期望:
你能说出填空结果的根据.
D
驶向胜利 的彼岸
试一试P27 2
梦想成真
1.已知直线和上一点P,利用尺规作的垂线,使它经过 点P.
P
●
l
小结
拓展
回味无穷
M
P
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段 两个端点距离相等. 如图, ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点 (已知), ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到 这条线段两个端点距离相等). 逆定理 到一条线段两个端点距离 A 相等的点,在这条线段的垂直平分 线上. 如图, ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上(到一条 线段两个端点距离相等的点,在这 条线段的垂直平分线上).
A N
C
B
AC=BC,MN⊥AB,可推知其能满足公理（SAS）.
老师期望:你能写出规范的证明过程.
开启
智慧
几何的三种语言
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 距离相等. M 如图, ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任 意一点(已知), ∴PA=PB(线段垂直平分线上A 的点到这条线段两个端点距离 相等).
C N
B
独立 作业
知识的升华
P9习题1.5 1,2,3题.
祝你成功！
独立作业
1
习题1.5
1.利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线.
老Fra Baidu bibliotek期望:
先分别作出不同形状的三角形,再按要求去作图.
驶向胜利 的彼岸
独立作业
2
习题1.5
2. 如图,A,B表示两个仓库,要在A,B一侧的河 岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等, 码头应建造在什么位置？
P
C N
B
老师提示:这个结论是经常用来
证明两条线段相等的根据之一.
进步的标志
′
你能写出“定理 线段垂直平分线上 的点到这条线段两个端点距离相等” 的逆命题吗? 逆命题 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条 线段的垂直平分线上. P 它是真命题吗? 如果是.请你证明它. 已知:如图,PA=PB. B 求证:点P在AB的垂直平分线上. A 分析:要证明点P在线段AB的垂直平分线 上,可以先作出过点P的AB的垂线(或AB 的中点,),然后证明另一个结论正确.
驶向胜利 的彼岸
下课了!
结束寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德之 于人. • 证明的规范性在于：条理清晰 ，因果相应,言必有据.这是初 学证明者谨记和遵循的原则.
M P
C
B
老师提示:这个结论是经常用来
证明点在直线上(或直线经过某一点) 的根据之一.
N
从这个结果出发,你还能联想到什么?
驶向胜利 的彼岸
做一做
1
尺规作图
C
用尺规作线段的垂直平分线.
已知:线段AB,如图. 求作:线段AB的垂直平分线. 作法: 1.分别以点A和B为圆心,以大于
A
B
AB/2长为半径作弧,两弧交于点C和 D. 2. 作直线CD. 则直线CD就是线段AB的垂直平分线. 请你说明CD为什么是AB的垂直平分线, 并与同伴进行交流.
思 考 分 析
想一想:若作出∠P的角平分线,结论是 否也可以得证?
驶向胜利 的彼岸
我能行
1
逆定理
逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在 这条线段的垂直平分线上. 如图, ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上(到一条 线段两个端点距离相等的点,在这条 A 线段的垂直平分线上).
A● B●
老师期望: 养成用数学解释生活的习惯.
驶向胜利 的彼岸
独立作业
3
习题1.4
3.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线 交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC 的长.
A
D
E B
老师期望: 做完题目后,一定要“ ”到点东 西,纳入到自己的认知结构中去.
C
悟
回顾
思考
线段的垂直平分线
我们曾经利用折纸的方法得到: 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等. 你能证明这一结论吗? 已知:如图,AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点. M 求证:PA=PB. P
分析:(1)要证明PA=PB,
就需要证明PA,PB所在的 △APC≌△BPC， 而△APC≌△BPC的条件由已知 故结论可证.
D
老师提示:
因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中 点,所以我们也用这种方法作线段的中点.
驶向胜利 的彼岸
随堂练习 1
挑战自我
如图,已知AB是线段CD的垂直平
分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm, 那么ED= 7 cm;如果∠ECD=600, 那么∠EDC= 60 0.
C
A
E
B
老师期望:
你能说出填空结果的根据.
D
驶向胜利 的彼岸
试一试P27 2
梦想成真
1.已知直线和上一点P,利用尺规作的垂线,使它经过 点P.
P
●
l
小结
拓展
回味无穷
M
P
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段 两个端点距离相等. 如图, ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点 (已知), ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到 这条线段两个端点距离相等). 逆定理 到一条线段两个端点距离 A 相等的点,在这条线段的垂直平分 线上. 如图, ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上(到一条 线段两个端点距离相等的点,在这 条线段的垂直平分线上).
A N
C
B
AC=BC,MN⊥AB,可推知其能满足公理（SAS）.
老师期望:你能写出规范的证明过程.
开启
智慧
几何的三种语言
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 距离相等. M 如图, ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任 意一点(已知), ∴PA=PB(线段垂直平分线上A 的点到这条线段两个端点距离 相等).
C N
B
独立 作业
知识的升华
P9习题1.5 1,2,3题.
祝你成功！
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1
习题1.5
1.利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线.
老Fra Baidu bibliotek期望:
先分别作出不同形状的三角形,再按要求去作图.
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独立作业
2
习题1.5
2. 如图,A,B表示两个仓库,要在A,B一侧的河 岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等, 码头应建造在什么位置？
P
C N
B
老师提示:这个结论是经常用来
证明两条线段相等的根据之一.
进步的标志
′
你能写出“定理 线段垂直平分线上 的点到这条线段两个端点距离相等” 的逆命题吗? 逆命题 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条 线段的垂直平分线上. P 它是真命题吗? 如果是.请你证明它. 已知:如图,PA=PB. B 求证:点P在AB的垂直平分线上. A 分析:要证明点P在线段AB的垂直平分线 上,可以先作出过点P的AB的垂线(或AB 的中点,),然后证明另一个结论正确.
驶向胜利 的彼岸
下课了!
结束寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德之 于人. • 证明的规范性在于：条理清晰 ，因果相应,言必有据.这是初 学证明者谨记和遵循的原则.
M P
C
B
老师提示:这个结论是经常用来
证明点在直线上(或直线经过某一点) 的根据之一.
N
从这个结果出发,你还能联想到什么?
驶向胜利 的彼岸
做一做
1
尺规作图
C
用尺规作线段的垂直平分线.
已知:线段AB,如图. 求作:线段AB的垂直平分线. 作法: 1.分别以点A和B为圆心,以大于
A
B
AB/2长为半径作弧,两弧交于点C和 D. 2. 作直线CD. 则直线CD就是线段AB的垂直平分线. 请你说明CD为什么是AB的垂直平分线, 并与同伴进行交流.
思 考 分 析
想一想:若作出∠P的角平分线,结论是 否也可以得证?
驶向胜利 的彼岸
我能行
1
逆定理
逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在 这条线段的垂直平分线上. 如图, ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上(到一条 线段两个端点距离相等的点,在这条 A 线段的垂直平分线上).
A● B●
老师期望: 养成用数学解释生活的习惯.
驶向胜利 的彼岸
独立作业
3
习题1.4
3.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线 交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC 的长.
A
D
E B
老师期望: 做完题目后,一定要“ ”到点东 西,纳入到自己的认知结构中去.
C
悟