2006年高考数学真题湖北卷(文科)

2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（文史类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。全卷共150分。考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共50分）

一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分散。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、集合P ＝｛x 」x 2－16<0｝,Q ＝｛x 」x ＝2n ，n ∈Z ｝,则P I Q ＝

A.｛-2,2｝

B.｛－2，2，－4，4｝

C.｛2，0，2｝

D.｛－2，2，0，－4，4｝ 2、已知非零向量a 、b ，若a ＋2b 与a －2b 互相垂直，则

A. 41

B. 4

C. 2

D. 2 3、已知2sin 23A =＝3

，A ∈（0，π），则sin cos A A +=

3 B ．3- C ．53 D ．5

4、在等比数列｛a n ｝中，a 1＝1，a 10＝3，则a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9

A. 81

B. 27527

3 D. 243

5、甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么

A. 甲是乙的充分但不必要条件

B. 甲是乙的必要但不充分条件

C. 甲是乙的充要条件

D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 6、关于直线m 、n 与平面α与β，有下列四个命题： ①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥；

④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ；其中真命题的序号是

A ．①②

B ．③④

C ．①④

D ．②③

7、设f(x)＝x x -+22lg

，则)2

()2(x

f x f +的定义域为 A. ）

，（），（－4004Y B.(－4,－1)Y (1，4) C. (－2,－1)Y (1，2) D. (－4,－2)Y (2，4) 8、在24

1???? ?

?+x x 的展开式中，x 的幂的指数是整数的有 A. 3项 B. 4项 C. 5项 D. 6项

9、设过点P （x ，y ）的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，若

1,2且?=，则点P 的轨迹方程是

A. )0,0(123322

>>=+

y x y x B. )0,0(12

322>>=-y x y x

)0,0(132322>>=-y x y x D.)0,0(132

22>>=+y x y x 10、关于x 的方程(

)

0112

=+---k x x ，给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根；其中假命题的个数是

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 答案一、选择题：1.C 2.D 3.A 4.A 5.B 6.D 7.B 8.C 9.D 10.A 二、填空题：11.

23 12. 0.94 13. (0，3

) 14. 78 15.（

πR 3）`＝4πR 2，球的体积函数的导数等于球的表面积函数。第Ⅱ卷（非选择题共100分）

注意事项：

第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。

11、在?ABC 中，已知4

a ，

b ＝4，A ＝30°，则sinB ＝ . 12．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0．80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为。（精确到0．01）

13、若直线y ＝kx ＋2与圆(x －2)2＋(y －3)2＝1有两个不同的交点，则k 的取值范围是 .

14、安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是 .(用数字作答)

15、半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2

,周长C(r)=2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的

变量，则(πr 2)`＝2πr ○

1， ○

1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于○1的式子： ○

2 ○

2式可以用语言叙述为：。三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16、（本小题满分12分）

设向量a ＝(sinx ，cosx )，b ＝(cosx ，cosx )，x ∈R ，函数f(x)＝a·(a ＋b).

（Ⅰ）求函数f(x)的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式f(x)≥

成立的x 的取值集。 17、（本小题满分12分）

某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其

中一组。在参加活动的职工中，青年人占42.5％，中年人占47.5％，老年人占10％。登山组的职工占参加活动总人数的

1，且该组中，青年人占50％，中年人占40％，老年人占10％。为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本。试确定

（Ⅰ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；（Ⅱ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数。 18、（本小题满分12分）

如图，已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为1，M 是底面BC 边上的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝2C 1N.

（Ⅰ）求二面角B 1－AM －N 的平面角的余弦值；（Ⅱ）求点B 1到平面AMN 的距离。 19、（本小题满分12分）

设函数f(x)=x 3+ax 2+bx +c 在x ＝1处取得极值－2，试

用c 表示a 和b ，并求f(x)的单调区间。

20、（本小题13分）

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *

∈均在

函数y ＝3x －2的图像上。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设13+=

n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20

n m T <对所有n N *

∈都

成立的最小正整数m 。

21、（本小题满分13分）

设,A B 分别为椭圆22

221(,0)x y a b a b

+=>的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且

4x =为它的右准线。

（Ⅰ）、求椭圆的方程；

（Ⅱ）、设P 为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线,AP BP 分别与椭圆相交于

异于,A B 的点M N 、，证明点B 在以MN 为直径的圆内。（此题不要求在答题卡上画图）

数学（文史类）参考答案

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分50分。

1．C 2．D 3．A 4．A 5．B 6．D 7．B 8．C 9．D 10．A 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分25分。 11． 2

12．0.94 13．（0，

） 14．78

15．324

(

)'43

R R ππ=．球的体积函数的导数等于球的表面积函数。三、解答题

16．本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的基本知识，以及运用三角函数的图像和性质的能力。

解：（Ⅰ）∵

()()222sin cos sin cos cos 1131sin 2cos 21)

2224

f x a a b a a a b x x x x x

x x x π=+=+=+++=++++g g g （）＝

∴()f x 的最大值为322+，最小正周期是22

π=。（Ⅱ）由（Ⅰ）知

()333)sin(2)022*******,488f x x x k x k k x k k Z

ππ

πππ

πππππ≥

?+≥?+≥?≤+≤+?-≤≤+∈

即()32f x ≥

成立的x 的取值集合是3|,88x k x k k Z ππππ??

-≤≤+∈????

. 17．本小题主要考查分层抽样的概念和运算，以及运用统计知识解决实际问题的能力。

解：（Ⅰ）设登山组人数为x ，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a 、b 、

c ，则有

40%310%347.5%,10%44x xb x xc

x x

++==g g ，解得b=50%,c=10%.

故a=100%－50%－10%=40%,即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40％、

50％、10％。

（Ⅱ）游泳组中，抽取的青年人数为3

20040%604

??=（人）；抽取的中年人数为

32004??50％＝75（人）

；抽取的老年人数为3

2004

??10％＝15（人）。 18．本小题主要考查线面关系、二面角和点到平面距离的有关知识及空间想象能力和推理运算能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。

解法1：（Ⅰ）因为M 是底面BC 边上的中点，所以AM ⊥BC ，又AM ⊥C 1C ,所以AM ⊥面BC 1C 1B ，从而AM ⊥1B M , AM ⊥NM ，所以∠1B MN 为二面角，1B —AM —N 的平面角。又1B M=2

1B B BM +15142=+

=,MN =22

145496

MC CN +=+=,

连1B N ，得1B N ＝22111110

19B C C N +=+

=，在?1B MN 中

，

由

余

弦

定

理

得

1111525105

4369cos 255

226

B M MN B N B MN B M MN +-

+-===??

g g 。故所求

二面角1B —AM —N 的平面角的余弦值为

。（Ⅱ）过1B 在面11BCC B 内作直线1B H MN ⊥，H 为垂足。又AM ⊥平面11BCC B ，所以AM ⊥1B H 。于是1B H ⊥平面AMN ，故1B H 即为1B 到平面AMN 的距离。在11R B HM ?中，

1B H ＝1B M 151

sin 1125

B MH =

?-=。故点1B 到平面AMN 的距离为1。解法2：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则1B （0，0，1），M （0，

，0）,

C(0,1,0), N (0,1,

) , A (1,022-

)，所以，

(2AM =u u u u r ，11(0,,1)2MB =-u u u u r ,12

(0,,)23

MN =u u u u r 。

因为

00()0102

MB AM =+?-+?=u u u u r u u u u r g 所以1MB AM ⊥u u u u r u u u u r ,同法可得MN AM ⊥u u u u r u u u u r 。

故﹤1,MB MN u u u u r u u u u r

﹥为二面角1B —AM —N 的平面角

∴cos ﹤1,MB MN u u u u r u u u u r

﹥＝115

5MB MN

MB MN

=?u u u u r u u u u r

u u u u r u u u u r

故所求二面角1B —AM —N

（Ⅱ）设n=(x,y,z)为平面AMN 的一个法向量，则由,n AM n MN ⊥⊥u u u u r u u u u r

得

002412032

3x x y z y z =?=??

???

=-??+=??? 故可取3(0,,1)4n =- 设1MB u u u u r 与n 的夹角为a

，则115

cos 3MB n

a MB n

?===?u u u u r

u u u u r

。

所以1B 到平面AMN

的距离为1cos 1MB a ?==u u u u r 。 19.本小题主要考查层数的概念和计算，考查应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能

力。

解：依题意有'

(1)2,(1)0,f f =-=而'

(1)32,

f x ax b =++

故12320a b c a b +++=-??++=? 解得23a c b c =??=--?

从而

'2()32(23)(323)(1)f x x cx c x c x =+-+=++-。